Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:
|
|
- Tarja Mikkonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi, nteraktio, äännösneliösumma, Keskiarvodiagrammi, Kokonaisvaihtelu, Merkitsevstaso, p-arvo, Päävaikutus, Reunakeskiarvo, Rhmien sisäinen vaihtelu, Rhmien välinen vaihtelu, Rhmä, Rhmäkeskiarvo, Testi, Testisuure, Vapausaste, Varianssi, Varianssianalsi, Varianssianalsihajotelma, Yhteisvaihtelu, Yleiskeskiarvo Tehtävä 8.. Kaksisuuntaisen varianssianalsin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa: Todista, että Tehtävä 8.. Mitä opimme? = µ + α + β + ( αβ) + ε ij k =,,, K, i =,,,, j =,,, α = β = ( αβ ) = ( αβ ) = 0 i i ij ij i= j= i= j= Tehtävässä todistetaan, että kaksisuuntaisen varianssianalsin mallin esitsmuodon = µ + α + β + ( αβ) + ε ij k =,,, K, i =,,,, j =,,, parametrit eivät ole riippumattomia, vaan niitä sitoo joukko lineaarisia side-ehtoja. Tehtävä 8.. Ratkaisu: Oletetaan, että rhmittelevällä teällä A on tasoa: A, A,, A ja rhmittelevällä teällä B on tasoa: Olkoon B, B,, B = k. havainto rhmässä, jonka määrittelee teän A taso a teän B taso j, k =,,, K, i =,,,, j =,,, lkka Mellin (005) /7
2 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Kaksisuuntaisen varianssianalsin tilastollisella mallilla on seuraavat ekvivalentit esitsmuodot: () = µ + ( µ µ ) + ( µ µ ) + ( µ µ µ + µ ) + ( µ ) () = µ ij + ε ii ij ìi ij (3) = µ + α + β + ( αβ) + ε ij k =,,, K, i =,,,, j =,,, äännöstermit ε ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: ε Yhtälössä () N(0, σ ) µ ìi = µ ij k =,,, K, i =,,,, j =,,, j = µ = µ ij i= µ = µ = µ = µ ij ii i= j= i= j= Siten htälöiden (), () ja (3) parametrien välillä on seuraavat htälöt: Siten α = µ µ i j ii β = µ µ ( αβ ) = µ µ µ +µ ij ij ìi ε = µ ij α = ( µ µ ) i i= i= i= ii = µ µ ii = µ µ = 0 β = ( µ µ ) j j= j= j = = µ µ = µ µ = 0 lkka Mellin (005) /7
3 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit ( αβ ) = ( µ µ µ + µ ) ij ij ii i= i= = µ µ µ + µ ij ii i= i= = µ µ µ + µ = 0 ( αβ ) = ( µ µ µ + µ ) ij ij ii j= j= = µ µ µ + µ ij ii j= j= = µ µ µ + µ = 0 ii ìi lkka Mellin (005) 3/7
4 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Tehtävä 8.. Tarkastellaan interaktion eli hdsvaikutuksen ilmenemistä seuraavassa tilanteessa: Oletetaan, että rhmittelevillä teöillä A ja B on kummallakin kaksi tasoa: A i, i =, B j, j =, Piirrä keskiarvodiagrammit ja laske hdsvaikutusta kuvaavat neliösummat iij i i= j= SSAB = K ( + ) kun rhmäkeskiarvoina ovat: (a) ij A A B B 3 4 (b) ij A A B B 4 3 Tehtävä 8.. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan, millä tavalla interaktio ilmenee kaksisuuntaisen varianssianalsin koeasetelman rhmäkeskiarvoja havainnollistavissa keskiarvodiagrammeissa. Olkoon = k. havainto rhmässä, jonka määrittelee teän A taso a teän B taso j, k =,,, K, i =,,,, j =,,, Kaksisuuntaisen varianssianalsin varianssianalsihajotelman SST = SSA + SSB + SSAB + SSE hdsvaikutusta kuvaava neliösumma on iij i i= j= SSAB = K ( + ) lkka Mellin (005) 4/7
5 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Yhdsvaikutusta kuvaavan neliösumman SSAB kaavassa i ij K = K k = on teän A tason a teän B tason j määräämän rhmän (i, j) havaintojen aritmeettinen keskiarvo eli rhmäkeskiarvo, ja ii i i K = = K j= k= j= K = = K i= k= i= ovat vastaavat reunakeskiarvot ja K = = K iij iij i= j= k= i= j= havaintoarvojen kokonaiskeskiarvo. iij (a) Rhmäkeskiarvot: ij A A B B 3 4 Vastaava keskiarvodiagrammi: 5 Keskiarvodiagrammi 4 B Vaste 3 B 0 A lkka Mellin (005) 5/7
6 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Koska samaan teän B tasoon liittvien rhmäkeskiarvojen hdsjanat ovat hdensuuntaisia, kuvio viittaa siihen, että teöillä A ja B ei ole hteisvaikutusta. Reunakeskiarvot: ii = i j = ( + 3) = j = ii= i j = ( + 4) = 3 j = ii = ii = ( + ) =.5 i= ii = ii = (3 + 4) = 3.5 i= Kokonaiskeskiarvo: = i ij = ( ) =.5 i= j= Yhteisvaihtelua kuvaava neliösumma ( iij i ) i= j= SSAB = K + voi olla nolla vain, jos jokainen termeistä on nolla. Koska ( + ), i =,, j =, iij i + =.5+.5= 0 i ii ii + = = 0 i ii ii + = = 0 i ii ii + = = 0 näemme, että i ii ii SSAB = 0 lkka Mellin (005) 6/7
7 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (b) Rhmäkeskiarvot: ij A A B B 4 3 Vastaava keskiarvodiagrammi: 5 Keskiarvodiagrammi 4 Vaste 3 B B 0 A Koska samaan teän B tasoon liittvien rhmäkeskiarvojen hdsjanat eivät ole hdensuuntaisia, kuvio viittaa siihen, että teöillä A ja B saattaa olla hteisvaikutusta. Reunakeskiarvot: ii = i j = ( + 4) =.5 j = ii= i j = ( + 3) =.5 j = ii = ii = ( + ) =.5 i= ii = ii = (4 + 3) = 3.5 i= Kokonaiskeskiarvo: = i ij = ( ) =.5 i= j= lkka Mellin (005) 7/7
8 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Yhteisvaihtelua kuvaava neliösumma ( iij i ) i= j= SSAB = K + voi olla nolla vain, jos jokainen termeistä on nolla. Koska ( + ), i =,, j =, iij i + = = 0.5 i ii ii + = = 0.5 i ii ii + = = 0.5 i ii ii + = = 0.5 i ii ii näemme, että SSAB 0 lkka Mellin (005) 8/7
9 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Tehtävä 8.3. Akkutehtaan tavoitteena on suunnitella akku, joka säilttää latauksensa hvin erilaisissa lämpötiloissa. Oletetaan, että ainoa parametri, johon akkujen valmistusprosessissa voidaan vaikuttaa, on akussa kätettävien metallilevjen materiaala oletetaan, että kätettävissä on kolmesta erilaisesta materiaalista tehtjä levjä. Koska on odotettavissa, että eri materiaaleista valmistettujen akkujen latauksen kesto on erilainen erilaisissa lämpötiloissa, päätettiin tehdä seuraava koe: Kätettävissä olevista kolmesta materiaalista tehtjä akkuja testattiin kolmessa lämpötilassa (5, 70, 5 F) niin, että jokaisessa materiaali-lämpötila-kombinaatiossa (3 3 = 9 kpl) testattiin neljä satunnaisesti valittua akkua. okaisesta testatusta akusta mitattiin sen latauksen kesto tunteina. Tulokset testistä on annettu alla olevassa taulukossa. Latauksen kesto (h) Materiaali 3 Lämpötila ( F) (a) (b) Mitä vaikutuksia kätetllä materiaalilla ja lämpötilalla on akun latauksen kestoon? Onko olemassa materiaalia, josta valmistetun akun latauksen kesto olisi tasaisesti paras kaikissa lämpötiloissa? Tehtävä 8.3. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan kaksisuuntaista varianssianalsia. Kaksisuuntaisen varianssianalsin tutkimusasetelma (i) (ii) Oletetaan, että haluamme tutkia kahden rhmittelevän teän A ja B vaikutusta vastemuuttujan keskimääräiseen arvoon. Oletetaan, että teällä A on tasoa ja teällä B on tasoa, jolloin havainnot voidaan luokitella ristiin rhmään. () Poimitaan kokeen mahdollisten kohteiden joukosta jokaiseen rhmään satunnaisesti K ksilöä. (iv) Mitataan vastemuuttujan arvot. lkka Mellin (005) 9/7
10 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Havainnot Olkoon = muuttujan k. havaintoarvo rhmässä, jonka määrittelee teän A taso a teän B taso j, k =,,, K, i =,,,, j =,,, Kaksisuuntaisen varianssianalsin tilastollinen malla sen parametrointi Kaksisuuntaisen varianssianalsin tilastollisella mallilla on seuraavat ekvivalentit esitsmuodot: () = µ + ( µ µ ) + ( µ µ ) + ( µ µ µ + µ ) + ( µ ) () = µ ij + ε ii ij ìi ij (3) = µ + α + β + ( αβ) + ε ij k =,,, K, i =,,,, j =,,, äännöstermit ε ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: Mallissa () ε σ N(0, ) µ ìi = µ ij k =,,, K, i =,,,, j =,,, j = µ = µ ij i= µ = µ = µ = µ ij ii i= j= i= j= Mallien (), () ja (3) parametrit toteuttavat seuraavat htälöt: α = µ µ i j ii β = µ µ ( αβ ) = µ µ µ +µ ij ij ìi ε = µ ij Mallin (3) parametrit toteuttavat htälöt α = β = ( αβ ) = ( αβ ) = 0 i i ij ij i= j= i= j= lkka Mellin (005) 0/7
11 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Kaksisuuntaisen varianssianalsin hpoteesit Kaksisuuntaisella varianssianalsilla tarkoitetaan seuraavien nollahpoteesien testaamista: H AB : Ei hdsvaikutusta H A H B : Ei A-vaikutusta : Ei B-vaikutusta Nämä nollahpoteesit voidaan ilmaista mallin (3) parametrien avulla seuraavassa muodossa: H : ( αβ ) = 0, i =,,,, j =,,, AB ij H : α = α = $ = α = 0 A H : β = β = $ = β = 0 B Keskiarvot Rhmän (i, j) havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo eli rhmäkeskiarvo on K i =, i =,,,, j =,,, ij K k = Teän A tasoon i liittvä reunakeskiarvo on K = =, i =,,, ii i i ij K j= k= j= Teän B tasoon j liittvä reunakeskiarvo on K = =, j =,,, ii i j ij K i= k= i= Kaikkien havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo eli leis- eli kokonaiskeskiarvo on K = = K i= j= k= i= j= iij Varianssianalsihajotelma Testit nollahpoteeseille H AB, H A, H B perustuvat varianssianalsihajotelmaan SST = SSA + SSB + SSAB + SSE Neliösumma K ) i= j= k= SST = ( ) = ( K s kuvaa havaintojen kokonaisvaihtelua. lkka Mellin (005) /7
12 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Neliösumma K ( ) ( ) i= j= k= i= SSA= = K kuvaa teän A osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta eli teän A päävaikutusta. Neliösumma K ( i ) ( i ) i= j= k= j= SSB = = K kuvaa teän B osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta eli teän B päävaikutusta. Neliösumma K ( iij i ) ( iij i ) i= j= k= i= j= SSAB = + = K + kuvaa teöiden A ja B hteisvaihtelun osuutta kokonaisvaihtelusta eli teöiden A ja B interaktiota. Neliösumma (jäännösneliösumma) K ( i ij ) ( ) ij i= j= k= i= j= SSE = = K s kuvaa rhmien sisäisen vaihtelun osuutta havaintojen kokonaisvaihtelusta. Testisuureet Määritellään F-testisuureet F F F AB A B ( K ) SSAB = ( )( ) SSE ( K ) SSA = ( ) SSE ( K ) SSB = ( ) SSE os nollahpoteesi H AB : Ei hdsvaikutusta pätee, niin F F(( )( ), ( K )) AB Suuret testisuureen F AB arvot johtavat nollahpoteesin H AB hlkäämiseen. lkka Mellin (005) /7
13 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit os nollahpoteesi pätee, niin H A : Ei A-vaikutusta F F(( ), ( K )) A Suuret testisuureen F A arvot johtavat nollahpoteesin H A hlkäämiseen. os nollahpoteesi pätee, niin H B : Ei B-vaikutusta F F(( ), ( K )) B Suuret testisuureen F B arvot johtavat nollahpoteesin H B hlkäämiseen. Kaksisuuntaisen varianssianalsin testien tulokset ilmaistaan tavallisesti varianssianalsitaulukon muodossa: Vaihtelun lähde Neliösumma SS Vapausasteet df Varianssiestimaattori MS F-testisuure A SSA SSA MSA = F = MSA MSE B SSB MSB = SSB F = MSB MSE AB SSAB ( )( ) SSAB MSAB = ( )( ) F = MSAB MSE äännös SSE (K ) MSE = SSE ( K ) Kokonaisvaihtelu SST K Varianssianalsitaulukon neliösummat toteuttavat varianssianalsihajotelman SST = SSA + SSB + SSAB + SSE Lisäksi neliösummiin liittvät vapausasteet toteuttavat vastaavan htälön K = ( ) + ( ) + ( )( ) + (K ) lkka Mellin (005) 3/7
14 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Laskutoimitusten järjestel os varianssianalsihajotelman neliösummat SST, SSA, SSB, SSAB, SSE joudutaan laskemaan käsin tai laskimella, kannattaa laskutoimituksissa kättää alla esitettäviä kaavoja. Määritellään seuraavat summat: T iij = K k = K T = = T ii i iij j= k= j= K T = = T i iij i= k= i= K T = = T = T = iij i i= j= k= i= j= i= j= i =,,,, j =,,, Tällöin llä määritellt keskiarvot saadaan kaavoilla iij ii i i = Tiij K = Tii i K = Tii j K = T K i =,,,, j =,,, Havaintoarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla SST = = T K K K ( ) i= j= k= i= j= k= Teän A päävaikutusta kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla SSA = K = T T ( ) i= K i= K Teän B päävaikutusta kuvaava neliösumma voidaan laskea kaavalla SSB = K = T T ( i ) i j= K i= K Teöiden A ja B hdsvaikutusta kuvaava neliösumma kannattaa laskea kahdessa vaiheessa. Lasketaan ensin rhmäkeskiarvojen kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma SS = K = T T ( iij ) iij i= j= K i= j= K T lkka Mellin (005) 4/7
15 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Tällöin SSAB = K( iij i + ) = SS SSA SSB i= j= Rhmien sisäistä vaihtelua kuvaava jäännösneliösumma saadaan kaavalla SSE = SST SSAB SSA SSB = SST SS Käsin tai laskimella laskettaessa havainnot kannattaa järjestää seuraavan taulukon muotoon: A A $ A B,,,,,, $,,, B,,,,,, $,,, % % % % B,,,,,, $,,, K K K K K K K K K Tästä taulukosta lasketaan solukohtaiset summat K Ti =, i =,,,, j =,,, ij k = ja kaikkien havaintojen neliöiden summa K i= j= k= Solusummat Ti ij, i =,,,, j =,,, järjestetään seuraavaksi taulukoksi, josta kaikki loput tarvittavista summista saadaan rivi- ja sarakesummina: A A $ A Summa B Ti Ti $ Ti Tii B Ti Ti $ Ti Tii % % % % % B Ti Ti $ Ti Tii Summa T T $ T T ii ii i i lkka Mellin (005) 5/7
16 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Tehtävä 8.3. Ratkaisu: (a) Tehtävässä havainnot on valmiiksärjestett laskutoimitusten kannalta sopivaan muotoon: Latauksen kesto (h) Materiaali 3 Lämpötila ( F) Tässä A = Lämpötila B = Materiaali ja = 3 = 3 K = 4 joten havaintojen kokonaislukumäärä on N = K = 36 Neliösummien laskeminen Lasketaan kaikkien havaintojen neliöiden summa: K i= j= k= = Lasketaan seuraavaksokaisesta solusta havaintojen summa ja järjestetään summat taulukoksi, josta lasketaan lisäksi rivi- ja sarakesummat. lkka Mellin (005) 6/7
17 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Lasketaan solusummat: 4 T = = = 539 i k k = 4 T = = = 9 i k k = 4 T = = = 30 i3 k 3 k = 4 T = = = 63 i k k = 4 T = = = 479 i k k = 4 T = = = 98 i3 k 3 k = 4 T = = = 576 i3 k3 k = 4 T = = = 583 i3 k 3 k = 4 T = = = 34 i33 k 33 k = Lasketaan rivisummat: 3 T = T = = 998 ii ii i= 3 T = T = = 300 ii ii i= 3 T = T = = 50 ii3 ii3 i= Lasketaan sarakesummat: 3 T = T = = 738 ii ij j = 3 T = T = = 9 ii i j j = 3 T = T = = 770 i3i i3j j = lkka Mellin (005) 7/7
18 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Lasketaan kokonaissumma: 3 T = T = = 3799 i= T ij Lämpötila ( F) Summa Materiaali Summa Lasketaan kaksisuuntaisen varianssianalsin varianssianalsihajotelman neliösummat: K SST = T K i= j= k= = = SSA = Ti ii T K i= K = = ( ) 3799 SSB = T T K i j = K = = ( ) 3799 SS = Ti T K K i= j= ij = = ( ) 3799 lkka Mellin (005) 8/7
19 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit SSAB = SS SSA SSB = = SSE = SST SSA SSB SSAB = SST SS = = F-testisuureiden laskeminen Olkoon nollahpoteesina H AB : Ei hdsvaikutusta Testisuureen F AB arvoksi saadaan F AB ( K ) SSAB = ( )( ) SSE 3 3 (4 ) = (3 ) (3 ) = 3.56 os nollahpoteesi H AB pätee, niin F F(( )( ), ( K )) = F(4,7) AB Olkoon nollahpoteesina H A : Ei A-vaikutusta Testisuureen F A arvoksi saadaan F A ( K ) SSA = ( ) SSE 3 3 (4 ) = (3 ) = 8.97 os nollahpoteesi H A pätee, niin F F(( ), ( K )) = F(, 7) A lkka Mellin (005) 9/7
20 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Olkoon nollahpoteesina H B : Ei B-vaikutusta Testisuureen F B arvoksi saadaan F B ( K ) SSA = ( ) SSE 3 3 (4 ) = (3 ) = 7.9 os nollahpoteesi H B pätee, niin F F(( ), ( K )) = F(, 7) B Testien tekeminen Olkoon nollahpoteesina H AB : Ei hdsvaikutusta Testisuureen arvoksi saatiin F AB = 3.56 Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla Pr( F 3.56) = Siten nollahpoteesi H AB voidaan hlätä merkitsevstasolla 0.05, mutta ei merkitsevstasolla 0.0. Taulukoiden mukaan jossa Koska Pr(F.78) = 0.05 Pr(F 4.06) = 0.0 F F(( )( ), ( K )) = F(4,7).78 < F AB = 3.56 < 4.06 voimme todeta (kuten edellä), että nollahpoteesi H AB voidaan hlätä merkitsevstasolla 0.05, mutta ei merkitsevstasolla 0.0. lkka Mellin (005) 0/7
21 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Olkoon nollahpoteesina H A : Ei A-vaikutusta Testisuureen arvoksi saatiin F A = 8.97 Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla Pr( F 8.97) < Siten nollahpoteesi H A voidaan hlätä kaikilla tavanomaisilla merkitsevstasoilla. Taulukoiden mukaan jossa Koska Pr(F 5.488) = 0.0 F F(( ), ( K )) = F(, 7) F A = 8.97 > voimme todeta, että nollahpoteesi H A voidaan hlätä merkitsevstasolla 0.0. Olkoon nollahpoteesina H B : Ei B-vaikutusta Testisuureen arvoksi saatiin F B = 7.9 Testisuureen arvoa vastaavaksi p-arvoksi saadaan esimerkiksi Excel-ohjelmalla Pr( F 7.9) = Siten nollahpoteesi H B voidaan hlätä merkitsevstasolla 0.0, mutta ei merkitsevstasolla Taulukoiden mukaan jossa Koska Pr(F 5.488) = 0.0 F F(( ), ( K )) = F(, 7) F B = 7.9 > voimme todeta, että nollahpoteesi H B voidaan hlätä merkitsevstasolla 0.0. lkka Mellin (005) /7
22 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Testien tuloksista voidaan rakentaa seuraava varianssianalsitaulukko: Vaihtelun lähde SS df MS F p A < B AB E T ohtopäätös: os kätämme 5 %:n merkitsevstasoa, voimme hlätä kaikki kaksisuuntaisen varianssianalsin nollahpoteesit: H AB : Ei hdsvaikutusta H A H B : Ei A-vaikutusta : Ei B-vaikutusta Siten akkujen materiaala lämpötila vaikuttavat akkujen kestoon ja niillä on hdsvaikutusta. lkka Mellin (005) /7
23 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Ncss-ohjelma antaa tehtävän 8.3. aineistosta seuraavan tulostuksen: Analsis of Variance Report Expected Mean Squares Section Source Term Denominator Expected Term DF Fixed? Term Mean Square A: Temp Yes S(AB) S+bsA B: Material Yes S(AB) S+asB AB 4 Yes S(AB) S+sAB S(AB) 7 No S Note: Expected Mean Squares are for the balanced cell-frequenc case. Analsis of Variance Table Source Sum of Mean Prob Power Term DF Squares Square F-Ratio Level (Alpha=0.05) A: Temp * B: Material * AB * S Total (Adjusted) Total 36 * Term significant at alpha = 0.05 Means and Standard Error Section Standard Term Count Mean Error All A: Temp B: Material AB: Temp,Material 5, , , , , , , , , lkka Mellin (005) 3/7
24 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Plots Section Means of BatterLife BatterLife Temp Means of BatterLife BatterLife Material Means of BatterLife Material 3 BatterLife Temp lkka Mellin (005) 4/7
25 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Bonferroni (All-Pairwise) Multiple Comparison Test Response: BatterLife Term A: Temp Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=7 MSE=675.3 Critical Value= Different Group Count Mean From Groups , , , 70 Planned Comparison: A Linear Trend Response: BatterLife Term A: Temp Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=7 MSE=675.3 Comparison Value= T-Value= Prob> T = Decision(0.05)=Reject Comparison Standard Error= Comparison Group Coefficient Count Mean Planned Comparison: A Quadratic Trend Response: BatterLife Term A: Temp Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=7 MSE=675.3 Comparison Value= T-Value= Prob> T = Decision(0.05)=Accept Comparison Standard Error= Comparison Group Coefficient Count Mean lkka Mellin (005) 5/7
26 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Bonferroni (All-Pairwise) Multiple Comparison Test Response: BatterLife Term B: Material Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=7 MSE=675.3 Critical Value= Different Group Count Mean From Groups Planned Comparison: B Linear Trend Response: BatterLife Term B: Material Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=7 MSE=675.3 Comparison Value= T-Value= Prob> T = Decision(0.05)=Reject Comparison Standard Error= Comparison Group Coefficient Count Mean Planned Comparison: B Quadratic Trend Response: BatterLife Term B: Material Alpha=0.050 Error Term=S(AB) DF=7 MSE=675.3 Comparison Value= T-Value= Prob> T = Decision(0.05)=Accept Comparison Standard Error= Comparison Group Coefficient Count Mean lkka Mellin (005) 6/7
27 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Tehtävien 8., 8.3 laskutoimitusten suorittaminen Microsoft Excel -ohjelmalla: Tehtävä Tehtävä 8.. Tehtävä 8.3. Tiedosto KsHt8.xls > Ht8.. KsHt8.xls > Ht8.3. Tehtävän 8.3 laskutoimitusten suorittaminen Ncss-ohjelmalla: Tehtävä Tehtävä 8.3. Tiedostot BatterDesignP76.S0, BatterDesignP76.S lkka Mellin (005) 7/7
Altistusaika 1 kk 2 kk 3 kk 1.35 1.53 1.38 1.35 1.63 1.51 1.60 1.40 2.18 1.77 1.66 1.98 1.73 1.76 1.60 1.72
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut iheet: vainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Lohkoasetelmat Latinalaiset neliöt ritmeettinen
LisätiedotUseampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi
(c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi ohdatus tilastotieteeseen Useampisuuntainen varianssianalsi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi: Mitä opimme? arkastelemme tässä
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma Jaetaan perusjoukko rhmiin kahden tekän A ja B suhteen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma aetaan perusoukko rhmiin kahden tekän A a B suhteen
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
LisätiedotLohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa
LisätiedotToimittaja 1 2 3 Erä 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 3 1 3 0 4 2 4 0 3 4 0 1 2 0 4 1 0 3 2 2 2 0 2 2 1
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Hierarkkiset koeasetelmat -faktorikokeet Vastepintamenetelmä Aritmeettinen keskiarvo, Estimaatti, Estimaattori, -testi, aktorikokeet,
LisätiedotLohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan
LisätiedotLohkoasetelmat. Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,
LisätiedotKoesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 2 k -faktorikokeet: Mitä opimme?
LisätiedotVastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotHierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1
Hierarkkiset koeasetelmat Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa käytetään tarkasteltaessa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tekijän
Lisätiedot2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1
2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yksisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Kokonaiskeskiarvo,
LisätiedotVastepintamenetelmä. Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kurssipalautteen antamisesta saa hyvityksenä yhden tenttipisteen. Palautelomakkeeseen tulee lähiaikoina linkki kurssin kotisivuille. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä
Lisätiedot1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalyysi Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, Kaksisuuntainen varianssianalyysi Kokonaiskeskiarvo,
LisätiedotVastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Vastepintamenetelmä Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Varianssianalyysissa tutkitaan tekijöiden vaikutusta vasteeseen siten, että tekijöiden tasot on ennalta valittu. - Esim. tutkitaan kemiallisen prosessin
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotKoesuunnittelu Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmä: Johdanto 2 k -faktorikokeet Vastefunktion kaarevuuden testaaminen 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma
LisätiedotKoesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Latinalaiset neliöt Latinalaisten neliöiden koeasetelma ja sen malli Latinalaisten neliöiden koeasetelman analysointi Laskutoimitusten suorittaminen
LisätiedotVARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE
VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE 1 Suomalaisten aikuisten pituusjakauma:.8.7.6.5.4.3.2.1 14 15 16 17 18 19 2 21 Jakauma ei ole normaali, sen olettaminen sellaiseksi johtaa virheellisiin päätelmiin.
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
ohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) Kaksisuuntainen varianssianalyysi Varianssianalyysi: ohdanto Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
Lisätiedot2 2 -faktorikokeen määritelmä
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tai useamman tekijän vaikutusta
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotKeskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotOsafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1
Osafaktorikokeet Kurssipalautetta voi antaa Oodissa 27.4.-25.5. Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeen
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?
MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo
LisätiedotTestaa onko myrkkypitoisuus eri ryhmissä sama. RATK. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: k T i = = 486.
Mat-.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Harjoitus 8, kevät 004 Esimerkkiratkaisut. 1. Myrkyllistä ainetta oli kaadettu jokeen, joka johtaa suurelle kalastusalueelle. Tie- ja vesirakennusinsinöörit
Lisätiedotxi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =
1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotKertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kertausluento Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kokeellinen tutkimus Kokeellisessa tutkimuksessa on tavoitteena selvittää, miten erilaiset käsittelyt vaikuttavat tutkimuksen kohteisiin - Esim. miten lämpötila ja
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
LisätiedotTässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. eli matriisissa on 200 riviä (havainnot) ja 7 saraketta (mittaus-arvot)
R-ohjelman käyttö data-analyysissä Panu Somervuo 2014 Tässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. 0) käynnistetään R-ohjelma Huom.1 allaolevissa ohjeissa '>' merkki on R:n
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotEsim Brand lkm keskiarvo keskihajonta A ,28 5,977 B ,06 3,866 C ,95 4,501
Esim. 2.1.1. Brand lkm keskiarvo keskihajonta A 10 251,28 5,977 B 10 261,06 3,866 C 10 269,95 4,501 y = 260, 76, n = 30 SS 1 = (n 1 1)s 2 1 = (10 1)5, 977 2 321, 52 SS 2 = (n 2 1)s 2 2 = (10 1)3, 8662
Lisätiedot1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Diskreetit muuttujat,
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotYhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä).
3. Yhden faktorin kokeet 3.1 Varianssianalyysi Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä). Esimerkki 3.1: Tutkitaan kankaassa käytettävän synteettisen kuidun vetolujuutta,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
Lisätiedot3. Yhden faktorin kokeet. 3.1 Varianssianalyysi. Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä).
3. Yhden faktorin kokeet 3.1 Varianssianalyysi Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä). Esimerkki 3.1: Tutkitaan kankaassa käytettävän synteettisen kuidun vetolujuutta,
Lisätiedot3. Yhden faktorin kokeet. 3.1 Varianssianalyysi. Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä).
3. Yhden faktorin kokeet 3.1 Varianssianalyysi Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä). Esimerkki 3.1: Tutkitaan kankaassa käytettävän synteettisen kuidun vetolujuutta,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
Lisätiedot[MTTTA] TILASTOMENETELMIEN PERUSTEET, KEVÄT 209 https://coursepages.uta.fi/mttta/kevat-209/ HARJOITUS 5 viikko 8 RYHMÄT: ke 2.5 3.45 ls. C6 Leppälä to 08.30 0.00 ls. C6 Korhonen to 2.5 3.45 ls. C6 Korhonen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli
Lisätiedot11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut
11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotOlkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
Lisätiedotvoidaan hylätä, pienempi vai suurempi kuin 1 %?
[TILTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, Syksy 2011 http://www.uta.fi/~strale/tiltp1/index.html 30.9.2011 klo 13:07:54 HARJOITUS 5 viikko 41 Ryhmät ke 08.30 10.00 ls. C8 Leppälä to 12.15 13.45 ls. A2a Laine
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotPerusnäkymä yksisuuntaiseen ANOVAaan
Metsämuuronen 2006. TTP Tutkimuksen tekemisen perusteet ihmistieteissä Taulukko.51.1 Analyysiin mukaan tulevat muuttujat Mja selite Merkitys mallissa F1 Ensimmäinen faktoripistemuuttuja Selitettävä muuttuja
LisätiedotResiduaalit. Residuaalit. UK Ger Fra US Austria. Maat
TAMPEREEN YLIOPISTO Tilastollisen mallintamisen harjoitustyö Teemu Kivioja ja Mika Helminen Epätasapainoisen koeasetelman analyysi Worksheet 5 Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tilastotiede
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
Lisätiedot(d) Laske selittäjään paino liittyvälle regressiokertoimelle 95 %:n luottamusväli ja tulkitse tulos lyhyesti.
2. VÄLIKOE vuodelta -14 1. Liitteessä 1 on esitetty R-ohjelmalla saatuja tuloksia aineistosta, johon on talletettu kahdenkymmenen satunnaisesti valitun miehen paino (kg), vyötärön ympärysmitta (cm) ja
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotHarha mallin arvioinnissa
Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
Lisätiedot