Yhdistetty funktio. Älä sekoita arvo- eli kuvajoukkoa maalijoukkoon! (wikipedian ongelma!)

Transkriptio

1 Yhdistetty unktio TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Määritelmä, yhdistetty unktio: Funktioiden ja g yhdistetty unktio g (luetaan g pallo ) määritellään yhtälöllä g g. Funktio g on ns. ulkounktio ja sisäunktio. M (koko joukko A tai osa) y g A g g M g g y g A A M C M g (koko joukko C tai osa) B Siis unktio g A g g A g : A B ; g. g M Lyhyesti, mikä on unktion arvojoukon A (eng. range ) ja kuvajoukon M (eng. image ) välinen ero? Käytännössä samat. Voidaan ajatella, että arvojoukko kertoo vain mitkä arvot unktio saa, mutta kuvajoukko pitää sisällään tiedon kuinka monta kertaa jokin tietty arvo saadaan (tämä vain mun omaa pohdintaa). Vertaa unktio : R R ; y. Arvojoukoksi tulee luvut nollasta äärettömään. Eli R:n kuva on R 0,. Älä sekoita arvo- eli kuvajoukkoa maalijoukkoon! (wikipedian ongelma!) Miten yhdistetyn unktion arvo lasketaan. Funktion g arvo muuttujan arvolla saadaan laskemalla ensin (unktion arvo) ja sitten unktion g arvo lasketulla muuttujan arvolla y. Huomaa merkintä g g. Siis ensin operoi ja sitten g. Usein muodostetaan suoraan lopullinen eli yhdistetyn unktion lauseke.

2 Jatkossa voidaan pallotella useamman unktion voimin, eli esim. h g h g. Esimerkki Olkoon : ja g: g y y. Tällöin g g, g y g y g y y 4y. Tehdään havainto g g ja näin on lähes aina! Olkoon : + ja g: g y y. Tällöin g +, + 0 eli g y + y, y 0 Siis, määrittelyjoukot eri! Esimerkki Olkoon 3, g ja h +. Tällöin g 3 g 3 ja g 3 3. Lisäksi h g g + g Ja laskemalla arvo muuttujan arvolla, saadaan h g ,975. Ja mikään ei estä pallottelemasta samaa unktiota, esim. h h, eli h h h + h Havaitaan mielenkiintoinen ilmiö. Funktio h h palauttaa muuttujan, kunhan. Eikös tämä unktio h ole käänteisunktio unktiolle h, eli itselleen? Aivan näihin käänteisunktioihin palataan.

3 TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Yhdistetyn unktion derivaatta 7.-kurssilla: D n n n, eli esimerkiksi Lause Olkoon unktio derivoituva kohdassa ja unktio g kohdassa. Tällöin yhdistetyn unktion g derivaatta on ulko- ja sisäunktion derivaattojen tulo (useita merkintöjä) Todistus D g D g Dg g. Sivuutetaan. Tulee erotusosamäärän raja-arvosta. Sen sijaan tarkastellaan asiaa ns. ketjusäännön avulla ja otetaan dierentiaalit käyttöön. (Dierentiaali on äärettömän pieni muutos. Kurssilla 3 jatketaan dierentiaalien tarkastelua. Halukkaat voivat tutustua pedasta löytyvään matskuun.) Merkitään z ja g z y, jolloin g 0 R 0 puoli R 0 z puoli R y puoli Tällöin D g d g d g dg d Huijataan, eli kerrotaan osoittaja :llä muodossa /. dg d dg dg z d d dy d z g z y Nyt dy on ulkounktion derivaatta ja on sisäunktion derivaatta. d 3

4 Esimerkki Määritä a) D b) D a) Sisäunktiona on : ja ulkounktiona g: g +. Näin ollen D + b) + ulkounktion g derivaatta kohdassa sisäunktion derivaatta kohdassa. + + D Esimerkki Millä :n arvoilla unktio : 5 on aidosti kasvava? Aluksi on syytä tehdä ns. perushavainnot: Funktio on polynomiunktiona jatkuva ja derivoituva kaikilla R. Onko polynomiunktio? Saadaan , /7,/ 0 /7 / Derivaatan merkkikaavio ja unktion kulkukaavio. Näin ollen on aidosti kasvava, kun / + /7 4

5 Esimerkki Derivoi määritelmän kautta. Oletetaan, että on olemassa. D + h lim h lim + h + h + h + h + lim + h h + h + lim + h h lim + h +, OK. 5