Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1]

Transkriptio

1 Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1] Yleisesti sanomme, että ongelma P voidaan palauttaa ongelmaan Q, jos mistä tahansa ongelmalle Q annetusta ratkaisualgoritmista voidaan jotenkin muodostaa ongelmalle P ratkaisualgoritmi. Palauttaminen, epäformaalisti ymmärrettynä, on keskeinen väline normaalissa ohjelmoinnissa jne: 1. Halutaan ratkaista ongelma P. 2. Kirjoitetaan ongelman P ratkaiseva ohjelma p, joka kutsuu aliohjelmaa q (esim. sort). Aliohjelmasta q oletetaan, että se ratkaisee tunnetun ongelman Q (esim. järjestää taulukon), mutta sen toteutuksesta ei sanota vielä mitään. 3. Aliohjelma p on nyt ongelman P palautus ongelmaan Q. 4. Jos jostain kirjastosta löydetään ongelmalle Q ratkaisualgoritmi (esim. quicksort), saadaan ratkaisu myös ongelmalle P. 111

2 Tällä kurssilla palautuksia käytetään lähinnä väärään suuntaan osoittamaan ongelmia ratkeamattomiksi: 1. Halutaan osoittaa, että ongelma Q on ratkeamaton. 2. Palautetaan jokin tunnetusti ratkeamaton ongelma P (esim. L d ) ongelmaan Q, ts. osoitetaan miten mistä tahansa ongelman Q ratkaisualgoritmista saataisiin ongelman P ratkaisualgoritmi. 3. Koska oletuksen mukaan kuitenkin P on ratkeamaton, myöskään ongelmalle Q ei voi olla ratkaisualgoritmia. Seuraavaksi määritellään palautuksen käsite täsmällisesti, tarkastellaan esimerkkejä edellä esitetyn tyyppisistä todistuksista ja samalla laajennetaan tunnettujen ratkeamattomien ongelmien kirjastoa, josta saadaan kandidaatteja ongelmaksi P. 112

3 Ruvetaan nyt määrittelemään palautuksen käsitettä täsmällisemmin. Idea: Määritellään laskennallisten ongelmien relaatio A B, ongelma A voidaan palauttaa ongelmaan B Intuitiivinen tulkinta: Kun A B niin B on ainakin yhtä vaikea kuin A, eli ongelma A voidaan ratkaista ongelman B avulla. Tyypillinen käyttötapa: Halutaan osoittaa ongelma B vaikeaksi. Valitaan jokin vaikeaksi tunnettu A, ja osoitetaan A B. Huomaa palautuksen suunta! Huom. kurssikirja ei määrittele palautukselle merkintää A B, mutta käytämme sitä tässä koska se on vakiintunut ja helpottaa asioiden esittämistä. 113

4 Palautus voidaan formalisoida monella tavalla. Määrittelemme seuraavaksi yksinkertaisen ns. many-one-palautuksen, jota merkitään m. Johdatteleva esimerkki: Tunnetusti kaikilla x, y R pätee joten e x e y = e x+y, a b = exp(ln a + ln b). Olkoon siis r: R 2 R, r(a, b) = ab. Nyt r = ψ s φ, missä φ(a, b) = (ln a, ln b), s(x, y) = x + y ja ψ(z) = e z. Yleisemmin kun näin pätee, sanomme että (φ, ψ) palauttaa funktion r funktioon s. (Nykyään tämän esimerkkipalautuksen merkitys on vähentynyt, mutta aikanaan se oli tärkeä koska eksponentti- ja logaritmifunktiot saatiin taulukosta ja yhteenlasku kynällä ja paperilla on helpompaa kuin kertolasku.) 114

5 .. V s Y Funktion r: U X φ ψ palautus funktioon s: V Y käyttäen funktioita. U r X. φ: U V ja ψ: Y X. Esimerkissä siis U = V = R 2, X = Y = R, r(a, b) = ab, s(x, y) = x + y, φ(a, b) = (ln a, ln b) ja ψ(z) = exp(z). 115

6 Olkoot nyt A Σ ja B Γ päätösongelmia. Funktio f: Σ Γ on rekursiivinen palautus kielestä A kieleen B (eli kielen A rekursiivinen palautus kieleen B) jos f on rekursiivinen ja kaikilla x Σ pätee x A jos ja vain jos f(x) B. Tällöin merkitään f: A m B. Olkoon id joukon { 0, 1 } identiteettikuvaus. Edellä esitettyjä käsitteitä käyttäen f: A m B siis tarkoittaa, että pari (f, id) palauttaa ongelman A karakteristisen funktion π A ongelman B karakteristiseen funktioon π B, eli ja lisäksi f on rekursiivinen. π A (x) = π B (f(x)) kaikilla x Σ, 116

7 B A fa A fa B Σ Γ Periaatekuva palautuksesta f: A m B (Tässä A = Σ A.) 117

8 Kieli A palautuu rekursiivisesti kieleen B jos on olemassa rekursiivinen palautus kielestä A kieleen B. Tällöin merkitään A m B. Lause 2.11: [HMU Thm 9.7] Olkoon A m B ja B rekursiivinen (rekursiivisesti lueteltava). Tällöin A on rekursiivinen (vast. rekursiivisesti lueteltava). Todistus: Helppo. Huomaa, että m -palautus on vain eräs erikoistapaus palautuksesta. On olemassa tilanteita, joissa ongelma A kyllä intuitiivisesti voidaan ratkaista ongelman B avulla, mutta ei päde A m B. Esimerkki: yleensä ei päde A m A, missä A = Σ A. Tälläisten tilanteiden tarkastelemiseen tarvitaan jotain voimakkaampaa (ja hankalammin määriteltävää) palautuksen käsitettä, kuten Turing-palautus T. Tällä kurssilla sivuutamme ongelman. 118

9 Epätyhjyysongelma [HMU 9.3.2] Esimerkkinä palautustekniikasta, ja johdatuksena yleisempään Ricen lauseeseen, tarkastellaan kieltä L ne = { w { 0, 1 } L(M w ) }. Ongelmana on siis päättää annetusta Turingin koneesta, hyväksyykö se ylipäänsä mitään merkkijonoja. Lause 2.12: [HMU Thm. 9.8, 9.9] Kieli L ne on rekursiivisesti lueteltava mutta ei rekursiivinen. Todistus Kiinnostavampi puoli väitteestä on ei-rekursiivisuus, mutta tarkastetaan kuitenkin ensin rekursiivinen lueteltavuus. Tämä käy helpoimmin konstruoimalla epädeterministinen Turingin kone M jolle L ne = L(M). 119

10 Koneen M laskenta etenee seuraavasti: 1. Kirjoita nauhalle syötteen w jatkoksi 111 ja epädeterministisesti generoitu mielivaltainen x { 0, 1 }. 2. Palaa nauhan alkuun ja simuloi universaalikonetta U syötteellä w111x. Nyt w L ne x L(M w ) jollain x { 0, 1 } w111x L(U) jollain x { 0, 1 } w L(M). /2 120

11 Ei-rekursiivisuus osoitetaan palautuksella universaalikielestä L u. Siis muodostetaan funktio f jolle f(z) L ne jos ja vain jos z L u, ja lisäksi funktio f on rekursiivinen. Tällöin f: L u m L ne, joten jos L ne olisi rekursiivinen niin myös L u olisi; ristiriita. Funktion f pitää siis annetulla syötteellä z = w111x muodostaa Turingin kone M (tai oikeastaan sen koodi) siten, että jos x L(M w ) niin M ei hyväksy yhtään merkkijonoa jos x L(M w ) niin M hyväksyy ainakin jonkin merkkijonon Konstruktiossa itse asiassa käy jopa niin, että jos x L(M w ) niin M hyväksyy kaikki merkkijonot 121

12 Tarkastellaan jotain kiinteää z = w111x. Syötteellä y kone M toimii seuraavasti: 1. Pyyhi syöte y pois nauhalta; nauha on nyt tyhjä. 2. Kopioi nauhalle merkkijono x; palauta nauhapää alkuun. 3. Simuloi konetta M w. Konstruktion perusteella on ilmeistä että jos w111x L u niin L(M) = Σ jos w111x L u niin L(M) = Siis jos on olemassa rekursiivinen funktio joka syötteellä z tuottaa koodin v siten, että kone M v toimii kuten M yllä, todistus on valmis. 122

13 Tarkastellaan nyt tarkemmin, millaisia tiloja ja siirtymiä ylläkuvatussa koneessa M = M v pitäisi olla. Olkoon z = w111x missä x = x 1... x n. pohjana toimii kone M w lisätään alkutilaksi uusi tila ˆq 0, jossa kone kirjoittaa nauhalle tyhjää niin kauan kuin ei-tyhjämerkkejä riittää. Kun tulee vastaan tyhjä, siirrytään uuteen tilaan ˆq 1. lisätään tilat ˆq i, i = 1,..., n, missä tilassa ˆq i, 1 i n 1, kone kirjoittaa merkin x i, siirtyy tilaan ˆq i+1 ja siirtää nauhapäätä oikealla. tilasta ˆq n siirrytään uuteen tilaan ˆq n+1 jossa kone siirtää nauhapäätä takaisin vasemmalle kunnes taas löytyy tyhjämerkki tilasta ˆq n+1 siirrytään alkuperäisen koneen M w alkutilaan siirtymät koneen M w alkuperäisten tilojen välillä säilyvät ennallaan, samoin lopputilat 123

14 Selvästi yllä kuvattu M = M v toimii kuten väitetään: jos x L(M w ) niin se hyväksyy kaikki syötteet y, muuten ei hyväksy mitään. Kuvaus f, missä f(w111x) = v edellä kuvattuun tapaan, on selvästi rekursiivinen. Siis f on rekursiivinen palautus L u m L ne. Koska L u ei ole rekursiivinen, niin kieli L ne ei sekään ole rekursiivinen. 124

15 Lause 2.13: [HMU Thm. 9.10] Tyhjyysongelma ei ole osittain ratkeava; ts. kieli ei ole rekursiivisesti lueteltava. L e = { w { 0, 1 } L(M w ) = } Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia, niin A on rekursiivinen. Koska L e = L ne ja L ne juuri todistettiin ei-rekursiiviseksi mutta rekursiivisesti lueteltavaksi, L e ei voi olla rekursiivisesti lueteltava. Esimerkkinä yksinkertaisesta palautuksesta tarkastellaan kysymystä, onko kahden rekursiivisesti lueteltavan kielen leikkaus tyhjä. Lause 2.14: Kieli L ep = { v111w v, w { 0, 1 }, L(M v ) L(M w ) = } ei ole rekursiivisesti lueteltava. 125

16 Tekninen huomio: syntaksintarkistus Kielen L ep kiinnostavia tapauksia ovat tietysti sellaiset merkkijonot z = v111w, missä sekä v että w ovat valideja koodeja (eli M v M triv ja M w M triv ). Koska validi koodi alkaa ja loppuu nollalla eikä sisällä merkkijonoa 111, niin merkkijonolla z tällaisessa tapauksessa ei voi olla mitään vaihtoehtoista tulkintaa z = v 111w, missä v v tai w w. Jos merkkijono z on syntaktisesti virheellinen eli ei muotoa v111w tällaisilla v, w, kysymys päteekö z L ep ei vaikuta edes hyvin määritellyltä. Voi nimittäin olla z = v111w = v 111w, missä v v ja w w. Tällöin kuitenkin sekä parista (v, w) että parista (v, w ) ainakin toinen osapuoli sisältää merkkijonon 111, tai alku- tai loppuykkösen, eikä siis ole validi koodi. Sopimuksen mukaan ei-validille koodille x pätee L(M x ) =, joten tässä tapauksessa L(M v ) L(M w ) = L(M v ) L(M w ) = ja z L ep pätee tulkinnasta riippumatta. Siis syntaksivirheelliset syötteet tulevat tässä mukaan kieleen L ep (kunhan niissä on ainakin yksi 111). 126

17 Lauseen 2.14 todistus: Palautus kielestä L e. Siis muodostetaan rekursiivinen funktio f: { 0, 1 } { 0, 1 }, jolle pätee f(v) L ep v L e. Olkoon w all jokin sellainen koodi, että L(M wall ) = { 0, 1 }. Palautusfunktio f määritellään f(v) = v111w all. Nyt jos v on validi koodi, pätee L(M v ) = L(M v ) { 0, 1 } = L(M v ) L(M wall ) ja siis v L e L(M v ) = L(M v ) L(M wall ) = f(v) L ep. Jos taas v ei ole validi koodi, niin edellä esitetyn huomautuksen mukaan v L e ja f(v) L ep. 127

18 Siis joka tapauksessa v L e jos ja vain jos f(v) L ep. Funktio f voidaan helposti laskea Turingin koneella: 1. Siirrä nauhapää syötemerkkijonon loppuun. 2. Kirjoita nauhalle merkkijono 111w all. Siis on muodostettu rekursiivinen palautus f: L e m L ep. Jos L ep olisi rekursiivisesti lueteltava, myös L e olisi; ristiriita. 128

19 Semanttisten ongelmien ratkeamattomuus [HMU 9.3.3] Intuitiivisesti semanttinen ongelma on Turingin konetta koskeva kysymys, jonka vastaus riippuu vain koneen hyväksymästä kielestä. Siis jos L(M) = L(M ), vastauksen on oltava sama koneille M ja M. Muodollisemmin semanttinen ominaisuus S on kokoelma rekursiivisesti lueteltavia aakkoston { 0, 1 } kieliä. Toisin sanoen S RE, missä siis RE = { L(M) { 0, 1 } M Turingin kone syöteaakkostolla { 0, 1 } } Ominaisuus S on ratkeava jos joukko on rekursiivinen. L S = { w { 0, 1 } n L(M w ) S } Esimerkki 2.15: Valitaan S = { }, siis pelkän tyhjän kielen sisältävä luokka. Nyt L S = L e, edellä esitetty tyhjyysongelma, joten S ei ole ratkeava. 129

20 Semanttinen ominaisuus S on triviaali jos joko S = tai S = RE. Siis ominaisuus on ei-triviaali jos on olemassa kaksi kieltä L, L RE joille L S ja L S. Lause 2.16 (Rice): [HMU Thm. 9.11] Kaikki ei-triviaalit semanttiset ominaisuudet ovat ratkeamattomia. Siis esim. seuraavat ongelmat ovat ratkeamattomia: hyväksyykö M tasan k merkkijonoa (millä tahansa k) hyväksyykö M äärettömän monta merkkijonoa onko koneen M hyväksymä kieli säännöllinen onko koneen M hyväksymä kieli kontekstiton (kaikissa ongelmissa siis syötteenä koneen M koodi) 130

21 Ricen lauseen todistus: Olkoon S ei-triviaali. Jatkossa esitetään todistus tapaukselle S. Jos S, voidaan samaa todistusta soveltaa ominaisuuteen S = RE S joka on ei-triviaali eikä sisällä kieltä. Todistus perustuu palautukseen universaalikielestä L u. Siis muodostetaan rekursiivinen f: { 0, 1 } { 0, 1 } jolle f(v) L S jos ja vain jos v L u. Toisin sanoen on oltava L(M f(v) ) S jos ja vain jos v = w111x missä x L(M w ). Kun v ei ole muotoa v = w111x millekään koodille w, määritellään f(v) = w 0 missä w 0 on jokin kiinteä koodi jolle L(M w0 ) S. Tarkastellaan nyt miten f(v) määritellään kun v = w111x missä w on validi koodi jollekin koneelle M. 131

22 Nyt on siis annettuna M = M w ja x, ja pitää konstruoida M = M v jolle L(M ) S jos ja vain jos x L(M). (Ja sitten asetetaan f(w111x) = v.) Olkoon M L jokin kiinteä kone jolle L(M L ) S. Kone M konstruoidaan parin (M, x) perusteella siten, että jos x L(M) niin L(M ) = L(M L ) jos x L(M) niin L(M ) = mikä toteuttaa vaatimukset. 132

23 Kone M on kaksinauhainen ja toimii syötteellä z seuraavasti: 1. Kopio merkkijono x kakkosnauhalle. 2. Kakkosnauhaa käyttäen simuloi koneen M laskenta syötteellä x 3. Jos simulointi johti hylkäämiseen, hylkää z. (Tässä vaiheessa syötettä z ei ole vilkaistukaan!) 4. Jos simulointi johti hyväksymiseen, simuloi koneen M L laskentaa varsinaisella syötteellä z; hyväksy jos M L hyväksyy. Nyt L(M ) = L(M L ) jos x L(M); muuten L(M ) =. Selvästi merkkijonosta v = w111x missä w on koneen M indeksi voidaan laskea f(v) joka on kuvatun koneen M indeksi. Huomaa että x tulee koodatuksi koneen M sisään eikä ole sen syöte. 133

24 z M L x M Koneen M konstruktio Ricen lauseessa 134