3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio

Transkriptio

1 3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat tarkoittavat lähinnä sitä, että mainitut suureet riippuvat toisistaan. Jarrutusmatka on samanlaisissa olosuhteissa yleensä sitä pitempi, mitä suuremmasta vauhdista jarrutus aloitetaan, ja jäätielle uskaltaa mennä sitä raskaamman ajoneuvon kanssa, mitä paksumpaa jää on. Ilmaisut eivät kuitenkaan ole matemaattisen täsmällisiä, sillä ei ole olemassa mitään tarkkaa lakia tai matemaattista lauseketta, jolla voisi etukäteen päätellä jarrutusmatkan, kun vauhti on annettu. Jarrutusmatka saattaa vaihdella suurestikin esimerkiksi keliolosuhteista, auton massasta, kunnosta tai varusteista riippuen, vaikka se joka kerta aloitettaisiin samasta vauhdista. Kuitenkin arkipäivän kielenkäyttö paljastaa jotakin funktion käsitteen luonteesta. Kysymyksessä on jonkinlainen riippuvuus kahden suureen välillä. Matematiikassa pyritään suureen täsmällisyyteen, joten funktionkaan määrittelyssä ei saa syntyä epäselvyyttä, mitä oikein tarkoitetaan. Matematiikassa riippuvuuden on oltava niin täsmällistä, että toisen suureen arvo täysin yksikäsitteisesti määrää toisen arvon. Mitään sekaannusta ei synny, jos sanotaan esimerkiksi, että ympyrän pinta-ala A on ympyrän säteen r funktio, sillä säteen pituus yksinään riittää määräämään alan. Ei ole merkitystä sillä, onko ympyrän kehä piirretty lyijykynällä vai kuulakärkikynällä, valkoiselle taikka värillisille paperille tai onko sitä piirretty ensinkään. Säteen pituus yksinään ja vain se määrää aivan riidattomasti ympyrän pinta-alan ja myös ympyrän kehän pituuden. Tavallisesti matematiikassa tarkastellaan "matemaattisia" funktioita ja ennen kaikkea pyritään piirtämään ja tulkitsemaan niiden kuvaajia, mutta funktion käsitteen ymmärtämiseksi katsellaan joitakin ei-matemaattisiakin esimerkkejä. Kohta alkuun esitetään häkellyttävän tuntuinen sopimus siitä, mitä funktio tarkoittaa. Määritelmä sanan symbolina voi ajatuksissaan viljellä myös käsitettä sopimus, sillä todellakin määritelmä on eräänlainen sopimus, jonka pohjalle järjestelmää ryhdytään rakentamaan. Tämä ilmenee erityisen selvästi toisena ja kolmantena opiskeluvuonna differentiaali ja integraalilaskennassa. MÄÄRITELMÄ 7 : Olkoot A ja B kaksi ei-tyhjää joukkoa. Sellaista sääntöä tai lakia, joka liittää joukon A jokaiseen alkioon täsmälleen yhden alkion joukosta B, sanotaan funktioksi tai kuvaukseksi joukosta A joukkoon B.

2 Joukkoa A sanotaan funktion määritysjoukoksi (Df) ja joukkoa B sen maalijoukoksi. (D = define) Ne joukon B alkiot, jotka ko. kuvauksessa tulevat liitetyiksi määritysjoukon alkioihin, muodostavat funktion arvojoukon (Vf). (V = value) Sitä sääntöä, joka näin liittää mainittujen joukkojen alkioita toisiinsa, symbolisoidaan usein kirjaimella f, (joskus g, m, V jne.) ja sitä, että on nimenomaan joukkojen A ja B alkioiden välisestä riippuvuudesta kysymys, merkitään f: A B. Määritysjoukon A = Df alkiota eli riippumatonta muuttujaa (argumenttia) merkitään matemaattisissa funktioissa erittäin usein kirjaimella x ja taas riippuvaa muuttujaa (eli funktiota) puolestaan merkitään kirjaimella y. Itse funktion laki, mikäli on kyseessä matemaattinen funktio, ilmaistaan melkein aina yhtälönä muodossa y = f(x). Käsitteistö ei välttämättä ole varttitunnissa opiskeltu ja ymmärretty. Asia voi osoittautua vaikeaksi. Sitä paitsi sanaa funktio käytetään paitsi joukkojen alkioita toisiinsa sitovasta säännöstä myös koko asian pääotsakkeena. Funktiota ei suinkaan aina tarvitse merkitä kirjaimella f, vaan on jopa suotavaa käyttää fysiikassakin yleisesti käytettyjä symboleja. Esim. 1 a) x(t) = vot + ½at2 on fyysikoille tuttu kaava, ja ilmaisee tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä olevan, origosta lähteneen kappaleen paikka-koordinaatin ajan funktiona. Tällöin oletetaan kaavassa myös esiintyvät alkuvauhti vo ja kiihtyvyys a vakioiksi. b) V(R) = 3 4πR 3 ilmoittaa pallon tilavuuden säteen funktiona. Esim. 2 Joukko A = {x x on vuonna 1990 syntynyt Suomen kansalainen} Joukko B = {y y on nainen, joka on syntynyt vuonna 1930 tai myöhemmin}.

3 Sääntö, joka liittää joukon A (määritysjoukko) alkioon alkion joukosta B, kuuluu näin: f: A B : y on x:n (biologinen) äiti. Onko tämä joukkojen välinen, alkioita toisiinsa sitova sääntö, funktio? Liittääkö tämä sääntö jokaiseen joukon A alkioon täsmälleen yhden alkion joukosta B, ts. onko joukon A jokaisella ihmistaimella äiti ja onko äitejä vain yksi? Epäilemättä vastaus on myönteinen kumpaankin kysymykseen, joten kyseessä on todellakin funktio. Kuinkahan monta alkiota on funktion arvojoukossa? Huomaa, että joukossa B on monta naista, joista kukaan ei ole ryhmän oppilaan äiti. Onpa asia niinkin, että moni tyttö kuuluu alkiona sekä joukkoon A että joukkoon B, mutta kyseessä on silti funktio. Esim. 3 Sääntö, joka liittää jokaiseen Suomen kansalaiseen hänen sosiaaliturvatunnuksensa, on myös funktio. Tavallisesti ei kuitenkaan kirjoiteta, että f(mikael Nelitola) = F. Esim. 4 A = {1,2,4,7} ja f: A B : f(x) = 2x 3. Mikä on funktion arvojoukko? Funktion määritysjoukossa Df = A on vain neljä alkiota. Sääntö, joka niistä jokaiseen liittää maalijoukon alkion, on nyt annettu matemaattisena yhtälönä ja arvojoukon alkiot voidaan yksitellen laskemalla määrittää: f (1) = = 1 f (2) = = 1 f (4) = = 5 f (7) = = 11 joten funktion arvojoukko Vf = { 1,1,5,11}. Funktiota sanotaan reaalifunktioksi, jos sen sekä määritysjoukko että maalijoukko ovat reaalilukujen joukko R. On tosin tapauksia, että reaalifunktion arvoa ei voida aina laskea kaikilla reaaliluvuilla, mutta tällöinkin on tapana puhua reaalifunktiosta. Määritysjoukkoa ei useinkaan erikseen ilmoiteta, mutta tällöin sen oletetaan tällöin olevan laajin mahdollinen reaalilukujoukon osajoukko. Toisinaan saatetaan pyytää se määrittämään.

4 Esim. 5 a) y = f(x) = x. Negatiivisilla luvuilla ei ole neliöjuurta. Tämä funktio on määritelty vain x:n positiivisilla arvoilla ja nollalla. D f = { x R x 0}. b) y = g(x) = x Nollalla ei saa jakaa. Siispä Df = { x R x 1}, x 1 x 2 1 sillä lausekkeen arvo voidaan aina laskea olipa x mikä x + 1 tahansa reaaliluku kunhan se ei ole ykkönen. Kaikki edellä esitellyt funktiot ovat olleet yhden muuttujan funktioita. Jos merkitään kolmion kanta = a ja korkeus = h, niin kolmion pinta-ala A on kahden muuttujan funktio: A(a,h) = ½ah. Jos merkitään suorakulmaisen särmiön pituutta, leveyttä ja korkeutta vastaavassa järjestyksessä = x, y ja z, niin särmiön tilavuus V on kolmen muuttujan funktio: V(x,y,z) = xyz. Myös korkolaskun kaava r = kpt/100 on kolmen muuttujan funktio, sillä vaikuttavathan koron r määrään kaikki kolme kaavassa oikealla puolella esiintyvää suuretta. Olisi hyvä opetella funktion merkitsemistapa heti alkuun täsmällisesti ja muodollisesti oikein. Funktioista voidaan mainita vielä ns. empiiriset eli kokemusperäiset funktiot, joita ei voida esittää täsmällisinä matemaattisina lausekkeina. Ilmiöille voidaan kuitenkin etsiä matemaattisia malleja (fysiikka, biologia, lääketiede). Esim. 6 Synnyttävän äidin vatsan päälle voidaan kiinnittää anturi, jonka perään liitetty elektroniikka saattaa monitorille katseltavaksi tai paperille piirtää maailmaan tulevan ihmistaimen sydämen lyöntitaajuuden ajan funktiona. Tämä piirros kuten vaikkapa sairaan henkilön kuumekäyrä saattaa olla hyvin käyttökelpoinen kuvio, vaikkei matemaattinen funktio olekaan. Jokaiseen ajanhetkeen liittyy potilaan kehon ainakin lääketieteellisessä mielessä jokseenkin yksikäsitteinen lämpötila, joten on oikeutettua puhua funktiosta. Lukusuoran jokaista pistettä vastaa reaaliluku ja kääntäen jokaisella reaaliluvulla on vastinpisteensä lukusuoralla. Jos asetetaan kaksi lukusuoraa kohtisuoraan toisiaan vastaan niiden origot yhtyen, saadaan tasokoordinaatisto, jonka jokaista pistettä

5 vastaa reaalilukupari, ja kääntäen jokaisella reaalilukuparilla (x,y) tai (t,v) on vastinpisteensä tällä tasolla. Näin tullaan funktion graafiseen esittämiseen, funktion kuvaajaan, jonka laatiminen, tutkiminen ja tulkinta on keskeinen osa matematiikkaa. Yksinkertaisia funktioita, joiden määritysjoukossa on vain muutama alkio, voidaan havainnollistaa nuolikuviona. Piirretään kaksi suljettua tasoaluetta, joita esittävät funktion määritys- ja maalijoukkoja niin, että kumpaankin kuuluvat alkiot on kirjoitettu näkyviin. Esim. 7 Vasemmanpuoleisessa joukossa on lueteltu eräitä kuuluisia romaaneja ja oikeanpuoleisessa joitakin kirjailijoita. Vastaavuus, joka liittää jokaiseen romaaniin sen kirjoittajan on funktio, mutta ei välttämättä päinvastoin. Miksei esim. yllä olevassa kuviossa? Reaalifunktioitten tapauksessa olisi mieletöntä yrittää mitään ylläolevankaltaista havainnollistusta, koska reaalilukuja, itse asiassa jo luonnollisiakin lukuja on ääretön määrä. Reaalifunktioita havainnollistetaan niiden pisteiden joukkona, jotka toteuttavat funktion määrittelevän yhtälön. Tämä havainnollistus on xy-tasossa viiva, jonka piirtäminen on joskus vaikeaa, joskus helppoa, mutta melkoisella painolla mukana matematiikan opinnoissasi. Kun tiettyyn määritysjoukon alkioon, reaalilukuun x, liittyy täsmälleen yksi reaaliluku y tavalla, jonka funktion lain ilmoittava yhtälö määrää eikä koskaan useampia, niin funktion kuvaajana olevaa viivaa ei mikään y-akselin suuntainen suora voi leikata kuin korkeintaan yhdessä pisteessä. Tämä on tärkeä asia tietää ja

