Algebran ja Geometrian laskukokoelma

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Algebran ja Geometrian laskukokoelma"

Transkriptio

1 Algebran ja Geometrian laskukokoelma A. Potenssien laskusäännöt Sievennä 1. (r 3 ) 4 2. (2a 3 ) 3 3. x 3 x 5 4. k11 k a2 a 7 5a 3 6. (-3x 2 y 3 ) 3 7. ( 1 4 ) 3 8. (2 a2 Lisätehtäviä b 3)3 9. (a 2 ) x 2 y 5 x y x 2 x u z3 (2u z) b2 b (-3a 2 b) 2 B. Murtoluvut 15. Supista murtoluvut a) b) Suorita seuraavat laskut murtoluvuilla a) 1 b) : Sievennä a) 2 5 b) Sievennä 42 a) 51 b) c) C. Murtolausekkeet 19. Esitä tulomuodossa a) 4z 2 + 3z b) y 2-1 c) b Supista a) ax+5x x b) a b b a c) a 1 a 2 1

2 21. Sievennä yhdistämällä yhdeksi murtolausekkeeksi a) 1 1 b) a a+1 a b 22. Esitä yhtenä murtolausekkeena 2a x : 3x 5 Lisätehtäviä: 23. Sievennä a) x2 +2x 5x 24. Sievennä a) 1 1 x 1 x+1 b) x3 4x x+2 b) 2a b 3x 5a D. Juurten laskusääntöjä 25. Sievennä viemällä juurimerkin sisällä olevia neliötekijöitä juuren ulkopuolelle. a) 18 b) Sievennä käyttäen sääntöjä x y = xy ja x a) 2 6 b) 3 12 c) 10 Lisätehtäviä 27. Sievennä a) 20 b) 27 c) 10 2 E. Polynomien peruslaskutoimitukset 28. Sievennä poistamalla sulut a) (3x - 5) (x-1) b) -5 (-3x + 2) 29. Sievennä suorittamalla kertolaskut a) (2x + 1) (3x 5) b) (2x + 1)(2x 2 x + 3) 5 y = x y 30. Sievennä poistamalla sulut a) (x 2-5x + 2) - (2x 2 + x 3) b) 3(2x + 5) ( 1 2x) 31. Määritä seuraavan polynomijakolaskun osamäärä ja jakojäännös: (x 3 2x 2 + 5x 7) : (x + 2)

3 E. 1. asteen yhtälöt ja epäyhtälöt Ratkaise tuntematon x seuraavista yhtälöistä 32. a) -2x + 1 = 5 x + 2 b) 2(x + 3) = - 3x b) a x + 5 = b b) a x 2 = x 34. x 3 1 = 2x+1 2 Ratkaise kysytty suure seuraavista yhtälöistä 35. p V = n R T T =?` 36. x = v0 t + ½ a t 2 a =? Lisätehtäviä 37. Ratkaise x a) 2 5 x = x b) 3(x -2) = 5 ( x + 1) c) x+3 F. Toisen asteen yhtälöt ja epäyhtälöt Ratkaise tuntematon muuttuja seuraavista yhtälöistä 38. a) x 2 + 2x = 0 b) x 2 5 = b) 2 x = 0 b) 2x 2 + 3x 5 = a) x 2 = 8 x b) 2x 2-5 = a) 2x 2 3x + 1 = 0 b) t 4.9 t 2 = = 2x G. Suoran yhtälö 42. Määritä suoran yhtälö, kun suoran kulmakerroin on 2 ja se leikkaa y-akselia kohdassa y = Määritä suoran yhtälö, kun suoran kulmakerroin on 2 ja suora kulkee pisteen (1,-2) kautta. 44. Muodosta sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteiden (-2,1) ja (3,2) kautta.

4 H. Lineaarinen malli y = a x + b 45. Mobiilipuhelun hinta muodostuu Euron kuukausittaisesta perusmaksusta, sekä minuuttimaksusta, joka on Euroa/min. Olkoon x kuukaudessa puhuttu minuuttimäärä. Määritä kuukausilaskun loppusumman y lauseke x:n avulla. 46. Erään omakotitaloasiakkaan kaukolämpölasku koostuu kuukausittaisesta perusmaksusta P, sekä energian kulutukseen perustuvasta maksusta, joka on 45 Euroa/MWh. Kyseinen asiakas kulutti eräässä kuussa 1.6 MWh energiaa, jolloin kuukausilaskun loppusumma oli 132 Euroa. Mikä oli perusmaksun P suuruus? 47. Electrolux pesukone maksaa 340 Euroa ja kuluttaa keskimäärin 60 ltr (0.060 m 3 ) vettä pesukertaa kohti. LG pesukone maksaa 410 Euroa ja kuluttaa 42 ltr pesukertaa kohti. Vesikuution kokonaishinta (sis. jätevesimaksun) on 5.50 Euroa/m 3. Kuinka monta kertaa pyykkiä pitäisi pestä, jotta LG tulisi kokonaiskustannuksiltaan edullisemmaksi vaihtoehdoksi? 48. Omakotitalon vesilaskun loppusumma koostuu perusmaksusta ja kulutukseen perustuvasta maksusta. Erään talon vesilasku laskutusjaksolta oli Euroa, ja kulutus 28.2 kuutiometriä Naapurin lasku oli Euroa ja kulutus vastaavasti 31.7 kuutiometriä. Määritä perusmaksu ja vesikuution hinta. I. Toisen asteen polynomimalli 49. Suorakaiteen muotoinen rantatontti (sivut x ja y) rajataan 500 m pituisella aidalla. Määritä tontin sivujen pituudet, kun tontin pinta-ala on suurin mahdollinen. 50. Piirrä paraabeli y = x 2 + 2x 3 määrittämällä kolme tärkeintä pistettä: nollakohdat ja paraabelin huippu. 51. Määritä paraabelin y = x 2 + 3x - 4 juuret ja huipun koordinaatit. Piirrä kuva paraabelista. 52. Saappaanheitossa saappaan korkeus maan pinnasta y riippuu ajasta seuraavasti: y = t t 2 Laske a) saappaan lentoaika b) radan korkein kohta (=y:n maksimiarvo)

5 J. Verrannot ja verrannollisuus 53. Eräästä hallitsijasta tehtiin 2.5 m korkea näköispatsas. Hänen pituutensa oli luonnosssa 1.80 m, massa 85 kg ja tilavuus 85 litraa. Mikä oli patsaan tilavuus ja massa m, kun patsas oli veistetty graniitista jonka tiheys on 5 - kertainen ihmisen tiheyteen verrattuna? 54. Autokoulussa opetetaan, että auton jarrutusmatka on verrannollinen auton nopeuden neliöön. Oletetaan, että erään auton jarrutusmatka kuivalla kelillä nopeudesta 60 km/h on 35 m. Mikä on auton jarrutusmatka samoissa olosuhteissa a) nopeudesta 120 km/h? b) nopeudesta 90 km/h? 55. Erään rakennuksen pohjan pinta-ala on luonnossa 600 m 2. Rakennuksesta on tehty pienoismalli mittakaavassa 1:200. Mikä on pienoismallin pohjan pinta-ala? K. MUITA YHTÄLÖTYYPPEJÄ Juuriyhtälö ja murtoyhtälö 56. Ratkaise x yhtälöistä a) x 1 2 b) x = x Ratkaise x yhtälöistä 1 a) 3 x 3x b) 2 2x 1 Potenssiyhtälö 58. Ratkaise x yhtälöistä a) 2x 4 = 11 b) x = 0 c) x = 0 Suureyhtälöiden ratkaiseminen Ratkaise kysytty suure seuraavista yhtälöistä 59. a) A = π r 2, r =? oletetaan, että r > 0 b) v = v0 + a t, v0 =?

6 60. a) pv = nrt, n =? b) s = v0 t+ ½ a t 2, v0 =? 61. a) T = 2π s g, g =? b. c 2 = a 2 + b 2, b =? a) b a f, f =? b) V = 1 π 6 d3, d =?

7 KOLMIOGEOMETRIAA L. Suorakulmainen kolmio

8

9 M. Yleinen kolmion ratkaiseminen 70.

10

11

12 Tehtävien vastauksia 1. r a 9 3. x 8 4. k a x 6 y a 3 b 9 9. a x y x z b a 4 b 2 15.a) a) b) b) a) a+5 20b) -1 20c) 23a) x b) x(x-2) 24a) 16.a) c) a+1 2 x b) 5 17.a) a) z(4z+3) 19b) (y- 1)(y+1) 21a) 1 a(a+1) 24b) 6x 5b 21b) b 2a+ab ab 4u 17 b) c) (b-2)(b+2) 22) 10a 3x 2 25a) b) a) b) 6 26c) 5 27a) b) c) 2 28a) 2x 4 28b) 15x a) 6x 2-7x-5 29b) 4x 3 +5x+3 30a) x 2-6x+5 30b) 8x ) osamäärä x 2 4x + 13, jakojäännös 33 32a) - 1/7 32b) 1/5 33a) (b-5)/a 33b) 2/(a-1) 34) -9/4 p V 35) T = n R 36) 2(x v 0t) 37a) 1/7 37b) -11/2 37c) 12 38a) 0 tai -2 38b) 5 tai - 5 t 2 39a) ei ratk. 39b) 1 tai -5/2 40a) 0 tai 8 40b) - 5 tai 41a) ½ tai 1 41b) tai ) y = -2x+3 43) y = 2x-4 44) y = x ) perus 34 kuutio ) 140 m ja 79 m 58a) tai b)v 0 = s 1 2 at2 t 64a)a=15.6 kulmat 60 o, 30 o 68c) m 2 d) 2.53 milj.m 3 49) mitat 125mx250m 50) -3 ja 1 huippu (-1,- 4) 45) y = x 51) -4 ja 1 huippu (-3/2,- 25/4) ) 60 Euroa 47) 707 kertaa 52) 3.29 s ymax=14.4 m 53) V = ltr m = 1139 kg 55) 150 cm 2 56a) 3 56b) 1 57a) 1/3 57b) -2 58b) -2 58c) ei ratkaisua 59a) r = A π 61a) g= 4π2 s T 2 61b) b = c 2 a 2 62a) f = a 2 b 2 64b)b=2.89 c=5.77, β=60 o 69a)AB=3.055m BC = 4.00 m b) 37.0 m 2 74) 373 m 75) h = 43.0 m vaijerit: 52.3 m 47.3 m 65) 180 cm ja cm 70) x = 12.9 α=26.6 o β=48.4 o 76) a=235.8 b= b) v 0 = v - at 66) 1.73 m 67a) 28.6 b) ) γ = o α = 36.3 o, β = 26.4 o Ala ) n.5200 m 2 p V 60a) n = R T 3 62b) d = 6V 63) 7.0 m π 72) β = 40.0 o x = y = a) m b) m 73) 514 m

13 Opiskelijan nimi: Op.nro Merkitse rastilla laskemasi tehtävät: a) 15b) 16a) 16b) 17a) 17b) 18a) 18 b) 18c) 19a) 19b) 19c) 20a) 20b) 20c) 21a) 21b) 22) 23a) 23b) 24a) 24b) 25a) 25b) 26a) 26b) 26c) 27a) 27b) 27c) 28a) 28b) 29a) 29b) 30a) 30b) 31) 32a) 32b) 33a) 33b) 34) 35) 36) 37a) 37b) 37c) 38a) 38b) 39a) 39b) 40a) 40b) 41a) 41b) 42) 43) 44) 45) 46) 47) 48) 49) 50) 51) 52) 53) 54) 55) 56a) 56b) 57a) 57b) 58a) 58b) 58c) 59a) 59b) 60a) 60b 61a) 61b 62a) 62b) 63) 64a) 64b) 65) 66) 67a) b) 68a) b) 68c) 69a) 70) 71) 72) 73) d) b) 74) 75) 76) 77)

Differentiaali- ja integraalilaskenta

Differentiaali- ja integraalilaskenta Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona

Lisätiedot

Differentiaalilaskennan tehtäviä

Differentiaalilaskennan tehtäviä Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ

1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1. Käyttäen tietoa a = a a laske: a) 8 b) ) c) 0, d) ) 1 e) 1) f) +,) g) 7 h) ) i). Laske näiden lukujen neliöt: 17 9 1,6 1. Laske: ) a) ) b). Laske a, kun 5) 1 ) 11 11 81. j)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä

Lisätiedot

2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8

2) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi kolme eri ratkaisua. 2 = 5 = 35 = 77 = 4 = 10 = 8 Nimi 1 ALGEBRAN KERTAUS 1) Järjestä luvut pienimmästä suurimpaan., 8 3, 8, 8 4, 908, 7, 1, 99, 167, 1, 987, 1011. 4 ) Kirjoita osoittajaan ja nimittäjään jotkin luvut, joilla yhtälöt ovat voimassa. Keksi

Lisätiedot

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26.

Opettaja: tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. MAB 0: Kertauskurssi Opettaja: Janne.Lemberg @ tyk.fi Aika ja paikka: ma, ke klo 17:00-18:25, luokka 26. Alustava aikataulu: ma 29.8 ke 31.8 ma 5.9 ke 7.9 ma 12.9 ke 14.9 ma 19.9 ke 21.9 ma 26.9 ke 28.9

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi

Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Vastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x

Vastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

Hyvä uusi opiskelija!

Hyvä uusi opiskelija! Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää

Lisätiedot

KORJAUSMATIIKKA 3, MATERIAALI

KORJAUSMATIIKKA 3, MATERIAALI 1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, MATERIAALI 1) Potenssi ) Juuri ) Polynomit 4) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa (tehtävissä esitellään myös. asteen yhtälön ratkaisu)

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt

6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) ( x x) 3( x ) ( x x) (3 x 3 ) x x (3x 6) x x 3x 6 x x 6 b) 9( x 1) 5( x ) 9 x ( 9) 1 5 x 5 9x 9 5x 10 4x 1 c) (3x )(4 5 x) 3x 4 3 x (

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4 Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

KORJAUSMATIIKKA 3, TEHTÄVÄT

KORJAUSMATIIKKA 3, TEHTÄVÄT 1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, TEHTÄVÄT 1) Potenssi 2) Juuri ) Polynomit ) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa ja toisen asteen yhtälön ratkaisukaava TEHTÄVÄT: Käythän

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13 Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta.

Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta. KOE Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta. B-OSA, ht. 0p. Ksmksen maksimipistemäärä on 7 pistettä.

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. MAB2 koe Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Muista, että välivaiheet perustelevat vastauksesi. Muista kirjoittaa konseptille nimesi ja tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan. A-osio. Ei laskinta!

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Hannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus

Hannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus Perusohjeita, symbolista laskentaa Geogebralla Kielen vaihtaminen. Jos Geogebrasi kieli on vielä englanti, niin muuta se Options välilehdestä kohdasta Language suomeksi (finnish). Esittelen tässä muutaman

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. a) Kun suoran s pisteen -koordinaatti kasvaa yhdellä, pisteen y- koordinaatti kasvaa kahdella. Suoran s kulmakerroin on siis. Kun suoran t pisteen -koordinaatti kasvaa kahdella,

Lisätiedot