TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa"

Transkriptio

1 Heikki Junnila TOPOLOGISET RYHMÄT I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa 1. Määritelmä, perusominaisuuksia Aliryhmät ja tekijäryhmät. Jatkuvat homomorfismit. Tulot Yhtenäisyys ja epäyhtenäisyys topologisissa ryhmissä Pituusfunktiot II Lokaalisti kompaktien ryhmien yleistä teoriaa 5. Perusominaisuuksia Jatkuvat homomorfismit ja pituusfunktiot...54 III Kompaktin ryhmän invariantti integraali. Peter Weylin lause. 7. Integraalin olemassaolo ja yksikäsitteisyys Lineaariset ryhmät ja topologisten ryhmien esitykset Peter-Weylin lause. a) Sisätuloavaruuksien operaattoreista...80 b) Peter Weylin lause ja sen sovellutuksia...88 IV Kommutatiivisten lokaalisti kompaktien ryhmien dualiteettiteoriaa. 10. Karakteerit ja duaaliryhmät. Johdatusta dualiteettiteoriaan Kompaktien ryhmien ja diskreettien ryhmien välinen dualiteetti. a) Diskreetin ryhmän karakteeriryhmä b) Stone-Weierstrassin lause ja kompaktin ryhmän karakteeriryhmä c) Dualiteettilause kompakteille ja diskreeteille toporyhmille Lokaalisti kompaktien kommutatiivisten ryhmien rakenne. a) Itseduaaleja toporyhmiä b) Rakennelauseita Dualiteettilause ja sen seurauksia Liite: Ascolin lause

2

3 I. Topologisten ryhmien yleistä teoriaa 1. Määritelmä. Perusominaisuuksia 1.1 Määritelmä Olkoon (G, ) ryhmä. Joukon G topologia τ on ryhmän (G, ) ryhmätopologia, mikäli on voimassa: a) (G, ) on ryhmä. b) (G, τ) on topologinen avaruus. c) (x, y) x y on jatkuva kuvaus (G, τ) (G, τ) (G, τ). d) x x 1 on jatkuva kuvaus (G, τ) (G, τ). Topologinen ryhmä on kolmikko (H,, π), missä (H, ) on ryhmä ja π on ryhmän (H, ) ryhmätopologia. Lyhennyksiä: toporyhmä = topologinen ryhmä. Kun sekaannuksen vaaraa ei ole, käytetään ilmauksen toporyhmä (G,, τ) asemasta ilmausta toporyhmä G. 1.2 Esimerkkejä topologisista ryhmistä: 3 o (G,, δ), missä (G, ) on mielivaltainen ryhmä ja δ on joukon G diskreetti topologia. 1 o (R, +, τ), missä τ on R:n tavallinen (euklidinen) topologia. 2 o (Q, +, τ ), missä τ on Q:n relatiivitopologia esimerkin 1 o topologian τ suhteen. 4 o (T,, τ), missä T = {z C : z = 1}, merkitsee kompleksilukujen kertolaskua ja τ euklidista topologiaa. 5 o (GL(n, C),, τ), missä GL(n, C) on kaikkien n n säännöllisten (= kääntyvien ) C kertoimisten matriisien joukko, on matriisien kertolaskun merkki ja τ saadaan C n2 :n topologiasta identifikaatiolla a 1,1 a 1,n.. (a 11,..., a 1n, a 21,..., a n1,..., a nn ). a n,1 a n,n 1

4 Vastaesimerkkejä : 1 o (R, +, π), missä π:lla on kantana perhe {[x, x + ε) : x R ja ε > 0}. Nähdään helposti, että kuvaus (x, y) x + y on jatkuva, mutta kuvaus x x on epäjatkuva. 2 o (R, +, ρ), missä ρ on saatu laajentamalla R:n tavallista topologiaa siten, että piste 0 tulee eristetyksi. Nähdään, että kuvaus x x on jatkuva, mutta kuvaus (x, y) x+y on epäjatkuva. 1.3 Merkintöjä: Olkoon (G, ) ryhmä ja olkoot A ja B G:n osajoukkoja. Merkitään AB = {a b : a A &b B}. Edelleen, merkitään A 1 = A, A 2 = AA ja yleisesti A n+1 = A n A. Merkitään A 1 = {a 1 : a A}. Kun g G, niin merkitään ga = {g}a ja Ag = A{g}. Jos G:n operaatiomerkkinä on +, kirjoitetaan A + B, na, A, g + A, jne. Merkitään inv:llä kuvausta x x 1 G:ltä G:lle. Jokaisella n > 1, merkitään op n :llä kuvausta (x 1,..., x n ) x 1 x n G n :ltä G:lle. 1.4 Lemma Kaikilla A 1,...A n G on voimassa A 1 1 = inv(a 1 ) ja A 1 A 2 A n = op n (A 1 A 2 A n ). 1.5 Lemma Olkoot x 1,..., x n toporyhmän G alkioita ja olkoon O sellainen G:n avoin osajoukko, että on voimassa x 1 x n O. Tällöin on olemassa sellaiset G:n avoimet osajoukot U 1,..., U n, että U 1 U n O ja jokaisella i n pätee, että x i U i. Todistus. Induktiolle luvun n suhteen. Jos n = 1, niin väite on triviaalisti voimassa. Oletetaan väite todistetuksi arvolla n = k. Olkoon G:n alkioille x 1,..., x k+1 voimassa x 1 x k+1 O. Koska op 2 on toporyhmän määritelmän nojalla jatkuva kuvaus G G G, on joukko op 1 2 (O) G G:n avoin osajoukko. On voimassa op 2(x 1 x k, x k+1 ) O, joten (x 1 x k, x k+1 ) op 1 2 (O). Joukon op 1 2 (O) avoimuuden ja tulotopologian määritelmän nojalla on olemassa sellaiset G:n avoimet osajoukot U ja V, että x 1 x k U, x k+1 V ja U V op 1 2 (O). Koska on voimassa U V op 1 2 (O), niin pätee, että UV = op 2 (U V ) O. Koska joukko U on avoin ja x 1 x k U, niin induktio oletuksen nojalla on olemassa sellaiset avoimet joukot U i G, i = 1,..., k, että U 1 U k U ja x i U i jokaisella i = 1,..., n. Merkitään U k+1 = V. Tällöin U 1 U k+1 = (U 1 U k )V UV O ja jokaisella i k + 1 on voimassa x i U i. 2

