Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Transkriptio

1 ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio

2 Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.)

3 Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora viiva. Funktion y = f (x) = 0.5x + 1 y = kx + b kuvaaja on suora, joka leikkaa y -akselin korkaudella b. Suoran kulmakerroin on k.

4 Kulmakerroin 1 k y = f (x) = 1 + kx = x Kun suoran pisteestä (1, 1.5) siirrytään pisteeseen (2, 2), niin kohta kasvoi 1:n verran ja arvo kasvoi kulmakertoimen k verran 1 oikealle k ylös

5 Kulmakerroin y 2 y 1 * * x 1 x 2 y 2 y 1 x 2 x 1 = k

6 Kulmakerroin * x * y y x = k

7 aste 2, paraabeli Toisen asteen polynomifunktion y = f (x) = ax 2 + bx + c kuvaaja on paraabeli, joka aukeaa ylöspäin, jos a > 0, ja aukeaa alaspäin, jos a < 0. a > 0 a < 0

8 aste 3 Kolmannen asteen polynomifunktion y = f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d kuvaaja. Kun a > 0, niin kuvaaja painuu vasemmalla alas ja nousee oikealla ylös. Kaukana origosta (0, 0) funktio on kasvava. Kun a < 0, niin kuvaaja nousee vasemmalla ylös ja painuu oikealla alas. Kaukana origosta (0, 0) funktio on vähenevä. a > 0 a < 0

9 eksponentti-funktio, a x y = 2 x y = 10 x y = 0.5 x y = 0.1 x

10 eksponentti-funktio, a x Funktio y = f (x) = a x a > 0. on hyvin määritelty vain, jos Jos a > 1, niin funktio on kasvava. Jos a < 1, niin funktio on vähenevä. Jos a = 1, niin funktio on vakiofunktio. Tärkeitä kantalukuja ovat 2, 10 ja e (Neperin luku) Kun a > 1, niin a x mikään x:n potenssi x n kasvaa lopulta nopeammin kuin (a > 1, n N), x 0 siten, että (x > x 0 a x > x n ).

11 Eksponentti-funktio, e x y = e x kasvavia, määritelty x R, arvot positiivisia reaalilukuja, y = 2 x y = 10 x

12 , log a x logaritmifunktio on a-kantaisen n käänteisfunktio. y = a x x = log a y y = 2 x x = log 2 y y = 10 x x = log 10 y = log y y = e x x = log e y = ln y

13 , log a x y = ln x kasvavia, määritelty, kun x > 0, arvojoukko R y = log 2 x y = log 10 x

14 (1) log a (a b ) = b (2) log a (a) = 1 (3) log(1) = 0 (4) log(b c) = log b + log c (5) log(b/c) = log b log c (6) log(b c ) = c log b (7) log a (b) = ln(b) ln(a)

15 (1) Piirrä seuraavien funktioiden kuvaajat a) f (x) = x 2 e x, b) g(x) = 4 x 2, ( 2 x 2) (2) Laske 2-kantainen logaritmi luvusta (3) Piirrä funktion h(x) = x 3 3x + 1 kuvaaja. (4) Piirrä funktion w(x) = log 2 (8x) kuvaaja. (5) Ratkaise log 2 (8x) > 5

16 Vastauksia: (1) y = x 2 e x y = 4 x 2 (2) log = ln 1024 = 10 ln 2

17 Vastauksia: (3) (4) h(x) = x 3 3x + 1 w(x) = log 2 (8x) (5) log 2 8x > 5 log log 2 x > 5 log 2 x > ( ) x > 2 2 = 4