Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Transkriptio

1 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a x b} a, b) = { x a x< b} ( ab = { x a < x b}, avoin väli,, suljettu väli,, (vasemmalta suljettu) puoliavoin väli,, (oikealta suljettu) puoliavoin väli. Näissä voi olla a=, tai b=, ellei toisin sovita. Vastaavalla tavalla kuin monotoniset jonot määritellään monotoniset funktiot: Funktio f : I on välillä I kasvava, jos f ( x1) f( x2), kun x1, x2 I, x1< x2, ja vähenevä, jos f ( x1) f( x2), kun x1, x2 I, x1< x2. Jos funktion arvojen välinen epäsuuruus on aito, kyseessä on aidosti kasvava tai vähenevä funktio. Yhteinen nimitys molemmille tapauksille on aidosti monotoninen funktio. Funktio f : I on jatkuva avoimella välillä I, jos se on jatkuva välin I jokaisessa pisteessä. Suljettuun tai puoliavoimeen väliin kuuluvassa päätepisteessä vaaditaan toispuoleinen raja-arvo ja funktion arvo samoiksi:

2 2 Funktio f : I on jatkuva suljetulla välillä I =, jos se on jatkuva välin I jokaisessa sisäpisteessä ja välin päätepisteissä toispuoleiset raja-arvot ovat = f ( a) tai f( b). Raja-arvojen ominaisuuksista seuraa, että peruslaskutoimituksilla saadaan jatkuvista funktioista lisää jatkuvia funktioita: Lause 1. Jos f ja g ovat avoimella välillä I jatkuvia funktioita, niin myös f + g, f g, fg ja f / govat sitä. Viimeisessä tapauksessa oletetaan, että g( x) välillä I. Jos f : I on avoimen välin I pisteessä x epäjatkuva, mutta raja-arvo lim f ( x ) on olemassa, niin kyseessä on poistuva epäjatkuvuus. Silloin x x funktio voidaan määritellä pisteessä x saamaan arvon lim f ( x ), jolloin x x funktiosta tulee jatkuva (jos muita epäjatkuvuuksia ei välillä I ole). Aikaisemmin mainitut hyppyepäjatkuvuudet, joissa vasemman ja oikeanpuoleiset raja-arvot ovat erisuuret, eivät ole poistuvia. Yhdistetyistä funktioista yhdistämällä saadut funktiot ovat edelleen jatkuvia: Lause 2. Jos f : I ja g: J ovat avoimilla väleillä I ja J jatkuvia ja f ( I) J, niin yhdistetty funktio g f : I on jatkuva. Tod.: Olkoon x välin I jokin piste ja x x. Silloin f:n jatkuvuuden nojalla f ( x ) f( x) ja g:n jatkuvuuden perusteella edelleen ( g f)( x) = g( f( x)) g( f( x )) = ( g f)( x )). Funktio f : I on alhaalta rajoitettu, jos on olemassa sellainen luku m, että f ( x) m, x I. Luku m on silloin f:n (eräs) alaraja. Vastaavasti määritellään käsitteet ylhäältä rajoitettu ja yläraja epäyhtälöllä f ( x) M, x I. Funktio f : I on välillä I rajoitettu, jos se on siellä alhaalta ja ylhäältä rajoitettu.

3 3 Jos alaraja saavutetaan jossakin välin I pisteessä x, niin kyseessä on minimi, ja x on funktion minimikohta. Vastaavasti määritellään maksimi ja maksimikohta. Minimi ja maksimi ovat funktion ääriarvoja. Lause 3. Suljetulla välillä I jatkuva funktio f : I on rajoitettu. Tod.: Sivuutetaan Lama:ssa. Todistetaan kurssilla Matemaattinen analyysi. Huomattakoon, että edellä on oleellista, että väli on suljettu. Esimerkiksi jatkuva funktio x 1/ x ei ole välillä (,1] rajoitettu. Reaalilukujoukko S on ylhäältä rajoitettu, jos x M, x Sjollakin M. Luku M on silloin joukon S yläraja. Vastaavasti määritellään alhaalta rajoitettu joukko ja sen alaraja. Joukko on rajoitettu, jos se on alhaalta ja ylhäältä rajoitettu. Luvun alussa määritellyt välit ovat rajoitettuja, paitsi tapauksissa, joissa a=, tai b=. Ylhäältä rajoitetun reaalilukujoukon S pienin yläraja eli supremum on sellainen luku, joka on S:n yläraja, ja jota suuremmat luvut eivät ole S:n ylärajoja. Vastaavasti määritellään alhaalta rajoitetun joukon suurin alaraja eli infimum. Pienimmälle ylärajalle käytetään merkintää sup(s) ja suurimmalle alarajalle inf(s). Reaalilukujen tärkeimpiä ominaisuuksia on seuraava aksiooma: Täydellisyysaksiooma Jokaisella epätyhjällä ylhäältä rajoitetulla reaalilukujoukolla on supremum. Seurauksena todetaan, että vastaavasti jokaisella epätyhjällä alhaalta rajoitetulla reaalilukujoukolla on infimum. Monesti näitä käsitteitä on kätevä käyttää seuraavan lauseen antamassa muodossa: Lause 4. Olkoon S epätyhjä ylhäältä rajoitettu reaalilukujoukko. Silloin luku s on joukon S supremum, jos ja vain jos x s, x Sja jokaista ε > vastaa sellainen x S, että x > s ε. Vastaavasti luku t on joukon S

4 4 infimum, jos ja vain jos x t, x S ja jokaista ε > vastaa sellainen x S, että x < t + ε. Esim.1 sup( ab, ) = b, inf( ab, ) = b. Esim. 2 inf { 1/ nn } =. Lause 5. Suljetulla rajoitetulla välillä I jatkuva funktio f : I saa tällä välillä maksiminsa ja miniminsä. Tod.: Sivuutetaan Lama:ssa. Todistetaan kurssilla Reaalianalyysi. Jatkuva funktio saa kaikki arvot kahden arvonsa välistä: Lause 6. (Välissä olevan arvon lause) Olkoon f : I suljetulla välillä [ ab, ] jatkuva funktio, f ( a) f( b) ja μ arvojen f ( a) ja f( b ) välissä oleva luku. Silloin välillä ( ab, ) on olemassa sellainen muuttujan c arvo, että f () c = μ. Tod.: Luennolla, tai Trench s. 64, Fitzpatrick s. 62. Tätä lausetta käytetään usein jatkuvan funktion nollakohdan olemassaolon osoittamiseen: Jos f ( a ) < ja f ( b ) > ja f on välillä [ ab, ] jatkuva, niin silloin välin [ ab, ] sisällä on (ainakin yksi) piste c, jossa f ( c ) =. Jatkossa käytämme lyhennettyjä merkintöjä toispuolisille raja-arvoille: f ( p + ) = lim f( x), f ( p ) = lim f ( x ). x p+ x p

5 5 Lause 7. Olkoon f : I avoimella välillä I monotoninen rajoitettu inf f ( x) a x b β = sup f ( x) a< x< b. Silloin: a) Jos f on kasvava, niin f ( a+ ) = α, f ( b ) = β. b) Jos f on kasvava, niin sisäpisteessä x, a< x< b, on f ( x ) f( x) f( x+ ). Vähenevän funktion tapauksessa vakioiden α ja β rooli vaihtuu ja epäyhtälöt kohdassa b vaihtavat suuntaa. funktio. Merkitään α = { < < } ja { } Tod.: a) Osoitetaan ensin, että f ( a+ ) = α. Olkoon ε >. Infimumominaisuuden takia on olemassa x ( ab, ), jolle α < f ( x) < α+ ε. Silloin monotonisuuden nojalla α < f ( x) f( x) < α+ ε kaikilla a< x x eli f( x) α < ε, kun a< x< a+ δ, missä δ : = x a >. Siis lim f ( x) = α. x a+ Vastaavalla päättelyllä ja supremum-ominaisuuteen nojaamalla saadaan f ( b ) = β. b) Kohdan a nojalla saadaan f ( x ) sup f( x) a x x f ( x + ) = inf f ( x) x < x< b. = { < < } ja { } Siis monotonisuuden takia f ( x ) = lim f( x) f( x ) lim f( x) = f( x + ). x x x x x< x x> x Vähenevän funktion tapaus menee epäyhtälöitä vastaavasti kääntelemällä. Monotonisen jatkuvan funktion f : I, I =, arvojoukko f ( ) on väli f ( a), f( b) tai f( b), f( a) sen mukaan onko f kasvava vai vähenevä. Tämä seuraa monotonisuudesta ja välissä olevan arvon lauseesta.

6 6 Lause 8. Olkoon f : I välillä I = aidosti kasvava jatkuva funktio ja c: = f( a), d: = f( b). Silloin funktiolla f : I cd on käänteisfunktio g : cd, ja funktio g on määrittelyvälillään jatkuva ja aidosti kasvava. Tod.: Jos y ( c, d) x ( ab, ) y, niin lauseen 6 nojalla on olemassa (ainakin yksi) piste, jolle = f( x). Aidon monotonisuuden takia piste x on ainoa tällainen piste. Siis f : ab cd on bijektio, joten sillä on käänteisfunktio g: c, d a, b. Jos y 1< y 2 ovat välin cd pisteitä, niin on olemassa sellaiset pisteet x1, x2 a, b, että y 1 = f( x 1 ), y 2 = f( x 2 ). Jos olisi x1> x2, niin f :n aidon monotonisuuden takia olisi y1= f( x1) > f( x2) = y2, mikä on vastoin oletusta. Siis g( y1) = x1< x2 = g( y2), joten g on aidosti kasvava. y c d, löytyy jokaiselle ε > luku δ > niin, että väli Jos (, ) ( y δ, y + δ ) kuvautuu kuvauksessa g välille ( x ε, x ε ) jatkuva. + eli g on Seuraavassa luetellaan joukko jatkuvia funktioita. Esim. 3 Funktio id :, id( x) = x on jatkuva. (Identiteettikuvaus) Kertomalla tätä toistuvasti itsellään ja käyttämällä Luvun 1 lausetta 14 nähdään, että kaikki potenssifunktiot ovat jatkuvia: n Esim. 4 Potenssifunktiot f :, f( x) = x, n ovat jatkuvia. Edelleen tästä seuraa Esim. 5 Polynomifunktiot ovat jatkuvia. Polynomien osamääristä nähdään

7 7 Esim. 6 Rationaalifunktiot ovat jatkuvia siellä, missä nimittäjät. Käänteisfunktion jatkuvuudesta nähdään mm., että Esim. 7. Neliöjuuri g :, g( y) = y on jatkuva. + + Äärimmäinen esimerkki epäjatkuvasta funktiosta on seuraava Esim. 8. Funktio f, kun x :, f( x) = 1, kun x \ ei ole jatkuva missään. Seuraava on jatkuva yhdessä pisteessä: Esim. 9. Funktio pisteessä x=. f x, kun x :, f( x) =, kun x \ on jatkuva vain