3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio"

Transkriptio

1 3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat tarkoittavat lähinnä sitä, että mainitut suureet riippuvat toisistaan. Jarrutusmatka on samanlaisissa olosuhteissa yleensä sitä pitempi, mitä suuremmasta vauhdista jarrutus aloitetaan, ja jäätielle uskaltaa mennä sitä raskaamman ajoneuvon kanssa, mitä paksumpaa jää on. Ilmaisut eivät kuitenkaan ole matemaattisen täsmällisiä, sillä ei ole olemassa mitään tarkkaa lakia tai matemaattista lauseketta, jolla voisi etukäteen päätellä jarrutusmatkan, kun vauhti on annettu. Jarrutusmatka saattaa vaihdella suurestikin esimerkiksi keliolosuhteista, auton massasta, kunnosta tai varusteista riippuen, vaikka se joka kerta aloitettaisiin samasta vauhdista. Kuitenkin arkipäivän kielenkäyttö paljastaa jotakin funktion käsitteen luonteesta. Kysymyksessä on jonkinlainen riippuvuus kahden suureen välillä. Matematiikassa pyritään suureen täsmällisyyteen, joten funktionkaan määrittelyssä ei saa syntyä epäselvyyttä, mitä oikein tarkoitetaan. Matematiikassa riippuvuuden on oltava niin täsmällistä, että toisen suureen arvo täysin yksikäsitteisesti määrää toisen arvon. Mitään sekaannusta ei synny, jos sanotaan esimerkiksi, että ympyrän pinta-ala A on ympyrän säteen r funktio, sillä säteen pituus yksinään riittää määräämään alan. Ei ole merkitystä sillä, onko ympyrän kehä piirretty lyijykynällä vai kuulakärkikynällä, valkoiselle taikka värillisille paperille tai onko sitä piirretty ensinkään. Säteen pituus yksinään ja vain se määrää aivan riidattomasti ympyrän pinta-alan ja myös ympyrän kehän pituuden. Tavallisesti matematiikassa tarkastellaan "matemaattisia" funktioita ja ennen kaikkea pyritään piirtämään ja tulkitsemaan niiden kuvaajia, mutta funktion käsitteen ymmärtämiseksi katsellaan joitakin ei-matemaattisiakin esimerkkejä. Kohta alkuun esitetään häkellyttävän tuntuinen sopimus siitä, mitä funktio tarkoittaa. Määritelmä sanan symbolina voi ajatuksissaan viljellä myös käsitettä sopimus, sillä todellakin määritelmä on eräänlainen sopimus, jonka pohjalle järjestelmää ryhdytään rakentamaan. Tämä ilmenee erityisen selvästi toisena ja kolmantena opiskeluvuonna differentiaali ja integraalilaskennassa. MÄÄRITELMÄ 7 : Olkoot A ja B kaksi ei-tyhjää joukkoa. Sellaista sääntöä tai lakia, joka liittää joukon A jokaiseen alkioon täsmälleen yhden alkion joukosta B, sanotaan funktioksi tai kuvaukseksi joukosta A joukkoon B.

2 Joukkoa A sanotaan funktion määritysjoukoksi (Df) ja joukkoa B sen maalijoukoksi. (D = define) Ne joukon B alkiot, jotka ko. kuvauksessa tulevat liitetyiksi määritysjoukon alkioihin, muodostavat funktion arvojoukon (Vf). (V = value) Sitä sääntöä, joka näin liittää mainittujen joukkojen alkioita toisiinsa, symbolisoidaan usein kirjaimella f, (joskus g, m, V jne.) ja sitä, että on nimenomaan joukkojen A ja B alkioiden välisestä riippuvuudesta kysymys, merkitään f: A B. Määritysjoukon A = Df alkiota eli riippumatonta muuttujaa (argumenttia) merkitään matemaattisissa funktioissa erittäin usein kirjaimella x ja taas riippuvaa muuttujaa (eli funktiota) puolestaan merkitään kirjaimella y. Itse funktion laki, mikäli on kyseessä matemaattinen funktio, ilmaistaan melkein aina yhtälönä muodossa y = f(x). Käsitteistö ei välttämättä ole varttitunnissa opiskeltu ja ymmärretty. Asia voi osoittautua vaikeaksi. Sitä paitsi sanaa funktio käytetään paitsi joukkojen alkioita toisiinsa sitovasta säännöstä myös koko asian pääotsakkeena. Funktiota ei suinkaan aina tarvitse merkitä kirjaimella f, vaan on jopa suotavaa käyttää fysiikassakin yleisesti käytettyjä symboleja. Esim. 1 a) x(t) = vot + ½at2 on fyysikoille tuttu kaava, ja ilmaisee tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä olevan, origosta lähteneen kappaleen paikka-koordinaatin ajan funktiona. Tällöin oletetaan kaavassa myös esiintyvät alkuvauhti vo ja kiihtyvyys a vakioiksi. b) V(R) = 3 4πR 3 ilmoittaa pallon tilavuuden säteen funktiona. Esim. 2 Joukko A = {x x on vuonna 1990 syntynyt Suomen kansalainen} Joukko B = {y y on nainen, joka on syntynyt vuonna 1930 tai myöhemmin}.

