Luento 6. Järjestelmät
|
|
- Mika Haavisto
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lueo 6 Järjeelmä (yeemi) äie ja luoiue Lieaarie aia ivariai järjeelmä Impulivae Siirofuio Sabiiliuu Taajuuvae..6 Järjeelmä Järjeelmä / Syeemi / Proei o objei, joa määriää relaaio igaalijouo välillä. Järjeelmä igaali jaeaa uei ulouureiii ja lähöuureiii Tuloigaali ova järjeelmää riippumaomia Lähöigaali iälävä järjeelmä uoamaa iformaaioa. Tyypilliei järjeelmä reagoi lähöigaaleihi ja uoaa iide perueella lähöigaali. Tällöi ulo- ja lähöigaalie välillä valliee aualieeiuhde. ulouuree SYSTEEMI lähöuuree..6
2 Järjeelmä Järjeelmä ulouuree jaeaa uei maipuloiavii uureiii ja ei-maipuloiavii uureiii (häiriö) Häiriö Maipuloiava ulouuree SYSTEEMI lähöuuree Järjeelmiä voidaa luoiella iide ulo- ja lähöuureide määrie muaa SISO Sigle Ipu-Sigle Oupu MISO Muliple Ipu Sigel Oupu SIMO Sigle Ipu Muliple Oupu MIMO Muliple Ipu Muliple Oupu..6 3 Järjeelmä Järjeelmä voidaa ajaella operaaorii F(.), joa uvaa ulouuree lähöuureei. (vr. mariiilla A eromie o uvau veorila x veorille y=ax) Eimerejä järjeelmä-operaaoreia: F( x ( )) = h( τ ) x ( τ ) d Kovoluuioiegraali = ( π ) Lieaarie modulaaio F( x ( )) x ( )co f c..6 4
3 Järjeelmä Proei o auaalie, jo vaee y(): raaiemiei ajaheellä ei arvia heräee ulevia arvoja u(τ), τ Jauva-aiaie proei: Seä ulo- eä lähöuuree ova jauva-aiaiia igaaleja y()=f(u()) Dieei-aiaie proei: Seä ulo- eä lähöuuree ova direeiaiaiia igaaleja y()=f(u())..6 5 Järjeelmä Lieaarie järjeelmä: Järjeelmä oimia ei riipu heräee ampliudia ja vaiheea. Se uvaamiee riiää lieaarie operaaori F: F(ax()+bu())=aF(x())+bF(u()) Eim. Paiiviia ompoeeia oouva ähöpiiri Epälieaarie järjeelmä: Järjeelmä geeroima vae riippuu heräee ampliudia ja ai vaiheea a : F(ax()) af(x()) Eim. Tehovahvii
4 Järjeelmä Deermiiie järjeelmä Jo järjeelmä ila ueaa ieyä ajaheeä voidaa e vae euaa arai ueulle heräeelle. Eim. Eleroie ai meaaie järjeelmä Aia ivariai järjeelmä: Järjeelmä oimia ei riipu ajaa. Aija uhee muuuva järjeelmä: Järjeelmä oimia muuuu aja fuioa. Se vae ii riippuu iiä miä ajaheeä heräe järjeelmää yöeää. Soaie auaie järjeelmä / proei Vaia järjeelmä ila ieyä ajaheeä ueaiii, ei e vaea ueulle heräeelle voida euaa vaa e o auaie. Eim. Radioaava Saioäärie oaie proei: Proei ilaollie omiaiuude eivä riipu ajaa. Epäaioäärie proei: Proei ilaollie omiaiuude vaiheleva aja muaa Sabiiliuu Deermiiie järjeelmä o BIBO (bouded ipu bouded oupu) abiili, jo ampliudirajoieu heräee vae o ampliudirajoieu x() < F x() < ( ) Jo o olemaa x () < ie, eä F( x() ),, mua ampliudi rajoieu ii-muooie igaali vae o ampliudirajoieu ii-muooie igaali x() = Aco( π f+ φ), A < F( x() ) < järjeelmää uuaa margiaaliei abiilii. Muuoi järjeelmää uuaa epäabiilii
5 Lieaarie aiaivariai järjeelmä u() h() y() Jauva-aiaie LTI-järjeelmä oimiaa uvaa lieaarie differeiaaliyhälö m m d d d d y () a y () ay () b u () b u () bu () m m m d = d + d + d + + joa o järjeelmä eraluu Jo m, ii järjeelmä o aio (proper): Vae ei riipu heräee derivaaaa d/d u() Jo m<, ii järjeelmä o vahvai aio (ricly proper): Tulouure u arvo ajaheellä, u(), ei vaiua lähöuuree y arvoo ajaheellä, y() Yleie eiyapa LTI-järjeelmä d y() d u() a = b d = d = Jo m<, ii määriellää b_=, =m+,m+,, Aiaderivaaaa meriää uei pieellä d v () = v () d d v () = v () d ( ) d v () = v() d..6 5
6 Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Sähöpiirie peruompoei Vau (reiai) v () = Ri () R i() Kela (iduai) di() v () = L d Kodeaaori (apaiai) dv() i () = C d v () = id () C v() L i() v() C i() v()..6 Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Meaaie järjeelmie peruompoei Eeevä liie: Maaappale (ieria) dx () Fm( ) = m d Joui F () = Δ x() = ( x() x ()) Vaimei dδx() dx() dx() Fb( ) = B = B d d d m x() x () B x () x () x ()..6 6
7 Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Meaaie järjeelmie peruompoei Pyörivä liie: Hiaumomei d θ() T () = J d J θ() J Vääöjoui T () = Δ θ() = ( θ () θ ()) θ() θ() Vääövaimei dδθ() dθ() dθ() Tb( ) = B = B d d d θ() B θ()..6 3 Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Viraujärjeelmie peruompoei Läpivirauäiliö dv() = F () F () d Ideaalieoii dv() C() = FC () () FC () () d Puiviive V C() = C( Td ()) = C F () Virau auo läpi F () = AR () Δ p () = AR () p() p() Tämä o eimeri epälieeaariea ompoeia F () C () V() C () F () C () C () p () F () F() R A() V() F() V p () F () C ()
8 Eimeri Jäie x() o ulouure ja jäie y() lähöuure i( ) i( ) (a) (b) dy() di() i () = C y () = L d d x () = Ri () + y () x () = Ri () + y () x () y () x () y () i () = i () = R R di() dy() y () = L = i () d d C L dx() dy() y () = dy() = y () + x () R d d d RC RC dy() R dx() = y () + d L d..6 Vahvai aio järjeelmä 5 Aio järjeelmä Eimeri Jäie x() o ulouure ja jäie y() lähöuure i ( ) i ( ) dx( ) di( ) i( ) i( ) x() = Ri() + i() i() d R C + + = d d C di () x() = Ri() + L + y() =, y() = i() R d Järjeelmää uvaa y. aee differeiaaliyhälö d y( ) R dy( ) y () = x() d L RC d LC LC
9 LTI-järjeelmä Sähöpiiriä uvaavie differeiaaliyhälöide aeluu viiaa iiä eiiyvie varaoelemeie (odeaaori ja ela) luumäärää. Jo piiriä ei ole varaoelemeejä, iä uuaa muiiomai. Eimeri muiiomaa piiriä: x() y ( ) R R + R () = x() y..6 7 Laplace-muuo Sigaali o auaalie, jo v()=, u <. Kauaalie igaali Fourier-muuo Kauaalie igaali Laplace-muuo Jo Laplace muuo overgoiuu alueea Re{}, aadaa iiä Fourier muuo valiemalla =iπf
10 Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Laplace-muuo Määrielmä: (f() o aja fuio ja F() o iä vaaava Laplace-ao eiy) { } F () L f () fe () d = = { } f () = L F () = Fed () iπ Jo raja-arvo ova olemaa, ii iille päee b+ i b i Loppuarvoeoreema Aluarvoeoreema lim f ( ) = lim F( ) lim f ( ) = lim F( ) Laplace-auluo o eiey eri läheiä hiema erilaiia (yleeä joo ii, eä aja fuio o helppo Laplacemuuaa ai ii, eä Laplace-ao eiy voidaa ääeimuuaa helpoi Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Laplace-eoreemoja Laplace-muuo Aja fuio F () f () T CF() + CF() C f() + C f () T a F ( + a) e f ( ) T3 a, a e F() f ( a), > a T4 F a a f( a) T5 d F () d f () T6..6
11 Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Laplace-eoreemoja Laplace-muuo Aja fuio F( σ) dσ f( ) T7 F() F() f () τ f ( τ) dτ T8 F() f () f () T9 ( + ) ( ) F () f() f() f() T ( ) ( ) ( ) () () () ( ) T F f + f + f f F() + f() τ dτ f() τ dτ =+..6 T Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Laplace-muuopareja Laplace-muuo Aja fuio Laplace-muuo Aja fuio δ( ) M b a ( e e ) M9 ( + a)( + b) a b M b a + ( ae be ) M ( + a)( + b) ab abb ( a) M3 a i( a) M M4 + a +! co( a) M a e M5 + a + a a b e i( a) M3 a e M6 ( + b) + a ( + a) + b b a e co( a) M4 e ( + b) + a M7 + ( + a)! + a b δ() + ( a b) e M5 ( a + b e ) M8 ( + a) a..6
12 Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Deermiiie eifuio Syeemi heräeeä u() äyeää uei euraavia igaaleja Yiöimpulifuio (Diraci delafuio) R u() ; uδ () = δ() = S = + zδ( d= ) Uδ () = Δ() = ; muulloi T Yiöaelfuio R u () ; = S T ; > Yiöpegerfuio R u () ; r = S T ; > U( )= Ur( )= u()..6 3 u() LTI-järjeelmä u() h() y() Taraellaa lieaaria aiaivariaia järjeelmää m m d d d d y () + a y () ay () bm u () bm u () bu (), m + + = + m + + m d d d d Oleeaa, eä järjeelmä aluarvo ova ollia: y () ()=d /d y()= u u () ()=d /d u()= u..6 4
13 LTI-järjeelmä Derivaaa Laplace-muuo LTI-järjeelmä Laplace muuo m d d d () + () () = d = d = d L y a y L b u m l + a l Y() = b U() l= = Siirofuio m b Y() = H() = U() l + a l =..6 5 Impulivae LTI-järjeelmälle päee yleiei Y() = H() U() Käyeää heräeeä impulia u()=δ(). U() = L{ δ () } = Y() = H() U() = H() H() o Impulivaee Laplace muuo. Impulivae (paiofuio) h() aadaa ääeimuuoea: h () = L { H() } Laplace muuo löyyy vaia järjeelmä olii epäabiili
14 Impulivae Lieaarie järjeelmä iirofuio voidaa eiää ahde polyomi M() ja N() avulla M ( ) M ( ) M M() z z...( z ) m m H() = = N () N ( ) N ( ) N p p...( p ) N Polyomi M() ollaohda M(z )= ova imelää ollia (zero) M o olla z aeluu M +M + +M z =m Polyomi N() ollaohda N(p )= ova imelää ollia (pole) N o ava p aeluu N +N + +N = Yhälö N()= o imelää araeriie yhälö..6 7 Oamuroehielmä Oamuroehielmä iirofuiolle H(): Ni Cij H() = j i= j= ( i ) C C C N = ( p ) N ( p ) ( ) p C C C ( p ) ( p ) ( ) p +... C C C N ( p ) N N ( p ) ( ) N pn Keroime N i j d N ( ) ( ) i M Cij = z pi ( N )! Ni j i j d N( ) = pi
15 Impulivae LTI-järjeelmä impulivae voidaa irjoiaa muooo N i H() = Cij j i= j= ( pi ) Kääeimuuo aadaa ovelamalla aavaa (M7) a e L = +! ( + a) jolloi impulivaeei aadaa N i C ij h () = L { H( ) } = L j i= j= ( pi ) Ni Cij j p = e i i= j= ( j! )..6 9 LTI-järjeelmälle päee Y() = H() U() ( ) ( ) y () = hτ u τ dτ Sabiiliuu Oleeaa, eä heräeigaali u() o ampliudirajoieu u() M< Vae y() o ampliudirajoieu ja järjeelmä o abiili, jo ( ) ( ) ( ) y () hτ u τ dτ M hτ dτ < Toii aoe, järjeelmä o abiili, miäli impulivae h() o ieiei iegroiuva h ( τ) dτ <
16 Sabiiliuu LTI-järjeelmä impulivae o muooa Ni Cij j p h () = e i i= j= ( j! ) miä ava p ova ompleiluuja Jo Re{p }<, ii Ni Cij j p h () = e i i= j= ( j! ) u ja h ( τ) dτ < Jo impulivae o abiili, ille löyyy myö Fouriermuuo H(f)..6 3 Nava Nava aadaa raaiua araeriiea yhälöä N ( ) N ( ) N N() = p p...( p ) N = = p =,,..., Realie järjerelmälle h() ava eiiyvä omplei ojugaaipareia N () = + ζω+ ω = ζω ± iω ζ ζ < = ζω ± ω ζ ζ alivaimeeu ylivaimeeu Sabiiliuualue p = ωζ + i ζ ω * p = ωζ i ζ ω ς = co( α) ζ vaimeuerroi ω omiaiaajuu..6 3 α Im Re 6
17 Nava Komplei apapari vaiuu impulivaeeee.6 Impule Repoe ω H() = + ζω+ ω Reoaiaajuu ωr = ω ζ Ampliude ζ< ζ= ζ> Uderdamped Criically damped Overdamped ζ abiili, ei värähele ζ< abiili, värähelee ζ= margiaaliei abiili, värähelee, ei vaimee - ζ epäabiili, värähelee ζ - epäabiili, ei värähele Ampliude Sable Margially able Uable Time (ec) Impule Repoe Time (ec) Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Nava Eäiyy imagiääriaelia uvaa epoeiaalia äyäyymiä (miä auempaa imagiääriaelia ollaa iä opeammi impulivae aavuaa loppuarvoa (vaemmaa puoliaoa) ai araa ääreömyyee (oieaa puoliaoa). Eäiyy reaaliaelia uvaa värähely aajuua (miä auempaa reaaliaelia ollaa iä uurempi aajuu). Järjeelmä o iä opeampi miä auempaa e ava ova origoa Nopea epoeiaalie äyäyymie Im Hida epoeiaalie äyäyymie Re Nopea epoeiaalie äyäyymie oreaaajuie värähely Im maalaaajuie värähely Re maalaaajuie värähely oreaaajuie värähely Im Nopea Nopea Re Hida Nopea Nopea 7
18 LTI-järjeelmä Jo järjeelmä o abiili, ii h(): ja y() Fourier muuo ueaa (y() o eergiaigaali). Fourier-muuuva igaali y() derivaaa voidaa lauua Y(f): avulla: d F y() ( i π f ) Y( f) = d Oleeaa, eä heräe o Fourier-muuuva d F U() ( i π f ) U( f) = d LTI-järjeelmä Fourier muuo Fourier muueaa aluperäie differeiaaliyhälö d d F y() a F y() a F{ y() } = d d m m d d m + m + + m { } bf m u () b F u () F bu () d d Muuoei ulee ( ) m l iπ f + al( i π f ) Y( f) = b ( i π f ) U( f) l= = Suhdea Y(f)/U(f) uuaa järjeelmä iirofuioi Y( f) H( f) = U( f) m = ( π ) b i f l ( iπ f ) + al ( iπ f ) =
19 Eimeri 5 Taraellaa eimeri ähöpiiriä d y() R dy( ) y = x d L RC d LC LC R=, C=, L= Raaiaa iirofuio d y( ) dy( ) + + y () = x() d d ( + + ) Y( ) = X ( ) Y() H() = = X ( ) ( + + ) () () Eimeri 5 Nava N () = + + = ( p)( p) = ( ) i p = + = i = p Re{p_}<, joe järjeelmä o abiili. Oamuroehielmä Y() A B H() = = = + X ( ) ( + + ) p p A pa + B pb = ( p)( p) : A+ B= B= A : p A p B= ( + i) A+ ( i) ( A) = A= i
20 Eimeri 5 Siirofuioi aadaa H() = + i + i + + i Kääeimuuo aaa ( i ) ( + i ) ( ) () h () e e e i i a { } Le = + a ix ix = = i( x) = ( e e ) i h() Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Sabiiliuuei Jo ueaa yeemi ava (imiäjäpolyomi ollaohda), ii abiiliuu o helppo odea. Juure voidaa määriää umeeriea polyomia ieraiiviilla laearuiieilla (ue omeo eig, roo ai pole MATLABia). Eim. polyomille roo([ 4 ]) a = i i Jo joi polyomi eroimia o olla ai egaiivie, ii polyomilla o vähiää yi juuri imagiääriaelilla ai oieaa puoliaoa...6 4
21 Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Rouhi aavio Symboliee laeaa oveluu Rouhi aavio: a a a a a a a a a a b b b b 3 b b b b 4 c c c 5 c c c z z a + a + + a + a z = a a a a a4 a a6 b =, b =, b4 =, a a a a a a a a a a a3 a a5 a a7 b =, b3 =, b5 =, b b b b b b b b b 6 b b b b4 b b6 b =, b3 =, b5 =, b b b b b b b b b Deermiai a a = a a a a a a 7 Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Rouhi aavio Rouhi aavio eimmäieä araeea olevie merivaihoje luumäärä o amalla myö polyomi oieaa puoliaoa olevie juurie luumäärä. Jo yeemi araeriie polyomi ijoieaa Rouhi aavioo, ii yeemi o abiili, jo eimmäieä araeea ei ole aioaaaa merivaihoa. Jo aavioa muodoeaea e eimmäiee araeeee ulee olla, ii e ilalle aavioo ijoieaa piei poiiivie luu ε ja jaeaa aavio muodoamia. Lopulliea aavioa voidaa laea merivaihdo uimalla ε:a riippuvie ermie raja-arvo, u ε. Miäli aavioo muodouu oo rivi ollia, ii väliömäi ollariviä ylemmää riviä voidaa muodoaa polyomi, jolla aluperäie polyomi o jaollie...6 4
22 Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Polyomi: Eimeri: Rouhi aavio / 5 Kai merivaihoa - ja - eli ai juura oieaa puoliaoa Ei merivaihoja eimmäieä araeea eli ei juuria oieaa puoliaoa Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Eimeri: Rouhi aavio Polyomi: Saadaa ollarivi, jolloi ylemmälä rivilä aadaa polyomi + jolla aluperäie polyomi o jaollie. Laeaa ämä polyomi derivaaa : uhee ja ijoieaa e aavioo ja jaeaa d d ( + ) =..6 Ei merivaihoja, joe ei juuria oieaa puoliaoa 44 3
23 Peruuu uri AS-74. Aalogie ääö lueomaeriaalii Eimeri: Rouhi aavio Polyomi: ε ( ε 36)/ ε 36 lim ε εε UVW = RST Eimmäiee araeeee ulee olla, jolloi orvaaa e pieellä poiiiviella luvulla ε ja jaeaa aavio muodoamia ai merivaihoa - ja - ai juura oieaa puoliaoa Lohodiagrammi Taraellaa dimeioia lieaaria järjeelmää = d = Iegroidaa molemma puole ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) a y a y d a y dd a y d d d y() d u() a = b d () () () () = bx+ b xd+ b xdd+ + b xd d Raaiaa y() ( y() = a y() d a y() dd+ a () () () ) + bx + b x d+ b x dd
24 b Lohodiagrammi u ( ) y ( ) a b b b a a a a Lohodiagrammi Lohodiagrammia voidaa yieraiaa ( ) d y() u() a = = d Iegroidaa yhälö y eraa () () + ( ( ) ()) ( () ()) ( () ()) ay bu a y b u d + a y b u dd + + a y b u d d ( y () = bu () + ( a y() + b u ()) d a ( a y () b u() ) dd ( ay () bu () ) d d)
25 Lohodiagrammi u() y( ) b a b b a a b..6 a 49 Eimeri 3 Taraellaa. eraluvu järjeelmää 4 y y + y = 3x + x Iegroidaa molemmi puoli 4y = yd ydd 3 xd + xdd x ( ) -3-4 y()