6 ymmärtää. Näin ollen esimerkiksi tasoon piirretty ympyräviiva ei voi olla minkään funktion kuvaaja. Yksinkertaisimpia funktioita ovat polynomifunktiot. Niitä määrittelevät yhtälöt sisältävät oikeana puolenaan polynomin. Kaikkein yksinkertaisimpia näistä ovat nollannen ja ensimmäisen asteen polynomifunktiot, joiden kuvaajana aina on suora viiva. Esim. f(x) = 2x 3 on ensimmäisen asteen polynomifunktio ja g(x) = 5 on nollannen asteen polynomifunktio eli ns. vakiofunktio. Tällaisia yksinkertaisiakin funktioita voidaan käyttää matemaattisena mallina kuvaamaan joitakin reaalimaailman tapahtumia. Raamatussa on kertomus viinitarhurista, joka lähetti miehiä työhön viinitarhaansa ja maksoi auringon laskiessa jokaiselle palkkaa denaarin riippumatta siitä, oliko asianomainen henkilö ollut työssä 12 tuntia, 9 tuntia, 6 tuntia, 3 tuntia vai ainoastaan tunnin. Joka mies sai siis saman palkan, mikä käynee esimerkkinä vakiofunktiosta; se saa kaikilla muuttujan arvoilla saman arvon ja sen arvojoukossa on siten ainoastaan yksi alkio. Tarkastellaan ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaajan piirtämistä ja yhtälön muodostamista. Asetellaanpa aluksi koordinaatistoon viivoitin, niin että sen syrjälle asetettu kynä käy pisteen Q = (x 0, y 0 ) kautta ja piirretään nouseva suora niin, että se muodostaa x-akselin positiivisen suunnan kanssa kulman α. y P = (x, y) Q = (x 0, y 0 ) α y y 0 α x x 0 x Suoralta on kuvassa valittu mielivaltainen piste P = (x,y), ja sen kautta on piirretty y-akselin suuntainen suora. Pisteen Q kautta on piirretty x-akselin suuntainen suora ja näiden apupiirrosten avulla on saatu aikaan suorakulmainen kolmio, jonka

7 hypotenuusan muodostaa pieni pätkä piirrettyä suoraa, ja jonka kateettien pituudet ovat x x 0 ja y y 0. Näin konstruoidusta kolmiosta saadaan yhtälö y y tan α = 0 y y0 = (x x0) tan α y y0 = k(x x0) x x0 (*) missä on merkitty k = tanα. Tässä tarvittaisiin geometrista tietoa samankohtaisten kulmien käsitteestä; edellissivun kuviossa on kaksi α:n suuruista kulmaa. Koska valittu piste P oli mielivaltainen suoran piste, niin mikä tahansa suoran piste, mutta ei yksikään suoralle kuulumaton piste, toteuttaa yhtälön (*). Jos piirrettäisiin pisteen Q kautta kulkeva laskeva suora, jonka kaltevuuskulma x- akselin kanssa on niin ikään α, otettaisiin tältä mielivaltainen piste P = (x, y), ja kuvio täydennettäisiin taas suorakulmaiseksi kolmioksi, jonka hypotenuusa olisi jana y y QP, niin tässä tapauksessa suhde 0 olisi negatiivinen, mutta kaikille suoran x x0 pisteille vakio. Kun myöhemmin määritellään trigonometriset funktiot myös negatiivisille kulmille, niin tullaan näkemään, että vastakulmien tangentit ovat toistensa vastalukuja. Näiden johdattelujen jälkeen voidaan kirjoittaa LAUSE 12: Yhtälön y = k(x x ) kuvaaja on aina pisteen (x 0, y 0 ) kautta y 0 0 kulkeva suora viiva, jonka kaltevuuskulma α x-akseliin nähden toteuttaa yhtälön tanα = k Suora oikealle siirryttäessä (x:n arvojen kasvaessa) nousee, jos k > 0 laskee, jos k < 0 on vaakasuora, jos k = 0. Lukua k sanotaan suoran kulmakertoimeksi, joka määrää suoran "jyrkkyyden"! Mitä suurempi k on, sitä suurempi on myös suoran kaltevuuskulma α, ja sitä jyrkemmin suora nousee tai laskee. Trigonometrian taitajat käyttävät suoran

8 piirtämisessä menetelmää, joka perustuu siihen, että sisäistää kulmakertoimen ja suoran suuntakulman välisen yhteyden. Jos esimerkiksi k = 2, ja kun k = tanα, niin siirty-mällä pisteestä (x 0, y 0 ) yksi (pituusyksikkö) oikealle ja tästä pisteestä kaksi 2 (pituus-yksikköä) ylös, tullaan suoran pisteeseen. Jos taas k =, niin pisteestä (x 0, 3 y 0 ) edetään ensin kolme oikealle, sen jälkeen kaksi alas, ja taas ollaan suoran pisteessä. Sievennetään yhtälöä y y0 = k(x x0) poistamalla sulut ja siirtelemällä termejä: y y0 = k(x x0) y = kx + y0 kx0 y = kx + b, missä on merkitty b = y0 kx0. Siten on oikeutettua sanoa, että ensimmäisen asteen polynomifunktio on yleistä muotoa y = kx + b, johon origon kautta kulkeva suora y = kx sisältyy erikoistapauksena b = 0. LAUSE 13: Funktion y = kx + b kuvaaja on suora viiva, joka leikkaa y-akselin pisteessä (0,b) ja jonka kaltevuuskulma α x-akselin suhteen määräytyy yhtälöstä tanα = k Suora oikealle siirryttäessä nousee, jos k > 0 laskee, jos k < 0 on x-akselin suuntainen, jos k = 0. Mikäli erikoisesti piste (x 0, y 0 ) on origo, niin origon kautta kulkevan suoran yhtälö on y = kx

9 Jos kaksi käytännön elämässä esiintyvää suuretta, esim. t ja s, riippuvat toisistaan niin, että niitä toisiinsa sitova yhtälö on muotoa s = kt, niin sanotaan, että s (funktio) on suoraan verrannollinen t:hen (argumenttiin). Jos tehtävänäsi on piirtää funktion f(x) = kx kuvaaja eli piirtää suora y = kx, niin tiedät heti, että tämä kulkee aina origon kautta. Kun kaksi pistettä määrää suoran ja kun suoran piirtämiseen tarvitaan viivoitin, kynä ja paperia, niin viivoittimen asettamiseksi oikeaan kohtaan riittää määrittää origon lisäksi toinenkin piste. Tämä tapahtuu antamalla x:lle mielivaltainen arvo ja laskemalla sitä vastaava y:n arvo. Kahta eri suoraa sanotaan yhdensuuntaisiksi, jos niillä on sama kaltevuuskulma α. Kun muistetaan, mikä yhteys suoran kaltevuuskulmalla oli suoran kulmakertoimeen, tästä seuraa välittömästi varsin käyttökelpoinen tulos: LAUSE 14: Jos suorien kulmakertoimet ovat samat eli kun k 1 = k 2, niin suorat y = k1x + b1 ja y = k2x + b2 ovat yhdensuuntaiset. Lausetta käytettäessä on tarkoin huomattava, että kun funktion esitysmuoto on yhtälö, ja kun yhtälöä saa muokata, niin ensimmäisen asteen polynomifunktion kyseessä ollen muuttujan x edessä oleva luku antaa suoran kulmakertoimen varmasti oikein vain siinä tapauksessa, että yhtälö nimenomaan on muodossa y = kx + b. Esim. 8 Mikä on suoran 1000x + 500y = 0 kulmakerroin ja suuntakulma? 1000x + 500y = 0 500y = 1000x 2000 :500 y = 2x 4

10 Nyt nähdään, että kulmakerroin k = 2, joka kertoo sen, että suora on laskeva ja kaltevuuskulman määrittämiseksi ratkaistaan yhtälö tan α = 2 0 α = Suoran kaltevuuskulmaa pidetään negatiivisena silloin, kun se on laskeva. Siis kulmakerroin k = 2 ja kaltevuuskulma noin Esim. 9 Määritä vakio b siten, että suora y = 1½x + b kulkee pisteen ( 4, 5) kautta. Funktion kuvaajan jokaisella pisteellä ja vain näillä tason pisteillä on se ominaisuus, että ne toteuttavat funktion yhtälön. Sijoitetaan siis funktion yhtälöön x:n paikalle 4 ja y:n paikalle 5, jolloin saadaan yksinkertainen yhtälö b:n määräämiseksi: y = 1½x + b b = y + 1½ x = 5 + 1½( 4) = 5 6 = 1. Vastaus: b = 1 Trigonometriasta muistetaan, ja ellei muisteta, myöhemmin opitaan, että 90o kulmalla ei ole tangenttia. Tämä merkitsee näissä yhteyksissä sitä, että suoralla, jonka kaltevuuskulma on 90o eli y-akselin suuntaisella suoralla ei ole lainkaan kulmakerrointa. Sellaisen suoran yhtälöä ei voida mitenkään ilmoittaa muodossa y = kx + b, mutta suoran kaikille pisteille on yhteistä se, että niillä on sama x-koordinaatti. Vastaavasti x-akselin suuntaisen suoran jokaisella pisteellä on sama y-koordinaatti, mutta tällaisella suoralla on kulmakerroin k = 0, kuten esitetyistä lauseista 12 ja 13 kävi ilmi. Koordinaattiakseleille saadaan näin omat yhtälönsä x-akselille y = 0 y-akselille x = 0

11 Yhtälössä y = kx + b voidaan siirtää kaikki termit yhtäsuuruusmerkin vasemmalle puolelle, jolloin saadaan esimerkiksi yhtälö kx y + b = 0, mikä on yleistä muotoa ax + by + c = 0, ja missä a,b ja c merkitsevät vakioita. Mikäli ainakin b 0, yhtälö määrittelee y:n muuttujan x funktiona. Mikäli vain annetaan x:lle jokin arvo, yhtälöstä voidaan aina ratkaista vastaava y:n arvo eli yhtälö voidaan ratkaista y:n suhteen. Yhtälöä, joka sitoo toisiinsa kahta tai useampaa muuttujaa niin, että yhtälön toisena puolena on nolla, sanotaan joskus ratkaisemattomaksi funktioksi. Jos yhtälö ax + by + c = 0 saadaan ratkaistuksi y:n suhteen (b 0), saadaan muuttuja y lausutuksi x:n ratkaistuna funktiona: by = ax c a y = x b Funktion kuvaaja on lauseen 1.13 mukaan siis suora. Tätä suoraa sanotaan yhtälön ax + by + c = 0 kuvaajaksi ja yhtälöä puolestaan ko. suoran yhtälöksi. Suoran ax + by + c = 0 piirtämiseksi ei yhtälöä tarvitse saattaa ratkaistuun muotoon, sillä on mahdollista määrittää alkuperäisen yhtälön avulla kaksi suoran pistettä, joiden avulla suora piirretään. Mainituiksi pisteiksi usein on helpointa valita koordinaattiakselien ja suoran leikkauspisteet: sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön vuorotelleen kumpikin muuttuja nollaksi ja ratkaistaan jäljelle jäänyt muuttuja. Keino ei tietenkään ole käyttökelpoinen, jos suora kulkee origon kautta tai jos näin saadut pisteet sijaitsevat erittäin lähellä toisiaan. Jos yhtälössä ax + by + c = 0 vakio a = 0, mutta b nollasta eroava, niin yhtälö saa muodon by + c = 0 eli c y = b Yhtälön kuvaaja on tällöin x-akselin suuntainen suora. Sen kaikilla pisteillä on sama c y-koordinaatti ja mainittu suora leikkaa y-akselin siten pisteessä (0, ). b c b

12 Mikäli vakio b = 0, mutta a nollasta eroava, saadaan yhtälö muotoon ax + c = 0 eli x = c, a jonka kuvaaja on y-akselin suuntainen suora. Sen jokaisella pisteellä on sama x- c koordinaatti ja tämä suora kohtaa siten x-akselin pisteessä (,0). a Näin on johdateltu oikeaksi tärkeä LAUSE 15: Ensimmäisen asteen yhtälön ax + by + c = 0 kuvaaja on aina suora, kunhan vain vakiot a ja b eivät molemmat ole samanaikaisesti nollia. Tapauksessa c = 0 yhtälön kuvaaja on origon kautta kulkeva suora. Esim. 10 Piirrä suora 3x 2y 6 = 0. Kun sijoitetaan x = 0, saadaan suoran ja y-akselin leikkauspiste: 2y 6 = 0, josta y = 3. Kun sijoitetaan y = 0, saadaan suoran ja x-akselin leikkauspiste: 3x 6 = 0, josta x = 2. Suora kulkee siis pisteiden (0, 3) ja (2,0) kautta Esim. 11 Piirrä suora 4x + 2y = 1 Tällä ja yhtälöllä 4x + 2y 1 = 0 on tietenkin sama kuvaaja. Kun x = 0, saadaan y = ½ ja kun y = 0, saadaan x = 1/4. Suora kulkee siis pisteiden (0,½) ja ( 1 4,0) kautta. Nämä pisteet sijaitsevat niin lähekkäin, että suoraa on vaikea tarkasti piirtää, joten sijoitetaan yhtälöön esimerkiksi x = 2, jolloin saadaan y = 3½. Piirretään siis suora pisteiden (0,½) ja (2, 3½) kautta.