b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.

Transkriptio

1 Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos tilaa riittää. Laskimen tai taulukkokirjan käyttäminen ei ole sallittua. Käytä kurssilla opeteltuja ratkaisutapoja ja muista perustella vastauksesi. 1. a) Tarkastellaan joukkoja A = {1, 2, 4, 8, 16} ja B = {n N 2n < 14}. Määritä ilman perusteluja joukot (i) A B (ii) A \ B (iii) A B. b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu. (iv) P(A B) (v) B. 2. a) Kirjoita seuraavat luonnollisia lukuja (0, 1, 2,... ) koskevat lauseet suomeksi ilman loogisia symboleja ja vastaa lyhyesti perustellen, mitkä väitteistä ovat tosia ja mitkä epätosia: (i) n(n < 2n) (ii) m n(n m) (iii) n m(n m). b) Seuraavat lauseet koskevat reaalilukuja. Muodosta niiden negaatioiden kanssa loogisesti ekvivalentit lauseet. Älä käytä negaatiosymbolia. Voit käyttää symboleja =,,, /, <,, > ja. Näitä vastauksia ei tarvitse perustella. (iv) x 2 = 3 x Q (v) y x(x < y x 3 < 1). 3. a) Päteekö kaikilla joukoilla A ja B väite A (A B) \ B? b) Todista, että kaikilla joukoilla A, B ja C pätee (A B) C (A C) (B C). 4. Tarkastellaan väitettä kaikki joukon { 2, 2} luvut ovat yhtälön 20 x 2 = 2x ratkaisuja. Kaverisi on sitä mieltä, että väite pätee, ja hän on kirjoittanut väitteelle seuraavan todistuksen: Muokataan väitteen yhtälöä: 20 x 2 = 2x () 2 20 x 2 = 4x 2 5x 2 = 20 x 2 = 4 x = ±2. Saatiin ratkaisuiksi 2 ja 2, joten väite pätee. Mitä palautetta antaisit kaverisi todistuksesta? Onko todistus loogisesti pätevä? Todistaako se tarkasteltavan väitteen?

2 Ratkaisut Tehtävä 1 (24 p.) a) (12 p.) Ensinnäkin B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. (i) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 16} (ii) {8, 16} (iii) {(1, 0), (2, 0), (4, 0), (8, 0), (16, 0), (1, 1), (2, 1), (4, 1), (8, 1), (16, 1), (1, 2), (2, 2), (4, 2), (8, 2), (16, 2), (1, 3), (2, 3), (4, 3), (8, 3), (16, 3), (1, 4), (2, 4), (4, 4), (8, 4), (16, 4), (1, 5), (2, 5), (4, 5), (8, 5), (16, 5)} (1, 6), (2, 6), (4, 6), (8, 6), (16, 6)} b) (12 p.) (iv) Ensinnäkin A B = {1, 2, 4}, joten P(A \ B) = {, {1}, {2}, {4}, {1, 2}, {1, 4}, {2, 4}, {1, 2, 4} }. (v) Koska tyhjässä joukossa ei ole yhtään alkiota, ei ole myöskään olemassa yhtään paria, jonka toinen alkio kuuluisi tyhjään joukkoon. Siksi B =. Arvosteluperusteet. a)-kohdassa jokainen kohta on 4 pisteen arvoinen. Kohdista saa joko 0 tai 4 pistettä. Perusteluja ei tarvita. Ei haittaa, jos luonnollisista luvuista puuttuu nolla. Karteesinen tulo saa olla ilmaistu jotenkin muutenkin kuin listaamalla kaikki alkiot. b)-kohdassa kumpikin kohta on 6 pisteen arvoinen. Oikea vastaus tuo 3 pistettä, perustelu toiset 3. Perustelu voi olla hyvin lyhyt ja melkein minkälainen vain. 2

3 Tehtävä 2 (25 p.) a) (15 p.) (i) Jokainen luonnollinen luku suurenee, jos se kerrotaan kahdella. Epätosi, koska 0 = 2 0. (ii) On olemassa luonnollinen luku, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin kaikki luonnolliset luvut. Tosi, koska jokainen luonnollinen luku on suurempi tai yhtä suuri kuin 0. (iii) Jokaista luonnollista lukua kohti voidaan löytää luonnollinen luku, joka on korkeintaan yhtä suuri. Tosi, koska jokainen luonnollinen luku on korkeintaan yhtä suuri kuin luku itse. b) (10 p.) (iv) x 2 3 x / Q (v) y x(x < y x 3 1) Arvosteluperusteet. a)-kohdassa jokainen kohta on 5 pisteen arvoinen. Suomen kielen lause tuo 3 pistettä, totuus ja sen perustelu (molemmat pitää olla) 2 pistettä. Suomen kielen lause saa olla kömpelö, kunhan se on joten kuten ymmärrettävä ja oikein. Totuusarvon perustelu saa myös olla epätäsmällinen. b)-kohdassa kumpikin kohta on 5 pisteen arvoinen. Kohdista saa joko 0 tai 5 pistettä. 3

4 Tehtävä 3 (26 p.) a) (13 p.) Väite ei päde kaikilla joukoilla. Olkoot esimerkiksi A = {1} ja B = {2}. Tällöin A B = {1, 2}, joten (A B) \ B = {1}. Nähdään, että (A B) \ B A, joten väite ei päde valituilla joukoilla A ja B. b) (13 p.) Olkoot A, B ja C joukkoja. Oletetaan, että x (A B) C. Tällöin x A B ja x C. Yhdisteen määritelmän nojalla x A tai x B. Tutkitaan nämä tapaukset erikseen. Oletetaan ensin, että x A. Koska joka tapauksessa huomattiin, että x C, voidaan sanoa, että x A C. Oletetaan sitten, että x B. Samalla tavoin nyt voidaan todeta, että x B C. Kummassakin tapauksessa pätee joko x A C tai x B C, joten lopulta voidaan päätellä, että x (A C) (B C). Tämä todistaa väitteen. Arvosteluperusteet. a) Vaaditaan konkreettinen vastaesimerkki (5 p.) vastaesimerkin selitys (5 p.) johtopäätös, voi olla myös alussa, täytyy sisältää sana kaikilla (3 p.). Vastaesimerkin joukkojen täytyy sisältää lukuja (tai muita konkreettisia alkioita). Vastaesimerkin selitys saa olla hyvinkin lyhyt. Jos on luullut väitettä todeksi ja todistanut sen, voi saada maksimissaan 5 p. riippuen käsittelyn ansioista. b) Todistuksen olennaiset osat ovat: alkiokäsittely lähtien oletuksesta x (A B) C ja päätyen johtopäätökseen x (A C) (B C) (5 p.) leikkauksen oikea käsittely (2 p.) yhdisteen oikea käsittely, jakautuen kahteen tapaukseen (3 p.) yleinen selkeys, sisältäen jonkinlaisen loppulauseen, josta selviää, milloin todistus loppuu (3 p.) Jos tässä vaiheessa ovat menneet yhdiste ja leikkaus sekaisin, mutta todistus on muuten oikein, vähennetään 4 p. Vennin diagrammeilla tai esimerkkijoukoilla tehdyistä todistuksista voi antaa 2 p. 4

5 Tehtävä 4 (25 p.) Sijoittamalla luvut 2 ja 2 yhtälöön nähdään, että 2 ei ole yhtälön ratkaisu, joten väite ei päde. Todistuksen virhe on siinä, sillä se etenee loogisesti väärään suuntaan. Kaveri on itse asiassa todistanut, että jos 20 x 2 = 2x (eli jos x on kyseisen yhtälön ratkaisu), niin tällöin x = 2 tai x = 2. Tämä ei kuitenkaan todista, että molemmat luvut olisivat yhtälön ratkaisuja. Arvosteluperusteet. Tehtävästä voi saada 0, 5, 10, 15, 20 tai 25 pistettä. Parhaassa vastauksessa on todettu, että todistus ei ole pätevä (5 p.) huomioitu todistuksen väärä suunta (20 p., tämä kattaa myös epäpätevyyden) ehdotettu lukujen sijoittamista yhtälöön (5 p.) Muista kommenteista voi harkinnan mukaan saada 5 pistettä lisää ellei ole saanut jo täydet pisteet. 5