KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.
|
|
- Otto Nurmi
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot ovat: f p i = log p i + 1 h 1 p i = 1 h 2 p i = x KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n. i 2. p i = exp( v 1 1 v 2 x i ) = exp((λ 1) + µx i ), i = 1,..., n, missä λ = v 1, µ = v 2. Huomataan, että todellakin p i > 0 ja epäyhtälörajoitukset eivät siten ole aktiivisia. λ ja µ tulee valita s.e. molemmat yhtälörajoitukset toteutuvat. min 1 2 xt Hx + d T x s.e Ax b, missä H on p.s.d. ja symmetrinen. Tehtävän duaalin kohdefunktio: θ(u) = inf x E n{1 2 xt Hx + d T x + u T (Ax b) }. = f(x,u) Haetaan nyt f:n suurin alaraja. Koska f on konveksi ja x rajoittamaton, suurin alaraja löytyy nyt gradientin nollakohdasta: josta saadaan, että ehdolla x f(x,u) = Hx + d + A T u = 0 (1) x T Hx + d T x + u T Ax = 0, saavutetaan infimum. Siten duaali voidaan kirjoittaa muodossa max x,u 1 2 xt Hx + d T x + u T (Ax b) s.e. x T Hx + d T x + u T Ax = 0 u 0. Mikäli oletetaan, että H on p.d., niin H 1, jolloin yhtälöstä 1 saadaan, että x = H 1 (d + A T u). 1
2 Siten sijoitetaan duaalin kohdefunktioon ensin välttämätön ehto ja sitten x θ(u) = 1 2 xt Hx u T b = 1 2 ut AH 1 A T u + u T ( AH 1 d b) 1 2 dt H 1 d, merkitään D = AH 1 A T ja c = AH 1 d b, jolloin θ(u) = 1 2 ut Du + c T u 1 2 dt H 1 d, vakio eli duaalitehtävä voidaan kirjoittaa muodossa max 1 2 ut Du + c T u s.e. u 0. Saatiin siis neliöllinen tehtävä, jossa on varsin yksinkertaiset rajoitteet. 3. Merkitään seuraavaa: j N:llä virtapiirin kytkentäsolmuja (i, j) A:lla virtapiirin johtimia x ij on johtimella (i, j) solmusta i solmuun j kulkeva virta R ij on johtimen (i, j) resistanssi t ij on johtimella (i, j) olevan virtalähteen jännite 1R 2 ijx 2 ij on johtimella kulkevan virran energia t ij x ij on virtalähteen tuottama teho Kirchhoffin laki sanoo, että kuhunkin virtapiirin solmuun j tulee saman verran virtaa kuin siitä lähtee (virran säilymislaki). Tästä tulee rajoite-ehto x ij = x ji. {j (i,j) A} {j (j,i) A} Tehtävän kohdefunktio puolestaan antaa virtapiirin energian, joka fysikaalisessa systeemissä minimoituu. Nyt duaalin kohdefunktio on (valitaan X = {x x 0}) θ(v) = inf { x 0 (i,j) A( 1 2 R ijx 2 ij t ijx ij ) + [v i ( i N {j (i,j) A} x ij Sievennetään hieman lauseketta [v i ( x ij ji )] = i N {j (i,j) A} {j (j,i) A}x [ v i x ij i N {j (i,j) A} = v i x ij 2 {j (i,j) A} i N = (i,j) A = (i,j A) v i x ij (j,i) A (v i x ij v j x ij ). {j (j,i) A} {j (j,i) A} x ji )]}. v i x ji ] {j (j,i) A} i N v i x ji v i x ji
3 Siten saamme, että θ(v) = inf x 0 { (i,j) A 1 2 R ijx 2 ij t ijx ij + (v i v j )x ij } = inf { 1 x 0 2 R ijx 2 ij (t ij v i + v j )x ij }. (i,j) A Infimum saavutetaan gradientin nollakohdassa: R ij x ij (t ij + v j v i ) = 0, (2) josta saadaan, että x ij = t ij + v j v i R ij. Duaalin tulkinta: Yhtälöstä 2 saadaan, että R ij x ij t ij = v i v j, jonka vasen puoli tarkoittaa fysikaalisesti johtimen (i, j) jännitettä, jolloin myös v i + v j on johtimen jännite ja siten v i on kytkentäkohdan i potentiaali. Fysiikassa yhtälöä 2 kutsutaan Ohmin laiksi. 4. Duaali: max θ(v), v missä θ(v) = inf x X {f(x) + v T (Ax b) }. =φ(x,v) Konkaavisuus: θ(λv 1 + (1 λ)v 2 ) = inf {f(x) + (λv 1 + (1 λ)v 2 ) T (Ax b)}, missä 0 λ 1 x X = inf {f(x) + x X λvt 1 (Ax b) + (1 λ)v2 T (Ax b)} eli θ on konkaavi. inf {λf(x) + x X λvt 1 (Ax b)} + inf {(1 λ)f(x) + (1 x X λ)vt 2 (Ax b)} = λ inf {f(x) + x X vt 1 (Ax b)} +(1 λ) inf {f(x) + x X vt 2 (Ax b)} = λθ(v 1 ) + (1 λ)θ(v 2 ), Paloittain lineaarisuus: Nyt selvästi φ(x,v) = f(x) + v T (Ax b) on konkaavi x:n suhteen, koska se on summa kahdesta konkaavista termistä: f on konkaavi ja v T (Ax b) on lineaarinen (konkaavi ja konveksi). Tällöin φ on erityisesti myös jatkuva, jolloin se savuttaa ääriarvonsa kompaktissa polyhedraalijoukossa X. 3
4 Koska X on polyhedraalijoukko, saavuttaa φ konkaavina funktiona miniminsä jossain X:n ekstreemipisteessä ŷ i, i = 1,...,m, (teoreema 3.4.7, konveksin funktion maksimointi), joten θ(v) = min{φ(ŷ 1,v),..., φ(ŷ m,v)}. φ(ŷ i,v):t ovat lineaarisia funktioita v:n suhteen. Koska θ(v) poimii pienimmän näistä lineaarisista funktioista se on paloittain lineaarinen. Aligradientit: Merkitään I:llä niiden indeksien joukkoa, jotka minimoivat φ(ŷ i,v):n. Oppikirjan teoreema sanoo, että ξ on θ:n aligradientti v:ssä, joss ξ H({Ay b y arg min {f(x) + x X vt (Ax b)}}) = H({Aŷ i b i I}), missä H() tarkoittaa argumenttijoukkonsa konveksia kuorta. Tulos on intuitiivinen, koska θ on paloittain lineaarinen. Tällöin kohdissa, joissa se on derivoituva, θ(v) = Aŷ i b (I = {i}). Derivaatan epäjatkuvuuskohdissa minimoiva ekstreemipiste ŷ i ei ole yksikäsitteinen ja tällöin aligradientit saadaan Aŷ i b:iden (i I) konveksina kombinaationa; vertaa laskuharjoitus 4, tehtävä 3. Edellä todettiin, että y on jokin X:n ekstreemipisteistä. Siten ξ = A i I λ i ŷ i b, missä i I λ i = 1 ja ŷ i :t ovat X:n ekstreemipisteitä. Kasvusuunnat: Määritelmän mukaan d on θ:n kasvusuunta, jos Tästä saadaan, että d T ξ > 0 ξ θ:n aligradientti. d T (A i I λ i ŷ i b) = d T A i I λ i ŷ i d T b > 0, eli d T A i I λ i ŷ i > d T b. Nopeimman kasvun suunta: Oppikirjan teoreeman mukaan nopeimman kasvun suunta on sellainen aligradientti, jolla on pienin euklidinen normi. Siten nopeimman kasvun suunta d = A i I λ iŷ i b saadaan ratkaisemalla tehtävä min λ i,i I s.e. A i I λ iŷ i b 2 i I λ i = 1. 4
5 5. Kokonaislukutehtävän ratkaisu on x = (0, 1, 1) ja f = 17. Muodostetaan duaali valitsemalla X = {x R 3 : x j {0, 1}, j = 1, 2, 3} ja g(x) = 7 x 1 3x 2 5x 3. Duaalifunktio on siten (piirrä kuva) θ(u) = min 3x 1 + 7x x 3 + u(7 x 1 3x 2 5x 3 ) x X = 7u + min (3 u)x 1 + min (7 3u)x 2 + min x 1 {0,1} x 2 {0,1} = 7u, u 2 2u + 10, 2 u 7/3 u + 17, 7/3 u 3 2u + 20, u 3. x 3 {0,1} (10 5u)x 3 Duaalifunktio ei ole siis differentioituva pisteissä u {2, 7/3, 3}. Duaalin ratkaisu on ū = 7/3 ja θ = 14 2 < 17. Tehtävässä on siis duaaliaukko ja duaalin ratkaiseminen ei auta määrittämään alkuperäisen tehtävän ratkaisua (muuta kuin antamalla 3 alarajan optimille). Huomaa kuitenkin että x X(ū) = arg min x X f(x) + ūg(x) = {(0, 0, 1), (0, 1, 1) }. Yleisesti X(ū):ssa ei välttämättä ole x:aa tai edes käypää pistettä primaalille. 6. Merkitään seuraavaa: x Primaalin ratkaisu, eli se minimoi f(x):n käyvässä joukossa S = {x g(x) 0,h(x) = 0,x X}. ū, v ovat duaalin ratkaisuja, eli ne ratkaisevat tehtävän max u 0,v {θ(u,v) = inf x X φ(x,u,v)}, missä φ(x,u,v) = f(x) + u T g(x) + v T h(x) x minimoi φ(x, ū, v):n x X:ssä. i) Oletetaan, että x on käypä Primaalille Näytetään siis, että myös x ratkaisee Primaalin, eli f( x) = f( x). Nyt f( x) + ū T g( x) =0 + v T h( x) f( x) =0 =minf +ū T g( x) + v T h( x) =0 0 (3) {}}{ f( x) + ū T g( x) f( x), (4) 0 0 missä ū T g( x) = 0 seuraa teoreemasta 6.25 ( x:n käypyys+ū, v optimaalisia duaalille ū T g( x) = 0). Vähennetään epäyhtälöketjusta 3-4 f( x), jolloin nähdään, että 0 ū T g( x) 0. Siten ū T g( x) = 0, joka voidaan sijoittaa takaisin epäyhtälöön 3, jolloin f( x) f( x) f( x), joten f( x) = f( x) ja siten myös x minimoi f:n. 5
6 ii) Oletetaan, että x ei ole käypä. Nyt max u 0,v θ(u,v) = θ(ū, v) = inf{φ(x,ū, v)} = φ( x,ū, v) = f( x) + ū T g( x) + v T h( x) f( x) + u T g( x) + v T h( x). Rajankäynnissä päästään äärettömyyteen, koska x ei-käypä, jolloin jokin h i 0 tai g j > 0 ja valitsemalla s.e. v i ± tai u i voidaan lausekkeen arvoa kasvattaa rajatta. Tällöin Primaalilla ei ole käypää ratkaisua. Tämä seuraa siitä, että jos käypä ratkaisu olisi olemassa infimum-operaattori poimisi käyvän x:n. 6
min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
Lisätiedotb 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin
LisätiedotDuaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2
LisätiedotLuento 4: Lineaarisen tehtävän duaali
Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
LisätiedotKeskeiset tulokset heikko duaalisuus (duaaliaukko, 6.2.1) vahva duaalisuus (6.2.4) satulapisteominaisuus (6.2.5) yhteys KKT ehtoihin (6.2.
Duaalisuus Lagrangen duaalifunktio ja duaalitehtävä määrittely ja geometria max θ(u,v), missä θ(u,v)=inf x X ϕ(x,u,v) s.e u 0 Lagr. funktio ϕ(x,u,v)=f(x)+u T g(x)+v T h(x) Keskeiset tulokset heikko duaalisuus
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,
LisätiedotLuento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
LisätiedotLineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!
Lineaarinen optimointi Harjoitus 6-7, 016. 1. Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän c T x = min! (T) Ax b x 0 duaalitehtävän duaali on tehtävä (T). Ratkaisu. (P) c T x = min! Ax b x
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 6 24.4.2017 Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomonisteen s. 107) mukaan yleisen muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on min θ(u,v)
LisätiedotMalliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotOptimaalisuusehdot. Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0
Optimaalisuusehdot Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0 i = 1,..., m j = 1,..., l missä f : R n R, g i : R n R kaikilla i = 1,..., m, ja h j : R n R kaikilla j = 1,..., l
LisätiedotPiiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R
Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotHarjoitus 6 ( )
Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lineaarinen ohjelmointi..7 Luento 7 Duaalisimple ja herkkyysanalyysi (kirja 4.5, 5., 5.5-5.6) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Duaalisimple Herkkyysanalyysi Luentorunko Parametrinen ohjelmointi
LisätiedotMAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
LisätiedotEste- ja sakkofunktiomenetelmät
Este- ja sakkofunktiomenetelmät Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Luennon kulku Este- ja sisäpistemenetelmät LP-ongelmat ja logaritminen estefunktio Polun seuranta Newtonin menetelmällä Sakkofunktiomenetelmistä
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
LisätiedotLuento 6: Monitavoitteinen optimointi
Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to
Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
Lisätiedot4. Tukivektorikoneet
4. Tukivektorikoneet Tukivektorikoneen (Support Vector Machine, SVM) keskeiset piirteet: Tehdään lineaarista luokittelua (tai regressiota) korkeaulotteisessa piirreavaruudessa. Laskentaa tehostetaan käyttämällä
LisätiedotKun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
LisätiedotPienimmän neliösumman menetelmä
Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 8 To 29.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 8 To 29.9.2011 p. 1/36 p. 1/36 Interpolointi kuutiosplinillä Osavälit: I i = [t i 1,t i ], i = 1,2,...,n
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedot6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 6. Luennon sisältö Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa työkalu ratkaisun analysointiin Jälki- ja herkkyysanalyysiä mitä tapahtuu optimiratkaisulle, jos tehtävän vakiot hieman muuttuvat
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion
LisätiedotDemo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40 Alkuviikolla harjoitustehtäviä lasketaan harjoitustilaisuudessa. Loppuviikolla näiden harjoitustehtävien tulee olla ratkaistuina harjoituksiin
Lisätiedot= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.
HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen
Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x
LisätiedotLuento 6: Monitavoiteoptimointi
Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z
LisätiedotTEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio. Kimmo Berg. Mat Optimointioppi. 9. harjoitus - ratkaisut
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 9. harjoitus - ratkaisut 1. a) Viivahakutehtävä pisteessä x suuntaan d on missä min f(x + λd), λ f(x + λd) = (x
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia:
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2429 Systeemien Identifiointi 2 harjoituksen ratkaisut Yhtälö voitaisiin ratkaista suoraankin, mutta käytetään Laplace-muunnosta tehtävän ratkaisemisessa
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x
Lisätiedot[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.
Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3
Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
LisätiedotHarjoitus 7: vastausvihjeet
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.
Lisätiedot(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.
1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 8 / vko 47
Ratkaisuehdotukset LH 8 / vko 47 Tehtävä 1: Olkoot A R n n matriisi, jonka singulaariarvohajotelma on A [ ] [ ] Σ U 1 U r 0 [V1 ] T 2 V 0 0 2 Jossa Σ r on kääntyvä matriisi, [ U 1 U 2 ] ja [ V1 V 2 ] ovat
LisätiedotTEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio. Mat Systeemien Identifiointi. 4. harjoitus
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 4. harjoitus 1. a) Laske valkoisen kohinan spektraalitiheys. b) Tarkastellaan ARMA-prosessia C(q 1 )y = D(q 1 )e,
LisätiedotTilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R,
Vektorianalyysi Harjoitus 9, Ratkaisuehdotuksia Anssi Mirka Tehtävä 1. ([Martio, 3.4:1]) Millä suoralla sylinterillä, jonka tilavuus on V > on pienin vaipan ja pohjan yhteenlaskettu pinta-ala? Ratkaisu
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotLuento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja
Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Seuraavassa esitetään optimointitehtävien numeerisia ratkaisumenetelmiä, eli optimointialgoritmeja, keittokirjamaisesti.
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 1 / 43 Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen
LisätiedotOsakesalkun optimointi
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Epäsileä optimointi Turun yliopisto Huhtikuu 2016 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Taustatietoja 2 3 Laskumetodit 3 3.1 Optimointiongelmat........................ 4 4 Epäsileän
LisätiedotKirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely)
Kirjallisuuskatsaus sisäpistemenetelmiin ja niiden soveltamiseen eri optimointiluokille (valmiin työn esittely) Ilari Vähä-Pietilä 28.04.2014 Ohjaaja: TkT Kimmo Berg Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa
LisätiedotEi-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
Lisätiedot4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =
BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotTEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS
1. Suorakaiteen muotoisen lämmönvaraajan korkeus on K, leveys L ja syvyys S yksikköä. Konvektiosta ja säteilystä johtuvat lämpöhäviöt ovat verrannollisia lämmönvaraajan lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan
Lisätiedot1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit
1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian
Lisätiedot