5 Lemmojen 1.4 ja 1.5 nojalla on voimassa 1.6 Lause Kun G on toporyhmä, niin op n on jatkuva kuvaus G n G jokaisella n 1. Yllä olevasta tuloksesta seuraa, että kaikki kuvaukset, jotka saadaan kertomalla keskenään toporyhmän alkioita tai niiden käänteisalkioita, ovat jatkuvia: 1.7 Korollaari Olkoon G toporyhmä. Olkoot x 1,..., x n muuttujasymboleita ja olkoot y 1,..., y k joukon {x 1,..., x n } G alkioita. Olkoot ǫ 1,..., ǫ k joukon { 1, 1} alkioita. Tällöin on jatkuva kuvaus G n G. (x 1,..., x n ) y ǫ 1 1 yǫ 2 2 yǫ k k Todistus. Määritellään kuvaus f : G n G k asettamalla f(x 1,..., x n ) = (y ǫ 1 1, yǫ 2 2,..., yǫ k k ). Kuvaus f on jatkuva, koska jokaisella i k, komponenttikuvaus (x 1,..., x n ) y ǫ i i on joko vakiokuvaus (kun y i G), projektiokuvaus (x 1,..., x n ) x l (kun y i = x l ja ǫ i = 1) tai projektion ja jatkuvan kuvauksen inv yhdistetty kuvaus (x 1,..., x n ) x 1 l (kun y i = x l ja ǫ i = 1). Korollaarissa mainitun kuvauksen jatkuvuus seuraa nyt Lauseen 1.6 nojalla, koska mainittu kuvaus voidaan esittää muodossa op k f. Seuraavassa Korollaarin 1.7 tulosta käytetään usein ilman eri mainintaa, korkeintaan todetaan jonkun funktion olevan jatkuva ryhmäoperaatioiden jatkuvuuden nojalla. Näytetään seuraavaksi, että jokaisessa toporyhmässä on runsaasti itseishomeomorfismeja. 1.8 Lause Olkoot g ja h toporyhmän G alkioita. Tällöin kuvaukset x x 1 ja x gxh ovat surjektiivisia homeomorfismeja G G. Todistus. Kuvausten jatkuvuus seuraa Korollaarista 1.7. Kuvaukset ovat bijektioita G G, koska niillä on käänteiskuvaukset x x 1 ja x g 1 xh 1. Myös käänteiskuvausten jatkuvuus seuraa Korollaarista 1.7. Erityisesti, G:n oikean ja vasemmanpuoliset siirrot eli translaatiot x xg ja x gx sekä G:n sisäiset automorfismit x gxg 1 ovat homeomorfismeja. 1.9 Korollaari Jos E on toporyhmän G avoin (suljettu) osajoukko ja g, h G, niin joukot E 1 ja geh ovat avoimia (suljettuja). 3

6 1.10 Korollaari Olkoot A, B ja U G:n osajoukkoja. Jos U on avoin, niin joukko AUB on avoin. Todistus. Tämä seuraa edellisen korollaarin tuloksesta, koska AUB = {aub : a A ja b B}. Topologisen avaruuden X osajoukon A sulkeumaa merkitään joko A, ClA tai Cl X A ja sisäosaa joko A, IntA tai Int X A Korollaari Olkoon A G:n osajoukko ja g, h G:n alkioita. Tällöin A 1 = A 1, gah = gah, (A ) 1 = (A 1 ) ja ga h = (gah). Todistus. Tämä seuraa Lauseen 1.8 tuloksesta, sillä jokaiselle surjektiiviselle homeomorfismille f : G G pätee, että f(a) = f(a) ja f(a) = f(a ). Kun P on jokin algebrallinen (topologinen) ominaisuus, niin toporyhmällä (G,, τ) (lyhyesti, toporyhmällä G) sanotaan olevan ominaisuus P, mikäli ryhmällä (G, ) (topologisella avaruudella (G, τ)) on ominaisuus P. POIKKEUS: Ilmaisu normaali aliryhmä viittaa aina aliryhmään, joka on algebrallisessa mielessä normaali (eli invariantti) eikä aliryhmään, joka on aliavaruutena topologisessa mielessä normaali Korollaari Olkoon e toporyhmän G neutraalialkio. Tällöin G on T 1 toporyhmä jos ja vain jos G:n osajoukko {e} on suljettu. Todistus. Jos G on T 1, niin joukko {e} on suljettu. Jos taas {e} on suljettu joukko, niin Korollaarin 1.11 nojalla jokainen joukko {g}, missä g G, on suljettu, koska {g} = g{e} = g{e} = g{e} = {g} Määritelmä Joukon A osajoukkojen perhe F on filtterikanta joukolla A, mikäli 1 / F ja 2 kaikilla F, H F on olemassa sellainen E F, että E F H. Perhe F on filtteri joukolla A, jos F toteuttaa ehdot 1 ja 2 sekä lisäksi ehdon 3 : jos F F ja F B A, niin tällöin B F. Filtterin F osaperhe H on F :n kanta, mikäli on voimassa F = {B A : sellainen H H, että H B}. Nähdään helposti, että filtterin jokainen kanta on filtterikanta. Topologisen avaruuden X pisteen x ympäristöfiltteri on perhe {B X : x B }; tästä filtteristä käytetään merkintää η x (X) tai, milloin sekaannuksen vaaraa ei ole, merkintää η x. Filtterin η x kantoja kutsutaan pisteen x ympäristökannoiksi. 4

7 Ryhdytään nyt tarkastelemaan toporyhmien pisteiden ympäristökantoja. Ensimmäinen tulos osoittaa, että riittää tarkastella neutraalialkion e ympäristökantoja sekä että jokainen e:n ympäristökanta määrää ryhmätopologian yksikäsitteisesti Lause Olkoon U perhe toporyhmän G osajoukkoja ja olkoon g G:n alkio. Tällöin seuraavat ehdot ovat keskenään yhtäpitävät: a) U on e:n ympäristökanta. b) {U 1 : U U} on e:n ympäristökanta. c) {gu : U U} on g:n ympäristökanta. d) {Ug : U U} on g:n ympäristökanta. Todistus. Lause 1.8 ja huomio, että homeomorfismi vie pisteen ympäristökannan kuvapisteen ympäristökannaksi. Seuraavassa lauseessa karakterisoidaan niitä perheitä, jotka voivat esiintyä jossain ryhmätopologiassa ryhmän neutraalialkion ympäristökantoina. Todistetaan aluksi 1.15 Lemma Olkoon U toporyhmän G neutraalialkion ympäristökanta. Tällöin on voimassa: a) Jokaisella U U on olemassa sellainen V U, että V 2 U. b) Jokaisella U U on olemassa sellainen V U, että V 1 U. c) Kaikilla U U ja g G on olemassa sellainen V U, että gv g 1 U. Todistus. Olkoon U perheen U joukko. a) Koska e e U ja koska op 2 on jatkuva kuvaus, on olemassa sellaiset e:n ympäristöt O ja W, että OW = op 2 (O W) U. Valitaan V U siten, että on voimassa V O W. Tällöin V 2 OW U. b) Tämä seuraa suoraan Lauseesta c) Olkoon g G:n piste. Määritellään kuvaus f : G G kaavalla f(x) = gxg 1. Kuvaus f on Lauseen 1.8 nojalla jatkuva. Koska f(e) = e ja U η e, on voimassa f 1 (U) η e. Olkoon joukolle V U voimassa V f 1 (U). Tällöin f(v ) U eli gv g 1 U Lause Olkoon G ryhmä ja olkoon U sellainen filtterikanta joukolla G, että Lemman 1.15 ehdot a), b) ja c) toteutuvat. Tällöin on olemassa yksi ja vain yksi sellainen G:n ryhmätopologia τ, että U on G:n neutraalialkion ympäristökanta topologiassa τ. 5