26 Eimeri 4 Vaihoehoiei 4 y y + 3x = y+ x= z z = 4y y+ 3x z = z+ y 3x= 4y z = 4y y( ) x() z ( ) -3 ( ) z z ( ) - Lohodiagrammi Mielivalaie lieaarie aiaivariai järjeelmä voidaa realioida äyäe joo derivaaoreia ai iegraaoreia. Bode vahviuäyrä deg Bode vaiheäyrä Derivaaori db/de ω 9 Iegraaori Bode vahviuäyrä -db/de Derivaaori vahviaa oreia aajuuia ja o ie herä ohialle. Iegraaori puoleaa uodaaa ohiaa. => Lieaarie järjeelmä aaaa realioida äyäe iegraaoreia..6 5 ω deg -9 Bode vaiheäyrä ω ω 6
27 Operaaiovahvii Operaaiovahvii (Op-Amp) o iegroiu piiri Op-Amp omaa ai iääuloa (o-ivered + ja ivered -) Omiaiuuia Hyvi uuri vahviu (A> 6 ) Eriäi uuri iäämeoimpedai Suurea impedaia johue, iäämeevä virra ova lähe ollaa i+ = i Jo äyeää egaiivia aaiiyeää, ii v+ v v + v i v i ( ) v = A v v Käyäöllie iegraaori Aalogie iegraaori voidaa oeuaa äyäe operaaiovahviia Virual groud v v = + i( ) v ( ) x( ) dy i() = C, i = i d R dy () x () = RC d () v + y() = x() d RC
Luento 6. Järjestelmät
Lueno 6 Järjeelmän (yeemin) äie ja luoiue Lineaarinen aia invariani järjeelmä Impulivae Siirofunio Sabiiliuu Järjeelmien ooaminen oia..7 Järjeelmä Järjeelmä / Syeemi / Proei on objei, joa määriää relaaio
LisätiedotÄlä tee mitään merkintöjä kaavakokoelmaan!
AS-74. Alogie ääö vkokoelm v. Plu ei jälkee! Trk kokoelm ivumäärä! Älä ee miää merkiöjä kvkokoelm! Dymie mllie perukompoei. Sähköie kompoei Vu (reii) u() Ri() el (iduki) u() L di() d odeori i() C du()
Lisätiedota. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa:
ELEC-C Sääöeniia 7. lauharjoiu Vaaue. r - K u K C y a. Varinainen proei on uua ilaeiymuooa: A Bu y C Kuvaa nähdään, eä ilamallin iäänmenona on u r K. Salaaria ei voi vähenää mariiia, joen un on n -veori,
LisätiedotELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 3: Dynaamisen vasteen määrittäminen, Laplace-muunnos, siirtofunktio
ELEC-C30 Sääöekniikka Luku 3: Dynaamien vaeen määriäminen, Laplace-muunno, iirofunkio Differeniaaliyhälön rakaiu Syeemin ymmärämien ja hallinnan kannala on olennaia ieää, mien lähöuure y() käyäyyy ajan
LisätiedotLuento 2. Järjestelmät aika-alueessa Konvoluutio-integraali. tietoverkkotekniikan laitos
Lueno 2 Järjeselmä aika-alueessa Konvoluuio-inegraali Lueno 2 Lueno 2 Järjeselmä aika alueessa; Konvoluuio inegraali 2.1 Järjeselmien perusominaisuude Oppenheim 1.5. 1.6 Muisillise ja muisioma järjeselmä
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
/ Raaisu Aihee: Avaisaa: Momeiemäfuio Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma Kovergessiäsiee ja raja-arvolausee Biomijaauma, Espoeijaauma, Geomerie jaauma, Jaaumaovergessi, Jauva asaie jaauma, Kolmiojaauma,
LisätiedotKojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto
Kojemeeorologia Sami Haapaala syksy 03 Fysiika laios, Ilmakehäieeide osaso Mialaieide dyaamise omiaisuude Dyaamise uusluvu määriävä mie mialaie käyäyyy syöeide muuuessa Apua käyeää differeiaaliyhälöiä,
LisätiedotLuento 3. Fourier-sarja
Fourier muuos Rayleigh eoreema Spekriiheys Lueo 3 4..6 Fourier-sarja Fourier-sarja avulla pysyii esiämää jaksollie sigaali, joka jaksoaika o. Fourier-sarja Fourier-kompoei Eäpä aperiodise sigaali, joilla
Lisätiedot12. ARKISIA SOVELLUKSIA
MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina
LisätiedotLuento 3. Fourier-sarja
Fourier-muuos Rayleigh eoreema Spekriiheys Lueo 3 4..7 Fourier-sarja Fourier-sarja avulla pysyii esiämää jaksollie sigaali, joka jaksoaika o. Fourier-sarja Fourier-kompoei Eäpä aperiodise sigaali, joilla
LisätiedotDerivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan
87 5. Eliminoinimeneely Tarkaellaan -kokoia vakiokeroimia yeemiä + x a a x a x + a x b() x = = = +. a a x a x a x b () (3) b() x + Derivoimalla enimmäinen komponeni, ijoiamalla jälkimmäien derivaaa iihen
LisätiedotSysteemimallit: sisältö
Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -uvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jauva-aiaisen lineaarisen järjeselmän siirofunio, sabiilisuus Laplace-muunnos Disreeiaiaisen lineaarisen järjeselmän
Lisätiedotjärjestelmät Luento 4
DEE- Lineaarise järjeselmä Lueno 4 Lineaarise järjeselmä Riso Mionen 3.7.4 Lueno 3 - Recap Lineaarisen differenssiyhälöiden raaiseminen Impulssivaseen äsie Impulssivase ja onvoluuiosumma Lineaarise järjeselmä
Lisätiedot5 YHDEN VAPAUSASTEEN YLEINEN PAKOTETTU LIIKE
Värähelymeaiia 5. 5 YHDEN VAPAUSASTEEN YLEINEN PAKOTETTU LIIKE 5. Johao Luvussa 4 araselii yhe vapausasee syseemii harmoisesa heräeesä aiheuuvaa vasea ja havaiii se riippuva pääasiassa syseemi vaimeusesa
LisätiedotS Piirianalyysi 2 1. Välikoe
S-55.0 Piirianalyyi. Välioe.3.0 ae ehävä eri paperille uin ehävä 3 5. Muia irjoiaa joaieen paperiin elväi nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehävä laeaan oreaoulun oepaperille. Muia papereia ei
LisätiedotJuuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 Keraus K. A: III, B: I, C: II ja IV Kuvaaja: I II III IV Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. a) lim ( ) Nimiäjä ( ) o aia
Lisätiedot8 USEAN VAPAUSASTEEN SYSTEEMIN VAIMENEMATON PAKKOVÄRÄHTELY
Värähelymeaa 8. 8 USEAN VAPAUSASEEN SYSEEMIN VAIMENEMAON PAKKOVÄRÄHELY 8. Normaalmuoomeeelmä Usea vapausasee syseem leyhälöde (7.) raaseme vaa aava (7.7) a (7.8) homogeese yhälö ylese raasu { } lsäs paovomaveora
Lisätiedot( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:
ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 16: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, yleinen jaksollinen kuormitus
6/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 6: Yhde vpussee vimeev poväähely, yleie jsollie uomius YLEINEN JAKSOLLINEN KUORMITUS Hmois heäeä vsv pysyvä poväähely lusee löyyy helposi oeilemll. Hmoise heäee eoi void hyödyää
LisätiedotLuento 11. Stationaariset prosessit
Lueno Soasisen prosessin ehosperi Signaalin suodaus Kaisarajoieu anava 5..6 Saionaarise prosessi Auoorrelaaio φ * * (, ) ( ), { } { } jos prosessi on saionaarinen auoorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan
LisätiedotSysteemimallit: sisältö
Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen
LisätiedotKOHINAN JA VAIHEVIRHEEN VAIKUTUS VAIHEKOHERENTEILLA JÄRJESTELMILLÄ
KOHINAN JA VAIHVIRHN VAIKUTUS VAIHKOHRNTILLA JÄRJSTLMILLÄ Mie vaihee epävaruu vaikuaa kohereia ilaiua? Mikä o piloiigaali? 557A Tieoliikeeekiikka I Oa 6 Kari Kärkkäie Kevä 05 VAIHVIRHN YLINN ANALYYSI QSB
LisätiedotS Piirianalyysi 2 1. Välikoe
S-55.0 Piirianalyyi. Välioe 9.3.007 ae tehtävät eri paperille uin tehtävät 3 5. Muita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Muita
Lisätiedot9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.
9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
LisätiedotKYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN
YYSILMIÖ J SILÄ VÄLYMIE YYSE SIIRO LJEUS HYVÄSI ÄYÄE ieoliikenneekniikka I 559 ari ärkkäinen Osa 5 4 MILLOI? Milloin ja missä kynnysilmiö esiinyy? un vasaanoimen ulon SR siis esi-ilmaisusuodaimen lähdössä
Lisätiedot6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA
Dyamiia 6. 6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASKINETIIKKA 6. Yleisä Jäyä appalee ieiiassa arasellaa appaleesee aiuaie uloise oimie ja seurausea olea liiee (raslaaio ja roaaio) älisiä yheysiä. Voimie äsielyssä ariaa
Lisätiedot3 *ä;r ä:e 5ä ä{ :i. c oo) S g+;!qg *r; Er ; l[$ E ;;iä F:ä ä :E ä: a bo. =. * gäf$iery g! Eä. a is äg*!=."fl: ä; E!, \ ins:" qgg ;._ EE üg.
t AJ 1., t4 t4 \J : h J \) (.) \ ( J r ) tḡr (u (1) m * t *h& r( t{ L.C g :LA( g9; p ö m. gr iop ö O t : U 0J (U.p JJ! ä; >
LisätiedotLuento 11. Stationaariset prosessit
Lueno Soasisen prosessin ehosperi Saunnaissignaalin suodaus 5..7 Saionaarise prosessi Auoorrelaaio φ * * (, ) ( ) ( ) ( ) ( ), { } { } jos prosessi on saionaarinen auoorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan
LisätiedotK Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A
K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A 2 0 1 7 Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A Forssan kaupunki Talousarvio ja -suunnitelma 2017-2019 / T O I M I A L A P A L V E L U 50 YHDYSKUNTAPALVELUT 5 0 0 T E
LisätiedotBINÄÄRINEN SYNKRONINEN TIEDONSIIRTO KAISTARAJOITTAMATTOMILLA MIELIVALTAISILLA PULSSIMUODOILLA SOVITETTU SUODATIN JA SEN SUORITUSKYKY AWGN-KANAVASSA
BINÄÄRINN SYNKRONINN IDONSIIRO KAISARAJOIAMAOMILLA MILIVALAISILLA PULSSIMUODOILLA SOVIU SUODAIN JA SN SUORIUSKYKY AWGN-KANAVASSA Millaiia aalomuooja perupuleja yypilliei käyeään? 536A ieoliikenneekniikka
LisätiedotLineaaristen järjestelmien teoriaa II
Lieaarise järjeselmie eoriaa II Ohjaavuus Tarkkailavuus havaiavuus Lisää sabiilisuudesa Tilaesimoii, Kalma-suodi TKK/Syseemiaalyysi laboraorio Mielekiioisia kysymyksiä Oko syseemi rakeeelaa sellaie, eä
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 6, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- ineaarie järjeelmä Harjoiu 6, harjoiuenpiäjille arkoieu rakaiuehdouke Tää harjoiukea käiellään aplace-muunnoa ja en hyödynämiä differeniaaliyhälöiden rakaiemiea Tehävä Määrielmän mukaan funkion f
LisätiedotKULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN ILMAISU DISKRIMINAATTORILLA
1 KULMMOULOITUJEN SIGNLIEN ILMISU ISKRIMINTTORILL Millaisia keinoja on PM & FM -ilmaisuun? 51357 Tieoliikenneekniikka I Osa 17 Kai Käkkäinen Kevä 015 ISKRIMINTTORIN TOIMINTKÄYRÄ J -YHTÄLÖ FM-signaalin
LisätiedotAlipäästösuodatuksesta jää kuitenkin pieni vaihtovirtakomponentti, joka summautuu tasajännitteen päälle:
. Saainen analyyi.. Buck-opoloia Käiellään enin buck-yyppiä hakkurieholähdeä (kuva 2.2a ja 3.). ää eimerkiä kuorma on puhaai reiiivinen (R), mua yleiei e on yöeävien laieiden ominaiuukia muodouva impedani.
