1.1 Funktion määritelmä

Transkriptio

1 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen X ja Y välillä on olemassa relaatio, jonka avulla voidaan liittää jokaiseen joukon X alkioon yksikäsitteisesti määritellyn joukon Y alkio, niin silloin voidaan sanoa että joukkojen X ja Y välillä on määritelty funktio F: X Y. luonnonilmiöitä tai etsiessämme teknisen ongelman ratkaisua tavallisesti emme käsittele niitä kuvaavia suureita yksitellen, vaan olemme kiinnostuneita siitä, minkälaisia yhteyksiä suureiden välillä on ja millä tavalla yhdessä suureessa tapahtunut muutos vaikuttaa muihin suureisiin. Luonnosta ei löydy yhtään muuttuvaa suuretta, joka olisi ollut olemassa täysin itsenäisesti, vaikuttamatta mihinkään toiseen suureeseen tai kokematta muiden suureiden muutoksista aiheuttamaa vaikutusta, joten tietoa suureiden välisistä riippuvuuksista tarvitaan jatkuvasti. Esimerkiksi, auton tekemään matkaan käytetty aika riippuu mm. auton nopeudesta. Etäisyys, johon lentää tykistä ammuttu kuula, riippuu kuulan massasta ja alkunopeudesta, sekä ampumakulmasta, tuulen suunnasta ja voimakkuudesta ja monesta muusta tekijästä. Maksamamme sähkölaskun summa riippuu sähkön kulutuksesta. Luettelosta pystyisimme tekemään vaikka kuinka pitkän, mutta pysähdytään tähän. Yllä mainittujen seikkojen vuoksi voimme päätellä, että suureiden välisten riippuvuuksien tutkiminen ja kuvaaminen on äärimmäisen tärkeää. Matematiikassa tällaiselle kahden muuttuvan suureen väliselle yhteydelle annetaan oma, matematiikan normien mukainen määritelmä. Palataan hetki sitten mainitsemaamme sähkölaskuesimerkkiin. Kaikki mahdolliset sähkömittarin lukemat muodostavat lukemajoukon X ja lukemia vastaavat maksut muodostavat taas maksujoukon Y. Jos tiedämme mittarin tarkan lukeman, voidaan laskea maksun suuruus. Joukkoa X sanotaan silloin lähtö- tai määrittelyjoukoksi ja joukkoa Y maalijoukoksi. Esimerkki 1.1.1: Olkoon meillä kaksi joukkoa, joiden alkioiden välillä on olemassa relaatio: 1(5)

2 Jokaista joukon X alkiota vastaa yksikäsitteisesti määritelty joukon Y alkio, joten voimme sanoa että tämä diagrammi määrittelee funktion F, joka liittää jokaisen X joukkoon kuuluvan alkion x sitä vastaavaan Y joukkoon kuluvaan alkioon y:hyn: F: X Y. Todellakin, joukon X alkion 1 kuva on joukon Y alkio 3, alkion 2 kuva on joukon Y alkio 6 jne. Tämä voimme myös merkitä: F(1) = 3 luetaan: muuttujan arvolla 1 funktio saa arvo 3 F(2) = 6 luetaan: muuttujan arvolla 2 funktio saa arvo 6 F(3) = 9 luetaan: muuttujan arvolla 3 funktio saa arvo 9 F(4) = 12 luetaan: muuttujan arvolla 4 funktio saa arvo 12 Joukko X on tällöin funktion F lähtö- tai määrittelyjoukko ja joukko Y on funktion F arvo - tai maalijoukko. Esimerkki Kahden joukon X ja Y välistä relaatiota kuvaa seuraava Vennin diagrammi: Tätäkin relaatiota voimme pitää funktiona, koska jokaista lähtöjoukon X alkiota vastaa yksiselitteisesti määritelty maalijoukon Y alkio: F( A) = E F( B) = E F(C) = H F(D) = G Esimerkki Seuraavan diagrammin kuvaama relaatio taas ei ole funktio, koska määrittelyjoukon alkiota A vastaavat kaksi maalijoukon alkiota: E ja F. Tällainen tilanne olisi esimerkiksi, jos kaupassa valitsemasi juustopalan hintalapussa lukisi 0,5 kg hinnaksi sekä 5 euroa että 7 euroa, mikä arkipäivätilanteessa näyttäisi aika 2(5)

3 hämmentävältä. Funktion määrittämistä varten on olemassa useampia tapoja. Tarkastellaan niitä esimerkkien avulla. Esimerkki Tarkastellaan riippuvuutta neliön sivun pituuden a ja pinta-alan A välillä. Peruskoulun matematiikasta tiedämme, että neliön pinta-ala voidaan laskea korottamalla sivun pituus potenssiin kaksi, toisin sanoen, että näiden kahden suureen välillä olevaa relaatiota voidaan ilmaista kaavalla 2 A = a, missä a = neliön sivun pituus ja A = neliön pinta-ala. Koska pinta-ala A riippuu neliön sivun pituudesta, voimme sanoa, että pinta-ala on sivun pituuden a funktio. Toisella tavalla edellinen kaava voimme siis kirjoittaa muotoon A ( a) = a Suluissa oleva a kertoo, että pinta-ala A muuttuu sivun pituudesta a riippuen. Tässä tapauksessa kaikki mahdolliset sivun pituuden arvot muodostavat funktion määrittelyjoukon ja kaikki niitä vastaavat pinta-alan arvot muodostavat funktion arvo- tai maalijoukon. Juuri kirjoitettu yhtälö määrittelee siis neliön sivun pituuden ja pintaalan välisen funktion. Esimerkki Matti Matkustaja lähtee ajamaan Mikkelistä Jyväskylän tietä keskinopeudella 80 km/h. Noin 40 minuutin päästä hän on tällöin Kangasniemellä ja 1,5 tunnin päästä saapuu Jyväskylään. Kertomalla keskinopeutensa ajalla voimme päätellä Matin ajamaa matka minä tahansa matkan hetkenä. Laaditaan taulukko, joka kuvaa matkan ja ajan välistä riippuvuutta: 2 3(5)

4 Aika, t Matka,km 0, ,5 40 0, , ,5 120 Tämä taulukko määrittelee ajan ja matkan pituuden välistä funktiota. Tarkastelemalla ajan ja matkan arvoja, voimme huomata, että matkan arvot on saatu kertomalla ajan arvoja 80:lla. Voimme siis käyttämällä samaa sääntöä laskea jokaista ajanhetkeä vastaavan matkan pituuden arvon. Esimerkki Edellisen esimerkin ajan ja matkan pituuden arvot voimme myös siirtää koordinaatistoon ja piirtää tilannetta kuvaavan viivan, jonka sanotaan funktion kuvaajaksi. Kuvaajan avulla voimme saada selville kuinka pitkän matkan Matti on tehnyt 20min, 45min tai jonkin muun ajan kuluttua alkuhetkestä. Tämä kuvaaja siis myös määrittelee ajan ja matkan välistä funktiota, sillä jokaista ajan arvoa vastaa jokin matkan arvo. Jokainen kuvaajan piste määrittelee Matin tekemää matkaa tietyllä aikavälillä. 4(5)

5 Tapa, jolla määrittelemme funktion, voimme valita tilanteen ja tehtävän tarpeiden mukaan. Kuten kaikki Viennin diagrammit eivät ole funktioiden diagrammeja, samoin kaikki koordinaatistoon piirretyt viivatkaan eivät ole välttämättä funktioiden kuvaajia. Perustelu tälle on sama, kuten diagrammienkin tapauksessa: kun kyseessä on relaatio, eli kahden suuren välinen riippuvuus on funktio, jokaista muuttujan x arvoa pitää vastata yksiselitteinen funktion arvo. Kuva a. Kuva b. Toisin sanoen: kuvan a viiva on jonkin funktion kuvaaja, koska jokaista muuttujan x arvoa vastaa yksikäsitteisesti määritelty funktion y arvo. Kuvan b viiva taas ei ole funktion kuvaaja, sillä yhtä muuttujan x arvoa voi vastata useampi funktion arvo. Kuvasta näkyy, että muuttujan arvoa x 1 vastaavat funktion arvot y 1 ja y 2. Jos teemme yhteenvedon edellisten esimerkkien kuvaamista tapauksista, voimme sanoa että funktiota voidaan määritellä useammalla tavalla: 1. Laatimalla taulukko muuttujan ja niitä vastaavien funktion arvoista 2. Piirtämällä funktion kuvaajan 3. Kirjoittamalla funktion lauseke 5(5)