8 Todistus. Topologian yksikäsitteisyys seuraa Lauseen 1.14 tuloksesta, joten riittää näyttää olemassaolo. Näytetään aluksi, että on voimassa e U. Olkoon U perheen U joukko. Ehtojen a) ja b) voimassaolosta seuraa, että on olemassa sellaiset joukot V, W U, että V 2 U ja W 1 V. Koska U on filtterikanta, on voimassa V W. Olkoon g joukon V W alkio. Tällöin g 1 W 1 V, joten e = g g 1 V 2 U. Merkitään τ = {O G : x O U U s.e. xu O}. Näytetään, että τ on G:n topologia. Selvästikin, G τ ja τ. Nähdään myös helposti, että τ on suljettu yhdistysten suhteen. Osoitetaan, että τ on suljettu äärellisten leikkausten suhteen. Olkoot O 1,..., O n perheen τ joukkoja ja O = n i=1 O i. Olkoon x joukon O piste. Jokaisella i n, koska x i τ, on olemassa sellainen U i U, että xu i O i. Koska U on filtterikanta, on olemassa sellainen U U, että U n i=1 U i. Nyt on voimassa xu n i=1 xu i n i=1 O i = O. On näytetty, että τ on G:n topologia. Pannaan merkille, että topologialla τ on seuraava ominaisuus: kaikilla O τ ja g G on voimassa go τ. Tämä pätee, koska x go g 1 x O U U s.e. g 1 xu O eli s.e. xu go. Näytetään, että U on η e (G, τ):n kanta. Jos E η e (G, τ), niin e Int τ E, joten τ :n määrittelyn nojalla on olemassa sellainen U U, että U = eu Int τ E E. Kääntäen, olkoon U perheen U joukko. Merkitään W = {x G : V U s.e. xv U}. Tällöin e W U. Näytetään, että W τ. Olkoon x W :n piste. Tällöin on olemassa sellainen V U, että xv U. Edelleen, on olemassa sellainen P U, että P 2 V. On voimassa xp W, sillä jokaiselle y xp pätee, että yp xp 2 xv U. Täten W τ. On näytetty, että U on η e (G, τ):n kanta. Näytetään lopuksi, että τ on G:n ryhmätopologia. Olkoon W τ :n joukko ja olkoot x ja y sellaisia G:n pisteitä, että on voimassa xy W. Tällöin on olemassa sellainen U U, että xyu 2 W. Edelleen, on olemassa sellainen V U, että y 1 V y U eli V yuy 1. On voimassa xv yu x ( yuy 1) yu = xyu 2 W. Koska V, U η e (G, τ), on aikaisemmin osoitetun nojalla voimassa xv η x (G, τ) ja yu η y (G, τ). On näytetty, että kuvaus (x, y) xy on jatkuva. 6

9 Sen osoittamiseksi, että kuvaus x x 1 on jatkuva, riittää näyttää, että W 1 τ jokaisella W τ. Olkoon W perheen τ joukko ja olkoon x joukon W 1 piste. Tällöin x 1 W, joten on olemassa sellainen U U, että x 1 U W. Edelleen, on olemassa sellaiset joukot V, R U, että V 1 U ja xrx 1 V. Nyt on voimassa xr V x = ( x 1 V 1) 1 ( x 1 U ) 1 W 1. On näytetty, että W 1 τ Esimerkki Olkoon G ryhmä ja olkoon U sellainen filtterikanta G:llä, että jokainen U :n jäsen on G:n normaali aliryhmä. Tällöin U toteuttaa Lemman 1.15 ehdot a) c), joten U on e:n ympäristökanta jossain G:n ryhmätopologiassa. Lauseen 1.14 tulos osoitti, että toporyhmän pisteelle g voidaan konstruoida ympäristökantoja neutraalialkion ympäristökantojen avulla. Esitetään vielä yksi tällainen konstruktio Lemma Olkoon g toporyhmän G piste. Tällöin perhe {UgU : U η e (G)} on g:n ympäristökanta. Todistus. Jokaiselle U η e pätee, että Ug UgU, joten UgU η g, Lauseen 1.14 nojalla. Olkoon nyt annettuna O η g. Määritellään kuvaus f : G 2 G kaavalla f(x, y) = xgy; f on Korollaarin 1.7 nojalla jatkuva. Koska f(e, e) = g IntO, on olemassa sellaiset joukot V, W η e, että f(v W) O eli V gw O. Kun valitaan U η e siten, että on voimassa U V W, niin on voimassa UgU O. Seuraavassa lauseessa esitetään lausekkeita toporyhmän osajoukon sulkeumalle Lause Toporyhmän G osajoukolle A pätee, että A = UA = U η e AU = UAU. U η e U η e Todistus. Näytetään aluksi, että A U η e UA ja A U η e AU. Olkoon x joukon A piste ja U perheen η e joukko. Lemman 1.15 nojalla on olemassa sellainen V η e, että V 1 U. Koska x A, on voimassa (xv ) A ja (V x) A. Täten on olemassa sellaiset joukon V pisteet v ja w, että xv A ja wx A. Nyt on voimassa x = (xv)v 1 AV 1 AU ja x = w 1 (wx) V 1 A UA. On näytetty, että A UA ja A AU. 7

10 Koska jokaiselle U η e pätee, että UA UAU ja AU UAU, on todistus suoritettu kunhan osoitetaan, että U η e UAU A. Tehdään vastaväite: on olemassa piste x U η e UAU \ A. Tällöin G \ A η x, joten Lemman 1.18 nojalla on olemassa sellainen U η e, että UxU A =. Valitaan V η e siten, että V 1 U. Oletuksen nojalla x V AV, joten on olemassa sellaiset pisteet v, w V ja a A, että x = vaw. Nyt on voimassa a = v 1 xw 1 V 1 xv 1 UxU, mikä on ristiriidassa sen kanssa, että UxU A =. Seuraava tulos saadaan Lauseesta 1.19 Korollaarin 1.12 nojalla Korollaari Toporyhmä G on T 1 toporyhmä jos ja vain jos η e = {e}. tuloksen. Valitsemalla Lauseessa 1.19 joukoksi A perheen η e jäsenen U, saamme seuraavan 1.21 Korollaari Jokaisella U η e on voimassa U U 2. Palautetaan mieliin, että topologisen avaruuden sanotaan olevan säännöllinen, mikäli jokaisella avaruuden pisteellä on suljettujen joukkojen muodostama ympäristökanta. Säännöllisiä T 1 avaruuksia kutsutaan T 3 avaruuksiksi Korollaari A. Jokainen toporyhmä on säännöllinen. B. Jokainen T 1 toporyhmä on Hausdorffin avaruus. Todistus. A. Olkoon G toporyhmä. Korollaarin 1.21 ja Lemman 1.15 nojalla G:n pisteellä e on suljettujen joukkojen muodostama ympäristökanta; tästä seuraa Lauseen 1.14 ja Korollaarin 1.9 nojalla, että jokaisella G:n pisteellä on suljettujen joukkojen muodostama ympäristökanta. B. Jokainen säännöllinen T 1 avaruus on Hausdorffin avaruus. Seuraavaksi esitetään eräitä toporyhmien kompakteja osajoukkoja koskevia tuloksia. Todistetaan aluksi eräs topologinen aputulos Lemma Olkoon jokaisella i = 1,..., n K i topologisen avaruuden X i kompakti osajoukko ja olkoon O sellainen tuloavaruuden n i=1 X i avoin osajoukko, että n i=1 K i O. Tällöin on olemassa sellaiset avoimet joukot O i X i, i = 1,..., n, että n i=1 K i n i=1 O i O. 8

11 Todistus. Koska O on joukon n i=1 K i jokaisen pisteen ympäristö tuloavaruudessa n i=1 X i, on jokaisella (k i ) n i=1 n i=1 X i olemassa sellaiset avoimet joukot V i X i, että (k i ) n i=1 n i=1 V i O. Tästä seuraa, koska joukko n i=1 K i on kompakti, että on olemassa sellaiset avoimet joukot V l i X i, i = 1,..., n ja l = 1,..., m, että n i=1 K i m l=1 Merkitään jokaisella i = 1,..., n ja jokaisella k K i {V l i että n n i=1 V l i O. Vk i :lla k:n avointa ympäristöä : l = 1,..., m ja k V l i }. Pannaan merkille, että jokaisella (k i) K i pätee, k i O. Merkitään jokaisella i = 1,..., n O i :llä X i :n avointa osajoukkoa {V i k : k K i } ja pannaan merkille, että K i O i. Osoitetaan, että n i=1 O i O. Olkoon (x i ) joukon n i=1 O i piste. Tällöin jokaisella i = 1,..., n on voimassa x i O i, i=1 V i joten on olemassa sellainen k i K i, että x i V i k i. On voimassa (x i ) n i=1 V i k i O. Seuraava tulos vahvistaa Lemman 1.18 tulosta Lause Olkoon K toporyhmän G kompakti osajoukko ja olkoon O sellainen G:n avoin osajoukko, että K O. Tällöin on olemassa sellainen U η e, että UKU O. Todistus. Koska op 3 on Lauseen 1.6 nojalla jatkuva kuvaus G 3 G, on joukko op 1 3 (O) G 3 :n avoin osajoukko. Koska K O, on voimassa op 3 ({e} K {e}) O eli {e} K {e} op 1 3 (O). Lemman 1.23 nojalla on olemassa sellaiset joukot V, W η e, että V K W op 1 3 (O). Olkoon joukolle U η e voimassa U V W ; tällöin U K U op 1 3 (O) eli UKU O. Seuraava tulos vahvistaa Lemman 1.15 ehtoa c) Lause Olkoon K toporyhmän G kompakti osajoukko. Tällöin on jokaisella U η e olemassa sellainen V η e, että jokaisella k K on voimassa kv k 1 U. Todistus. Määritellään kuvaus f : G 2 G kaavalla f(x, y) = xyx 1. Kuvaus f on Korollaarin 1.7 nojalla jatkuva. Olkoon U e:n avoin ympäristö. Koska f (G {e}) = {e} U, niin Lemman 1.23 tuloksen nojalla on olemassa sellainen V η e, että K V f 1 (U). Jokaisella k K on voimassa f ({k} V ) U eli kv k 1 U. Lauseen 1.25 tulos voidaan ilmaista myös seuraavasti: kun K G on kompakti ja U on e:n ympäristö, niin myös joukko k K k 1 Uk on e:n ympäristö. Seuraava esimerkki osoittaa, että vaatimus joukon K kompaktisuudesta on välttämätön Lauseessa

12 0 1 u 1.26 Esimerkki Kun x, y, z ja u ovat reaalilukuja, niin on voimassa ( 1 x 0 y 0 u) = ( 1 z+xu ) ( 0 yu ja, mikäli u > 0, 1 z ) 1 ( 1 z ) { (1 0 u = u ; täten joukko x ) } 0 y : x, y R, y > 0 muodostaa ryhmän matriisien kertolaskun suhteen. Tämän ryhmän kanssa isomorfinen ryhmä (G, ) saadaan asettamalla G = {(x, y) R 2 : y > 0} ja määrittelemällä operaatio seuraavasti: (x, y) (z, u) = (z+xu, yu). Ryhmällä (G, ) on neutraalialkiona (0, 1) ja alkiolla ( ) (x, y) on käänteisalkiona x y, 1 y. Merkitään τ :lla topologiaa, joka G:llä on euklidisen tason aliavaruutena. Nähdään helposti, että (G, ) on topologinen ryhmä. )( 1 z Joukko U = {(x, y) G : x < 1} on G:n neutraalialkion (0, 1) ympäristö. Näytetään, että jokaisella V η (0,1) on olemassa sellainen g G, että gv g 1 U. Todetaan ( ) aluksi, että kaikille (x, y), (z, u) G pätee, että (x, y) (z, u) (x, y) 1 z+xu x = y, u. Olkoon nyt V (0, 1):n ympäristö. Tällöin on olemassa sellainen ǫ > 0, että (ǫ, 1) V. Jokaisella (x, y) Gon voimassa (x, y) (ǫ, 1) (x, y) 1 ǫ ( = ), y, 1 joten valitsemalla (x, y) G siten, että ǫ y > 1, on voimassa (x, y) (ǫ, 1) (x, y) 1 / U. Seuraavaksi esitetään Korollaarien 1.9 ja 1.10 vastineet kompakteille joukoille Lause Kun K on toporyhmän G kompakti osajoukko, niin joukko K 1 on kompakti. Kun K ja C ovat kompakteja joukkoja, niin joukko KC on kompakti. Kun K on kompakti joukko ja S suljettu joukko, niin joukot KS ja SK ovat suljettuja. Todistus. Ensimmäinen väite seuraa suoraan Lauseesta 1.8. Olkoot K G ja C G kompakteja. Tällöin G G:n osajoukko K C on Tihonovin Lauseen nojalla kompakti. Joukko KC on kompakti, koska se on kompaktin joukon K C kuva jatkuvassa kuvauksessa op 2. Olkoon nyt K G kompakti ja S G suljettu. Näytetään, että joukko KS on suljettu. Olkoon x joukon G \ KS piste. Tällöin on voimassa ( K 1 x ) S = eli K 1 x G \S. Joukko G \S on avoin ja joukko K 1 x on todistuksen alkuosassa esitetyn nojalla kompakti. Lauseen 1.24 nojalla on olemassa sellainen U η e, että on voimassa ( K 1 x ) U G \ S eli ( K 1 (xu) ) S =. On voimassa (xu) (KS) = ; koska joukko xu on Lauseen 1.14 nojalla x:n ympäristö, on näytetty, että joukko KS on suljettu. Aivan vastaavasti näytetään, että joukko SK on suljettu Korollaari Kun K on toporyhmän kompakti osajoukko, niin joukko K on kompakti ja K = K{e} = {e}k. 10

13 Todistus. Joukot K{e} ja {e}k ovat edellisen lauseen nojalla suljettuja. Koska K K{e} {e}k, on voimassa K K{e} {e}k. Korollaarin 1.11 nojalla on voimassa K{e} = k K k{e} = k K {k} = k K {e}k = {e}k ; tästä seuraa, että on voimassa ( ) ( ) K{e} {e}k K. Täten K = K{e} = {e}k. Lauseen 1.19 nojalla on voimassa {e} = η e, joten joukko {e} on kompakti. Edellisen lauseen nojalla joukko K = {e}k on kompakti. Seuraava esimerkki osoittaa, että toporyhmän osajoukko F S ei välttämättä ole suljettu, vaikka sekä F että S olisivat suljettuja joukkoja Esimerkki Merkitään F = Z ja S = {n + 1 n : n Z, n > 1}. Tällöin F ja S ovat R:n suljettuja osajoukkoja, mutta joukko F + S ei ole suljettu, sillä 0 / F + S, mutta kuitenkin 0 F + S, koska 1 n F + S jokaisella n > 1. Karakterisoidaan lopuksi ryhmätopologioita. Ensimmäiseksi osoitetaan, että ryhmätopologian määritelmässä esiintyvät kaksi ehtoa voidaan korvata yhdellä ehdolla Lause Joukon G topologia π on ryhmän (G, ) ryhmätopologia jos ja vain jos kuvaus (x, y) x y 1 on jatkuva (G, π) (G, π) (G, π). Todistus. Välttämättömyys Korollaarin 1.7 nojalla. Riittävyys. Oletetaan, että kuvaus (x, y) x y 1 on jatkuva. Tällöin kuvaus y y 1 on jatkuva yhdisteenä y (e, y) y 1. Edelleen, kuvaus (x, y) (x, y 1 ) on jatkuva komponenttikuvausten jatkuvuuden nojalla; täten kuvaus (x, y) x y on jatkuva yhdisteenä (x, y) (x, y 1 ) x (y 1 ) 1. Seuraavaksi osoitetaan, että jos π on sellainen ryhmän G topologia, että G:n alkioiden määräämät siirrot ovat jatkuvia topologian π suhteen, niin ryhmätopologian määritelmän kaksi ehtoa voidaan korvata heikommilla ehdoilla. Palautetaan mieliin, että topologisten avaruuksien välinen kuvaus f : X Y on jatkuva pisteessä x X, mikäli jokaisella V η f(x) (Y ) on voimassa f 1 (V ) η x (X) Lause Olkoon (G, ) ryhmä ja olkoon π joukon G topologia. Perhe π on (G, ):n ryhmätopologia jos ja vain jos on voimassa i) Kuvaus (x, y) x y on jatkuva G G:n pisteessä (e, e). ii) Kuvaus x x 1 on jatkuva G:n pisteessä e. iii) Jokaisella g G, translaatiot x gx ja x xg ovat jatkuvia. 11

14 Todistus. Välttämättömyys Lauseen 1.8 nojalla. Riittävyys. Oletetaan, että π toteuttaa ehdot i) iii). Pannaan merkille, että ehdon iii) voimassaolosta seuraa, kuten Lauseen 1.8 todistuksessa, että translaatiot ovat homeomorfismeja G G. Merkitään U = η e (G, π). Ehdosta i) seuraa, että U toteuttaa Lemman 1.15 ehdon a) ja ehdosta ii) seuraa, että saman lemman ehto b) toteutuu. Osoitetaan, että myös Lemman 1.15 ehto c) on voimassa. Valitaan U U ja g G. Koska kuvaus x xg on homeomorfismi ja koska U η e (π), niin on voimassa Ug η g (π); tästä seuraa vastaavasti, kuvauksen x g 1 x homeomorfisuuden nojalla, että on voimassa g 1 (Ug) η e (π). Valitaan V = g 1 Ug. Tällöin V U ja gv g 1 = U. On osoitettu, että Lemman 1.15 ehto c) on voimassa. Lauseen 1.16 todistuksen nojalla perhe τ = {O G : g O U U s.e. gu O} on G:n ryhmätopologia. Koska U = η e (π), nähdään translaatioiden x gx homeomorfisuuden nojalla olevan voimassa τ = π. 12

15 2. Aliryhmät ja tekijäryhmät. Jatkuvat homomorfismit. Topologisten ryhmien tulo. Tarkastellaan nyt eräitä konstruktioita, joiden avulla voidaan muodostaa annetuista toporyhmistä lähtien uusia toporyhmiä. Osoitetaan aluksi, että toporyhmän algebrallinen aliryhmä voidaan luonnollisella tavalla tehdä toporyhmäksi. 2.1 Lause Toporyhmän aliryhmän relatiivitopologia on aliryhmän ryhmätopologia. Todistus. Olkoon (G,, τ) toporyhmä ja olkoon (H, ) ryhmän (G, ) aliryhmä. Merkitään ρ:lla H :n relatiivitopologiaa avaruudessa (G, τ) (ts. ρ = {O H : O τ}). Koska x x 1 on jatkuva kuvaus (G, τ) (G, τ), niin tämän kuvauksen rajoittuma H :hon on jatkuva kuvaus (H, ρ) (H, ρ). Koska kuvaus (x, y) x y on jatkuva kuvaus (G, τ) (G, τ) (G, τ) ja koska tuloavaruuden (H, ρ) (H, ρ) topologia on sama kuin H H :n relatiivitopologia tuloavaruudessa (G, τ) (G, τ), niin kuvauksen (x, y) x y rajoittuma joukkoon H H on jatkuva kuvaus (H, ρ) (H, ρ) (H, ρ). Kun seuraavassa puhutaan toporyhmän aliryhmästä, niin tarkoitetaan toporyhmää, joka saadaan varustamalla aliryhmä relatiivitopologiallaan. Esimerkkejä. Q on R:n aliryhmä ja Z on Q:n aliryhmä. 2.2 Lause Jos H on G:n (normaali) aliryhmä, niin H on G:n (normaali) aliryhmä. Jos G on T 1 toporyhmä ja H on G:n kommutatiivinen aliryhmä, niin H on G:n kommutatiivinen aliryhmä. Todistus. Todetaan aluksi, että kaikilla A, B G on voimassa AB AB. Joukko AB ( ) voidaan esittää muodossa op 2 A B. Koska G G:ssä pätee, että A B = A B, ja ( ) koska kuvauksen op 2 jatkuvuuden nojalla on voimassa op 2 A B op2 (A B) = AB, niin nähdään inkluusion AB AB olevan voimassa. Olkoon H G:n aliryhmä. Tällöin HH = H ja H 1 = H. Edellä esitetyn nojalla on voimassa H H HH, joten H H H ; näinollen H on suljettu G:n laskutoimituksen suhteen. Toisaalta, Korollaarin 1.11 nojalla on voimassa H 1 = H 1 ; tästä seuraa, että 13

16 H 1 = H, joten H on myös suljettu käänteisalkioiden muodostamisen suhteen. On näytetty, että H on G:n aliryhmä. Oletetaan, että aliryhmä H on normaali. Tällöin jokaiselle g G pätee, että ghg 1 = H ja näinollen, Korollaarin 1.11 nojalla, että ghg 1 = ghg 1 = H. Täten aliryhmä H on normaali. Oletetaan lopuksi, että G on T 1 toporyhmä ja aliryhmä H on kommutatiivinen. Määritellään kuvaus f : G 2 G kaavalla f(x, y) = xyx 1 y 1. Kuvaus f on Korollaarin 1.7 nojalla jatkuva. Koska G on T 1 toporyhmä, on G:n osajoukko {e} suljettu. Edellisen nojalla G G:n osajoukko f 1 ({e}) on suljettu. Koska aliryhmä H on kommutatiivinen, kaikilla x, y H on voimassa f(x, y) = e; näinollen on voimassa H H f 1 ({e}) ja edelleen H H f 1 ({e}). Koska H H = H H, on edellisen nojalla voimassa f ( H H ) = {e}. Näinollen kaikilla x, y H on voimassa xyx 1 y 1 = e eli xy = yx. On osoitettu, että G:n aliryhmä H on kommutatiivinen. 2.3 Korollaari Jos e on toporyhmän G neutraalialkio, niin {e} on G:n normaali aliryhmä. 2.4 Korollaari T 1 toporyhmä G on kommutatiivinen, mikäli G:llä on tiheä kommutatiivinen aliryhmä. Toporyhmä on monoteettinen, mikäli se on T 1 ja sillä on tiheä syklinen aliryhmä. Edellisen tuloksen nojalla jokainen monoteettinen toporyhmä on kommutatiivinen. 2.5 Esimerkki Toporyhmä T on monoteettinen. Todistus. Jokaisella n Z\{0} on olemassa ainoastaan äärellisen monta sellaista alkiota t T, että t n = 1. Koska joukko T on ylinumeroituva, on olemassa sellainen alkio s T, että jokaisella n Z \ {0} on voimassa s n 1. Osoitetaan, että s:n virittämä T:n aliryhmä H = {s n : n Z} on tiheä T:ssä. Olkoon ǫ positiiviluku. Tällöin on olemassa sellaiset luvut n N ja k N, että n < k ja s n s k < ǫ. Koska n k, niin on voimassa sn s k, sillä muussa tapauksessa olisi voimassa 1 = sn = s n k. Joukon H alkiolle s n k on voimassa s k 0 < s n k 1 s n = s k 1 s n = s k s k = s n s k < ǫ ja tästä seuraa, että jokaisella t T on olemassa sellainen luku j N, että ǫ. Edellä esitetystä seuraa, että joukko H on tiheä T:ssä. 14 ( s n k) j t <

17 Toporyhmälle voidaan konstruoida suljettuja aliryhmiä paitsi Lauseen 2.2 myös seuraavan tuloksen avulla. 2.6 Lause Olkoon G toporyhmä ja olkoon perheelle U η e (G) voimassa: a) Jokaisella U U on olemassa sellainen V U, että V 2 U. b) Jokaisella U U on olemassa sellainen V U, että V 1 U. Tällöin U on G:n suljettu aliryhmä. Oletetaan, että ehtojen a) ja b) lisäksi on voimassa: c) Kaikilla U U ja g G on olemassa sellainen V U, että gv g 1 U. Tällöin U on G:n normaali aliryhmä. Todistus. Merkitään H = U. Oletetaan, että ehdot a) ja b) ovat voimassa. Nähdään helposti, että tällöin on voimassa H = {U 2 : U U} = {U 1 : U U}. Koska jokaiselle U U pätee, että H 2 U 2 ja H 1 U 1, seuraa edellisestä, että on voimassa H 2 H ja H 1 H ; näin ollen H on G:n aliryhmä. Koska jokaiselle U U pätee Korollaarin 1.21 nojalla, että U U 2, niin on voimassa H = U {U : U U} {U 2 : U U} = H ja tästä seuraa, että H on suljettu. Oletetaan, että myös ehto c) on voimassa. Näytetään, että aliryhmä H on normaali. Olkoon g G:n alkio. Ehdon c) voimassaolosta seuraa, että {gv g 1 : V U} H. Koska ghg 1 = g ( U) g 1 {gv g 1 : V U}, on edellisen nojalla voimassa ghg 1 H. On näytetty, että aliryhmä H on normaali. Näytetään seuraavaksi, että toporyhmän lokaalisti suljettu aliryhmä on (globaalisti) suljettu. 2.7 Lause Toporyhmän aliryhmä on suljettu, mikäli aliryhmä on suljettu jonkun pisteensä jossain ympäristössä. Todistus. Olkoon H toporyhmän G aliryhmä. Oletetaan, että on olemassa sellainen h H ja sellainen U η h, että joukko H U on suljettu G:n aliavaruudessa U. Näytetään, että H = H. Merkitään O = Int(U). Tällöin H O on O:n suljettu osajoukko ja tästä seuraa, koska O on G:n avoin osajoukko, että H O = H O. Jokaisella k H, koska kh = H ja k 1 H = k 1 H = H, on voimassa H ko = k ( k 1 H O ) = k ( H O ) = 15

18 k(h O) = H ko. Tästä seuraa, että on voimassa H HO = H k H ko = k H H ko = k H H ko H. Korollaarin 1.10 nojalla G:n osajoukko HO on avoin. Näin ollen, koska e = h 1 h HO, on voimassa HO η e. Lauseen 1.19 nojalla on voimassa H H(HO) = HO; täten pätee, että H HO = H ja tästä seuraa yhdessä aikaisemman kanssa, että on voimassa H H. On osoitettu, että H on suljettu. 2.8 Korollaari T 1 toporyhmän lokaalisti kompakti aliryhmä on suljettu. Todistus. Olkoon H T 1 toporyhmän G lokaalisti kompakti aliryhmä. Olkoon R e:n kompakti ympäristö G:n aliavaruudessa H. On olemassa sellainen joukko V η e (G), että V H = R. Koska G, ja täten myös jokainen G:n aliavaruus, on Korollaarin 1.23 nojalla Hausdorffin avaruus ja koska Hausdorffin avaruuden jokainen kompakti osajoukko on suljettu, on joukko R = V H suljettu G:n aliavaruudessa V. Lauseen 2.7 tuloksesta seuraa nyt, että H on G:n suljettu osajoukko. 2.9 Korollaari T 1 toporyhmän diskreetti aliryhmä on suljettu. Tarkastellaan seuraavaksi toporyhmien avoimia aliryhmiä Lause Olkoon H toporyhmän G aliryhmä. Jos Int G (H), niin H on avoin G:ssä. Jos H on avoin G:ssä, niin tällöin H on myös suljettu G:ssä. Todistus. Merkitään O = Int G (H). Oletetaan, että O. Joukko HO on Korollaarin 1.10 nojalla avoin G:ssä. Koska O H, on voimassa HO H 2 = H. Toisaalta, kun k on joukon O alkio, niin on voimassa H = {(hk 1)k : h H} HO. Täten H = HO ja H on avoin G:ssä. Jos H on G:n avoin aliryhmä, niin H η e ; koska H on G:n aliavaruuden H suljettu osajoukko, seuraa Lauseen 2.7 tuloksesta, että H on G:n suljettu osajoukko. Toporyhmän G avoin aliryhmä on G:n neutraalialkion ympäristö. Osoitetaan seuraavaksi, että jokainen G:n neutraalialkion ympäristö virittää G:n avoimen aliryhmän. Tarkastellaan ensin (algebrallisen) ryhmän osajoukon virittämää aliryhmää Lemma Jos A on ryhmän G osajoukko, A, niin joukko n=1 ( A A 1 ) n on G:n aliryhmä. 16

19 Todistus. Merkitään B = A A 1 ja H = n=1 Bn. Osoitetaan, että H on G:n aliryhmä. Koska B 1 = B, nähdään helposti, että jokaisella n 1 on voimassa ( B 1) n = B n ; tästä seuraa, että on voimassa H 1 = H. Toisaalta, HH = ( n=1 Bn ) ( n=1 Bn ) = n,k=1 Bn B k = n,k=1 Bn+k H. Koska on voimassa H, HH H ja H 1 = H, niin joukko H on G:n aliryhmä Määritelmä Olkoon A ryhmän G osajoukko, A. G:n aliryhmää ( ) n=1 A A 1 n kutsutaan A:n virittämäksi G:n aliryhmäksi. Jos ( ) n=1 A A 1 n = G, niin sanotaan, että A virittää G:n tai että A on G:n virittäjäjoukko. Selvästikin G:n epätyhjän osajoukon A virittämä G:n aliryhmä on suppein G:n aliryhmä, joka sisältää joukon A Lause Kun G on toporyhmä ja U η e (G), niin joukot ( ) n=1 U U 1 n ja ( ) U U 1 n ovat G:n avoimia aliryhmiä. n=1 Todistus. n=1 ( U U 1 ) n on U :n virittämä G:n aliryhmä ja n=1 ( U U 1 ) n on joukon U U 1 virittämä G:n aliryhmä. Koska U U 1 η e ja koska joukko U U 1 sisältyy kumpaankin aliryhmään, ovat aliryhmät Lauseen 2.10 nojalla avoimia. Siirrytään nyt tarkastelemaan toporyhmien tekijäryhmiä sekä toporyhmien välisiä jatkuvia homomorfismeja. Palautetaan mieliin algebrallisen tekijäryhmän määritelmä. Olkoon H ryhmän G normaali aliryhmä. Joukon H kaikkien siirtojoukkojen muodostamassa joukkoperheessä G/H = {xh : x G} voidaan määritellä binäärioperaatio asettamalla xh yh = xyh kaikilla x, y G. Operaatiolla varustettuna G/H on ryhmä, jonka neutraalialkio on H ja jossa alkion xh käänteisalkio on x 1 H. Merkitään ϕ H :lla luonnollista kuvausta G G/H, ϕ H (x) = xh. Tällöin ϕ H on surjektiivinen ryhmähomomorfismi ja jokaisella x G on voimassa ϕ 1 H (ϕ(x)) = xh. Olkoon nyt G toporyhmä ja olkoon τ(g) G:n topologia. Määritellään G/H :n osajoukkoperhe τ(g/h) seuraavasti: τ(g/h) = {O G/H : ϕ 1 H (O) τ(g)} Lause τ(g/h) on G/H :n ryhmätopologia. 17

20 Todistus. Merkitään τ(g) = τ, τ(g/h) = π, G/H = G ja ϕ H = ϕ. Koska jokaiselle G:n osajoukkoperheelle O pätee, että ϕ 1 ( O) = {ϕ 1 (O) : O O} ja ϕ 1 ( O) = {ϕ 1 (O) : O O}, nähdään helposti, että π on G:n topologia. Näytetään, että jokaisella U τ on voimassa ϕ(u) π. Topologian π määrittelyn nojalla on voimassa ϕ(u) π, mikäli ϕ 1 (ϕ(u)) τ. Jokaiselle x G on voimassa ϕ 1 (ϕ(x)) = xh ; tästä seuraa, että on voimassa ϕ 1 (ϕ(u)) = x U xh = UH. Korollaarin 1.10 nojalla UH τ, mikäli U τ. Edellä esitetyn nojalla on jokaisella U τ voimassa ϕ 1 (ϕ(u)) τ eli ϕ(u) π. Osoitetaan, että (a, b) a b on jatkuva kuvaus ( G, π) ( G, π) ( G, π). Olkoon O topologian π joukko ja olkoon G:n alkioille a ja b voimassa a b O. Olkoot x ja y sellaisia G:n alkioita, että on voimassa a = ϕ(x) ja b = ϕ(y). Tällöin ϕ(xy) = ϕ(x) ϕ(y) = a b O, joten xy ϕ 1 (O). Koska O π, on voimassa ϕ 1 (O) τ. Koska τ on ryhmätopologia ja xy ϕ 1 (O) τ, on olemassa sellaiset perheen τ joukot U ja V, että x U, y V ja UV ϕ 1 (O). Käyttämällä hyväksi ϕ:n homomorfisuutta, nähdään helposti, että on voimassa ϕ(uv ) = ϕ(u)ϕ(v ). Koska UV ϕ 1 (O), on voimassa ϕ(uv ) O eli ϕ(u)ϕ(v ) O. Aikaisemmin esitetyn nojalla pätee, että ϕ(u) π ja ϕ(v ) π. Koska a = ϕ(x) ϕ(u) ja b = ϕ(y) ϕ(v ), on osoitettu, että kuvaus (a, b) a b on jatkuva ( G, π) ( G, π) ( G, π). Sen osoittamiseksi, että kuvaus a a 1 on jatkuva ( G, π) ( G, π), todetaan ensin, että jokaiselle A G pätee, että ( ϕ 1 (A) ) 1 = ϕ 1 (A 1 ); tämä on voimassa, koska jokaisella x G on voimassa ϕ(x) 1 = ϕ(x 1 ) ja näinollen x ( ϕ 1 (A) ) 1 x 1 ϕ 1 (A) ϕ(x 1 ) A ϕ(x) 1 A ϕ(x) A 1 x ϕ ( 1 A 1). Koska jokaiselle U τ on voimassa U 1 τ, seuraa edellisestä topologian π määrittelyn nojalla, että jokaisella O π on voimassa O 1 π; tämä merkitsee sitä, että a a 1 on jatkuva kuvaus ( G, π) ( G, π). Topologiaa τ(g/h) kutsutaan toporyhmän G tekijäryhmän G/H tekijätopologiaksi. Kun seuraavassa puhutaan toporyhmän tekijäryhmästä, tarkoitetaan aina toporyhmää, joka saadaan varustamalla tekijäryhmä tekijätopologialla. 18

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset

Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset Matti Åstrand Helsinki 25.5.2009 Pro gradu -tutkielma HELSINGIN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Heikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA

Heikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA Heikki Junnila VERKOT LUKU I JOUKOISTA JA RELAATIOISTA 1. Joukkojen symmetrinen erotus.....................................1 2. Relaation sisältämät kuvaukset.................................... 7 Harjoitustehtäviä................................................

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

VERKOT. SUHTEIKOT JA VERKOT 1. Johdanto... 1 2. Pisteiden asteet...7 3. Yhtenäisyys... 11 4. Kulku suhteikossa... 18 5. Hamiltonin kulut...

VERKOT. SUHTEIKOT JA VERKOT 1. Johdanto... 1 2. Pisteiden asteet...7 3. Yhtenäisyys... 11 4. Kulku suhteikossa... 18 5. Hamiltonin kulut... Heikki Junnila VERKOT. LUKU I SUHTEIKOT JA VERKOT 1. Johdanto..... 1 2. Pisteiden asteet...7 3. Yhtenäisyys.... 11 4. Kulku suhteikossa.... 18 5. Hamiltonin kulut....... 26 Harjoitustehtäviä......35 LUKU

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Algebra I Jokke Häsä ja Johanna Rämö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Kevät 2011 Sisältö 1 Laskutoimitukset 6 1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset..................... 6 1.1.1 Joukko..............................

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.

Lisätiedot

Simpleksiset kompleksit. Marjo-Riitta Kuha

Simpleksiset kompleksit. Marjo-Riitta Kuha Simpleksiset kompleksit Marjo-Riitta Kuha 17. toukokuuta 2013 Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä/Författare Author Laitos/Institution Department Matematiikan

Lisätiedot

1 Yleistä. Kerkko Luosto ja Antti Honkela. Toukokuu Lisäehdot

1 Yleistä. Kerkko Luosto ja Antti Honkela. Toukokuu Lisäehdot Funktionaaliyhtälöistä Kerkko Luosto ja Antti Honkela Toukokuu 003 1 Yleistä Funktionaaliyhtälöllä tarkoitetaan yhtälöitä tai yhtälöryhmiä, joissa esiintyy muuttujien ja tunnettujen funktioiden lisäksi

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Algebra, 1. demot, 18.1.2012

Algebra, 1. demot, 18.1.2012 Algebra, 1. demot, 18.1.2012 1. Mielivaltaisen joukon X potenssijoukko eli kaikkien osajoukkojen joukko P(X) määritellään asettamalla P(X) = {A A X}. Päteekö ehto X P(X) a) aina, b) ei koskaan tai c) joskus?

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja

Lisätiedot

1 Jakajat ja jäännökset. on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä

1 Jakajat ja jäännökset. on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä LUKUTEORIAA 1 Jakajat ja jäännökset Luonnollisten lukujen joukko N = { 0, 1, 2, 3,... } on hyvinjärjestetty, eli jokaisessa epätyhjässä joukossa J N on pienin alkio. Otetaan käyttöön merkintä Z + = {1,

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

Yhdesti yhtenäisten tasoalueiden konformisten itsekuvausten ryhmät sup-metriikassa

Yhdesti yhtenäisten tasoalueiden konformisten itsekuvausten ryhmät sup-metriikassa Yhdesti yhtenäisten tasoalueiden konformisten itsekuvausten ryhmät sup-metriikassa Juha Syrjälä Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2014 Tiivistelmä:

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

f 1 (b) kun b f(a) g(b) = a kun b B \ f(a). g(b) = g(b ). (2) b = b. = f(g(b )) iii) = b,

f 1 (b) kun b f(a) g(b) = a kun b B \ f(a). g(b) = g(b ). (2) b = b. = f(g(b )) iii) = b, 1.1 Olkoon f : A B injektio. Tällöin f : A f(a) on bijektio, joten on olemassa bijektiivinen käänteiskuvaus f 1 : f(a) A. Jos f(a) = B, niin tämä f 1 on haluttu surjektio. Voidaan siis olettaa, että f(a)

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut

Lisätiedot

Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan

Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan Kirjan Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan harjoitustehtävien ratkaisuja 18. maaliskuuta 2005 Ratkaisut ovat laatineet Jukka Ilmonen ja Ismo Korkee. Ratkaisuissa olevista mahdollisista virheistä

Lisätiedot

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Pro gradu -tutkielma Esa Pulkka 517378 Itä-Suomen Yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 26. maaliskuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Luonnolliset luvut

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Kaksi järjestettyä paria ovat samat, jos niillä on samat ensimmäiset alkiot ja samat toiset alkiot:

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet.

1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet. 1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet. Differentiaalilaskennassa on aika tavallinen tilanne päästä tutkimaan SULJETUL- LA VÄLILLÄ JATKUVAA FUNKTIOTA. Oletuksena on tällöin funktion

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

Jatko-opintoseminaari Potenssit ja Möbius kuvaukset Cliffordin algebroissa. Petteri Laakkonen

Jatko-opintoseminaari Potenssit ja Möbius kuvaukset Cliffordin algebroissa. Petteri Laakkonen Jatko-opintoseminaari 2009-2010 Potenssit ja Möbius kuvaukset Cliffordin algebroissa Petteri Laakkonen 3.2.2010 Luku 6 Potenssit ja Möbius kuvaukset Tämä teksti noudattaa kirjan [1] luvun 6 tekstiä. Lauseiden,

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat

Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko 3 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia...............

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Cantorin joukko. Heikki Valve. Helsinki, 25. marraskuuta 2012 Pro Gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Cantorin joukko. Heikki Valve. Helsinki, 25. marraskuuta 2012 Pro Gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Cantorin joukko Heikki Valve Helsinki, 25. marraskuuta 2012 Pro Gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto

Lisätiedot