LisätiedotS Signaalit ja järjestelmät Tentti
S-7. Signaali ja järjeselmä eni..6 Vasaa ehävään, ehävisä 7 oeaan huomioon neljä parhaien suorieua ehävää.. Vasaa lyhyesi seuraaviin osaehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä kaksi ehoa kanaunkioiden φ
Lisätiedot( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri.
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 1/11 1. Johda anneun pulssin Fourier-muunnos ja hahmoele ampliudispekri. Käyä esim. derivoinieoreemaa, ja älä unohda 1. derivaaan epäjakuvuuskohia!
LisätiedotTENTISSÄ KÄYTETTÄVÄ KAAVAKOKOELMA KURSSILLE Luotettavuusteoria
TENTISSÄ KÄYTETTÄVÄ KAAVAKOKOELMA KURSSILLE Luoeavuueoria Dekripiivinen luoeavuu R() =P(T>) R(x ) =P(T>+ x T>) r() = f() R() R() =e R(x ) =e r() d +x r() d F () R() f() r() F () R() f() F () df () d R()
LisätiedotKolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.
Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.
Lisätiedoti ni 9 = 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6, k k
1. Neljä tuistettavissa oleva hiuase iroaoise jouo ahdolliset eergiatasot ovat 0, ε, ε, ε, 4ε,, jota aii ovat degeeroituattoia. Systeei ooaiseergia o 6ε. sitä aii ahdolliset partitiot ja osoita, että irotiloje
Lisätiedotk e s t ä v y y t t ä
ä v y y ä K i v ä l i K E S T Ä V Y Y T T Ä 2 Släj P 160 L 90 K 158 5005 P=i L=lvy K=r K i Vaa P 140 L 100 K 158 4001 3 K E S T Ä V Y Y T T Ä Paararäi P 120 L 92 K 158 6011 Paaraj P 98 L 100 K 158 6010
LisätiedotLEVYSUOJATUN PALKKIVÄLIPOHJAN PALOMITOITUS LUOKKAAN R 60
Esimeri 3 LEVYSUOJATUN PALKKIVÄLIPOHJAN PALOMITOITUS LUOKKAAN R 6 1 Paloilaee uormius ψ =,3 (ässä esimerissä muuuva uorma o yöyuorma) p = p + ψ p = 1, 5 +, 3 1, = 1, 86 N/m i g, q, Oelo oreus oelo pali
LisätiedotTelecommunication engineering I A Exercise 3
Teleouao egeerg I 5359A xere 3 Proble elaodulaaor lohkokaavo o eey oppkrja kuvaa 3.63. Pulodulaaor ääuloa o aoagaal ja reeregaal erou d. Tää gaal kerroaa pulgeeraaor gaallla rajouke, el erouke erk elväe,
LisätiedotM Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n
ÄÙ Ù ½ ËØ Ð Ù Ú Ó Ó ÐÑ ½º½ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ì Ô ÒÓ ÓØ Q v + q =, M = Q, ½º½µ ÑÑÓ ÐÐ ÙÚ ÐÐ M v + q =, M = EIκ = EIv, (EIv ) + v = q. ½º¾µ ½º µ ½º µ EI = Ú Ó ÆÙÖ Ù ÚÓ Ñ v (4) + k v = q EI, k = EI,
LisätiedotTL5362DSK-algoritmit (J. Laitinen) TTE2SN4X/4Z, TTE2SN5X/5Z Välikoe 1, ratkaisut
TL536DSK-algoritmit (J. Laitie) 4. - 5..4 TTESN4X/4Z, TTESN5X/5Z Välikoe, ratkaiut a) Maiite väitää kaki digitaalite FIR-uotimie etua verrattua IIR-uotimii. b) Mite Reme-meetelmällä uuitellu FIR-uotime
LisätiedotHelsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology
Helsii Uiversity of Techology Laboratory of Telecommuicatios Techology S-38. Sigaaliäsittely tietoliieteessä I Sigal Processig i Commuicatios ( ov) Sysy 998 9. Lueto: Kaava apasiteetti ja ODM prof. Timo
Lisätiedot( ds ) A (2) ψ ξ dv + ψ 2 ξ dv = ψ 2 ξ ξ 2 ψ ) V
Kenttäteorian matemaattisia apuneuvoja 4..7. Gaussin ja Stokesin lauseet V S ds A = dl A = V S A dv, =, tai ) ds ) A ). Greenin kaavat I : II : 3. Diracin deltafunktio 4. Vektorilaskentaa V V ψ ξ dv +
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
LisätiedotMallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009
Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin
LisätiedotTehtävä I. Vaihtoehtotehtävät.
Kem-9.7 Prosessiauomaaion perusee Teni 5.9.5 TÄMÄ PAPERI TÄYTYY EHDOTTOMASTI PALAUTTAA TENTIN MUKANA NIMI: (OS: ) OPINTOKIRJA: VIERAILULUENNOT KUUNNELTU: VALV. LASK: Tehävä I. Vaihoehoehävä. Oikea vasaus
Lisätiedot9.7 Matriisinormit. Vaasan yliopiston julkaisuja 225. Ei siis lainkaan ongelmia defektiivisyydestä.
Vaasa yliopisto julkaisuja 225 U = 0.1213-0.9359-0.3307-0.1005-0.3430 0.9339 0.9875 0.0801 0.1357 S = V = >> 4.5221 0 0 0 2.2793 0 0 0 1.1642 0.0537-0.8212-0.5681 0.4414-0.4908 0.7512 0.8957 0.2911-0.3361
LisätiedotYKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA
YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9
LisätiedotKOE 2 Ympäristöekonomia
Helingin yliopio Valinakoe.5. Maaalou-meäieeellinen iedekuna KOE Ympäriöekonomia Sekä A- eä B-oioa ulee aada vähinään 5 pieä. Mikäli A-oion piemäärä on vähemmän kuin 5 pieä B-oio jäeään arvoelemaa. B-OSIO
LisätiedotLuento 7. Järjestelmien kokoaminen osista
Luento 7 Lineaaristen järjestelmien analyysi Järjestelmä yhdistelmät, takaisinkytkentä Taajuusvaste Stabiilisuus analyysi taajuustasossa 8..6 Järjestelmien kokoaminen osista Lineaaristen järjestelmien
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia
8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.
Lisätiedota) Ortogonaalinen, koska kantafunktioiden energia 1
S-7.060 Signaali ja järjeselmä Teni 14.5.001 1. Vasaa lyhyesi seuraaviin saehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä minaisuuksisa rgnaalinen ja rnrmaalinen kuvaa paremmin Furier-sarjaa ja miksi? b) Esiä
LisätiedotLuento 7. LTI-järjestelmät
Luento 7 Lineaaristen järjestelmien analyysi taajuustasossa Taajuusvaste Stabiilisuus..7 LTI-järjestelmät u(t) h(t) y(t) Tarkastellaan lineaarista aikainvarianttia järjestelmää n n m m d d d d yt () =
LisätiedotMomenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
TKK (c) Ila Melli (4) Momeiemäfuio ja aaeisie fuio Momeiemäfuio Diseeie jaaumie momeiemäfuioia Jauvie jaaumie momeiemäfuioia Kaaeisie fuio Johdaus odeäöisyyslaseaa Momeiemäfuio ja aaeisie fuio TKK (c)
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 09: Yhden vapausasteen vaimeneva ominaisvärähtely
9/ VÄRÄHTELYMEKNKK SESSO 9: Yhn vpun vinv oinivärähly LKEYHTÄLÖ Viooi vinnu vinnuvoin oln olvn uorn vrrnnollinn värählvän n nopun li F v () jo on vinnuvio. Kuv on viooii vinnun värählijän prulli, jo vinnu
LisätiedotMATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!
MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R
LisätiedotOPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA 2 OV. Isto Jokinen 2012. 1. Mekaniikka 2
OPINTOJAKSO FYSIIKKA 1 OV OPINTOKOKONAISUUTEEN FYSIIKKA JA KEMIA OV Io Jokinen 01 SISÄLTÖ SIVU 1. Mekaniikka Nopeu Kekinopeu Kehänopeu 3 Kiihyvyy 3 Puoamikiihyvyy 4 Voima 5 Kika 6 Työ 7 Teho 8 Paine 9
LisätiedotS-55.1220/142 Piirianalyysi 2 1. Välikoe 10.3.2006
S-55.0/4 Piirianalyyi. Välioe 0.3.006 ae tehtävät 3 eri paperille in tehtävät 4 5. Mita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanmero, rin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Mita
Lisätiedotq =, r = a b a = bq + r, b/2 <r b/2.
Luuteoria I Harjoitusia 2009 1 Osoita, että (a x = x x R, (b x x< x +1 x R, (c x + = x + x R, Z, (d x + y x + y x, y R, (e x y xy x, y R 0 2 Oloot a, b, q, r Z ja a = qb + r, 0 r< b Näytä, että a a q =,
LisätiedotH(s) + + _. Ymit(s) Laplace-tason esitykseksi on saatu (katso jälleen kalvot):
ELEC-C3 Säätötekniikka 5. laskuharjoitus Vastaukset Quiz: Luennon 4 luentokalvojen (luku 4) lopussa on esimerkki: Sähköpiiri (alkaa kalvon 39 tienoilla). Lue esimerkki huolellisesti ja vastaa seuraavaan:
LisätiedotKULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN
KULMMODULOITUJEN SIGNLIEN SPEKTRIN LSKEMINEN 1 (3) (3) Spekri laskeie siisaoalle Kulaoduloidu sigaali spekri johaie o yöläsä epälieaarisuudesa johue (epälieaarise aalyysi ova yleesä hakalia). Se voidaa
Lisätiedot1. Todista/Prove (b) Lause 2.4. käyttäen Lausetta 2.3./by using Theorem b 1 ; 1 b + 1 ; 1 b 1 1
KETJUMURTOLUVUT Harjoiuksia 209. Todisa/Prove Lause 2.2. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. Lause 2.4. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. 2. Määrää Canorin kehielmä luvuille 0,, 2, 3, 4, 5,
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5
Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi L4, osa II, todistuksia ym
Mat-.4 Matematiikan peruskurssi L4, osa II, todistuksia ym G. Gripenberg Aalto-yliopisto 4. maaliskuuta 2 G. Gripenberg Aalto-yliopisto L4, osa II, todistuksia ym. 4. maaliskuuta 2 / 68 Poissonin yhtälö...................
LisätiedotPuolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017
OY/PJKOMP R 017 Puolijohdekomoeie erusee 571A Rakaisu, Kevä 017 1. Massavaikuuslai mukaisesi eemmisö- ja vähemmisövarauksekuljeajie ulo o vakio i, joka riiuu uolijohdemaeriaalisa ja lämöilasa. Kuvasa 1
Lisätiedotx n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 019 Harjoitus 5B Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Jatoa Harjoitus 5A tehtävää 4). Moistee esimeri 3.3.3. muaa momettimeetelmä
LisätiedotC (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)
http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.
LisätiedotSUOJAAMATTOMAN LIIMAPUUPALKIN PALOMITOITUS LUOKKAAN R 60
Esimeri 1 SUOJAAMATTOMAN LIIMAPUUPALKIN PALOMITOITUS LUOKKAAN R 6 1 Paloilaee uormius ψ =,5 (ässä esimerissä muuuva uorma o lumiuorma) 1,1 p = p + ψ p = 6, +,5 11, = 11,5 N/m i g, 1,1 q, Pali maeriaaliomiaisuue
LisätiedotSilloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) (
TT/TV Inegraalimuunnokse Fourier-muunnos, ehäviä : Vasauksia Meropolia/. Koivumäki v(. Määriä oheisen signaalin Fourier-muunnos. Vinkki: Superposiio, viive. Voidaan sovelaa superposiioperiaaea, koska signaalin
LisätiedotKonvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5
S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali,
LisätiedotDynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä
Dynaaminen opimoini ja ehdollisen vaaeiden meneelmä Meneelmien keskinäinen yheys S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 10 - Peni Säynäjoki Opimoiniopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Meneelmien yhäläisyyksiä
Lisätiedot5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä
1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa
LisätiedotRak-54.116 Rakenteiden mekaniikka C, RM C (4 ov) Tentti 30.8.2007
Rak-54.116 Rakeneden mekankka, RM (4 ov) Ten.8.7 Krjoa jokaeen koepapern elvä - koko nme, puhuelunm allevvauna - oao, vuokur, enn pävämäärä ekä enävä opnojako koodeneen - opkeljanumero, mukaan luken arkukrjan
Lisätiedot2. Systeemi- ja signaalimallit
2. Syseemi- ja signaalimalli Malliyyppejä: maemaainen malli: muuujien välise suhee kuvau maemaaisesi yhälöin lohkokaaviomalli: syseemin oiminojen looginen jako lohkoihin, joiden välisiä vuorovaikuuksia
LisätiedotTäydennetään teoriaa seuraavilla tuloksilla tapauksista, joissa moninkertaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on yksi:
77 Aemmn oleen, eä mars A on dagonalsouva. Tällanen on lanne äsmälleen sllon, un joasen omnasarvon geomernen eraluu on sama un algebrallnen. Täydenneään eoraa seuraavlla uloslla apaussa, jossa monnerasen
LisätiedotTKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta
KK ieoliikennelaboraorio 7.2.27 Seppo Saasamoinen Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali, kun ulosignaali ja järjeselmän
LisätiedotKOHINA KULMAMODULAATIOISSA
OHI ULMMOULIOISS ioliikkiikka I 559 ai äkkäi Osa 4 7 ulaoulaaio ouloii kohia vallissa iskiiaaoi koosuu ivaaoisa ja vhokäyäilaisisa. ivaaoi suaa -sigaali vaihkula uuosopua aajuu uuosa kskiaajuu C ypäillä.
LisätiedotTässä harjoituksessa käsitellään Laplace-muunnosta ja sen hyödyntämistä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.
DEE-00 Lneaare järjeelmä Harjou 0, rakauehdouke Tää harjoukea käellään Laplace-muunnoa ja en hyödynämä dfferenaalyhälöden rakaemea Tehävä Laplace-muunno on käevä yökalu dfferenaalyhälöryhmen rakaemea,
LisätiedotYhden vapausasteen värähtely - harjoitustehtäviä
Dynaiia 1 Liie luuun 8. g 8.1 Kuvan jousi-assa syseeissä on = 10 g ja = 2,5 N/. Siiryä iaaan saaisesa asapainoaseasa lähien. luheellä = 0 s assa on saaisessa asapainoaseassaan ja sillä on nopeus 0,5 /
Lisätiedot1. Annettu siirtofunktio on siis G(s) ja vastaava systeemi on stabiili. Heräte (sisäänmeno) on u(t) = A sin(ωt), jonka Laplace-muunnos on
Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-419 Systeemien Identifiointi 8 harjoituksen ratkaisut 1 Annettu siirtofunktio on siis G(s) ja vastaava systeemi
Lisätiedotb) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y)
Maemaiikan ja ilasoieeen osaso/hy Differeniaaliyhälö II Laskuharjoius 1 malli Kevä 19 Tehävä 1. Ovako seuraava funkio Lipschiz-jakuvia reaaliakselilla: a) f(x) = x 1/3, b) f(x) = x, c) f(x) = x? a) Ei
Lisätiedotẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.
Diffrniaaliyhälö II, harjoius 3, 8 228, rakaisu JL, kuusi sivua a On muunnava linaarinn oisn kraluvun diffrniaaliyhälö ẍ qx f yhäpiäväksi nsimmäisn kraluvun linaarisksi kahdn skalaariyhälön sysmiksi Rak
LisätiedotMääräys STUK SY/1/ (34)
Määräys SY/1/2018 4 (34) LIITE 1 Taulukko 1. Vapaarajat ja vapauttamisrajat, joita voidaan soveltaa kiinteiden materiaalien vapauttamiseen määrästä riippumatta. Osa1. Keinotekoiset radionuklidit Radionuklidi
Lisätiedotääexgäl*ääääe ääg I ä*fre3 I äee iäa ää-äälgü il leääö ää; i ääs äei:ä ä+ i* äfä g u ;; + EF'Hi: 2 ä ; s i r E:;g 8ää-i iää: Ffärg',
!P9) (?trtrr('l rl 9< l ( r,r^iüfl.l ltrt ;ä r!! (r, t 6 t, rti 'le )( ö O RRZöF;ä x öö 1 74ö 9 jii\rtr lrl l jipäp. ldrrr_.^!. 9r. i P.^vä P. t!! v 7 ' '.ä e.q i >6l( t (p C ] ä il; ', +t n l ( e iei
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
LisätiedotS Ä H K Ö - J A T I E T O T E K N I I K A N O S A S T O
S Ä H K Ö J A T I E T O T E K N I I K A N O S A S T O 2.0.2007 Piirieria II (Graafise laskime salliuja). Laske kuvan piirille siirfunki U u (s)/u in (s) ja piirrä nllanapakara. Laske myös Laplacekääneismuunns
LisätiedotF Y S I I K K A KERTAUSTEHTÄVIÄ 1-20
F Y S I I K K A KERTAUSTEHTÄVIÄ - 0 Oalla eieyiä kyyykiä vaauke ova huoaavai pidepiä kuin iä eierkiki kokeea vaaukela vaadiaan. Kokeea on oaava vain olennainen aia per ehävä. . Muua SI järjeelän ykiköihin
LisätiedotTENTISSÄ KÄYTETTÄVÄ KAAVAKOKOELMA KURSSILLE Tilastollinen laadunvalvonta
TENTISSÄ KÄYTETTÄVÄ KAAVAKOKOELMA KURSSILLE Tilastollie laauvalvota Shewharti muuttujakartat ARL I = α ARL II = β x-kartta x = x + + x Ex =µ ja Vx = µ ± k Φx = π x e t t α = Φk β =Φk Φ k S-kartta S = x
LisätiedotKirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!
Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotMAANANTAINA KLO 18
EIÄI.. I. I.. #i i iij: i i gi i ill! gi d i i i.. l i: i.. l i il l. ij ld l l., il l. l.. l ilil li i. iii li ld l () jl. I li: gi d i. ii -ijl ijli il id il bff-d j igi. il iii i.. - i. i.i@jii.fi iii
LisätiedotLuento 9. Epälineaarisuus
Lueno 9 Epälineaarisuus 8..6 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
Lisätiedot