Malliratkaisut Demo 4

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Malliratkaisut Demo 4"

Transkriptio

1 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku x). Funktion arvo paloittain vakio. Pienillä askelilla ei parannusta! Ei-unimodaalinen imoinnin eikä maksimoinnin suhteen. Funktio on myös epäkonveksi ja epäkonkaavi. c) f(x) = cos x + ax, a > ja f (x) = sin x + a (a) a>1 (b) a=1 (c) a<1 Kuva 1: f(x) = cos x + ax, a > a > 1: Nyt f (x) > kaikilla x. Unimodaalinen sekä imoinnin että maksimoinnin suhteen. Ei konveksi eikä konkaavi. Ei ääriarvoja. (Konveksin funktion epigraafi on konveksi) < a < 1: Ei unimodaalinen imoinnin eikä maksimoinnin suhteen. Ei konveksi eikä konkaavi. a = 1: Nyt f (x) =, kun x = π/2. Kyseessä on satulapiste. Funktio ei kuitenkaan ole vakio tässä pisteessä eikä sen välittömässä läheisyydessä = pienikin askel tuottaa parannusta. Unimodaalinen sekä imoinnin että maksimoinnin suhteen. Ei konveksi eikä konkaavi. d) f(x) = x. Unimodaalinen maksimoinnin, mutta ei imoinnin suhteen. Epäkonveksi. e) f(x) = max {a, x 2 1 }, a > < a < 1: Ei unimodaalinen imoinnin eikä maksimoinnin suhteen. Epäkonveksi. a = 1 tai a 1: Unimodaalinen imoinnin suhteen, mutta ei maksimoinnin suhteen. Konveksi. 2. tehtävä Päätösmuuttujiksi voidaan valita x i : päivänä i aloittavien poliisien määrä (1:maanantai, 2:tiistai,...). Jos poliisi aloittaa töissä päivänä i, hän on töissä myös seuraavat 4 päivää. Minimoidaan poliisien kokonaismäärää eli sitä kuinka monta poliisia äkin päivänä aloittaa. Tällöin optimointitehtäväksi saadaan 1

2 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x +x 6 +x 7 s. t. x 1 +x 4 +x +x 6 +x 7 6 x 1 +x 2 +x +x 6 +x 7 6 x 1 +x 2 +x 3 +x 6 +x 7 6 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 7 6 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 1 x 2 +x 3 +x 4 +x +x 6 1 x 3 +x 4 +x +x 6 +x 7 8 x i, i = 1,..., 7. x i {, 1, 2,...}, i = 1,..., 7. Ratkaisuksi saadaan x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 2, x 4 = 2, x = 3, x 6 = 1 ja x 7 =. Lingossa muuttuja x voidaan pakottaa kokonaislukumuuttujaksi kirjoittamalla mallin sisään Huom! ratkaisu ei ole yksikäsitteinen, mutta kohdefunktion arvoksi pitäisi saada 11. Jos poliisien ei oleteta olevan kokonaisia, ratkaisuksi saadaan x 1 =.67, x 2 = 2, x 3 = 2.67, x 4 = 2, x = 2.67, x 6 =.67 ja x 7 =. Pyöristettynä kokonaisiksi poliiseiksi siis x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, x 4 = 2, x = 3, x 6 = 1 ja x 7 =, missä siis keskiviikkona työt aloittaa yksi poliisi enemmän kuin, jos tehtävä ratkaistaan kokonaislukumuuttujilla. 3. tehtävä Kolmea erilevyistä paperilaatua tarvitaan seuraavasti: paperin leveys (cm) tarvittava määrä (m) Pituussuunnassa paperirullasta on mahdollista leikata paperia yhdeksällä eri tavalla. Valitaan päätösmuuttujat x i, missä i = 1,..., 9, jotka osoittavat kullakin tavalla leikattavan paperin määrän metreinä. Saadaan optimointitehtävä mahdolliset leikkaustavat hukkaan (cm) metriä 3 2 x x x x x x x x x 9 2x 1 + x x 3 + 2x 4 + 3x + x x 7 + x x 9 (hukkapalojen pinta-ala) s. t. x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 2x + x 6 + x 7 2 (3 cm) x 2 + 2x 4 + x + 3x 6 + x 8 + 2x 9 4 x 3 + x + 2x 7 + 2x 8 + x 9 3 (62 cm). (4 cm) Ratkaisemalla tehtävä numeerisesti LINGOlla ja LINDOlla havaitaan, ettei tehtävällä ole yksikäsitteistä ratkaisua. Kohdefunktion arvo on kuitenkin sama molemmilla 2

3 ohjelmilla ratkaistaessa. LINGO Optimiratkaisu on leikata 1 m tavalla x ja 3 m tavalla x 8. Saatavat paperimäärät ovat 2 1 = 2 m (3 cm levyistä), = 4 m (4 cm levyistä) ja = 7 m (62 cm levyistä). Hukkaan menee,3 1 +,1 3 = 6 m 2 paperia. LINDO ja CPLEX Optimiratkaisu on leikata m tavalla x 2 ja 3 m tavalla x 8. Saatavat paperimäärät ovat 4 = 2 m (3 cm levyistä), = 4 m (4 cm levyistä) ja 3 2 = 7 m (62 cm levyistä). Hukkaan menee, +,1 3 = 6 m 2 paperia. 4. tehtävä Tarkastellaan ylimääriteltyä yhtälöryhmää x 2y = x + 4y = 8 x + y =. Kertoimien perusteella saadaan matriisi A ja vektori b seuraavasti: 1 2 A = 1 4 R 3 2 b = Yhtälöryhmä ratkaistaan imoimalla residuaalia Ax b = r, toisin sanoen kohdefunktiona on Ax b. a) Muodostetaan ensin optimointitehtävä 1 -normia käyttäen. Merkitsemällä seuraavassa x 1 = x ja x 2 = y saadaan x1 x a ij x j b i = {}}{{}}{ x 2 y + + x + 4y 8 + x + y i=1 j=1 s. t. x, y R. b) Muodostetaan sitten optimointitehtävä -normia käyttäen seuraavasti: 2 max i=1,...,3 j=1 a ij x j b i = max{ x 2y +, x + 4y 8, x + y } s. t. x, y R. Tehtävien linearisoimiseksi otetaan käyttöön apumuuttujat s + i = itseisarvon i sisällä olevan lausekkeen positiiviosa, i = 1, 2, 3 s i = itseisarvon i sisällä olevan lausekkeen negatiiviosa, i = 1, 2, 3. 3

4 a) Normia 1 käyttäen laadittu tehtävä muuttuu näiden avulla muotoon s s 1 + s s 2 + s s 3 s. t. x 2y + = s + 1 s 1 x + y = s + 3 s 3 s + i, s i, i = 1, 2, 3. Tehtävän numeeriseksi ratkaisuksi saadaan x = 2.4 y = 2.6 f = 2.2. b) Normia käyttäen laaditussa tehtävässä korvataan ensin itseisarvolausekkeet summilla, jolloin tehtävä saa muodon max {s s 1, s s 2, s s 3 } s. t. x 2y + = s + 1 s 1 x + y = s + 3 s 3 s + i, s i, i = 1, 2, 3. Korvataan vielä kohdefunktion max-lauseke merkinnällä f ja lisätään uusi rajoite, jolloin tehtävä on linearisoitu muotoon f s. t. f s + i + s i, i = 1, 2, 3 x 2y + = s + 1 s 1 Tehtävän numeeriseksi ratkaisuksi saadaan x + y = s + 3 s 3 s + i, s i, i = 1, 2, 3. x = 1.3 y = 2.6 f = 1.1. tehtävä Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä c T x s. t. Ax b x, 4

5 missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max 1x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 s. t. 4x 1 + 3x 2 + 2x 3 + x 4 8 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = x 1, x 2, x 4, x 3 R sellaiseksi, että sen voi ratkaista kyseisellä ohjelmistolla. Lisäksi määrätään luvut n ja m, vektorit c ja b sekä matriisi A. Yhtälörajoitteen perusteella nähdään, että x 3. Muutetaan ensin maksimointi imoinniksi kertomalla luvulla ( 1), jolloin saadaan 1x 1 2x 2 3x 3 4x 4. Käännetään sitten ensimmäisen rajoitteen epäyhtälö kertomalla luvulla ( 1), jolloin 4x 1 3x 2 2x 3 x 4 8. Yhtälörajoite voidaan korvata kahdella epäyhtälörajoitteella x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 x 1 2x 2 3x 3 4x 4. Lopuksi korvataan rajoittamaton muuttuja x 3 kahden ei-negatiivisen muuttujan erotuksella x 3 = x + 3 x 3, missä x + 3, x 3. Edellisten muutosten jälkeen optimointitehtävä saa muodon 1x 1 2x 2 3x x 3 4x 4 s. t. 4x 1 3x 2 2x x 3 x 4 8 x 1 + 2x 2 + 3x + 3 3x 3 + 4x 4 x 1 2x 2 3x x 3 4x 4 x 1, x 2, x + 3, x 3, x 4. Merkitään sitten x = (x 1, x 2, x + 3, x 3, x 4 ) T, jolloin n = ja m = 3. Pyydetyt vektorit ja matriisi ovat nyt c = 3, b =, A =

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) () = 2+1. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että minimoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) () = (suurin kokonaisluku

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 2.2.217 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös muotoon

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 3. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän sallittu alue Optimointitehtävien muunnoksia Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisut Lineaarisen optimointitehtävän

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot 6,

Malliratkaisut Demot 6, Malliratkaisut Demot 6, 19.2.21 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x

Lisätiedot

Lineaarinen optimointitehtävä

Lineaarinen optimointitehtävä Lineaarinen optimointitehtävä min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m x 1, x 2,..., x n 0 1

Lisätiedot

Lineaarinen optimointitehtävä

Lineaarinen optimointitehtävä Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu

Lisätiedot

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 6 24.4.2017 Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomonisteen s. 107) mukaan yleisen muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on min θ(u,v)

Lisätiedot

KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.

KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n. TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden

Lisätiedot

Harjoitus 5 ( )

Harjoitus 5 ( ) Harjoitus 5 (24.4.2014) Tehtävä 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan

Lisätiedot

Harjoitus 5 ( )

Harjoitus 5 ( ) Harjoitus 5 (14.4.2015) Tehtävä 1 Figure 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion

Lisätiedot

6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa

6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 6. Luennon sisältö Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa työkalu ratkaisun analysointiin Jälki- ja herkkyysanalyysiä mitä tapahtuu optimiratkaisulle, jos tehtävän vakiot hieman muuttuvat

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.

Lisätiedot

1 Rajoitettu optimointi I

1 Rajoitettu optimointi I Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause

Lisätiedot

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS

TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS 1. Suorakaiteen muotoisen lämmönvaraajan korkeus on K, leveys L ja syvyys S yksikköä. Konvektiosta ja säteilystä johtuvat lämpöhäviöt ovat verrannollisia lämmönvaraajan lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan

Lisätiedot

Taustatietoja ja perusteita

Taustatietoja ja perusteita Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:

Lisätiedot

Jälki- ja herkkyysanalyysi. Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun

Jälki- ja herkkyysanalyysi. Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun Jälki- ja herkkyysanalyysi Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun 1 Hinnat ja varjohinnat Objektifunktio c T x = Kerroin c j ilmoittaa, paljonko

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Matemaattinen optimointi I, demo

Matemaattinen optimointi I, demo Matemaattinen optimointi I, demo 3 29.1.2015 Demo 3 järjestetään Quantumin mikroluokassa normaaleina demoaikoina. Tavoitteena on harjoitella kurssilla tarvittavien optimointiohjelmistojen käyttöä. Demopisteet

Lisätiedot

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Lineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen

Lineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen Lineaarisen ohjelman määritelmä Joonas Vanninen Sisältö Yleinen optimointitehtävä Kombinatorinen tehtävä Optimointiongelman tapaus Naapurusto Paikallinen ja globaali optimi Konveksi optimointitehtävä Lineaarinen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3 7.3.07 Tehtävä Olkoon tilamuuttujat Tällöin saadaan rekursioyhtälö f n (x n ) = max yn {0,} ynwn xn f 0 ( ) = 0. x n = vaiheessa n jäljellä oleva paino, n =,...,N, esine n pakataan

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 8 To 29.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 8 To 29.9.2011 p. 1/36 p. 1/36 Interpolointi kuutiosplinillä Osavälit: I i = [t i 1,t i ], i = 1,2,...,n

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä

Lisätiedot

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.

Lisätiedot

Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki

Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot 5,

Malliratkaisut Demot 5, Malliratkaisut Demot 5, 2.2.25 Tehtävä : a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x +x 2 x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x,x 2,x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto,n = 3 jam =. b) Otetaan käyttöön

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Pienimmän neliösumman menetelmä

Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi

Osakesalkun optimointi Osakesalkun optimointi Anni Halkola Epäsileä optimointi Turun yliopisto Huhtikuu 2016 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Taustatietoja 2 3 Laskumetodit 3 3.1 Optimointiongelmat........................ 4 4 Epäsileän

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

Luento 3: Simplex-menetelmä

Luento 3: Simplex-menetelmä Luento 3: Simplex-menetelmä Kuten graafinen tarkastelu osoittaa, LP-tehtävän ratkaisu on aina käyvän alueen kulmapisteessä, eli ekstreemipisteessä (extreme point). Simplex-menetelmässä ekstreemipisteitä,

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi

Kokonaislukuoptimointi Kokonaislukuoptimointi Optimointitehtävät, joissa muuttujat tai osa niistä voivat saada vain kokonaislukuarvoja Puhdas kokonaislukuoptimointitehtävä: Kaikki muuttujat kokonaislukuja Sekoitettu kokonaislukuoptimointitehtävä:

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f

Lisätiedot

Harjoitus 8: Excel - Optimointi

Harjoitus 8: Excel - Optimointi Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100 HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

Ohjeita LINDOn ja LINGOn käyttöön

Ohjeita LINDOn ja LINGOn käyttöön Ohjeita LINDOn ja LINGOn käyttöön LINDOn tärkeimmät komennot ovat com (command), joka tuloaa käytettävissä olevat komennot ruudulle, ja help, jonka avulla saa tietoa eri komennoia. Vaaukset kursiivilla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2

73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 Risto Silvennoinen Tampereen teknillinen yliopisto, kevät 2004 1. Peruskäsitteet Optimointiteoria on sovelletun matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan funktioiden

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoiteoptimointi

Luento 6: Monitavoiteoptimointi Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman

Lisätiedot

1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta

1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta Sisältö Johdanto 2 LP tehtävän luonteen tarkastelua 3 Johdanto herkkyysanalyysiin 5 2 Optimiarvon funktio ja marginaalihinta 5 3 Johdanto duaaliteoriaan 6 2 LP-tehtävän standardimuoto 9 Johdanto Optimoinnista

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin

Lisätiedot

Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät

Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat

Lisätiedot

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä? BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 5A Vastaukset alkuviikolla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0. HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (

Lisätiedot

Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille P

Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille P Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille 802160P Luentomoniste Kari Myllylä Niina Korteslahti Topi Törmä Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Kevät 2017 Sisältö 1 Matriisialgebra 3 11 Määritelmä

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. Luento : Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli simerkki: Maalifirma Sateenkaari valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M ja M. Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

Luento 7: Kokonaislukuoptimointi

Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )

Lisätiedot

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle.

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle. Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 9 1. Johdetaan ensiksi välttämättömät ehdot diskreettiaikaiselle optimisäätötehtävälle. Tilayhtälö on x k+1 = f k (x k, u k ), k = 1,..., N 1 alkuehdolla

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot