matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

Transkriptio

1 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

2 Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus molemmat yhtälöt on kerrottava tai jaettava puolittain, jotta toinen tuntemattomista saadaan häviämään ja toinen ratkaistua. x+ y= ESIMERKKI Ratkaise yhtälöpari x+ y= 5 laskemalla. Ratkaisu Kerrotaan ylempi yhtälö luvulla ja alempi yhtälö luvulla, jotta yhteen laskettaessa tuntemattoman x sisältävät termit häviävät. x+ y= x+ y= 5 Lasketaan yhtälöt puolittain yhteen ja ratkaistaan tuntematon y. x+ y= + x+ 9y= 5 y= : y= Sijoitetaan y = ylempään yhtälöön ja ratkaistaan tuntematon x. x + = x = x = x = x Vastaus: = y= : Tuntematon x voitaisiin ratkaista myös yhteenlaskumenetelmän avulla. P U L M A Mitkä ovat numerot A ja B yhtälössä AAA AAA + AAA = AAABBB? 80

3 HARJOITUSTEHTÄVÄT. Ratkaise yhtälöpari yhteen laskemalla. x y a) += x+ y= b) x = y x y= 7 x+= y a) + x = y = : = + y = y = y = b). Ratkaise yhtälöpari yhteen laskemalla. + x y= 9 x = y 5 a) b) x+= y 0 x y= a) + x y= 9 x+= y 0 x+ y= 8 + x+ y= 0 = : = x + = 0 x = 0 x = : x =. Mitkä ovat ne kaksi lukua, joiden summa on ja erotus?. Pesäpallo ottelussa tehtiin 0 juoksua. Toinen joukkue teki juoksua enemmän. Ratkaise juoksujen lukumäärät. KOTITEHTÄVÄT 5. Ratkaise yhtälöpari. x y 9 a) += b) x = y x+= y x y= 7. Muodosta ja ratkaise yhtälöpari. 5x y x 5y 8. Kahden luvun summa on 5 ja erotus 7. Muodosta yhtälöpari ja ratkaise se. 8. Pöydällä on arpakuutiota, joiden silmäluku on joko tai. Silmälukujen summa on 0. Kuinka monen arpakuution silmäluku on? 8

4 Yhtälöparilaskuja Yhtälöpari voidaan ratkaista sekä piirtämällä että laskemalla. Piirtämällä saadaan yhtälöparin ratkaisun likiarvo ja laskemalla tarkka arvo. ESIMERKKI x+ y= Ratkaise yhtälöpari y= x a) piirtämällä b) laskemalla. Ratkaisu a) Piirretään yhtälöparin yhtälöitä kuvaavat suorat samaan koordinaatistoon. + = 5 = 5 5 Suorat voidaan piirtää esimerkiksi taulukoimalla tai matematiikkaohjelmiston avulla. Suorien leikkauspiste on likimain (,;,), joten yhtälöparin x, ratkaisu on y,. b) Sijoitetaan yhtälöparin ylempään yhtälöön x + y = tuntemattoman y paikalle lauseke x ja ratkaistaan tuntematon x. x+ ( x ) = x+ x = x = x = 9 : x = 9 = Ratkaistaan tuntematon y sijoittamalla alempaan yhtälöön y = x tuntemattoman x paikalle luku : y = =. Vastaus: a) x, ja y, b) ja y= 8

5 ESIMERKKI Ratkaise yhtälöpari laskemalla. y= x+ x 0 a) b) x y = 0 + = y x+ y= Ratkaisu a) Sijoitetaan y = x + alempaan yhtälöön ja ratkaistaan se. x (x+ ) = 0 x x = 0 x + 0= 8 epätosi Yhtälöparilla ei ole ratkaisua. Yhtälöparin yhtälöiden kuvaajat ovat yhdensuuntaisia ja erillisiä suoria. b) Kirjoitetaan ylempi yhtälö ratkaistussa muodossa y = x + ja sijoitetaan se alempaan yhtälöön. x+ ( x+ ) = x x+ = x 0= 0 tosi Yhtälöparilla on äärettömän monta ratkaisua. Yhtälöparin yhtälöiden kuvaajat ovat sama suora y = x +. Vastaus: a) ei ratkaisua b) kaikki suoran y = x + pisteet HARJOITUSTEHTÄVÄT y= x. Ratkaise yhtälöpari y= x. 5 = = 5 5 8

6 y x. Ratkaise yhtälöpari = x+= y laskemalla.. Mitkä ovat ne kaksi lukua, joiden summa on ja erotus 5? x + = = : =. a) Määritä piirtämällä suorien y = x + ja y = x leikkauspisteen koordinaatit y= x+ 5. Ratkaise yhtälöpari x+= y 7 laskemalla. (, ) y= x+ b) Mikä on yhtälöparin y= x ratkaisu? P U L M A Mitkä ovat lukujonon,, 7, 5,,... kaksi seuraavaa lukua? 8. Ratkaise yhtälöpari x+ y= + x 5y= 0 laskemalla.

7 KOTITEHTÄVÄT 7. Ratkaise yhtälöpari laskemalla. x+= y 8 x+= y 9 a) b) x+= y y= x x+= y 8 a) x+= y ( ) x+= y 8 + = 8. Jaa 50 euroa kahteen osaan, joista toinen on euroa suurempi kuin toinen. x+= y 50 = x = + y = y = y = b) x + = 9 = 9 x = 9 x = : x = y = y = y = y x 9. Ratkaise yhtälöpari = y= x piirtämällä y= x 0. Ratkaise yhtälöpari y= x a) piirtämällä b) laskemalla. 85

8 5 Ongelmanratkaisua Tuntemattomien valinta vaikuttaa muodostettavaan yhtälöön tai yhtälöpariin, mutta ei varsinaisen ongelman ratkaisuun. ESIMERKKI Hevoslaitumella on yhteensä ratsastajaa ja hevosta. Niillä on yhteensä 9 jalkaa. Laske yhtälöparin avulla, kuinka monta ratsastajaa ja hevosta laitumella on. Ratkaisu Valitaan ratsastajien lukumäärä tuntemattomaksi x ja hevosten lukumäärä tuntemattomaksi y. Tuntemattomat voidaan valita usealla eri tavalla. Koska ratsastajia ja hevosia on yhteensä, saadaan yhtälö x + y =. Vastaavasti jalkojen lukumääristä saadaan yhtälö x + y = 9. x Muodostetaan yhtälöpari += y x+ y= 9 x+= y ( ) x+ y= 9 ja ratkaistaan se. x y 7 + = x+ y= 9 y= : y= Sijoitetaan y = ylempään yhtälöparin yhtälöön ja ratkaistaan x. x + = x = x = Vastaus: Ratsastajia on ja hevosia. 8

9 Yhtälöiden kuvaajia voidaan käyttää apuna, kun halutaan tutkia tai vertailla erilaisia asioita. ESIMERKKI Laiva lähtee liikkeelle klo.00, jolloin laivojen välimatka on 5 km. Mihin aikaan ja kuinka kaukana lähtöpisteestä laiva saavuttaa laivan? laiva laiva 0 km/h 5 km/h Ratkaisu Koska laivan nopeus on 0 km/h, sen etäisyys y lähtöpisteestä voidaan esittää yhtälönä y = 0x, jossa x on matkaan käytetty aika tunteina. Vastaavasti laivan lähtöhetkellä 5 km edellä oleva laiva kulkee nopeudella 5 km/h, joten sen etäisyyttä lähtöpisteestä kuvaa yhtälö y = 5x + 5. Esitetään laivojen etäisyydet laivan lähtöpisteestä suorina y = 0x ja y = 5x + 5 ja piirretään ne samaan koordinaatistoon etäisyys lähtöpisteestä (km) Laivat kulkevat tasaisilla nopeuksilla, joten niiden liikkeitä voidaan kuvata suorilla. 0 0 laiva 0 laiva 0 aika (h) Laiva saavuttaa edellä kulkevan laivan, kun suorat leikkaavat toisensa. Leikkauspisteessä (, 90) aikaa on kulunut tuntia ja laivan etäisyys lähtöpisteestä on 90 km. Kello on = Vastaus: Laiva saavuttaa laivan klo 5, jolloin etäisyys lähtöpisteeseen on 90 km. 87

10 HARJOITUSTEHTÄVÄT. Ratkaise yhtälöpari. x y 5 a) += x+ y= 0 b) x = y x+= y 5 a) + x+= y 5 x = y = : x = + y = 5 y = 5 y = b) + x+ y= 0 x+= y 5 ( ) x+ y= 0 8x y= 0 = : x = () + y = 5. a) Missä pisteessä suorat leikkaavat toisensa? 5 = 5 5 = + 5 (, ) y= x b) Mikä on yhtälöparin y= x+ ratkaisu?. Luokan oppilaasta tyttöjä on 5 enemmän kuin poikia. Kuinka monta tyttöä luokassa on? + y = 5 y = 88

11 . Laske lounaan ja jälkiruoan hinnat. 9. Millä x koordinaatin arvoilla a) punainen suora on ylempänä kuin violetti suora b) violetti suora on ylempänä kuin punainen suora c) suorat ovat samalla korkeudella? 7 5 = = a) b) 5. Kolme liikettä vuokraa polkupyöriä. Suorat kuvaavat hinnan riippuvuutta vuokra ajasta hinta ( ) Tanko c) 7. Otso ostaa makkaran ja pillimehun, ja ne maksavat yhteensä euroa. Liisi ostaa kolme makkaraa ja kaksi pillimehua, ja ne maksavat yhteensä 8 euroa. Laske makkaran ja pillimehun hinnat Ratas Ketju vuokra-aika (h) Mikä liike on edullisin, kun vuokra aika on a) h b) h c) 7 h? 89

12 KOTITEHTÄVÄT 8. Ratkaise yhtälöpari. x+ y= 8 a) b) x+ 7 y= 9 x+ y= x+= y a) + x+ y= 8 x+ y= = : y = x + = 8 x + = 8 x = 8 x = b) + x+ 7y= 9 x+= y ( 7) x+ 7y= 9 x 7y= 7 = : x = + 7y = 9 + 7y = 9 7y = 9 : y = Milloin kesätöitä kannattaa tehdä tuntipalkalla ja milloin urakkapalkalla? 90

13 9. Kahdesta luvusta toinen on kolme kertaa niin suuri kuin toinen. Lukujen summa on. Mitkä luvut ovat kyseessä? 0. Kuvaajassa on esitetty mopon ja,5 tuntia myöhemmin samaa reittiä lähteneen auton kulkemat matkat ajan funktiona. 0 0 matka (km) mopo auto aika (h) a) Kuinka kaukana mopo on auton lähtiessä matkaan? b) Kuinka pitkälle mopo ehtii ennen kuin auto saavuttaa sen? c) Kuinka kauan autolla menee mopon saavuttamiseen? d) Mitkä ovat mopon ja auton tuntinopeudet? P U L M A. Kaksi aikuisten lippua ja yksi lasten lippu maksavat yhteensä. Yksi aikuisten lippu ja yksi lasten lippu maksavat yhteensä 0. Laske lippujen hinnat. Oheinen kuvio muodostuu neljässä rivissä olevista pikkukolmioista, joita on yhteensä. Kuinka monta a) pikkukolmiota on kuviossa, joka muodostuu viidestä rivistä b) riviä on kuviossa, jossa on pikkukolmiota? 9

14 Kertaus Yhtälön ratkaisua. Ratkaise yhtälö. a) x + 7 = 5 7 Kaksi yhtälöä ja kaksi tuntematonta. Päättele värisauvojen x ja y pituudet. x x x x y x y 0 x = x = y = b) x + 0 = x =. Päättele x:llä merkityn punnuksen massa, kun vaaka on tasapainossa. kg kg kg 0 kg 8 Yhtälöpari ja sen ratkaisu 7. Onko lukupari (, 7) yhtälöparin x+= y 5 y= x+ ratkaisu? Perustele. = = 9 x = 5 Yhtälöharjoittelua. Ratkaise yhtälö. a) x 0 = b) 7x + = 5x + 9 c) x + 0 = x d) x = x. Ratkaise yhtälö. a) 0(x + ) = 0 b) (x ) = 8 Onko yhtälöllä aina ratkaisu? 5. Tutki, onko x = 5 yhtälön x + = x + 9 ratkaisu. Perustele. 9 Yhtälöparin ratkaiseminen piirtämällä y= x 8. Ratkaise yhtälöpari y= x piirtämällä

15 0 Yhtälöparin ratkaiseminen sijoitusmenetelmällä x 9. Ratkaise yhtälöpari = x y=. y = y = y = y = : Yhtälöparilaskuja y= x+. Ratkaise yhtälöpari y= x a) piirtämällä b) laskemalla.. Muodosta yhtälöpari ja laske värisauvojen x ja y pituudet. x x x y y y y y y y y Sijoitusmenetelmän harjoittelua x y 0. Ratkaise yhtälöpari = x+= y. Yhtälöparin ratkaiseminen yhteenlaskumenetelmällä x y. Ratkaise yhtälöpari += x = y. x+= y + x = y x = x = : 5 Ongelmanratkaisua 5. Kahden luvun summa on 9 ja erotus 5. Mitkä luvut ovat kyseessä?. Parkkipaikalla on polkupyöriä ja autoja yhteensä. Niissä on yhteensä 9 rengasta. Laske yhtälöparin avulla polkupyörien ja autojen lukumäärät. + y = y = y = Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua. Ratkaise yhtälöpari. x y= 8 0x+ 8y= a) b) x+ y= 5 x y= 0 Kokoavia tehtäviä x 7. Ratkaise yhtälöpari = x+= y. 8. Markolla ja Juholla on rahaa yhteensä 87 euroa. Kuinka paljon rahaa on kummallakin pojalla, kun Markolla on rahaa kaksi kertaa niin paljon kuin Juholla? 9

16 Tiivistelmä Käsitteitä Polynomi on termeistä koostuva summalauseke. Yhtälöpari toteutuu, kun yhtälöt ovat samanaikaisesti voimassa. Esimerkkejä Polynomilausekkeen sieventäminen. a) (x 5) + (7x + 8) = x 5 + 7x + 8 = 0x + b) ( x + 8) (x ) = x + 8 x + = x + 9 c) x 5x = 5 x x = 0x d) x (5x ) = x 5x + x ( ) = 0x x e) (x + )( x + 5) = x ( x) + x 5 + ( x) + 5 = x + 5x 9x + 5 = x x + 5 f) x 8 = x + 8 = x + Yhtälöparin ratkaiseminen y. Ratkaistaan yhtälöpari = x + y= x+ piirtämällä. 5 (, ) = + = x Ratkaisu on suorien leikkauspiste = y=. x+= y. Ratkaistaan yhtälöpari x+ y= yhteenlaskumenetelmän avulla. x+= y x+ y= ( ) + x+= y x y= 8 5y= 5 :( 5) y= Sijoitetaan y = alempaan yhtälöön. x + = x = 9 x = 5 Vastaus: x = 5 ja y = 9