Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset"

Jussi Virtanen
8 kuukautta sitten
Katselukertoja:

Transkriptio

1 Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin suuntiin: Matti itään ja Maija länteen. Tunnin kuluttua he ovat 5 kilometrin päässä toisistaan, ja Maija on kilometrin kauempana alkupisteestä kuin Matti. Kuinka pitkän matkan Matti on kulkenut? (2 p.) s1 + s2 = 5 Kirjoitetaan yhtälöpari: {, jossa s1 = Matin ja s2 = Maijan kulkema matka (1 p.). Ratkaistaan s2 s1 = 1 toisesta yhtälöstä s2 s2 = 1 + s1 ja sijoitetaan ensimmäiseen yhtälöön s1 + s1 + 1 = 5, joten s1 = 2 ja s2 = Vastaus: Matti on kävellyt 2 km. (1 p.) 7. b) Seuraavaksi he jatkavat a)-kohdan mukaisilla nopeuksilla suoraan pohjoiseen päin. Kuinka kauan heidän pitää vielä kävellä, jotta he olisivat 10 km:n päässä toisistaan? ( p.) Ensin täytyy ratkaista a)-kohdan kävelynopeudet: nopeus = matka/aika Matin nopeus v1 = 2 km 1 h = 2 km/h ja Maijan nopeus v2 = km 1 h = km/h Kun he kävelevät ajan T pohjoiseen, he ovat kävelleet seuraavasti: Matti: X = 2km (itä-länsisuunta), Y = 2 km/h * T (pohjois-eteläsuunta) Maija: X = km (itä-länsisuunta), Y = km/h * T (pohjois-eteläsuunta) Tällöin heidän etäisyytensä (x) toisistaan voidaan merkitä seuraavasti: x = ( ( 2)) 2 + (T 2T) 2 = 25 + T 2 (2 p.) sijoitetaan x = 10, jolloin 10 = 25 + T 2, 100 = 25 + T 2, T = 75 8,7 Vastaus: Noin 8,7 tunnin eli 8 tunnin ja 40 minuutin kuluttua (1 p.)

2 8. a) Suuretta y kuvaa yhtälö y = 1 + 0,5exp ( At), missä t on aika ja A on vakio. Millä t:n arvolla y = 1,25? (2 p.) Ratkaistaan t yhtälöstä y = 1 + 0,5exp ( At), kun y = 1,25 1,25 = 1 + 0,5 exp( At) 0,25 = 0,5exp ( At) 0,5 = exp ( At) ln(0,5) = At t = ln (0,5) A Vastaus: Ajanhetkellä t = ln (0,5) A (2 p.) 8. b) Suuretta y kuvaa yhtälö y = 10A t, missä t on aika ja A on vakio. Suure y saa arvokseen y = 500 ajanhetkellä t = 2. Mikä on suureen y arvo ajanhetkellä t =? ( p.) Ratkaistaan A, kun t = 2 ja y = 500: 500 = 10A 2 A = 50 1/2 tai A = 50 1/2 (1 p.) Ajanhetkellä t = y = 10A = /2 56 tai y = 10 ( 50) /2 56 (2 p.)

3 9. Neljä ympyrää leikkaa toisensa muodostaen kuvan tummennetun alueen. Ympyröiden keskipisteet ovat keskellä neliön sivuja. Neliön sivun ja ympyröiden halkaisijan pituus on x. Mikä on tummennetun alueen pinta-ala? (5 p.) Tarkastellaan aluetta A osa Alueen A osa pinta-ala on 1/8 koko tummennetun alueen pinta-alasta A. Alueen A osa pinta-ala on ympyrän neljänneksen (jonka säde on x/2) pinta-ala miinus puolet neliön (jonka sivun pituus on x/2) pinta-alasta. ( p.) A = 8A osa = 8 ( 1 4 π (x 2 )2 1 2 (x 2 )2 ) = 8 ( 1 16 πx2 1 8 x2 ) = 1 2 πx2 x 2 = ( 1 2 π 1) x2 (2 p.)

4 10. Olkoon f(x) = (90 x)( x + x 2 ). (5 p.) a) Määritä funktion f nollakohdat. b) Millä väleillä funktio f on kasvava? c) Millä muuttujan x arvoilla funktion f derivaatta on yhtä suuri kuin erään funktion g, g(x) = x, tangenttisuoran kulmakerroin? d) Määritä funktion f suurin ja pienin arvo välillä [20,100]. a) Funktion nollakohdat ratkaisevat yhtälön f(x) = 0. Funktion nollakohdat ovat siten x = 90, x = 5, ja x = 45. (1 p.) b) Funktion derivaatta on f (x) = x x Derivaatta on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, kun x x (0,5 p.) Tämän epäyhtälön ratkaisujoukko on väli [ , ]. Koska derivaatta on siis tällä välillä suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, funktio on tällä välillä kasvava. (0,5 p.) c) Funktion g, g(x) = x, tangenttisuoran kulmakerroin on 72. (0,5 p.) Funktion derivaatta, f (x) = x x , saa tämän arvon kohdassa, joka ratkaisee yhtälön. x x = 72. (0,5 p) Tämän yhtälön ratkaisut ovat x = 27 ja x = 161 (1 p.) d) Funktio f saa välillä [20, 100] suurimman ja pienimmän arvonsa joko välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. Kohdassa x = 20 funktion arvo on (0,25 p.), ja kohdassa x = 100 arvo on (0,25 p.). Funktion derivaatan nollakohdista vain kohta x = kuuluu kyseiselle välille, ja funktion arvo siinä on noin (0,25 p.). Kyseisellä välillä funktion suurin arvo on siis noin ja pienin (0,25 p.)

5 11. a) Eräässä aineistossa on havaintoja n kappaletta. Oletetaan, että jokaiseen havaintoon liittyvä lukuarvo kasvaa yhdellä. 1. Mitä tällöin tapahtuu havaintoaineiston (aritmeettiselle) keskiarvolle? Perustele. 2. Mitä tällöin tapahtuu havaintoaineiston vaihteluvälin pituudelle? Perustele.. Mitä tällöin tapahtuu havaintoaineiston keskihajonnalle? Perustele. ( p.) a) Olkoon havaintojen lukuarvot x 1,, x n. 1. Aritmeettinen keskiarvo x lasketaan kaavalla x = n i=1 x i n. Lisäämällä jokaiseen havaintoarvoon yksi, kasvaa jaettava luvulla n. Luku n jaettuna luvulla n on yksi, joten keskiarvo kasvaa yhdellä. (1 p.) 2. Olkoot x min ja x max aineiston havaintojen pienin ja suurin arvo. Vaihteluvälin pituus on x max x min. Jos kaikki havaintoarvot kasvavat yhdellä, myös pienin ja suurin havaintoarvo kasvavat yhdellä. Tällöin vaihteluvälin pituus säilyy ennallaan. (1 p.). Keskihajonta lasketaan jommallakummalla kaavoista n i=1 (x i x ) 2 n tai n i=1 (x i x ) 2 n 1 jossa x on aritmeettinen keskiarvo. Koska jokainen havaintoarvo kasvaa yhdellä, myös aritmeettinen keskiarvo kasvaa yhdellä, joten yhteenlaskettavat eivät muutu lainkaan. Tällöin keskihajontakaan ei muutu. (1 p.) 11. b) Yhtälössä 4x = kx 1 kerroin k on nopanheitolla saatava silmäluku, kun noppa on tavallinen kuusisilmäinen noppa. Millä todennäköisyydellä yhtälön ratkaisu on positiivinen? (2 p.) b) Yhtälön ratkaisu on x = 1. (1 p.) Koska k on tavallisen nopan nopanheiton silmäluku, se on aina 4+k positiivinen. Eli yhtälön ratkaisu on positiivinen todennäköisyydellä 1. (1 p.)

6 12. Merialueen kalakannan koko on erään vuoden alussa 500 tonnia. Kalastus on kielletty vuosittain kalojen kutuaikana. Kutuajan päättyessä kannan koko on kasvanut 10 prosenttia. Kutuajan jälkeen kannasta kalastetaan joka vuosi 60 tonnia. Kuinka suuri kalakanta on kymmenen vuoden kuluttua? (5 p.) Olkoon A kalakannan koko alussa ja K vuosittainen kalastus. Ensimmäisen vuoden kutuajan jälkeen kannan koko on Aβ, jossa β on kerroin 1,1. Ensimmäisen vuoden kalastuksen jälkeen kannan koko on Aβ K. Toisen vuoden kutuajan jälkeen kannan koko on (Aβ K)β, ja kalastuksen jälkeen (Aβ K)β K. Eli Vuosi 1: Vuosi 2: Vuosi : Aβ K (Aβ K)β K = Aβ 2 Kβ K ((Aβ K)β K)β K = Aβ Kβ 2 Kβ K ja niin edelleen Vuosi 10: Aβ 10 Kβ 9 Kβ 8 Kβ K, jossa kaavat viittaavat aina kunkin vuoden kalastuksen jälkeiseen kalakannan kokoon. (2 p.) Tunnetusti Aβ 10 Kβ 9 Kβ 8 Kβ K = Aβ 10 K 1 β10. (1 p.) 1 β Sijoittamalla em. kaavaan annetut tiedot (A = 500, β = 1,1 ja K = 60) saadaan kalakannan kooksi kymmenen vuoden kalastuksen jälkeen noin 41 tonnia. (2 p.) (Suorempi tapa olisi ollut tulkita K annuiteettina, β korkokertoimena ja A ''alkupääomana'', jolloin viimeisen kaavan oikeaa puolta olisi voinut soveltaa suoraan.)

Samankaltaiset tiedostot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut