Johdanto Lassi Kurittu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Johdanto Lassi Kurittu"

Transkriptio

1 Johdanto Tämä luentomoniste on kirjoitettu syksyn 2012 topologian kurssin jälkimmäisen osan luentomateriaaliksi. Kurssin ensimmäisellä puoliskolla käsiteltiin metrisiä avaruuksia, mutta nyt siirrytään yleisiin topologisiin avaruuksiin. Moniste noudattelee Jussi Väisälän kaksiosaisen topologian monisteen kakkososaa. Metriset avaruudet ovat myös topologisia avaruuksia, mutta näitä yleisiä topologisia avaruuksia on paljon muitakin, ja niissä tapahtuu sellaisia ilmiöitä, joita ei metrisissä avaruuksissa tunneta. Tällaisten ilmiöiden tarkasteluun tässä syvennytään ja toisaalta mietitään, josko kyseessä sittenkin olisi metrinen ilmiö. Tärkeimmistä käsiteltävistä topologioista voisi mainita tulotopologian, joka syntyy avaruuksien karteesiseen tuloon, mahdollisesti äärettömään, ja tekijätopologian, jonka avulla voidaan topologisoida erilaisia tekijäavaruuksia. Kompakteihin avaruuksiin liittyvät asiat nousevat esille kurssin loppupuolella. Kompakteja avaruuksia ja tuloavaruuksia yhdistää maineikas Tihonovin lause, joka todistetaan kurssin lopussa, mikäli aika riittää. Käytettävistä merkinnöistä sen verran, että esimerkiksi maininta lause MA 3.5 viittaa metrisiä avaruuksia käsittelevän monisteen ensimmäisen osan lauseeseen 3.5. Johdannon lopuksi on ehkä syytä huomauttaa ykkösosan johdantoa siteeraten, että tämä luentomoniste on aivan uunituore, mikä ei tarkoita sitä, että tässä olisi joitakin matemaattisesti uunituoreita asioita, vaan sitä, että tähän on väkisinkin jäänyt painovirheitä. Näitä tietenkin pyrin siivoamaan pois sitä mukaa, kun niitä huomaan. Pyydän tässä urakassa opiskelijoiden apua: kaikista havaituista virheistä pienistäkin toivon ilmoitusta joko henkilökohtaisesti tai sähköpostitse Lassi Kurittu i

2 Sisältö 1 Topologian määritelmä 1 2 Topologian kanta 6 3 Jatkuva kuvaus 16 4 Kuvauksen indusoima topologia 24 5 Relatiivitopologia 28 6 Kuvausperheen indusoima topologia 32 7 Tulotopologia Äärellinen tulo Numeroituva tulo Yleinen tulo Kuvausperheen koindusoima topologia 63 9 Tekijätopologia Metrisoituvat topologiset avaruudet Topologisen avaruuden erottelukyky Topologian numeroituvuus Yhtenäisyys Yhtenäinen ja polkuyhtenäinen topologinen avaruus Yhtenäisyyskomponentit ja polkukomponentit Monistot Kompaktius Lokaalisti kompaktit topologiset avaruudet Kompaktifiointi Tihonovin lause Urysohnin lemma ja Tietzen laajennuslause 209 ii

3 1 Topologian määritelmä Tässä kuten myös monisteen aiemmassa osassa merkintä P(X) tarkoittaa joukon X potenssijoukkoa eli kaikkien osajoukkojen joukkoa. Jos T P(X), niin sanonta T :n joukkoperhe {U α } α I tarkoittaa sitä, että on annettu (jokin) indeksijoukko I ja jokaiselle α I on määritelty joukko U α T. Joissakin tapauksissa joukkoperhe esitetään myös muodossa {U α α I}, mutta samasta asiasta on kyse ero on vain merkinnässä. On ehkä näin aluksi syytä kerrata yhdisteen ja leikkauksen määritelmät, koska ne esiintyvät jatkossa usein, ja parissa paikassa näitä pitää oikein miettiäkin. Määritelmäthän kuuluvat niin, että U α = {x X on olemassa α I siten, että x U α } ja α I U α = {x X kaikille α I pätee x U α }. α I Tyhjälle indeksijoukolle I leikkausta ei määritellä lainkaan. Varsinainen asia aloitetaan topologian määritelmällä. Määritelmä 1.1 Olkoon X joukko ja T P(X). Sanotaan, että T on joukon X topologia, jos seuraavat ehdot (1) (3) pätevät. U α T jokaiselle T :n joukkoperheelle {U α } α I. (1) α I U α T jokaiselle T :n joukkoperheelle {U α } α I, (2) α I missä indeksijoukko I on äärellinen ja epätyhjä. T ja X T. (3) Tällöin sanotaan, että (X, T ) on topologinen avaruus ja että T :n alkiot eli X:n osajoukot A T P(X) ovat avoimia topologiassa T. Esimerkki 1.2 a) Jos (X, d) on metrinen avaruus, niin (X, d):n avoimet joukot muodostavat X:n topologian T d, vrt. merkintä MA 9.3. Tämä seuraa lauseista MA 3.5 ja MA 3.7 sekä sivun MA 17 esimerkistä. Sen sijaan (X,d):n suljetut joukot eivät yleensä muodosta topologiaa, koska suljettujen joukkojen mielivaltainen yhdiste ei välttämättä ole suljettu. b) R:n kaikkien avointen välien joukko ei ole topologia, koska (esimerkiksi) kahden avoimen välin yhdiste ei välttämättä ole avoin väli. Sen sijaan joukko on R:n topologia. Toisaalta taas T 1 = {]a, [ a R} {, R} T 2 = {[a, [ a R} {, R} 1

4 ei ole R:n topologia. Miksei? c) Koko P(X) on triviaalisti jokaisen epätyhjän joukon X topologia. Jos d on X:n diskreetti metriikka, niin lauseen MA 3.2 mukaan T d = P(X). Tätä topologiaa P(X) sanotaan X:n diskreetiksi topologiaksi ja merkitään T dis = P(X). Diskreetti topologia on (triviaalisti) kaikkein laajin X:n topologia, ts. jos T on X:n topologia, niin T T dis. d) Jos X, niin {,X} on X:n topologia. Tämä on niin sanottu X:n minitopologia, ja merkitään T mini = {,X}. Minitopologia on (triviaalisti) kaikkein suppein X:n topologia, ts. jos T on X:n topologia, niin T mini T. e) Jos X on yksiö, X = {a}, niin X:llä on vain yksi topologia T dis = T mini. Jos X on kahden pisteen joukko, niin X:llä on neljä eri topologiaa. Montako eri topologiaa on kolmen pisteen joukolla? Voisi arvata, että kahdeksan, mutta onko tämä oikea arvaus? f) Kohdan a) mukaisesti metrinen avaruus synnyttää aina topologian, joten topologisten avaruuksien joukko on laajempi kuin metristen avaruuksien joukko. Se on myös aidosti laajempi, sillä kaikki topologiat eivät synny metriikan kautta. Tästä on esimerkkinä b)-kohdan topologia T 1. Jätetään harjoitustehtäväksi miettiä, miksei R:ssä voi olla metriikkaa, jonka avointen joukkojen joukko olisi täsmälleen T 1. Toinen ei-metrinen esimerkkitopologia on minitopologia, kun joukossa X on ainakin kaksi alkiota. Jätetään tämäkin harjoitustehtäväksi. Diskreetti topologia on siis aina metrinen, kuten c)-kohdassa todettiin. Esimerkin 1.2 kohdissa c) ja d) puhuttiin laajimmasta ja suppeimmasta topologiasta. Näille asioille on ihan virallinen nimityskin, joka selviää seuraavasta määritelmästä. Määritelmä 1.3 Olkoon X joukko ja T 1 sekä T 2 X:n topologioita. Sanotaan että T 1 on karkeampi kuin T 2 tai T 2 on hienompi kuin T 1, jos pätee T 1 T 2. Huomautus 1.4 Hienommassa topologiassa on siis ainakin samat avoimet joukot kuin karkeammassakin, mutta mahdollisesti myös aidosti enemmän. Tämä topologioiden hienompi/karkeampi-relaatio on triviaalisti transitiivinen siinä mielessä, että jos T 1 on karkeampi kuin T 2 ja T 2 karkeampi kuin T 3, niin T 1 on karkeampi kuin T 3. Tämä topologioiden järjestysrelaatio ei kuitenkaan ole täydellinen, mikä tarkoittaa sitä, että kaikkia topologioita ei suinkaan voida tässä mielessä vertailla. Esimerkiksi jos X on kolmen eri pisteen joukko X = {a,b,c}, niin T 1 = {, {a}, {a,b},x} ja T 2 = {, {a}, {a,c},x} ovat topologioita X:ssä, mutta kumpikaan ei ole toista hienompi/karkeampi. 2

5 Määritelmä 1.5 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja a X. Sanotaan, että osajoukko A X on pisteen a ympäristö topologiassa T, jos a A ja A T. Huomautus. Määritelmä 1.5 yleistää metrisen avaruuden ympäristön määritelmän MA 3.9. Huomautuksen 1.4 esimerkissä {a, b} on pisteen a ympäristö topologiassa T 1, mutta ei ole sitä topologiassa T 2. Seuraava lause yleistää lauseen MA Lause 1.6 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X. Tällöin A on avoin jos ja vain jos jokaiselle a A on olemassa ympäristö U a siten, että U a A. Todistus. Suoraan määritelmän nojalla A on jokaisen pisteensä ympäristö, joten valinta U a := A toimii kaikille a A. Oletetaan, että kaikille a A on olemassa ympäristö U a siten, että U a A. Tällöin U a = A. (1) a A Ympäristöinä joukot U a ovat topologian T alkioita, jolloin esityksen (1) ja topologian määritelmän nojalla A T eli A on avoin. Määritelmä 1.7 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Sanotaan, että (X, T ) on Hausdorff-avaruus, jos kaikille x, y X, x y on olemassa U, V T siten, että x U, y V ja U V =. Esimerkki. Metrinen avaruus on aina Hausdorff. Tämä seuraa lauseesta MA (X, T dis ) on myös aina Hausdorff. Sen sijaan (X, T mini ) ei ole Hausdorff, jos X:ssä on ainakin kaksi pistettä. Myöskään esimerkin 1.2 b) topologia T 1 ei ole Hausdorff. Suljettu joukko yleisissä topologisissa avaruuksissa määritellään kuten metrisissä avaruuksissa: Määritelmä 1.8 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X. Sanotaan, että A on suljettu, jos X \ A on avoin. Lause 1.9 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja {B α } α I perhe X:n suljettuja osajoukkoja. Tällöin B α on suljettu, jos I, α I B α on suljettu, jos I on äärellinen sekä lisäksi α I ja X ovat suljettuja. 3

6 Todistus. Tämä todistetaan kuten lauseet MA 7.13 ja Lauseen 1.9 tavoin monet peruslauseet yleisissä topologisissa avaruuksissa ovat analogisia vastaavien metristen tulosten kanssa, myös todistukseltaan. Tämän vuoksi tässä esitetään perusmääritelmistä helposti saatavien tulosten todistuksia vain viittaamalla vastaaviin todistuksiin MA:ssa. Toki kriittisen lukijan on syytä tarkistaa, ettei tässä ihan höpöjä puhuta, vaan todistukset tosiaan sujuvat kuten metrisissä avaruuksissa. Määritelmä 1.10 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X sekä x X. Sanotaan, että piste x on joukon A kosketuspiste, jos jokaiselle x:n ympäristölle U pätee U A. x on A:n erakkopiste, jos on olemassa x:n ympäristö U, jolle pätee U A = {x}. A:n kosketuspisteiden joukko on A:n sulkeuma, ja sitä merkitään symbolilla A. Huomautus. Kuten metrisissä avaruuksissa (MA 6.12) pätee aina A A. Lause 1.11 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X. Tällöin sulkeuma A on suljettu. Todistus. Tässä voisi viitata lauseen MA 6.13 todistukseen, mutta se olisi epäonnistunut viittaus, koska lauseen MA 6.13 todistus on metrinen eli siinä käytetään metriikkaa. Oikea viittaus on sen sijaan huomautus MA 6.14, jossa todistuksesta selvitään ilman metriikan käyttöä. Lause 1.12 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A, B X. Tällöin pätee seuraavaa. Jos A B ja B on suljettu, niin A B. A on suljettu jos ja vain jos A = A. Jos C := {C A C X ja C on suljettu}, niin A = C C C. Jos A B, niin A B. A = A. A B = A B. A B A B. Todistus. Kuten lauseet MA Kasautumispiste määriteltiin MA:ssa niin, että piste on A:n kasautumispiste, jos sen jokaisessa ympäristössä on äärettömän monta A:n pistettä. Lauseessa MA 6.36 todettiin, että tämä ehto on yhtäpitävää sille, että jokaisessa x:n punkteeratussa ympäristössä U \{x} on A:n pisteitä. Yleisissä topologisissa avaruuksissa on parempi ottaa tämä jälkimmäinen ehto määritelmäksi: 4

7 Määritelmä 1.13 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X sekä x X. Sanotaan, että piste x on joukon A kasautumispiste, jos jokaiselle x:n ympäristölle U pätee (U \ {x}) A. Lause MA 6.34 yleistyy: Lause 1.14 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X sekä x X. Tällöin x A jos ja vain jos x on A:n kasautumispiste tai erakkopiste. Todistus. Tässä ei voi nyt vedota lauseen MA 6.34 todistukseen, koska sen todistus on metrinen ja sitä paitsi käytettävä määritelmäkin on erilainen. Tällä määritelmällä 1.13 todistus on kuitenkin paljon helpompi jopa triviaali, ja jätetään tämä harjoitustehtäväksi. Samalla voidaan todeta, että MA:ssa olisi ollut helpompaa todistaa lause MA 6.36 ennen lausetta MA 6.34, jolloin MA 6.34:n todistuksessa olisi voitu käyttää samaa helppoa argumentointia kuin tässä käsillä olevassa tuloksessa. Sisä- ulko- ja reunapisteet määritellään kuten MA:ssa: Määritelmä 1.15 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X sekä x X. Sanotaan, että piste x on joukon A sisäpiste, jos on olemassa pisteen x ympäristö U siten, että U A. Sanotaan, että x on A:n ulkopiste jos x on joukon X \ A sisäpiste. Jos x ei ole A:n sisä- eikä ulkopiste, niin sanotaan, että x on A:n reunapiste. Merkitään int(a) = {x X x on A:n sisäpiste}, ext(a) = {x X x on A:n ulkopiste} A = {x X x on A:n reunapiste}. ja Lause 1.16 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X. Tällöin pätee seuraavaa. X = int(a) ext(a) A ja tämä yhdiste on pistevieras. int(a) = ext(x \ A). Joukot int(a) ja ext(a) ovat avoimia sekä joukko A on suljettu. A on avoin jos ja vain jos A = int(a). A A. ext(a) = X \ A. int(a) = X \ X \ A. A = int(a) A. A = A A. A = A X \ A. A = A \ int(a). A = (X \ A). 5

8 A on avoin jos ja vain jos A = A \ A. Jos A = {U A U on avoin}, niin pätee int(a) = Todistus. Ks. MA U A Esimerkki 1.17 Vaikka tulokset lauseessa 1.16 ovat samoja kuin MA:ssa, niin yleisissä topologisissa avaruuksissa voi tapahtua näille sisä- ulko- ja reunapisteille sekä sulkeumille vähän yllättäviä asioita metrisiin avaruuksiin verrattuna. Jätetään helpoksi harjoitustehtäväksi miettiä, miten käy esimerkiksi minitopologiassa. Vähemmän triviaali esimerkki on esimerkin 1.2 b) R:n topologia Jos valitaan vaikkapa A =]0,1[, niin T 1 = {]a, [ a R} {, R}. int(a) =, ext(a) = ]1, [, A = ],1] Jätetään perustelut harjoitustehtäväksi. ja A = int(a) A = ],1]. Määritelmä 1.18 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja A X. Sanotaan, että joukko A on tiheä avaruudessa (X, T ), jos pätee A = X. Esimerkki 1.19 Jos varustetaan R itseisarvometriikan määräämällä topologialla, niin Q on tiheä, Z sen sijaan ei. Jos varustetaankin R esimerkin 1.17 topologialla T 1, niin myös Z on tiheä. Tämä johtuu siitä, että int(z) = ja vähän yllättävästi myös ext(z) =, jolloin lauseen 1.16 nojalla Z = R ja silloin myös Z = R. Lause 1.20 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, A B X ja oletetaan, että A on tiheä. Silloin myös B on tiheä. Todistus. X i) = A ii) B X, joten on oltava X = B ja väite seuraa. Yllä yhtälö i) seuraa siitä, että A on tiheä. Inkluusio ii) seuraa oletuksesta A B ja lauseesta U. 2 Topologian kanta Monissa sovelluksissa joudutaan määrittelemään annettuun joukkoon jokin sopiva topologia. Topologiat ovat usein hyvin suuria joukkoja, jolloin niiden eksplisiittinen määritteleminen käy hankalaksi. Tällöin on hyvä turvautua (yleensä huomattavasti) pienempään joukkoon, joka tietyssä mielessä virittää halutun topologian. Tätä pienempää joukkoa kutsutaan (halutun) topologian kannaksi. Tarkka määritelmä on seuraava. 6

9 Määritelmä 2.1 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Sanotaan, että joukko B P(X) on topologian T kanta, jos B T ja lisäksi pätee seuraava ehto. Kaikille A T on olemassa joukkoperhe {U α } α I siten, että U α B kaikille α I ja α I U α = A. Huomautus. Kannan alkiot ovat siis aina varsinaisen topologian alkioita, mutta kannassa ei tarvitse olla läheskään kaikkia näitä, vaan riittää, että topologian alkiot voidaan esittää kannan alkioiden yhdisteenä. Usein kannassa ei ole alkiota T, mutta määritelmän 2.1 ehdossa voidaan valita I =, jolloin (vähän kikkailemalla) saadaan myös tyhjä joukko esitettyä B:n alkioiden yhdisteenä. Toinen mahdollisuus olisi asettaa määritelmään 2.1 rajoite A. Samalla topologialla voi olla useita kantoja kuten helposti nähdään, mutta on tärkeää, että sama kanta voi määrätä vain yhden topologian. Tämä nimenomaan siitä syystä, että kun sovelluksissa määritellään topologia kannan avulla, niin se tulee yksikäsitteisesti määrättyä. Tämän yksikäsitteisyyden takaa seuraava lause. Lause 2.2 Olkoot (X, T 1 ) ja (X, T 2 ) topologisia avaruuksia sekä B P(X) näiden molempien topologioiden kanta. Tällöin pätee T 1 = T 2. Todistus. Olkoon A T 1 mielivaltainen. Koska B on T 1 :n kanta, niin A voidaan esittää yhdisteenä A = α I U α, U α B kaikille α I. (1) Koska B on T 2 :n kanta, niin B T 2, ja silloin U α T 2 kaikille α I. Koska T 2 on topologia, niin se sisältää alkioidensa yhdisteeet, joten α I U α T 2. Tällöin esityksen (1) perusteella A T 2. Koska A T 1 valittiin mielivaltaisesti, niin näin on nähty, että T 1 T 2. Vastaavasti nähdään, että T 2 T 1. Esimerkki 2.3 a) Onko jokaisella topologialla kanta? On, sillä topologia on triviaalisti itsensä kanta. Toki yleensä kantoja on paljon muitakin. b) Diskreetin topologian T dis eräs kanta on B = {{x} x X}. c) Jos (X,d) on metrinen avaruus, niin topologian T d (ks. esim. 1.2 a)) eräs kanta on B = {B d (x,r) x X, r > 0}. Tämä seuraa lauseesta MA 3.8. d) Esimerkin 1.2 b) topologian T 1 eräs kanta on B = { ]q, [ q Q}. Kun topologioita määritellään kannan kautta, herää luonnollinen kysymys: voiko mielivaltainen P(X):n osajoukko B olla jonkin X:n topologian kanta. Ei voi; tämä selviää lauseesta 2.8 ja esimerkistä 2.10 a). Näitä varten tarvitaan muutama aputulos. 7

10 Lause 2.4 Olkoon X jokin joukko ja A X. Olkoon lisäksi B P(X). Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. On olemassa joukkoperhe {U α } α I, missä U α B kaikille α I, (1) siten, että A = α I U α. Kaikille x A on olemassa B x B siten, että x B x A. (2) Todistus. (1) (2) Oletetaan, että ehto (1) pätee ja olkoon x A mielivaltainen. Olkoon {U α } α I ehdon (1) mukainen joukkoperhe. Silloin x A = {U α } α I, joten on olemassa α 0 I siten, että x U α0. Tällöin väitteessä (2) olevaksi joukoksi B x käy B x := U α0, koska tämä toteuttaa selvästi ehdon (2) vaatimukset. (2) (1) Oletetaan, että ehto (2) pätee. Määritellään joukkoperhe {U α } α I asettamalla I = A ja U x = B x kaikille x I = A. Tämä toteuttaa ehdon (1) vaatimukset, sillä kaikille a A pätee a B a x A B x, joten A x A B x A ja siten A = x A B x. Seuraavassa lauseessa annetaan täsmällinen ehto sille, milloin jokin B P(X) on tietyn topologian kanta. Tämä ei siis vielä kerro sitä, että voiko B olla jonkun topologian kanta, vaikkei se annetun topologian kanta olisikaan. Lause 2.5 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja B P(X). Tällöin B on topologian T kanta jos ja vain jos seuraavat ehdot pätevät: B T ja (1) Jos U T ja x U, niin on olemassa B B siten, että x B U. (2) Todistus Jos B on topologian T kanta, niin ehto (1) seuraa suoraan määritelmästä 2.1. Ehto (2) seuraa määritelmästä 2.1 ja lauseesta 2.4. Jos ehdot (1) ja (2) pätevät, niin lauseen 2.4 nojalla kannan määritelmän 2.1 ehdot toteutuvat. Esimerkki 2.6 Tason R 2 euklidisen topologian eli euklidisen metriikan antaman topologian eräs kanta on B = { ]a,b[ ]c,d[ a,b,c,d R, a < b,c < d}. Tämän näkee helposti lauseen 2.5 avulla. Huomautus. Lauseen 2.5 ehtoa (2) ei voi lieventää korvaamalla se ehdolla Kaikille U T on olemassa B B siten, että B U. (3) Esimerkkinä tästä on R:n itseisarvometriikan antama topologia T ja kantaehdokas B = {U \ {0} U T }. Tämä toteuttaa ehdot (1) ja (3), muttei voi olla 8

11 T :n kanta, koska esimerkiksi avointa joukkoa R ei selvästikään voi esittää B:n alkioiden yhdisteenä. Seuraavassa lauseessa ei varsinaisesti ole mitään uutta, mutta kirjataan lause muistiin sen käyttökelpoisuuden takia. Lause 2.7 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja B T :n kanta sekä A X. Tällöin A T jos ja vain jos kaikille x A on olemassa B x B siten, että x B x A. Todistus. Väitteen suunta seuraa lauseesta 2.5 ja käänteinen suunta lauseesta 1.6 sekä kannan määritelmästä. Nyt saadaan sitten aikaan ehto, joka kertoo täsmälleen, milloin annettu joukko on jonkin topologian kanta. Lause 2.8 (Kantalause) Olkoon X mielivaltainen joukko ja B P(X). Tällöin B on X:n jonkin topologian kanta jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat. B = X. (1) B B Jos B 1,B 2 B ja x B 1 B 2, niin on olemassa B x B siten, (2) että x B x B 1 B 2. Huomautus 2.9 Lauseessa 2.8 ei siis vaadita, että B 1 B 2 B. Näin voi tietysti olla, mutta se ei ole välttämätöntä toisin kuin topologian tapauksessa. Tämä helpottaa kovasti topologioiden rakentelua: riittää konstruoida lauseen 2.8 ehdot (1) ja (2) toteuttava B. Lauseen 2.2 nojalla tämä B on täsmälleen yhden topologian T kanta eli T määräytyy yksikäsitteisesti. T :n alkiotkin voidaan karakterisoida kannan määritelmän avulla: Jos A X, niin A T jos ja vain jos on olemassa perhe {B α } α I siten, että B α B kaikille α I ja A = α I B α. Siis T :n alkiot koostuvat tarkalleen B:n alkioiden yhdisteistä. Lauseen 2.8 todistus. Väitteen tämä suunta on helppo. Jos B on jonkin topologian T kanta, niin X T ja ehto (1) seuraa kannan määritelmästä. Ehto (2) seuraa lauseesta 2.7, sillä B 1,B 2 B T, jolloin B 1 B 2 T. Oletetaan, että B toteuttaa ehdot (1) ja (2). Pitäisi siis keksiä jokin topologia T, jonka kanta B on. Vahvan vihjeen antaa huomautus 2.9. Määritellään topologiaehdokas T asettamalla T = {A P(X) on olemassa perhe {B α } α I siten, että B α B kaikille α I ja A = α I B α }. Kannan määritelmän mukaan B on T :n kanta, jos T ylipäätään on topologia. Riittää siis todistaa tämä. 9

12 X T ehdon (1) nojalla. Myös T, kun valitaan tyhjä indeksijoukko I. Riittää siis osoittaa, että T :n alkioiden mielivaltaiset yhdisteet ja äärelliset leikkaukset pysyvät T :ssä. Yhdisteille tämä on helppoa. Olkoon {U β } β J perhe T :n alkioita. Tällöin jokaiselle β J on olemassa perhe {B β α} α Iβ, missä B β α B kaikille α I β siten, että U β = α I β B β α. Tällöin U β = Bα β = β J β J α I β (α,β) K B β α, (3) missä K = β J (I β {β}). Esityksen (3) ja T :n määritelmän mukaan U β T. β J Äärelliselle leikkaukselle todistus on vähän vaikeampaa. Tässä siis oletetaan, että J on äärellinen (ja siten epätyhjä) indeksijoukko ja {U β } β J perhe T :n alkioita. Pitää osoittaa, että U β T. (4) β J Todistetaan väite (4) induktiolla joukon J alkioiden lukumäärän #J suhteen. Kun #J = 1, niin väite (4) pätee triviaalisti. Oletetaan sitten, että n 2 ja että väite (4) pätee jokaiselle indeksijoukolle J, jolle #J = n 1. Olkoon #J = n. Tällöin J voidaan esittää muodossa Merkitään J = {β 0 } K, missä #K = n 1. (5) V = Induktio-oletuksen ja ehdon (5) nojalla Koska nyt β K U β = U β0 β J niin väite (4) tulee muotoon U β. V T. (6) β K U β = U β0 V, U β0 V T. (7) 10

13 T :n määritelmän mukaan väite (7) siis sanoo, että joukko U β0 V voidaan esittää B:n alkioiden yhdisteenä. Lauseen 2.4 nojalla väite (7) seuraa, jos osoitetaan, että kaikille x U β0 V on olemassa B x B siten, että x B x U β0 V. (8) Olkoon siis x U β0 V mielivaltainen. Koska U β0 T, niin T :n määritelmän mukaan U β0 on B:n alkioiden yhdiste, jolloin lausetta 2.4 toiseen suuntaan (kuin edellä) käyttäen nähdään, että on olemassa B 1 siten, että B 1 B ja (9) x B 1 U β0. (10) Ehdon (4) nojalla vastaava tarkastelu voidaan tehdä myös joukolle V, ja nähdään, että on olemassa B 2 siten, että B 2 B ja (11) x B 2 V. (12) Nyt käytetään oletuksen ehtoa (2). Sen ja ehtojen (9) (12) nojalla on olemassa B x B siten, että x B x B 1 B 2. Ehtojen (10) ja (12) nojalla tämä B x toteuttaa ehdon (8), joten väite (7) pätee. Näin induktioaskel on otettu, ja asia on selvä. Esimerkki 2.10 a) Olkoon X neljän alkion joukko X = {a,b,c,d} ja B = {B 1,B 2,B 3 }, missä B 1 = {a,b,c}, B 2 = {b,c,d} ja B 3 = {b}. Tällöin B ei toteuta lauseen 2.8 ehtoja, sillä c B 1 B 2, mutta ei ole olemassa joukkoa B c B siten, että c B c B 1 B 2. Siten B ei voi olla minkään X:n topologian kanta. b) Joukko B = {]a,b[ a < b} on lauseen 2.8 nojalla jonkin R:n topologian kanta. Itse asiassa tämä topologia on tavallinen itseisarvotopologia. c) Joukko {[a,b] a < b} ei lauseen 2.8 nojalla ole minkään R:n topologian kanta. Sen sijaan joukko B = {[a, b] a b} on jonkin topologian kanta. Jätetään harjoitustehtäväksi osoittaa, että kyseessä on diskreetti topologia. d) Esimerkissä 1.2 b) todettiin, että joukko on R:n topologia. Toisaalta taas T 1 = {]a, [ a R} {, R} T 2 = {[a, [ a R} {, R} ei ole sitä. T 1 on silloin oma kantansa, joten se automaattisesti toteuttaa lauseen 2.8 ehdot. Myös T 2 toteuttaa ne, joten se on jonkin topologian T 3 kanta. 11

14 e) Joukko B = {[a,b[ a < b} toteuttaa lauseen 2.8 ehdot, joten se on jonkin R:n topologian kanta. Tämä on mielenkiintoinen topologia, johon palataan jatkossa. Osoittautuu esimerkiksi, että tässä topologiassa välit [a, b[ ovat paitsi avoimia (mitä ne ovat triviaalisti) myös suljettuja. Kyseessä ei kuitenkaan ole diskreetti topologia. Kantansa alkioiden olemuksen perusteella tätä topologiaa kutsutaan R:n puoliavoimeksi topologiaksi, ja sitä merkitään symbolilla T pa. Aiemmin määriteltiin (ks. 1.3), että jos saman joukon topologioille T 1 ja T 2 pätee T 1 T 2, niin topologia T 2 on hienompi tai vastaavasti T 1 on karkeampi. Karkeammassa topologiassa on siis vähemmän avoimia joukkoja ja hienommassa enemmän. Voidaanko kantojen avulla päätellä jotain tästä hienommuudesta/karkeammuudesta? On melko selvää, että jos B i on T i :n kanta, i = 1,2 ja B 1 B 2, niin myös T 1 T 2. Käänteinen suunta tässä ei kuitenkaan päde. Tästä saa vastaesimerkkejä huomaamalla, että samalla topologialla voi olla useita eri kantoja, jotka eivät ole vertailtavissa tässä mielessä. Topologioiden hienommuusvertailu on kuitenkin merkittävä asia monessa paikassa. Seuraava lause sanoo, että tästä vertailusta voidaan jotain sanoa kantojenkin avulla. Lause 2.11 Olkoon X mielivaltainen joukko ja T 1 sekä T 2 X:n topologioita. Olkoon B i topologian T i :n kanta, i = 1,2. Tällöin T 2 on hienompi kuin T 1 jos ja vain jos seuraava ehto pätee. Kaikille x B 1 B 1 on olemassa B 2 B 2 siten, että x B 2 B 1. (1) Todistus. Oletetaan, että T 2 on hienompi kuin T 1 eli T 1 T 2. Olkoon x B 1 B 1. Topologia sisältää aina kantansa, joten B 1 T 1 ja siten oletuksen nojalla B 1 T 2, ja näin B 1 T 2. (2) Väitteessä (1) vaadittavan joukon B 2 B 2, jolle pätee x B 2 B 1, olemassaolo seuraa lauseesta 2.5, ehdosta (2) ja siitä, että B 2 on T 2 :n kanta. Oletetaan, että ehto (1) pätee. Olkoon U T 1 mielivaltainen. Pitää osoittaa, että U T 2. (3) Olkoon tätä varten x U mielivaltainen. Väite (3) seuraa lauseesta 1.6, jos x V U jollekin V T 2. (4) Koska U T 1 ja B 1 on T 1 :n kanta, niin lauseen 2.5 nojalla on olemassa B 1 B 1 siten, että x B 1 U. (5) Tällöin oletuksen (1) nojalla on olemassa B 2 B 2 siten, että x B 2 B 1. (6) 12

15 Valitaan nyt ehdossa (4) kaipailtu V asettamalla V := B 2. Koska topologia sisältää aina kantansa, niin V = B 2 B 2 T 2, joten ainakin V T 2. Lisäksi ehdon (4) vaatimus x V U seuraa ehdoista (6) ja (5), joten V :n valinta on kelvollinen. Esimerkki 2.12 a) Ennen lausetta 2.11 todettiin ylimalkaisesti, että on melko selvää, että jos kannoille pätee B 1 B 2, niin myös T 1 T 2. Tarkka todistus tälle väitteelle saadaan lauseesta 2.11: siinä tarvittava joukko B 2 löytyy valitsemalla B 2 := B 1 B 1 B 2. b) Esimerkin 2.10 d) topologioista T 1 ja T 3 topologia T 3 on hienompi, sillä kannat T 1 ja T 2 toteuttavat lauseen 2.11 ehdon siinä järjestyksessä, että kaikille x B 1 T 1 on olemassa B 2 T 2 siten, että x B 2 B 1. Toisin päin ehto ei kuitenkaan toteudu, joten lauseen 2.11 käänteisen suunnan mukaan T 3 on aidosti hienompi kuin T 1. c) Esimerkissä 2.10 b) esitettiin R:n itseisarvotopologian T kanta B. Saman esimerkin e)-kohdassa esitettiin R:n topologian T pa kanta, jota merkitään tässä symbolilla B pa. Nämä kannat toteuttavat lauseen 2.11 ehdon siinä järjestyksessä, että T pa on aidosti hienompi kuin T, vrt. b)-kohta. Koska itseisarvotopologia on metrinen, niin se on Hausdorff lauseen MA 3.12 mukaisesti. Silloin (triviaalisti) tätä hienompi topologia T pa on myös Hausdorff. Kuten on nähty, topologia voidaan määritellä antamalla (vain) kanta. Sen täytyy tietenkin toteuttaa kantalauseen 2.8 vaatimukset. Tämäkin on joskus varsin vaivalloista. Helpommaksi tilanteen voi muuttaa antamalla vain ns. esikanta, jonka määritelmä on seuraavassa. Määritelmä 2.13 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja E T. Sanotaan, että E on topologian T esikanta, jos joukko { A k A k E kaikille k K ja indeksijoukko K on äärellinen} k K on T :n kanta. Esimerkki. Jokainen kanta on triviaalisti esikanta. Esikanta ei kuitenkaan välttämättä ole kanta. Näin käy esimerkiksi, jos T on R:n itseisarvotopologia ja E = { ],a[ a R} { ]b, [ b R}. Tällöin E on T :n esikanta, mikä nähdään helposti esimerkin b) avulla. Tämä E ei kuitenkaan ole T :n kanta, mikä seuraa siitä, että E ei toteuta kantalauseen 2.8 ehtoja. Kuten kanta, myös esikanta määrää topologian yksikäsitteisesti: 13

16 Lause 2.14 Olkoot T 1 ja T 2 joukon X topologioita. Olkoon lisäksi E näiden molempien topologioiden esikanta. Tällöin pätee T 1 = T 2. Todistus. Tämä seuraa melko välittömästi esikannan määritelmästä ja lauseesta 2.2. Minkälainen joukko sitten voi olla esikanta jollekin topologialle? Kantalauseessa 2.8 esitettiin kriteeri sille, milloin joukko voi olla kanta. Esikannalle saadaan myös tällainen kriteeri, ja merkittävää on, että tämä kriteeri on hyvin löysä ainakin verrattuna kantalauseen ehtoon. Tämä ehto on seuraavassa lauseessa. Sitä varten on ehkä syytä muistuttaa mieleen peitteen (yksinkertainen) määritelmä. Jos X on joukko, niin X:n peite on sellainen joukkoperhe {A α } α I P(X), jolle pätee α I A α = X. Lause 2.15 Olkoon X mielivaltainen joukko. Tällöin jokainen X:n peite on jonkin X:n topologian esikanta. Todistus. Olkoon {A α } α I joukon X peite. Määritellään joukkoperhe B P(X) asettamalla B = { A α K I ja K on äärellinen}. α K Tällöin väite seuraa esikannan määritelmästä, jos B on jonkin X:n topologian kanta. Tämä seuraa, jos B toteuttaa kantalauseen 2.8 ehdot B = X. (1) B B Jos B 1,B 2 B ja x B 1 B 2, niin on olemassa B x B siten, (2) että x B x B 1 B 2. Väitettä (1) varten huomataan ensin, että {A α } α I B eli että A α B kaikille α I. (3) Tämä johtuu siitä, että jos α 0 I on mielivaltainen, niin K := {α 0 } I on äärellinen ja A α0 i) = α K A α ii) B, missä yhtälö i) seuraa (triviaalisti) yhdisteen määritelmästä ja ehto ii) perheen B määritelmästä ja indeksijoukon K I äärellisyydestä. Ehdon (3) ja yhdisteen määritelmän nojalla pätee A α B. (4) α I Koska oletuksen mukaan {A α } α I on X:n peite, niin väite (1) seuraa ehdosta (4). B B 14

17 Väitettä (2) varten olkoot B 1,B 2 B ja x B 1 B 2. Perheen B määritelmän mukaan on olemassa äärelliset joukot K 1,K 2 I siten että B 1 = A α ja B 2 = A α. (5) α K 1 α K 2 Koska K 1 ja K 2 ovat äärellisiä, niin myös K 1 K 2 I on äärellinen, ja silloin perheen B määritelmän mukaan α K 1 K 2 A α B. (6) Ehdon (5) ja leikkauksen määritelmän mukaan pätee ilmeisesti α K 1 K 2 A α = B 1 B 2. Siten ehdon (6) perusteella B 1 B 2 B, ja silloin väitteessä (2) tarvittavaksi joukoksi B x käy B x = B 1 B 2. Lauseen 2.15 nojalla siis jokainen joukon X peite E on jonkin topologian T esikanta. Lauseen 2.14 nojalla tämä topologia T määräytyy esikannasta E yksikäsitteisesti. Tästä topologiasta T voidaan sanoa (yksikäsitteisyyden lisäksi) muutakin: Lause 2.16 Olkoon X jokin joukko ja E X:n peite sekä T se (yksikäsitteisesti määrätty) X:n topologia, jonka esikanta E on. Tällöin T on karkein sellainen X:n topologia, joka sisältää perheen E. Todistus. Olkoon B kuten lauseen 2.15 todistuksessa. Tässä todistuksessa nähtiin, että B on erään topologian kanta, ja yksikäsitteisyyden nojalla tämä topologia on nimenomaan T. Silloin B T. Lauseen 2.15 todistuksessa nähtiin myös, että E B, joten E T, eli ainakin T sisältää E:n. Pitää siis osoittaa, että T on karkein tällainen topologia. Olkoon sitä varten T toinen X:n topologia, jolle pätee E T. Väitteenä on, että T T. (1) Koska B on T :n kanta ja T on itsensä kanta, niin esimerkin 2.12 a) nojalla väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että B T. (2) Koska E T ja T topologiana sisältää alkioidensa äärelliset leikkaukset, niin väite (2) seuraa suoraan perheen B määritelmästä. 15

18 3 Jatkuva kuvaus Koska yleisissä topologisissa avaruuksissa ei ole metriikkaa, jatkuvan kuvauksen määritelmää ei voi asettaa ainakaan niin kuin tehtiin määritelmässä MA 4.1. Tämän sijasta käytetään lauseen MA 4.9 antamaa ekvivalenttia ehtoa: Määritelmä 3.1 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus sekä a A. Sanotaan, että f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva pisteessä a, jos jokaiselle pisteen f(a) ympäristölle V T Y on olemassa pisteen a ympäristö U T X siten, että f(u) V. Sanotaan, että f on jatkuva (koko avaruudessa X), jos se on jatkuva jokaisessa X:n pisteessä. Huomautus. Tämä määritelmän 3.1 ehto on siis lauseen MA 4.9 ehto (2). Helposti nähdään, että tämä on ekvivalenttia kyseisen lauseen ehdolle (3), joka voitaisiin tietysti myös ottaa tässä jatkuvuuden määritelmäksi. Lauseen MA 4.9 ehdosta (1) ei voi tietysti tässä puhuakaan, koska metriikkaa ei ole. Lause MA 4.10 yleistyy heti: Lause 3.2 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Tällöin f on jatkuva jos ja vain jos jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin, ts. kaikille B T Y pätee f 1 (B) T X. Todistus. Kuten lause MA Esimerkki 3.3 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y mielivaltainen kuvaus. Jos T X on diskreetti topologia, niin kaikki joukot ovat avoimia. Tällöin lauseen 3.2 nojalla f on jatkuva olipa se sitten millainen tahansa. Vastaavasti, jos T Y on minitopologia, niin Y :n avoimia joukkoja ovat vain ja Y. Näiden alkukuvat ovat ja X, jotka ovat aina avoimia. Siten lauseen 3.2 nojalla f on jatkuva. Lause MA 6.24 yleistyy myös: Lause 3.4 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus sekä a X. Tällöin f on jatkuva pisteessä a jos ja vain jos kaikille joukoille A X pätee ehto Todistus. Kuten lause MA Lause MA 6.25 pätee myös yleisesti: jos a A, niin f(a) f(a). Lause 3.5 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia sekä f : X Y kuvaus. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. f on jatkuva. Kaikille suljetuille joukoille B Y myös alkukuva f 1 (B) X on suljettu. Kaikille joukoille A X pätee f(a) f(a). 16

19 Todistus. Kuten lause MA Seuraavat lauseet ovat myös metristen lauseiden yleistyksiä. Lause 3.6 Olkoot (X, T X ), (Y, T Y ) ja (Z, T Z ) metrisiä avaruuksia sekä f : X Y ja g : Y Z kuvauksia. Olkoon a X. Jos f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva pisteessä a ja g : (Y, T Y ) (Z, T Z ) jatkuva pisteessä f(a), niin g f : (X, T X ) (Z, T Z ) on jatkuva pisteessä a. Todistus. Kuten lause MA Lause 3.7 Olkoon (X, ) K-normiavaruus, joka on varustettu normin indusoimalla metriikalla d. Olkoon lisäksi (Y, T Y ) mielivaltainen topologinen avaruus ja a Y. Olkoot f,g : (Y, T Y ) (X,d) kuvauksia, jotka ovat jatkuvia pisteessä a. Tällöin myös summakuvaus f + g : (Y, T Y ) (X,d) on jatkuva pisteessä a. Todistus. Kuten lause MA 5.1. Lause 3.8 Olkoon (X, ) K-normiavaruus, joka on varustettu normin indusoimalla metriikalla d. Olkoon lisäksi (Y, T Y ) mielivaltainen metrinen avaruus, a Y ja d K:n itseisarvometriikka. Olkoot f : (Y, T Y ) (X,d) ja λ : (Y, T Y ) (K,d ) kuvauksia, jotka ovat jatkuvia pisteessä a. Tällöin myös kuvaus λf : (Y, T Y ) (X,d) on jatkuva pisteessä a. Todistus. Kuten lause MA 5.2. Seuraava lause onkin sitten aivan uutta tällaista ei metrisissä avaruuksissa ole esitetty. Toki tämä pätee sellaisenaan myös metrisessä topologiassa. Lause 3.9 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Tällöin f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva jos ja vain jos topologialla T Y on esikanta E Y siten, että f 1 (A) T X kaikille A E Y. Todistus. Jos f on jatkuva, niin lauseen 3.2 nojalla vaadituksi esikannaksi E Y käy topologia T Y itse sehän on aina oma kantansa ja myös esikantansa. Olkoon E Y topologian T Y esikanta siten, että f 1 (A) T X kaikille A E Y. Pitää osoittaa, että f on jatkuva, mihin riittää lauseen 3.2 nojalla se, että jokaisen avoimen joukon alkukuva on avoin. Olkoon siis U T Y mielivaltainen. Pitää osoittaa, että f 1 (U) T X. (1) Esikannan E Y alkioiden äärelliset leikkaukset muodostavat määritelmän mukaan topologian T Y kannan ja toisaalta jokainen topologian alkio voidaan esittää kannan alkioiden yhdisteenä. Koska U T Y, niin on olemassa joukkoperhe {B α } α I siten, että U = B α, α I 17

20 ja toisaalta jokaiselle α I on olemassa äärellinen indeksijoukko K α ja joukkoperhe {A α k α } kα K α siten, että B α = k α K α A α k α ja A α k α E Y kaikille α ja k α. (2) Tällöin ( ) f 1 (U) = f 1 B α = f 1 (B α ) = (3) α I α I ( ) f 1 = f 1 (A α k α ). α I α I k α K α k α K α A α k α Koska ehdon (2) mukaan A α k α E Y kaikille α ja k α, niin oletuksen nojalla f 1 (A α k α ) T X kaikille α ja k α. (4) Koska K α on äärellinen, niin topologian määritelmän ja ehdon (4) nojalla k α K α f 1 (A α k α ) T X kaikille α. Tällöin topologian määritelmän mukaan myös f 1 (A α k α ) T X, α I k α K α joten väite (1) seuraa esityksestä (3). Lause 3.10 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f,g : (X, T X ) (Y, T Y ) jatkuvia kuvauksia. Oletetaan lisäksi, että (Y, T Y ) on Hausdorff-avaruus. Tällöin joukko B = {x X f(x) = g(x)} on suljettu avaruudessa (X, T X ). Todistus. Riittää osoittaa, että joukko X \ B eli A = {x X f(x) g(x)} on avoin. Olkoon tätä varten a A mielivaltainen. Riittää löytää joukko W siten, että W on a:n ympäristö ja W A. (1) Koska a A niin joukon A määritelmän mukaan f(a) g(a). Nämä ovat joukon Y pisteitä ja koska (Y, T Y ) on Hausdorff-avaruus, niin on olemassa avoimet joukot U, V Y siten, että f(a) U, g(a) V ja U V =. (2) 18

21 Koska U ja V ovat avoimia, niin f:n ja g:n jatkuvuuden sekä lauseen 3.2 nojalla joukot f 1 (U) ja g 1 (V ) ovat avoimia avaruudessa (X, T X ). Määritellään nyt W := f 1 (U) g 1 (V ), jolloin W on avoin kahden avoimen joukon leikkauksena. Koska f(a) U, niin a f 1 (U) ja vastaavasti a g 1 (V ), joten a W. Tällöin W on avoimena joukkona pisteen a ympäristö. Tällöin W toteuttaa ehdon (1) vaatimukset, jos osoitetaan, että W A. (3) Olkoon tätä varten x W mielivaltainen. Tällöin joukon W määritelmän perusteella f(x) U ja g(x) V. (4) Ehdon (2) mukaan U V =, jolloin ehdon (4) perusteella on oltava f(x) g(x). Tämä merkitsee sitä, että x A, joten väite (3) on todistettu. Huomautus. Lauseen 3.10 väite ei päde ilman oletusta siitä, että (Y, T Y ) on Hausdorff-avaruus. Tästä saa esimerkin kun T on R:n itseisarvotopologia ja määritellään kuvaukset f,g : (R, T ) (R, T mini ) asettamalla { 0 kun x > 0 f 0 ja g(x) = 1 kun x 0. Tällöin esimerkin 3.3 mukaan f ja g ovat jatkuvia, mutta joukko {x R f(x) = g(x)} = ]0, [ ei ole suljettu avaruudessa (R, T ). Jono topologisissa avaruuksissa määritellään kuten ennenkin: eihän jono sinällään ole topologinen tai metrinen käsite, vaan joukko-opillinen. Suppenemisen käsite on sitten toinen asia. Topologisissa avaruuksissa suppeneminen määritellään samoin kuin metrisessä tapauksessa: Määritelmä 3.11 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus ja (x n ) joukon X jono sekä a X. Sanotaan, että jono (x n ) suppenee tai konvergoi kohti pistettä a tai a on jonon (x n ) raja-arvo, jos jokaiselle a:n ympäristölle U on olemassa n 0 N siten, että x n U kaikille n n 0. Tällöin merkitään a = lim n x n. (1) Merkintä (1) voidaan kirjoittaa vaihtoehtoisesti myös muodossa a = lim x n, n x n a tai x n a. Myös jonon kasautumisarvo määritellään samoin kuin ennenkin: Määritelmä 3.12 Olkoon (X, T ) topologinen avaruus, a X ja (x n ) joukon X jono. Sanotaan, että a on jonon (x n ) kasautumisarvo, jos kaikille a:n ympäristöille U pätee x n U äärettömän monelle n N. 19

22 Huomautus 3.13 Toisin kuin metrisissä avaruuksissa (ks. lause MA 12.6) jonon raja-arvo ei ole välttämättä yksikäsitteinen. Tämän näkee helposti: minitopologiassa jokainen jono suppenee kohti jokaista pistettä. Tämä ambivalenssi tekee jonoista vähän huononlaisen apuneuvon topologisiin avaruuksiin. Lisäksi tästä aiheutuu kohtalaisen hankala merkintäongelma. Jos jonolla (x n ) on kaksi eri raja-arvoa x ja y, niin määritelmän 3.11 merkintäsopimuksien nojalla x = lim x n = y, vaikka x y. Eihän tässä kauheasti järkeä ole, mutta jotenkin näitä on merkittävä, ja yritetään nyt pärjätä tällä. Hausdorff-avaruuksissa huomautuksessa 3.13 maalailtua ikävää tilannetta ei kuitenkaan pääse syntymään. Tämän takaa seuraava lause. Lause 3.14 Hausdorff-avaruudessa jonon raja-arvo on yksikäsitteinen. Todistus. Kuten lause MA Todistusta täytyy tosin hieman muuttaa: lause MA 3.12 ei ole nyt käytettävissä, mutta se voidaan korvata Hausdorff-avaruuden määritelmällä. Lause MA yleistyy, mutta vain toiseen suuntaan: Lause 3.15 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia, a X ja f : X Y kuvaus. Jos f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva pisteessä a niin seuraava ehto pätee. Jos (x n ) on joukon X jono siten, että x n a, niin f(x n ) f(a). (1) Todistus. Kuten lauseen MA suunta. Huomautus 3.16 Lauseen MA toinen suunta ei tosiaankaan päde yleisissä topologisissa avaruuksissa eli ehto (1) ei yleensä implikoi f:n jatkuvuutta pisteessä a. Miksei lauseen MA toisen suunnan todistus sitten toimi yleisesti? Eihän siinä puhuta metriikasta mitään, mikä siis on vialla? Ensinnäkin siinä käytetään lausetta MA 6.24, mutta se ei ole ongelma, koska sen yleistys eli lause 3.4 pätee. Toiseksi käytetään lausetta MA 12.12, ja tämä on se ongelmakohta, sillä MA ei päde toiseen suuntaan yleisesti. Siis sulkeuman pistettä ei välttämättä voi lähestyä jonolla joukon sisältä. Jos nyt a sattuu olemaan jonkin joukon A sulkeumassa tällainen piste, niin lauseen 3.15 ehto (1) ei sano pisteen a kuvautumisesta yhtään mitään, jolloin se voidaan kuvata mihin tahansa, esimerkiksi sulkeuman f(a) ulkopuolelle. Silloin lauseen 3.4 mukaan f ei ole jatkuva pisteessä a. Jätetään yksityiskohdat ja konkreettisen vastaesimerkin keksiminen bonustehtäväksi. Kuten lauseissa 3.2 ja 3.5 nähtiin, jatkuvassa kuvauksessa avoimen/suljetun joukon alkukuva on aina avoin/suljettu. Sama ei päde kuvajoukolle, tämähän todettiin jo huomautuksessa MA 4.11 ja lauseen MA 6.25 jälkeisessä huomautuksessa. Sellaisia kuvauksia, joille avoimen/suljetun joukon kuva on avoin/suljettu, on kuitenkin olemassa. Annetaan niille oikein oma nimi: 20

23 Määritelmä 3.17 Olkoot (X), T X ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f : (X, T X ) (Y, T Y ) on avoin, jos jokaisen avaruudessa (X, T X ) avoimen joukon A kuvajoukko f(a) on avoin avaruudessa (Y, T Y ). Vastaavasti sanotaan, että f on suljettu, jos jokaisen avaruudessa (X, T X ) suljetun joukon A kuvajoukko f(a) on suljettu avaruudessa (Y, T Y ). Esimerkki. Koska suljettu joukko on avoimen joukon komplementti, niin äkkiä ajatellen voisi luulla, että jos kuvaus on avoin, niin se on myös suljettu ja päin vastoin. Näin onkin bijektiolle, muttei yleensä. Tämä näkyy seuraavista esimerkeistä. Näissä X = Y = R ja T X = T Y on R:n itseisarvotopologia. Huomaa, että nämä kaikki esimerkkikuvaukset ovat jatkuvia. a) f : R R, f(x) = e x on avoin, mutta ei ole suljettu. b) f : R R, f(x) = x 2 on suljettu, mutta ei ole avoin. c) f : R R, f(x) = 1 1+ x ei ole avoin eikä suljettu. d) f : R R, f(x) = x on sekä avoin että suljettu. Homeomorfismi määritellään kuten metrisissä avaruuksissa: Määritelmä 3.18 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y bijektio, jolloin siis on olemassa käänteiskuvaus f 1 : Y X. Sanotaan, että f on homeomorfismi, jos sekä f : (X, T X ) (Y, T Y ) että f 1 : (Y, T Y ) (X, T X ) ovat jatkuvia. Jos on olemassa (jokin) homeomorfismi f : (X, T X ) (Y, T Y ), niin sanotaan, että topologiset avaruudet (X, T X ) ja (Y, T Y ) ovat homeomorfisia. Tällöin merkitään (X, T X ) (Y, T Y ) (tai lyhyesti X Y, jos on varma tieto siitä, mitä topologioita tarkoitetaan). Muussa tapauksessa (siis jos tällaista homeomorfismia ei ole olemassa) merkitään (X, T X ) (Y, T X ). Heti saadaan seuraava tulos. Lause 3.19 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y bijektio. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. Todistus. Harjoitustehtävä. f on homeomorfismi. f on jatkuva ja avoin. f on jatkuva ja suljettu. Metristä homeomorfismia käsittelevät lauseet MA yleistyvät kaikkiin topologisiin avaruuksiin. Kirjataan ne vielä muistiin yleisemmin muotoiltuina. Lause 3.20 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Tällöin f on homeomorfismi jos ja vain jos f on bijektio ja pätee f(t X ) = T Y. (1) 21

24 Todistus. Kuten lause MA 9.4. Lause 3.21 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y homeomorfismi. Tällöin pätee seuraavaa. a) Joukko U X on avoin avaruudessa (X, T X ) jos ja vain jos f(u) on avoin avaruudessa (Y, T Y ). b) Joukko U X on pisteen a X ympäristö avaruudessa (X, T X ) jos ja vain jos f(u) on pisteen f(a) ympäristö avaruudessa (Y, T Y ). c) Joukko V X on suljettu avaruudessa (X, T X ) jos ja vain jos f(v ) on suljettu avaruudessa (Y, T Y ). Todistus. Kuten lause MA 9.5. Lause 3.22 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia, A X ja f : X Y homeomorfismi. Tällöin Todistus. Kuten lause MA 9.6. a) f(a) = f(a), b) f(int(a)) = int(f(a)), c) f(ext(a)) = ext(f(a)) ja d) f( A) = f(a). Lause 3.23 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia, a A X ja f : X Y homeomorfismi. Tällöin a on joukon A erakkopiste jos ja vain jos f(a) on joukon f(a) erakkopiste. Todistus. Kuten lause MA 9.7. Lause 3.24 Olkoot (X, T X ), (Y, T Y ) ja (Z, T Z ) topologisia avaruuksia ja f : X Y homeomorfismi. Olkoon lisäksi g : Y Z jokin kuvaus. Tällöin g : (Y, T Y ) (Z, T Z ) on jatkuva jos ja vain jos g f : (X, T X ) (Z, T Z ) on jatkuva. Todistus. Kuten lause MA 9.8. Lause 3.25 Olkoot (X, T X ), (Y, T Y ) ja (Z, T Z ) topologisia avaruuksia ja f : X Y homeomorfismi. Olkoon lisäksi g : Z X jokin kuvaus. Tällöin g : (Z, T Z ) (X, T X ) on jatkuva jos ja vain jos f g : (Z, T Z ) (Y, T Y ) on jatkuva. Todistus. Kuten lause MA 9.9. Kuvauksen avoimuudelle saadaan seuraava, vähän määritelmää käyttökelpoisempi ehto. 22

25 Lause 3.26 Olkoot (X, T X ) ja (Y, T Y ) topologisia avaruuksia ja f : X Y kuvaus. Olkoon B X topologian T X kanta ja oletetaan, että f(b) T Y kaikille B B X. Tällöin kuvaus f on avoin. Todistus. Olkoon U T X mielivaltainen. Avoimen kuvauksen määritelmän nojalla riittää osoittaa, että f(u) T Y. (1) Koska B X on topologian T X kanta, niin on olemassa joukkoperhe {B α } α I siten, että Oletuksen ja ehdon (3) nojalla pätee U = α I B α ja (2) B α B X kaikille α I. (3) f(b α ) T Y kaikille α I. (4) Tällöin saadaan ( ) f(u) = i) ii) f B α = f(b α ) iii) T Y, α I α I joten väite (1) pätee. Tässä yhtälö i) saadaan ehdosta (2), yhtälö ii) on alkeisjoukkooppia ja ehto iii) seuraa ehdosta (4), koska T Y on topologia. Jatkoa varten kirjataan tähän luvun loppuun vielä pari metristä tulosta. Näitä ei voi vielä yleisesti (eli yleisissä topologisissa avaruuksissa muotoiltuina) esittää, koska kompaktisuutta ei ole vielä edes määritelty muualla kuin metrisissä avaruuksissa. Toinen asia on sitten se, että pätevätkö nämä tulokset yleisesti. Tähän kysymykseen palataan vasta luvussa 15. Lause 3.27 Olkoot (X,d) ja (Y,d ) metrisiä avaruuksia ja oletetaan, että X on kompakti. Olkoon f : (X,d) (Y,d ) jatkuva kuvaus. Tällöin f on myös suljettu. Todistus. Olkoon A X suljettu avaruudessa (X,d). Pitää osoittaa, että f(a) on suljettu avaruudessa (Y,d ). Koska A on suljettu ja X kompakti, niin lauseen MA 15.5 nojalla A on kompakti. Koska f on jatkuva, niin tällöin lauseen MA nojalla f(a) on kompakti. Väite seuraa silloin lauseesta MA Lause 3.28 Olkoot (X,d) ja (Y,d ) metrisiä avaruuksia ja oletetaan, että X on kompakti. Olkoon f : (X,d) (Y,d ) jatkuva bijektio. Tällöin f on homeomorfismi. Todistus. Väite seuraa lauseesta MA

26 4 Kuvauksen indusoima topologia Lause 4.1 Olkoon X jokin epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y mielivaltainen kuvaus. Tällöin joukkoperhe on X:n topologia. Todistus. Harjoitustehtävä. T X := {f 1 (V )} V TY Määritelmä 4.2 Olkoot X, (Y, T Y ) ja f kuten lauseessa 4.1. Sanotaan, että lauseen 4.1 topologia T X on kuvauksen f topologiasta T Y indusoima X:n topologia. Lause 4.3 Olkoon X epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y kuvaus. Varustetaan X kuvauksen f topologiasta T Y indusoimalla topologialla T X. Tällöin kuvaus f : (X, T X ) (Y, T Y ) on jatkuva. Todistus. Tämä seuraa suoraan topologian T X määritelmästä ja lauseesta 3.2. Lause 4.4 Olkoon X epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y kuvaus. Tällöin kuvauksen f topologiasta T Y indusoima topologia T X on karkein X:n topologia T, jolle kuvaus f : (X, T ) (Y, T Y ) on jatkuva. Todistus. Oletetaan, että T on X:n topologia siten, että kuvaus f : (X, T ) (Y, T Y ) on jatkuva. Lauseen 4.3 perusteella riittää osoittaa, että T X on karkeampi kuin T, eli että pätee T X T. Olkoon tätä varten U T X mielivaltainen. Riittää osoittaa, että U T. (1) Topologian T X määritelmän nojalla on olemassa V T Y siten, että U = f 1 (V ). (2) Koska V T Y ja f : (X, T ) (Y, T Y ) on oletuksen mukaan jatkuva, niin lauseen 3.2 nojalla f 1 (V ) T. Väite (1) seuraa tällöin esityksestä (2). Lause 4.5 Olkoon X epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y bijektio. Varustetaan X kuvauksen f topologiasta T Y indusoimalla topologialla T X. Tällöin kuvaus f : (X, T X ) (Y, T Y ) on homeomorfismi. 24

27 Todistus. Lauseen 4.3 nojalla f on jatkuva, jolloin bijektiivisyysoletuksen ja lauseen 3.19 perusteella riittää osoittaa, että f on avoin. Olkoon siis U T X mielivaltainen. Riittää osoittaa, että f(u) T Y. (1) Koska U T X, niin topologian T X määritelmän nojalla on olemassa V T Y siten, että U = f 1 (V ). (2) Koska f on bijektio, niin f(f 1 (V )) = V T Y, joten väite (1) seuraa esityksestä (2). Seuraava lause kertoo kuvauksen indusoiman topologian tietynlaisesta transitiivisuudesta: jos g indusoi T :stä T :n ja f indusoi T :sta T :n, niin g f indusoi T :stä T :n. Lause 4.6 Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja, (Z, T Z ) topologinen avaruus sekä f : X Y ja g : Y Z kuvauksia. Olkoon lisäksi T Y kuvauksen g : Y Z topologiasta T Z indusoima Y :n topologia, T 1 X kuvauksen f : X Y topologiasta T Y indusoima X:n topologia ja T 2 X kuvauksen g f : X Z topologiasta T Z indusoima X:n topologia. Tällöin pätee T 1 X = T 2 X. Todistus. Väite saadaan seuravasta ekvivalenssiketjusta. U T 2 X U = (g f) 1 (W) jollekin W T Z i) U = f 1 (g 1 (W)) jollekin W T Z U = f 1 (V ) jollekin V T Y U T 1 X. Nämä seuraavat suoraan määritelmästä 4.2 lukuunottamatta ekvivalenssia i), joka on alkeisjoukko-oppia. Jonkin kuvauksen indusoimassa topologiassa siis avoimia joukkoja ovat täsmälleen avointen joukkojen alkukuvat. Vastaava pätee suljetuille joukoille: Lause 4.7 Olkoon X epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y kuvaus. Varustetaan X kuvauksen f topologiasta T Y indusoimalla topologialla T X. Tällöin joukko B X on suljettu avaruudessa (X, T X ) jos ja vain jos on olemassa avaruudessa (Y, T Y ) suljettu joukko C siten, että B = f 1 (C). Todistus. Jos B on suljettu, niin X \ B on avoin. Silloin on olemassa avoin A Y siten, että X \ B = f 1 (A). Koska A on avoin, niin C := Y \ A 25

28 on suljettu ja joten väite seuraa. f 1 (C) = f 1 (Y \ A) = X \ f 1 (A) = X \ (X \ B) = B, Väitteen tämä suunta seuraa lauseista 4.3 ja 3.2. Lause 4.8 Olkoon X epätyhjä joukko, (Y, T Y ) topologinen avaruus ja f : X Y kuvaus. Varustetaan X kuvauksen f topologiasta T Y indusoimalla topologialla T X. Tällöin kaikille A X pätee A = f 1 (f(a)). Todistus. Lauseen 1.11 mukaan sulkeuma f(a) on suljettu, joten lauseiden 3.5 ja 4.3 nojalla f 1 (f(a)) on suljettu. (1) Koska f(a) f(a), niin alkeisjoukko-opin perusteella A f 1 (f(a)) f 1 (f(a)). (2) Lauseen 1.12 sekä ehtojen (1) ja (2) nojalla pätee A f 1 (f(a)). Tällöin väite seuraa, jos osoitetaan, että f 1 (f(a)) A. (3) Lauseen 1.11 nojalla sulkeuma A on suljettu, jolloin lauseen 4.7 nojalla on olemassa suljettu B Y siten, että Tällöin väite (3) tulee muotoon ja tämähän seuraa, jos osoitetaan, että A = f 1 (B). f 1 (f(a)) f 1 (B), f(a) B. (4) Koska B on suljettu, niin lauseen 1.12 nojalla väite (4) seuraa, jos osoitetaan, että f(a) B. (5) Väite (5) puolestaan seuraa, jos osoitetaan, että A f 1 (B). Tässä ei ole enää mitään osoittamista, koska A A ja A = f 1 (B). 26

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3) 1.1 a) Joukkoperhe T = α I T α P(X) on topologia. Todistus. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T.

Lisätiedot

Topologian demotehtäviä

Topologian demotehtäviä Topologian demotehtäviä 31.10.2012 1.1 Olkoon X joukko ja {T α } α I epätyhjä (eli I ) perhe X:n topologioita. Ovatko joukot T α P(X) ja/tai T α P(X) α I välttämättä X:n topologioita? Tässä on ehkä syytä

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause

Lisätiedot

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Metristyvät topologiset avaruudet

Metristyvät topologiset avaruudet TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Arttu Ojanperä Metristyvät topologiset avaruudet Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tammikuu 2016 Tampereen Yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö OJANPERÄ,

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA Arttu Ojanperä (Eero Hyryn luentojen mukaan) 2013 Sisältö 1 Johdanto 4 1 Jatkuvat kuvaukset........................ 4 2 Avoimet joukot..........................

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

Kompaktien pintojen luokittelu. Inkeri Sundqvist

Kompaktien pintojen luokittelu. Inkeri Sundqvist Kompaktien pintojen luokittelu Inkeri Sundqvist 10.9.2013 Sisältö 1 Perusteita 5 1.0.1 Homeomorfismi.............................. 9 1.0.2 Relatiivitopologia............................. 11 1.0.3 Kompaktius................................

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka

Lisätiedot

Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa

Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Antti Karvinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2016 Tiivistelmä: Antti Karvinen, Yleistettyjen jonojen

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Kompaktisuus ja kompaktisointi

Kompaktisuus ja kompaktisointi Kompaktisuus ja kompaktisointi Mikko Salo Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2017 Tiivistelmä: Mikko Salo, Kompaktisuus ja kompaktisointi matematiikan

Lisätiedot

Metriset avaruudet 2017

Metriset avaruudet 2017 Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).

Lisätiedot

Johdatus topologiaan (4 op)

Johdatus topologiaan (4 op) 180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

1 Normiavaruudet 1. 2 Metriikka 8. 4 Jatkuvat kuvaukset Jatkuva kuvaus normiavaruuteen Suljetut joukot ja sulkeuma 35

1 Normiavaruudet 1. 2 Metriikka 8. 4 Jatkuvat kuvaukset Jatkuva kuvaus normiavaruuteen Suljetut joukot ja sulkeuma 35 Sisältö 1 Normiavaruudet 1 2 Metriikka 8 3 Avoimet joukot ja ympäristöt 16 4 Jatkuvat kuvaukset 22 5 Jatkuva kuvaus normiavaruuteen 28 6 Suljetut joukot ja sulkeuma 35 7 Relatiivitopologia 50 8 Sisä- ulko-

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

PARAKOMPAKTIT AVARUUDET JA SMIRNOVIN METRISTYVYYSLAUSE

PARAKOMPAKTIT AVARUUDET JA SMIRNOVIN METRISTYVYYSLAUSE PARAKOMPAKTIT AVARUUDET JA SMIRNOVIN METRISTYVYYSLAUSE PRO GRADU -TUTKIELMA HELSINGIN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS SAKU SNICKER OHJAAJA: ERIK ELFVING HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu. Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Kalle

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta). Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1,

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, 15.9.2014 1. Hahmottele tasossa seuraavat relaatiot: a) R 1 = {(x, y) R 2 : x y 2 } b) R 2 = {(x, y) R 2 : y x Z} c) R 3 = {(x, y) R 2 : y > 0 and x 2

Lisätiedot

April 29, Huom. Laskariryhmä 1 peruuntuu myös ma 15.2.

April 29, Huom. Laskariryhmä 1 peruuntuu myös ma 15.2. Topo I, kevään 2010 luentopäiväkirja April 29, 2010 Tähän luentopäiväkirjaan kirjataan lyhyesti jälkikäteen kullakin luennolla käsitellyt asiat ja vastaava kohta kirjassa Jussi Väisälä: Topologia I, 4.

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

KVASIKONVEKSISUUS TASOSSA. 1. Johdanto

KVASIKONVEKSISUUS TASOSSA. 1. Johdanto KVASIKONVEKSISUUS TASOSSA MATTI-PETTERI RAJAHONKA Tiivistelmä. Kvasikonveksit alueet osoitetaan Jordan-käyrä-alueiksi. Kvasikonvekseille alueille, joilla on äärellinen määrä reunan komponentteja, saadaan

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Tehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2

Tehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2 Tehtävä 0 : Kuvassa Etelä-Amerikan valtioita vastaavat solmut on sijoitettu toisiinsa nähden niiden pääkaupunkien keskinäistä sijaintia vastaavalla tavalla. Kuvioon on joukon {0,, 2, 3 alkioilla merkitty

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

STONEN ESITYSLAUSE. Teemu Pirttimäki. Pro gradu -tutkielma Elokuu 2017 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO

STONEN ESITYSLAUSE. Teemu Pirttimäki. Pro gradu -tutkielma Elokuu 2017 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO STONEN ESITYSLAUSE Teemu Pirttimäki Pro gradu -tutkielma Elokuu 2017 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos PIRTTIMÄKI, TEEMU: Stonen

Lisätiedot

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z

Lisätiedot

TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa

TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa Heikki Junnila TOPOLOGISET RYHMÄT I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa 1. Määritelmä, perusominaisuuksia..... 1 2. Aliryhmät ja tekijäryhmät. Jatkuvat homomorfismit. Tulot..... 13 3. Yhtenäisyys ja epäyhtenäisyys

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot