TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa"

Transkriptio

1 Heikki Junnila TOPOLOGISET RYHMÄT I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa 1. Määritelmä, perusominaisuuksia Aliryhmät ja tekijäryhmät. Jatkuvat homomorfismit. Tulot Yhtenäisyys ja epäyhtenäisyys topologisissa ryhmissä Pituusfunktiot II Lokaalisti kompaktien ryhmien yleistä teoriaa 5. Perusominaisuuksia Jatkuvat homomorfismit ja pituusfunktiot...54 III Kompaktin ryhmän invariantti integraali. Peter Weylin lause. 7. Integraalin olemassaolo ja yksikäsitteisyys Lineaariset ryhmät ja topologisten ryhmien esitykset Peter-Weylin lause. a) Sisätuloavaruuksien operaattoreista...80 b) Peter Weylin lause ja sen sovellutuksia...88 IV Kommutatiivisten lokaalisti kompaktien ryhmien dualiteettiteoriaa. 10. Karakteerit ja duaaliryhmät. Johdatusta dualiteettiteoriaan Kompaktien ryhmien ja diskreettien ryhmien välinen dualiteetti. a) Diskreetin ryhmän karakteeriryhmä b) Stone-Weierstrassin lause ja kompaktin ryhmän karakteeriryhmä c) Dualiteettilause kompakteille ja diskreeteille toporyhmille Lokaalisti kompaktien kommutatiivisten ryhmien rakenne. a) Itseduaaleja toporyhmiä b) Rakennelauseita Dualiteettilause ja sen seurauksia Liite: Ascolin lause

2

3 I. Topologisten ryhmien yleistä teoriaa 1. Määritelmä. Perusominaisuuksia 1.1 Määritelmä Olkoon (G, ) ryhmä. Joukon G topologia τ on ryhmän (G, ) ryhmätopologia, mikäli on voimassa: a) (G, ) on ryhmä. b) (G, τ) on topologinen avaruus. c) (x, y) x y on jatkuva kuvaus (G, τ) (G, τ) (G, τ). d) x x 1 on jatkuva kuvaus (G, τ) (G, τ). Topologinen ryhmä on kolmikko (H,, π), missä (H, ) on ryhmä ja π on ryhmän (H, ) ryhmätopologia. Lyhennyksiä: toporyhmä = topologinen ryhmä. Kun sekaannuksen vaaraa ei ole, käytetään ilmauksen toporyhmä (G,, τ) asemasta ilmausta toporyhmä G. 1.2 Esimerkkejä topologisista ryhmistä: 3 o (G,, δ), missä (G, ) on mielivaltainen ryhmä ja δ on joukon G diskreetti topologia. 1 o (R, +, τ), missä τ on R:n tavallinen (euklidinen) topologia. 2 o (Q, +, τ ), missä τ on Q:n relatiivitopologia esimerkin 1 o topologian τ suhteen. 4 o (T,, τ), missä T = {z C : z = 1}, merkitsee kompleksilukujen kertolaskua ja τ euklidista topologiaa. 5 o (GL(n, C),, τ), missä GL(n, C) on kaikkien n n säännöllisten (= kääntyvien ) C kertoimisten matriisien joukko, on matriisien kertolaskun merkki ja τ saadaan C n2 :n topologiasta identifikaatiolla a 1,1 a 1,n.. (a 11,..., a 1n, a 21,..., a n1,..., a nn ). a n,1 a n,n 1

4 Vastaesimerkkejä : 1 o (R, +, π), missä π:lla on kantana perhe {[x, x + ε) : x R ja ε > 0}. Nähdään helposti, että kuvaus (x, y) x + y on jatkuva, mutta kuvaus x x on epäjatkuva. 2 o (R, +, ρ), missä ρ on saatu laajentamalla R:n tavallista topologiaa siten, että piste 0 tulee eristetyksi. Nähdään, että kuvaus x x on jatkuva, mutta kuvaus (x, y) x+y on epäjatkuva. 1.3 Merkintöjä: Olkoon (G, ) ryhmä ja olkoot A ja B G:n osajoukkoja. Merkitään AB = {a b : a A &b B}. Edelleen, merkitään A 1 = A, A 2 = AA ja yleisesti A n+1 = A n A. Merkitään A 1 = {a 1 : a A}. Kun g G, niin merkitään ga = {g}a ja Ag = A{g}. Jos G:n operaatiomerkkinä on +, kirjoitetaan A + B, na, A, g + A, jne. Merkitään inv:llä kuvausta x x 1 G:ltä G:lle. Jokaisella n > 1, merkitään op n :llä kuvausta (x 1,..., x n ) x 1 x n G n :ltä G:lle. 1.4 Lemma Kaikilla A 1,...A n G on voimassa A 1 1 = inv(a 1 ) ja A 1 A 2 A n = op n (A 1 A 2 A n ). 1.5 Lemma Olkoot x 1,..., x n toporyhmän G alkioita ja olkoon O sellainen G:n avoin osajoukko, että on voimassa x 1 x n O. Tällöin on olemassa sellaiset G:n avoimet osajoukot U 1,..., U n, että U 1 U n O ja jokaisella i n pätee, että x i U i. Todistus. Induktiolle luvun n suhteen. Jos n = 1, niin väite on triviaalisti voimassa. Oletetaan väite todistetuksi arvolla n = k. Olkoon G:n alkioille x 1,..., x k+1 voimassa x 1 x k+1 O. Koska op 2 on toporyhmän määritelmän nojalla jatkuva kuvaus G G G, on joukko op 1 2 (O) G G:n avoin osajoukko. On voimassa op 2(x 1 x k, x k+1 ) O, joten (x 1 x k, x k+1 ) op 1 2 (O). Joukon op 1 2 (O) avoimuuden ja tulotopologian määritelmän nojalla on olemassa sellaiset G:n avoimet osajoukot U ja V, että x 1 x k U, x k+1 V ja U V op 1 2 (O). Koska on voimassa U V op 1 2 (O), niin pätee, että UV = op 2 (U V ) O. Koska joukko U on avoin ja x 1 x k U, niin induktio oletuksen nojalla on olemassa sellaiset avoimet joukot U i G, i = 1,..., k, että U 1 U k U ja x i U i jokaisella i = 1,..., n. Merkitään U k+1 = V. Tällöin U 1 U k+1 = (U 1 U k )V UV O ja jokaisella i k + 1 on voimassa x i U i. 2

5 Lemmojen 1.4 ja 1.5 nojalla on voimassa 1.6 Lause Kun G on toporyhmä, niin op n on jatkuva kuvaus G n G jokaisella n 1. Yllä olevasta tuloksesta seuraa, että kaikki kuvaukset, jotka saadaan kertomalla keskenään toporyhmän alkioita tai niiden käänteisalkioita, ovat jatkuvia: 1.7 Korollaari Olkoon G toporyhmä. Olkoot x 1,..., x n muuttujasymboleita ja olkoot y 1,..., y k joukon {x 1,..., x n } G alkioita. Olkoot ǫ 1,..., ǫ k joukon { 1, 1} alkioita. Tällöin on jatkuva kuvaus G n G. (x 1,..., x n ) y ǫ 1 1 yǫ 2 2 yǫ k k Todistus. Määritellään kuvaus f : G n G k asettamalla f(x 1,..., x n ) = (y ǫ 1 1, yǫ 2 2,..., yǫ k k ). Kuvaus f on jatkuva, koska jokaisella i k, komponenttikuvaus (x 1,..., x n ) y ǫ i i on joko vakiokuvaus (kun y i G), projektiokuvaus (x 1,..., x n ) x l (kun y i = x l ja ǫ i = 1) tai projektion ja jatkuvan kuvauksen inv yhdistetty kuvaus (x 1,..., x n ) x 1 l (kun y i = x l ja ǫ i = 1). Korollaarissa mainitun kuvauksen jatkuvuus seuraa nyt Lauseen 1.6 nojalla, koska mainittu kuvaus voidaan esittää muodossa op k f. Seuraavassa Korollaarin 1.7 tulosta käytetään usein ilman eri mainintaa, korkeintaan todetaan jonkun funktion olevan jatkuva ryhmäoperaatioiden jatkuvuuden nojalla. Näytetään seuraavaksi, että jokaisessa toporyhmässä on runsaasti itseishomeomorfismeja. 1.8 Lause Olkoot g ja h toporyhmän G alkioita. Tällöin kuvaukset x x 1 ja x gxh ovat surjektiivisia homeomorfismeja G G. Todistus. Kuvausten jatkuvuus seuraa Korollaarista 1.7. Kuvaukset ovat bijektioita G G, koska niillä on käänteiskuvaukset x x 1 ja x g 1 xh 1. Myös käänteiskuvausten jatkuvuus seuraa Korollaarista 1.7. Erityisesti, G:n oikean ja vasemmanpuoliset siirrot eli translaatiot x xg ja x gx sekä G:n sisäiset automorfismit x gxg 1 ovat homeomorfismeja. 1.9 Korollaari Jos E on toporyhmän G avoin (suljettu) osajoukko ja g, h G, niin joukot E 1 ja geh ovat avoimia (suljettuja). 3

6 1.10 Korollaari Olkoot A, B ja U G:n osajoukkoja. Jos U on avoin, niin joukko AUB on avoin. Todistus. Tämä seuraa edellisen korollaarin tuloksesta, koska AUB = {aub : a A ja b B}. Topologisen avaruuden X osajoukon A sulkeumaa merkitään joko A, ClA tai Cl X A ja sisäosaa joko A, IntA tai Int X A Korollaari Olkoon A G:n osajoukko ja g, h G:n alkioita. Tällöin A 1 = A 1, gah = gah, (A ) 1 = (A 1 ) ja ga h = (gah). Todistus. Tämä seuraa Lauseen 1.8 tuloksesta, sillä jokaiselle surjektiiviselle homeomorfismille f : G G pätee, että f(a) = f(a) ja f(a) = f(a ). Kun P on jokin algebrallinen (topologinen) ominaisuus, niin toporyhmällä (G,, τ) (lyhyesti, toporyhmällä G) sanotaan olevan ominaisuus P, mikäli ryhmällä (G, ) (topologisella avaruudella (G, τ)) on ominaisuus P. POIKKEUS: Ilmaisu normaali aliryhmä viittaa aina aliryhmään, joka on algebrallisessa mielessä normaali (eli invariantti) eikä aliryhmään, joka on aliavaruutena topologisessa mielessä normaali Korollaari Olkoon e toporyhmän G neutraalialkio. Tällöin G on T 1 toporyhmä jos ja vain jos G:n osajoukko {e} on suljettu. Todistus. Jos G on T 1, niin joukko {e} on suljettu. Jos taas {e} on suljettu joukko, niin Korollaarin 1.11 nojalla jokainen joukko {g}, missä g G, on suljettu, koska {g} = g{e} = g{e} = g{e} = {g} Määritelmä Joukon A osajoukkojen perhe F on filtterikanta joukolla A, mikäli 1 / F ja 2 kaikilla F, H F on olemassa sellainen E F, että E F H. Perhe F on filtteri joukolla A, jos F toteuttaa ehdot 1 ja 2 sekä lisäksi ehdon 3 : jos F F ja F B A, niin tällöin B F. Filtterin F osaperhe H on F :n kanta, mikäli on voimassa F = {B A : sellainen H H, että H B}. Nähdään helposti, että filtterin jokainen kanta on filtterikanta. Topologisen avaruuden X pisteen x ympäristöfiltteri on perhe {B X : x B }; tästä filtteristä käytetään merkintää η x (X) tai, milloin sekaannuksen vaaraa ei ole, merkintää η x. Filtterin η x kantoja kutsutaan pisteen x ympäristökannoiksi. 4

7 Ryhdytään nyt tarkastelemaan toporyhmien pisteiden ympäristökantoja. Ensimmäinen tulos osoittaa, että riittää tarkastella neutraalialkion e ympäristökantoja sekä että jokainen e:n ympäristökanta määrää ryhmätopologian yksikäsitteisesti Lause Olkoon U perhe toporyhmän G osajoukkoja ja olkoon g G:n alkio. Tällöin seuraavat ehdot ovat keskenään yhtäpitävät: a) U on e:n ympäristökanta. b) {U 1 : U U} on e:n ympäristökanta. c) {gu : U U} on g:n ympäristökanta. d) {Ug : U U} on g:n ympäristökanta. Todistus. Lause 1.8 ja huomio, että homeomorfismi vie pisteen ympäristökannan kuvapisteen ympäristökannaksi. Seuraavassa lauseessa karakterisoidaan niitä perheitä, jotka voivat esiintyä jossain ryhmätopologiassa ryhmän neutraalialkion ympäristökantoina. Todistetaan aluksi 1.15 Lemma Olkoon U toporyhmän G neutraalialkion ympäristökanta. Tällöin on voimassa: a) Jokaisella U U on olemassa sellainen V U, että V 2 U. b) Jokaisella U U on olemassa sellainen V U, että V 1 U. c) Kaikilla U U ja g G on olemassa sellainen V U, että gv g 1 U. Todistus. Olkoon U perheen U joukko. a) Koska e e U ja koska op 2 on jatkuva kuvaus, on olemassa sellaiset e:n ympäristöt O ja W, että OW = op 2 (O W) U. Valitaan V U siten, että on voimassa V O W. Tällöin V 2 OW U. b) Tämä seuraa suoraan Lauseesta c) Olkoon g G:n piste. Määritellään kuvaus f : G G kaavalla f(x) = gxg 1. Kuvaus f on Lauseen 1.8 nojalla jatkuva. Koska f(e) = e ja U η e, on voimassa f 1 (U) η e. Olkoon joukolle V U voimassa V f 1 (U). Tällöin f(v ) U eli gv g 1 U Lause Olkoon G ryhmä ja olkoon U sellainen filtterikanta joukolla G, että Lemman 1.15 ehdot a), b) ja c) toteutuvat. Tällöin on olemassa yksi ja vain yksi sellainen G:n ryhmätopologia τ, että U on G:n neutraalialkion ympäristökanta topologiassa τ. 5

8 Todistus. Topologian yksikäsitteisyys seuraa Lauseen 1.14 tuloksesta, joten riittää näyttää olemassaolo. Näytetään aluksi, että on voimassa e U. Olkoon U perheen U joukko. Ehtojen a) ja b) voimassaolosta seuraa, että on olemassa sellaiset joukot V, W U, että V 2 U ja W 1 V. Koska U on filtterikanta, on voimassa V W. Olkoon g joukon V W alkio. Tällöin g 1 W 1 V, joten e = g g 1 V 2 U. Merkitään τ = {O G : x O U U s.e. xu O}. Näytetään, että τ on G:n topologia. Selvästikin, G τ ja τ. Nähdään myös helposti, että τ on suljettu yhdistysten suhteen. Osoitetaan, että τ on suljettu äärellisten leikkausten suhteen. Olkoot O 1,..., O n perheen τ joukkoja ja O = n i=1 O i. Olkoon x joukon O piste. Jokaisella i n, koska x i τ, on olemassa sellainen U i U, että xu i O i. Koska U on filtterikanta, on olemassa sellainen U U, että U n i=1 U i. Nyt on voimassa xu n i=1 xu i n i=1 O i = O. On näytetty, että τ on G:n topologia. Pannaan merkille, että topologialla τ on seuraava ominaisuus: kaikilla O τ ja g G on voimassa go τ. Tämä pätee, koska x go g 1 x O U U s.e. g 1 xu O eli s.e. xu go. Näytetään, että U on η e (G, τ):n kanta. Jos E η e (G, τ), niin e Int τ E, joten τ :n määrittelyn nojalla on olemassa sellainen U U, että U = eu Int τ E E. Kääntäen, olkoon U perheen U joukko. Merkitään W = {x G : V U s.e. xv U}. Tällöin e W U. Näytetään, että W τ. Olkoon x W :n piste. Tällöin on olemassa sellainen V U, että xv U. Edelleen, on olemassa sellainen P U, että P 2 V. On voimassa xp W, sillä jokaiselle y xp pätee, että yp xp 2 xv U. Täten W τ. On näytetty, että U on η e (G, τ):n kanta. Näytetään lopuksi, että τ on G:n ryhmätopologia. Olkoon W τ :n joukko ja olkoot x ja y sellaisia G:n pisteitä, että on voimassa xy W. Tällöin on olemassa sellainen U U, että xyu 2 W. Edelleen, on olemassa sellainen V U, että y 1 V y U eli V yuy 1. On voimassa xv yu x ( yuy 1) yu = xyu 2 W. Koska V, U η e (G, τ), on aikaisemmin osoitetun nojalla voimassa xv η x (G, τ) ja yu η y (G, τ). On näytetty, että kuvaus (x, y) xy on jatkuva. 6

9 Sen osoittamiseksi, että kuvaus x x 1 on jatkuva, riittää näyttää, että W 1 τ jokaisella W τ. Olkoon W perheen τ joukko ja olkoon x joukon W 1 piste. Tällöin x 1 W, joten on olemassa sellainen U U, että x 1 U W. Edelleen, on olemassa sellaiset joukot V, R U, että V 1 U ja xrx 1 V. Nyt on voimassa xr V x = ( x 1 V 1) 1 ( x 1 U ) 1 W 1. On näytetty, että W 1 τ Esimerkki Olkoon G ryhmä ja olkoon U sellainen filtterikanta G:llä, että jokainen U :n jäsen on G:n normaali aliryhmä. Tällöin U toteuttaa Lemman 1.15 ehdot a) c), joten U on e:n ympäristökanta jossain G:n ryhmätopologiassa. Lauseen 1.14 tulos osoitti, että toporyhmän pisteelle g voidaan konstruoida ympäristökantoja neutraalialkion ympäristökantojen avulla. Esitetään vielä yksi tällainen konstruktio Lemma Olkoon g toporyhmän G piste. Tällöin perhe {UgU : U η e (G)} on g:n ympäristökanta. Todistus. Jokaiselle U η e pätee, että Ug UgU, joten UgU η g, Lauseen 1.14 nojalla. Olkoon nyt annettuna O η g. Määritellään kuvaus f : G 2 G kaavalla f(x, y) = xgy; f on Korollaarin 1.7 nojalla jatkuva. Koska f(e, e) = g IntO, on olemassa sellaiset joukot V, W η e, että f(v W) O eli V gw O. Kun valitaan U η e siten, että on voimassa U V W, niin on voimassa UgU O. Seuraavassa lauseessa esitetään lausekkeita toporyhmän osajoukon sulkeumalle Lause Toporyhmän G osajoukolle A pätee, että A = UA = U η e AU = UAU. U η e U η e Todistus. Näytetään aluksi, että A U η e UA ja A U η e AU. Olkoon x joukon A piste ja U perheen η e joukko. Lemman 1.15 nojalla on olemassa sellainen V η e, että V 1 U. Koska x A, on voimassa (xv ) A ja (V x) A. Täten on olemassa sellaiset joukon V pisteet v ja w, että xv A ja wx A. Nyt on voimassa x = (xv)v 1 AV 1 AU ja x = w 1 (wx) V 1 A UA. On näytetty, että A UA ja A AU. 7

10 Koska jokaiselle U η e pätee, että UA UAU ja AU UAU, on todistus suoritettu kunhan osoitetaan, että U η e UAU A. Tehdään vastaväite: on olemassa piste x U η e UAU \ A. Tällöin G \ A η x, joten Lemman 1.18 nojalla on olemassa sellainen U η e, että UxU A =. Valitaan V η e siten, että V 1 U. Oletuksen nojalla x V AV, joten on olemassa sellaiset pisteet v, w V ja a A, että x = vaw. Nyt on voimassa a = v 1 xw 1 V 1 xv 1 UxU, mikä on ristiriidassa sen kanssa, että UxU A =. Seuraava tulos saadaan Lauseesta 1.19 Korollaarin 1.12 nojalla Korollaari Toporyhmä G on T 1 toporyhmä jos ja vain jos η e = {e}. tuloksen. Valitsemalla Lauseessa 1.19 joukoksi A perheen η e jäsenen U, saamme seuraavan 1.21 Korollaari Jokaisella U η e on voimassa U U 2. Palautetaan mieliin, että topologisen avaruuden sanotaan olevan säännöllinen, mikäli jokaisella avaruuden pisteellä on suljettujen joukkojen muodostama ympäristökanta. Säännöllisiä T 1 avaruuksia kutsutaan T 3 avaruuksiksi Korollaari A. Jokainen toporyhmä on säännöllinen. B. Jokainen T 1 toporyhmä on Hausdorffin avaruus. Todistus. A. Olkoon G toporyhmä. Korollaarin 1.21 ja Lemman 1.15 nojalla G:n pisteellä e on suljettujen joukkojen muodostama ympäristökanta; tästä seuraa Lauseen 1.14 ja Korollaarin 1.9 nojalla, että jokaisella G:n pisteellä on suljettujen joukkojen muodostama ympäristökanta. B. Jokainen säännöllinen T 1 avaruus on Hausdorffin avaruus. Seuraavaksi esitetään eräitä toporyhmien kompakteja osajoukkoja koskevia tuloksia. Todistetaan aluksi eräs topologinen aputulos Lemma Olkoon jokaisella i = 1,..., n K i topologisen avaruuden X i kompakti osajoukko ja olkoon O sellainen tuloavaruuden n i=1 X i avoin osajoukko, että n i=1 K i O. Tällöin on olemassa sellaiset avoimet joukot O i X i, i = 1,..., n, että n i=1 K i n i=1 O i O. 8

11 Todistus. Koska O on joukon n i=1 K i jokaisen pisteen ympäristö tuloavaruudessa n i=1 X i, on jokaisella (k i ) n i=1 n i=1 X i olemassa sellaiset avoimet joukot V i X i, että (k i ) n i=1 n i=1 V i O. Tästä seuraa, koska joukko n i=1 K i on kompakti, että on olemassa sellaiset avoimet joukot V l i X i, i = 1,..., n ja l = 1,..., m, että n i=1 K i m l=1 Merkitään jokaisella i = 1,..., n ja jokaisella k K i {V l i että n n i=1 V l i O. Vk i :lla k:n avointa ympäristöä : l = 1,..., m ja k V l i }. Pannaan merkille, että jokaisella (k i) K i pätee, k i O. Merkitään jokaisella i = 1,..., n O i :llä X i :n avointa osajoukkoa {V i k : k K i } ja pannaan merkille, että K i O i. Osoitetaan, että n i=1 O i O. Olkoon (x i ) joukon n i=1 O i piste. Tällöin jokaisella i = 1,..., n on voimassa x i O i, i=1 V i joten on olemassa sellainen k i K i, että x i V i k i. On voimassa (x i ) n i=1 V i k i O. Seuraava tulos vahvistaa Lemman 1.18 tulosta Lause Olkoon K toporyhmän G kompakti osajoukko ja olkoon O sellainen G:n avoin osajoukko, että K O. Tällöin on olemassa sellainen U η e, että UKU O. Todistus. Koska op 3 on Lauseen 1.6 nojalla jatkuva kuvaus G 3 G, on joukko op 1 3 (O) G 3 :n avoin osajoukko. Koska K O, on voimassa op 3 ({e} K {e}) O eli {e} K {e} op 1 3 (O). Lemman 1.23 nojalla on olemassa sellaiset joukot V, W η e, että V K W op 1 3 (O). Olkoon joukolle U η e voimassa U V W ; tällöin U K U op 1 3 (O) eli UKU O. Seuraava tulos vahvistaa Lemman 1.15 ehtoa c) Lause Olkoon K toporyhmän G kompakti osajoukko. Tällöin on jokaisella U η e olemassa sellainen V η e, että jokaisella k K on voimassa kv k 1 U. Todistus. Määritellään kuvaus f : G 2 G kaavalla f(x, y) = xyx 1. Kuvaus f on Korollaarin 1.7 nojalla jatkuva. Olkoon U e:n avoin ympäristö. Koska f (G {e}) = {e} U, niin Lemman 1.23 tuloksen nojalla on olemassa sellainen V η e, että K V f 1 (U). Jokaisella k K on voimassa f ({k} V ) U eli kv k 1 U. Lauseen 1.25 tulos voidaan ilmaista myös seuraavasti: kun K G on kompakti ja U on e:n ympäristö, niin myös joukko k K k 1 Uk on e:n ympäristö. Seuraava esimerkki osoittaa, että vaatimus joukon K kompaktisuudesta on välttämätön Lauseessa

12 0 1 u 1.26 Esimerkki Kun x, y, z ja u ovat reaalilukuja, niin on voimassa ( 1 x 0 y 0 u) = ( 1 z+xu ) ( 0 yu ja, mikäli u > 0, 1 z ) 1 ( 1 z ) { (1 0 u = u ; täten joukko x ) } 0 y : x, y R, y > 0 muodostaa ryhmän matriisien kertolaskun suhteen. Tämän ryhmän kanssa isomorfinen ryhmä (G, ) saadaan asettamalla G = {(x, y) R 2 : y > 0} ja määrittelemällä operaatio seuraavasti: (x, y) (z, u) = (z+xu, yu). Ryhmällä (G, ) on neutraalialkiona (0, 1) ja alkiolla ( ) (x, y) on käänteisalkiona x y, 1 y. Merkitään τ :lla topologiaa, joka G:llä on euklidisen tason aliavaruutena. Nähdään helposti, että (G, ) on topologinen ryhmä. )( 1 z Joukko U = {(x, y) G : x < 1} on G:n neutraalialkion (0, 1) ympäristö. Näytetään, että jokaisella V η (0,1) on olemassa sellainen g G, että gv g 1 U. Todetaan ( ) aluksi, että kaikille (x, y), (z, u) G pätee, että (x, y) (z, u) (x, y) 1 z+xu x = y, u. Olkoon nyt V (0, 1):n ympäristö. Tällöin on olemassa sellainen ǫ > 0, että (ǫ, 1) V. Jokaisella (x, y) Gon voimassa (x, y) (ǫ, 1) (x, y) 1 ǫ ( = ), y, 1 joten valitsemalla (x, y) G siten, että ǫ y > 1, on voimassa (x, y) (ǫ, 1) (x, y) 1 / U. Seuraavaksi esitetään Korollaarien 1.9 ja 1.10 vastineet kompakteille joukoille Lause Kun K on toporyhmän G kompakti osajoukko, niin joukko K 1 on kompakti. Kun K ja C ovat kompakteja joukkoja, niin joukko KC on kompakti. Kun K on kompakti joukko ja S suljettu joukko, niin joukot KS ja SK ovat suljettuja. Todistus. Ensimmäinen väite seuraa suoraan Lauseesta 1.8. Olkoot K G ja C G kompakteja. Tällöin G G:n osajoukko K C on Tihonovin Lauseen nojalla kompakti. Joukko KC on kompakti, koska se on kompaktin joukon K C kuva jatkuvassa kuvauksessa op 2. Olkoon nyt K G kompakti ja S G suljettu. Näytetään, että joukko KS on suljettu. Olkoon x joukon G \ KS piste. Tällöin on voimassa ( K 1 x ) S = eli K 1 x G \S. Joukko G \S on avoin ja joukko K 1 x on todistuksen alkuosassa esitetyn nojalla kompakti. Lauseen 1.24 nojalla on olemassa sellainen U η e, että on voimassa ( K 1 x ) U G \ S eli ( K 1 (xu) ) S =. On voimassa (xu) (KS) = ; koska joukko xu on Lauseen 1.14 nojalla x:n ympäristö, on näytetty, että joukko KS on suljettu. Aivan vastaavasti näytetään, että joukko SK on suljettu Korollaari Kun K on toporyhmän kompakti osajoukko, niin joukko K on kompakti ja K = K{e} = {e}k. 10

13 Todistus. Joukot K{e} ja {e}k ovat edellisen lauseen nojalla suljettuja. Koska K K{e} {e}k, on voimassa K K{e} {e}k. Korollaarin 1.11 nojalla on voimassa K{e} = k K k{e} = k K {k} = k K {e}k = {e}k ; tästä seuraa, että on voimassa ( ) ( ) K{e} {e}k K. Täten K = K{e} = {e}k. Lauseen 1.19 nojalla on voimassa {e} = η e, joten joukko {e} on kompakti. Edellisen lauseen nojalla joukko K = {e}k on kompakti. Seuraava esimerkki osoittaa, että toporyhmän osajoukko F S ei välttämättä ole suljettu, vaikka sekä F että S olisivat suljettuja joukkoja Esimerkki Merkitään F = Z ja S = {n + 1 n : n Z, n > 1}. Tällöin F ja S ovat R:n suljettuja osajoukkoja, mutta joukko F + S ei ole suljettu, sillä 0 / F + S, mutta kuitenkin 0 F + S, koska 1 n F + S jokaisella n > 1. Karakterisoidaan lopuksi ryhmätopologioita. Ensimmäiseksi osoitetaan, että ryhmätopologian määritelmässä esiintyvät kaksi ehtoa voidaan korvata yhdellä ehdolla Lause Joukon G topologia π on ryhmän (G, ) ryhmätopologia jos ja vain jos kuvaus (x, y) x y 1 on jatkuva (G, π) (G, π) (G, π). Todistus. Välttämättömyys Korollaarin 1.7 nojalla. Riittävyys. Oletetaan, että kuvaus (x, y) x y 1 on jatkuva. Tällöin kuvaus y y 1 on jatkuva yhdisteenä y (e, y) y 1. Edelleen, kuvaus (x, y) (x, y 1 ) on jatkuva komponenttikuvausten jatkuvuuden nojalla; täten kuvaus (x, y) x y on jatkuva yhdisteenä (x, y) (x, y 1 ) x (y 1 ) 1. Seuraavaksi osoitetaan, että jos π on sellainen ryhmän G topologia, että G:n alkioiden määräämät siirrot ovat jatkuvia topologian π suhteen, niin ryhmätopologian määritelmän kaksi ehtoa voidaan korvata heikommilla ehdoilla. Palautetaan mieliin, että topologisten avaruuksien välinen kuvaus f : X Y on jatkuva pisteessä x X, mikäli jokaisella V η f(x) (Y ) on voimassa f 1 (V ) η x (X) Lause Olkoon (G, ) ryhmä ja olkoon π joukon G topologia. Perhe π on (G, ):n ryhmätopologia jos ja vain jos on voimassa i) Kuvaus (x, y) x y on jatkuva G G:n pisteessä (e, e). ii) Kuvaus x x 1 on jatkuva G:n pisteessä e. iii) Jokaisella g G, translaatiot x gx ja x xg ovat jatkuvia. 11

14 Todistus. Välttämättömyys Lauseen 1.8 nojalla. Riittävyys. Oletetaan, että π toteuttaa ehdot i) iii). Pannaan merkille, että ehdon iii) voimassaolosta seuraa, kuten Lauseen 1.8 todistuksessa, että translaatiot ovat homeomorfismeja G G. Merkitään U = η e (G, π). Ehdosta i) seuraa, että U toteuttaa Lemman 1.15 ehdon a) ja ehdosta ii) seuraa, että saman lemman ehto b) toteutuu. Osoitetaan, että myös Lemman 1.15 ehto c) on voimassa. Valitaan U U ja g G. Koska kuvaus x xg on homeomorfismi ja koska U η e (π), niin on voimassa Ug η g (π); tästä seuraa vastaavasti, kuvauksen x g 1 x homeomorfisuuden nojalla, että on voimassa g 1 (Ug) η e (π). Valitaan V = g 1 Ug. Tällöin V U ja gv g 1 = U. On osoitettu, että Lemman 1.15 ehto c) on voimassa. Lauseen 1.16 todistuksen nojalla perhe τ = {O G : g O U U s.e. gu O} on G:n ryhmätopologia. Koska U = η e (π), nähdään translaatioiden x gx homeomorfisuuden nojalla olevan voimassa τ = π. 12

15 2. Aliryhmät ja tekijäryhmät. Jatkuvat homomorfismit. Topologisten ryhmien tulo. Tarkastellaan nyt eräitä konstruktioita, joiden avulla voidaan muodostaa annetuista toporyhmistä lähtien uusia toporyhmiä. Osoitetaan aluksi, että toporyhmän algebrallinen aliryhmä voidaan luonnollisella tavalla tehdä toporyhmäksi. 2.1 Lause Toporyhmän aliryhmän relatiivitopologia on aliryhmän ryhmätopologia. Todistus. Olkoon (G,, τ) toporyhmä ja olkoon (H, ) ryhmän (G, ) aliryhmä. Merkitään ρ:lla H :n relatiivitopologiaa avaruudessa (G, τ) (ts. ρ = {O H : O τ}). Koska x x 1 on jatkuva kuvaus (G, τ) (G, τ), niin tämän kuvauksen rajoittuma H :hon on jatkuva kuvaus (H, ρ) (H, ρ). Koska kuvaus (x, y) x y on jatkuva kuvaus (G, τ) (G, τ) (G, τ) ja koska tuloavaruuden (H, ρ) (H, ρ) topologia on sama kuin H H :n relatiivitopologia tuloavaruudessa (G, τ) (G, τ), niin kuvauksen (x, y) x y rajoittuma joukkoon H H on jatkuva kuvaus (H, ρ) (H, ρ) (H, ρ). Kun seuraavassa puhutaan toporyhmän aliryhmästä, niin tarkoitetaan toporyhmää, joka saadaan varustamalla aliryhmä relatiivitopologiallaan. Esimerkkejä. Q on R:n aliryhmä ja Z on Q:n aliryhmä. 2.2 Lause Jos H on G:n (normaali) aliryhmä, niin H on G:n (normaali) aliryhmä. Jos G on T 1 toporyhmä ja H on G:n kommutatiivinen aliryhmä, niin H on G:n kommutatiivinen aliryhmä. Todistus. Todetaan aluksi, että kaikilla A, B G on voimassa AB AB. Joukko AB ( ) voidaan esittää muodossa op 2 A B. Koska G G:ssä pätee, että A B = A B, ja ( ) koska kuvauksen op 2 jatkuvuuden nojalla on voimassa op 2 A B op2 (A B) = AB, niin nähdään inkluusion AB AB olevan voimassa. Olkoon H G:n aliryhmä. Tällöin HH = H ja H 1 = H. Edellä esitetyn nojalla on voimassa H H HH, joten H H H ; näinollen H on suljettu G:n laskutoimituksen suhteen. Toisaalta, Korollaarin 1.11 nojalla on voimassa H 1 = H 1 ; tästä seuraa, että 13

16 H 1 = H, joten H on myös suljettu käänteisalkioiden muodostamisen suhteen. On näytetty, että H on G:n aliryhmä. Oletetaan, että aliryhmä H on normaali. Tällöin jokaiselle g G pätee, että ghg 1 = H ja näinollen, Korollaarin 1.11 nojalla, että ghg 1 = ghg 1 = H. Täten aliryhmä H on normaali. Oletetaan lopuksi, että G on T 1 toporyhmä ja aliryhmä H on kommutatiivinen. Määritellään kuvaus f : G 2 G kaavalla f(x, y) = xyx 1 y 1. Kuvaus f on Korollaarin 1.7 nojalla jatkuva. Koska G on T 1 toporyhmä, on G:n osajoukko {e} suljettu. Edellisen nojalla G G:n osajoukko f 1 ({e}) on suljettu. Koska aliryhmä H on kommutatiivinen, kaikilla x, y H on voimassa f(x, y) = e; näinollen on voimassa H H f 1 ({e}) ja edelleen H H f 1 ({e}). Koska H H = H H, on edellisen nojalla voimassa f ( H H ) = {e}. Näinollen kaikilla x, y H on voimassa xyx 1 y 1 = e eli xy = yx. On osoitettu, että G:n aliryhmä H on kommutatiivinen. 2.3 Korollaari Jos e on toporyhmän G neutraalialkio, niin {e} on G:n normaali aliryhmä. 2.4 Korollaari T 1 toporyhmä G on kommutatiivinen, mikäli G:llä on tiheä kommutatiivinen aliryhmä. Toporyhmä on monoteettinen, mikäli se on T 1 ja sillä on tiheä syklinen aliryhmä. Edellisen tuloksen nojalla jokainen monoteettinen toporyhmä on kommutatiivinen. 2.5 Esimerkki Toporyhmä T on monoteettinen. Todistus. Jokaisella n Z\{0} on olemassa ainoastaan äärellisen monta sellaista alkiota t T, että t n = 1. Koska joukko T on ylinumeroituva, on olemassa sellainen alkio s T, että jokaisella n Z \ {0} on voimassa s n 1. Osoitetaan, että s:n virittämä T:n aliryhmä H = {s n : n Z} on tiheä T:ssä. Olkoon ǫ positiiviluku. Tällöin on olemassa sellaiset luvut n N ja k N, että n < k ja s n s k < ǫ. Koska n k, niin on voimassa sn s k, sillä muussa tapauksessa olisi voimassa 1 = sn = s n k. Joukon H alkiolle s n k on voimassa s k 0 < s n k 1 s n = s k 1 s n = s k s k = s n s k < ǫ ja tästä seuraa, että jokaisella t T on olemassa sellainen luku j N, että ǫ. Edellä esitetystä seuraa, että joukko H on tiheä T:ssä. 14 ( s n k) j t <

17 Toporyhmälle voidaan konstruoida suljettuja aliryhmiä paitsi Lauseen 2.2 myös seuraavan tuloksen avulla. 2.6 Lause Olkoon G toporyhmä ja olkoon perheelle U η e (G) voimassa: a) Jokaisella U U on olemassa sellainen V U, että V 2 U. b) Jokaisella U U on olemassa sellainen V U, että V 1 U. Tällöin U on G:n suljettu aliryhmä. Oletetaan, että ehtojen a) ja b) lisäksi on voimassa: c) Kaikilla U U ja g G on olemassa sellainen V U, että gv g 1 U. Tällöin U on G:n normaali aliryhmä. Todistus. Merkitään H = U. Oletetaan, että ehdot a) ja b) ovat voimassa. Nähdään helposti, että tällöin on voimassa H = {U 2 : U U} = {U 1 : U U}. Koska jokaiselle U U pätee, että H 2 U 2 ja H 1 U 1, seuraa edellisestä, että on voimassa H 2 H ja H 1 H ; näin ollen H on G:n aliryhmä. Koska jokaiselle U U pätee Korollaarin 1.21 nojalla, että U U 2, niin on voimassa H = U {U : U U} {U 2 : U U} = H ja tästä seuraa, että H on suljettu. Oletetaan, että myös ehto c) on voimassa. Näytetään, että aliryhmä H on normaali. Olkoon g G:n alkio. Ehdon c) voimassaolosta seuraa, että {gv g 1 : V U} H. Koska ghg 1 = g ( U) g 1 {gv g 1 : V U}, on edellisen nojalla voimassa ghg 1 H. On näytetty, että aliryhmä H on normaali. Näytetään seuraavaksi, että toporyhmän lokaalisti suljettu aliryhmä on (globaalisti) suljettu. 2.7 Lause Toporyhmän aliryhmä on suljettu, mikäli aliryhmä on suljettu jonkun pisteensä jossain ympäristössä. Todistus. Olkoon H toporyhmän G aliryhmä. Oletetaan, että on olemassa sellainen h H ja sellainen U η h, että joukko H U on suljettu G:n aliavaruudessa U. Näytetään, että H = H. Merkitään O = Int(U). Tällöin H O on O:n suljettu osajoukko ja tästä seuraa, koska O on G:n avoin osajoukko, että H O = H O. Jokaisella k H, koska kh = H ja k 1 H = k 1 H = H, on voimassa H ko = k ( k 1 H O ) = k ( H O ) = 15

18 k(h O) = H ko. Tästä seuraa, että on voimassa H HO = H k H ko = k H H ko = k H H ko H. Korollaarin 1.10 nojalla G:n osajoukko HO on avoin. Näin ollen, koska e = h 1 h HO, on voimassa HO η e. Lauseen 1.19 nojalla on voimassa H H(HO) = HO; täten pätee, että H HO = H ja tästä seuraa yhdessä aikaisemman kanssa, että on voimassa H H. On osoitettu, että H on suljettu. 2.8 Korollaari T 1 toporyhmän lokaalisti kompakti aliryhmä on suljettu. Todistus. Olkoon H T 1 toporyhmän G lokaalisti kompakti aliryhmä. Olkoon R e:n kompakti ympäristö G:n aliavaruudessa H. On olemassa sellainen joukko V η e (G), että V H = R. Koska G, ja täten myös jokainen G:n aliavaruus, on Korollaarin 1.23 nojalla Hausdorffin avaruus ja koska Hausdorffin avaruuden jokainen kompakti osajoukko on suljettu, on joukko R = V H suljettu G:n aliavaruudessa V. Lauseen 2.7 tuloksesta seuraa nyt, että H on G:n suljettu osajoukko. 2.9 Korollaari T 1 toporyhmän diskreetti aliryhmä on suljettu. Tarkastellaan seuraavaksi toporyhmien avoimia aliryhmiä Lause Olkoon H toporyhmän G aliryhmä. Jos Int G (H), niin H on avoin G:ssä. Jos H on avoin G:ssä, niin tällöin H on myös suljettu G:ssä. Todistus. Merkitään O = Int G (H). Oletetaan, että O. Joukko HO on Korollaarin 1.10 nojalla avoin G:ssä. Koska O H, on voimassa HO H 2 = H. Toisaalta, kun k on joukon O alkio, niin on voimassa H = {(hk 1)k : h H} HO. Täten H = HO ja H on avoin G:ssä. Jos H on G:n avoin aliryhmä, niin H η e ; koska H on G:n aliavaruuden H suljettu osajoukko, seuraa Lauseen 2.7 tuloksesta, että H on G:n suljettu osajoukko. Toporyhmän G avoin aliryhmä on G:n neutraalialkion ympäristö. Osoitetaan seuraavaksi, että jokainen G:n neutraalialkion ympäristö virittää G:n avoimen aliryhmän. Tarkastellaan ensin (algebrallisen) ryhmän osajoukon virittämää aliryhmää Lemma Jos A on ryhmän G osajoukko, A, niin joukko n=1 ( A A 1 ) n on G:n aliryhmä. 16

19 Todistus. Merkitään B = A A 1 ja H = n=1 Bn. Osoitetaan, että H on G:n aliryhmä. Koska B 1 = B, nähdään helposti, että jokaisella n 1 on voimassa ( B 1) n = B n ; tästä seuraa, että on voimassa H 1 = H. Toisaalta, HH = ( n=1 Bn ) ( n=1 Bn ) = n,k=1 Bn B k = n,k=1 Bn+k H. Koska on voimassa H, HH H ja H 1 = H, niin joukko H on G:n aliryhmä Määritelmä Olkoon A ryhmän G osajoukko, A. G:n aliryhmää ( ) n=1 A A 1 n kutsutaan A:n virittämäksi G:n aliryhmäksi. Jos ( ) n=1 A A 1 n = G, niin sanotaan, että A virittää G:n tai että A on G:n virittäjäjoukko. Selvästikin G:n epätyhjän osajoukon A virittämä G:n aliryhmä on suppein G:n aliryhmä, joka sisältää joukon A Lause Kun G on toporyhmä ja U η e (G), niin joukot ( ) n=1 U U 1 n ja ( ) U U 1 n ovat G:n avoimia aliryhmiä. n=1 Todistus. n=1 ( U U 1 ) n on U :n virittämä G:n aliryhmä ja n=1 ( U U 1 ) n on joukon U U 1 virittämä G:n aliryhmä. Koska U U 1 η e ja koska joukko U U 1 sisältyy kumpaankin aliryhmään, ovat aliryhmät Lauseen 2.10 nojalla avoimia. Siirrytään nyt tarkastelemaan toporyhmien tekijäryhmiä sekä toporyhmien välisiä jatkuvia homomorfismeja. Palautetaan mieliin algebrallisen tekijäryhmän määritelmä. Olkoon H ryhmän G normaali aliryhmä. Joukon H kaikkien siirtojoukkojen muodostamassa joukkoperheessä G/H = {xh : x G} voidaan määritellä binäärioperaatio asettamalla xh yh = xyh kaikilla x, y G. Operaatiolla varustettuna G/H on ryhmä, jonka neutraalialkio on H ja jossa alkion xh käänteisalkio on x 1 H. Merkitään ϕ H :lla luonnollista kuvausta G G/H, ϕ H (x) = xh. Tällöin ϕ H on surjektiivinen ryhmähomomorfismi ja jokaisella x G on voimassa ϕ 1 H (ϕ(x)) = xh. Olkoon nyt G toporyhmä ja olkoon τ(g) G:n topologia. Määritellään G/H :n osajoukkoperhe τ(g/h) seuraavasti: τ(g/h) = {O G/H : ϕ 1 H (O) τ(g)} Lause τ(g/h) on G/H :n ryhmätopologia. 17

20 Todistus. Merkitään τ(g) = τ, τ(g/h) = π, G/H = G ja ϕ H = ϕ. Koska jokaiselle G:n osajoukkoperheelle O pätee, että ϕ 1 ( O) = {ϕ 1 (O) : O O} ja ϕ 1 ( O) = {ϕ 1 (O) : O O}, nähdään helposti, että π on G:n topologia. Näytetään, että jokaisella U τ on voimassa ϕ(u) π. Topologian π määrittelyn nojalla on voimassa ϕ(u) π, mikäli ϕ 1 (ϕ(u)) τ. Jokaiselle x G on voimassa ϕ 1 (ϕ(x)) = xh ; tästä seuraa, että on voimassa ϕ 1 (ϕ(u)) = x U xh = UH. Korollaarin 1.10 nojalla UH τ, mikäli U τ. Edellä esitetyn nojalla on jokaisella U τ voimassa ϕ 1 (ϕ(u)) τ eli ϕ(u) π. Osoitetaan, että (a, b) a b on jatkuva kuvaus ( G, π) ( G, π) ( G, π). Olkoon O topologian π joukko ja olkoon G:n alkioille a ja b voimassa a b O. Olkoot x ja y sellaisia G:n alkioita, että on voimassa a = ϕ(x) ja b = ϕ(y). Tällöin ϕ(xy) = ϕ(x) ϕ(y) = a b O, joten xy ϕ 1 (O). Koska O π, on voimassa ϕ 1 (O) τ. Koska τ on ryhmätopologia ja xy ϕ 1 (O) τ, on olemassa sellaiset perheen τ joukot U ja V, että x U, y V ja UV ϕ 1 (O). Käyttämällä hyväksi ϕ:n homomorfisuutta, nähdään helposti, että on voimassa ϕ(uv ) = ϕ(u)ϕ(v ). Koska UV ϕ 1 (O), on voimassa ϕ(uv ) O eli ϕ(u)ϕ(v ) O. Aikaisemmin esitetyn nojalla pätee, että ϕ(u) π ja ϕ(v ) π. Koska a = ϕ(x) ϕ(u) ja b = ϕ(y) ϕ(v ), on osoitettu, että kuvaus (a, b) a b on jatkuva ( G, π) ( G, π) ( G, π). Sen osoittamiseksi, että kuvaus a a 1 on jatkuva ( G, π) ( G, π), todetaan ensin, että jokaiselle A G pätee, että ( ϕ 1 (A) ) 1 = ϕ 1 (A 1 ); tämä on voimassa, koska jokaisella x G on voimassa ϕ(x) 1 = ϕ(x 1 ) ja näinollen x ( ϕ 1 (A) ) 1 x 1 ϕ 1 (A) ϕ(x 1 ) A ϕ(x) 1 A ϕ(x) A 1 x ϕ ( 1 A 1). Koska jokaiselle U τ on voimassa U 1 τ, seuraa edellisestä topologian π määrittelyn nojalla, että jokaisella O π on voimassa O 1 π; tämä merkitsee sitä, että a a 1 on jatkuva kuvaus ( G, π) ( G, π). Topologiaa τ(g/h) kutsutaan toporyhmän G tekijäryhmän G/H tekijätopologiaksi. Kun seuraavassa puhutaan toporyhmän tekijäryhmästä, tarkoitetaan aina toporyhmää, joka saadaan varustamalla tekijäryhmä tekijätopologialla. 18

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3) 1.1 a) Joukkoperhe T = α I T α P(X) on topologia. Todistus. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T.

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin

Lisätiedot

Johdanto Lassi Kurittu

Johdanto Lassi Kurittu Johdanto Tämä luentomoniste on kirjoitettu syksyn 2012 topologian kurssin jälkimmäisen osan luentomateriaaliksi. Kurssin ensimmäisellä puoliskolla käsiteltiin metrisiä avaruuksia, mutta nyt siirrytään

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

Laskutoimitusten operaattorinormeista

Laskutoimitusten operaattorinormeista Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti

Lisätiedot

Metristyvät topologiset avaruudet

Metristyvät topologiset avaruudet TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Arttu Ojanperä Metristyvät topologiset avaruudet Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tammikuu 2016 Tampereen Yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö OJANPERÄ,

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista

Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Suvi Pasanen Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2016 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö PASANEN,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Tehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2

Tehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2 Tehtävä 5 : 1 Merkitään kirjaimella H kuvan punaisten solmujen virittämää verkon G yhtenäistä aliverkkoa, jossa on yhteensä kolme särmää. Aliverkosta H voidaan kahdella tavalla valita kahden solmun joukko

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

[E : F ]=[E : K][K : F ].

[E : F ]=[E : K][K : F ]. ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta Ryhmäteoriaa 2. Ryhmän toiminta Permutaatiot kuvaavat jonkin perusjoukon alkioita toisikseen. Eräät permutaatiot jättävät joitain alkioita paikalleen, toiset liikuttavat kaikkia joukon alkioita. Kaikki

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Heikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA

Heikki Junnila VERKOT JOUKOISTA JA RELAATIOISTA Heikki Junnila VERKOT LUKU I JOUKOISTA JA RELAATIOISTA 1. Joukkojen symmetrinen erotus.....................................1 2. Relaation sisältämät kuvaukset.................................... 7 Harjoitustehtäviä................................................

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 26. lokakuuta 2004 34 Sisältö 3 Reaauuttujan funktiot 35 3.1 Peruskäsitteitä................................. 35 3.2 Raja-arvon määritelmä............................. 43 3.3 Raja-arvon

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Lineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot:

Lineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot: Lineaarikuvaukset 12. joulukuuta 2005 1 Yleistys multivektoreille Olkoon F lineaarikuvaus vektoriavaruudessa. Yleistetään F luonnollisella tavalla terille F (a 1 a n ) = F (a 1 ) F (a n ), (1) sekä terien

Lisätiedot

Topologian demotehtäviä

Topologian demotehtäviä Topologian demotehtäviä 31.10.2012 1.1 Olkoon X joukko ja {T α } α I epätyhjä (eli I ) perhe X:n topologioita. Ovatko joukot T α P(X) ja/tai T α P(X) α I välttämättä X:n topologioita? Tässä on ehkä syytä

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa

Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Antti Karvinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2016 Tiivistelmä: Antti Karvinen, Yleistettyjen jonojen

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot