TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA"

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA Arttu Ojanperä (Eero Hyryn luentojen mukaan) 2013

2 Sisältö 1 Johdanto 4 1 Jatkuvat kuvaukset Avoimet joukot Avoimien joukkojen leikkaukset ja yhdisteet Topologiset avaruudet 10 1 Topologian peruskäsitteitä Jatkuvat kuvaukset topologiassa Suljetut joukot ja sulkeumat 16 1 Suljetut joukot Sisäpisteet, ulkopisteet ja reuna Sulkeuma Kasaantumispisteet ja erakkopisteet Hausdorffin avaruudet 25 1 Suppenevat jonot Hausdorffin avaruudet Topologian kanta 28 1 Kannan määritelmä Kantakriteeri Aliavaruudet 32 1 Indusoidut topologiat ja aliavaruudet Aliavaruuden ominaisuuksia Tuloavaruudet 36 1 Tuloavaruuden määritelmä Jatkuvat kuvaukset tuloavaruuksissa Homeomorfismit 42 1 Homeomorfismin määritelmä Homeomorfismien ominaisuuksia

3 9 Metriset Avaruudet 49 1 Metriikat Metriikan indusoima topologia Yhtenäisyys 57 1 Yhtenäisyyden määritelmä Polkuyhtenäisyys Yhtenäiset komponentit Kompaktisuus 66 1 Kompaktit topologiset avaruudet Jonokompaktisuus Tekijäavaruudet 79 1 Kertausta Tekijätopologiat Samaistuskuvaukset Äärettömät tuloavaruudet 91 1 Johdanto Äärettömän tulotopologian kanta Tulotopologian ominaisuuksia Filtterit

4 Esipuhe Topologia on modernissa muodossaan 1900-luvulla syntynyt matematiikan osa-alue (pohjana Henri Poincarén ( ) paperi Analysis Situs vuodelta 1895). Se on algebran ja analyysin ohella yksi modernin matematiikan pääosa-alueista. Sana topologia on johdettu kreikan kielestä, ja tarkoittaa jotaikuinkin samaa kuin paikan tieto tai paikan tutkimus. Jo tämän perusteella voidaan helposti arvata, mitä ovat ne elementit, joiden tutkimukseen topologia keskittyy. Tutkimuskohteena ovat siis muodot ja kuviot, aivan kuten geometriassakin. Mutta toisin kuin kvantitatiiviseen käsittelyyn keskittyvässä geometriassa, topologiassa ollaan kiinnostuneita muotojen ja kuvioiden kvalitatiivisista ominaisuuksista, ja etenkin sellaisista ominaisuuksista, jotka säilyvät jatkuvissa muutoksissa. On siis mahdollista muokata venyttämällä kuvioita miten paljon vain, kuitenkin ilman repimistä. Topologiaa onkin luonnehdittu plastiseksi geometriaksi ja jopa muovailuvahageometriaksi. Onkin huomionarvoista, että sellaiset geometriset kuviot kuten neliö, suorakaide, ympyrä ja ellipsi ovat kaikki keskenään topologisesti ekvivalentteja. Kuitenkin ympyrä, jossa on reikä keskellä, ei ole näiden kanssa topologisesti ekvivalentti. Yksi yleisesti kuultava anekdootti sanookin topologin olevan sellainen matemaatikko, joka ei erota toisistaan kahvikuppia ja munkkirinkilää. Tämä oppimateriaali on tarkoitettu käytettäväksi yliopistotason topologian kurssilla (tai vastaavalla). Se on laadittu alunperin Tampereen yliopiston Informaatiotieteiden yksikön tarjoaman topologian kurssin opiskelijoille. Materiaali pohjautuu professori Eero Hyryn ko. kurssilla vuonna 2013 pitämiin luentoihin. 3

5 Luku 1 Johdanto Aivan kuten abstraktissa algebrassa, myös abstraktissa topologiassa ei periaatteessa ole väliä sillä, mitä ovat perimmiltään ne joukot, joista konstruktioita muodostetaan. Ei kuitenkaan ole tarkoituksenmukaista ruveta suoraa päätä käsittelemään topologian abstraktioita. Tässä luvussa pyritäänkin esittämään reaalianalyysistä tuttujen käsitteiden yhteys topologiaan. Tällä tavalla opitaan käyttämään joitakin topologian keskeisiä sääntöjä hieman konkreettisempien esimerkkien kautta. 1 Jatkuvat kuvaukset Palautetaan mieleen reaalianalyysistä tuttu jatkuvien kuvausten määritelmä. On siis muisteltava vastausta seuraavaan kysymykseen: Milloin kuvaus f : R R on jatkuva? Idea: Kyseinen kuvaus on jatkuva täsmälleen silloin, kun f(x) voidaan saada mielivaltaisen lähelle f(x 0 ):aa, kun x valitaan tarpeeksi läheltä x 0 :aa. Reaalianalyysissä tärkein työkalu annetun kuvauksen jatkuvuuden todistamiseksi onkin tunnetusti epsilon delta-menetelmä. ε δ-määritelmä: Kuvaus f : R R on jatkuva, mikäli kaikilla x 0 R pätee seuraava ehto: Kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε. Esimerkki. Kuvaus f : R R, x x 2 on jatkuva. Todistus. Olkoon x 0 R ja olkoon ε > 0. Nyt f(x) f(x 0 ) = x 2 x 2 0 = (x + x 0 )(x x 0 ) = x + x 0 x x 0 Havainto: Jos x x 0 < 1, niin x + x 0 = x x 0 + 2x 0, 4

6 jolloin kolmioepäyhtälön nojalla x + x 0 = x x 0 + 2x 0 x x 0 + 2x 0. Edelleen oletuksen x x 0 < 1 nojalla Täten x + x 0 = x x 0 + 2x 0 x x 0 + 2x 0 < 1 + 2x 0. f(x) f(x 0 ) = x + x 0 x x 0 < (1 + 2x 0 ) x x 0. Valitaan siis δ = min(1, ε ). Tällöin kun x x 1+2 x 0 0 < δ, niin x x 0 < 1 ja f(x) f(x 0 ) < (1 + 2 x 0 ) x x 0 ε < (1 + 2 x 0 ) x 0 < ε Ajatus on siis, että valitaan mikä tahansa nollaa suurempi ε, niin on aina löydettävissä sitä vastaava nollaa suurempi δ siten, että aina kun tarkastellaan x:n arvoja alle δ:n etäisyydellä x 0 :sta, niin vastaavat funktion arvot ovat alle ε:n etäisyydellä f(x 0 ):sta. Havainto: x x 0 < δ δ < x x 0 < δ x 0 δ < x < x 0 + δ. Nyt siis voidaan määritellä tähän liittyvä avoin reaalilukuväli: { x R x x 0 < δ } = ]x 0 δ, x 0 + δ[. Jatkuvuuden määritelmä voidaan siis kirjoittaa muotoon: Kaikilla ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että eli x ]x 0 δ, x 0 + δ[ f(x) ]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[, f(]x 0 δ, x 0 + δ[) ]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[. Toisin sanoen, jokaiselle nollaa suuremmalle ε:lle on olemassa sellainen nollaa suurempi δ, että avoin väli x 0 δ:sta x 0 + δ:aan kuvautuu avoimen välin f(x 0 ) ε:sta f(x 0 ) + ε:aan sisälle. 5

7 2 Avoimet joukot Tämän lyhyen kertauksen jälkeen voidaan siirtyä tarkastelemaan topologisia käsitteitä sovellettuna reaalisiin joukkoihin. Topologian peruskäsitteistä olennaisin on avoimen joukon käsite, ja näin ollen aloitamme tämän tarkastelun juuri tästä käsitteestä. Määritelmä 1.1. Olkoon U R. Sanotaan, että U on avoin, mikäli kaikilla x 0 U on olemassa δ (= δ(x)) > 0 siten, että ]x 0 δ, x 0 + δ[ U. Toisin sanoen, jokainen avoimen joukon U alkio on keskikohta jollekin U:hun sisältyvälle avoimelle välille. Kun puhutaan avoimista joukoista, herää tietysti kysymys, tarkoittaako tämä reaalisten joukkojen tapauksessa samaa kuin avoimet välit. On helppo huomata, että selvä yhteys näiden käsitteiden välillä onkin olemassa. Esimerkki. Jokainen avoin väli ]a, b[, missä a < b, on avoin. Todistus. Olkoon x 0 ]a, b[. Jos 0 < δ < min(x 0 a, b x 0 ), niin { x0 + δ < x 0 + b x 0 = b x 0 δ > x 0 (x 0 a) = a, joten ]x 0 δ, x 0 + δ[ ]a, b[. Jos siis avoimet välit ovat topologisessa mielessä avoimia, tuntuu järkevältä olettaa, että vastaavasti suljetut välit eivät ole avoimia. Onkin yksinkertaista todistaa tämä intuitiivinen olettamus. Esimerkki. Jos a < b, niin suljettu väli [a, b] ei ole avoin. Todistus. Selvästi kaikilla δ > 0 pätee: ]b δ, b + δ[ [a, b]. Esimerkki. Tyhjä joukko ja koko reaalilukujen joukko R ovat avoimia. Todistus. Reaalilukujen joukko R on avoin, koska kaikille x R ja kaikille δ > 0 pätee ]x δ, x + δ[ R. Tyhjä joukko taas on avoin, koska ei tietenkään ole olemassa sellaista alkiota x, jolle avoimen joukon ehto ei päde. Myöhemmin todetaan, että nämä joukot ovat erikoistapauksia, joilla on joitakin mielenkiintoisia ominaisuuksia. 6

8 Topologisessa jatkuvien kuvausten määritelmässä jatkuvuus yhdistetään avoimiin joukkoihin. Tämä yhteys osoitetaan seuraavaksi reaalisille joukoille, käyttäen edellä todistettua avoimen välin avoimuutta, sekä aikaisemmin esitettyä vaihtoehtoista jatkuvuuden määritelmää. Lause 1.2. Kuvaus f : R R on jatkuva jos ja vain jos alkukuva f 1 (U) = { x R f(x) U } on avoin kaikilla avoimilla joukoilla U R. Todistus. Olkoon x 0 f 1 (U). Silloin f(x 0 ) U. Koska U on avoin, on olemassa sellainen ε > 0, että ]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[ U Tällöin kappaleessa 1 esitetystä jatkuvuuden määritelmän muotoilusta seuraa, että on olemasse δ > 0 siten, että Siis f(]x 0 δ, x 0 + δ[) ]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[ joten f(]x 0 δ, x 0 + δ[) U, ]x 0 δ, x 0 + δ[ f 1 (U). Täten f 1 (U) on avoin. Olkoon x 0 R ja olkoon ε > 0. Tällöin aiemmin todistetun esimerkin nojalla avoin väli ]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[ on avoin. Edelleen oletuksen nojalla alkukuva f 1 (]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[) on avoin. Nyt f(x 0 ) ]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[, joten x 0 f 1 (]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[). Täten on olemassa δ > 0 siten, että Tällöin ]x 0 δ, x 0 + δ[ f 1 (]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[). f(]x 0 δ, x 0 + δ[) ]f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε[, joten kappaleessa 1 esitetystä jatkuvuuden määritelmän muotoilusta seuraa, että f on jatkuva. 3 Avoimien joukkojen leikkaukset ja yhdisteet Olemme todenneet, että avoimet reaalilukuvälit ovat topologisessa mielessä avoimia. Seuraavaksi osoitetaan, että voidaan muodostaa uusia avoimia joukkoja käyttämällä avoimien joukkojen yhdisteitä ja leikkauksia. 7

9 Lause 1.3. Jos (U i ) i I on perhe avoimia joukkoja, niin yhdiste R on avoin. Todistus. Olkoon x 0 i I U i. U i i I Nyt on olemassa i I siten, että x 0 U i. Koska U i on avoin kaikilla i I, niin on olemassa sellainen δ > 0, että avoin väli ]x 0 δ, x 0 + δ[ U i. Tällöin, koska U i U i, niin edelleen ]x 0 δ, x 0 + δ[ U i. i I i I Lause 1.4. Jos U 1,..., U n R (n N) ovat avoimia, niin myös leikkaus U 1 U 2... U n R on avoin. Todistus. Olkoon x 0 U 1... U n. Silloin x 0 U i kaikilla i {1,..., n}. Koska U i on avoin kaikilla i, niin kaikille U i on olemassa sellainen δ i > 0, että ]x 0 δ i, x 0 + δ i [ U i. Merkitään δ = min{ δ i i = 1,..., n }. Tällöin kaikilla i {1,..., n}. Siis ]x 0 δ, x 0 + δ[ ]x 0 δ i, x 0 + δ i [ ]x 0 δ, x 0 + δ[ U 1... U n, joten U 1... U n on avoin. Huomataan, että myös ääretön yhdiste toteuttaa lauseen 1.3, mutta leikkauksen ollessa kyseessä lause 1.4 pätee yleispätevästi vain äärellisille tapauksille. Seuraavaksi esitetään yksi esimerkki äärettömästä avoimien joukkojen leikkauksesta, joka ei itse ole avoin. Esimerkki. Ääretön leikkaus ei ole avoin. i=1 ] 1, 1 [ = ] 1, 0] i Edellä on todettu, että suljetut välit eivät selvästikään ole avoimia. Seuraavaksi esitellään suljetun joukon käsite, joka on topologisessa mielessä eräänlainen vastakohta avoimille joukoille. Yhteys suljettuihin reaalilukuväleihin on intuitiivinen, ja myös helppo todistaa. 8

10 Määritelmä 1.5. Sanotaan, että joukko F R on suljettu, mikäli sen komplementti R \ F on avoin. Esimerkki. Suljettu väli [a, b] R, missä a, b R, a < b, on suljettu. Todistus. Suljetun välin komplementti R \ [a, b] = ], a[ ]b, [. Koska avoimet välit ovat avoimia, ja avoimien joukkojen yhdisteet ovat avoimia (Lause 1.3), niin ], a[ ]b, [ on avoin, joten [a, b] on suljettu. Huomautus. Tyhjä joukko sekä koko reaalilukujen joukko R ovat molemmat sekä avoimia että suljettuja! Edellä on todistettu, että ne ovat molemmat avoimia. Ne ovat kuitenkin toistensa komplementteja, joten niillä molemmilla on avoin komplementti. Näin ollen ne ovat myös suljettuja. 9

11 Luku 2 Topologiset avaruudet Edellisessä luvussa tarkasteltiin, miten tiettyjä topologisia konsepteja voidaan soveltaa reaalilukujen osajoukoille. Tämän konkretisoinnin jälkeen on luontevaa siirtyä näiden peruskäsitteiden yleistyksiin. Aloitamme määrittelemällä yleistykset edellä mainituille peruskäsitteille. 1 Topologian peruskäsitteitä Topologiassa olennaisimpia konstruktioita ovat niinsanotut topologiset avaruudet, joiden kvalitatiivisten ominaisuuksien tutkimiseen koko topologia nojaa. Topologisen avaruuden määritelmä perustuu puhtaasti joukko-oppiin, ja on laajin sellainen avaruuden konstruktio, joka tarjoaa mahdollisuuden mm. jatkuvuuden määrittelyyn. Määritelmä 2.1. Olkoon X joukko ja olkoon T P(X) kokoelma sen osajoukkoja. Sanotaan, että pari (X, T ) on topologinen avaruus, mikäli seuraavat kolme aksioomaa ovat voimassa: T1:, X T T2: U i T, i I i I U i T T3: U 1,..., U n T U 1... U n T Tällöin joukon X alkioita sanotaan pisteiksi. Kokoelman T jäsenet ovat X:n avoimia osajoukkoja. Topologinen avaruus koostuu siis joukosta pisteitä, sekä kokoelmasta avoimia pistejoukkoja. Huomautus. Usein puhutaan vain topologisesta avaruudesta X ja sen avoimista joukoista. 10

12 Tässä vaiheessa on tärkeää todeta, että edellisessä luvussa esitelty reaalilukujen avoimien osajoukkojen määritelmä toteuttaa topologisen avaruuden aksioomat, koska muuten olisimme tehneet turhaa työtä. Tämän todistaminen on onneksi helppoa. Esimerkki. Merkitään T := { U R U avoin }. On todettu, että ja R ovat avoimia, joten aksiooma T1 toteutuu. Myöskin edellisessä luvussa todistettiin avoimien joukkojen yhdisteiden ja äärellisten leikkausten avoimuus reaalisille joukoille, joten myös aksioomat T2 ja T3 toteutuvat, siis (R, T ) on topologinen avaruus. Eräs käytännöllinen topologinen avaruus voidaan määritellä myös reaalianalyysistä tutuilla menetelmillä. Palautetaan mieleen euklidinen etäisyys ja r-säteinen kuula, ja voimme muotoilla seuraavan topologian: Esimerkki. Jos x R n ja r > 0, niin x-keskinen ja r-säteinen kuula on B(x, r) := { y R n y x < r }, missä y x = (y 1 x 1 ) (y n x n ) 2. Sovitaan, että U R n on avoin, mikäli kaikilla x U on olemassa r > 0 siten, että B(x, r) U. Merkitään T := { U R n U avoin }. Nyt (R n, T ) on topologinen avaruus. T on R n :n standarditopologia. Todistus. HT. Käydään vielä läpi joitakin erityisiä topologisia avaruuksia. Esimerkki. Olkoon X joukko. Tällöin T = {, X} on X:n triviaali topologia. T = P(X) (= X:n kaikki osajoukot) on X:n diskreetti topologia. Esimerkki. Olkoon X = {0, 1}. Tällöin T = {, {0, 1}, {0}} on X:n topologia (Sierpińskin topologia). Joukko {0, 1} varustettuna Sierpińskin topologialla on pienin sellainen topologinen avaruus, joka ei ole triviaali tai diskreetti. Sen yhteys esimerkiksi laskettavuuden teoriaan on merkittävä. 11

13 Esimerkki. Olkoon X joukko. Merkitään T := { U X X \ U äärellinen } { }. Saadaan topologia (kofiniittinen topologia). Todistus. HT. Olemme esittääneet kolmeen aksioomaan perustuvan määritelmän topologiselle avaruudelle, sekä käyneet esitelmänomaisesti läpi erilaisia topologioita. Seuraavaksi on tarpeen esitellä ensimmäinen käsite, joka liittyy eri topologioiden välisiin suhteisiin. Määritelmä 2.2. Olkoon X joukko ja olkoot T 1 ja T 2 sen topologioita. Jos T 1 T 2, niin sanotaan, että T 1 on karkeampi kuin T 2, tai että T 2 on hienompi kuin T 1. Esimerkki. Jos X on joukko, niin sen triviaali topologia T = {, X} on sen kaikkein karkein topologia. Toisaalta diskreetti topologia T = P(X) on sen kaikkein hienoin topologia. Esimerkki. Tarkastellaan R:n kofiniittista topologiaa Olkoon U T. T := { U R U äärellinen } { }. Jos U = tai U = R, niin U on avoin R:n standarditopologiassa. Oletetaan, että U R. Nyt U T R \ U äärellinen ja R \ U R \ U = {a 1,..., a n }, missä a 1 <... < a n U = R \ R \ U = R \ {a 1,..., a n } = ], a 1 [ ]a 1, a 2 [... ]a n 1, a n [ ]a n, [ U avoin R:n standarditopologiassa Siis kofiniittinen topologia sisältyy standarditopologiaan, joten kofiniittinen topologia on standarditopologiaa karkeampi. 2 Jatkuvat kuvaukset topologiassa Topologisiin avaruuksiin tutustumisen jälkeen on luontevaa jatkaa suoraan jatkuvien kuvausten topologiseen määritelmään. Nyt siis yleistetään edellisessä luvussa reaalilukujoukoille määritelty jatkuvuuden käsite koskemaan mielivaltaisia topologisia avaruuksia. 12

14 Määritelmä 2.3. Olkoot (X, T ) ja (Y, S) topologisia avaruuksia. Sanotaan, että kuvaus f : X Y on jatkuva, mikäli V S f 1 (V ) T. Toisin sanoen, jokaisen avoimen joukon alkukuva kuvauksessa f on avoin joukko. Topologisten avaruuksien avulla on siis mahdollista määritellä jatkuvuuden käsite, ilman että tarvitsisi määritellä kyseisille joukoille etäisyyden käsitettä. Tämän kaltainen yleispätevyys onkin yksi topologian erityispiirteistä. Seuraavaksi tutkitaan joidenkin tuttujen kuvausten jatkuvuutta topologisessa mielessä. Esimerkki. Jos X = Y = R ja T = S := R:n standarditopologia, niin kuvauksen f : R R jatkuvuus tarkoittaa juuri samaa kuin ennestään tutuissa määritelmissä. Esimerkki. Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Tällöin identtinen kuvaus id: X X, x x on jatkuva, sillä U T U = id 1 (U) T. Esimerkki. Olkoot (X, T ) ja (Y, S) topologisia avaruuksia. Tällöin jokainen vakiokuvaus f : X Y on jatkuva. Toisin sanoen on olemassa y 0 Y siten, että f(x) = y 0 kaikilla x X. Nimittäin {, kun V S f 1 y0 V (V ) = X, kun y 0 V (Koska f 1 (V ) = { x X f(x) V } = { x X y 0 V }.) Täten aksioomasta T1 seuraa, että f 1 (V ) T, joten f on jatkuva. Esimerkki. Jos X on diskreetti (T = P(X)) tai Y on triviaali (S = {, Y }), niin jokainen kuvaus f : X Y on jatkuva. Olkoon X diskreetti. Tällöin jos V S, niin f 1 (V ) X. Näin ollen f 1 (V ) P(X) = T. Olkoon Y triviaali. Silloin pätee: { f 1 ( ) = T f 1 (Y ) = X T. Esimerkki. Tarkastellaan joukkojen R ja R 2 standarditopologioita. Tällöin kuvaus f : R 2 R, (x, y) x + y on jatkuva. 13

15 Todistus. Olkoon V R avoin. Pitää osoittaa, että alkukuva f e (V ) R 2 on avoin. Olkoon (x 0, y 0 ) f 1 (V ). Tarvitaan r > 0 siten, että avoin kuula B((x 0, y 0 ), r) f 1 (V ) f(b((x 0, y 0 ), r)) V. eli Nyt koska (x 0, y 0 ) f 1 (V ), niin f(x 0, y 0 ) V. Tällöin koska V R on avoin, niin on olemassa ε > 0 siten, että On vielä ratkaistava, milloin pätee jolloin tietysti myös ]f(x 0, y 0 ) ε, f(x 0, y 0 ) + ε[ V. f(b((x 0, y 0 ), r)) ]f(x 0, y 0 ) ε, f(x 0, y 0 ) + ε[, f(b((x 0, y 0 ), r)) V. Todetaan, että f(x, y) ]f(x 0, y 0 ) ε, f(x 0, y 0 ) + ε[, jos ja vain jos etäisyys f(x, y) f(x 0, y 0 ) < ε. Lisäksi f(x, y) f(x 0, y 0 ) = x + y x 0 + y 0 = x x 0 + y y 0. Nyt kolmioepäyhtälön nojalla pätee x x 0 + y y 0 x x 0 + y y 0 < ε, mikäli Nyt x x 0 < ε 2 ja y y 0 < ε 2. (x, y) B((x 0, y 0 ), r) (x, y) (x 0, y 0 ) < r (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < r, mutta edellä todettiin jo, että x x 0, y y 0 Siis valinta r = ε kelpaa. 2 Täten jos (x, y) B((x 0, y 0 ), ε ), niin 2 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2. f(x, y) f(x 0, y 0 ) < ε, eli f(x, y) ]f(x 0, y 0 ) ε, f(x 0, y 0 ) + ε[. Kun yhdistetään kaksi jatkuvaa kuvausta, saadaan jatkuva kuvaus. Tämän sisältöinen lause todistettiin analyysin peruskurssilla heti jatkuvuuden määrittelemisen jälkeen. Sama pätee myös topologisessa mielessä. Tämän todistaminen ei kuitenkaan vaadi läheskään niin paljon työtä kuin analyysissa. 14

16 Lause 2.4. Olkoot X, Y, Z topologisia avaruuksia. Jos kuvaukset f : X Y ja g : Y Z ovat jatkuvia, niin samoin on yhdistetty kuvaus g f : X Z. Todistus. Olkooon W Z avoin. Yhdistetty kuvaus on jatkuva, mikäli alkukuva (g f) 1 (W ) X on avoin. Merkitään (g f) 1 (W ) = f 1 (g 1 (W )). Havaitaan, että koska g on jatkuva ja lisäksi W Z on avoin, niin myös alkukuvan g 1 (W ) Y on oltava avoin. Edelleen, koska f on jatkuva ja g 1 (W ) Y on avoin, nin alkukuvan f 1 (g 1 (W )) on oltava avoin. 15

17 Luku 3 Suljetut joukot ja sulkeumat Kun nyt olemme tutustuneet topologian peruskäsitteisiin, on seuraavaksi siirryttävä tarkastelemaan joitakin näistä peruskäsitteistä johdettuja määritelmiä. Tässä luvussa perehdytään sellaisiin käsitteisiin, joiden tunteminen on välttämätöntä, kun halutaan analysoida joukkoja topologisessa mielessä. 1 Suljetut joukot Edellisessä luvussa määriteltiin avoimet joukot, joista topologiset avaruudet muodostuvat. Me olemme kuitenkin kiinnostuneita myös muista avaruuden pistejoukoista. Seuraavaksi määritelläänkin suljetut joukot, jotka ovat eräänlaisia erikoistapauksia topologisten avaruuksien pistejoukkojen joukossa. Määritelmä 3.1. Olkoon X topologinen avaruus. Joukko F X on suljettu, mikäli sen komplementti X \ F X on avoin. Suljetut joukot ovat siis täsmälleen ne topologisen avaruuden pistejoukot, joiden komplementti kuuluu kyseisen avaruuden topologiaan. Joitakin esimerkkejä jo tuntemiemme topologisten avaruuksien suljetuista joukoista on esitetty seuraavassa. Esimerkki. Kuten aiemmin on jo tietyille tapauksille osoitettu, sekä tyhjä joukko että kaikkien pisteiden joukko ovat suljettuja: X = X \, joten on suljettu. = X \ X, joten X on suljettu. Esimerkki. Olkoon X joukko varustettuna kofiniittisella topologialla. Tällöin F X on suljettu jos ja vain jos sen komplementti X \ F on avoin, eli X \ F = tai X \ (X \ F ) on äärellinen. F = X tai F on äärellinen. 16

18 Edellisestä luvusta muistamme, että avoimien joukkojen yhdisteet sekä äärelliset leikkaukset ovat avoimia. Myös suljetuille joukoille on olemassa vastaavat säännöt, jotka todistamme seuraavaksi. Lause 3.2. Olkoon X topologinen avaruus. Tällöin a) Jos joukot F i X ovat suljettuja (i I), niin leikkaus i I F i on suljettu. b) Jos joukot F 1,..., F n X ovat suljettuja, niin yhdiste F 1... F n on suljettu. Todistus. Käytetään De Morganin kaavoja: a) X \ F i = X \ F i. i I i I Nyt koska F i on suljettu kaikilla i I, niin X \ F i on avoin kaikilla i I. Tällöin aksiooman T2 perusteella yhdiste on avoin. Siis i I F i on suljettu. i I X \ F i = X \ i I F i b) X \ (F 1 F n ) = (X \ F 1 )... (X \ F n ). Nyt koska F i on suljettu kun i {1,..., n}, niin X \ F i on avoin kun i {1,..., n}. Tällöin aksiooman T3 perusteella leikkaus (X \ F 1 )... (X \ F n ) = X \ (F 1 F n ) on avoin. Siis F 1... F n on suljettu. Nyt voidaan määritellä jatkuvat kuvaukset suljettujen joukkojen avulla aivan yhtä hyvin kuin avoimien joukkojenkin avulla. Esimerkki. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia. Kuvaus f : X Y on jatkuva jos ja vain jos alkukuva f 1 (F ) on suljettu kaikilla suljetuilla joukoilla F Y. Todistus. HT. 2 Sisäpisteet, ulkopisteet ja reuna Tässä kappaleessa tutustutaan eräisiin topologiassa varsin keskeisiin termeihin. Monet topologiset ominaisuudet perustuvat siihen, mitkä pisteet muodostavat tarkasteltavan joukon ulkopisteet, sisäpisteet ja reunan. Ennen näiden käsitteiden formalisointia on kuitenkin tarpeen esitellä määritelmä tietyn pisteen ympäristölle. Tätä määritelmää tullaan käyttämään tästä eteenpäin varsin ahkerasti. 17

19 Määritelmä 3.3. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon x X. Jos U X on avoin siten, että x U, niin sanotaan, että U on pisteen x ympäristö. Määritelmä 3.4. Olkoon X topologinen avaruus, A X ja x X. Sanotaan, että x on A:n sisäpiste, mikäli on olemassa x:n ympäristö U siten, että U A. A:n ulkopiste, mikäli on olemassa x:n ympäristö U siten, että U X \A. A:n reunapiste, mikäli kaikilla x:n ympäristöillä U pätee, että U A ja U (X \ A). Merkitään: Nyt siis X = int(a) ext(a) (A) int(a) := { A:n sisäpisteet } ext(a) := { A:n ulkopisteet } (A) := { A:n reunapisteet } ( := erillinen yhdiste). Jokainen joukko koostuu siis sisäpisteistä, ulkopisteistä ja reunapisteistä, ja niiden joukot ovat toisistaan erillisiä (tämä seuraa suoraan määritelmästä). Sovelletaan tätä määritelmää seuraavaksi tutulle topologialle. Esimerkki. Tarkastellaan euklidisen avaruuden R n standarditopologiaa. Olkoon x R n ja r > 0. Tällöin avoimille kuulille pätee: a) Sisäpisteiden joukko int(b(x, r)) = B(x, r). b) Reunapisteiden joukko (B(x, r)) = { y R n x y = r } =: S(x, r). Todistus. a) Riittää osoittaa, että B(x, r) on avoin, koska tästä seuraa että kaikilla y B(x, r) on olemassa sellainen δ > 0, että B(y, δ) B(x, r), kun valitaan δ = r y x. Olkoon y B(x, r). Osoitetaan, että B(y, r y x ) B(x, r). Olkoon z B(y, r y x ). Nyt z y < r y x. Tällöin Edelleen kolmioepäyhtälön nojalla z x = z y + y x. z y + y x z y + y x < r y x + y x = r. b) Osoitetaan osajoukkous molempiin suuntiin. 18

20 S(x, r) (B(x, r)): Pitää osoittaa, että y S(x, r) { U B(x, r) U (R n \ B(x, r)) kaikilla y:n ympäristöillä U. Koska U on avoin ja y U, niin on olemassa δ > 0 siten, että B(y, δ) U. Nyt riittää todistaa, että B(y, δ) B(x, r) ja B(y, δ) (R n \ B(x, r)) kaikilla δ > 0. Merkitään z(t) := x + t(y x) Todetaan, että (t R). z(t) y x y + t(y x) = t 1 y x = t 1 r, Ja edelleen z(t) y = t 1 r < δ, jos t 1 < δ r Näin ollen z(t) B(y, δ), jos t 1 < δ. r Edelleen, { > r, jos t > 1, z(t) x = t y x = t r = < r, jos 0 t < 1. Siis t 1 < δ r t > 1 } z(t) B(y, δ) (R n \ B(x, r)). (B(x, r)) S(x, r): a)-kohdan perusteella pätee: Jos y x < r, niin y on B(x, r):n sisäpiste. Täten riittää todistaa, että jos y x > r, niin y on B(x, r):n ulkopiste. Olkoon y R n siten, että y x > r. On osoitettava, että tällöin B(y, y x r) R n \ B(x, r). Olkoon z B(y, y x r). Tällöin z y < y x r. Nyt kolmioepäyhtälön nojalla Näin ollen x y = x z + z y z + x + z y. z x x y z y > x y ( y x r) < r, joten z R n \ B(x, r). 19

21 Jotta edellä esitetyissä määritelmissä olisi topologisessa mielessä järkeä, täytyy sisä-, ulko- ja reunapisteiden joukkojen tietenkin olla avoimia ja/tai suljettuja. Tämä todistetaan seuraavaksi. Lause 3.5. Olkoon X topologinen avaruus. Jos A X, niin int(a) ja ext(a) ovat avoimia, mutta (A) on suljettu. Todistus. 1) int(a) on avoin: Jos x int(a), niin on olemassa sellainen x:n ympäristö U x, että pätee U x A. Havaitaan, että U x sisältyy int(a):han, nimittäin mielivaltaiselle pisteelle y U x pätee, että U x on y:n ympäristö (koska U x on avoin ja y U x ), joten tällöin y int(a). Siis Kun x int(a), niin x U x. Joten int(a) U x. x int(a) Kun x int(a), niin U x int(a) Siis U x = int(a). Koska siis int(a) on avoimien joukkojen yhdiste, x int(a) se on avoin. 2) ext(a) on avoin, sillä ext(a) = int(x \ A). Tämä seuraa suoraan määritelmästä. 3) (A) on suljettu: Koska niin X = int(a) ext(a) (A), X \ (A) = int(a) ext(a). Näin ollen X \ (A) on avoimien joukkojen yhdiste (kohtien 1 ja 2 nojalla), eli se on avoin. Siis (A) on suljettu. 3 Sulkeuma Tässä kappaleessa käsitellään erästä tärkeää konstruktiota, joka muodostetaan joukon sisä- ja reunapisteistä. Sulkeuma on intuitiivisella tavalla tiettyyn joukkoon yhteydessä olevien pisteiden joukko. Tämän käsityksen formalisoimme seuraavaksi. Määritelmä 3.6. Olkoon X topologinen avaruus. Jos A X, niin A:n sulkeuma on: A := int(a) (A). 20

22 Esimerkki. Tarkastellaan topologista avaruutta R (standarditopologia). Tällöin [0, 1[ = [0, 1]. Nimittäin int([0, 1[) = ]0.1[ ja ([0, 1[) = {0, 1}. Ainakin reaalisissa joukoissa sulkeuma siis noudatta sitä intuitiota, jonka siitä saatoimme aluksi muodostaa. Abstraktimpien joukkojen tapauksessa määritelmä toimii aivan yhtä hyvin, joskin sen konkreettinen käsitteellistäminen on vaikeampaa. Seuraavaksi todistetaan joitakin sulkeuman ominaisuuksia, jotka ovat erilaisten sovellusten kannalta äärimmäisen hyödyllisiä. Lause 3.7. Olkoon X topologinen avaruus. Jos A X, niin A := F suljettu, F A Tällöin A on suppein suljettu joukko F X siten, että A F. Todistus. 1) A on suljettu: Koska X = int(a) ext(a) (A), niin Siis A on suljettu. 2) A A: F. X \ A = X \ (int(a) (A)) Koska A ext(a) =, niin on oltava 3) Kohdista 1 ja 2 seuraa, että Osoitetaan sitten, että A = ext(a), mikä on avoin. A int(a) (A) = A. F suljettu, F A F suljettu, F A F A. Olkoon x A. Tehdään vastaoletus, että on olemassa suljettu F X siten, että F A, mutta x F. Nyt koska x F, niin x X \ F. Tällöin, koska F on suljettu, niin X \ F on avoin. Mutta toisaalta koska A F, niin X \ F X \ A. Täten X \ F on x:n ympäristö siten, että F. X \ F X \ A, 21

23 joten määritelmän mukaan x ext(a). Tämä on ristiriita. Voidaan siis todeta, että A F, joten A = F suljettu, F A F suljettu, F A F. 4) A suppein tällainen joukko: Olkoon F X suljettu siten, että F A. Todistettava, että A F. Koska A = F, niin A F. F suljettu, F A Lause 3.8. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A X. Tällöin A on suljettu jos ja vain jos A = A. Todistus. Lauseen 3.7 nojalla A on suljettu, joten jos A = A, niin tietenkin A on suljettu. Jos A on suljettu, niin tällöin X \ A on avoin. Nyt X \ A = ext(a), koska X \ A on jokaisen pisteen x X \ A ympäristö. Edelleen A = X \ (X \ A) = X \ ext(a) = int(a) (A) = A Esittelemme vielä yhden mielenkiintoisen käsitteen ennen siirtymistä seuraavaan aiheeseen. Määritelmä 3.9. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A X. Sanotaan, että A on tiheä, mikäli A = X Huomautus. x A x ext(a) Ei ole olemassa x:n ympäristöä U siten, että U X \ A Kaikilla x:n ympäristöillä U pätee: U A Nyt eräs esimerkki tiheästä joukosta, joka saattaa nousta mieleen, on tietenkin rationaalilukujen joukko tarkasteltaessa reaalilukujen joukkoa. Tämä ominaisuus onkin varsin helppo todistaa käyttämällä analyysistä tuttuja työkaluja. 22

24 Esimerkki. Q = R, eli Q on tiheä R:ssä. Todistus. Olkoon x R ja olkoon U Rx:n ympäristö. Nyt koska U on avoin, niin on olemassa ε > 0 siten, että ]x ε, x + ε[ U. Analyysin peruskursseilla on todistettu, että jokaisella tällaisella välillä on olemassa q Q siten, että x ε < q < x + ε. Näin ollen U Q, joten x Q. Esimerkki. Jos R on varustettu kofiniittisella topologialla, niin jokainen joukko V R on tiheä. Todistus. Pitää osoittaa, että V = R. Olkoon x R. Jos U R on x:n ympäristö, on todistettava että leikkaus U V. Tehdään siis vastaoletus, että U V =. Tällöin U R \ V. Nyt koska V on avoin, niin R \ V on äärellinen, joten myös U on äärellinen. Toisaalta U }{{} x U on avoin, joten R \ U on äärellinen. Siis R = U (R\U) on äärellinen. Tämä on tietenkin ristiriitaista. Koska vastaoletus johtaa ristiriitaan, voidaan todeta että U V. 4 Kasaantumispisteet ja erakkopisteet Tähän asti olemme huomanneet, että topologisilla määritelmillä on olemassa selvät vastaavuudet analyysissa ja reaalilukujen maailmassa. Myöskään seuraavat määritelmät eivät tee poikkeusta tässä suhteessa. Me olemme kiinnostuneita tekemään eron joukkojen ja pisteiden välillä sen mukaan, onko niiden ympärillä tilaa vai ei. Määritelmä Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A X joukko. Jos x X, niin sanotaan, että x on A:n kasaantumispiste, mikäli U (A \ {x}) kaikilla x:n ympäristöillä U. x on A:n erakkopiste, mikäli on olemassa x:n ympäristö U siten, että U (A \ {x}) =. Jos A:n jokainen piste on erakkopiste, niin sanotaan että A on diskreetti. Voidaan siis sanoa, että erakkopisteiden ympärillä on tilaa, mutta kasaantumispisteiden ympärillä ei ole (tarkasteltaessa tietyn joukon pisteitä). 23

25 Esimerkki. Piste 0 R on joukon A := { 1 n 0 n N } kasaantumispiste. Todistus. Olkoon U R 0:n ympäristö. Nyt on olemassa sellainen ε > 0, että ] ε, ε[ U. Tällöin n > 1 ε 1 n < ε 1 n ] ε, ε[ U U (A \ {0}). }{{} =A Esimerkki. Z R on diskreetti (eli jokainen piste n Z on erakkopiste). Todistus. Olkoon n Z. Nyt ]n 1, n + 1[ Z = {n}, joten ]n 1, n + 1[ Z \ {n} =. Huomautus. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A X joukko. Tällöin Jos x A, niin x on joko A:n kasaantumispiste tai A:n erakkopiste. Jos x A ja lisäksi x on A:n kasaantumispiste, niin x (A). Nimittäin: Olkoon U x:n ympäristö. Tällöin jos x on A:n kasaantumispiste, niin U (A \ {x}) = U A ja toisaalta Siis x (A). x A, x U U (X \ A). 24

26 Luku 4 Hausdorffin avaruudet Tässä luvussa esitellään topologisten avaruuksien luokka, jossa eri pisteille pätee hieman vahvempi erottelu kuin yleisesti topologisissa avaruuksissa. Tällaiset Hausdorffin avaruudet ovat eräitä kiinnostavimmista topologisista avaruuksista. 1 Suppenevat jonot Yleistetään ensin ennestään tuttu raja-arvon käsite toimimaan topologisessa mielessä. Tämä on varsin helppoa tehdä, sillä olemme jo edellisissä luvuissa määritelleet tarvitsemamme käsitteet. Määritelmä 4.1. Olkoon X topologinen avaruus. Sanotaan, että jono (x n ) n 1 X:n alkioita suppenee kohti pistettä x X, mikäli jokaisella X:n ympäristöllä U on olemassa N 1 siten, että Tällöin merkitään lim n x n = x. n N x n U. Esimerkki. Varustetaan joukko X = {0, 1} topologialla T = {, {0}, {0, 1}}. Jos x n = 0 kaikilla n 1, niin n lim x n = 0, mutta toisaalta n lim x n = 1. Todistus. Olkoon U 1:n ympäristö. Tällöin on oltava U = {0, 1}. Edelleen x n U kaikilla n 1, joten n lim x n = 1, mutta samoin n lim x n = 0. 2 Hausdorffin avaruudet Määritelmä 4.2. Olkoon X topologinen avaruus. Sanotaan että X on Hausdorffin avaruus (tai X on Hausdorff ), mikäli kaikilla pisteillä x, y X, x y on olemassa avoimet joukot U, V X siten, että x U, y V ja U V =. Toisin sanoen, X on Hausdorff, mikäli sen kaikilla eri pisteillä on olemassa erilliset ympäristöt. 25

27 Määritelmästä nähdään, että ei taaskaan ole kovin vaikea keksiä tällaiselle avaruudelle konkreettista esimerkkiä reaalianalyysin puolelta. Esimerkki. R n on Hausdorff. Todistus. Olkoon x, y R n ja olkoon x y. Osoitetaan, että tällöin leikkaus B(x, x y ) B(y, x y ) =. 2 2 Jos olisi olemassa z B(x, x y ) B(y, x y ), niin tällöin pitäisi olla 2 2 x z < x y ja y z < x y. Tällöin 2 2 Edelleen kolmioepäyhtälön nojalla x y = x z + z y. x z + z y x z + y z < x y 2 + x y 2 = x y, mikä on ristiriitaista. On siis todettu, että ei ole olemassa pistettä z B(x, x y ) B(y, x y ), 2 2 joten R n on Hausdorff. Kuten edellisessä kappaleessa todettiin, että raja-arvot eivät välttämättä ole yksikäsitteisiä kaikissa topologioissa. Eräs hausdorffin avaruuksien ominaisuuksista on se, että raja-arvot ovat niissä yksikäsitteisiä. Tämä todistetaan seuraavaksi. Lause 4.3. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon (x n ) n 1 jono X:n pisteitä. Oletetaan, että x, y X siten, että n lim x n = x ja n lim x n = y. Tällöin, jos X on Hausdorff, niin y = x. Todistus. Oletetaan, että X on Hausdorff ja että n lim x n = x ja n lim x n = y. Tehdään vastaoletus, että x = y. Nyt, koska X on Hausdorff, niin on olemassa x:n ympäristö U ja y:n ympäristö V siten, että U V =. Koska n lim x n = x, niin on olemassa N 1 1 siten, että x n U kaikilla n N 1. Toisaalta, koska n lim x n = y, niin on olemassa N 2 1 siten, että x n V kaikilla n N 2. Mutta kun n max(n 1, N 2 ), niin x n U V =, mikä on ristiriitaista. On siis oltava x = y. Todistetaan vielä yksi, joskin ehkä vähemmän mielenkiintoinen ominaisuus Hausdorffin avaruuksille. Lause 4.4. Jos X on Hausdorffin avaruus, niin yksikkö {x} on suljettu kaikilla x X. Todistus. On osoitettava, että X \ {x} on avoin kaikilla x X. Olkoon y X \ {x}. Nyt tietenkin y = x. Tällöin koska X on Hausdorff, niin on olemassa x:n ympäristö U x,y ja y:n ympäristö V x,y siten, että leikkaus U x,y V x,y =. 26

28 Koska U x,y V x,y =, niin V x,y X \ {x}. Havaitaan, että X \ {x} = V x,y, y X\{x} nimittäin: Koska y X \ {x}, niin y V x,y. Koska V x,y X \ {x} kaikilla y X \ {x}, niin V x,y X \ {x}. y X\{x} Täten X \ {x} on avoin avoimien joukkojen yhdiste. 27

29 Luku 5 Topologian kanta Edellisissä kappaleissa olemme tarkastelleet topologian peruskäsitteitä ja tietynlaisia topologisia avaruuksia. Seuraavaksi esittelemme topologioiden konstruoimisen kannalta tärkeän käsitteen, topologian kannan. Tämä auttaa jatkossa siten, että eräiden topologioiden avoimia joukkoja koskevat ominaisuudet voidaan pelkistää kannan alkioiden ominaisuuksia koskeviksi väitteiksi. Aloitamme määritelmällä. 1 Kannan määritelmä Määritelmä 5.1. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon B P(X) kokoelma sen avoimia osajoukkoja. Sanotaan, että B on X:n topologian kanta, mikäli kaikilla avoimilla joukoilla U ja pisteillä x U on olemassa joukko B x B siten, että x B x U. Siis jokaisen tietyn topologian avoimen joukon jokainen alkio on myös jonkin kyseisen topologian kannan alkio. Tarkastelemme nyt tuttuja topologioita tältä kannalta. Esimerkki. Avoimet kuulat B(x, r) := { y R n y x < r }, missä x R n ja r > 0, muodostavat R n :n standarditopologian kannan. Esimerkki. Avoimet kuutiot K(x, r) := { y R n y i x i < r } = ]x 1 r, x 1 + r[... ]x n r, x n + r[, missä x R n ja r > 0, muodostavat niin ikään R n :n standarditopologian kannan. Todistus. Pitää osoittaa, että 28

30 K(x, r) on avoin (HT). Jos U R n on avoin ja x U, niin on olemassa r > 0 siten, että kuutio K(x, r) U. Oletetaan, että U R n on avoin ja x U. Nyt koska U on avoin, niin on olemassa δ > 0 siten, että avoin kuula B(x, δ) U. δ Todetaan, että K(x, δ n ) B(x, δ): Olkoon y K(x, n ). Tällöin avoimen kuution määritelmän nojalla y i x i < δ n kaikilla i {1,..., n}. Näin ollen Siis K(x, r) U, kun r = δ n. y x = (y 1 x 1 ) (y n x n ) 2 ( ) δ 2 ( ) δ 2 < n n }{{} n kpl. = n δ2 n = δ 2 = δ. Joskus saattaa olla tarpeen todistaa, että jokin tietty kokoelma topologisen avaruuden osajoukkoja on todellakin kyseisen topologian kanta. Seuraavaksi esitellään tälle välttämätön ja riittävä ehto. Lause 5.2. Olkoon X topologinen avaruus ja B P(X) kokoelma sen avoimia osajoukkoja. Tällöin B on X:n topologian kanta jos ja vain jos kaikilla avoimilla U X on olemassa joukot B i B (i I) siten, että U = i I B i. Todistus. Olkoon U X avoin. Jos x U, niin on olemassa joukko B x B siten, että x B x U. Silloin B x U. x U Toisaalta kun x U, niin x B x, joten U x U B x. Olkoon U X ja x U. Oletuksen nojalla U = i I B i, missä B i B (i I). Nyt on siis olemassa i I siten, että x B i, ja tietenkin B i U. 29

31 2 Kantakriteeri Edellä esitelty välttämätön ja riittävä ehto on käyttökelpoinen silloin, kun topologinen avaruus on tunnettu. Jos emme kuitenkaan tiedä perusjoukon topologioista mitään, on hieman konstikkaampaa osoittaa, että jokin kokoelma on todella jonkin topologian kanta. Tähän on kuitenkin olemassa kantakriteerinä tunnettu työkalu, jonka pätevyyden todistamme seuraavaksi. Lause 5.3 (Kantakriteeri). Olkoon X joukko ja B kokoelma sen osajoukkoja. Tällöin B on jonkin X:n topologian kanta jos ja vain jos seuraavat ehdot ovat voimassa: B1: Jos x X, niin on olemassa B B siten, että x B. B2: Jos x B 1 B 2, missä B 1, B 2 B, niin on olemassa B B siten, että x B B 1 B 2. Todistus. Oletetaan, että on olemassa X:n topologia T siten, että B on T :n kanta. B1: Topologian määritelmän kohdasta T1 seuraa, että X T. Tällöin kannan määritelmän nojalla jokaisella x X on olemassa B B siten, että x B X. Näin ollen ensimmäinen ehto pätee. B2: Topologian määritelmän kohdasta T3 seuraa, että B 1 B 2 T. Tällöin kannan määritelmän nojalla jokaisella x B 1 B 2 on olemassa B B siten, että x B B 1 B 2. Näin ollen myös toinen ehto pätee. Oletetaan, että ehdot B1 ja B2 ovat voimassa. Merkitään T := { U X Jos x U, niin on olemassa B x B siten, että x B x U }. Osoitetaan sitten, että T on X:n topologia. T1: Tyhjän joukon tapaus T on triviaali. Toisaalta ehdon B1 suora seuraus on, että X T. Näin ollen ensimmäinen ehto pätee. T2: Oletetaan, että U i T, kun i I. Olkoon sitten x i I U i. On siis olemassa sellainen i I, että x U i. Edelleen, koska U i T, niin on olemassa B x B siten, että x B x U i i I U i. Näin ollen yhdiste i I U i T, joten toinen ehto pätee. 30

32 T3: Oletetaan, että U 1,..., U n T. Olkoon sitten x U 1... U n. Tällöin, koska U i T, niin on olemassa B i B siten, että x B i U i (i {1,..., n}), joten x B 1... B n U 1... U n. Nyt huomataan että ehdon B2 ja induktioperiaatteen nojalla on olemassa sellainen B B että x B B 1... B n U 1... U n. Näin ollen U 1... U n T, eli kolmaskin ehto pätee. On vielä todettava, että kaikki B B ovat avoimia, eli että B T. Tämä on tietenkin totta, sillä kun x B, niin triviaalisti x B B (eli B x = B ). Täten B on T :n kanta. Kantakriteerillä pystymme siis osoittamaan, jos tietty kokoelma on tunnetun perusjoukon jonkin topologian kanta. Tässä piilee kuitenkin sellainen ongelma, että kantakriteerin toimivuus vaarantuu, jos tietty kanta voi määritellä useamman eri topologian. Onneksi näin ei kuitenkaan ole, vaan kannan määrittelemä topologia on yksikäsitteinen. Huomautus. On olemassa yksikäsitteinen X:n topologia T siten, että B on T :n kanta. Nimittäin lauseesta 5.2 seuraa, että U T U = i I B i, missä B i B (i I). Siis välttämättä T := { U X Jos x U, niin on olemassa B x B siten, että x B x U }. 31

33 Luku 6 Aliavaruudet Meille on ennestään tuttua, että useimmilla matemaattisilla struktuureilla on olemassa tietynlaisia alistruktuureja: Malleilla on olemassa alimalleja ja ryhmillä aliryhmiä. Tuntuu luonnolliselta olettaa, että myös topologisille avaruuksille voidaan konstruoida tämän kaltaisia alistruktuureja. Tämä oletus onkin täysin aiheellinen, kuten seuraavaksi todetaan. 1 Indusoidut topologiat ja aliavaruudet Aloitetaan osoittamalla, että minkä tahansa topologisen avaruuden mielivaltaiselle osajoukolle saadaan konstruoitua oma topologiansa varsin helposti, käyttämällä pohjana jo tunnettua perusjoukon topologiaa. Lause 6.1. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A X joukko. Jos T on X:n topologia, niin on A:n topologia. T A := { U A U T } Todistus. T1: Koska, X T ja lisäksi = A ja A = X A, niin tietenkin myös, X T A. T2: Oletetaan, että V i T A, kun i I. Nyt V i = U i A, missä U i T. Näin ollen V i = (U i A) = ( ) U i A. i I i I i I Koska T on topologia, niin ehdosta T2 seuraa, että i I U i T, joten V i T A. i I T3: Oletetaan, että V 1,..., V n T A. Nyt V i = U i A, missä määritelmän mukaisesti U i T (i {1,..., n}). Näin ollen V i... V n = (U 1... U n ) A. 32

34 Nyt koska T on topologia, niin ehdon T3 perusteella U 1... U n T, joten V i... V n T A. Juuri tämä leikkauksien kautta konstruoitu topologia määrittelee sen käsitteen, josta olemme kiinnostuneita, eli aliavaruuden. Määritelmä 6.2. Olkoon (X, T ) topologinen avaruus. Jos A X, niin (A, T A ) on tämän aliavaruus. Topologia T A on T :n indusoima topologia. Esimerkki. Tarkastellaan R:n aliavaruutta [0, 1]. Tällöin mm. väli on avoin aliavaruudessa [0, 1]. [0, 1/2[ = ] 1, 1/2[ [0, 1] 2 Aliavaruuden ominaisuuksia Seuraavaksi tarkastellaan joitakin jatkossa hyödyllisiä ominaisuuksia aliavaruuksille. Näistä kaksi ensimmäistä liittyvät joukkojen avoimuuteen aliavaruuksissa. Avointen joukkojen yhteys alkuperäisessä topologiassa ja indusoidussa topologiassa on nimittäin ilmiselvä. Lause 6.3. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A X avoin. Tällöin V A on avoin A:ssa jos ja vain jos V on avoin X:ssä. Todistus. Oletetaan, että V on avoin A:ssa. Nyt siis on olemassa sellainen avoin U X, että V = U A. Täten V on avoin X:ssä avoimien joukkojen leikkauksena. Oletetaan, että V on avoin A:ssa. Nyt koska alkuoletuksen mukaan V A, niin pätee V = V A. Tällöin, koska V on avoin X:ssä, niin se on avoin A:ssa. Sama logiikka pätee tietenkin myös suljetuille joukoille, joskin tämän todistaminen on hieman monimutkaisempaa. Lause 6.4. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A X. Tällöin G A on suljettu, jos ja vain jos G = F A, missä F X on suljettu. Todistus. Oletetaan, että G on suljettu A:ssa. Tällöin A\G täytyy olla avoin A:ssa. On siis olemassa sellainen avoin U X, että A \ G = U A. Nyt G = A \ (A \ G) = A \ (U A) = (X \ U) A. Tässä U on avoin X:ssä, joten X \ U on suljettu X:ssä. Voidaan siis valita F = X \ U, jolloin ekvivalenssin toinen puoli pätee. 33

35 Oletetaan, että on olemassa sellainen suljettu F X, että pätee G = F A. Nyt A \ G = A \ (F A) = (X \ F ) A. Tässä F on suljettu X:ssä, joten X \ F on avoin X:ssä. Näin ollen A \ G on avoin A:ssa, joten G on suljettu A:ssa. Esimerkki. Puoliavoin väli ]0, 1/2[ on suljettu aliavaruudessa ]0, 1[ R, sillä ]0, 1/2[ = [0, 1/2] ]0, 1[. Tarkastellaan seuraavaksi sulkeuman käsitettä, ja sen käyttäytymistä aliavaruuksissa. On selvää, että tätä käsitettä on hieman muokattava, jotta siitä saadaan käyttökelpoinen aliavaruuksien tapauksessa. Tämä ei onneksi kuitenkaan ole vaikeaa, ja hoituu jo ennestään tutulla logiikalla. Lause 6.5. Olkoon X topologinen avaruus ja A X. Jos B A, niin B:n sulkeuma A:ssa =: cl A B = B A (closure). Erityisesti B on suljettu A:ssa, jos ja vain jos B = B A. Todistus. Käytetään lausetta 3.7, eli osoitetaan, että B A on suppein A:ssa suljettu joukko G siten, että G B. Tiedetään, että B on suljettu X:ssä. Nyt lauseen 6.4 nojalla B A on suljettu A:ssa. Oletetaan, että G A on suljettu A:ssa siten, että G B. Tällöin lauseen 6.4 perusteella on olemassa X:ssä suljettu joukko F siten, että G = F A. Tällöin, koska B G = F A, niin B F. Siis lauseen 3.7 peusteella B F, joten edelleen B A F A = G. Siis B A on suppein A:ssa suljettu joukko, joka sisältää B:n. Näin ollen lauseen 3.7 perusteella pätee Lauseen 3.8 nojalla B A = cl A B. B suljettu A:ssa cl A B = B B A = B. Todistetaan vielä muutama ominaisuus jatkuvista kuvauksista aliavaruuksiin liittyen. On tarpeen todistaa, että myös ennestään tutut jatkuvien kuvausten ominaisuudet pätevät, kun kuvausten lähtöjoukkoa muutetaan tarkasteltavan aliavaruuden mukaiseksi. 34

36 Lause 6.6. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon A X. Tällöin a) Inkluusio eli kuvaus i : A X on jatkuva. b) Jos kuvaus f : X Y on jatkuva, niin samoin on sen rajoittuma f A : A Y. Todistus. a) Olkoon U X avoin. Nyt i 1 (U) = { x A i(x) U } = U A. }{{} =x Aliavaruuden määritelmän perusteella U A on avoin A:ssa, joten i on jatkuva. b) Huomataan, että f A = f i : A i X f Y, missä x x f(x). Täten lauseen 2.4 perusteella kuvaus f i on jatkuva (koska f ja i ovat jatkuvia), joten f A on jatkuva. Lause 6.7. Olkoon f : X Y jatkuva kuvaus. Oletetaan, että B Y siten, että f(x) B. Jos g : X B on kuvaus jolla x f(x), niin f on jatkuva jos ja vain jos g on jatkuva. Todistus. Oletetaan g jatkuvaksi. Olkoon j : B Y inkluusio. Tällöin f = j g : X g B j Y, missä x f(x) f(x). Nyt lauseen 6.6 perusteella j on jatkuva. Siis lauseen 2.4 nojalla f on jatkuva. Oletetaan f jatkuvaksi. Olkoon W B avoin B:ssä. Tällöin on olemassa avoin V Y siten, että W = V B. Nyt g 1 (W ) = { x X g(x) W } = { x X f(x) W } = { x X f(x) V B } = { x X f(x) V } = f 1 (V ). Mutta koska V on avoin Y :ssä ja f on jatkuva, niin f 1 (V ) = g 1 (W ) on X:ssä avoin. Siis g on jatkuva. 35

37 Luku 7 Tuloavaruudet Seuraavaksi siirrytään käsittelemään tuloavaruuksia, jotka saadaan aikaiseksi yhdistämällä tunnettuja topologisia avaruuksia. Yhteydet muihin matematiikan osa-alueisiin ja samantyyppisiin käsitteisiin on jälleen helppo havaita. 1 Tuloavaruuden määritelmä Palautetaan ensiksi mieleen muutama aiemmilta kursseilta tuttu määritelmä. Olkoot X ja Y joukkoja. Näiden karteesinen tulo on X Y := { (x, y) x X, y Y }. Tämän avulla voimme määritellä myös projektiot: p :X Y X, q :X Y Y, (x, y) x (x, y) y Näiden käsitteiden yhdistämiseen topologiaan onkin seuraava tehtävä, mutta ensin on ratkaistava eräs ongelma. Ongelma: Jos X ja Y ovat topologisia avaruuksia, niin onko karteesisella tulolla X Y topologiaa siten, että projektiot p ja q ovat jatkuvia? Jos näin olisi, niin U X avoin V Y avoin p 1 (U) X Y avoin ja q 1 (V ) X Y avoin. Huomataan, että nyt p 1 (U) = { (x, y) X Y p(x, y) U } = { (x, y) X Y x U } = U Y. Samoin g 1 = X V. 36

38 Jos ajatellaan esimerkiksi reaalilukuakseleita, niin nämä tulojoukoto olisivat jonkinlaisia yhdessä suunnassa rajoittamattomia suorakulmioita. Tässä ei vielä välttämättä olisi ylitsepääsemätöntä ongelmaa, mutta toisaalta topologian ehdot eivät tässä kuvitteellisessa topologiassa toimisi aivan samoin kun niiden pitäisi toimia reaalilukutason normaalissa topologsiassa. Edellisestä kohdasta seuraa nimittäin, että koska U Y ja X V ovat avoimia, niin myös leikkauksen (U Y ) (X V ) = U V on oltava avoin. Emme siis saa aikaiseksi topologiaa näin helposti, mutta sen sijaan huomataan, että itse asiassa olemme tulleet määritelleeksi erään topologian kannan. Lause 7.1. Jos T on X:n topologia ja S on Y :n topologia, niin kokoelma on erään X Y :n topologian kanta. B := { U V U T, V S } Todistus. Todistetaan erikseen kantakriteerin (Lause 5.3) molemmat kohdat. B1: Tämä kohta on selvä, sillä tietenkin X Y B (koska X T ja Y S). B2: Olkoon U V, U V B. Nyt (U V ) (U V ) = (U U ) (V V ). Edelleen, koska U, U T, niin U U T. Toisaalta, koska V, V S, niin V V S. Näin ollen (U U ) (V V ) B, joten tämäkin ehto pätee. Muistetaan, että kannan määrittelemä topologia on itse asiassa yksikäsitteinen. Voimme siis päättää määritellä tulotopologian tämän kannan kautta. Määritelmä 7.2. Edellämainittua joukon X Y topologiaa sanotaan T :n ja S:n tulotopologiaksi. Tällä topologialla varustettuna X Y on X:n ja Y :n tuloavaruus. Huomautus. Siis W X Y on avoin täsmälleen silloin, kun kaikilla (x, y) W on olemassa avoimet U X ja V Y siten, että x U ja y V. Toisin sanoen (x, y) U V W. Käytetään nyt esimerkkinä reaalitasoa, jonka tapauksen tarkastelu aiheutti aiemmin ongelmia. Huomataan, että tämä tuloavaruus käyttäätykin varsin mallikkaasti. Esimerkki. Varustetaan R standarditopologialla. Nyt joukon R R = R 2 tulotopologia on sama kuin R 2 :n standarditopologia. 37

39 Todistus. Tiedetään, että neliöt K(x, r) := { y R 2 y i x i < r, i {1, 2} }, missä x R 2 ja r > 0 muodostavat standarditopologian kannan. Nyt K(x, r) = ]x 1 r, x 1 + r[ ]x 2 r, x 2 + r[. Olkoon W R 2 avoin standarditopologiassa ja olkoon x W. Yllä sanotun nojalla on olemassa sellainen r > 0, että K(x, r) W. Tällöin välit ]x 1 r, x 1 + r[ ja ]x 2 r, x 2 + r[ ovat avoimia, joten K(x, r) on avoin tulotopologiassa. Olkoon W R 2 avoin tulotopologiassa ja olkoon x W. Tällöin on olemassa avoimet U, V R siten, että x U V W. Merkitään x = (x 1, x 2 ). Nyt pätee x 1 U ja x 2 V, joten on olemassa sellaiset δ 1, δ 2 > 0, että ]x 1 δ 1, x 1 + δ 1 [ U ja ]x 2 δ 2, x 2 + δ 2 [ V. Jos δ = min{δ 1, δ 2 }, niin Näin ollen ]x 1 δ, x 1 + δ[ ]x 1 δ 1, x 1 + δ 1 [ ja ]x 2 δ, x 2 + δ[ ]x 2 δ 2, x 2 + δ 2 [. K(x, δ) ]x 1 δ 1, x 1 + δ 1 [ ]x 2 δ 2, x 2 + δ 2 [ = U V W. Joten W on avoin standarditopologiassa. 2 Jatkuvat kuvaukset tuloavaruuksissa Lähdimme liikkeelle tässä luvussa siitä ajatuksesta, että tulojoukkojen topologioissa jatkuvien kuvausten projektioiden tulisi olla jatkuvia. Seuraavaksi todistamme, että tämä ominaisuus on todellakin voimassa tuloavaruuksille. Lause 7.3. Jos X ja Y ovat topologisia avaruuksia ja X Y näiden tuloavaruus, niin projektiot p : X Y X ja q : X Y Y ovat jatkuvia. Todistus. Olkoot U X ja V Y avoimia. Tällöin alkukuvat p 1 (U) = U Y ja q 1 (V ) = X V ovat avoimia X Y :ssa. Siis p ja q ovat jatkuvia. 38

40 Projektiot eivät itsessään ole kovin mielenkiintoisia kuvauksia. Niitä käytetään kuitenkin apuna seuraavassa todistuksessa, jossa esitetään välttämätön ja riittävä ehto sille, että kuvaus joltain topologiselta avaruudelta jollekin tuloavaruudelle on jatkuva. Lause 7.4. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia. Jos Z on topologinen avaruus ja f : Z X Y kuvaus, niin f on jatkuva jos ja vain jos kuvaukset p f ja q f ovat jatkuvia. Todistus. Oletetaan, että f on jatkuva. Edelleen lauseen 7.3 nojalla tiedetään, että projektiot p ja q ovat jatkuvia. Siispä lauseen 2.4 nojalla voidaan todeta, että kuvaukset p f ja q f ovat jatkuvia. Oletetaan, että p f ja q f ovat jatkuvia. Nyt riittää osoittaa, että f 1 (U V ) Z on avoin kaikilla avoimilla U X, V Y. Huomataan, että Näin ollen U V = (U Y ) (X V ) = p 1 (U) q 1 (V ). f 1 (U V ) = f 1 (p 1 (U) q 1 (V )) = f 1 (p 1 (U)) f 1 (q 1 (V )) = (p f) 1 (U) (q f) 1 (V ). Koska p f ja q f ovat jatkuvia ja U ja V avoimia, niin alkukuvat (p f) 1 (U) ja (q f) 1 (V ) ovat avoimia. Tällöin f 1 (U V ) on kahden avoimen joukon leikkaus, joten se on avoin. Siis f on jatkuva. Huomautus. Jos f : Z X Y on kuvaus, niin merkitään f 1 = p f ja f 2 = q f. Nämä ovat f:n komponentit. Jos nyt z Z, niin Merkitään siis f := (f 1, f 2 ). f(z) = (p(f(z)), q(f(z))) = ((p f)(z), (q f)(z)) = (f 1 (z), f 2 (z)). Esimerkki. Kuvaus f : R R 2, t (cos t, sin t) on jatkuva, sillä analyysin peruskursseilta muistetaan, että kuvaukset f 1 : R R, t cos t f 2 : R R, t sin t ja ovat jatkuvia. 39

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause

Lisätiedot

Metristyvät topologiset avaruudet

Metristyvät topologiset avaruudet TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Arttu Ojanperä Metristyvät topologiset avaruudet Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tammikuu 2016 Tampereen Yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö OJANPERÄ,

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)

U β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3) 1.1 a) Joukkoperhe T = α I T α P(X) on topologia. Todistus. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T.

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Kompaktisuus ja filtterit

Kompaktisuus ja filtterit Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L

Lisätiedot

Johdanto Lassi Kurittu

Johdanto Lassi Kurittu Johdanto Tämä luentomoniste on kirjoitettu syksyn 2012 topologian kurssin jälkimmäisen osan luentomateriaaliksi. Kurssin ensimmäisellä puoliskolla käsiteltiin metrisiä avaruuksia, mutta nyt siirrytään

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00

Metriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

Johdatus topologiaan (4 op)

Johdatus topologiaan (4 op) 180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

Metriset avaruudet 2017

Metriset avaruudet 2017 Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa

Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa Antti Karvinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2016 Tiivistelmä: Antti Karvinen, Yleistettyjen jonojen

Lisätiedot

Topologian demotehtäviä

Topologian demotehtäviä Topologian demotehtäviä 31.10.2012 1.1 Olkoon X joukko ja {T α } α I epätyhjä (eli I ) perhe X:n topologioita. Ovatko joukot T α P(X) ja/tai T α P(X) α I välttämättä X:n topologioita? Tässä on ehkä syytä

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Kompaktisuus ja kompaktisointi

Kompaktisuus ja kompaktisointi Kompaktisuus ja kompaktisointi Mikko Salo Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2017 Tiivistelmä: Mikko Salo, Kompaktisuus ja kompaktisointi matematiikan

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Kalle

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta).

Ratkaisu: a) Kahden joukon yhdisteseen poimitaan kaikki alkiot jotka ovat jommassakummassa joukossa (eikä mitään muuta). Matematiikan laitos Johdatus Diskreettiin Matematiikaan Harjoitus 1 03.11.2010 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Nuija 1. Tarkastellaan joukkoja A = {1,3,4}, B = {2,3,7,9} ja C = {2, 5, 7}. Määritä joukot (a)

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Sisältö. 1 Johdanto 1

Sisältö. 1 Johdanto 1 ÍÒ ÓÖÑ Ò Ú ÖÙÙ Ò À Ù ÓÖ Ò ØÝ ÐÐ ØÝÑ À ÒÖ ÌÙÓÑ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç ÌÍÊÃÍ È ÊÌÅ ÆÌ Ç Å ÌÀ Å ÌÁ Ë Áƹ¾¼¼½ ÌÍÊÃÍ ÁÆÄ Æ Sisältö 1 Johdanto 1 2 Esitietoja uniformista avaruuksista 1

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

STONEN ESITYSLAUSE. Teemu Pirttimäki. Pro gradu -tutkielma Elokuu 2017 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO

STONEN ESITYSLAUSE. Teemu Pirttimäki. Pro gradu -tutkielma Elokuu 2017 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO STONEN ESITYSLAUSE Teemu Pirttimäki Pro gradu -tutkielma Elokuu 2017 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos PIRTTIMÄKI, TEEMU: Stonen

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 4. Kurssikerta Petrus Mikkola 4.10.2016 Tämän kerran asiat Funktion raja-arvo Raja-arvon määritelmä Toispuolinen raja-arvo Laskutekniikoita Rationaalifunktion esityksen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Laskutoimitusten operaattorinormeista

Laskutoimitusten operaattorinormeista Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

MS-C1540 Euklidiset avaruudet

MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet III-periodi, kevät 2016 Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 1 / 30 Euklidiset

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

Topologia IA, kesä 2017 Harjoitus 1

Topologia IA, kesä 2017 Harjoitus 1 Topologia IA, kesä 07 Harjoitus Heikki Korpela 5. toukokuuta 07 Tehtävä. Todista ( luonnollisin oletuksin, kirjoita ne!) kaava 0.8., so. että f j J B j = j J f B j, huolellisesti tarkastellen yksittäisiä

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot