Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on

Transkriptio

1 Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota:

2 Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot f (0),..., f (k 1).

3 Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot f (0),..., f (k 1). 2 (Rekursiokaava) Kun n k, esitetään, miten f (n) riippuu luvuista f (n k), f (n k + 1),..., f (n 1).

4 1 Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot f (0),..., f (k 1). 2 (Rekursiokaava) Kun n k, esitetään, miten f (n) riippuu luvuista f (n k), f (n k + 1),..., f (n 1). Usein funktion sijasta ajatellaan lukujonoa, jolloin käytetään merkintää f n tai y n funktiomerkinnän f (n) sijasta.

5 2 Esimerkki Fibonaccin luvut. Alkuarvot: Asetetaan f 0 = 0 ja f 1 = 1. Rekursiokaava: Kun n 2, asetetaan f n = f n 2 + f n 1.

6 2 Esimerkki Fibonaccin luvut. Alkuarvot: Asetetaan f 0 = 0 ja f 1 = 1. Rekursiokaava: Kun n 2, asetetaan f n = f n 2 + f n 1. Lasketaan rekursiokaavan avulla Fibonaccin luvut f 2,..., f 8 : f 2 = f 0 + f 1 = = 1, f 3 = f 1 + f 2 = = 2, f 4 = = 3, f 5 = = 5, f 6 = = 8, f 7 = = 13, f 8 = = 21.

7 3 Rekursio ja induktio Jos lukujono (f n ) n N on määritelty rekursiolla, niin sen ominaisuuksia voidaan aina todistaa induktiolla.

8 3 Rekursio ja induktio Jos lukujono (f n ) n N on määritelty rekursiolla, niin sen ominaisuuksia voidaan aina todistaa induktiolla. Jos tehtävänä on todistaa, että P(f n ) pätee jokaisella n N, niin menetellään seuraavasti: 1 (Perusaskel) Todistetaan P(f 0 ),..., P(f k 1 ).

9 3 Rekursio ja induktio Jos lukujono (f n ) n N on määritelty rekursiolla, niin sen ominaisuuksia voidaan aina todistaa induktiolla. Jos tehtävänä on todistaa, että P(f n ) pätee jokaisella n N, niin menetellään seuraavasti: 1 (Perusaskel) Todistetaan P(f 0 ),..., P(f k 1 ). 2 (Induktioaskel) Tehdään IO: P(f n k ),..., P(f n 1 ) tosia IO:n avulla todistetaan IV: P(f n ) on tosi. 3 (Johtopäätös) Induktioperiaatteen nojalla n N : P(f n ) on tosi.

10 3 Rekursio ja induktio Jos lukujono (f n ) n N on määritelty rekursiolla, niin sen ominaisuuksia voidaan aina todistaa induktiolla. Jos tehtävänä on todistaa, että P(f n ) pätee jokaisella n N, niin menetellään seuraavasti: 1 (Perusaskel) Todistetaan P(f 0 ),..., P(f k 1 ). 2 (Induktioaskel) Tehdään IO: P(f n k ),..., P(f n 1 ) tosia IO:n avulla todistetaan IV: P(f n ) on tosi. 3 (Johtopäätös) Induktioperiaatteen nojalla n N : P(f n ) on tosi. (Huom: tässä käytetään toista induktioperiaatetta.)

11 4 Esimerkki Tarkastellaan lukujonoa, joka määritellään rekursiolla seuraavasti: f 0 = 1 f n = 2f n 1 + 1, kun n > 0.

12 4 Esimerkki Tarkastellaan lukujonoa, joka määritellään rekursiolla seuraavasti: f 0 = 1 f n = 2f n 1 + 1, kun n > 0. Todistetaan induktiolla, että f n = 2 n+1 1 jokaisella n N. (Toisin sanoen, osoitetaan, että f n = 2 n+1 1, n N, on rekursioyhtälön/differenssiyhtälön f n = 2f n ratkaisu alkuarvolla f 0 = 1.)

13 Esimerkki jatkuu Perusaskel: Kun n = 0, on f 0 = 1 = 2 1 = , joten väite on tosi. Induktioaskel: Olkoon n > 0. IO: f n 1 = 2 (n 1)+1 1 = 2 n 1. IV: f n = 2 n+1 1. IV:n todistus: f n = 2f n IO = 2(2 n 1) + 1 = 2 2 n = 2 n

14 Esimerkki Määritellään lukujono (e n ) n N rekursiolla seuraavasti: e 0 = 1, e 1 = 2 e n = e n 2 e n 1, kun n 2.

15 Esimerkki Määritellään lukujono (e n ) n N rekursiolla seuraavasti: e 0 = 1, e 1 = 2 e n = e n 2 e n 1, kun n 2. Todistetaan induktiolla, että e n = 2 fn on Fibonaccin luku. jokaisella n N, missä f n

16 Esimerkki Määritellään lukujono (e n ) n N rekursiolla seuraavasti: e 0 = 1, e 1 = 2 e n = e n 2 e n 1, kun n 2. Todistetaan induktiolla, että e n = 2 fn on Fibonaccin luku. jokaisella n N, missä f n (Perusaskel) e 0 = 1 = 2 0 = 2 f 0 ja e 1 = 2 = 2 1 = 2 f 1.

17 6 Esimerkki Määritellään lukujono (e n ) n N rekursiolla seuraavasti: e 0 = 1, e 1 = 2 e n = e n 2 e n 1, kun n 2. Todistetaan induktiolla, että e n = 2 fn on Fibonaccin luku. jokaisella n N, missä f n (Perusaskel) e 0 = 1 = 2 0 = 2 f 0 ja e 1 = 2 = 2 1 = 2 f 1. (Induktioaskel) Oletetaan, että n 2, ja väite pätee luvuilla n 2 ja n 1. Tällöin e n = e n 2 e n 1 = 2 f n 2 2 f n 1 = 2 (f n 2+f n 1 ) = 2 fn.

18 Rekursio ja kolme pistettä Kun matemaattisessa määritelmässä käytetään symbolia, kysymys on lähes poikkeuksetta rekursiivisesta määritelmästä, jota ei vain kirjoiteta auki.

19 Rekursio ja kolme pistettä Kun matemaattisessa määritelmässä käytetään symbolia, kysymys on lähes poikkeuksetta rekursiivisesta määritelmästä, jota ei vain kirjoiteta auki. Esimerkiksi kertoman määritelmä kirjoitetaan tavallisesti muotoon n! = 1 2 n. Tyhjä tulo tulkitaan ykköseksi eli 0! = 1.

20 Rekursio ja kolme pistettä Kun matemaattisessa määritelmässä käytetään symbolia, kysymys on lähes poikkeuksetta rekursiivisesta määritelmästä, jota ei vain kirjoiteta auki. Esimerkiksi kertoman määritelmä kirjoitetaan tavallisesti muotoon n! = 1 2 n. Tyhjä tulo tulkitaan ykköseksi eli 0! = 1. Tämä on vain lyhennysmerkintä kertoman rekursiiviselle määritelmälle: 0! = 1, n! = n(n 1)!.

21 8 Rekursio ja kolme pistettä Vastaavasti potenssin a n tavallinen määritelmä on a n = aa }{{ a}, n kertaa missä tyhjä tulo (tapaus n = 0) on yksi, kunhan a 0. (0 0 on joko 1 tai määrittelemätön riippuen yhteydestä.)

22 8 Rekursio ja kolme pistettä Vastaavasti potenssin a n tavallinen määritelmä on a n = aa }{{ a}, n kertaa missä tyhjä tulo (tapaus n = 0) on yksi, kunhan a 0. (0 0 on joko 1 tai määrittelemätön riippuen yhteydestä.) Rekursiivinen määritelmä potenssille a n on a 0 = 1, a n = aa n 1. (Alkuarvo kirjoitetaan a 1 = a, jos a = 0 ja 0 0 ei ole määritelty.)

23 Rekursio ja kolme pistettä Myös summa- ja tulomerkinnät ovat piilotettuja rekursiivisia määritelmiä: Kun a 1, a 2, a 3,... ovat (reaali)lukuja, kirjoitetaan tavallisesti n a i = a a n i=1 ja n a i = a 1 a n. i=1

24 Rekursio ja kolme pistettä Myös summa- ja tulomerkinnät ovat piilotettuja rekursiivisia määritelmiä: Kun a 1, a 2, a 3,... ovat (reaali)lukuja, kirjoitetaan tavallisesti n a i = a a n i=1 Näiden rekursiiviset määritelmät ovat 0 a i = 0 i=1 n+1 ja n a i = a 1 a n. i=1 0 a i = 1 i=1 a i = ( n n+1 ) a i + an+1 a i = ( n ) a i an+1 i=1 i=1 i=1 i=1

25 Esimerkki Olkoon (f n ) n N Fibonaccin lukujono. Todistetaan induktiolla, että n i=0 f i = f n+2 1 jokaisella n N.

26 Esimerkki Olkoon (f n ) n N Fibonaccin lukujono. Todistetaan induktiolla, että n i=0 f i = f n+2 1 jokaisella n N. (Perusaskel) 0 i=0 f i = f 0 = 0 = f 2 1

27 Esimerkki Olkoon (f n ) n N Fibonaccin lukujono. Todistetaan induktiolla, että n i=0 f i = f n+2 1 jokaisella n N. (Perusaskel) 0 i=0 f i = f 0 = 0 = f 2 1 (Induktioaskel) Oletetaan, että n 1, ja n 1 i=0 f i = f n+1 1. Tällöin n f i = (n 1 ) f i + fn = (f n+1 1) + f n = f n+2 1. i=0 i=0

28 Rekursiosta yleisemmin Paitsi funktioita tai lukujonoja, rekursiolla voidaan määritellä matemaattisia käsitteitä yleisemminkin.

29 Rekursiosta yleisemmin Paitsi funktioita tai lukujonoja, rekursiolla voidaan määritellä matemaattisia käsitteitä yleisemminkin. Otetaan lähtökohdaksi luonnollisten lukujen joukon perusominaisuus: N on pienin sellainen joukko A, jolla pätee ehdot (i) 0 A (ii) jos n A, niin n + 1 A

30 Rekursiosta yleisemmin Paitsi funktioita tai lukujonoja, rekursiolla voidaan määritellä matemaattisia käsitteitä yleisemminkin. Otetaan lähtökohdaksi luonnollisten lukujen joukon perusominaisuus: N on pienin sellainen joukko A, jolla pätee ehdot (i) 0 A (ii) jos n A, niin n + 1 A Tämä voidaan muotoilla joukon N määritelmäksi joukko-opissa. (Operaatio +1 pitää ensin korvata joukko-opillisella vastineella.)

31 Esimerkki: bittijonot Bittijono on merkkijono b = b 1 b n, missä n N ja b i {0, 1}, kun 1 i n. Tapauksessa n = 0, b on tyhjä jono, jolloin sitä merkitään symbolilla ε.

32 Esimerkki: bittijonot Bittijono on merkkijono b = b 1 b n, missä n N ja b i {0, 1}, kun 1 i n. Tapauksessa n = 0, b on tyhjä jono, jolloin sitä merkitään symbolilla ε. Kaikkien bittijonojen joukko B voidaan määritellä samaan tapaan kuin luonnollisten lukujen joukko:

33 Esimerkki: bittijonot Bittijono on merkkijono b = b 1 b n, missä n N ja b i {0, 1}, kun 1 i n. Tapauksessa n = 0, b on tyhjä jono, jolloin sitä merkitään symbolilla ε. Kaikkien bittijonojen joukko B voidaan määritellä samaan tapaan kuin luonnollisten lukujen joukko: B on pienin sellainen joukko A, jolla pätee ehdot (i) ε A (ii) jos b A, niin b0 A ja b1 A.

34 Esimerkki: bittijonot Bittijono on merkkijono b = b 1 b n, missä n N ja b i {0, 1}, kun 1 i n. Tapauksessa n = 0, b on tyhjä jono, jolloin sitä merkitään symbolilla ε. Kaikkien bittijonojen joukko B voidaan määritellä samaan tapaan kuin luonnollisten lukujen joukko: B on pienin sellainen joukko A, jolla pätee ehdot (i) ε A (ii) jos b A, niin b0 A ja b1 A. (Tässä b0 tarkoittaa merkkijonoa, joka saadaan lisäämällä jonon b perään merkki 0.)

35 Esimerkki: aakkoston sanojen joukko Yleistetään edellinen esimerkki. Olkoon Σ on äärellinen aakkosto, eli joukko symboleja (merkkejä). Aakkoston Σ sanojen joukko Σ on tällöin pienin joukko A, jolla pätee ehdot

36 13 Esimerkki: aakkoston sanojen joukko Yleistetään edellinen esimerkki. Olkoon Σ on äärellinen aakkosto, eli joukko symboleja (merkkejä). Aakkoston Σ sanojen joukko Σ on tällöin pienin joukko A, jolla pätee ehdot (i) ε A (ii) jos w A ja a Σ, niin wa A.

37 13 Esimerkki: aakkoston sanojen joukko Yleistetään edellinen esimerkki. Olkoon Σ on äärellinen aakkosto, eli joukko symboleja (merkkejä). Aakkoston Σ sanojen joukko Σ on tällöin pienin joukko A, jolla pätee ehdot (i) ε A (ii) jos w A ja a Σ, niin wa A. Erityisesti siis bittijonojen joukko B on siis sama kuin {0, 1}.

38 Rekursiosta induktioon Edelläolevan kaltaisiin rekursiivisiin määritelmiin liittyy aina automaattisesti vastaava induktioperiaate.

39 Rekursiosta induktioon Edelläolevan kaltaisiin rekursiivisiin määritelmiin liittyy aina automaattisesti vastaava induktioperiaate. Esimerkiksi jos tarkoituksena on todistaa, että jokaisella sanalla w Σ on ominaisuus P, niin voidaan menetellä seuraavasti: 1 (Perusaskel). Osoitetaan, että P(ε) on tosi.

40 Rekursiosta induktioon Edelläolevan kaltaisiin rekursiivisiin määritelmiin liittyy aina automaattisesti vastaava induktioperiaate. Esimerkiksi jos tarkoituksena on todistaa, että jokaisella sanalla w Σ on ominaisuus P, niin voidaan menetellä seuraavasti: 1 (Perusaskel). Osoitetaan, että P(ε) on tosi. 2 (Induktioaskel). Tehdään induktio-oletus, että P(w) on tosi.

41 Rekursiosta induktioon Edelläolevan kaltaisiin rekursiivisiin määritelmiin liittyy aina automaattisesti vastaava induktioperiaate. Esimerkiksi jos tarkoituksena on todistaa, että jokaisella sanalla w Σ on ominaisuus P, niin voidaan menetellä seuraavasti: 1 (Perusaskel). Osoitetaan, että P(ε) on tosi. 2 (Induktioaskel). Tehdään induktio-oletus, että P(w) on tosi. Todistetaan induktioväite, että P(wa) on tällöin tosi jokaisella a Σ.

42 Rekursiosta induktioon Edelläolevan kaltaisiin rekursiivisiin määritelmiin liittyy aina automaattisesti vastaava induktioperiaate. Esimerkiksi jos tarkoituksena on todistaa, että jokaisella sanalla w Σ on ominaisuus P, niin voidaan menetellä seuraavasti: 1 (Perusaskel). Osoitetaan, että P(ε) on tosi. 2 (Induktioaskel). Tehdään induktio-oletus, että P(w) on tosi. Todistetaan induktioväite, että P(wa) on tällöin tosi jokaisella a Σ. Tällöin tulee osoitetuksi, että joukko A = {w Σ P(w)} toteuttaa joukon Σ määritelmän ehdot (i) ja (ii), joten on oltava A = Σ.

43 15 Esimerkki Määritellään rekursiolla funktio f : {0, 1} Z + Z + :

44 15 Esimerkki Määritellään rekursiolla funktio f : {0, 1} Z + Z + : f (ε) = (1, 1) { f (b0) = (r, r + s) f (b1) = (r + s, s) kun f (b) = (r, s).

45 15 Esimerkki Määritellään rekursiolla funktio f : {0, 1} Z + Z + : f (ε) = (1, 1) { f (b0) = (r, r + s) f (b1) = (r + s, s) kun f (b) = (r, s). Käytetään merkintöjä f 1 (b) ja f 2 (b) lukuparin f (b) koordinaateille. Siis f 1 (b) = r ja f 2 (b) = s, kun f (b) = (r, s).

46 15 Esimerkki Määritellään rekursiolla funktio f : {0, 1} Z + Z + : f (ε) = (1, 1) { f (b0) = (r, r + s) f (b1) = (r + s, s) kun f (b) = (r, s). Käytetään merkintöjä f 1 (b) ja f 2 (b) lukuparin f (b) koordinaateille. Siis f 1 (b) = r ja f 2 (b) = s, kun f (b) = (r, s). Todistetaan induktiolla, että syt(f 1 (b), f 2 (b)) = 1 kaikilla b {0, 1}.

47 Esimerkki jatkuu (Perusaskel) Kun b = ε, on f 1 (b) = f 2 (b) = 1, joten syt(f 1 (b), f 2 (b)) = 1.

48 Esimerkki jatkuu (Perusaskel) Kun b = ε, on f 1 (b) = f 2 (b) = 1, joten syt(f 1 (b), f 2 (b)) = 1. (Induktioaskel) Oletetaan, että syt(f 1 (b), f 2 (b)) = 1. Olkoon f 1 (b) = r ja f 2 (b) = s. Tällöin f 1 (b0) = r ja f 2 (b0) = r + s. Oletetaan, että m Z + on lukujen r ja r + s yhteinen tekijä. Tällöin m on myös lukujen r ja s yhteinen tekijä, joten m = 1.

49 Esimerkki jatkuu (Perusaskel) Kun b = ε, on f 1 (b) = f 2 (b) = 1, joten syt(f 1 (b), f 2 (b)) = 1. (Induktioaskel) Oletetaan, että syt(f 1 (b), f 2 (b)) = 1. Olkoon f 1 (b) = r ja f 2 (b) = s. Tällöin f 1 (b0) = r ja f 2 (b0) = r + s. Oletetaan, että m Z + on lukujen r ja r + s yhteinen tekijä. Tällöin m on myös lukujen r ja s yhteinen tekijä, joten m = 1. Siispä syt(f 1 (b0), f 2 (b0)) = 1.

50 Esimerkki jatkuu (Perusaskel) Kun b = ε, on f 1 (b) = f 2 (b) = 1, joten syt(f 1 (b), f 2 (b)) = 1. (Induktioaskel) Oletetaan, että syt(f 1 (b), f 2 (b)) = 1. Olkoon f 1 (b) = r ja f 2 (b) = s. Tällöin f 1 (b0) = r ja f 2 (b0) = r + s. Oletetaan, että m Z + on lukujen r ja r + s yhteinen tekijä. Tällöin m on myös lukujen r ja s yhteinen tekijä, joten m = 1. Siispä syt(f 1 (b0), f 2 (b0)) = 1. Samalla tavalla osoitetaan, että syt(f 1 (b1), f 2 (b1)) = 1.

51 17 Rekursio lauselogiikassa Lauselogiikan kaavojen joukko K voidaan määritellä rekursiolla seuraavasti:

52 17 Rekursio lauselogiikassa Lauselogiikan kaavojen joukko K voidaan määritellä rekursiolla seuraavasti: K on pienin sellainen joukko A, jolla pätee ehdot (i) p i A jokaisella i N. (ii) Jos ϕ, ψ A, niin (a) ϕ A (b) (ϕ ψ) A (c) (ϕ ψ) A (d) (ϕ ψ) A (e) (ϕ ψ) A

53 17 Rekursio lauselogiikassa Lauselogiikan kaavojen joukko K voidaan määritellä rekursiolla seuraavasti: K on pienin sellainen joukko A, jolla pätee ehdot (i) p i A jokaisella i N. (ii) Jos ϕ, ψ A, niin (a) ϕ A (b) (ϕ ψ) A (c) (ϕ ψ) A (d) (ϕ ψ) A (e) (ϕ ψ) A Huomaa, että K Σ, missä Σ on aakkosto {p i i N} {,,,,, (, )}.

54 18 Induktio kaavan rakenteen suhteen Kun pitää todistaa, että jokaisella kaavalla ϕ K on ominaisuus P, menetellään seuraavasti.

55 18 Induktio kaavan rakenteen suhteen Kun pitää todistaa, että jokaisella kaavalla ϕ K on ominaisuus P, menetellään seuraavasti. 1 (PA) Osoitetaan, että P(p i ) on tosi jokaisella i N.

56 18 Induktio kaavan rakenteen suhteen Kun pitää todistaa, että jokaisella kaavalla ϕ K on ominaisuus P, menetellään seuraavasti. 1 (PA) Osoitetaan, että P(p i ) on tosi jokaisella i N. 2 (IA) Tehdään induktio-oletus: P(ϕ) ja P(ψ) ovat tosia.

57 18 Induktio kaavan rakenteen suhteen Kun pitää todistaa, että jokaisella kaavalla ϕ K on ominaisuus P, menetellään seuraavasti. 1 (PA) Osoitetaan, että P(p i ) on tosi jokaisella i N. 2 (IA) Tehdään induktio-oletus: P(ϕ) ja P(ψ) ovat tosia. Todistetaan induktioväitteet: (a) P( ϕ) on tosi. (b) P((ϕ ψ)) on tosi. (c) P((ϕ ψ)) on tosi. (d) P((ϕ ψ)) on tosi. (e) P((ϕ ψ)) on tosi.

58 19 Esimerkki Todistetaan induktiolla, että jokaisessa kaavassa on yhtä monta vasenta sulkua kuin oikeata sulkua.

59 19 Esimerkki Todistetaan induktiolla, että jokaisessa kaavassa on yhtä monta vasenta sulkua kuin oikeata sulkua. Tätä varten kannattaa ensin määritellä vasempien sulkujen ja oikeiden sulkujen lukumäärät rekursiolla:

60 19 Esimerkki Todistetaan induktiolla, että jokaisessa kaavassa on yhtä monta vasenta sulkua kuin oikeata sulkua. Tätä varten kannattaa ensin määritellä vasempien sulkujen ja oikeiden sulkujen lukumäärät rekursiolla: v(p i ) = 0 o(p i ) = 0 v( ϕ) = v(ϕ) v(ϕ ψ) = v(ϕ)+v(ψ)+1 v(ϕ ψ) = v(ϕ)+v(ψ)+1 v(ϕ ψ) = v(ϕ)+v(ψ)+1 v(ϕ ψ) = v(ϕ)+v(ψ)+1 o( ϕ) = o(ϕ) o(ϕ ψ) = o(ϕ)+o(ψ)+1 o(ϕ ψ) = o(ϕ)+o(ψ)+1 o(ϕ ψ) = o(ϕ)+o(ψ)+1 o(ϕ ψ) = o(ϕ)+o(ψ)+1

61 20 Esimerkki jatkuu Nyt on helppo todistaa induktiolla, että v(ϕ) = o(ϕ) jokaisella ϕ K:

62 20 Esimerkki jatkuu Nyt on helppo todistaa induktiolla, että v(ϕ) = o(ϕ) jokaisella ϕ K: (PA) v(p i ) = 0 = o(p i ) jokaisella i N.

63 20 Esimerkki jatkuu Nyt on helppo todistaa induktiolla, että v(ϕ) = o(ϕ) jokaisella ϕ K: (PA) v(p i ) = 0 = o(p i ) jokaisella i N. (IA) Oletetaan, että v(ϕ) = o(ϕ) ja v(ψ) = o(ψ). Tällöin

64 20 Esimerkki jatkuu Nyt on helppo todistaa induktiolla, että v(ϕ) = o(ϕ) jokaisella ϕ K: (PA) v(p i ) = 0 = o(p i ) jokaisella i N. (IA) Oletetaan, että v(ϕ) = o(ϕ) ja v(ψ) = o(ψ). Tällöin (a) v( ϕ) = v(ϕ) = o(ϕ) = o( ϕ)

65 20 Esimerkki jatkuu Nyt on helppo todistaa induktiolla, että v(ϕ) = o(ϕ) jokaisella ϕ K: (PA) v(p i ) = 0 = o(p i ) jokaisella i N. (IA) Oletetaan, että v(ϕ) = o(ϕ) ja v(ψ) = o(ψ). Tällöin (a) v( ϕ) = v(ϕ) = o(ϕ) = o( ϕ) (b) v(ϕ ψ) = v(ϕ)+v(ψ)+1 = o(ϕ)+o(ψ)+1 = o(ϕ ψ)

66 20 Esimerkki jatkuu Nyt on helppo todistaa induktiolla, että v(ϕ) = o(ϕ) jokaisella ϕ K: (PA) v(p i ) = 0 = o(p i ) jokaisella i N. (IA) Oletetaan, että v(ϕ) = o(ϕ) ja v(ψ) = o(ψ). Tällöin (a) v( ϕ) = v(ϕ) = o(ϕ) = o( ϕ) (b) v(ϕ ψ) = v(ϕ)+v(ψ)+1 = o(ϕ)+o(ψ)+1 = o(ϕ ψ) (c) v(ϕ ψ) = v(ϕ)+v(ψ)+1 = o(ϕ)+o(ψ)+1 = o(ϕ ψ) (d) v(ϕ ψ) = v(ϕ)+v(ψ)+1 = o(ϕ)+o(ψ)+1 = o(ϕ ψ) (e) v(ϕ ψ) = v(ϕ)+v(ψ)+1 = o(ϕ)+o(ψ)+1 = o(ϕ ψ)

67 Totuusjakaumat ja totuusarvot Totuusjakauma on funktio v, joka liittää jokaiseen propositiosymboliin p i totuusarvon v(p i ), joka on 0 (epätosi) tai 1 (tosi). Siis v : {p i i N} {0, 1}.

68 Totuusjakaumat ja totuusarvot Totuusjakauma on funktio v, joka liittää jokaiseen propositiosymboliin p i totuusarvon v(p i ), joka on 0 (epätosi) tai 1 (tosi). Siis v : {p i i N} {0, 1}. Kaavan ϕ K totuusarvo V (ϕ) {0, 1} totuusjakaumalla v määritellään rekursiolla seuraavasti: (i) V (p i ) = v(p i ) jokaisella i N.

69 Totuusjakaumat ja totuusarvot Totuusjakauma on funktio v, joka liittää jokaiseen propositiosymboliin p i totuusarvon v(p i ), joka on 0 (epätosi) tai 1 (tosi). Siis v : {p i i N} {0, 1}. Kaavan ϕ K totuusarvo V (ϕ) {0, 1} totuusjakaumalla v määritellään rekursiolla seuraavasti: (i) V (p i ) = v(p i ) jokaisella i N. (ii) Oletetaan, että V (ϕ) ja V (ψ) on määritelty. (a) V ( ϕ) = 1 jos ja vain jos V (ϕ) = 0. (b) V (ϕ ψ) = 1 jos ja vain jos V (ϕ) = V (ψ) = 1. (c) V (ϕ ψ) = 1 jos ja vain jos V (ϕ) = 1 tai V (ψ) = 1. (d) V (ϕ ψ) = 1 jos ja vain jos V (ϕ) = 0 tai V (ψ) = 1. (e) V (ϕ ψ) = 1 jos ja vain jos V (ϕ) = V (ψ).