TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "TOPOLOGISET RYHMÄT. I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa"

Transkriptio

1 Heikki Junnila TOPOLOGISET RYHMÄT I Topologisten ryhmien yleistä teoriaa 1. Määritelmä, perusominaisuuksia Aliryhmät ja tekijäryhmät. Jatkuvat homomorfismit. Tulot Yhtenäisyys ja epäyhtenäisyys topologisissa ryhmissä Pituusfunktiot II Lokaalisti kompaktien ryhmien yleistä teoriaa 5. Perusominaisuuksia Jatkuvat homomorfismit ja pituusfunktiot...54 III Kompaktin ryhmän invariantti integraali. Peter Weylin lause. 7. Integraalin olemassaolo ja yksikäsitteisyys Lineaariset ryhmät ja topologisten ryhmien esitykset Peter-Weylin lause. a) Sisätuloavaruuksien operaattoreista...80 b) Peter Weylin lause ja sen sovellutuksia...88 IV Kommutatiivisten lokaalisti kompaktien ryhmien dualiteettiteoriaa. 10. Karakteerit ja duaaliryhmät. Johdatusta dualiteettiteoriaan Kompaktien ryhmien ja diskreettien ryhmien välinen dualiteetti. a) Diskreetin ryhmän karakteeriryhmä b) Stone-Weierstrassin lause ja kompaktin ryhmän karakteeriryhmä c) Dualiteettilause kompakteille ja diskreeteille toporyhmille Lokaalisti kompaktien kommutatiivisten ryhmien rakenne. a) Itseduaaleja toporyhmiä b) Rakennelauseita Dualiteettilause ja sen seurauksia Liite: Ascolin lause

2

3 I. Topologisten ryhmien yleistä teoriaa 1. Määritelmä. Perusominaisuuksia 1.1 Määritelmä Olkoon (G, ) ryhmä. Joukon G topologia τ on ryhmän (G, ) ryhmätopologia, mikäli on voimassa: a) (G, ) on ryhmä. b) (G, τ) on topologinen avaruus. c) (x, y) x y on jatkuva kuvaus (G, τ) (G, τ) (G, τ). d) x x 1 on jatkuva kuvaus (G, τ) (G, τ). Topologinen ryhmä on kolmikko (H,, π), missä (H, ) on ryhmä ja π on ryhmän (H, ) ryhmätopologia. Lyhennyksiä: toporyhmä = topologinen ryhmä. Kun sekaannuksen vaaraa ei ole, käytetään ilmauksen toporyhmä (G,, τ) asemasta ilmausta toporyhmä G. 1.2 Esimerkkejä topologisista ryhmistä: 3 o (G,, δ), missä (G, ) on mielivaltainen ryhmä ja δ on joukon G diskreetti topologia. 1 o (R, +, τ), missä τ on R:n tavallinen (euklidinen) topologia. 2 o (Q, +, τ ), missä τ on Q:n relatiivitopologia esimerkin 1 o topologian τ suhteen. 4 o (T,, τ), missä T = {z C : z = 1}, merkitsee kompleksilukujen kertolaskua ja τ euklidista topologiaa. 5 o (GL(n, C),, τ), missä GL(n, C) on kaikkien n n säännöllisten (= kääntyvien ) C kertoimisten matriisien joukko, on matriisien kertolaskun merkki ja τ saadaan C n2 :n topologiasta identifikaatiolla a 1,1 a 1,n.. (a 11,..., a 1n, a 21,..., a n1,..., a nn ). a n,1 a n,n 1

4 Vastaesimerkkejä : 1 o (R, +, π), missä π:lla on kantana perhe {[x, x + ε) : x R ja ε > 0}. Nähdään helposti, että kuvaus (x, y) x + y on jatkuva, mutta kuvaus x x on epäjatkuva. 2 o (R, +, ρ), missä ρ on saatu laajentamalla R:n tavallista topologiaa siten, että piste 0 tulee eristetyksi. Nähdään, että kuvaus x x on jatkuva, mutta kuvaus (x, y) x+y on epäjatkuva. 1.3 Merkintöjä: Olkoon (G, ) ryhmä ja olkoot A ja B G:n osajoukkoja. Merkitään AB = {a b : a A &b B}. Edelleen, merkitään A 1 = A, A 2 = AA ja yleisesti A n+1 = A n A. Merkitään A 1 = {a 1 : a A}. Kun g G, niin merkitään ga = {g}a ja Ag = A{g}. Jos G:n operaatiomerkkinä on +, kirjoitetaan A + B, na, A, g + A, jne. Merkitään inv:llä kuvausta x x 1 G:ltä G:lle. Jokaisella n > 1, merkitään op n :llä kuvausta (x 1,..., x n ) x 1 x n G n :ltä G:lle. 1.4 Lemma Kaikilla A 1,...A n G on voimassa A 1 1 = inv(a 1 ) ja A 1 A 2 A n = op n (A 1 A 2 A n ). 1.5 Lemma Olkoot x 1,..., x n toporyhmän G alkioita ja olkoon O sellainen G:n avoin osajoukko, että on voimassa x 1 x n O. Tällöin on olemassa sellaiset G:n avoimet osajoukot U 1,..., U n, että U 1 U n O ja jokaisella i n pätee, että x i U i. Todistus. Induktiolle luvun n suhteen. Jos n = 1, niin väite on triviaalisti voimassa. Oletetaan väite todistetuksi arvolla n = k. Olkoon G:n alkioille x 1,..., x k+1 voimassa x 1 x k+1 O. Koska op 2 on toporyhmän määritelmän nojalla jatkuva kuvaus G G G, on joukko op 1 2 (O) G G:n avoin osajoukko. On voimassa op 2(x 1 x k, x k+1 ) O, joten (x 1 x k, x k+1 ) op 1 2 (O). Joukon op 1 2 (O) avoimuuden ja tulotopologian määritelmän nojalla on olemassa sellaiset G:n avoimet osajoukot U ja V, että x 1 x k U, x k+1 V ja U V op 1 2 (O). Koska on voimassa U V op 1 2 (O), niin pätee, että UV = op 2 (U V ) O. Koska joukko U on avoin ja x 1 x k U, niin induktio oletuksen nojalla on olemassa sellaiset avoimet joukot U i G, i = 1,..., k, että U 1 U k U ja x i U i jokaisella i = 1,..., n. Merkitään U k+1 = V. Tällöin U 1 U k+1 = (U 1 U k )V UV O ja jokaisella i k + 1 on voimassa x i U i. 2

5 Lemmojen 1.4 ja 1.5 nojalla on voimassa 1.6 Lause Kun G on toporyhmä, niin op n on jatkuva kuvaus G n G jokaisella n 1. Yllä olevasta tuloksesta seuraa, että kaikki kuvaukset, jotka saadaan kertomalla keskenään toporyhmän alkioita tai niiden käänteisalkioita, ovat jatkuvia: 1.7 Korollaari Olkoon G toporyhmä. Olkoot x 1,..., x n muuttujasymboleita ja olkoot y 1,..., y k joukon {x 1,..., x n } G alkioita. Olkoot ǫ 1,..., ǫ k joukon { 1, 1} alkioita. Tällöin on jatkuva kuvaus G n G. (x 1,..., x n ) y ǫ 1 1 yǫ 2 2 yǫ k k Todistus. Määritellään kuvaus f : G n G k asettamalla f(x 1,..., x n ) = (y ǫ 1 1, yǫ 2 2,..., yǫ k k ). Kuvaus f on jatkuva, koska jokaisella i k, komponenttikuvaus (x 1,..., x n ) y ǫ i i on joko vakiokuvaus (kun y i G), projektiokuvaus (x 1,..., x n ) x l (kun y i = x l ja ǫ i = 1) tai projektion ja jatkuvan kuvauksen inv yhdistetty kuvaus (x 1,..., x n ) x 1 l (kun y i = x l ja ǫ i = 1). Korollaarissa mainitun kuvauksen jatkuvuus seuraa nyt Lauseen 1.6 nojalla, koska mainittu kuvaus voidaan esittää muodossa op k f. Seuraavassa Korollaarin 1.7 tulosta käytetään usein ilman eri mainintaa, korkeintaan todetaan jonkun funktion olevan jatkuva ryhmäoperaatioiden jatkuvuuden nojalla. Näytetään seuraavaksi, että jokaisessa toporyhmässä on runsaasti itseishomeomorfismeja. 1.8 Lause Olkoot g ja h toporyhmän G alkioita. Tällöin kuvaukset x x 1 ja x gxh ovat surjektiivisia homeomorfismeja G G. Todistus. Kuvausten jatkuvuus seuraa Korollaarista 1.7. Kuvaukset ovat bijektioita G G, koska niillä on käänteiskuvaukset x x 1 ja x g 1 xh 1. Myös käänteiskuvausten jatkuvuus seuraa Korollaarista 1.7. Erityisesti, G:n oikean ja vasemmanpuoliset siirrot eli translaatiot x xg ja x gx sekä G:n sisäiset automorfismit x gxg 1 ovat homeomorfismeja. 1.9 Korollaari Jos E on toporyhmän G avoin (suljettu) osajoukko ja g, h G, niin joukot E 1 ja geh ovat avoimia (suljettuja). 3

6 1.10 Korollaari Olkoot A, B ja U G:n osajoukkoja. Jos U on avoin, niin joukko AUB on avoin. Todistus. Tämä seuraa edellisen korollaarin tuloksesta, koska AUB = {aub : a A ja b B}. Topologisen avaruuden X osajoukon A sulkeumaa merkitään joko A, ClA tai Cl X A ja sisäosaa joko A, IntA tai Int X A Korollaari Olkoon A G:n osajoukko ja g, h G:n alkioita. Tällöin A 1 = A 1, gah = gah, (A ) 1 = (A 1 ) ja ga h = (gah). Todistus. Tämä seuraa Lauseen 1.8 tuloksesta, sillä jokaiselle surjektiiviselle homeomorfismille f : G G pätee, että f(a) = f(a) ja f(a) = f(a ). Kun P on jokin algebrallinen (topologinen) ominaisuus, niin toporyhmällä (G,, τ) (lyhyesti, toporyhmällä G) sanotaan olevan ominaisuus P, mikäli ryhmällä (G, ) (topologisella avaruudella (G, τ)) on ominaisuus P. POIKKEUS: Ilmaisu normaali aliryhmä viittaa aina aliryhmään, joka on algebrallisessa mielessä normaali (eli invariantti) eikä aliryhmään, joka on aliavaruutena topologisessa mielessä normaali Korollaari Olkoon e toporyhmän G neutraalialkio. Tällöin G on T 1 toporyhmä jos ja vain jos G:n osajoukko {e} on suljettu. Todistus. Jos G on T 1, niin joukko {e} on suljettu. Jos taas {e} on suljettu joukko, niin Korollaarin 1.11 nojalla jokainen joukko {g}, missä g G, on suljettu, koska {g} = g{e} = g{e} = g{e} = {g} Määritelmä Joukon A osajoukkojen perhe F on filtterikanta joukolla A, mikäli 1 / F ja 2 kaikilla F, H F on olemassa sellainen E F, että E F H. Perhe F on filtteri joukolla A, jos F toteuttaa ehdot 1 ja 2 sekä lisäksi ehdon 3 : jos F F ja F B A, niin tällöin B F. Filtterin F osaperhe H on F :n kanta, mikäli on voimassa F = {B A : sellainen H H, että H B}. Nähdään helposti, että filtterin jokainen kanta on filtterikanta. Topologisen avaruuden X pisteen x ympäristöfiltteri on perhe {B X : x B }; tästä filtteristä käytetään merkintää η x (X) tai, milloin sekaannuksen vaaraa ei ole, merkintää η x. Filtterin η x kantoja kutsutaan pisteen x ympäristökannoiksi. 4

7 Ryhdytään nyt tarkastelemaan toporyhmien pisteiden ympäristökantoja. Ensimmäinen tulos osoittaa, että riittää tarkastella neutraalialkion e ympäristökantoja sekä että jokainen e:n ympäristökanta määrää ryhmätopologian yksikäsitteisesti Lause Olkoon U perhe toporyhmän G osajoukkoja ja olkoon g G:n alkio. Tällöin seuraavat ehdot ovat keskenään yhtäpitävät: a) U on e:n ympäristökanta. b) {U 1 : U U} on e:n ympäristökanta. c) {gu : U U} on g:n ympäristökanta. d) {Ug : U U} on g:n ympäristökanta. Todistus. Lause 1.8 ja huomio, että homeomorfismi vie pisteen ympäristökannan kuvapisteen ympäristökannaksi. Seuraavassa lauseessa karakterisoidaan niitä perheitä, jotka voivat esiintyä jossain ryhmätopologiassa ryhmän neutraalialkion ympäristökantoina. Todistetaan aluksi 1.15 Lemma Olkoon U toporyhmän G neutraalialkion ympäristökanta. Tällöin on voimassa: a) Jokaisella U U on olemassa sellainen V U, että V 2 U. b) Jokaisella U U on olemassa sellainen V U, että V 1 U. c) Kaikilla U U ja g G on olemassa sellainen V U, että gv g 1 U. Todistus. Olkoon U perheen U joukko. a) Koska e e U ja koska op 2 on jatkuva kuvaus, on olemassa sellaiset e:n ympäristöt O ja W, että OW = op 2 (O W) U. Valitaan V U siten, että on voimassa V O W. Tällöin V 2 OW U. b) Tämä seuraa suoraan Lauseesta c) Olkoon g G:n piste. Määritellään kuvaus f : G G kaavalla f(x) = gxg 1. Kuvaus f on Lauseen 1.8 nojalla jatkuva. Koska f(e) = e ja U η e, on voimassa f 1 (U) η e. Olkoon joukolle V U voimassa V f 1 (U). Tällöin f(v ) U eli gv g 1 U Lause Olkoon G ryhmä ja olkoon U sellainen filtterikanta joukolla G, että Lemman 1.15 ehdot a), b) ja c) toteutuvat. Tällöin on olemassa yksi ja vain yksi sellainen G:n ryhmätopologia τ, että U on G:n neutraalialkion ympäristökanta topologiassa τ. 5

8 Todistus. Topologian yksikäsitteisyys seuraa Lauseen 1.14 tuloksesta, joten riittää näyttää olemassaolo. Näytetään aluksi, että on voimassa e U. Olkoon U perheen U joukko. Ehtojen a) ja b) voimassaolosta seuraa, että on olemassa sellaiset joukot V, W U, että V 2 U ja W 1 V. Koska U on filtterikanta, on voimassa V W. Olkoon g joukon V W alkio. Tällöin g 1 W 1 V, joten e = g g 1 V 2 U. Merkitään τ = {O G : x O U U s.e. xu O}. Näytetään, että τ on G:n topologia. Selvästikin, G τ ja τ. Nähdään myös helposti, että τ on suljettu yhdistysten suhteen. Osoitetaan, että τ on suljettu äärellisten leikkausten suhteen. Olkoot O 1,..., O n perheen τ joukkoja ja O = n i=1 O i. Olkoon x joukon O piste. Jokaisella i n, koska x i τ, on olemassa sellainen U i U, että xu i O i. Koska U on filtterikanta, on olemassa sellainen U U, että U n i=1 U i. Nyt on voimassa xu n i=1 xu i n i=1 O i = O. On näytetty, että τ on G:n topologia. Pannaan merkille, että topologialla τ on seuraava ominaisuus: kaikilla O τ ja g G on voimassa go τ. Tämä pätee, koska x go g 1 x O U U s.e. g 1 xu O eli s.e. xu go. Näytetään, että U on η e (G, τ):n kanta. Jos E η e (G, τ), niin e Int τ E, joten τ :n määrittelyn nojalla on olemassa sellainen U U, että U = eu Int τ E E. Kääntäen, olkoon U perheen U joukko. Merkitään W = {x G : V U s.e. xv U}. Tällöin e W U. Näytetään, että W τ. Olkoon x W :n piste. Tällöin on olemassa sellainen V U, että xv U. Edelleen, on olemassa sellainen P U, että P 2 V. On voimassa xp W, sillä jokaiselle y xp pätee, että yp xp 2 xv U. Täten W τ. On näytetty, että U on η e (G, τ):n kanta. Näytetään lopuksi, että τ on G:n ryhmätopologia. Olkoon W τ :n joukko ja olkoot x ja y sellaisia G:n pisteitä, että on voimassa xy W. Tällöin on olemassa sellainen U U, että xyu 2 W. Edelleen, on olemassa sellainen V U, että y 1 V y U eli V yuy 1. On voimassa xv yu x ( yuy 1) yu = xyu 2 W. Koska V, U η e (G, τ), on aikaisemmin osoitetun nojalla voimassa xv η x (G, τ) ja yu η y (G, τ). On näytetty, että kuvaus (x, y) xy on jatkuva. 6

9 Sen osoittamiseksi, että kuvaus x x 1 on jatkuva, riittää näyttää, että W 1 τ jokaisella W τ. Olkoon W perheen τ joukko ja olkoon x joukon W 1 piste. Tällöin x 1 W, joten on olemassa sellainen U U, että x 1 U W. Edelleen, on olemassa sellaiset joukot V, R U, että V 1 U ja xrx 1 V. Nyt on voimassa xr V x = ( x 1 V 1) 1 ( x 1 U ) 1 W 1. On näytetty, että W 1 τ Esimerkki Olkoon G ryhmä ja olkoon U sellainen filtterikanta G:llä, että jokainen U :n jäsen on G:n normaali aliryhmä. Tällöin U toteuttaa Lemman 1.15 ehdot a) c), joten U on e:n ympäristökanta jossain G:n ryhmätopologiassa. Lauseen 1.14 tulos osoitti, että toporyhmän pisteelle g voidaan konstruoida ympäristökantoja neutraalialkion ympäristökantojen avulla. Esitetään vielä yksi tällainen konstruktio Lemma Olkoon g toporyhmän G piste. Tällöin perhe {UgU : U η e (G)} on g:n ympäristökanta. Todistus. Jokaiselle U η e pätee, että Ug UgU, joten UgU η g, Lauseen 1.14 nojalla. Olkoon nyt annettuna O η g. Määritellään kuvaus f : G 2 G kaavalla f(x, y) = xgy; f on Korollaarin 1.7 nojalla jatkuva. Koska f(e, e) = g IntO, on olemassa sellaiset joukot V, W η e, että f(v W) O eli V gw O. Kun valitaan U η e siten, että on voimassa U V W, niin on voimassa UgU O. Seuraavassa lauseessa esitetään lausekkeita toporyhmän osajoukon sulkeumalle Lause Toporyhmän G osajoukolle A pätee, että A = UA = U η e AU = UAU. U η e U η e Todistus. Näytetään aluksi, että A U η e UA ja A U η e AU. Olkoon x joukon A piste ja U perheen η e joukko. Lemman 1.15 nojalla on olemassa sellainen V η e, että V 1 U. Koska x A, on voimassa (xv ) A ja (V x) A. Täten on olemassa sellaiset joukon V pisteet v ja w, että xv A ja wx A. Nyt on voimassa x = (xv)v 1 AV 1 AU ja x = w 1 (wx) V 1 A UA. On näytetty, että A UA ja A AU. 7

10 Koska jokaiselle U η e pätee, että UA UAU ja AU UAU, on todistus suoritettu kunhan osoitetaan, että U η e UAU A. Tehdään vastaväite: on olemassa piste x U η e UAU \ A. Tällöin G \ A η x, joten Lemman 1.18 nojalla on olemassa sellainen U η e, että UxU A =. Valitaan V η e siten, että V 1 U. Oletuksen nojalla x V AV, joten on olemassa sellaiset pisteet v, w V ja a A, että x = vaw. Nyt on voimassa a = v 1 xw 1 V 1 xv 1 UxU, mikä on ristiriidassa sen kanssa, että UxU A =. Seuraava tulos saadaan Lauseesta 1.19 Korollaarin 1.12 nojalla Korollaari Toporyhmä G on T 1 toporyhmä jos ja vain jos η e = {e}. tuloksen. Valitsemalla Lauseessa 1.19 joukoksi A perheen η e jäsenen U, saamme seuraavan 1.21 Korollaari Jokaisella U η e on voimassa U U 2. Palautetaan mieliin, että topologisen avaruuden sanotaan olevan säännöllinen, mikäli jokaisella avaruuden pisteellä on suljettujen joukkojen muodostama ympäristökanta. Säännöllisiä T 1 avaruuksia kutsutaan T 3 avaruuksiksi Korollaari A. Jokainen toporyhmä on säännöllinen. B. Jokainen T 1 toporyhmä on Hausdorffin avaruus. Todistus. A. Olkoon G toporyhmä. Korollaarin 1.21 ja Lemman 1.15 nojalla G:n pisteellä e on suljettujen joukkojen muodostama ympäristökanta; tästä seuraa Lauseen 1.14 ja Korollaarin 1.9 nojalla, että jokaisella G:n pisteellä on suljettujen joukkojen muodostama ympäristökanta. B. Jokainen säännöllinen T 1 avaruus on Hausdorffin avaruus. Seuraavaksi esitetään eräitä toporyhmien kompakteja osajoukkoja koskevia tuloksia. Todistetaan aluksi eräs topologinen aputulos Lemma Olkoon jokaisella i = 1,..., n K i topologisen avaruuden X i kompakti osajoukko ja olkoon O sellainen tuloavaruuden n i=1 X i avoin osajoukko, että n i=1 K i O. Tällöin on olemassa sellaiset avoimet joukot O i X i, i = 1,..., n, että n i=1 K i n i=1 O i O. 8

11 Todistus. Koska O on joukon n i=1 K i jokaisen pisteen ympäristö tuloavaruudessa n i=1 X i, on jokaisella (k i ) n i=1 n i=1 X i olemassa sellaiset avoimet joukot V i X i, että (k i ) n i=1 n i=1 V i O. Tästä seuraa, koska joukko n i=1 K i on kompakti, että on olemassa sellaiset avoimet joukot V l i X i, i = 1,..., n ja l = 1,..., m, että n i=1 K i m l=1 Merkitään jokaisella i = 1,..., n ja jokaisella k K i {V l i että n n i=1 V l i O. Vk i :lla k:n avointa ympäristöä : l = 1,..., m ja k V l i }. Pannaan merkille, että jokaisella (k i) K i pätee, k i O. Merkitään jokaisella i = 1,..., n O i :llä X i :n avointa osajoukkoa {V i k : k K i } ja pannaan merkille, että K i O i. Osoitetaan, että n i=1 O i O. Olkoon (x i ) joukon n i=1 O i piste. Tällöin jokaisella i = 1,..., n on voimassa x i O i, i=1 V i joten on olemassa sellainen k i K i, että x i V i k i. On voimassa (x i ) n i=1 V i k i O. Seuraava tulos vahvistaa Lemman 1.18 tulosta Lause Olkoon K toporyhmän G kompakti osajoukko ja olkoon O sellainen G:n avoin osajoukko, että K O. Tällöin on olemassa sellainen U η e, että UKU O. Todistus. Koska op 3 on Lauseen 1.6 nojalla jatkuva kuvaus G 3 G, on joukko op 1 3 (O) G 3 :n avoin osajoukko. Koska K O, on voimassa op 3 ({e} K {e}) O eli {e} K {e} op 1 3 (O). Lemman 1.23 nojalla on olemassa sellaiset joukot V, W η e, että V K W op 1 3 (O). Olkoon joukolle U η e voimassa U V W ; tällöin U K U op 1 3 (O) eli UKU O. Seuraava tulos vahvistaa Lemman 1.15 ehtoa c) Lause Olkoon K toporyhmän G kompakti osajoukko. Tällöin on jokaisella U η e olemassa sellainen V η e, että jokaisella k K on voimassa kv k 1 U. Todistus. Määritellään kuvaus f : G 2 G kaavalla f(x, y) = xyx 1. Kuvaus f on Korollaarin 1.7 nojalla jatkuva. Olkoon U e:n avoin ympäristö. Koska f (G {e}) = {e} U, niin Lemman 1.23 tuloksen nojalla on olemassa sellainen V η e, että K V f 1 (U). Jokaisella k K on voimassa f ({k} V ) U eli kv k 1 U. Lauseen 1.25 tulos voidaan ilmaista myös seuraavasti: kun K G on kompakti ja U on e:n ympäristö, niin myös joukko k K k 1 Uk on e:n ympäristö. Seuraava esimerkki osoittaa, että vaatimus joukon K kompaktisuudesta on välttämätön Lauseessa

12 0 1 u 1.26 Esimerkki Kun x, y, z ja u ovat reaalilukuja, niin on voimassa ( 1 x 0 y 0 u) = ( 1 z+xu ) ( 0 yu ja, mikäli u > 0, 1 z ) 1 ( 1 z ) { (1 0 u = u ; täten joukko x ) } 0 y : x, y R, y > 0 muodostaa ryhmän matriisien kertolaskun suhteen. Tämän ryhmän kanssa isomorfinen ryhmä (G, ) saadaan asettamalla G = {(x, y) R 2 : y > 0} ja määrittelemällä operaatio seuraavasti: (x, y) (z, u) = (z+xu, yu). Ryhmällä (G, ) on neutraalialkiona (0, 1) ja alkiolla ( ) (x, y) on käänteisalkiona x y, 1 y. Merkitään τ :lla topologiaa, joka G:llä on euklidisen tason aliavaruutena. Nähdään helposti, että (G, ) on topologinen ryhmä. )( 1 z Joukko U = {(x, y) G : x < 1} on G:n neutraalialkion (0, 1) ympäristö. Näytetään, että jokaisella V η (0,1) on olemassa sellainen g G, että gv g 1 U. Todetaan ( ) aluksi, että kaikille (x, y), (z, u) G pätee, että (x, y) (z, u) (x, y) 1 z+xu x = y, u. Olkoon nyt V (0, 1):n ympäristö. Tällöin on olemassa sellainen ǫ > 0, että (ǫ, 1) V. Jokaisella (x, y) Gon voimassa (x, y) (ǫ, 1) (x, y) 1 ǫ ( = ), y, 1 joten valitsemalla (x, y) G siten, että ǫ y > 1, on voimassa (x, y) (ǫ, 1) (x, y) 1 / U. Seuraavaksi esitetään Korollaarien 1.9 ja 1.10 vastineet kompakteille joukoille Lause Kun K on toporyhmän G kompakti osajoukko, niin joukko K 1 on kompakti. Kun K ja C ovat kompakteja joukkoja, niin joukko KC on kompakti. Kun K on kompakti joukko ja S suljettu joukko, niin joukot KS ja SK ovat suljettuja. Todistus. Ensimmäinen väite seuraa suoraan Lauseesta 1.8. Olkoot K G ja C G kompakteja. Tällöin G G:n osajoukko K C on Tihonovin Lauseen nojalla kompakti. Joukko KC on kompakti, koska se on kompaktin joukon K C kuva jatkuvassa kuvauksessa op 2. Olkoon nyt K G kompakti ja S G suljettu. Näytetään, että joukko KS on suljettu. Olkoon x joukon G \ KS piste. Tällöin on voimassa ( K 1 x ) S = eli K 1 x G \S. Joukko G \S on avoin ja joukko K 1 x on todistuksen alkuosassa esitetyn nojalla kompakti. Lauseen 1.24 nojalla on olemassa sellainen U η e, että on voimassa ( K 1 x ) U G \ S eli ( K 1 (xu) ) S =. On voimassa (xu) (KS) = ; koska joukko xu on Lauseen 1.14 nojalla x:n ympäristö, on näytetty, että joukko KS on suljettu. Aivan vastaavasti näytetään, että joukko SK on suljettu Korollaari Kun K on toporyhmän kompakti osajoukko, niin joukko K on kompakti ja K = K{e} = {e}k. 10

13 Todistus. Joukot K{e} ja {e}k ovat edellisen lauseen nojalla suljettuja. Koska K K{e} {e}k, on voimassa K K{e} {e}k. Korollaarin 1.11 nojalla on voimassa K{e} = k K k{e} = k K {k} = k K {e}k = {e}k ; tästä seuraa, että on voimassa ( ) ( ) K{e} {e}k K. Täten K = K{e} = {e}k. Lauseen 1.19 nojalla on voimassa {e} = η e, joten joukko {e} on kompakti. Edellisen lauseen nojalla joukko K = {e}k on kompakti. Seuraava esimerkki osoittaa, että toporyhmän osajoukko F S ei välttämättä ole suljettu, vaikka sekä F että S olisivat suljettuja joukkoja Esimerkki Merkitään F = Z ja S = {n + 1 n : n Z, n > 1}. Tällöin F ja S ovat R:n suljettuja osajoukkoja, mutta joukko F + S ei ole suljettu, sillä 0 / F + S, mutta kuitenkin 0 F + S, koska 1 n F + S jokaisella n > 1. Karakterisoidaan lopuksi ryhmätopologioita. Ensimmäiseksi osoitetaan, että ryhmätopologian määritelmässä esiintyvät kaksi ehtoa voidaan korvata yhdellä ehdolla Lause Joukon G topologia π on ryhmän (G, ) ryhmätopologia jos ja vain jos kuvaus (x, y) x y 1 on jatkuva (G, π) (G, π) (G, π). Todistus. Välttämättömyys Korollaarin 1.7 nojalla. Riittävyys. Oletetaan, että kuvaus (x, y) x y 1 on jatkuva. Tällöin kuvaus y y 1 on jatkuva yhdisteenä y (e, y) y 1. Edelleen, kuvaus (x, y) (x, y 1 ) on jatkuva komponenttikuvausten jatkuvuuden nojalla; täten kuvaus (x, y) x y on jatkuva yhdisteenä (x, y) (x, y 1 ) x (y 1 ) 1. Seuraavaksi osoitetaan, että jos π on sellainen ryhmän G topologia, että G:n alkioiden määräämät siirrot ovat jatkuvia topologian π suhteen, niin ryhmätopologian määritelmän kaksi ehtoa voidaan korvata heikommilla ehdoilla. Palautetaan mieliin, että topologisten avaruuksien välinen kuvaus f : X Y on jatkuva pisteessä x X, mikäli jokaisella V η f(x) (Y ) on voimassa f 1 (V ) η x (X) Lause Olkoon (G, ) ryhmä ja olkoon π joukon G topologia. Perhe π on (G, ):n ryhmätopologia jos ja vain jos on voimassa i) Kuvaus (x, y) x y on jatkuva G G:n pisteessä (e, e). ii) Kuvaus x x 1 on jatkuva G:n pisteessä e. iii) Jokaisella g G, translaatiot x gx ja x xg ovat jatkuvia. 11

14 Todistus. Välttämättömyys Lauseen 1.8 nojalla. Riittävyys. Oletetaan, että π toteuttaa ehdot i) iii). Pannaan merkille, että ehdon iii) voimassaolosta seuraa, kuten Lauseen 1.8 todistuksessa, että translaatiot ovat homeomorfismeja G G. Merkitään U = η e (G, π). Ehdosta i) seuraa, että U toteuttaa Lemman 1.15 ehdon a) ja ehdosta ii) seuraa, että saman lemman ehto b) toteutuu. Osoitetaan, että myös Lemman 1.15 ehto c) on voimassa. Valitaan U U ja g G. Koska kuvaus x xg on homeomorfismi ja koska U η e (π), niin on voimassa Ug η g (π); tästä seuraa vastaavasti, kuvauksen x g 1 x homeomorfisuuden nojalla, että on voimassa g 1 (Ug) η e (π). Valitaan V = g 1 Ug. Tällöin V U ja gv g 1 = U. On osoitettu, että Lemman 1.15 ehto c) on voimassa. Lauseen 1.16 todistuksen nojalla perhe τ = {O G : g O U U s.e. gu O} on G:n ryhmätopologia. Koska U = η e (π), nähdään translaatioiden x gx homeomorfisuuden nojalla olevan voimassa τ = π. 12

15 2. Aliryhmät ja tekijäryhmät. Jatkuvat homomorfismit. Topologisten ryhmien tulo. Tarkastellaan nyt eräitä konstruktioita, joiden avulla voidaan muodostaa annetuista toporyhmistä lähtien uusia toporyhmiä. Osoitetaan aluksi, että toporyhmän algebrallinen aliryhmä voidaan luonnollisella tavalla tehdä toporyhmäksi. 2.1 Lause Toporyhmän aliryhmän relatiivitopologia on aliryhmän ryhmätopologia. Todistus. Olkoon (G,, τ) toporyhmä ja olkoon (H, ) ryhmän (G, ) aliryhmä. Merkitään ρ:lla H :n relatiivitopologiaa avaruudessa (G, τ) (ts. ρ = {O H : O τ}). Koska x x 1 on jatkuva kuvaus (G, τ) (G, τ), niin tämän kuvauksen rajoittuma H :hon on jatkuva kuvaus (H, ρ) (H, ρ). Koska kuvaus (x, y) x y on jatkuva kuvaus (G, τ) (G, τ) (G, τ) ja koska tuloavaruuden (H, ρ) (H, ρ) topologia on sama kuin H H :n relatiivitopologia tuloavaruudessa (G, τ) (G, τ), niin kuvauksen (x, y) x y rajoittuma joukkoon H H on jatkuva kuvaus (H, ρ) (H, ρ) (H, ρ). Kun seuraavassa puhutaan toporyhmän aliryhmästä, niin tarkoitetaan toporyhmää, joka saadaan varustamalla aliryhmä relatiivitopologiallaan. Esimerkkejä. Q on R:n aliryhmä ja Z on Q:n aliryhmä. 2.2 Lause Jos H on G:n (normaali) aliryhmä, niin H on G:n (normaali) aliryhmä. Jos G on T 1 toporyhmä ja H on G:n kommutatiivinen aliryhmä, niin H on G:n kommutatiivinen aliryhmä. Todistus. Todetaan aluksi, että kaikilla A, B G on voimassa AB AB. Joukko AB ( ) voidaan esittää muodossa op 2 A B. Koska G G:ssä pätee, että A B = A B, ja ( ) koska kuvauksen op 2 jatkuvuuden nojalla on voimassa op 2 A B op2 (A B) = AB, niin nähdään inkluusion AB AB olevan voimassa. Olkoon H G:n aliryhmä. Tällöin HH = H ja H 1 = H. Edellä esitetyn nojalla on voimassa H H HH, joten H H H ; näinollen H on suljettu G:n laskutoimituksen suhteen. Toisaalta, Korollaarin 1.11 nojalla on voimassa H 1 = H 1 ; tästä seuraa, että 13

16 H 1 = H, joten H on myös suljettu käänteisalkioiden muodostamisen suhteen. On näytetty, että H on G:n aliryhmä. Oletetaan, että aliryhmä H on normaali. Tällöin jokaiselle g G pätee, että ghg 1 = H ja näinollen, Korollaarin 1.11 nojalla, että ghg 1 = ghg 1 = H. Täten aliryhmä H on normaali. Oletetaan lopuksi, että G on T 1 toporyhmä ja aliryhmä H on kommutatiivinen. Määritellään kuvaus f : G 2 G kaavalla f(x, y) = xyx 1 y 1. Kuvaus f on Korollaarin 1.7 nojalla jatkuva. Koska G on T 1 toporyhmä, on G:n osajoukko {e} suljettu. Edellisen nojalla G G:n osajoukko f 1 ({e}) on suljettu. Koska aliryhmä H on kommutatiivinen, kaikilla x, y H on voimassa f(x, y) = e; näinollen on voimassa H H f 1 ({e}) ja edelleen H H f 1 ({e}). Koska H H = H H, on edellisen nojalla voimassa f ( H H ) = {e}. Näinollen kaikilla x, y H on voimassa xyx 1 y 1 = e eli xy = yx. On osoitettu, että G:n aliryhmä H on kommutatiivinen. 2.3 Korollaari Jos e on toporyhmän G neutraalialkio, niin {e} on G:n normaali aliryhmä. 2.4 Korollaari T 1 toporyhmä G on kommutatiivinen, mikäli G:llä on tiheä kommutatiivinen aliryhmä. Toporyhmä on monoteettinen, mikäli se on T 1 ja sillä on tiheä syklinen aliryhmä. Edellisen tuloksen nojalla jokainen monoteettinen toporyhmä on kommutatiivinen. 2.5 Esimerkki Toporyhmä T on monoteettinen. Todistus. Jokaisella n Z\{0} on olemassa ainoastaan äärellisen monta sellaista alkiota t T, että t n = 1. Koska joukko T on ylinumeroituva, on olemassa sellainen alkio s T, että jokaisella n Z \ {0} on voimassa s n 1. Osoitetaan, että s:n virittämä T:n aliryhmä H = {s n : n Z} on tiheä T:ssä. Olkoon ǫ positiiviluku. Tällöin on olemassa sellaiset luvut n N ja k N, että n < k ja s n s k < ǫ. Koska n k, niin on voimassa sn s k, sillä muussa tapauksessa olisi voimassa 1 = sn = s n k. Joukon H alkiolle s n k on voimassa s k 0 < s n k 1 s n = s k 1 s n = s k s k = s n s k < ǫ ja tästä seuraa, että jokaisella t T on olemassa sellainen luku j N, että ǫ. Edellä esitetystä seuraa, että joukko H on tiheä T:ssä. 14 ( s n k) j t <

17 Toporyhmälle voidaan konstruoida suljettuja aliryhmiä paitsi Lauseen 2.2 myös seuraavan tuloksen avulla. 2.6 Lause Olkoon G toporyhmä ja olkoon perheelle U η e (G) voimassa: a) Jokaisella U U on olemassa sellainen V U, että V 2 U. b) Jokaisella U U on olemassa sellainen V U, että V 1 U. Tällöin U on G:n suljettu aliryhmä. Oletetaan, että ehtojen a) ja b) lisäksi on voimassa: c) Kaikilla U U ja g G on olemassa sellainen V U, että gv g 1 U. Tällöin U on G:n normaali aliryhmä. Todistus. Merkitään H = U. Oletetaan, että ehdot a) ja b) ovat voimassa. Nähdään helposti, että tällöin on voimassa H = {U 2 : U U} = {U 1 : U U}. Koska jokaiselle U U pätee, että H 2 U 2 ja H 1 U 1, seuraa edellisestä, että on voimassa H 2 H ja H 1 H ; näin ollen H on G:n aliryhmä. Koska jokaiselle U U pätee Korollaarin 1.21 nojalla, että U U 2, niin on voimassa H = U {U : U U} {U 2 : U U} = H ja tästä seuraa, että H on suljettu. Oletetaan, että myös ehto c) on voimassa. Näytetään, että aliryhmä H on normaali. Olkoon g G:n alkio. Ehdon c) voimassaolosta seuraa, että {gv g 1 : V U} H. Koska ghg 1 = g ( U) g 1 {gv g 1 : V U}, on edellisen nojalla voimassa ghg 1 H. On näytetty, että aliryhmä H on normaali. Näytetään seuraavaksi, että toporyhmän lokaalisti suljettu aliryhmä on (globaalisti) suljettu. 2.7 Lause Toporyhmän aliryhmä on suljettu, mikäli aliryhmä on suljettu jonkun pisteensä jossain ympäristössä. Todistus. Olkoon H toporyhmän G aliryhmä. Oletetaan, että on olemassa sellainen h H ja sellainen U η h, että joukko H U on suljettu G:n aliavaruudessa U. Näytetään, että H = H. Merkitään O = Int(U). Tällöin H O on O:n suljettu osajoukko ja tästä seuraa, koska O on G:n avoin osajoukko, että H O = H O. Jokaisella k H, koska kh = H ja k 1 H = k 1 H = H, on voimassa H ko = k ( k 1 H O ) = k ( H O ) = 15

18 k(h O) = H ko. Tästä seuraa, että on voimassa H HO = H k H ko = k H H ko = k H H ko H. Korollaarin 1.10 nojalla G:n osajoukko HO on avoin. Näin ollen, koska e = h 1 h HO, on voimassa HO η e. Lauseen 1.19 nojalla on voimassa H H(HO) = HO; täten pätee, että H HO = H ja tästä seuraa yhdessä aikaisemman kanssa, että on voimassa H H. On osoitettu, että H on suljettu. 2.8 Korollaari T 1 toporyhmän lokaalisti kompakti aliryhmä on suljettu. Todistus. Olkoon H T 1 toporyhmän G lokaalisti kompakti aliryhmä. Olkoon R e:n kompakti ympäristö G:n aliavaruudessa H. On olemassa sellainen joukko V η e (G), että V H = R. Koska G, ja täten myös jokainen G:n aliavaruus, on Korollaarin 1.23 nojalla Hausdorffin avaruus ja koska Hausdorffin avaruuden jokainen kompakti osajoukko on suljettu, on joukko R = V H suljettu G:n aliavaruudessa V. Lauseen 2.7 tuloksesta seuraa nyt, että H on G:n suljettu osajoukko. 2.9 Korollaari T 1 toporyhmän diskreetti aliryhmä on suljettu. Tarkastellaan seuraavaksi toporyhmien avoimia aliryhmiä Lause Olkoon H toporyhmän G aliryhmä. Jos Int G (H), niin H on avoin G:ssä. Jos H on avoin G:ssä, niin tällöin H on myös suljettu G:ssä. Todistus. Merkitään O = Int G (H). Oletetaan, että O. Joukko HO on Korollaarin 1.10 nojalla avoin G:ssä. Koska O H, on voimassa HO H 2 = H. Toisaalta, kun k on joukon O alkio, niin on voimassa H = {(hk 1)k : h H} HO. Täten H = HO ja H on avoin G:ssä. Jos H on G:n avoin aliryhmä, niin H η e ; koska H on G:n aliavaruuden H suljettu osajoukko, seuraa Lauseen 2.7 tuloksesta, että H on G:n suljettu osajoukko. Toporyhmän G avoin aliryhmä on G:n neutraalialkion ympäristö. Osoitetaan seuraavaksi, että jokainen G:n neutraalialkion ympäristö virittää G:n avoimen aliryhmän. Tarkastellaan ensin (algebrallisen) ryhmän osajoukon virittämää aliryhmää Lemma Jos A on ryhmän G osajoukko, A, niin joukko n=1 ( A A 1 ) n on G:n aliryhmä. 16

19 Todistus. Merkitään B = A A 1 ja H = n=1 Bn. Osoitetaan, että H on G:n aliryhmä. Koska B 1 = B, nähdään helposti, että jokaisella n 1 on voimassa ( B 1) n = B n ; tästä seuraa, että on voimassa H 1 = H. Toisaalta, HH = ( n=1 Bn ) ( n=1 Bn ) = n,k=1 Bn B k = n,k=1 Bn+k H. Koska on voimassa H, HH H ja H 1 = H, niin joukko H on G:n aliryhmä Määritelmä Olkoon A ryhmän G osajoukko, A. G:n aliryhmää ( ) n=1 A A 1 n kutsutaan A:n virittämäksi G:n aliryhmäksi. Jos ( ) n=1 A A 1 n = G, niin sanotaan, että A virittää G:n tai että A on G:n virittäjäjoukko. Selvästikin G:n epätyhjän osajoukon A virittämä G:n aliryhmä on suppein G:n aliryhmä, joka sisältää joukon A Lause Kun G on toporyhmä ja U η e (G), niin joukot ( ) n=1 U U 1 n ja ( ) U U 1 n ovat G:n avoimia aliryhmiä. n=1 Todistus. n=1 ( U U 1 ) n on U :n virittämä G:n aliryhmä ja n=1 ( U U 1 ) n on joukon U U 1 virittämä G:n aliryhmä. Koska U U 1 η e ja koska joukko U U 1 sisältyy kumpaankin aliryhmään, ovat aliryhmät Lauseen 2.10 nojalla avoimia. Siirrytään nyt tarkastelemaan toporyhmien tekijäryhmiä sekä toporyhmien välisiä jatkuvia homomorfismeja. Palautetaan mieliin algebrallisen tekijäryhmän määritelmä. Olkoon H ryhmän G normaali aliryhmä. Joukon H kaikkien siirtojoukkojen muodostamassa joukkoperheessä G/H = {xh : x G} voidaan määritellä binäärioperaatio asettamalla xh yh = xyh kaikilla x, y G. Operaatiolla varustettuna G/H on ryhmä, jonka neutraalialkio on H ja jossa alkion xh käänteisalkio on x 1 H. Merkitään ϕ H :lla luonnollista kuvausta G G/H, ϕ H (x) = xh. Tällöin ϕ H on surjektiivinen ryhmähomomorfismi ja jokaisella x G on voimassa ϕ 1 H (ϕ(x)) = xh. Olkoon nyt G toporyhmä ja olkoon τ(g) G:n topologia. Määritellään G/H :n osajoukkoperhe τ(g/h) seuraavasti: τ(g/h) = {O G/H : ϕ 1 H (O) τ(g)} Lause τ(g/h) on G/H :n ryhmätopologia. 17

20 Todistus. Merkitään τ(g) = τ, τ(g/h) = π, G/H = G ja ϕ H = ϕ. Koska jokaiselle G:n osajoukkoperheelle O pätee, että ϕ 1 ( O) = {ϕ 1 (O) : O O} ja ϕ 1 ( O) = {ϕ 1 (O) : O O}, nähdään helposti, että π on G:n topologia. Näytetään, että jokaisella U τ on voimassa ϕ(u) π. Topologian π määrittelyn nojalla on voimassa ϕ(u) π, mikäli ϕ 1 (ϕ(u)) τ. Jokaiselle x G on voimassa ϕ 1 (ϕ(x)) = xh ; tästä seuraa, että on voimassa ϕ 1 (ϕ(u)) = x U xh = UH. Korollaarin 1.10 nojalla UH τ, mikäli U τ. Edellä esitetyn nojalla on jokaisella U τ voimassa ϕ 1 (ϕ(u)) τ eli ϕ(u) π. Osoitetaan, että (a, b) a b on jatkuva kuvaus ( G, π) ( G, π) ( G, π). Olkoon O topologian π joukko ja olkoon G:n alkioille a ja b voimassa a b O. Olkoot x ja y sellaisia G:n alkioita, että on voimassa a = ϕ(x) ja b = ϕ(y). Tällöin ϕ(xy) = ϕ(x) ϕ(y) = a b O, joten xy ϕ 1 (O). Koska O π, on voimassa ϕ 1 (O) τ. Koska τ on ryhmätopologia ja xy ϕ 1 (O) τ, on olemassa sellaiset perheen τ joukot U ja V, että x U, y V ja UV ϕ 1 (O). Käyttämällä hyväksi ϕ:n homomorfisuutta, nähdään helposti, että on voimassa ϕ(uv ) = ϕ(u)ϕ(v ). Koska UV ϕ 1 (O), on voimassa ϕ(uv ) O eli ϕ(u)ϕ(v ) O. Aikaisemmin esitetyn nojalla pätee, että ϕ(u) π ja ϕ(v ) π. Koska a = ϕ(x) ϕ(u) ja b = ϕ(y) ϕ(v ), on osoitettu, että kuvaus (a, b) a b on jatkuva ( G, π) ( G, π) ( G, π). Sen osoittamiseksi, että kuvaus a a 1 on jatkuva ( G, π) ( G, π), todetaan ensin, että jokaiselle A G pätee, että ( ϕ 1 (A) ) 1 = ϕ 1 (A 1 ); tämä on voimassa, koska jokaisella x G on voimassa ϕ(x) 1 = ϕ(x 1 ) ja näinollen x ( ϕ 1 (A) ) 1 x 1 ϕ 1 (A) ϕ(x 1 ) A ϕ(x) 1 A ϕ(x) A 1 x ϕ ( 1 A 1). Koska jokaiselle U τ on voimassa U 1 τ, seuraa edellisestä topologian π määrittelyn nojalla, että jokaisella O π on voimassa O 1 π; tämä merkitsee sitä, että a a 1 on jatkuva kuvaus ( G, π) ( G, π). Topologiaa τ(g/h) kutsutaan toporyhmän G tekijäryhmän G/H tekijätopologiaksi. Kun seuraavassa puhutaan toporyhmän tekijäryhmästä, tarkoitetaan aina toporyhmää, joka saadaan varustamalla tekijäryhmä tekijätopologialla. 18

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3) 1.1 a) Joukkoperhe T = α I T α P(X) on topologia. Todistus. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T.

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Eräitä ratkeavuustarkasteluja

Eräitä ratkeavuustarkasteluja Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA

TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA Arttu Ojanperä (Eero Hyryn luentojen mukaan) 2013 Sisältö 1 Johdanto 4 1 Jatkuvat kuvaukset........................ 4 2 Avoimet joukot..........................

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle

Lisätiedot

Johdanto Lassi Kurittu

Johdanto Lassi Kurittu Johdanto Tämä luentomoniste on kirjoitettu syksyn 2012 topologian kurssin jälkimmäisen osan luentomateriaaliksi. Kurssin ensimmäisellä puoliskolla käsiteltiin metrisiä avaruuksia, mutta nyt siirrytään

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää

1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin

Lisätiedot

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT

KOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 8,

Algebra I, harjoitus 8, Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen

Lisätiedot

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Metristyvät topologiset avaruudet

Metristyvät topologiset avaruudet TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Arttu Ojanperä Metristyvät topologiset avaruudet Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tammikuu 2016 Tampereen Yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö OJANPERÄ,

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä

Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Pro Gradu-tutkielma Lauri Kangas 2192712 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2015 Sisältö 1 Perusteita 3 1.1 Ryhmät ja aliryhmät.......................

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Determinoiruvuuden aksiooma

Determinoiruvuuden aksiooma Determinoiruvuuden aksiooma Vadim Kulikov Esitelma 12 Maaliskuuta 2008 Tiivistelma. Valinta-aksioomasta seuraa, etta Leb(R) ( P(R), eli on olemassa epamitallisia joukkoja. Tassa esitelmassa nahdaan, etta

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset

Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset Proäärelliset ryhmät ja kuntalaajennukset Matti Åstrand Helsinki 25.5.2009 Pro gradu -tutkielma HELSINGIN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta Ryhmäteoriaa 2. Ryhmän toiminta Permutaatiot kuvaavat jonkin perusjoukon alkioita toisikseen. Eräät permutaatiot jättävät joitain alkioita paikalleen, toiset liikuttavat kaikkia joukon alkioita. Kaikki

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Kuvausten hajottaminen

Kuvausten hajottaminen LUKU 0 Kuvausten hajottaminen Tässä luvussa tarkastellaan eräitä kuvausten yhdistämiseen liittyviä kysymyksiä, joita kohdataan toistuvasti lähes kaikissa ns. abstraktin algebran konstruktioissa. Olkoot

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista

Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Suvi Pasanen Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2016 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö PASANEN,

Lisätiedot

Laskutoimitusten operaattorinormeista

Laskutoimitusten operaattorinormeista Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot