f 1 (b) kun b f(a) g(b) = a kun b B \ f(a). g(b) = g(b ). (2) b = b. = f(g(b )) iii) = b,

Transkriptio

1 1.1 Olkoon f : A B injektio. Tällöin f : A f(a) on bijektio, joten on olemassa bijektiivinen käänteiskuvaus f 1 : f(a) A. Jos f(a) = B, niin tämä f 1 on haluttu surjektio. Voidaan siis olettaa, että f(a) B, jolloin B \ f(a). Kiinnitetään jokin a A. Tällöin voidaan määritellä kuvaus g : B A asettamalla { f 1 (b) kun b f(a) g(b) = a kun b B \ f(a). Tämä on järkevä määritelmä, koska g(b) on yksikäsitteisesti spesifioitu kaikille b B. Koska f 1 on surjektio, niin triviaalisti myös g on surjektio ja on siten haluttu kuvaus. Olkoon f : A B surjektio. Tällöin kaikille b B alkukuvajoukko f 1 (b) A on epätyhjä. Tällöin valinta-aksiooman nojalla on olemassa kuvaus g : B b B f 1 (b) siten, että g(b) f 1 (b) kaikille b B. (1) Koska b B f 1 (b) A, niin g voidaan tulkita kuvaukseksi B A, ja riittää osoittaa, että g on injektio. Olkoon tätä varten b,b B siten, että g(b) = g(b ). (2) Pitää osoittaa, että Tämä nähdään näin: b = b. b i) = f(g(b)) ii) = f(g(b )) iii) = b, missä yhtälöt i) ja iii) seuraavat ehdosta (1) ja yhtälö ii) ehdosta (2). 1.2 a) Todistetaan väite induktiolla m:n suhteen. Kun m = 1, väite tulee muotoon ei ole olemassa injektiota f : {1,...,n} {1} kun n 2. Tämä on selvää, sillä jos n 2 ja f : {1,...,n} {1} on kuvaus, niin f(1) = f(2) = 1 eikä f voi siten olla injektio. Oletetaan sitten induktiivisesti, että ei ole olemassa injektiota f : {1,...,n} {1,...,m} kun n > m. Pitää osoittaa, että ei ole olemassa injektiota f : {1,...,n} {1,...,m + 1} kun n > m + 1. Tehdään antiteesi: tällainen injektio f on olemassa jollekin n > m + 1. Tällöin myös rajoittumakuvaus f {1,...,n 1} on injektio, ja koska n 1 > m, niin induktio-oletuksen nojalla tämä rajoittumakuvaus ei voi kuvata joukkoon {1,..., m}. Silloin on oltava f(k) = m + 1 jollekin k {1,...,n}. (1) 1

2 Määritellään nyt kuvaus g : {1,...,n} {1,...,m + 1} asettamalla f(l) kun l k,n g(l) = f(n) kun l = k f(k) = m + 1 kun l = n. Tämä g on hyvin määritelty kuvaus ehdon (1) nojalla myös siinä tapauksessa, että k = n ja f:n injektiivisyyden nojalla ilmeisesti g on injektio. Koska g(n) = m + 1, niin g:n injektiivisyyden nojalla rajoittumakuvaus g {1,...,n 1} on injektiivinen kuvaus joukosta {1,...,n 1} joukkoon {1,...,m}. Koska n 1 > m, niin induktio-oletuksen nojalla tällaista injektiota ei kuitenkaan voi olla olemassa. Syntynyt ristiriita todistaa väitteen. 1.2 b) Jos on #A = n ja #A = m, niin on olemassa bijektiot f : {1,...,n} A ja g : {1,...,m} A. Tällöin f 1 g : {1,...,m} {1,...,n} on bijektio. Tällöin a)-kohdan nojalla on oltava m n. Vastaavasti g 1 f : {1,...,n} {1,...,m} on bijektio, jolloin a)-kohdan nojalla n m. Siispä pätee n = m, kuten väitettiin. 1.2 c) Jos A on numeroituva ja äärellinen, niin on olemassa bijektiot f : N A ja g : {1,...,m} A jollekin m N. Tällöin g 1 f : N {1,...,m} on bijektio, ja erityisesti sen rajoittumakuvaus g 1 f {1,...,m+1} on injektio joukosta {1,...,m + 1} joukkoon {1,...,m}. Tällaista ei kuitenkaan a)-kohdan nojalla voi olla olemassa. Syntynyt ristiriita todistaa väitteen. 1.3 a) Todistetaan väite induktiolla äärellisen joukon A alkioiden lukumäärän #A suhteen. Kun #A = 1, niin A on ilmeisesti yksiö. Yksiön ainoa epätyhjä osajoukko on se itse, joten väite pätee. Oletetaan sitten induktiivisesti, että #A = n 2 ja että väite pätee kaikille joukoille, joiden alkioiden lukumäärä on korkeintaan n 1. Olkoon B A. Pitää siis osoittaa, että B on äärellinen. Jos B = A, niin asia on selvä, joten voidaan olettaa, että B A, jolloin on olemassa a A \ B. (1) Koska #A = n, niin on olemassa bijektio f : {1,...,n} A. Koska a A ja f on surjektio, niin f(k) = a jollekin k {1,...,n}. Määritellään kuvaus g : {1,...,n} A asettamalla f(i) kun i k,n g(i) = f(n) kun i = k f(k) = a kun i = n. 2

3 Tämä on hyvin määritelty kuvaus myös siinä tapauksessa, että n = k, ja f:n bijektiivisyyden nojalla ilmeisesti myös bijektio. Tällöin rajoittumakuvaus g {1,...,n 1} : {1,...,n 1} g({1,...,n 1}) = A \ {a} on myös bijektio. Silloin joukko A \ {a} on äärellinen ja #(A \ {a}) = n 1. (2) Ehdon (1) nojalla B A\{a}, jolloin väite B:n äärellisyydestä seuraa induktiooletuksesta ja ehdosta (2). 1.3 b) Olkoon A äärellinen joukko, f : A X kuvaus. Väitetään, että f(a) on äärellinen. Koska f : A f(a) on surjektio, niin tehtävän 1.1 nojalla on olemassa injektio g : f(a) A. Tällöin kuvaus g : f(a) g(f(a)) on bijektio, joten f(a) g(f(a)). (3) Koska g(f(a)) A, niin A:n äärellisyyden ja a)-kohdan nojalla g(f(a)) on äärellinen. Tällöin väite f(a):n äärellisyydestä seuraa ehdosta (3) ja tehtäväpaperin sivulla 1 mainitusta yhtämahtavuuden transitiivisuusominaisuudesta. 1.3 c) Olkoon A numeroituva ja B A ääretön. Pitää osoittaa, että B on numeroituva. Koska A on numeroituva, niin on olemassa bijektio f : A N. Tällöin myös rajoittumakuvaus f B : B f(b) on bijektio, ja siten B f(b). (4) Koska B on ääretön, niin ehdon (4) ja yhtämahtavuuden transitiivisuusominaisuuden nojalla myös f(b) on ääretön. Väite seuraa ehdosta (4) ja yhtämahtavuuden transitiivisuusominaisuudesta, jos osoitetaan, että f(b) on numeroituva. Koska f(b) N on ääretön, niin riittää ooittaa, että jokainen N:n ääretön osajoukko on numeroituva. Olkoon tätä varten M N ääretön. Riittää konstruoida bijektio g : N M. Tehdään tämä rekursiivisesti. Valitaan ensin g(1) = min M M. (5) Tämä on järkevä määritelmä, koska jokaisessa N:n epätyhjässä osajoukossa on yksikäsitteinen minimi. Oletetaan sitten, että n 2 ja että g(1),...,g(n 1) on jo määritelty. Määritellään g(n) asettamalla g(n) = min{x M x > g(n 1)}. (6) Tämäkin on järkevä ja erityisesti yksikäsitteinen määritelmä, kunhan vain joukko, josta minimiä haetaan on epätyhjä. Näin on oltava, sillä jos olisi {x M x > g(n 1)} =, niin olisi M {1,...,g(n 1)}, jolloin M olisi a)-kohdan nojalla äärellinen, mitä se ei ole. 3

4 Näin siis tämä rekursio toimii, ja tuottaa kuvauksen g : N M. Riittää osoittaa, että g on bijektio. Osoitetaan ensin, että g on injektio. Tätä varten riittää osoittaa, että kaikille n N \ {1} pätee g(m) < g(n) kaikille 1 m n 1. Tämä seuraa suoraan määritelmästä (6). Siten riittää osoittaa, että g on surjektio. (7) Tehdään antiteesi: g ei ole surjektio. Tällöin M \ g(n), ja koska jokaisesta N:n epätyhjästä joukosta löytyy minimi, voidaan valita m = min(m \ g(n)) M \ g(n). Koska g(1) g(n) ja m M \ g(n), niin m g(1), ja koska m M ja g(1) = min M, niin g(1) < m, ja siten joukko {x g(n) x < m} on epätyhjä ja (triviaalisti) ylhäältä rajoitettu. Tällaisesta luonnollisten lukujen joukosta löytyy maksimi, joten on olemassa s = max{x g(n) x < m}. (8) Tällöin s g(n), joten s = g(k) jollekin k. Koska m M ja ehdon (8) nojalla g(k) = s < m, niin määritelmän (6) nojalla pätee s = g(k) < g(k + 1) m. (9) Toisaalta g(k+1) g(n), jolloin ehtojen (8) ja (9) nojalla ei voi olla g(k+1) < m, jolloin ehdon (9) perusteella m = g(k + 1) g(n). Tämä on mahdotonta, koska m valittiin niin, että m M \ g(n). Syntynyt ristiriita todistaa väitteen (7), joten g on bijektio ja asia on selvä. 1.3 d) On ilmeistä, että väite seuraa induktiolla, jos osoitetaan, että kahden äärellisen joukon yhdiste on äärellinen. Olkoot siis A ja B äärellisiä ja väitetään, että A B on äärellinen. Olkoon #A = n ja #B = m. Tällöin on olemassa bijektiot g : {1,...,n} A ja h : {1,...,m} B. Määritellään kuvaus f : {1,...,n+m} A B asettamalla { g(k) kun 1 k n f(k) = h(k n) kun n + 1 k n + m, jolloin f on ilmeisesti surjektio. Väite seuraa tällöin tehtävästä 1.3 b). 4

5 1.3 e) Olkoon I numeroituva indeksijoukko ja kullekin i I olkoon A i äärellinen joukko. Väitetään, että A i on numeroituva tai äärellinen. (10) i I Koska I on numeroituva, niin on olemassa bijektio ϕ : N I. Tällöin väite (10) voidaan kirjoittaa muotoon A ϕ(n) on numeroituva tai äärellinen. (11) n N Koska joukot A ϕ(n) ovat äärellisiä, niin kaikille n on olemassa m n N ja bijektio f n : {1,...,m n } A ϕ(n). On ilmeistä, että jokaiselle k N, k > m 1 on olemassa yksikäsitteinen n N siten, että m m n < k m m n + m n+1. Tällöin voidaan määritellä kuvaus g : N n N A ϕ(n) asettamalla f 1 (k) kun 1 k m 1 g(k) = f n+1 (k (m m n )) kun m m n < k m m n + m n+1. On ilmeistä, että f on hyvin määritelty ja kuvausten f n surjektiivisuuden perusteella surjektio. Tällöin tehtävän 1.1 nojalla on olemassa kuvaus h : n N A ϕ(n) N, joka on injektio. Tämä h on bijektio kuvajoukolleen, joten ( ) A ϕ(n) h A ϕ(n) N. (12) n N n N Yhtämahtavuuden transitiivisuusominaisuuden nojalla väite (11) seuraa seuraa ehdosta (12) ja tehtävästä 1.3 c). 1.4 a) Todistetaan väite induktiolla n:n suhteen. Koska A on äärettömänä joukkona epätyhjä, niin tapaus n = 1 seuraa suoraan tehtäväpaperin sivun 1 ehdosta (1). Oletaan sitten, että on olemassa injektio f n : {1,...,n} A. Riittää konstruoida injektio f n+1 : {1,...,n + 1} A. Tehtävän 1.3 b) nojalla f n ({1,...,n}) on äärellinen, joten on oltava f n ({1,...,n}) A, jolloin A \ f n ({1,...,n}). (1) Määritellään joukot B 1,...,B n+1 asettamalla { {f n (i)} kun 1 i n B i = A \ f n ({1,...,n}) kun i = n

6 Ehdon (1) nojalla kaikki joukot B i ovat epätyhjiä, joten mainitun sivun 1 ehdon (1) nojalla on olemassa kuvaus siten, että f n+1 : {1,...,n + 1} n+1 i=1 B i A f n+1 (i) B i kaikille i = 1,...,n + 1. On ilmeistä, että tämä kuvaus on injektio, joten homma on selvä. 1.4 b) Merkitään ohjeen mukaisesti B = n N ϕ(n)({1,...,n}) A. Riittää osoittaa, että B on numeroituva, koska tällöin on olemassa bijektio f : N B, joka on injektio kuvauksena f : N A. Tehtävän 1.2 b) nojalla joukot ϕ(n)({1,...,n}) ovat äärellisiä kaikille n, joten tehtävän 1.3 e) nojalla B on numeroituva tai äärellinen. Silloin riittää osoittaa, että B ei ole äärellinen. Tehdään antiteesi: B on äärellinen. Tällöin on olemassa m N ja bijektio g : B {1,...,m}. Määritelmänsä mukaan ϕ(m + 1) : {1,...,m + 1} A on injektio, ja koska ϕ(m + 1)({1,...,m+1}) A B, niin ϕ(m + 1) on injektio myös kuvauksena ϕ(m + 1) : {1,...,m + 1} B. Silloin yhdistetty kuvaus g ϕ(m + 1) : {1,...,m + 1} {1,...,m} on paitsi järkevästi määritelty myös injektio. Tällaista injektiota ei kuitenkaan voi tehtävän 1.2 a) mukaan olla olemassa. Syntynyt ristiriita todistaa väitteen. 1.5 a) Olkoon A kaikkien uuttujen (ääretön) joukko. Tehtävän 1.4 b) nojalla on olemassa injektio f : N A. Olkoon n saapuvien kyyhkyjen joukon alkioiden lukumäärä. Tehdään kyyhkyslakassa seuraavat siirto-operaatiot. Joukon A \ f(n) uutuille ei tehdä mitään. Joukossa f(n) siirretään uutun f(k) asukas uuttuun f(k + n) kaikille k N. Saapuvat linnut sijoitetaan tyhjiksi jääneisiin uuttuihin f(1),...,f(n), yksi kuhunkin. On ilmeistä, että näiden operaatioiden jälkeen kyyhkyslakka on taas täynnä ja vain yksi lintu kussakin uutussa. 1.5 b) Käytetään a)-kohdan merkintöjä nyt tietysti saapuvien lintujen lukumäärä ei ole n, vaan tulijoita on numeroituva määrä. Nyt tehdään seuraavat operaatiot. 6

7 Joukon A \ f(n) uutuille ei tehdä mitään. Joukossa f(n) siirretään uutun f(k) asukas uuttuun f(2k) kaikille k N. Koska joukko {f(2k 1) k N} on ilmeisesti numeroituva, niin saapuvat linnut voidaan sijoittaa tyhjiksi jääneisiin uuttuihin f(2k 1), k N, yksi kuhunkin. On ilmeistä, että näiden operaatioiden jälkeen kyyhkyslakka on taas täynnä ja vain yksi lintu kussakin uutussa. 1.6 a) Tehdään induktio n:n suhteen. Kun n = 1, A on yksiö, ja silloin ilmeisesti P(A) = {, A} ja #P(A) = 2, joten väite pätee. Oletetaan sitten induktiivisesti, että n 2 ja että väite pätee (n 1):lle sekä todistetaan se n:lle. Olkoon siis #A = n, jolloin on olemassa bijektio f : {1,...,n} A. Merkitään B = A \ {f(n)}, jolloin ilmeisesti #B = n 1, jolloin induktio-oletuksen nojalla Merkitään #P(B) = 2 n 1. (1) P 1 (A) = {C P(A) f(n) B} P 2 (A) = {C P(A) f(n) B}, ja jolloin ilmeisesti P 1 (A) P 2 (A) = P(A) ja P 1 (A) P 2 (A) =. (2) Määritellään lisäksi kuvaus ψ : P 2 (A) P 1 (A) asettamalla jolloin ilmeisesti ψ on bijektio, joten ψ(c) = C \ {f(n)}, Koska B = A \ {f(n)}, niin ilmeisesti pätee myös P 1 (A) P 2 (A). (3) P 1 (A) = P(B). (4) Ehtojen (1) ja (4) nojalla on olemassa bijektio g : {1,...,2 n 1 } P 1 (A), jolloin ehdon (3) nojalla on olemassa myös bijektio h : {1,...,2 n 1 } P 2 (A). Määritellään nyt kuvaus α : {1,...,2 n } P(A) asettamalla { g(k) kun 1 k 2 n 1 α(k) = h(k 2 n 1 kun 2 n k 2 n. 7

8 α on selvästi hyvin määritelty sekä g:n ja h:n bijektiivisyyden ja ehdon (2) nojalla bijektio. Väite seuraa tästä. 1.6 b) Koska A on numeroituva, niin on olemassa bijektio f : A N. Tällöin ilmeisesti kuvaus P(A) P(N), C f(c) on bijektio. Lisäksi ilmeisesti (tai tehtävän 1.3 b) nojalla) tämän kuvauksen rajoittumakuvaus antaa bijektion B(A) B(N). Siten riittää osoittaa, että B(N) on numeroituva. Osoitetaan ensin, että B(N) = n N P({1,...,n}). (5) Tehtävän 1.3 a) nojalla P({1,...,n}) B(N) kaikille n, joten väitteessä (5) pätee ainakin suunta. Käänteisen suunnan todistamiseksi oletetaan, että B B(N). Pitää osoittaa, että B P({1,...,n}) jollekin n. (6) Jos B =, niin väite (6) pätee mille tahansa n, joten voidaan olettaa, että B. Induktiolla nähdään helposti, että äärellisestä N:n epätyhjästä osajoukosta voidaan valita maksimi, joten on olemassa n = max B, ja ilmeisesti ehto (6) pätee tälle n. Näin väite (5) on todistettu. Tehtävän 1.6 a) nojalla joukot P({1,...,n}) ovat äärellisiä, jolloin ehdon (5) ja tehtävän 1.3 e) nojalla B(N) on äärellinen tai numeroituva. Silloin väitteen todistamiseksi riittää osoittaa, että B(N) ei ole äärellinen. Tämä on varsin ilmeistä, mutta voihan sen todistaakin: Ilmeisesti joukko {{n} n N} B(N) on numeroituva, joten B(N) ei voi olla äärellinen tehtävän 1.3 a) nojalla. 1.7 a) Koska B A \ C, niin väite seuraa yhtämahtavuuden transitiivisuusominaisuudesta, jos osoitetaan, että A A \ C. (1) Koska B on ääretön ja B A \C, niin myös A \C on ääretön. Tällöin tehtävän 1.4 b) nojalla on olemassa injektio f : N A \ C. Koska C on äärellinen, niin on olemassa bijektio h : {1,...,m} C jollekin m. Määritellään kuvaus g : A A \ C asettamalla a kun a A \ (f(n) C) g(a) = f(n + m) kun a = f(n), n N f(n) kun a = h(n), n {1,...,m}. Tällöin ilmeisesti g on hyvin määritelty ja bijektio, joten väite (1) seuraa. Huomaa analogia tehtävään 1.5 a). 8

9 1.7 b) Tässäkin riittää todistaa ehto (1). Koska B on ääretön ja B A \ C, niin myös A \C on ääretön. Tällöin tehtävän 1.4 b) nojalla on olemassa injektio f : N A \ C. Koska C on numeroituva, niin on olemassa bijektio h : N C. Määritellään kuvaus g : A A \ C asettamalla a kun a A \ (f(n) C) g(a) = f(2n) kun a = f(n), n N f(2n 1) kun a = h(n), n N. Tällöin ilmeisesti g on hyvin määritelty ja bijektio, joten väite (1) seuraa. Huomaa analogia tehtävään 1.5 b). 1.8 Joukkojen R ja ]0, 1[ välille löytyy monenlaisia bijektioita, esimerkkinä vaikkapa vähän viritetty arctan, joten riittää todellakin osoittaa, että ]0, 1[ P(N). Uskotaan tuohon tehtäväpaperin binääridesimaalikehitelmän olemassaoloon (helppohan se on todistaakin). Uskotaan myös siihen (helposti tämäkin voidaan todistaa), että se on yksikäsitteinen, paitsi että jos jonon häntä koostuu pelkistä ykkösistä tai pelkistä nollista, esitys on kaksikäsitteinen, eli pätee esimerkiksi = , (1) kuten helposti nähdään. Hieman vaikeampaa on nähdä, että muunlaista yksikäsitteisyyden puutetta ei sitten esiinnykään, mutta uskotaan tähänkin. Jos nyt kielletään näissä desimaalikehitelmissä mahdollisesti esiintyvät pelkistä nollista koostuvat hännät, niin päästään yksikäsitteiseen esitykseen. Jokaisella x ]0, 1[ on siis yksikäsitteinen binääridesimaalikehitelmä, jonka häntä ei koostu pelkistä nollista. (Siis jos siellä nollia on, niin vaihdetaan esitystä ehdosta (1) ilmenevällä(?) tavalla.) Uskotaan siis tähänkin. Seuraavaksi mennään tehtäväpaperin ohjeessa mainittuihin karakteristisiin funktioihin. Jos A N, niin sen karakteristinen funktio χ A : A {0,1} määritellään asettamalla { 1 kun x A χ(x) = 0 kun x A. On selvää, että karakteristinen funktio määrää joukon A yksikäsitteisesti ja tietysti myös kääntäen. Jos on annettu jokin nollista ja ykkösistä koostuva jono (x n ), niin funktio f (xn) : N {0,1}, f (xn)(i) = x i kaikille i N (2) on ilmeisesti jonkin yksikäsitteisesti määrätyn joukon A (xn) N karakteristinen funktio. Konstruoidaan nyt kuvaus ϕ : ]0,1[ P(N) seuraavasti. Olkoon x ]0, 1[ mielivaltainen. Valitaan ensin x:lle binääridesimaaliesitys x = 0.x 1 x 2 x 3..., jossa on kielletty nollista koostuva häntä, jolloin esitys on yksikäsitteinen kuten edellä todettiin. 9

10 Tällöin bittijonon (x n ) ehdon (2) mukaisesti määräämä funktio f (xn) on erään yksikäsitteisesti määrätyn joukon A (xn) N karakteristinen funktio. Määritellään nyt ϕ(x) = A (xn). Näiden kaikkien yksikäsitteisyyksien nojalla ϕ on hyvin määritelty kuvaus. Se on myös injektio, mikä nähdään heti siitä, että yksikäsitteisyydet pätevät myös käänteiseen suuntaan. Kuvaus ϕ ei kuitenkaan ole surjektio, mikä johtuu siitä, että kun nollahännät kiellettiin, karakteristisissa funktioissa ei myöskään voi olla nollahäntää, ja tämä sulkee osan N:n osajoukoista pois. Seuraava ehto karakterisoi täsmällisesti ne N:n osajoukot, jotka ϕ:n kuvajoukosta puuttuvat. Kaikille A N pätee A P(N) \ ϕ(]0,1[) A on äärellinen tai A = N (3) Väite (3) vaatii todistuksen. Oletetaan ensin, että A on äärellinen. Helposti nähdään (vrt. tehtävän 1.6 b) ratkaisu), että A:ssa on tällöin maksimi olkoon se m. Silloin χ A (i) = 0 kaikille i > 0, joten ei voi olla χ A = f (xn) millekään x, koska nämä nollahännät on nimenomaan kielletty. Jos A = N, niin f(x) = A vain mikäli x = Näin ei ole millekään x ]0,1[, koska = 1 ]0,1[. Nämä havainnot todistavat väitteen (3) suunnan. Käänteisen suunnan todistukseen riittää osoittaa, että jokainen ääretön N A N on kuvajoukossa f(]0,1[). Olkoon siis A N:n aito ääretön osajoukko. Määritellään kaikille n N x n = χ A (n) ja x = x 1 x 2 x 3... = x n 2 n. (1) Määritelmän (1) sarja suppenee, koska sillä on majoranttina suppeneva geometrinen sarja. Lisäksi tämän majorantin summa on 1, joten n=1 0 x 1. (2) Koska A on ääretön, niin A, jolloin ainakin yksi x n 0, ja silloin myös x 0. Koska A N, niin ainakin yksi x n 1, ja silloin myös x 1. Näiden havaintojen perusteella ehdossa (2) molemmat epäyhtälöt ovat aitoja, joten x ]0,1[. Kuvauksen f määritelmän perusteella on ilmeistä, että f(x) = A, kunhan ehdon (1) desimaalikehitelmässä x:llä ei ole nollahäntää, ts. ei ole niin, että x n = 0 10

11 kaikille n m jollekin m. Tehdään antiteesi, että näin olisi. Silloin χ(a)(n) = 0 kaikille n m eli A {1,...,m}. Tämä on kuitenkin mahdotonta tehtävän 1.3 a) nojalla, koska A on ääretön. Näin on nähty, että f(x) = A, joten A f(]0,1[). Tämä tarkastelu todistaa väitteen (3). Merkitään Ehdon (3) nojalla Koska ϕ on injektio, niin C = {B P(N) B on äärellinen} {N}. P(N) \ C = ϕ(]0,1[). (4) ]0,1[ ϕ(]0,1[). (5) Ilmeisesti joukko ]0, 1[ on ääretön, jolloin ehtojen (4) ja (5) sekä tehtävän 1.7 b) nojalla väite ]0,1[ P(N) seuraa, jos osoitetaan, että C on numeroituva. Tämä puolestaan seuraa tehtävistä 1.6 b) ja 1.7 a). 1.9 Tehdään ohjeen mukaisesti antiteesi bijektion ϕ olemassaolosta ja määritellään B = {x A x ϕ(x)} P(A). Koska ϕ on surjektio, niin on olemassa a A siten, että Nyt pätee ϕ(a) = B. (1) joko a B (2) tai a B. (3) Vaihtoehdossa (2) saadaan joukon B määritelmän mukaan ehto a ϕ(a), mikä ehdon (1) mukaan johtaa siihen, että a B, mikä on vastoin ehtoa (1). Tämä on ristiriita, joten vaihtoehto (2) on mahdoton. Siispä pätee vaihtoehto (3). Tällöin saadaan joukon B määritelmän mukaan ehto a ϕ(a), mikä ehdon (1) mukaan johtaa siihen, että a B, 11

12 mikä on vastoin ehtoa (2). Tämä on taas ristiriita, joten tämäkin vaihtoehto (3) on mahdoton. Koska muita vaihtoehtoja ei ole, joudutaan joka tapauksessa ristiriitaan, joten antiteesi on väärä ja väite pätee a) Olkoon A numeroituva. Silloin tehtävän 1.9 nojalla P(A) ei ole numeroituva, joten määritelmien mukaan riittää osoittaa, että P(A) ei ole äärellinen. Tämä on tehtävien 1.2 c) ja 1.3 a) nojalla selvää, sillä joukko {{a} a A} P(A) on ilmeisesti numeroituva b) Tämä seuraa tehtävistä 1.9 ja 1.10 a). 12

13 2.1 a) Määritellään kaava K x z (ϕ) rekursiivisesti kaavan ϕ rakennejonon minimaalisen pituuden n suhteen. Kun n = 1, ϕ on atomikaava, joten joko ϕ = f tai ϕ = a b, missä a ja b ovat muuttujia tai vakioita. Kummassakaan tapauksessa x ei esiinny sidottuna kaavassa ϕ, joten intuition ohjaamana näissä molemmissa tapauksissa asetetaan K x z (ϕ) = ϕ. Näin rekursion alkuaskel eli tapaus n = 1 on selvitetty. Oletetaan sitten, että n 2 ja että K x z (ψ) on jo määritelty kaikille kaavoille, joilla on korkeintaan (n 1):n pituinen rakennejono. Nyt ϕ:lle on kaksi vaihtoehtoa: se on implikaatiokaava tai saatu kvantifioimalla eli ϕ on tyyppiä ϕ = ψ ξ tai (1) ϕ = yψ, (2) missä ψ ja ξ ovat kaavoja, joilla on korkeintaan (n 1):n pituinen rakennejono sekä y on muuttuja. Rekursio-oletuksen nojalla K x z (ψ) ja K x z (ξ) on jo määritelty. Tapauksessa (1) x:n (mahdollinen) esiintymä ϕ:ssä on sidottu jos ja vain jos se on sidottu ψ:ssä tai ξ:ssä, joten taas intuition ohjaamana asetetaan K x z (ϕ) = K x z (ψ) K x z (ξ). Tapauksessa (2) on oletuksen x z nojalla vain kaksi vaihtoehtoa: y x tai (3) y = x z. Tapauksessa (3) x:n (mahdollinen) esiintymä ϕ:ssä on sidottu jos ja vain jos se on sidottu ψ:ssä, tapauksessa (4) kaikki x:n esiintymät ϕ:ssä ovat sidottuja, mutta ψ:ssä voi olla sekä sidottuja että vapaita esiintymiä, jotka kaikki pitää korvata z:lla. Näillä perusteilla ja intuition ohjaamana tapauksittainen kaavan K x z (ϕ) = K x z ( yψ) määritelmä on seuraava: Tapauksessa (3) asetetaan K x z (ϕ) = yk x z (ψ). Tapauksessa (4) asetetaan K x z (ϕ) = zs x z (K x z (ψ)). 2.1 b) Induktio kaavan ϕ rakennejonon minimaalisen pituuden n suhteen. Kun n = 1, asia on selvä: ei atomikaavassa ole kvantifikaatioita. Tehdään induktio-oletus, että väite pätee kaikille kaavoille, joilla on korkeintaan (n 1):n pituinen rakennejono. Riittää todeta, että a)-kohdan tapauksissa ()1) ja (2) ei kvantifioida x:n suhteen. Tapauksessa (1) induktio-oletuksen nojalla kaavoissa K x z (ψ) ja K x z (ξ) ei ole kvantifikaatiota x:n suhteen, joten triviaalisti tällaista kvantifikaatiota ei ole myöskään kaavassa K x z (ϕ) = K x z (ψ) K x z (ξ). Tapauksessa (2) joudutaan vaihtoehtoihin (3) ja (4), joissa kummassakin induktiooletuksen nojalla kaavassa K x z (ψ) ei ole kvantifikaatiota x:n suhteen, joten sellaista ei ole myöskään tapauksissa (3) ja (4) siitä syystä, että tapauksessa (3) on y x ja tapauksessa (4) käytetään oletusta x z. 13

14 2.1 c) Induktio kaavan ϕ rakennejonon minimaalisen pituuden n suhteen. Kun n = 1, asia on selvä: väite seuraa oletuksesta. Tehdään induktio-oletus, että väite pätee kaikille kaavoille, joilla on korkeintaan (n 1):n pituinen rakennejono. Riittää todeta, että a)-kohdan tapauksissa ()1) ja (2) w ei esiinny vapaana kaavassa K x z (ϕ). Tapauksessa (1) induktio-oletuksen nojalla w ei esiinny vapaana kaavoissa K x z (ψ) ja K x z (ξ), joten predikaattikielen syntaksin ominaisuuksien perusteella z ei esiinny vapaana myöskään kaavassa K x z (ϕ) = K x z (ψ) K x z (ξ). Tapauksessa (2) joudutaan vaihtoehtoihin (3) ja (4), joissa kummassakin induktiooletuksen nojalla w ei esiinny vapaana kaavassa kaavassa K x z (ψ). Tällöin on selvää, että w ei esiinny vapaana kaavassa K x z (ϕ) vaihtoehdossa (3), jossa K x z (ϕ) = yk x z (ψ). Riittää siis tarkastella tapausta (4). Väite pätee tällöin selvästi, jos w = z, joten voidaan olettaa, että w z. Koska K x z (ϕ) = zs x z (K x z (ψ)), niin riittää osoittaa, että w ei esiinny vapaana kaavassa S x z (K x z (ψ)). Tämä seuraa logiikan luentomonisteen lemmasta 3.23, sillä w z ja induktio-oletuksen nojalla w ei esiinny vapaana kaavassa kaavassa K x z (ψ). 2.2 Todistetaan väite L K x z (ϕ) ϕ (5) induktiolla kaavan ϕ rakennejonon minimaalisen pituuden n suhteen. Kun n = 1, väite (1) tulee tehtävän 2.1 a) nojalla muotoon L ϕ ϕ. (6) Väite (6) on predikaattikielen triviaali tulos, joka periytyy propositiokielestä. Näin induktion alkuaskel on otettu, joten voidaan tehdä induktio-oletus, että väite (5) pätee kaikille kaavoille, joilla on korkeintaan (n 1):n pituinen rakennejono. Riittää tarkastella tehtävän 2.1 vaihtoehtoja (1) ja (2). Tapauksessa (1) väite (5) tulee muotoon Induktio-oletuksen nojalla saadaan L [K x z (ψ) K x z (ξ)] [ψ ξ]. (7) L K x z (ψ) ψ ja (8) L K x z (ξ) ξ. (9) Väite (7) seuraa ehdoista (8) ja (9) kaksi kertaa ekvivalenssin sijoitussääntöä teoreemaan L [ψ ξ] [ψ ξ] soveltamalla. Riittää siis selvittää vaihtoehto (2) eli tapaukset (3) ja (4). Tapauksessa (3) väite (5) tulee muotoon L yk x z (ψ) yψ. (10) 14

15 Induktio-oletuksesta saadaan taas ehto (8), josta väite (10) saadaan ekvivalenssin sijoitussääntöä soveltaen. Tapauksessa (4) väite (5) tulee muotoon L zs x z (K x z (ψ)) xψ. (11) Ehdon (8) ja ekvivalenssin sijoitussäännön nojalla väite (11) voidaan kirjoittaa yhtäpitävään muotoon L zs x z (K x z (ψ)) xk x z (ψ), joka seuraa predikaattilogiikan parannetusta lauseesta 3.18 sekä tehtävän 2.1 kohdista b) ja c). 2.3 a) Jos a on muuttuja, niin tehtävän 2.1 a) ja intuitiivisen määritelmän mukaan on selvää, että määritelmä tulee asettaa näin: ϕ x (a) = S x a(k a y(ϕ)). (1) Tässä on kuitenkin lievä ongelma, koska tehtävässä 2.1 a) oletettiin, että kaavassa K a y(ϕ) on y a. Nyt voi olla y = a, vaikkakaan y ei esiinny kaavassa ϕ, mutta eipä silloin esiinny a:kaan, joten on järkevää sopia erikseen, että aina K w w(ϕ) = ϕ onpa w mikä muuttuja tahansa, jolloin määritelmä (1) on hyvä myös silloin, kun y = a. Määritelmä (1) ei toimi tietenkään siinä tapauksessa, että a on vakio, mutta kun sovitaan erikseen, että K v w(ϕ) = ϕ kaikille vakioille v ja muuttujille w, niin määritelmä (1) toimii ja tuottaa ilmeisesti toivotunlaisen tuloksen kaikissa tapauksissa. 2.3 b) Tämä on selvää, jos a on vakio, joten voidaan olettaa, että a on muuttuja. Jos a = y, niin a ei esiinny lainkaan kaavassa ϕ, joten erityisesti sen suhteen ei kvantifioida ϕ:ssä. a)-kohdan määritelmän mukaan tässä tapauksessa a = y on ϕ x (a) = S x a(ϕ), ja sijoituksen perusmääritelmän mukaan on selvää, että kaavassa S x a(ϕ) ei myöskään kvantifioida a:n suhteen. Tämä seuraa myös logiikan luentomonisteen lemmasta Voidaan siis olettaa, että a y. Tällöin tehtävän 2.1 c) nojalla z ei esiinny vapaana kaavassa K a y(ϕ), jolloin se ei oletuksen z a ja logiikan luentomonisteen lemman 3.23 perusteella esiinny vapaana myöskään kaavassa ϕ x (a) = S x a(k a y(ϕ)). 2.3 c) Tämä väite seuraa suoraan a)-kohdan määritelmästä ja logiikan luentomonisteen lemmasta d) Tämä seuraa a)-kohdan määritelmästä ja tehtävästä 2.1 c). 2.3 e) Jos y a,x, niin määritelmien mukaan saadaan ϕ x (a) = S x a(k a z ( yψ)) i) = S x a( yk a z (ψ)) ii) = ys x a(k a z (ψ)) = yψ x (a), missä yhtälö i) tulee sijoituksen K a z määritelmästä ja ehdosta y a sekä yhtälö ii) tulee sijoituksen S x a määritelmästä ja ehdosta y x. 15

16 Jos y = x a, niin vastaavin perustein saadaan ϕ x (a) = S x a(k a z ( yψ)) = S x a( yk a z (ψ)) = yk a z (ψ). 2.4 Jos a on vakio, niin tehtävän 2.3 määritelmän mukaan ϕ x (a) = S x v(ϕ) = ϕ x (v), jolloin väite tulee muotoon L S x v(ϕ) S x v(ϕ). Tämä pätee triviaalisti, joten voidaan olettaa, että a on muuttuja. Täydellisyyslauseen nojalla riittää osoittaa, että kaava A = ϕ x (a) ϕ x (a) on validi, eli t(a) = 1 kaikille totuusarvofunktioille t. Kiinnitetään mielivaltainen t. Predikaattilogiikan perusfaktojen nojalla riittää osoittaa, että t(s a v(a)) = 1 kaikille vakioille v. (1) Kiinnitetään tätä varten mielivaltainen vakio v. Tehtävän 2.3 määritelmän mukaan väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että eli että t(s a v(s x a(k a y(ϕ)) S x a(k ã y(ϕ)))) = 1 t(s a v(s x a(k a y(ϕ))) S a v(s x a(k ã y(ϕ)))) = 1. (2) Tehtävän 2.1 b) nojalla kaavoissa Ky(ϕ) a ja Ky ã (ϕ) ei kvantifioida a:n suhteen, jolloin sijoitus Sa x ei voi sitoa kummassakaan kaavassa. Tällöin logiikan luentomonisteen lemman 3.36 nojalla väite (2) saadaan muotoon eli t(s a v(s x v(k a y(ϕ))) S a v(s x v(k ã y(ϕ)))) = 1 t(s a v(s x v(k a y(ϕ) K ã y(ϕ)))) = 1. (3) Predikaattilogiikan peruspelisääntöjen mukaan väite (3) pätee, jos kaava K a y(ϕ) K ã y(ϕ) (4) on validi. Tehtävän 2.2 nojalla kaava (6) on looginen teoreema, joten predikaattikielen eheyslauseen nojalla se on myös validi. 2.5 a) Olkoon v mielivaltainen vakio ja y muuttuja, joka ei esiinny kaavassa 16

17 ϕ. Tällöin i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) ϕ on looginen teoreema Ky(ϕ) a on looginen teoreema Ky(ϕ) a on validi Sv(K x y(ϕ)) a on validi Sv(S a v(k x y(ϕ))) a on validi Sv(S a a(k x y(ϕ))) a on validi Sv(ϕ a x (a)) on validi ϕ x (a) on validi ϕ x (a) on looginen teoreema. Tässä ekvivalenssit ii) ja viii) seuraavat eheys- ja täydellisyyslauseista, ekvivalenssi i) seuraa loogisesta teoreemasta L K a y(ϕ) ϕ (tehtävä 2.2), ekvivalenssi iii) seuraa totuusarvofunktion käytöksestä, ks. esim. logiikan luentomonisteen harj.teht , huomaa, että tässä v on mielivaltainen vakio tätä tietoa tarvitaan ekvivalenssin suunnassa, ekvivalenssi iv) seuraa siitä, että S a v(s x v(k a y(ϕ))) = S x v(k a y(ϕ)), koska a ei esiinny vapaana kaavassa S x v(k a y(ϕ)) tässä tarvitaan oletusta a ei esiinny vapaana kaavassa ϕ ja tehtävää 2.3, ekvivalenssi v) seuraa logiikan luentomonisteen lauseesta 3.36, koska kaavassa K a y(ϕ) ei kvantifioida a:n suhteen (vrt. tehtävän 2.4 ratkaisu), ekvivalenssi vi) seuraa sijoituksen ϕ x (a) määritelmästä ja ekvivalenssi vii) seuraa taas totuusarvofunktion käytöksestä, tässä v:n mielivaltaisuutta tarvitaan ekvivalenssin suunnassa. b) Merkitään tässä symbolilla (JAx) kaavaa (JAx1)... (JAxn) sopivalle n, jolloin (JAx) on suljettu. Olkoon t mielivaltainen totuusarvofunktio, jolle 17

18 pätee t(jax)) = 1. Nyt saadaan kuten a)-kohdassa i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) ϕ on teoreema (JAx) ϕ on looginen teoreema (JAx) Ky(ϕ) a on looginen teoreema (JAx) Ky(ϕ) a on validi (JAx) Sv(K x y(ϕ)) a on validi (JAx) Sv(S a v(k x y(ϕ))) a on validi (JAx) Sv(S a a(k x y(ϕ))) a on validi (JAx) Sv(ϕ a x (a)) on validi (JAx) ϕ x (a) on validi (JAx) ϕ x (a) on looginen teoreema ϕ x (a) on teoreema. Perustelut eri ekvivalensseille ovat samat kuin a)-kohdassa. Ekvivaensseissa iii) ja vii) täytyy kuitenkin käyttää hyväksi sitä, että (JAx) on suljettu, jolloin esimerkiksi S a v((jax) ϕ x (a)) = S a v((jax)) S a v(ϕ x (a)) = (JAx) S a v(ϕ x (a)). c) Kun v on vakio, niin määritelmän mukaan ϕ x (v) = S x v(ϕ). Väite seuraa eheys- ja täydellisyyslauseesta, sillä ϕ x (v) on validi jos ja vain jos S x v(ϕ) on validi kaikille v. d) Tämä menee vastaavasti käyttäen hyväksi sitä, että kaava (JAx) on suljettu, vrt, b)-kohdan ratkaisu. 2.6 Tämä seuraa helposti tehtävästä 2.2, mutta tehdään nyt vaihteeksi syntaktinen päättely. Predikaattikielten yleisten ominaisuuksien (vrt. esim. logiikan monisteen lauseen 3.18 todistus) nojalla riittää osoittaa, että L x[x a x b] y[y a y b] ja L y[y a y b] x[x a x b]. Nämä ovat analogisia, joten riittää todistaa vaikkapa ensimmäinen näistä. Päättelylauseen nojalla riittää päätellä Tämä käy helposti: x[x a x b] y[y a y b]. A 1 = x[x a x b] A 2 = A 1 Sy(x x a x b) A 3 = y a y b A 4 = ya 3 A 5 = y[y a y b] oletus (Ax4), sijoitus ei sido A 1 + A 2 ja modus ponens, x a,b kvantifiointi, y ei esiinny vapaana oletuksessa, koska y a,b A 3 + A 4 ja modus ponens. 18

19 2.7 Tässähän ei ole muuta kuin kirjoitusvaiva. Valitaan w niin, että se ei esiinny tässä aiemmin. {x ϕ z (x)} a = y[y {x ϕ z (x)} y a] = y[ w[w y w {x ϕ z (x)}] y a] = y[ w[w y ϕ z (w)] y a]. 2.8 Olkoon tässä a ylimääräinen muuttuja. {x ϕ z (x)} {x ψ y (x)} = w[w {x ϕ z (x)} w {x ψ y (x)}] = w[ a[a w a {x ϕ z (x)}] w {x ψ y (x)}] = w[ a[a w ϕ z (a)] ψ y (w)]. Tyhmiä tehtäviähän nämä kaksi viimeistä ovat, mutta niiden tarkoitus on harjoitella näitä merkintöjä (joita ei opi kuin itse kirjoittamalla) ja samalla huomata, kuinka vaikeasti luettavia nämä sisänsä yksinkertaiset kaavat ovat, kun ne auki kirjoittaa. 19

20 3.1 Määritelmän 5.7 nojalla väite {x ϕ z (x)} {y ϕ z (y)} tulee muotoon a[a {x ϕ z (x)} a {y ϕ z (y)}], (1) missä a on muuttuja, joka ei esiinny näissä luokissa. Merkinnän 5.1 mukaan väite (1) on a[ϕ z (a) ϕ z (a)]. (2) Väite (2) ei kuitenkaan ole aivan niin triviaali kuin näyttää, koska kaava ϕ z (a) ei ole aivan yksikäsitteinen. Väite (2) seuraa kuitenkin tehtävästä Koska A on aito luokka, niin M(A) eli Toisaalta lauseen 5.8 mukaan x[x A]. (1) A {A} x[x A x {A}]. (2) Koska L [x A x {A}] x A, niin teoreemasta (2) saadaan helposti A {A} x[x A]. (3) Jos nyt olisi niin teoreeman (3) nojalla saataisiin A {A}, (AT) x[x A]. (4) Teoreemat (1) ja (4) ovat ristiriidassa keskenään mikäli aksioomajärjestelmä on ristiriidaton, joten antiteesi (AT) on väärä. 3.3 i) Merkinnän 6.1 mukaisesti väite tulee muotoon c {x x a x b} c a c b. 5.1:n mukaan merkintä c {x ϕ z (x)} tarkoittaa kaavaa ϕ z (c). Nyt herää kysymys siitä, mikä on merkinnässä c {x x a x b} käytetty kaava ϕ. Koska x ei 5.1:n mukaan esiinny ϕ:ssä, niin ilmeisesti ainoa mahdollisuus ϕ:lle on ϕ = z a z b. Tällöin ϕ z (c) = c a c b, ja väite saadaan muotoon joka pätee triviaalisti. c a c b c a c b, ii) Koska merkinnän 6.2 mukaan on {a} = {a,a}, niin väite tulee muotoon c {a,a} c a. i)-kohdan nojalla tämä seuraa, jos osoitetaan, että c a c a c a. 20

21 Tämä on triviaalia. Kohtia iii) ja iv) varten olkoon t sopiva totuusarvofunktio. iii) Määritelmän 5.7 mukaan merkintä {a} {b} tarkoittaa kaavaa x[x {a} x {b}], missä x a,b. Silloin väite seuraa, jos osoitetaan, että t( x[x {a} x {b}] a b) = 1 ja (1) t(a b x[x {a} x {b}]) = 1. (2) Suljetaan väitteiden (1) ja (2) kaavat, jolloin voidaan olettaa, että a ja b ovat vakioita. Silloin väitteen (1) todistamiseksi voidaan olettaa, että t( x[x {a} x {b}]) = 1, (3) riittää osoittaa, että Oletuksen (3) nojalla saadaan t(a b) = 1. (4) t(a {a} a {b}) = 1. (5) Lauseen 4.3 1) ja tämän tehtävän ii)-kohdan nojalla t(a {a}) = 1, jolloin ehdon (5) nojalla myös t(a {b}) = 1. Silloin uudestaan ii)-kohtaa soveltaen väite (4) seuraa. Näin väite (1) on todistettu. Väitteen (2) todistamiseksi oletetaan, että ehto (4) pätee; pitää todistaa ehto (3). Olkoon v mielivaltainen vakio. Väite (3) seuraa, jos osoitetaan, että t(v {a} v {b}) = 1. (6) ii)-kohdan nojalla väite (6) seuraa, jos osoitetaan, että t(v a v b) = 1. (7) Väite (7) seuraa oletuksesta (4) ja siitä, että yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio lauseen 4.3 mukaisesti. iv) Tämä väite seuraa, jos osoitetaan, että t({a} {b,c} a b a c) = 1 ja (8) t(a b a c {a} {b,c}) = 1. (9) Voidaan olettaa, että a, b ja c ovat vakioita. Väitteen (8) todistamiseksi oletetaan, että t({a} {b,c}) = 1, (10) riittää osoittaa, että t(a b a c) = 1. (11) 21

22 Oletuksen (10) ja määritelmän 5.7 nojalla Tällöin t( x[x {a} x {b,c}]) = 1. t(b {a} b {b,c}) = 1. (12) Koska t(b b) = 1, niin i)-kohdan nojalla t(b {b,c}) = 1, ja silloin ehdon (12) nojalla t(b {a}) = 1. Tämän ja ii)-kohdan nojalla t(b a) = 1, jolloin lauseen 4.3 mukaan myös t(a b) = 1. (13) Vastaavasti nähdään, että t(a c) = 1. (14) Väite (11) seuraa ehdoista (13) ja (14). Näin väite (8) on todistettu. Väitteen (9) todistamiseksi oletetaan, että ehto (11) pätee; pitää todistaa ehto (10) eli että t( x[x {a} x {b,c}]) = 1. (15) Olkoon v mielivaltainen vakio. Väite (15) seuraa, jos osoitetaan, että t(v {a} v {b,c}) = 1. (16) i)- ja ii)-kohtien nojalla väite (16) seuraa, jos osoitetaan, että t(v a [v b v c]) = 1. (17) Yhtenevyyden ekvivalenssirelaatio-ominaisuuden eli lauseen 4.3 nojalla oletuksesta (11) saadaan ehto t(b c) = 1, jonka nojalla väite (17) saadaan muotoon t(v a v b) = 1. Tämä seuraa edelleen yhtenevyyden ekvivalenssirelaatio-ominaisuutta käyttäen, sillä oletuksen (11) nojalla t(a b) = Tässä taas oletetaan, että t on sopiva totuusarvofunktio, jolta tällä kertaa vaaditaan erityisesti se, että t((jax2)) = 1. Lisäksi oletetaan, että a ja b ovat joukkoja eli ne ovat termejä, joille pätee t(m(a)) = 1 ja (1) t(m(b)) = 1. (2) Koska merkinnän 6.2 mukaan {a} = {a, a}, niin riittää todistaa jälkimmäinen väite, mihin riittää osoittaa, että t(m({a,b})) = 1. (3) 22

23 Jos a ja b ovat muuttujia tai vakioita, niin väite (3) seuraa suoraan aksioomasta (JAx2). Muussa tapauksessa ainakin toinen niistä on luokka. Väite (3) tulee määritelmän 5.13 mukaan muotoon t( x[x {a,b}]) = 1. (4) Korvaamalla mahdolliset vapaat muuttujat mielivaltaisilla vakioilla voidaan olettaa, että kaikki esiintyvät kaavat ovat suljettuja. Tällöin väite (4) seuraa, jos löydetään vakio v siten, että Ehtojen (1) ja (2) sekä määritelmän 5.7 mukaan t(v {a,b}) = 1. (5) t( x[x a]) = 1 t( x[x b]) = 1. ja Tällöin on olemassa vakiot u ja w siten, että t(u a) = 1 ja (6) t(w b) = 1. (7) Koska u ja w ovat vakioita, niin aksiooman (JAx2) nojalla t(m({u,w})) = 1 eli t( x[x {u,w}]) = 1, jolloin jollekin vakiolle v pätee t(v {u,w}) = 1. (8) Riittää osoittaa, että ehdon (8) vakio v toimii ehdossa (5). Ehdon (8) nojalla väite (5) seuraa, jos osoitetaan, että t({u,w} {a,b}) = 1. (9) Ehto (9) seuraa, jos osoitetaan, että mielivaltaiselle vakiolle c pätee t(c {u,v} c {a,b}) = 1. (10) Määritelmän 6.1 perusteella väite (10) tulee muotoon t([c u c w] [c a c b]) = 1. (11) Ehtojen (6) ja (7) nojalla t(c a c u) = 1 t(c b c w) = 1, ja jolloin ilmeisesti väite (11) seuraa. 3.5 Olkoon t sopiva totuusarvofunktio. Voidaan ilmeisesti taas olettaa, että 23

24 kaikki kaavat ovat suljettuja. i) Riittää osoittaa, että t({a,b} {b,a}) = 1 eli t( x[x {a,b} x {b,a}]) = 1 eli t( x[[x a x b] [x b x a]]) = 1. Tämä on selvää, koska kaava [x a x b] [x b x a] on looginen teoreema ja siten myös x[[x a x b] [x b x a]] on looginen teoreema. ii) Oletetaan, että Riittää osoittaa, että t(b d) = 1. (1) t({a,b} {a,d}) = 1. (2) Väite (2) seuraa, jos osoitetaan, että mielivaltaiselle vakiolle v pätee Oletuksen (1) nojalla t([v a v b] [v a v d]) = 1. (3) t([v b] [v d]) = 1. Tällöin väite (3) seuraa siitä, että predikaattikielissä pätee propositiokielestä periytyvä teoreema [B C] [A B A D]. iii) Tässä oletetaan, että ehto (2) pätee. Väitteenä on ehto (1). Tehdään antiteesi: t(b d) = 0. (AT) Koska b on oletuksen mukaan joukko, niin on olemassa vakio v siten, että t(v b) = 1. (4) Tällöin antiteesin (AT) ja yhtenevyyden transitiivisuusominaisuuden nojalla on Ehdon (4) nojalla saadaan ehto t(v d) = 0. (5) t(v a v b) = 1. (6) Oletuksesta (2) saadaan ehto (3) tälle kyseiselle vakiolle v, joten sen ja ehdon (6) nojalla t(v a v d) = 1. (7) Ehtojen (7) ja (5) nojalla t(v a) = 1, jolloin ehdon (4) ja lauseen 5.9 perusteella t(a b) = 1. (8) 24

25 Oletuksesta (2) saadaan ehto t( x[[x a x d] [x a x b]]) = 1, joka ehdon (8) ja lauseen 5.9 nojalla voidaan kirjoittaa muotoon t( x[[x a x d] x a]) = 1. (9) Koska d on joukko, niin on olemassa vakio u siten, että t(u d) = 1. (10) Ehdon (9) nojalla tälle vakiolle u pätee t(u a) = 1. (11) Ehtojen (8), (10) ja (11) nojalla saadaan ehto t(u v) = 1, jolloin ehdon (5) nojalla t(u d) = 0. Tämä on vastoin ehtoa (10). Syntynyt ristiriita todistaa väitteen. iv) Oletetaan, että t({a,b} {c,d}) = 1. (12) Riittää osoittaa, että t(c {a,b}) = 1. (13) Koska c on joukko, niin on olemassa vakio v siten, että t(v c) = 1. (14) Ehdon (14) nojalla joten määritelmän mukaan t(v c v d) = 1, t(v {c,d}) = 1. (15) Oletuksen (12) nojalla jolloin ehdon (15) vakiolle v on pätee t( x[x {a,b} x {c,d}]) = 1, t([v {a,b} u {c,d}]) = 1, ja siten ehdon (15) nojalla Tämä merkitsee sitä, että t(v {a,b}) = 1. t(v a v b) = 1, 25

26 jolloin ehdon (14) ja lauseen 5.9 nojalla ja siten väite (13) seuraa. t(c a c b) = 1, v) Tämä palautuu i) -kohdan avulla helposti kohtaan iv). vi) Tässä oletetaan, että t(a c b d) = 1. Riittää osoittaa, että t({a,b} {b,d}) = 1. Yhtenevyyden transitiivisuuden nojalla todistuksen idea on seuraavassa ketjussa: {a,b} vii) {a,d} viii) {d,a} ix) {d,c} x) {c,d}, missä yhtenevyydet viii) ja x) seuraavat kohdasta i) sekä yhtenevyydet vii) ja ix) kohdasta ii) ja oletuksesta t(a c b d) = Olkoon t sopiva totuusarvofunktio. Riittää osoittaa, että t( x y[[x {a} y {a,b}] a,b {x,y}]) = 1. (1) Kuten ohjeessa todetaan, tässä on välttämättä x a ja y a,b, mutta voi olla x = b. Oletetaan ensin, että x b. Tällöin väitteessä (1) voidaan olettaa, että a ja b ovat vakioita ja riittää osoittaa, että t([v {a} u {a,b}] a,b {u,v}) = 1 kaikille vakioille u,v. (2) Koska määritelmän mukaan a,b = {{a}, {a,b}}, niin väite (2) tulee muotoon t([v {a} u {a,b}] {{a}, {a,b}} {u,v}) = 1 kaikille vakioille u,v. Tämä seuraa tehtävästä 3.5 vi). Jos x = b, niin väite (1) tulee muotoon t( x y[[x {a} y {a,x}] a,x {x,y}]) = 1. (3) Koska x,y a, niin voidaan olettaa, että väitteessä (3) a on vakio. Väite (3) seuraa, jos t([v {a} u {a,v}] a,v {u,v}) = 1 kaikille vakioille u,v. (4) Koska määritelmän mukaan a,v = {{a}, {a,v}}, niin väite (4) tulee muotoon t([v {a} u {a,v}] {{a}, {a,v}} {u,v}) = 1 kaikille vakioille u,v. Tämäkin seuraa tehtävästä 3.5 vi). b) Olkoot u,v kuten ohjeessa eli sellaisia vakioita, joille u v ei ole teoreema. Silloin on olemassa jokin totuusarvofunktio t, jolle t(u v) = 0. (5) 26

27 Riittää osoittaa, että t( x y[ u,v {x,y} [x {u} y {u,v}]]) = 0 (6) tälle samaiselle t kun x y. Ehdon (5) ja tehtävän 3.5 nojalla on t({u,u} {u,v}) = 0, jolloin määritelmän 6.2 nojalla t({u} {u,v}) = 0. (7) Väite (6) seuraa, jos osoitetaan, että joillekin vakioille c ja d t( u,v {c,d} [c {u} d {u,v}]) = 0. (8) Aksiooman (JAx2) nojalla {u} ja {u, v} ovat joukkoja, joten on olemassa vakiot c ja d siten, että a)-kohdan nojalla jolloin tehtävän 3.5 i) nojalla myös t(d {u}) = 1 ja t(c {u,v}) = 1. (9) t( u,v {d,c}) = 1, t( u,v {c,d}) = 1. Silloin väitteen (8) todistamiseksi riittää osoittaa, että Tämä väite seuraa, jos osoitetaan, että t(c {u} d {u,v}) = 0. t(c {u}) = 0. Tämä puolestaan seuraa ehdoista (9) ja (7). c) b)-kohdan ei-teoreema on teoreema, jos a = b oletetaan merkintöjen yksinkertaistamiseksi, että a ja b ovat vakioita. Pitää siis osoittaa, että sopivalle totuusarvofunktiolle t pätee t( x y[ a,a {x,y} [x {a} y {a,a}]]) = 1. Tätä varten olkoot u ja v mielivaltaisia vakioita. Riittää osoittaa, että Määritelmien 6.10 ja 6.2 mukaan t( a,a {u,v} [u {a} v {a}]) = 1. (10) a,a = {{a}, {a,a}} = {{a}, {a}} = {{a}} ja {a,a} = {a} joten väite (10) tulee muotoon t({{a}} {u,v} [u {a} v {a}]) = 1. (11) 27

28 Väitteen (11) todistamiseksi oletetaan, että Riittää osoittaa, että Koska t(u u) = 1, niin tehtävän 3.3 i) nojalla t({{a}} {u,v}) = 1. (12) t(u {a} v {a}) = 1. (13) t(u {u,v}) = 1. (14) Yhtenevyyden määritelmän sekä ehtojen (12) ja (14) nojalla Ehdon (15) ja tehtävän 3.3 ii) nojalla Vastaavasti nähdään, että Väite (13) seuraa ehdoista (16) ja (17). t(u {{a}}) = 1. (15) t(u {a}) = 1. (16) t(v {a}) = 1. (17) 3.7 Olkoon t sopiva totuusarvofunktio. Riittää osoittaa, että t({a 1,...,a n } {a 1 }) = 1. (1) Voidaan olettaa, että väitteen (1) kaavassa ei ole vapaita muuttujia. Oletuksen nojalla t(a j a 1 ) = 1 kaikille j = 1,...,n. (2) Todistetaan väite (1) osoittamalla induktiivisesti, että t({a 1,...,a k } {a 1 }) = 1 kaikille k = 1,...,n. (3) Kun k = 1, induktioväite (3) pätee. Olkoon sitten k 2 ja oletetaan, että väite (3) pätee (k 1):lle. Todistetaan se k:lle. Määritelmän mukaan väite (3) tulee muotoon t({x x {a 1,...,a k 1 } x a n } {a 1 }) = 1 eli t( y[y {x x {a 1,...,a k 1 } x a n } y {a 1 }) = 1 t( y[[y {a 1,...,a k 1 } y a n ] y {a 1 }]) = 1. (4) Induktio-oletuksen nojalla t(y {a 1,...,a k 1 } y {a 1 }) = 1. (5) Koska a 1 on oletuksen mukaan joukko, niin on olemassa vakio v siten, että Tällöin tehtävän 3.5 vi) nojalla t(a 1 v) = 1. (6) t({a 1 } {v}) = 1, eli 28

29 jolloin t( z[z {a 1 } z {v}]) = 1. (7) Ehtojen (7) ja (5) nojalla väite (4) seuraa, jos osoitetaan, että t( y[[y {v} y a n ] y {v}]) = 1. (8) Väite (8) seuraa, jos osoitetaan, että jokaiselle vakiolle u pätee t([u {v} u a n ] u {v}) = 1. (9) Ehtojen (2) ja (6) nojalla väite (9) seuraa, jos osoitetaan, että t([u {v} u v] u {v}) = 1. (10) Koska u ja v ovat muuttujia, niin tehtävän 3.3 ii) nojalla Tällöin väite (10) on ilmeinen. 3.8 Osoitetaan, että t(u {v} u v) = 1. {a} a. Olkoon t sopiva totuusarvofunktio. Riittää osoittaa, että t( {a} a) = 1. (1) Voidaan olettaa, että väitteen (1) kaavassa ei ole vapaita muuttujia. Väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että mielivaltaiselle vakiolle v pätee t(v {a} v a) = 1. (2) Yhdisteen määritelmän mukaan väite (2) tulee muotoon t(v {x y[x y y {a}]} v a) = 1 eli t( y[v y y {a}] v a) = 1. (3) Väite (3) seuraa, jos on olemassa vakio u siten, että t([v u u {a}] v a) = 1. (4) Tässä on nyt taas kaava u {a}, johon ei voi soveltaa tehtävää 3.3, koska a on (vain) joukko, ei siis muuttuja tai vakio. Todistetaan tässä välissä, että myös joukolle a pätee u {a} u a. (5) Riittää osoittaa, että Koska a on joukko, niin olemassa vakio w siten, että Tällöin tehtävän 3.5 vi) nojalla t(u {a} u a) = 1. (6) t(a w) = 1. (7) t({a} {w}) = 1, 29

30 joten ja väite (6) saadaan muotoon ja tämä seuraa tehtävästä 3.3 ii). t(u {a} u {w}) = 1, t(u {w} u w) = 1, Näin väite (5) on todistettu, ja sen nojalla väite (4) seuraa, jos osoitetaan, että on olemassa vakio u siten, että t([v u u a] v a) = 1. (8) Ehdon (7) ja kaavan w a määritelmän nojalla ehdossa (8) toimiva vakio on u := w. 30

31 4.1 Tämä seuraa suoraan tehtävästä 4.4 tai aksiooman (JAx5) nojalla myös tehtävästä 4.8 b). 4.2 Olkoon t sopiva totuusarvofunktio. Riittää osoittaa, että t(a (B C) (A B) (A C)) = 1 ja (1) t(a B A C B C) = 1. (2) Väite (1) voidaan kirjoittaa muotoon t( x[x A (B C) x (A B) (A C)]) = 1, joka väite seuraa, jos osoitetaan, että mielivaltaiselle vakiolle v pätee t(v A (B C) v (A B) (A C)) = 1. (3) Kahden luokan yhdisteen ja leikkauksen määritelmän mukaan väite (3) tulee muotoon t([v A [v B w C]] [[v A v B] [v A v C]]) = 1. (4) Väite (4) seuraa propositiokielen teoreemasta [p 1 [p 2 p 3 ]] [[p 1 p 2 ] [p 1 p 2 ]], jonka näkee helposti teoreemaksi vaikkapa totuustaulusta. Väite (2) voidaan kirjoittaa muotoon t( x[x A x B] y[[y A y C] [y B y C]]) = 1. (5) Voidaan olettaa, että väitteen (5) kaava on suljettu. Voidaan olettaa myös, että ja riittää osoittaa, että t( x[x A x B]) = 1, (6) t( y[[y A y C] [y B y C]]) = 1. (7) Väite (7) seuraa, jos osoitetaan, että mielivaltaiselle vakiolle v pätee Ehdon (6) nojalla pätee t([v A v C] [v B v C]) = 1. (8) t(v A v B) = 1, jolloin väite (8) seuraa propositiokielen teoreemasta [p 1 p 2 ] [p 1 p 3 ] [p 2 p 3 ], jonka näkee helposti teoreemaksi vaikkapa totuustaulusta. 4.3 Lauseessa 6.55 osoitetaan, että a x[x a], (1) 31

32 missä a ja x ovat eri muuttujia. Osoitetaan, että ehto (1) pätee myös kun oletetaan (vain), että a on joukko ja x ei esiinny luokassa a. Predikaattilogiikan yleisten pelisääntöjen nojalla väite (1) pätee myös kun muuttuja a korvataan mielivaltaisella vakiolla v. Oletetaan, että a on (vain) joukko. Väitteen (1) todistamiseksi olkoon t sopiva totuusarvofunktio. Riittää osoittaa, että t(a x[x a]) = 1. (2) Voidaan olettaa, että väitteen (2) kaava on suljettu. Koska a on joukko, on olemassa vakio v siten, että t(a v) = 1. (3) Olkoon y jokin muuttuja, joka ei esiinny kaavassa (1) ja määritellään kaava ϕ asettamalla ϕ = y x[x y]. Tällöin ϕ y (a) = a x[x a] ja ϕ y (v) = v x[x v]. (4) Ehdon (3), lauseen 5.11 sekä ehdon (4) nojalla t([a x[x a]] [v x[x v]) = 1. (5) Koska ehto (1) pätee yllä sanotun nojalla vakiolle v, niin Väite (2) seuraa ehdoista (5) ja (6). Tämän tehtävän varsinainen väite t( x[x v]) = 1. (6) x[x / a] a (7) voidaan propositiokielen teoreeman p 1 p 1 ja ekvivalenssin sijoitussäännön nojalla kirjoittaa muotoon x [x a] [a ]. (8) Propositiokielen teoreeman [p 1 p 2 ] [ p 1 p 2 ] nojalla väite (8) saadaan edelleen muotoon x [x a] [a ], ja tämä tulee symbolin määritelmän ja teoreeman p 1 p 1 avulla edelleen muotoon x[x a] a. Tämä on ehto (1), joka pätee siis kaikille joukoille a. Näin tehtävän väite on todistettu. Väite x[x / A] A 32

33 pätee myös kun A on yleensä vain luokka, jossa x ei esiinny. Tämän näkee seuraavasti. Olkoon t sopiva totuusarvofunktio. Riittää osoittaa, että t( x[x / A] A ) = 1. (9) Voidaan olettaa, että väitteen (9) kaava on suljettu. Riittää osoittaa, että jos t( x[x / A]) = 1, niin t(a ) = 1 ja (10) jos t(a ) = 1, niin t( x[x / A]) = 1. (11) Väite (11) saadaan heti, sillä jos t(a ) = 1, niin lauseen 6.53 nojalla t(m(a)) = 1, ja silloin väite t( x[x / A]) = 1 seuraa tehtävän alkuosasta. Riittää siis todistaa väite (10). Voidaan olettaa, että Riittää osoittaa, että t( x[x / A]) = 1. (12) t(a ) = 1. (13) Väite (13) seuraa, jos osoitetaan, että mielivaltaiselle vakiolle v pätee v A v = 1. (14) Lauseen 6.54 nojalla t(v ) = 0, joten väite (14) seuraa, jos osoitetaan, että t(v A) = 0. (15) Väite (15) seuraa ehdosta (12) ja siitä, että x ei esiinny luokassa A. 4.4 Lauseen 6.5 nojalla voidaan olettaa, että n 3. Rekursiomääritelmän mukaan {a 1,...,a n } = {x x {a 1,...,a n 1 } x a n }. (1) Osoitetaan ensin, että {a 1,...,a n } {a 1,...,a n 1 } {a n }. (2) Olkoon t sopiva totuusarvofunktio. Voidaan olettaa, että väitteen (2) kaava on suljettu. Määritelmän (1) ja (kahden joukon) yhdisteen määritelmän eli merkinnän 6.21 nojalla väite (2) seuraa, jos osoitetaan, että mielivaltaiselle vakiolle v pätee t([v {a 1,...,a n 1 } v a n ] [v {a 1,...,a n 1 } v {a n }]) = 1. (3) Väite (3) seuraa, jos osoitetaan, että t(v a n v {a n }) = 1. (4) Väite (4) todistettiin tehtävän 3.8 ratkaisun yhteydessä kaavana (5). Näin väite (2) on todistettu. Varsinainen väite M({a 1,...,a n }) (5) saadaan nyt helposti, sillä ehdon (2) nojalla riittää osoittaa, että M({a 1,...,a n 1 } {a n }), 33

34 mikä seuraa induktiolla lauseesta 6.5. Osoitetaan sitten, että Tehtävän 4.3 ratkaisussa osoitettiin, että {a 1,...,a n }. (6) a x[x a] kaikille joukoille a ja muuttujille x, jotka eivät esiinny joukossa a. Tällöin väite (6) seuraa ehdosta (5), jos osoitetaan, että x[x {a 1,...,a n }] (6) jollekin muuttujalle 7, joka ei esiinny luokassa {a 1,...,a n }. Olkoon t sopiva totuusarvofunktio. Riittää osoittaa, että t( x[x {a 1,...,a n }]) = 1. (8) Voidaan olettaa, että väitteen (8) kaava on suljettu. Väite (8) seuraa, jos osoitetaan, että jollekin vakiolle v pätee t(v {a 1,...,a n }) = 1. (9) Koska a n on oletuksen mukaan joukko, niin on olemassa vakio v siten, että t(v a n ) = 1. Silloin määritelmän (1) nojalla ehto (9) toimii tälle v ja asia on selvä. 4.5 Todistetaan ensin väite A. Olkoon t sopiva totuusarvofunktio. Riittää osoittaa, että t( A) = 1. (1) Voidaan olettaa, että väitteen (1) kaava on suljettu. Väite (1) seuraa, jos osoitetaan, että jokaiselle vakiolle v pätee Lauseen 6.54 nojalla joten t(v v A) = 1. (2) t( [v ]) = 1, t(v ) = 0. Silloin väitteen (2) implikaatiokaavan etujäsenen totuusarvo on 0, ja koska kyseessä on suljettu kaava, niin koko kaavan totuusarvo on 1 eli väite (2) pätee. Näin tehtävän ensimmäinen väite on todistettu. Todistetaan sitten, että A A. Olkoon taas t sopiva totuusarvofunktio. Riittää osoittaa, että t(a A) = 1. (3) 34