3 Sääntö, joka liittää joukon A (määritysjoukko) alkioon alkion joukosta B, kuuluu näin: f: A B : y on x:n (biologinen) äiti. Onko tämä joukkojen välinen, alkioita toisiinsa sitova sääntö, funktio? Liittääkö tämä sääntö jokaiseen joukon A alkioon täsmälleen yhden alkion joukosta B, ts. onko joukon A jokaisella ihmistaimella äiti ja onko äitejä vain yksi? Epäilemättä vastaus on myönteinen kumpaankin kysymykseen, joten kyseessä on todellakin funktio. Kuinkahan monta alkiota on funktion arvojoukossa? Huomaa, että joukossa B on monta naista, joista kukaan ei ole ryhmän oppilaan äiti. Onpa asia niinkin, että moni tyttö kuuluu alkiona sekä joukkoon A että joukkoon B, mutta kyseessä on silti funktio. Esim. 3 Sääntö, joka liittää jokaiseen Suomen kansalaiseen hänen sosiaaliturvatunnuksensa, on myös funktio. Tavallisesti ei kuitenkaan kirjoiteta, että f(mikael Nelitola) = F. Esim. 4 A = {1,2,4,7} ja f: A B : f(x) = 2x 3. Mikä on funktion arvojoukko? Funktion määritysjoukossa Df = A on vain neljä alkiota. Sääntö, joka niistä jokaiseen liittää maalijoukon alkion, on nyt annettu matemaattisena yhtälönä ja arvojoukon alkiot voidaan yksitellen laskemalla määrittää: f (1) = = 1 f (2) = = 1 f (4) = = 5 f (7) = = 11 joten funktion arvojoukko Vf = { 1,1,5,11}. Funktiota sanotaan reaalifunktioksi, jos sen sekä määritysjoukko että maalijoukko ovat reaalilukujen joukko R. On tosin tapauksia, että reaalifunktion arvoa ei voida aina laskea kaikilla reaaliluvuilla, mutta tällöinkin on tapana puhua reaalifunktiosta. Määritysjoukkoa ei useinkaan erikseen ilmoiteta, mutta tällöin sen oletetaan tällöin olevan laajin mahdollinen reaalilukujoukon osajoukko. Toisinaan saatetaan pyytää se määrittämään.

4 Esim. 5 a) y = f(x) = x. Negatiivisilla luvuilla ei ole neliöjuurta. Tämä funktio on määritelty vain x:n positiivisilla arvoilla ja nollalla. D f = { x R x 0}. b) y = g(x) = x Nollalla ei saa jakaa. Siispä Df = { x R x 1}, x 1 x 2 1 sillä lausekkeen arvo voidaan aina laskea olipa x mikä x + 1 tahansa reaaliluku kunhan se ei ole ykkönen. Kaikki edellä esitellyt funktiot ovat olleet yhden muuttujan funktioita. Jos merkitään kolmion kanta = a ja korkeus = h, niin kolmion pinta-ala A on kahden muuttujan funktio: A(a,h) = ½ah. Jos merkitään suorakulmaisen särmiön pituutta, leveyttä ja korkeutta vastaavassa järjestyksessä = x, y ja z, niin särmiön tilavuus V on kolmen muuttujan funktio: V(x,y,z) = xyz. Myös korkolaskun kaava r = kpt/100 on kolmen muuttujan funktio, sillä vaikuttavathan koron r määrään kaikki kolme kaavassa oikealla puolella esiintyvää suuretta. Olisi hyvä opetella funktion merkitsemistapa heti alkuun täsmällisesti ja muodollisesti oikein. Funktioista voidaan mainita vielä ns. empiiriset eli kokemusperäiset funktiot, joita ei voida esittää täsmällisinä matemaattisina lausekkeina. Ilmiöille voidaan kuitenkin etsiä matemaattisia malleja (fysiikka, biologia, lääketiede). Esim. 6 Synnyttävän äidin vatsan päälle voidaan kiinnittää anturi, jonka perään liitetty elektroniikka saattaa monitorille katseltavaksi tai paperille piirtää maailmaan tulevan ihmistaimen sydämen lyöntitaajuuden ajan funktiona. Tämä piirros kuten vaikkapa sairaan henkilön kuumekäyrä saattaa olla hyvin käyttökelpoinen kuvio, vaikkei matemaattinen funktio olekaan. Jokaiseen ajanhetkeen liittyy potilaan kehon ainakin lääketieteellisessä mielessä jokseenkin yksikäsitteinen lämpötila, joten on oikeutettua puhua funktiosta. Lukusuoran jokaista pistettä vastaa reaaliluku ja kääntäen jokaisella reaaliluvulla on vastinpisteensä lukusuoralla. Jos asetetaan kaksi lukusuoraa kohtisuoraan toisiaan vastaan niiden origot yhtyen, saadaan tasokoordinaatisto, jonka jokaista pistettä

5 vastaa reaalilukupari, ja kääntäen jokaisella reaalilukuparilla (x,y) tai (t,v) on vastinpisteensä tällä tasolla. Näin tullaan funktion graafiseen esittämiseen, funktion kuvaajaan, jonka laatiminen, tutkiminen ja tulkinta on keskeinen osa matematiikkaa. Yksinkertaisia funktioita, joiden määritysjoukossa on vain muutama alkio, voidaan havainnollistaa nuolikuviona. Piirretään kaksi suljettua tasoaluetta, joita esittävät funktion määritys- ja maalijoukkoja niin, että kumpaankin kuuluvat alkiot on kirjoitettu näkyviin. Esim. 7 Vasemmanpuoleisessa joukossa on lueteltu eräitä kuuluisia romaaneja ja oikeanpuoleisessa joitakin kirjailijoita. Vastaavuus, joka liittää jokaiseen romaaniin sen kirjoittajan on funktio, mutta ei välttämättä päinvastoin. Miksei esim. yllä olevassa kuviossa? Reaalifunktioitten tapauksessa olisi mieletöntä yrittää mitään ylläolevankaltaista havainnollistusta, koska reaalilukuja, itse asiassa jo luonnollisiakin lukuja on ääretön määrä. Reaalifunktioita havainnollistetaan niiden pisteiden joukkona, jotka toteuttavat funktion määrittelevän yhtälön. Tämä havainnollistus on xy-tasossa viiva, jonka piirtäminen on joskus vaikeaa, joskus helppoa, mutta melkoisella painolla mukana matematiikan opinnoissasi. Kun tiettyyn määritysjoukon alkioon, reaalilukuun x, liittyy täsmälleen yksi reaaliluku y tavalla, jonka funktion lain ilmoittava yhtälö määrää eikä koskaan useampia, niin funktion kuvaajana olevaa viivaa ei mikään y-akselin suuntainen suora voi leikata kuin korkeintaan yhdessä pisteessä. Tämä on tärkeä asia tietää ja

6 ymmärtää. Näin ollen esimerkiksi tasoon piirretty ympyräviiva ei voi olla minkään funktion kuvaaja. Yksinkertaisimpia funktioita ovat polynomifunktiot. Niitä määrittelevät yhtälöt sisältävät oikeana puolenaan polynomin. Kaikkein yksinkertaisimpia näistä ovat nollannen ja ensimmäisen asteen polynomifunktiot, joiden kuvaajana aina on suora viiva. Esim. f(x) = 2x 3 on ensimmäisen asteen polynomifunktio ja g(x) = 5 on nollannen asteen polynomifunktio eli ns. vakiofunktio. Tällaisia yksinkertaisiakin funktioita voidaan käyttää matemaattisena mallina kuvaamaan joitakin reaalimaailman tapahtumia. Raamatussa on kertomus viinitarhurista, joka lähetti miehiä työhön viinitarhaansa ja maksoi auringon laskiessa jokaiselle palkkaa denaarin riippumatta siitä, oliko asianomainen henkilö ollut työssä 12 tuntia, 9 tuntia, 6 tuntia, 3 tuntia vai ainoastaan tunnin. Joka mies sai siis saman palkan, mikä käynee esimerkkinä vakiofunktiosta; se saa kaikilla muuttujan arvoilla saman arvon ja sen arvojoukossa on siten ainoastaan yksi alkio. Tarkastellaan ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaajan piirtämistä ja yhtälön muodostamista. Asetellaanpa aluksi koordinaatistoon viivoitin, niin että sen syrjälle asetettu kynä käy pisteen Q = (x 0, y 0 ) kautta ja piirretään nouseva suora niin, että se muodostaa x-akselin positiivisen suunnan kanssa kulman α. y P = (x, y) Q = (x 0, y 0 ) α y y 0 α x x 0 x Suoralta on kuvassa valittu mielivaltainen piste P = (x,y), ja sen kautta on piirretty y-akselin suuntainen suora. Pisteen Q kautta on piirretty x-akselin suuntainen suora ja näiden apupiirrosten avulla on saatu aikaan suorakulmainen kolmio, jonka

7 hypotenuusan muodostaa pieni pätkä piirrettyä suoraa, ja jonka kateettien pituudet ovat x x 0 ja y y 0. Näin konstruoidusta kolmiosta saadaan yhtälö y y tan α = 0 y y0 = (x x0) tan α y y0 = k(x x0) x x0 (*) missä on merkitty k = tanα. Tässä tarvittaisiin geometrista tietoa samankohtaisten kulmien käsitteestä; edellissivun kuviossa on kaksi α:n suuruista kulmaa. Koska valittu piste P oli mielivaltainen suoran piste, niin mikä tahansa suoran piste, mutta ei yksikään suoralle kuulumaton piste, toteuttaa yhtälön (*). Jos piirrettäisiin pisteen Q kautta kulkeva laskeva suora, jonka kaltevuuskulma x- akselin kanssa on niin ikään α, otettaisiin tältä mielivaltainen piste P = (x, y), ja kuvio täydennettäisiin taas suorakulmaiseksi kolmioksi, jonka hypotenuusa olisi jana y y QP, niin tässä tapauksessa suhde 0 olisi negatiivinen, mutta kaikille suoran x x0 pisteille vakio. Kun myöhemmin määritellään trigonometriset funktiot myös negatiivisille kulmille, niin tullaan näkemään, että vastakulmien tangentit ovat toistensa vastalukuja. Näiden johdattelujen jälkeen voidaan kirjoittaa LAUSE 12: Yhtälön y = k(x x ) kuvaaja on aina pisteen (x 0, y 0 ) kautta y 0 0 kulkeva suora viiva, jonka kaltevuuskulma α x-akseliin nähden toteuttaa yhtälön tanα = k Suora oikealle siirryttäessä (x:n arvojen kasvaessa) nousee, jos k > 0 laskee, jos k < 0 on vaakasuora, jos k = 0. Lukua k sanotaan suoran kulmakertoimeksi, joka määrää suoran "jyrkkyyden"! Mitä suurempi k on, sitä suurempi on myös suoran kaltevuuskulma α, ja sitä jyrkemmin suora nousee tai laskee. Trigonometrian taitajat käyttävät suoran

8 piirtämisessä menetelmää, joka perustuu siihen, että sisäistää kulmakertoimen ja suoran suuntakulman välisen yhteyden. Jos esimerkiksi k = 2, ja kun k = tanα, niin siirty-mällä pisteestä (x 0, y 0 ) yksi (pituusyksikkö) oikealle ja tästä pisteestä kaksi 2 (pituus-yksikköä) ylös, tullaan suoran pisteeseen. Jos taas k =, niin pisteestä (x 0, 3 y 0 ) edetään ensin kolme oikealle, sen jälkeen kaksi alas, ja taas ollaan suoran pisteessä. Sievennetään yhtälöä y y0 = k(x x0) poistamalla sulut ja siirtelemällä termejä: y y0 = k(x x0) y = kx + y0 kx0 y = kx + b, missä on merkitty b = y0 kx0. Siten on oikeutettua sanoa, että ensimmäisen asteen polynomifunktio on yleistä muotoa y = kx + b, johon origon kautta kulkeva suora y = kx sisältyy erikoistapauksena b = 0. LAUSE 13: Funktion y = kx + b kuvaaja on suora viiva, joka leikkaa y-akselin pisteessä (0,b) ja jonka kaltevuuskulma α x-akselin suhteen määräytyy yhtälöstä tanα = k Suora oikealle siirryttäessä nousee, jos k > 0 laskee, jos k < 0 on x-akselin suuntainen, jos k = 0. Mikäli erikoisesti piste (x 0, y 0 ) on origo, niin origon kautta kulkevan suoran yhtälö on y = kx

9 Jos kaksi käytännön elämässä esiintyvää suuretta, esim. t ja s, riippuvat toisistaan niin, että niitä toisiinsa sitova yhtälö on muotoa s = kt, niin sanotaan, että s (funktio) on suoraan verrannollinen t:hen (argumenttiin). Jos tehtävänäsi on piirtää funktion f(x) = kx kuvaaja eli piirtää suora y = kx, niin tiedät heti, että tämä kulkee aina origon kautta. Kun kaksi pistettä määrää suoran ja kun suoran piirtämiseen tarvitaan viivoitin, kynä ja paperia, niin viivoittimen asettamiseksi oikeaan kohtaan riittää määrittää origon lisäksi toinenkin piste. Tämä tapahtuu antamalla x:lle mielivaltainen arvo ja laskemalla sitä vastaava y:n arvo. Kahta eri suoraa sanotaan yhdensuuntaisiksi, jos niillä on sama kaltevuuskulma α. Kun muistetaan, mikä yhteys suoran kaltevuuskulmalla oli suoran kulmakertoimeen, tästä seuraa välittömästi varsin käyttökelpoinen tulos: LAUSE 14: Jos suorien kulmakertoimet ovat samat eli kun k 1 = k 2, niin suorat y = k1x + b1 ja y = k2x + b2 ovat yhdensuuntaiset. Lausetta käytettäessä on tarkoin huomattava, että kun funktion esitysmuoto on yhtälö, ja kun yhtälöä saa muokata, niin ensimmäisen asteen polynomifunktion kyseessä ollen muuttujan x edessä oleva luku antaa suoran kulmakertoimen varmasti oikein vain siinä tapauksessa, että yhtälö nimenomaan on muodossa y = kx + b. Esim. 8 Mikä on suoran 1000x + 500y = 0 kulmakerroin ja suuntakulma? 1000x + 500y = 0 500y = 1000x 2000 :500 y = 2x 4

10 Nyt nähdään, että kulmakerroin k = 2, joka kertoo sen, että suora on laskeva ja kaltevuuskulman määrittämiseksi ratkaistaan yhtälö tan α = 2 0 α = Suoran kaltevuuskulmaa pidetään negatiivisena silloin, kun se on laskeva. Siis kulmakerroin k = 2 ja kaltevuuskulma noin Esim. 9 Määritä vakio b siten, että suora y = 1½x + b kulkee pisteen ( 4, 5) kautta. Funktion kuvaajan jokaisella pisteellä ja vain näillä tason pisteillä on se ominaisuus, että ne toteuttavat funktion yhtälön. Sijoitetaan siis funktion yhtälöön x:n paikalle 4 ja y:n paikalle 5, jolloin saadaan yksinkertainen yhtälö b:n määräämiseksi: y = 1½x + b b = y + 1½ x = 5 + 1½( 4) = 5 6 = 1. Vastaus: b = 1 Trigonometriasta muistetaan, ja ellei muisteta, myöhemmin opitaan, että 90o kulmalla ei ole tangenttia. Tämä merkitsee näissä yhteyksissä sitä, että suoralla, jonka kaltevuuskulma on 90o eli y-akselin suuntaisella suoralla ei ole lainkaan kulmakerrointa. Sellaisen suoran yhtälöä ei voida mitenkään ilmoittaa muodossa y = kx + b, mutta suoran kaikille pisteille on yhteistä se, että niillä on sama x-koordinaatti. Vastaavasti x-akselin suuntaisen suoran jokaisella pisteellä on sama y-koordinaatti, mutta tällaisella suoralla on kulmakerroin k = 0, kuten esitetyistä lauseista 12 ja 13 kävi ilmi. Koordinaattiakseleille saadaan näin omat yhtälönsä x-akselille y = 0 y-akselille x = 0

11 Yhtälössä y = kx + b voidaan siirtää kaikki termit yhtäsuuruusmerkin vasemmalle puolelle, jolloin saadaan esimerkiksi yhtälö kx y + b = 0, mikä on yleistä muotoa ax + by + c = 0, ja missä a,b ja c merkitsevät vakioita. Mikäli ainakin b 0, yhtälö määrittelee y:n muuttujan x funktiona. Mikäli vain annetaan x:lle jokin arvo, yhtälöstä voidaan aina ratkaista vastaava y:n arvo eli yhtälö voidaan ratkaista y:n suhteen. Yhtälöä, joka sitoo toisiinsa kahta tai useampaa muuttujaa niin, että yhtälön toisena puolena on nolla, sanotaan joskus ratkaisemattomaksi funktioksi. Jos yhtälö ax + by + c = 0 saadaan ratkaistuksi y:n suhteen (b 0), saadaan muuttuja y lausutuksi x:n ratkaistuna funktiona: by = ax c a y = x b Funktion kuvaaja on lauseen 1.13 mukaan siis suora. Tätä suoraa sanotaan yhtälön ax + by + c = 0 kuvaajaksi ja yhtälöä puolestaan ko. suoran yhtälöksi. Suoran ax + by + c = 0 piirtämiseksi ei yhtälöä tarvitse saattaa ratkaistuun muotoon, sillä on mahdollista määrittää alkuperäisen yhtälön avulla kaksi suoran pistettä, joiden avulla suora piirretään. Mainituiksi pisteiksi usein on helpointa valita koordinaattiakselien ja suoran leikkauspisteet: sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöön vuorotelleen kumpikin muuttuja nollaksi ja ratkaistaan jäljelle jäänyt muuttuja. Keino ei tietenkään ole käyttökelpoinen, jos suora kulkee origon kautta tai jos näin saadut pisteet sijaitsevat erittäin lähellä toisiaan. Jos yhtälössä ax + by + c = 0 vakio a = 0, mutta b nollasta eroava, niin yhtälö saa muodon by + c = 0 eli c y = b Yhtälön kuvaaja on tällöin x-akselin suuntainen suora. Sen kaikilla pisteillä on sama c y-koordinaatti ja mainittu suora leikkaa y-akselin siten pisteessä (0, ). b c b

12 Mikäli vakio b = 0, mutta a nollasta eroava, saadaan yhtälö muotoon ax + c = 0 eli x = c, a jonka kuvaaja on y-akselin suuntainen suora. Sen jokaisella pisteellä on sama x- c koordinaatti ja tämä suora kohtaa siten x-akselin pisteessä (,0). a Näin on johdateltu oikeaksi tärkeä LAUSE 15: Ensimmäisen asteen yhtälön ax + by + c = 0 kuvaaja on aina suora, kunhan vain vakiot a ja b eivät molemmat ole samanaikaisesti nollia. Tapauksessa c = 0 yhtälön kuvaaja on origon kautta kulkeva suora. Esim. 10 Piirrä suora 3x 2y 6 = 0. Kun sijoitetaan x = 0, saadaan suoran ja y-akselin leikkauspiste: 2y 6 = 0, josta y = 3. Kun sijoitetaan y = 0, saadaan suoran ja x-akselin leikkauspiste: 3x 6 = 0, josta x = 2. Suora kulkee siis pisteiden (0, 3) ja (2,0) kautta Esim. 11 Piirrä suora 4x + 2y = 1 Tällä ja yhtälöllä 4x + 2y 1 = 0 on tietenkin sama kuvaaja. Kun x = 0, saadaan y = ½ ja kun y = 0, saadaan x = 1/4. Suora kulkee siis pisteiden (0,½) ja ( 1 4,0) kautta. Nämä pisteet sijaitsevat niin lähekkäin, että suoraa on vaikea tarkasti piirtää, joten sijoitetaan yhtälöön esimerkiksi x = 2, jolloin saadaan y = 3½. Piirretään siis suora pisteiden (0,½) ja (2, 3½) kautta.

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Piste ja jana koordinaatistossa

Piste ja jana koordinaatistossa 607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin

Lisätiedot

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat.

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat. Funktiot, L4 eksponentti-funktio Funktio (Käytännöllinen määritelmä) 1 Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.fi) kurssi8, / Etälukio (edu.fi) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.fi) Funktio (Käytännöllinen

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

Matemaatiikan tukikurssi

Matemaatiikan tukikurssi Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö

2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö 2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 2 LINEAARINEN MALLI POHDITTAVAA 1. Piirretään jääpeitteen pinta-alan kehitystä kuvaava suora appletin avulla. Suoran yhtälö on y = 0,05x + 120,95. Vuonna 2030 muuttujan x arvo on 2030. Vastaava muuttujan

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarja

Kenguru 2016 Student lukiosarja sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?

2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat? 2..207 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot