Joukko-opin demotehtäviä

Transkriptio

1 Joukko-opin demotehtäviä Nämä ensimmäiset tehtävät eivät ole varsinaista aksiomaattista joukko-oppia, vaan verrytellään ensin vähän intuitiivisella joukko-opilla ja erityisesti joukkojen mahtavuuksiin sekä valinta-aksioomaan liittyvillä asioilla. Näissä tehtävissä oletetaan tunnetuiksi tavanomaiset joukkoihin ja kuvauksiin liittyvät asiat mitä ne tarkkaan ottaen sitten ovatkaan. Sanotaan, että joukot A ja B ovat yhtä mahtavia, jos on olemassa bijektio ϕ : A B. Tällöin merkitään A B. Koska bijektioiden yhdiste on bijektio, niin joukkojen yhtämahtavuus on transitiivinen relaatio, ts. jos A B ja B C, niin A C. Kuuluisa Cantor-Schröder-Bernsteinin lause sanoo, että jos on olemassa injektio f : A B ja injektio g : B A, niin A B. Tämän lisäksi on olemassa syvällinen tulos, ns. Cantorin trikotomia, joka sanoo, että aina on olemassa injektio f : A B tai injektio g : B A. Tämän jälkimmäisen tuloksen todistus vaatii valinta-aksiooman, kun taas Cantor-Schröder-Bernsteinin lause voidaan todistaa muutenkin. Ei nyt kuitenkaan loikata heti noihin syvällisiin tuloksiin, vaan aloitetaan melko triviaalista kuviosta. Oletetaan tunnetuksi joukko N = {1,2,...} ja sen perusominaisuudet, erityisesti induktioperiaate sekä myös (induktioperiaatteesta seuraava) rekursioperiaate, joka sanoo intuitiivisesti ja huomattavan epätäsmällisesti seuraavaa: Jos X on jokin joukko ja f(1) X on määritelty sekä kaikille n on annettu sääntö, jolla f(1),...,f(n 1) määräävät yksikäsitteisesti arvon f(n) X, niin näin syntyy kuvaus f : N X. Oletetaan tunnetuksi myös seuraava yksinkertainen tulos: Jos n N ja kaikille i = 1,...,n on annettu epätyhjä joukko A i, (1) n niin on olemassa kuvaus f : {1,...,n} A i siten, että f(i) A i kaikille i. Tämä tulos (1) voidaan kirjoittaa täsmällisesti aksiomaattisen joukko-opin kielellä ja se voidaan myös todistaa melko helposti induktioperiaatetta käyttäen. Tilanne muuttuu paljon hankalammaksi, jos siirrytään äärettömään joukkoperheeseen. Tässä tapauksessa siis on annettu epätyhjä (ääretön) indeksijoukko I ja kaikille i I epätyhjä joukko A i ; kysymys kuuluu, että onko olemassa kuvausta f : I i I A i siten, että f(i) A i kaikille i I. Tähän ei vastausta löydy induktioperiaatteesta eikä edes myöhemmin esitettävästä ns. transfiniittisestä induktiosta, vaan tarvitaan valinta-aksioomaa. Valinta-aksiooma sanoo tasan tarkkaan sen, että tällainen f on olemassa. Huomaa, että valinta-aksioomaa ei tarvita, jos osataan jotenkin spesifioida jokaiselle i I jokin a i A i, jolle i sitten kuvataan. Tässä ollaan sitten aika i=1 1

2 lähellä kehämääritelmää, sillä mitäs muuta tämä spesifiointi yleisesti ottaen on kuin kuvaus i a i. Silloin siis kuvaus f voidaan määritellä, jos on olemassa tällainen kuvaus. Ei kuulosta kovin hyvältä. Joissakin tapauksissa f:n määritelmä kuitenkin on näinkin esitettynä järkevä; esimerkiksi jos joukot A i ovat yksiöitä, A i = {a i }, niin voidaan määritellä haluttu f asettamalla f(i) = a i kaikille i. Näinhän itse asiassa tehdäänkin, kun määritellään bijektion f : A B käänteiskuvaus f 1 : B A. Tässä tapauksessa I = B ja A i on pisteen i B alkukuva, joka f:n injektiivisyyden perusteella on yksiö. Sanotaan, että joukko A on äärellinen, jos A {1,...,n} jollekin n N. Tällöin n on joukon A alkioiden lukumäärä, merkitään #A = n. Sanotaan, että joukko A on numeroituva, jos A N. Sanotaan, että joukko on ääretön, jos se ei ole äärellinen tai tyhjä. Sanotaan, että ääretön joukko on ylinumeroituva, jos se ei ole numeroituva. Yhtämahtavuuden transitiivisuusominaisuudesta seuraa heti, että jos A B ja A on äärellinen/numeroituva/ylinumeroituva, niin B on äärellinen/numeroituva/ylinumeroituva. Ylinumeroituvat joukot voidaan karakterisoida myös niin, että A on ylinumeroituva jos ja vain jos on olemassa injektio N A, mutta ei ole olemassa injektiota A N. Tämä seuraa ylinumeroituvuuden määritelmästä, tehtävästä 1.4 b) ja Cantor-Schröder-Bernsteinin lauseesta. 1.1 Olkoot A ja B epätyhjiä joukkoja. Osoita, että on olemassa injektio A B jos ja vain jos on olemassa surjektio B A. Ohje: Tämän väitteen toinen suunta tarvitsee valinta-aksiooman; toinen suunta saadaan muutenkin. Huomaa, että tämän tehtävän nojalla Cantor-Schröder- Bernsteinin lause voidaan muotoilla niin, että että jos on olemassa surjektio f : A B ja surjektio g : B A, niin A B. 1.2 a) Olkoot m,n N, m < n. Osoita, että ei ole olemassa injektiota f : {1,...,n} {1,...,m}. Huomautus. Tämä a)-kohdan tulos tunnetaan nimellä kyyhkyslakkaperiaate eli pigeonhole principle; nimitys tulee siitä, että jos kyyhkyslakassa on m uuttua eli reikää seinässä ja sinne tungetaan n > m kyyhkystä, niin johonkin uuttuun tulee väkisinkin ainakin kaksi lintua. b) Osoita, että äärellisen joukon alkioiden lukumäärä on hyvin määritelty eli yksikäsitteinen, ts. ei voi olla #A = m ja #A = n, jos m n. c) Osoita, että äärellinen joukko ei voi olla numeroituva. Huomaa, että tämän perusteella numeroituva joukko on aina ääretön. 1.3 a) Osoita, että äärellisen joukon epätyhjä osajoukko on äärellinen. b) Osoita, että äärellisen joukon kuvajoukko missä tahansa kuvauksessa on äärellinen. c) Osoita, että numeroituvan joukon ääretön osajoukko on numeroituva. Huo- 2

3 maa, että tämän perusteella jokainen numeroituvan joukon epätyhjä osajoukko on numeroituva tai äärellinen. d) Osoita, että äärellisten joukkojen äärellinen yhdiste on äärellinen. Huomaa, että joukot voivat leikata toisiaan. e) Osoita, että äärellisten joukkojen numeroituva yhdiste on numeroituva tai äärellinen. Ohje: a)-kohta menee induktiolla, b)-kohta käyttäen a)-kohtaa ja tehtävää 1.1. Sovella c)-kohdassa rekursioperiaatetta ja a)-kohtaa. d)-kohdassa sovella b)- kohtaa sekä e)-kohdassa tehtävää 1.1 ja c)-kohtaa. 1.4 Olkoon A ääretön joukko. a) Osoita, että kaikille n N on olemassa injektio f n : {1,...,n} A. b) Osoita, että on olemassa injektio f : N A. Ohje: a)-kohta sujuu helposti induktiolla käyttäen sivun 1 ehtoa (1) (jos ei halua kikkailla ja käyttää Cantor-Schröder-Bernsteinin lausetta). b)-kohta on paljon vaikeampi. Tässä voisi ajatella jonkinlaista rekursiivista konstruktiota seuraavaan tyyliin. Valitaan ensin f(1) A jotenkin ja tehdään rekursio-oletus, että f(1),...,f(n 1) on jo määritelty. Koska A on ääretön, niin A\{f(1),...,f(n 1)}, ja voidaan valita f(n) A\{f(1),...,f(n 1)}, mikä on vaadittava rekursioaskel. Tämä kuvio ei toimi, koska pisteen f(n) valinnasta puuttuu rekursioperiaatteessa vaadittava yksikäsitteisyys. Tässä joudutaankin syville vesille eli valinta-aksiooman käyttöön. Merkitään F n = {f : {1,...,n} A f on injektio}, jolloin a)-kohdan nojalla F n kaikille n. Tällöin valinta-aksiooman nojalla on olemassa kuvaus ϕ : N n N F n siten, että ϕ(n) F n kaikille n. Merkitään B = n N ϕ(n)({1,...,n}). Sovella joukkoon B tehtäviä 1.2 b), 1.3 e) ja 1.2 a). 1.5 a) Oletetaan, että meillä on kyyhkyslakka, jossa on äärettömän monta uuttua. Oletetaan lisäksi, että kaikki uutut ovat varattuja eli niissä kussakin on jo yksi kyyhkynen. Paikalle pölähtää äärellinen, mielivaltaisen suuri kyyhkysparvi. Osoita, että kaikki linnut saadaan sijoitettua lakkaan niin, että samassa uutussa on vain yksi lintu. b) Osoita, että sijoittelu onnistuu myös jos saapuvien lintujen parvi on numeroituva. 1.6 a) Olkoon A äärellinen joukko, jonka alkioiden lukumäärä on n. Osoita, että #P(A) = 2 n. 3

4 b) Olkoon A numeroituva joukko. Merkitään Osoita, että B(A) on numeroituva. B(A) = {B A B on äärellinen} P(A). Ohje: a)-kohta menee induktiolla. b)-kohdassa käytä a)-kohtaa ja tehtävää 1.3 e). 1.7 a) Olkoot A ja B äärettömiä joukkoja ja C A äärellinen siten, että B A \ C. Osoita, että B A. b) Olkoot A ja B äärettömiä joukkoja ja C A numeroituva siten, että B A \ C. Osoita, että B A. Ohje: Tehtävä 1.4 b). 1.8 Osoita, että R P(N). Ohje: On melko selvää, että R ]0,1[, joten riittää osoittaa, että ]0,1[ P(N). Käytä hyväksi sellaista tietoa, että jokainen välin ]0, 1[ piste x voidaan esittää binäärijärjestelmässä desimaalimuodossa x = 0.x 1 x 2 x 3..., missä x i {0,1} kaikille i. Tarkkaan ottaenhan tämä tarkoittaa sitä, että x:llä on summaesitys x = x i 2 i, missä siis x i {0,1} kaikille i N. i=1 Määrittele joukko A x N siten, että sen karakteristiselle funktiolle χ Ax pätee χ Ax (i) = x i kaikille i N. Kuvaus x A x on aika lähellä haluttua bijektiota ]0,1[ P(N). Tässä kuvauksessa on kuitenkin se fundamentaali vika, että se ei ole kuvaus, mikä johtuu tuon binääridesimaalikehitelmän epäyksikäsitteisyydestä. Tämä ongelma voidaan kiertää käyttämällä tehtäviä 1.6 b) ja 1.7 b). 1.9 Osoita, että kaikille joukoille A pätee A P(A). Ohje: Tee antiteesi: on olemassa bijektio ϕ : A P(A). Tarkastele joukkoa B = {x A x ϕ(x)} P(A) a) Osoita, että numeroituvalle joukolle A joukko P(A) on ylinumeroituva. Vertaa tehtävään 1.6 b). b) Osoita, että R on ylinumeroituva. 4

5 Joukko-opin demotehtäviä Näissä kaikissa tehtävissä tarkastellaan (vain) joukko-opin kieltä eli predikaattikieltä, jossa on vain yksi kaksipaikkainen predikaattisymboli. Kaikki esiintyvät kaavat ovat tässä kielessä. 2.1 a) Olkoon ϕ kaava sekä x ja z muuttujia, x z. Olkoon K x z (ϕ) kaava, joka syntyy intuitiivisesti ajatellen niin, että kaikki x:n sidotut esiintymät ϕ:ssa korvataan z:lla. Esitä kaavan K x z (ϕ) tarkka rekursiivinen määritelmä. b) Osoita a)-kohdan määritelmään perustuvalla induktiolla, että kaavassa K x z (ϕ) ei kvantifioida x:n suhteen. c) Oletetaan, että z ei esiinny vapaana kaavassa ϕ. Osoita, että z ei esiinny vapaana myöskään kaavassa K x z (ϕ). Huomautus: a)-kohdassa ole huolellinen, että saat kaavasta juuri sellaisen kuin intuitiivinen määritelmä sanoo. 2.2 Oletetaan, että z ei esiinny vapaana kaavassa ϕ. Osoita, että L K x z (ϕ) ϕ. Ohje: Induktiolla tehtävän 2.1 a) rekursiomääritelmän mukanahan tämä menee, mutta on yllättävän(?) vaikea. On varmaan viisainta kaivella predikaattilogiikan luentomonisteesta vähän apuja. Ongelmallisin paikka on siinä, kun ϕ on muotoa ϕ = xψ. Ekvivalenssin sijoitussääntö eli logiigan luentomonisteen tehtävä ja sen lause 3.18 ovat hyödyllisiä. Tässä tulee nyt lisäongelmaa siitä, että lauseen 3.18 oletukset eivät ole kunnossa, koska lauseen 3.18 merkinnöin y voi esiintyä A:ssa. Lauseen 3.18 todistuksen analyysi paljastaa kuitenkin, että 3.18 pätee myös lievemmin (tai ainakin vähän erilaisin) oletuksin: riittää olettaa, että A:ssa ei kvantifioida x:n suhteen ja y ei esiinny vapaana A:ssa. Ei nyt mennä tähän lauseen 3.18 parannuksen todistukseen, vaan uskotaan siihen (kuten ekvivalenssin sijoitussääntöönkin), jolloin näitä voidaan tehtävän 2.1 b)- ja c)-kohtien nojalla soveltaa tässä. 2.3 a) Esitä kaavan ϕ x (a) tarkka määritelmä. Intuitiivinen määritelmähän tälle on seuraava. Ensinnäkin tässä ϕ on kaava, x muuttuja ja a muuttuja tai vakio. Intuitiivisesti ϕ:ssa olevat a:n sidotut (jos a on muuttuja) esiintymiset korvataan ensin jollakin muuttujalla y, joka ei esiinny kaavassa ϕ ja sitten syntyvässä kaavassa vaihdetaan x:n vapaat esiintymiset a:ksi. b) Osoita, että kaavassa ϕ x (a) ei kvantifioida a:n suhteen. c) Osoita, että jos x a, niin x ei esiinny vapaana kaavassa ϕ x (a). d) Oletetaan, että muuttuja z a ei esiinny vapaana kaavassa ϕ. Osoita, että z ei esiinny vapaana myöskään kaavassa ϕ x (a). 5

6 e) Osoita oikeaksi lauseen 4.5 todistuksessa tarvittava fakta: jos ϕ on muotoa ϕ = yψ ja y a,x, niin ϕ x (a) = yψ x (a). Jos taas y = x a, niin ϕ x (a) = xk a z (ψ) jollekin muuttujalle z, joka ei esiinny kaavassa ϕ. 2.4 Kuten luentomonisteessa todetaan, kaavan ϕ x (a) määritelmä on huono siinä mielessä, että se ei ole yksikäsitteinen, koska valittu muuttuja y ei ole yksikäsitteinen. Jos valitaan toinen tällainen kaavassa ϕ esiintymätön muuttuja ỹ ja merkitään symbolilla ϕ x (a), kaavaa, joka syntyy tehtävän 2.3 a) määritelmästä, niin yleensä tietenkin ϕ x (a) ϕ x (a). Loogiselta kannalta näillä ei kuitenkaan ole eroa eli pätee L ϕ x (a) ϕ x (a), (1) jolloin ekvivalenssin sijoitussäännön nojalla on asiallisesti ottaen yhdentekevää, kumpaa määritelmää käyttää. Pelkistettynä siis: muuttujan y valinta kunhan se ei esiinny kaavassa ϕ on yhdentekevää. Todista väite (1). Ohje: Tämä näyttää syntaktisena todistuksena aika hankalalta; ensimmäinen ajatushan kaiketi on soveltaa tehtävää 2.2, mutta ekvivalenssin sijoitussääntö ei oikein toimi tässä (miksei?). Viisainta lienee turvautua täydellisyyslauseeseen ja osoittaa, että teoreemaksi väitetty kaava on validi. Tehtävä 2.2 saadaan sitä kautta näppärästi peliin mukaan. 2.5 Olkoon ϕ kaava ja olkoot x,a muuttujia. Oletetaan, että a ei esiinny vapaana kaavassa ϕ. a) Osoita, että ϕ on looginen teoreema jos ja vain jos ϕ x (a) on looginen teoreema. b) Osoita, että a)-kohdan väite pätee myös ilman sanaa looginen, ts. osoita, että ϕ on teoreema jos ja vain jos ϕ x (a) on teoreema. c) Osoita, että ϕ on looginen teoreema jos ja vain jos ϕ x (v) on looginen teoreema kaikille vakioille v. d) Osoita, että c)-kohdan väite pätee myös ilman sanaa looginen, ts. osoita, että ϕ on teoreema jos ja vain jos ϕ x (v) on teoreema kaikille vakioille v. 2.6 Olkoot a,b muuttujia tai vakioita ja x,y muuttujia siten, että x,y a,b. Osoita, että L x[x a x b] y[y a y b]. 2.7 Olkoon ϕ kaava, x,z muuttujia ja a muuttuja tai vakio. Merkinnän 5.2 mukaisesti {x ϕ z (x)} a := y[y {x ϕ z (x)} y a], missä y a on muuttuja, joka ei esiinny kaavassa ϕ. Kirjoita auki lyhennysmerkintä {x ϕ z (x)} a ja varmistu samalla siitä, että kyseessä todella on kaava. 6

7 2.8 Olkoot ϕ,ψ kaavoja ja x,y,z muuttujia. Merkinnän 5.4 mukaisesti {x ϕ z (x)} {x ψ y (x)} := w[w {x ϕ z (x)} w {x ψ y (x)}], missä w on muuttuja, joka ei esiinny kaavoissa ϕ eikä ψ. Kirjoita auki lyhennysmerkintä {x ϕ z (x)} {x ψ y (x)} ja varmistu samalla siitä, että kyseessä todella on kaava. 7

8 Joukko-opin demotehtäviä Osoita, että {x ϕ z (x)} {y ϕ z (y)} myös silloin kun x y. Huomaa, että tapaus x = y seuraa lauseesta Olkoon A aito luokka ja määritellään luokka {A} asettamalla {A} := {x x A}. Miksi väite A {A} on virheellinen lauseesta 5.9 huolimatta? 3.3 Todista lause 6.3 eli seuraavaa. Olkoot a, b, c muuttujia tai vakioita. Tällöin pätee i) c {a,b} [c a c b], ii) c {a} c a, iii) {a} {b} a b ja iv) {a} {b,c} [a b a c]. 3.4 Todista lause 6.5, joka sanoo seuraavaa. Olkoot a ja b joukkoja. Tällöin yksiö {a} on joukko eli pätee M({a}). Lisäksi myös järjestämätön pari {a,b} on joukko eli pätee M({a,b}). Huomaa, että aksioomassa (JAx2) a ja b ovat muuttujia, mutta tässä ne ovat joukkoja, ks. määritelmä Siten a ja/tai b voivat olla myös luokkia, mistä aiheutuu omat hankaluutensa. 3.5 Olkoot a,b,c,d joukkoja. Osoita, että i) {a,b} {b,a}, ii) b d {a,b} {a,d}, iii) {a,b} {a,d} b d, iv) {a,b} {c,d} c {a,b}, v) {a,b} {c,d} d {a,b} ja vi) [a c b d] {a,b} {c,d}. Ohje: Näistä i) ja ii) ovat helppoja i) jopa hyvin helppo. Kohdassa iv) muista, että c on joukko, joten se ei välttämättä ole vakio tai muuttuja. v) palautuu kohtaan iv) sekä vi) saadaan kohdista i) ja ii). Kohta iii) on näistä ylivoimaisesti vaikein. Siinä kannattaa turvautua semantiikkaan eli valita sopiva totuusarvofunktio. Yksinkertaisin todistuskuvio näyttäisi menevän antiteesin kautta. 3.6 a) Olkoot a,b muuttujia tai vakioita ja x,y muuttujia. Osoita, että x y[[x {a} y {a,b}] a,b {x,y}]. 8

9 b) Osoita, että käänteinen väite ei päde eli että kaava ei yleensä ole teoreema. x y[ a,b {x,y} [x {a} y {a,b}]]. c) Osoita, että b)-kohdan kaava kuitenkin voi olla teoreema. Ohje: a)-kohta saadaan melko suoraan määritelmästä. Siinä on kuitenkin pieni ongelma. Yhtenevyyden määritelmän mukaan merkinnöissä x {a} ja y {a,b} oletetaan, että x a ja y a,b. Mikään ei estä kuitenkaan olemasta x = b. Tämä mahdollisuus täytyy käsitellä erikseen. Väite pätee silti, mutta vähän erilaisiin kaavoihinhan tässä tapauksessa joudutaan verrattuna tapaukseen x b. b)-kohta onkin paha. Tässähän tulisi samalla todistettua koko aksioomajärjestelmän ristiriidattomuus jos nyt ajatellaan, että teoreema merkitsisi sitä, että kaikki aksioomat pätisivät. Tosin jos nyt ajatellaan vain aksioomia (JAx1) ja (JAx2), niin ei ole mahdottoman vaikeaa osoittaa, että löytyy malli, joka nämä aksioomat toteuttaa, ja jossa on olemassa vakiot u ja v siten, että u v ei ole tosi, joten se ei voi olla teoreemakaan näille kahdelle aksioomalle, siis. Lähdetään tässä tehtävässä siitä, että on olemassa tällaiset vakiot u ja v. Korostetaan nyt vielä uudestaan sitä, että tällaisten vakioiden olemassaoloa ei tosiaankaan tiedetä, jos kaikkien aksioomien oletetaan pätevän. Tämä tehtävä ei ole aivan helppo tästä oletuksesta huolimatta. Tehtävistä 3.5 iii) ja i) saattaisi olla apua. c)-kohta seuraa kohtalaisen helposti aiemmista tehtävistä kunhan tietää, mitä tekee. 3.7 Olkoot a 1,a 2,...,a n joukkoja, n 1. Oletetaan, että kaikille 1 i,j n pätee a i a j. Osoita, että {a 1,a 2,...,a n } {a 1 }. Induktiollahan tämä menee. Huomionarvoista tässä on se, että induktioperiaate hyväksytään todistusmenetelmäksi kuten predikaattikielissä yleensäkin. Helppohan tämä on, mutta lisävaikeus tulee siitä, että tehtävää 3.3 ii) ei voi suoraan soveltaa, koska a 1 on (vain) joukko, ei siis välttämättä vakio tai muuttuja. Helposti tämän ongelman voi kiertää vaikkapa ensin yleistämällä tehtävän 3.3 ii). 3.8 Olkoon a joukko, jolloin lauseen 6.5 nojalla myös {a} on joukko. Tarkastellaan yhdistettä {a}, joka lauseen 6.30 nojalla on myös joukko. Mitä voit sanoa tästä joukosta? Tämä on hyvin epämääräinen tehtävä, mutta sen tarkoitus on totutella pikkuhiljaa yhdisteeseen, johon jatkossa jatkuvasti törmätään. Määritelmä on kohdassa Vastaushan tähän tehtävävään voi olla melkein mitä vain, mutta jotain järkevää ja asiallista toivotaan. Luentomonisteen harjoitustehtävän 6.24 kysymykset ovat vielä tässä vaiheessa liian vaikeita täsmällisesti vastattaviksi, mutta voihan noitakin miettiä. 9

10 Joukko-opin demotehtäviä Osoita, että on olemassa epätyhjä joukko. 4.2 Olkoot A, B ja C luokkia. Osoita, että A (B C) (A B) (A C) ja A B A C B C. 4.3 Olkoon x muuttuja ja a joukko (siis vakio, muuttuja tai luokka), jossa muuttuja x ei esiinny. Osoita, että x[x / a] a. Päteekö väite, jos a korvataan luokalla A (josta ei tiedetä, onko se joukko vai ei), jossa muuttuja x ei esiinny? 4.4 Olkoot a 1,...,a n joukkoja. Osoita, että myös {a 1,...,a n } on joukko. Osoita edelleen, että {a 1,...,a n }. 4.5 Olkoon A luokka. Osoita, että A ja A A. 4.6 Olkoot A ja B luokkia. Osoita, että A B A B. 4.7 Tehtävän 4.6 todistusta hieman muuttamalla nähdään, että myös A B A B. Tätä ei ole tarkoitus tehdä tarkasti tässä, sillä lauseen 6.30 todistuksen kohdassa (4) se on oleellisesti jo tehty, tosin vakioille, mutta se ei paljon asiaa tällä kertaa muuta. Sen sijaan kysymys kuuluu, että päteekö A B A B? Tässä tulee vastaan taas kysymys aksioomajärjestelmän ristiriidattomuudesta: jos järjestelmä on ristiriitainen, niin kaikki kaavat ovat teoreemoja, myös tuo kysytty. Oletetaan, että järjestelmä on ristiriidaton, jolloin kysymyksessä on sisältöä. 4.8 Tarkastellaan tehtävän 3.2 yksiötä {A} := {x x A}, missä A on aito luokka. Onko tässä luokassa yhtään alkiota? Onko kyseessä tyhjä joukko? 4.9 a) Osoita, että kaikille joukoille a pätee a P(a). 10

11 Päteekö väite, jos a korvataan mielivaltaisella luokalla A? b) Osoita, että kaikille joukoille a pätee P(a). Päteekö väite, jos a korvataan mielivaltaisella luokalla A? c) Osoita, että d) Päteekö kaikille joukoille a P( ). P(a) a? Päteekö tämä, jos a korvataan mielivaltaisella luokalla A? Huomaa, että d)-kohdan kysymys on aivan eri asia kuin tehtävän 1.9 tulos (vaikka merkinnät ovatkin sattumalta samoja), joka todistettiin ilman aksiomaattista pohjaa. Joukkojen mahtavuuskäsitteeseen on meillä vielä pitkä matka Tehtävän 3.6 ohjeessa pähkäiltiin sitä, että onko olemassa vakioita u ja v siten, että kaava u v ei ole teoreema. Oletetaan, että (koko joukko-opin) aksioomajärjestelmä on ristiriidaton. Osoita, että on olemassa tällaiset vakiot u ja v. Ohje. Tässähän pitää ensin kääntää tuo suomenkielinen väite logiikan kielelle. Jos aksioomajärjestelmä on (kuten oletetaan) ristiriidaton, riittää osoittaa, että väitteen negaatio on teoreema. (Ristiriidattomassa järjestelmässä kaava ja sen negaatio eivät koskaan voi yhtaikaa olla teoreemoja.) Riittää siis osoittaa, että on olemassa vakiot u ja v siten, että kaava u v on teoreema. Ilmeisesti tämä väite voidaan muotoilla näin: Todista teoreema (1). x y[x y], missä x y. (1) Tätä tehtävää voi lähestyä myös toisesta suunnasta. Tehdään heti antiteesi, joka ilmeisesti kuuluu niin, että kaikille vakioille u ja v kaava u v on teoreema. Tällöin kaikille sopiville totuusarvofunktioille t ja kaikille vakioille u ja v on myös t(u v) = 1, ja silloin jolloin saadaan teoreema t( x y[x y]) = 1, x y[x y], missä x y. (2) Nyt siis (2) on teoreema, joten ristiriidattomuuden nojalla sen negaatio ei ole teoreema. Mutta nyt kaavan (2) negaatio on ekvivalentti kaavan (1) kanssa, joten (1) ei ole teoreema. Haluttu ristiriita saadaan siis todistamalla kaava (1) teoreemaksi. Niin tai näin, teoreeman (1) todistus riittää. 11

12 Joukko-opin demotehtäviä Tässä on nyt paljon aika tylsiä tehtäviä, joiden tarkoitus on totutella toimimaan näiden kaikkien määritelmien kanssa; useassa tehtävässä ei ole määritelmien aukikirjoittamisen jälkeen paljonkaan tehtävää. Tehtävässä 5.1 on tarkoitus harjoitella lauseen 5.11 käyttöä. Tämä on hyvä lause, josta on hyötyä monessa muussakin tehtävässä. Kiinnostavimpia (ja epätriviaaleja) tehtäviä (joihin kannattaa keskittyä) ovat 5.8 (jota tarvitaan lauseen 7.45 todistuksessa) ja 5.9. Tehtävä 5.6 b) on ihan opettavainen, joskin hyvin helppo. 5.1 Olkoot A ja B luokkia. Osoita, että A B P(A) P(B) ja P(A) P(B) A B. Ohje. Ensimmäinen väite menee näppärästi lauseen 5.11 avulla sopivalle kaavalle ϕ. Toinen väite on aavistuksen vaikeampi, mutta sekin menee periaatteessa lauseen 5.11 avulla (tosin lauseesta 5.11 ei paljon tässä hyötyä ole) käyttäen monisteen tehtävää 6.66, kunhan muotoilet (ja todistat) ensin kyseisen tehtävän paremmin tähän tilanteeseen sopivaksi. 5.2 Osoita, että 5.3 Osoita, että Ru V. a) 2 ja b) V 2 V. c) Onko V 2 V? d) Onko A 2 A millekään luokalle A,V? Täsmällisemmin sanottuna, jos A on luokka, onko kaava välttämättä teoreema? A 2 A [A A V ] 5.4 Olkoot A ja B luokkia. Osoita, että a) (A 1 ) 1 A, b) A B V 2 ja c) A 1 (A V 2 ) Määritellään luokat A,B ja C asettamalla A = {x y z[x y,z, z,y ]}, B = {x y z[x y,z,y ]} C = {x y z[x y,z,z ]}, ja 12

13 missä y, z ovat eri muuttujia. Ovatko nämä luokat yksiarvoisia? Entä ovatko nämä luokat funktioita? 5.6 Olkoon G luokka. Osoita, että a) Rel(G) G D(G) W(G). b) a)-kohdan nojalla erityisesti funktiolle G pätee G D(G) W(G). Anna esimerkki funktiosta G, jolle pätee G D(G) W(G). 5.7 Olkoot G ja A luokkia ja x,y eri muuttujia, jotka eivät esiinny näissä luokissa. Osoita, että a) x y[ x,y G A [ x,y G x A]] ja b) y[y G(A) x[x A x,y G]]. 5.8 Olkoot luokat A, B ja C kuten tehtävässä 5.5. Olkoon lisäksi D mielivaltainen luokka. Osoita, että A(D) D 1, B(D) D(D) C(D) W(D). ja 5.9 Todista aksiooma (JAx4) muiden aksioomien avulla. Ohje: Valitse ensin u:ksi jokin muuttuja, joka ei esiinny vapaana kaavassa ϕ. Tällöin on melko ilmeistä, että kaikille muuttujille a,b pätee ϕ w,u (a,b) = ϕ w (a). Tästä seuraa helposti, että (S w u (ϕ)) w,u (a,b) = ϕ w (b). Uskotaan tähän; huomaa, että kyseessä on yhtälö eli nämä ovat täsmälleen samoja kaavoja. Vaihda aksiooman (JAx7) takajäsenessä muuttujien b, y ja x nimiä sopivasti. Sovella sitten aksioomaa (JAx7) kaavaan ψ := S w u (ϕ) w u. Tällöin (JAx7):n etujäsen on tosi ja silloin myös takajäsen on tosi. Tämä tulee olemaan ekvivalenttia (JAx4):n kanssa, kunhan muuttujien nimienvaihto on tehty onnistuneesti. Tässä on nyt visusti varottava kehäpäätelmää: mitään sellaisia tuloksia ei saa käyttää, joiden todistuksessa on käytetty aksioomaa (JAx4). Varminta on toimia niin, että kaikki se, mitä aksiooman (JAx4) jälkeen on esitetty, on kiellettyä kaikki sitä edeltävät lauseet ovat vapaasti käytettävissä, erityisesti lauseet 5.9 ja

14 Joukko-opin demotehtäviä Olkoon G funktio ja A luokka. Osoita epätriviaalilla esimerkillä, että kuvaluokka G(A) ei välttämättä ole joukko. Vertaa lauseeseen Tässä epätriviaali tarkoittaa lähinnä sitä, että G nyt ei ihan identtinen funktio (merk. 7.99) ole. Huomaa, että tämä on yllättävän hankala, koska aitoja luokkia ei kovin montaa tunneta, eikä se funktion määritteleminenkään ihan niin helppoa ole kuin vaikkapa R:ssä. Merkintöjen selkeyttämiseksi kannattaa käyttää monisteen tehtävää 7.30, vaikkei sen ratkaisua olekaan esitetty hyvin helppohan se on, ei muuta kuin kirjoittaa määritelmät auki. 6.2 Tämän tehtävän tarkoitus on selventää luokkien G(b) ja G[b] eroa. Anna konkreettinen esimerkki funktiosta G ja joukosta b, joille pätee G(b) G[b]. Yritä selvittää intuitiivisesti, mitä eroa näillä joukoilla (joukkojahan ne ovat lauseiden 7.42 ja 7.56 nojalla) oikeastaan on. 6.3 Lauseen 7.61 mukaan joukossa määritellyt funktiot ovat joukkoja. Osoita, että aidossa luokassa määritellyt funktiot eivät ole koskaan joukkoja eli todista kaikille luokille A ja G seuraava teoreema. [G Fn A Pr(A)] Pr(G). 6.4 Osoita, että bijektion käänteiskuvaus on bijektio. Tämä on monisteen harjoitustehtävä 7.68, jonka muotoilua on vähän viilattu jostakin aiemmasta versiosta. Netistä löytyy. 6.5 Tässä E on kuten määritelmässä Osoita, että kaikille joukoille a ja b pätee i) aeb a b, ii) a E 1 ({b}) a b ja iii) E 1 ({b}) b. Huomautus. Tämä tehtävä 6.5 on vähän turhan helppo, mutta se nyt on tuossa, koska nämä teoreemat tulevat jatkossa olemaan hyvin keskeisessä osassa ja monta kertaa. 6.6 Lauseen 7.79 nojalla E on minimaalirelaatio luokassa V. Osoita, että se on myös hyvin määritelty minimaalirelaatio, mutta ei ole järjestävä minimaalirelaatio luokassa V. Onko E minimaalirelaatio jokaisessa luokassa A? Onko E hyvin määritelty minimaalirelaatio jokaisessa luokassa A? (Tässä kannattaa ehkä vilkaista (hyvin määritellyn) minimaalirelaation parannettua määritelmää netistä.) 6.7 Osoita, että E on aito luokka. 14

15 6.8 Lauseessa 6.72 osoitettiin, että mikään joukko ei voi olla itsensä alkio ja yleisemminkin: ei ole olemassa ketjuja a 1 a 2 a n a 1. Relaatiota E käyttäen tämän voi ilmaista myös näin: ei ole olemassa ketjuja a 1 Ea 2 E...Ea n Ea 1. Tämä tulos yleistyy kaikille minimaalirelaatioille. Tätä yleistystähän käytettiin lauseen 7.93 todistuksessa, jolloin myös annettiin jonkinlainen intuitiivinen perustelu tälle. Todista tarkkaan, että tämä yleistys tosiaan pätee kaikille minimaalirelaatioille. Väitteen tarkka muotoilu löytyy monisteen harjoitustehtävästä Todistus menee samaan tapaan kuin lauseen 6.72 todistus, mutta nyt ei käytetä aksioomaa (JAx6) vaan minimaalirelaation määritelmästä saatavaa korvaavaa ehtoa. Ole erityisen tarkka tapauksessa n = 1. Selvitä samalla myös, miten lauseen 7.93 todistuksen ehdon (9) nihiloinnissa faktisesti tarvittava tulos t(uru) = 0 loppujen lopuksi oikein todistetaankaan asianomaisin oletuksin tietysti. Ylimääräinen intuitiivinen tehtävä, jota ei käsitellä demoissa, mutta jonka ratkaisemisesta on luvassa komeita palkintoja. Jatkossa tullaan osoittamaan, että jokaisessa joukossa voidaan määritellä järjestävä minimaalirelaatio. Esimerkiksi N:ssä tällainen on tavallinen järjestys <. Toisaalta esimerkiksi joukoissa Z ja Q tavallinen järjestys ei ole järjestävä minimaalirelaatio, koska se ei ole minimaalirelaatio. Näissä joukoissa voidaan kuitenkin määritellä järjestävä minimaalirelaatio käyttäen hyväksi numeroituvuutta. Jos A on numeroituva joukko, niin on olemassa bijektio f : A N. Tällöin voidaan määritellä kaikille x,y A xry jos f(x) < f(y). Tämä relaatio R on ilmeisesti järjestävä minimaalirelaatio joukossa A. Tämän johdattelun jälkeen tullaan varsinaiseen tehtävään. a) Määrittele intuitiivisesti minimaalirelaatio joukkoon R. b) Määrittele intuitiivisesti järjestävä minimaalirelaatio joukkoon R. Huomautus. a)-kohta ei ole kovin vaikea. Siinä voi käyttää hyväksi tehtävää 1.8, jonka mukaan R on yhtä mahtava joukon P(N) kanssa, joten riittää konstruoida minimaalirelaatio joukkoon P(N). Tästä ei vielä palkintoja jaeta, koska konstruktiosi ei luultavasti(?) ole järjestävä. Kuitenkin tällainen järjestävä minimaalirelaatio on olemassa, eikä tarvitse muuta kuin keksiä se. Keksijät palkitaan. 15

16 Joukko-opin demotehtäviä Todista, että a) α β[β α β α], b) α β[[α β β α] α β] ja c) α β γ[[α β β γ] α γ]. Huomaa, että tässä käytetään kohdassa 8.24 sovittuja merkintöjä. 7.2 a) Osoita, että kaikille ordinaaliluvuille α myös supα on ordinaaliluku. b) Osoita, että α[supα α]. 7.3 a) Osoita, että jokaisessa ordinaaliluvussa joko on maksimi tai ei ole maksimia, ks. määritelmä Huomautus. Tämä a)-kohdan väite pätee kaikille ordinaalilukuluokille, mutta sen todistaminen tässä vaiheessa saattaa olla turhan vaikeaa. b) Osoita, että ordinaaliluvun (tai yleisemminkin mielivaltaisen luokan On osaluokan) maksimi on yksikäsitteinen mikäli on olemassa. c) Osoita, että jos b)-kohdan maksimi on olemassa, niin se on sama kuin supremum eli (vähän) täsmällisemmin sanottuna todista, että α[[a On α max A] α supa]. Ohje: a)- ja b)-kohta pitää tietysti ensin muotoilla tarkasti. Maksimin määritelmässä 8.47 on enemmän tai vähemmän onnistuneesti sovellettu kohdassa 8.24 käyttöön otettua mukavuusmerkintää. Tarkkaan ottaen maksimin määritelmä tulisi esittää seuraavasti. Merkitään ensin luokalle A max A = {x x On x A β[β A β x]}. (Huomaa, että tässäkin merkinnässä on käytetty merkintäsopimusta 8.24 tuon kvantifioinnin osalta tämä sopimus on vähän uusiutunut, joten kannattaa katsoa netistä.) Sanotaan sitten, että α on luokan A maksimi, jos kaava α max A on teoreema. b)-kohdan nojalla joukko {max A } on tyhjä tai yksiö. Jos se on yksiö, merkitään symbolilla max A sen ainoaa alkiota. Tällöin c)-kohdan väitteen alikaava α max A tulisi itse asiassa kirjoittaa muotoon α max A. Kömpelöähän tämä tämmöinen on ja siksipä näitä merkintöjä pyritään mahdollisuuksien mukaan yksinkertaistamaan. Vaarana on tietysti se, että yksinkertaistetaan liikaa ja mennään kiville. 7.4 a) Osoita, että jos ordinaalilukuluokan supremum kuuluu kyseiseen luokkaan, se on maksimi. b) Osoita, että jos ordinaalilukuluokan supremum ei kuulu kyseiseen luokkaan, 16

17 maksimia ei ole olemassa. Ohje. Näiden väitteiden täsmälliset muotoilut löytyvät monisteen tehtävistä 8.51 ja Ennen kuin katsot niitä, kannattaa kuitenkin yrittää muotoilla väitteet itse. Sitä paitsi tehtävästä 8.51 löytyvä muotoilu ei ole aivan täsmällinen; sitä voi tarkentaa tehtävän 7.3 ohjeesta löytyvän maksimin tarkemman määritelmän avulla. 7.5 a) Ylhäältä rajoittamattoman ordinaalilukuluokan tarkka määritelmä löytyy monisteen tehtävästä (Tässäkin kannattaa ensin yrittää rakentaa määritelmä itse.) Osoita, että On on ylhäältä rajoittamaton. Osoita edelleen, että ylhäältä rajoittamattomalla ordinaalilukuluokalla ei ole maksimia ja että sen supremum on On. b) Määrittele ylhäältä rajoitettu ordinaalilukuluokka. Osoita esimerkillä, että tällaisella ei välttämättä ole maksimia. Supremumhan sillä on niinkuin kaikilla luokilla. Osoita, että tämä supremum ei ole On. 7.6 a) Osoita, että α {α} on ordinaaliluku kaikille ordinaaliluvuille α. b) Osoita, että α β[α β [β α]]. 7.7 a) Lause 8.63 kertoo, että jokainen luokan On osajoukko on ylhäältä rajoitettu. Osoita kääntäen, että ylhäältä rajoitettu ordinaalilukuluokka on joukko. b) Osoita, että ylhäältä rajoittamaton ordinaalilukuluokka on aito luokka. Tämä tuloshan todistaa samalla lauseen 8.18, sillä On ylhäältä rajoittamaton tehtävän 7.5 a) perusteella. 7.8 a) Olkoon γ ordinaaliluku, jossa on maksimi. Osoita, että max γ γ. b) Osoita, että ordinaaliluvussa γ on maksimi jos ja vain jos supγ γ. c) Osoita, että ordinaaliluvussa γ ei ole maksimia jos ja vain jos supγ γ. Ohje. b)- ja c)-kohtien tarkka muotoilu löytyy monisteen tehtävästä a)- kohdan muotoilu on osa tehtävää. 17

18 Joukko-opin demotehtäviä Näistä tehtävät 8 (joka on helppo), 7 ja varsinkin 5 (joka on vähän vaikeampi) ovat sellaisia, joihin kannattaa keskittyä. Myös tehtävät 9 ja 10 ovat hyödyllisiä, vaikkeivät ne varsinaista aksiomaattista joukko-oppia olekaan niistä (toivottavasti) saa vähän konkreettisemman otteen siitä, mitä transfiniittisessä rekursiossa ja sen eri versioissa oikeastaan tapahtuu, vaikkei kyseisissä tehtävissä varsinaisen transfinitismin puolelle mennäkään. 8.1 a) Osoita, että n on ordinaaliluku kaikille n N. b) Osoita, että n + 1 {0,1,...,n} kaikille n N. c) Onko ordinaaliluvuissa n, n N maksimia vai ei? 8.2 Olkoon α ordinaaliluku. Osoita, että a) α 1 On, b) α α 1 ja c) sup(α 1) α. 8.3 Olkoon α nollasta eroava (ks. merkintä 8.57) ordinaaliluku. Osoita, että 8.4 Osoita, että a) α K I sup α α ja b) α K II supα α. α β[ γ[γ α γ β] α β]. 8.5 Jos A = {0,1,...,k} ja f : A N on aidosti kasvava kuvaus (so. n < m k f(n) < f(m)), niin kaikille n A pätee n f(n). Tämä on helppo todistaa induktiolla. Todista nyt transfiniittisella induktiolla vastaava tulos ordinaaliluvuille: Osoita, että α f[[f : α On γ δ[[δ α γ δ] f[γ] f[δ]]] 8.6 Osoita, että β[β α β f[β]]]. ω K I. (1) Lauseessa 8.80 osoitetaan, että toisaalta ω K II, jolloin lauseen 8.10 nojalla ω K II. Tämä on vastoin teoreemaa (1). Mikäs tässä ajattelussa on pielessä? 8.7 Tässä käytetään sopimuksen 8.72 merkintöjä. Osoita, että a) 0 ω, b) i[i 1 ω], c) i[i 1 0] ja d) i j[i 1 j 1 i j]. 18

19 8.8 Osoita, että i[i 1 K I ]. Huomaa, että kyseessä ei ole triviaali väite i[i 1 K I ]. 8.9 Kertomafunktio σ : N N määritellään tunnetulla tavalla rekursiivisesti asettamalla ensin σ(0) = 1 ja yleisesti, kun σ(n) on määritelty, asetetaan σ(n + 1) = (n + 1) σ(n). Tehtävänä on nyt miettiä, miten tämä istuu transfiniittiseen rekursioon eli lauseeseen 9.9. Intuition tasolla tässä on tarkoitus mennä ja keksiä sopiva kiinteä funktio G, joka tuottaa tuon σ:n. Vähän tarkemmin muotoiltuna pitäisi keksiä jokin G, jolle pätisi σ[n + 1] = G[σ (n + 1)] kaikille n N. (1) Tässä nuo hakasulut on otettu lauseen 9.9 muotoilusta, mutta ihan tavallista funktion arvoa kyseisessä pisteessähän ne tarkoittavat, jos ja kun G funktio on. Se, mitä tässä pitää vähän ihmetellä on rajoittumakuvaus σ (n + 1). Tulkitaan luonnolliset luvut kuten ω:n alkiot tai joukot n, ja silloin (ks. tehtävä 8.1 b)) n + 1 = {0,1,...,n} ja 0 =. (2) Kuvaushan koostuu kaikista pareista a, b, missä a on kuvauksen määrittelyjoukossa ja b kuvauksen arvo tässä pisteessä a. Silloin ehdon (2) mukaan rajoittumakuvaus σ (n + 1) on joukko σ (n + 1) = { 0,σ[0], 1,σ[1],..., n,σ[n] }. (3) Nyt siis pitäisi leipoa konkreettinen kiinteä kuvaus G, jolle ehtojen (1) ja (3) mukaisesti pätisi σ[n + 1] = G[{ 0,σ[0], 1,σ[1],..., n,σ[n] }] kaikille n N. (4) Tämän G:n keksiminen on nyt tehtävänä. Huomaa, että ensin pitää miettiä, mikä mahtaisi olla tämmöisen G:n määrittelyjoukko. Korostettakoon vielä sitä, että ihan puhtaasti intuition tasolla tässä on tarkoitus toimia, eikä mitään joukko-opillisia (eikä paljon muitakaan) todistuksia kaivata Kun edellisessä tehtävässä intuition tasolla mentiin, niin jatketaan samalla linjalla. Tehtävän on nyt miettiä, miten kertomafunktion σ määritelmä istuu transfiniittisen rekursion versioon 2 eli lauseeseen Kysymys kuuluu siis niin, että miten kertomafunktio saadaan aikaan käyttäen apufunktiota H kuten lauseessa 9.12, ts. siten, että σ[n + 1] = H[σ[n]] kaikille n N. (5) Tässä käytettävän H:n keksimisestä on siis kyse. Mitään todistuksia ei taaskaan kaivata. Huomaa ero tehtävän 8.9 ehdon (4) ja tämän ehdon (5) välillä: ehdossa (4) G:llä on paljon enemmän dataa käytettävissään, kun taas H:n täytyy pärjätä pelkästään luvulla σ[n]. Toisaalta G on vaikeammin hallittavissa, koska sen määrittelyjoukko tai -luokka on yleensä hyvin laaja. Tässä on jonkinlaisella intuition 19

20 tasolla ja yhdessä esimerkkitapauksessa selitettynä ero näiden kahden erilaisen transfiniittisen induktion version välillä. Ensimmäinen eli lause 9.9 on paljon laajempi ja sillä saa (ainakin näennäisesti) enemmän aikaan. Myöhempi versio 9.12 on rajoittuneempi, mutta käytännössä paljon helppokäyttöisempi. Versio 9.12 riittää mainiosti ordinaaliaritmetiikassa, kuten jatkossa tullaan näkemään. 20

21 Joukko-opin demotehtäviä a) Osoita, että V. b) Joillakin matematiikan kursseilla varoitellaan leikkauksesta tyhjän indeksijoukon yli. Osoita, että tämä varoittelu on aiheellista todistamalla teoreema V. Silloinhan tyhjän joukon leikkaus ei ole edes joukko. 9.2 a) Osoita, että a[[m(a) a ] M( a )] b) Kohdan a) tulos kertoo siis, että epätyhjän joukon leikkaus on joukko. Onko mielivaltaisen epätyhjän luokan leikkaus välttämättä joukko? 9.3 a) Olkoon A luokka. Osoita, että [Tr(A) A ] A A. b) Osoita esimerkillä, että a)-kohdan väite ei päde ilman transitiivisuusoletusta. 9.4 a) Osoita, että jokaisen ordinaalilukuluokan minimi on ordinaaliluku. Osoita edelleen, että jokaisessa epätyhjässä ordinaalilukuluokassa on minimi, joka on pienin kyseisen luokan alkio. Minimihän tällaisella luokalla aina on määritelmän 8.88 mukaisesti. Kysymys on siis siitä, kuuluuko tämä minimi kyseiseen luokkaan ja onko se todella pienin. b) Lauseiden 8.7 ja 8.17 nojalla jokaisessa epätyhjässä ordinaalilukuluokassa on minimaalinen alkio relaation E suhteen. Osoita, että tämä minimaalinen alkio on itse asiassa juuri a)-kohdan minimi. Huomautus. Tehtävän 9.4 b)-kohdan valossa voi kyseenalaistaa koko minimin määritelmän: mihin sitä oikeastaan tarvitaan? Vastaus on, että jatkossa on mukavampi käyttää nimenomaan määritelmää 8.88 ja a)-kohtaa kuin minimaalialkion määritelmää. Ei näissä nyt oleellista eroa ole, mutta on ehkä syytä panna jo tässä vaiheessa merkille, että b)-kohdan tuloksessa ei tarvita aksioomaa (JAx6 V ), joten myös a)-kohdan tulos saadaan ilman tätä aksioomaa. Tässä on oltava kuitenkin tarkkana, sillä mainitut lauseet 8.7 ja 8.17 nojaavat vahvasti lauseeseen 7.79, jossa käytetään aksioomaa (JAx6), mutta sen heikkoa versiota. 9.5 Olkoot A, B ja F luokkia sekä a joukko. Osoita, että pätee a) [F : A 1 1 B a A] F(A \ a) F(A) \ F(a), b) [F : A 1 1 B a A] F[a] F(A) \ F(a) c) [F : A 1 1 B a A] F(a) F(A). 9.6 Todista transfiniittisellä induktiolla, että lauseen 9.12 ehto (6) eli F:n yksikäsitteisyys pätee. ja 21

22 9.7 Todista lause 9.15 eli finiittinen rekursio. Ohje. Olemassaolopuoli seuraa helposti lauseesta Ongelmana on yksikäsitteisyys, joka ei seuraa lauseen 9.12 yksikäsitteisyyspuolesta. Mistäs se sitten seuraa? 9.8 Tässä tehtävässä ratkaistaan monisteen harjoitustehtävät 9.17 ja Koska esiintyvät kaavat ovat varsin monimutkaisia, kannattaa ensin lueskella vähän monistetta tältä kohtaa: sieltä löytyy jonkinlaista intuitiivista selvitystä sille, mitä nämä teoreemat oikeastaan sanovat ja myös sille, mikä on niiden tarkoitus. Tässä A,C,R ja F ovat luokkia. Osoita, että a) [Ord(C) R JMin A F : C A ja että a[a C [F[a] A \ F(a) (A \ F(a)) R 1 ({F[a]}) ]]] F Isom E,R (C, W(F)) b) [Ord(C) R JMin A F : C A a[a C [F[a] A \ F(a) (A \ F(a)) R 1 ({F[a]}) ]]] [W(F) A x y[[y W(F) xry x A] x W(F)]]. 22

23 Joukko-opin demotehtäviä Osoita, että a) α β[α α β], b) α β[α β α] ja c) α β[α β ω [α ω β ω]] Lauseen 9.27 yksikäsitteisyystulosten valossa voidaan kysyä seuraavaa. Jos a on joukko, niin voidaanko a:han määritellä kahta järjestävää minimaalirelaatiota R ja S siten että relaatiosysteemi (a, R) olisi isomorfinen relaatiosysteemin (α, E) ja relaatiosysteemi (a, S) olisi isomorfinen relaatiosysteemin (β, E) kanssa, missä α ja β ovat eri ordinaalilukuja? Vastaus on, että voidaan, sopivalle a. Anna tästä esimerkki Olkoon a joukko ja R on järjestävä minimaalirelaatio joukossa a. Sanotaan, että b on joukon a R-maksimaalinen alkio, jos kaava b a x[x a [x R b x b]] on teoreema. a) On melko selvää, että kaikissa järjestävissä minimaalirelaatiosysteemeissä ei maksimaalista alkiota ole, esimerkkinä vaikkapa (ω, E). Tämä esimerkki perustuu vahvasti siihen, että ω on rajaordinaali. Anna esimerkki, joka osoittaa, että myös seuraajaordinaaliin voidaan laatia järjestävä minimaalirelaatio, jolla ei ole maksimaalista alkiota. b) Olkoon k 0 finiittinen ordinaali ja R järjestävä minimaalirelaatio joukossa k. Osoita, että k:ssa on R-maksimaalinen alkio. c) Olkoon a joukko ja R järjestävä minimaalirelaatio joukossa a. Oletetaan, että b on joukon a R-maksimaalinen alkio ja olkoon c mielivaltainen a:n alkio. Osoita, että joukkoon c voidaan määritellä järjestävä minimaalirelaatio S siten, että relaatiosysteemit (a,r) ja (a,s) ovat isomorfisia keskenään ja joukon a S- maksimaalinen alkio on c Tehtävän 10.2 valossa voidaan kysyä seuraavaa. Jos k on finiittinen ordinaali, niin voidaanko joukkoon k määritellä kahta järjestävää minimaalirelaatiota R ja S siten että relaatiosysteemi (k, R) olisi isomorfinen relaatiosysteemin (α, E) ja relaatiosysteemi (k, S) olisi isomorfinen relaatiosysteemin (β, E) kanssa, missä α ja β ovat eri ordinaalilukuja? Vastaus on, että ei voida. Todista tämä Olkoon k finiittinen ordinaali. Koska relaatiosysteemi (k, E) on triviaalisti isomorfinen itsensä kanssa, niin lauseen 9.27 yksikäsitteisyyspuolen nojalla (k,e) ei ole isomorfinen minkään muun relaatiosysteemin (α,e) kanssa, missä α k. Tämän valossa voidaan kysyä jos unohdetaan relaatiot, onko ylipäätään olemassa bijektiota F : k α, missä α k. Vastaus on, että ei ole. Todista tämä. Huomaa, että väite vaikuttaa itsestään selvyydeltä, jos ajatellaan intuitiivisesti k:ta äärellisenä joukkona: ei sieltä voi olla bijektiota mihinkään äärettömään joukkoon eikä toisaalta mihinkään toiseen äärelliseen joukkoon, jossa on eri määrä alkioita. Intuitio on siis tällä kertaa oikeassa todistus ei ehkä ole 23

24 ihan niin helppo kuin saattaa näyttää Olkoon β mielivaltainen transfiniittinen ordinaaliluku. Tehtävän 10.5 valossa voidaan kysyä, että onko olemassa bijektiota F : β α, missä α β. Vastaus on, että on. Todista tämä. Huomaa, että tämä väite ei ehkä intuitiivisesti ole niin selvä kuin tehtävän 10.5 väite, koska näitä transfiniittisia ordinaalilukuja on kahdenlaisia eli seuraaja- ja rajaordinaaleja, joille tilanne näyttäisi erilaiselta. Tämä intuitiivinen lähestymistapa on tällä kertaa väärässä: todistus sujuu ilman kyseistä jaottelua eikä transfiniittistä induktiotakaan kannata tähän soveltaa Ordinaalilukujen yhteenlasku on lauseen nojalla assosiatiivinen. Sen sijaan se ei ole kommutatiivinen eikä supistussääntö toimi oikealta. Osoita, että finiittisille ordinaaleille nämä säännöt kuitenkin pätevät: a) m n[m n n m] ja b) k m n[[m n k n] m k] a) Olkoon α rajaordinaali. Mikä on seuraava rajaordinaali ylöspäin mentäessä? Se on α ω. Todista tämä osoittamalla, että α[α K II [α ω K II γ[[α γ γ α ω] γ K I ]]] Tämän saman asian voi muotoilla (loogisesti) ekvivalentisti myös näin: α[α K II [α ω K II γ[[α γ γ K II ] α ω γ]]]. b) Osoita, että jos ordinaalilukuun α lisätään finiittinen ordinaali, niin summa ei koskaan yllä α:aa aidosti suurempaan raja-ordinaaliin asti. Ohje: b)-kohta seuraa helposti a)-kohdasta. Tässä voisi kuitenkin ajatella, että b)-kohta kannattaisi tehdä ensin ja todistaa sen avulla a)-kohta. Näin nyt ei kuitenkaan näyttäisi olevan, vaan tehtävät kannattanee tehdä nimenomaan annetussa järjestyksessä. 24

25 Joukko-opin demotehtäviä a) Osoita esimerkeillä, että ordinaalilukujen kertolasku ei ole ole kommutatiivinen eikä yhteen- ja kertolaskun distributiivisuussääntö toimi oikealta, ts. kaavat eivät ole teoreemoja. α β[α β β α] α β γ[(α β) γ (α γ) (β γ)] b) Osoita, että finiittisille ordinaaleille kertolasku on kommutatiivinen ja distributiivisuus toimii myös oikealta eli todista teoreemat n m[n m m n] n m k[(m n) k (m k) (n k)] a) Kumpi on suurempi ω ω vai ω ω? b) Kumpi on suurempi ω (ω ω) vai (ω ω) ω? c) Kumpi on suurempi ω (ω ω) vai (ω ω) ω? d) Mikä näistä a), b) ja c)-kohtien ordinaaliluvuista on suurin? 11.3 Jos α β, niin lauseen nojalla on olemassa yksikäsitteinen γ siten, että α γ β. Tehtävänä on nyt selvittää, mikä tämä γ on tehtävän 11.2 kohdissa a), b) ja c). Ensin täytyy tietysti ratkaista tehtävä 11.2, jotta tietää, kumpaan lukuun tätä γ:aa lähtee lisäämään Lauseen mukaan ordinaalilukujen yhteenlaskussa saa supistaa vasemmalta. Oikealta ei kuitenkaan saa supistaa; tämä näkyy vaikkapa lauseesta Oikealta supistaminen on jossakin tapauksessa kuitenkin sallittua, jos supistettava on riittävän pieni ja muut luvut sopivia. Todista tällainen tulos: jos α, β, γ ja δ ovat ordinaalilukuja, niin pätee [β α (α γ) β (α δ) β] α γ α δ a) Päteekö tehtävän 11.4 tulos kertolaskulle, jossa siinäkään ei yleensä saa supistaa oikealta (eikä nollalla tietenkään). Onko siis kaava teoreema? [0 β β α (α γ) β (α δ) β] α γ α δ b) Päteekö tehtävän 11.4 tulos muodossa [β α (α γ) β (α δ) β] α γ α δ eli onko tämä kaava teoreema? Huomaa aito epäyhtälö β α. ja ja 25

26 c) Demotehtävän 10.7 nojalla finiittisten ordinaalien summassa saa supistaa oikealta. Saako kaikissa summissa supistaa finiittisellä ordinaalilla oikealta, ts. onko kaava α β k[α k β k α β] teoreema? d) Saako kaikissa tuloissa supistaa oikealta nollasta eroavalla finiittisellä ordinaalilla? 11.6 Lauseen 11.9 (ja miksei myös lauseen 11.1) todistuksessa konstruoitiin joukon a sulkeuma relaation R 1 suhteen intuitiivisesti seuraavankaltaisella kuviolla. Joukkohan on suljettu, jos se sisältää kaikkien pisteittensä alkusegmentit R 1 :n suhteen eli kuvitteellisesti näistä pisteistä alkavat säikeet. Lähtökohtaisesti joukko a ei ole suljettu. Silloin jotkut säikeet jatkuvat joukon a ulkopuolelle. Ensin joukkoon a lisätään nämä säikeet. Tämä lisätty joukko ei kuitenkaan välttämättä ole suljettu, koska näiden säikeiden pisteistä alkaa uusia säikeitä, jotka menevät minne sattuu. Seuraavaksi lisätään nämä uudetkin säikeet. Näiden pisteet tuottavat uusia säikeitä ja kolmannessa vaiheessa lisätään nämäkin. No, ei tämä koskaan lopu, mutta ei sen tarvitsekaan loppua, sillä lauseen 11.9 todistuksessa näytetään, että näiden kaikkien äärettömän monessa vaiheessa lisättyjen säikeiden yhdiste b sitten lopulta on haluttu suljettu joukko. Tämä kuvio edellytti sitä, että kyseinen minimaalirelaatio R oli hyvin määritelty, jotta saatiin tuo yhdiste hallintaan. Lauseessa siis korostetusti ei tarvita oletusta siitä, että R olisi järjestävä. Nyt kysymys kuuluu, että miten tässä kuviossa kävisi, jos R olisi järjestävä. Vastaus on, että ei tuota koko prosessia tarvittaisi, sillä jo ensimmäisessä vaiheessa syntyisi oikeanlainen b. Siis jo ensimmäiset säikeet lisäämällä saadaan suljettu joukko. Todista tämä. Väitteen voi muotoilla vähän tarkemmin vaikkapa seuraavasti. Osoita, että lauseen 11.9 merkinnöin b := a (A R 1 (a)) toteuttaa lauseen vaatimukset. Jatkokysymyksenä voi sitten kysyä, että mitä varten lauseen 11.1 todistuksessa tuo koko ääretön prosessi tarvittiin: eikös E ole järjestävä? 11.7 Osoita, että aksiooma (JAx6 V ) seuraa lauseesta Olkoon R määritelmässä konstruoitu funktio. Osoita, että ω R[ω] ja ω R[ω]. 26

27 Joukko-opin demotehtäviä Olkoon R rankifunktion määritelmässä käytettävä apufunktio, ks. määritelmä Muun muassa lauseen perusteella joukot R[α] kasvavat valtavan suuriksi α:n kasvaessa. Osoita intuition tasolla, että joukot R[n] ovat äärellisiä finiittiselle ordinaalille n, R[ω] on numeroituva ja R[α] ylinumeroituva kaikille α, joille ω 1 α. Tässä siis todellakin on tarkoitus toimia vain intuition tasolla, mitään tarkkoja todistuksia ei kaivata. Oletetaan tunnetuksi, että ω on numeroituva. Kaikki tavanomaiset äärellisiin joukkoihin ja numeroituvuuteen liittyvät lauseet ja muut tiedot ovat vapaasti käytettävissä. Nämä jutut tullaan myöhemmin (määrittelemään ja) todistamaan kunnolla, mutta demoissa 1 oli joitakin käyttökelpoisia tuloksia esillä a) Lauseen nojalla rankifunktio on kasvava siinä mielessä, että jos a b, niin rank[a] rank[b]. Päteekö tämä myös osajoukkojen tasolla, so. onko kaava a b rank[a] rank[b] teoreema? b) Osoita, että lause pätee myös kääntäen, ts. että luokalle A pätee M(A) α x[x A rank[x] α]. c) Osoita, että aidossa luokassa alkioiden ranki on aina rajoittamaton, ts. että Pr(A) α x[x A α rank[x]] Demotehtävässä 11.7 osoitettiin, että aksiooman (JAx6) vahva versio voidaan todistaa teoreemana. Rankifunktion avulla tälle samalle asialle saadaan erittäin näppärä ja tyylikäs todistus. Olkoon siis A luokka. Osoita, että A x[x A A x ]. Ohje: Merkitään B := {α x[x A rank[x] α]}. Luokasta B löytyy minimi, olkoon se µ. Luokasta A löytyy v, jolle rank[v] µ. Tämä v toteuttaa väitteen ehdon A v Osoita, että kaikille joukoille a,b,c,d pätee [a b c d] a c b d Olkoon α ordinaaliluku ja n finiittinen ordinaali. Osoita, että ω α α α n a) Ennen Cantor-Schröder-Bernsteinin lausetta huomautettiin myös tämän lauseen vähän toisenlaisesta muotoilusta. Tehtävänä on nyt todistaa, että 27

28 tämä erilainen muotoilu on tosiaan yhtäpitävää CSB-lauseen kanssa. Merkitään sitä varten symbolilla (CSB) lauseen teoreemaa. Osoita, että [[ f[f : a 1 1 b] g[g : b 1 1 a]] a b] (CSB). b) Olkoot a ja b joukkoja. Osoita, että jos on olemassa injektio joukosta a joukkoon b ja injektio joukosta b joukkoon a, niin joukot a ja b ovat yhtä mahtavia, ts. totea, että pätee [ f[f : a 1 1 b] g[g : b 1 1 a]] a b. c) Osoita, että jos on olemassa surjektio joukosta a joukkoon b ja surjektio joukosta b joukkoon a, niin joukot a ja b ovat yhtä mahtavia. Tämä c)-kohta on vähän vaikeampi kuin hyvin helpot a)- ja b)-kohta. Valinta-aksioomaahan tässä pitäisi käyttää, mutta miten? 12.7 Olkoon a epätyhjä joukko. Osoita, että Vertaa lauseisiin ja a) f[f : a 1 1 P(a)] b) f[f : P(a) onto a]. ja 12.8 Tavallisessa matematiikassa valinta-aksioomaa tarvitaan monessa paikassa, vaikka siitä ei aina erikseen mainita. Esimerkiksi metrisissä avaruuksissa todistetaan, että jos x on joukon A kasautumispiste, niin löytyy joukon A jono (a n ) siten, että a n x. Tämä jono konstruoidaan yleensä niin, että koska x on A:n kasautumispiste, niin kaikille n N voidaan valita a n A siten, että d(x,a n ) 1 n, jolloin a n x. Selvitä valinta-aksiooman avulla, miten tämän jonon (a n ) valinta oikein tehdäänkään. Tässä on tarkoitus pysyä intuition tasolla. Tuo edellinen kuvio ei ole vaikea, mutta joskus näissä jonokonstruktioissa on vähän hankalampiakin tapauksia. Oletetaan, että (jostakin syystä) halutaan tuo yllä konstruoitu jono tehdä niin, että vaikkapa d(x,a n+1 ) 1 2 d(x,a n) kaikille n. (1) Tällainen jono valitaan usein rekursiivisesti sanomalla, että ensin valitaan a 1 jotenkin (tämä merkityksetöntä) ja jos a n on jo valittu, niin valitaan a n+1 siten, että ehto (1) pätee, koska tällainen a n+1 on kasautumispisteen määritelmän nojalla olemassa. Tämä rekursio ei (ainakaan tällaisenaan) toimi, koska a n+1 ei (yleensä) ole yksikäsitteinen, mitä sen olisi syytä olla, jotta finiittinen rekursio tuottaisi oikeanlaisen jonon. Selvitä valinta-aksioomaa käyttäen, miten tämän jonon valinta oikeasti pitäisi tehdä. Intuition tasolla tässäkin on tarkoitus pysyä. Valinta-aksiooman käytettävä versio kuuluu silloin niin, että jos kaikille i I joukko A i on epätyhjä, niin on olemassa kuvaus ϕ : I i I A i siten, että ϕ(i) A i kaikille i I. Muista, että joukon A jono on kuvaus ψ : N A. 28