Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1"

Transkriptio

1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1

2 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän suhteen ja tavoitteena on testata hypoteesia, että tarkasteltavan muuttujan ryhmäkohtaiset odotusarvot ovat yhtä suuria. Heliövaara 2

3 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma Oletetaan, että tutkimuksen kohteena oleva perusjoukko voidaan jakaa ryhmiin kahden tekijän A ja B suhteen. Oletetaan, että tekijällä A on I tasoa ja tekijällä B on J tasoa, jolloin jaossa syntyy ryhmiä I J kappaletta. Oletetaan, että ryhmistä poimitaan riippumattomat yksinkertaiset satunnaisotokset, joiden koko on K. Heliövaara 3

4 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma Olkoon y kij = k. havainto tekijän A tason i ja tekijän B tason j määräämässä ryhmässä (i, j). Käytetystä otantamenetelmästä seuraa, että havainnot y kij voidaan olettaa riippumattomiksi satunnaismuuttujiksi. Heliövaara 4

5 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma Oletetaan, että havainnot y kji ovat normaalijakautuneita: y kij N(µ ij,σ 2 ), k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J Oletuksista seuraa, että (i) E(y kij ) = µ ij, k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J (ii) Var(y kij ) = σ 2, k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J Heliövaara 5

6 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma Haluamme testata nollahypoteesia, että ryhmäkohtaiset odotusarvot E(y kij ) = µ ij, k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J ovat yhtä suuria. Nollahypoteesi on siis muotoa H 0 : µ ij = µ, i = 1,...,I, j = 1,...,J Jos nollahypoteesi H 0 pätee, ryhmät voidaan yhdistää havaintojen keskimääräisiä arvoja koskevissa tarkasteluissa. Heliövaara 6

7 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma Kaksisuuntaisessa varianssianalyysissa nollahypoteesi H 0 : µ ij = µ, i = 1,...,I, j = 1,...,J on tapana jakaa kolmeksi nollahypoteesiksi, jotka koskevat tekijöiden A ja B päävaikutuksia ja tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta. Tekijöiden A ja B päävaikutuksia ei voida tarkastella erillisinä, jos tekijöillä on yhdysvaikutusta. Tämä tekee odotusarvojen yhtäsuuruutta koskevan testausongelman monimutkaisemmaksi kuin yksisuuntaisessa varianssianalyysissa. Heliövaara 7

8 Yhdysvaikutus Tekijöillä A ja B on yhdysvaikutusta, jos tekijän A vaikutus vastesuureeseen y on erilainen, kun tekijä B on eri tasoilla. Yhdysvaikutuksen olemassaolon voi tulkita havaintojen keskiarvodiagrammeista: Jos ryhmäkeskiarvojen yhdysjanat eivät ole yhdensuuntaisia, havainnot viittaavat siihen, että tekijöillä on yhdysvaikutusta. Heliövaara 8

9 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesit Tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta koskeva nollahypoteesi on muotoa H AB : Ei yhdysvaikutusta Jos nollahypoteesi H AB jää voimaan, havaintojen ryhmittelyä tekijöiden A ja B suhteen voidaan tarkastella erillisinä. Tekijöiden A ja B päävaikutuksia koskevat nollahypoteesit ovat muotoa H A : Ei A-vaikutusta H B : Ei B-vaikutusta Huom: H A ja H B ovat yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteeseja. Heliövaara 9

10 Ryhmäkeskiarvot ja kokonaiskeskiarvo Määritellään havaintoarvojen y kij ryhmäkeskiarvot kaavoilla ȳ ij = 1 K K k=1 y kij, i = 1,...,I, j = 1,...,J sekä kaikkien havaintoarvojen y ji kokonaiskeskiarvo kaavalla ȳ = 1 IJK I i=1 J j=1 K k=1 y kij, jossa IJK = N on havaintojen kokonaislukumäärä. Heliövaara 10

11 Reunakeskiarvot Määritellään havaintoarvojen y kij marginaali- eli reunakeskiarvot kaavoilla ȳ i = 1 JK J j=1 K k=1 y kij = 1 J J j=1 ȳ ij, i = 1,...,I ȳ j = 1 IK I i=1 K k=1 y kij = 1 I I i=1 ȳ ij, j = 1,...,J Heliövaara 11

12 Neliösummia 1/2 Olkoon I J K SST = (y kij ȳ ) 2 i=1 j=1 k=1 havaintoarvojen y ji kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma, SSA = JK I i=1 (ȳ i ȳ ) 2 tekijän A päävaikutusta kuvaava neliösumma ja SSB = IK J j=1 (ȳ j ȳ ) 2 tekijän B päävaikutusta kuvaava neliösumma. Heliövaara 12

13 Neliösummia 2/2 Olkoon SSAB = K I J (ȳ ij ȳ i ȳ j + ȳ ) 2 i=1 j=1 tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta kuvaava neliösumma ja SSE = I J K (y kij ȳ ij ) 2 i=1 j=1 k=1 ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava jäännösneliösumma. Neliösummille pätee varianssianalyysihajotelma SST = SSA + SSB + SSAB + SSE Heliövaara 13

14 Testisuure yhdysvaikutukselle Määritellään F -testisuure F AB = IJ(K 1) (I 1)(J 1) SSAB SSE Jos nollahypoteesi H AB : Ei yhdysvaikutusta pätee, testisuure noudattaa F -jakaumaa vapausastein ((I 1)(J 1), IJ(K 1)). Heliövaara 14

15 Testisuure A-vaikutukselle Määritellään F A -testisuure F A = IJ(K 1) I 1 SSA SSE Jos nollahypoteesi H A : Ei A-vaikutusta pätee, testisuure noudattaa F -jakaumaa vapausastein ((I 1), IJ(K 1)). Heliövaara 15

16 Testisuure B-vaikutukselle Määritellään F B -testisuure F B = IJ(K 1) J 1 SSB SSE Jos nollahypoteesi H B : Ei B-vaikutusta pätee, testisuure noudattaa F -jakaumaa vapausastein ((J 1), IJ(K 1)). Heliövaara 16

17 Testisuureiden tulkinnat 1/2 Testisuureet F AB, F A, F B voidaan tulkita varianssien vertailutestisuureiksi, joissa varianssiestimaattoreita MSAB = SSAB SSA SSB, MSA =, MSB = (I 1)(J 1) I 1 J 1 verrataan ryhmien sisäisen varianssin estimaattoriin MSE = SSE IJ(k 1) Heliövaara 17

18 Testisuureiden tulkinnat 2/2 Estimaattori MSE = SSE IJ(K 1) on aina harhaton havaintojen y kij varianssille σ 2, mutta estimaattorit MSAB = SSAB SSA SSB, MSA =, MSB = (I 1)(J 1) I 1 J 1 ovat harhattomia varianssille σ 2 ainoastaan jos nollahypoteesit pätevät. H AB, H A, H B Heliövaara 18

19 Varianssianalyysitaulukko Varianssianalyysin tulokset on tapana esittää varianssianalyysitaulukossa. Vaihtelun SS df M S F lähde A SSA I 1 MSA = SSA/df F A = MSA/MSE B SSB J 1 MSB = SSB/df F B = MSB/MSE AB SSAB (I 1)(J 1) MSAB = SSAB/df F AB = MSAB/MSE Jäännös SSE IJ(K 1) M SE = SSE/df Kokonais SST IJK 1 vaihtelu Heliövaara 19

20 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli Parametrointi I 1/2 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli voidaan parametroida seuraavasti: y kij = µ ij + ε kij, k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J (1) jossa jäännöstermit ε kij ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: ε kij N(0,σ 2 ), k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J Mallin parametreja ovat vakiot µ ij, i = 1,...,I, j = 1,...,J ja jäännösvarianssi σ 2. Heliövaara 20

21 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli Parametrointi I 2/2 Mallia koskevista oletuksista seuraa, että ja E(y kij ) = µ ij, k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J Var(y kij ) = σ 2, k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J Heliövaara 21

22 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli Parametrointi II 1/3 Tilastollinen malli voidaan parametroida myös seuraavasti: jossa y kij = µ + α i + β j + (αβ) ij + ε kij, (2) k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J, I J I J α i = β j = (αβ) ij = (αβ) ij = 0 i=1 j=1 i=1 j=1 ja jäännöstermit ε kij ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: ε kij N(0,σ 2 ), k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J Heliövaara 22

23 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli Parametrointi II 2/3 Mallin parametreja ovat vakiot µ α i β j (αβ) ij,i = 1,...,I,j = 1,...,J,i = 1,...,I, j = 1,...,J sekä jäännösvarianssi σ 2. Heliövaara 23

24 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli Parametrointi II 3/3 Mallia koskevista oletuksista seuraa, että E(y kij ) = µ + α i + β j + (αβ) ij, k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J ja Var(y kij ) = σ 2, k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J Heliövaara 24

25 Parametrien estimointi 1/2 Mallin y kij = µ + α i + β j + (αβ) ij + ε kij, jossa k = 1,...,K, i = 1,...,I, j = 1,...,J, I J I J α i = β j = (αβ) ij = (αβ) ij = 0 i=1 j=1 i=1 j=1 parametrit voidaan estimoida pienimmän neliösumman menetelmällä. Heliövaara 25

26 Parametrien estimointi 2/2 Parametrien PNS-estimaattorit löydetään minimoimalla neliösummaa SS = I J K (y kij µ α i β j (αβ) ij ) 2 i=1 j=1 k=1 parametrien suhteen. PNS-estimaattoreiksi saadaan ˆµ = ȳ ˆα i = ȳ i ȳ, i = 1, 2,...,I ˆβ j = ȳ j ȳ, j = 1, 2,...,J ( αβ) ij = ȳ ij ȳ i ȳ j + ȳ, i = 1, 2,...,I,j = 1, 2,...,J Heliövaara 26

27 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin laskutoimitusten suorittaminen Kaksisuuntaisessa varianssianalyysissa tarvittavien neliösummien laskeminen voi olla työlästä ilman tietokonetta. Ohjeet tarvittavien laskutoimitusten suorittamiseen löytyy 8. laskuharjoituksen ratkaisuista sivuilta Heliövaara 27

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,

Lisätiedot

Hierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1

Hierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa käytetään tarkasteltaessa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tekijän

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan

Lisätiedot

Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 2 k -faktorikokeet: Mitä opimme?

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 ohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) Kaksisuuntainen varianssianalyysi Varianssianalyysi: ohdanto Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen

Lisätiedot

Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi

Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi ohdatus tilastotieteeseen Useampisuuntainen varianssianalsi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi: Mitä opimme? arkastelemme tässä

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,

Lisätiedot

Kertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kertausluento Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kokeellinen tutkimus Kokeellisessa tutkimuksessa on tavoitteena selvittää, miten erilaiset käsittelyt vaikuttavat tutkimuksen kohteisiin - Esim. miten lämpötila ja

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA

1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalyysi Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, Kaksisuuntainen varianssianalyysi Kokonaiskeskiarvo,

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Latinalaiset neliöt Latinalaisten neliöiden koeasetelma ja sen malli Latinalaisten neliöiden koeasetelman analysointi Laskutoimitusten suorittaminen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

2 2 -faktorikokeen määritelmä

2 2 -faktorikokeen määritelmä TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tai useamman tekijän vaikutusta

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Altistusaika 1 kk 2 kk 3 kk 1.35 1.53 1.38 1.35 1.63 1.51 1.60 1.40 2.18 1.77 1.66 1.98 1.73 1.76 1.60 1.72

Altistusaika 1 kk 2 kk 3 kk 1.35 1.53 1.38 1.35 1.63 1.51 1.60 1.40 2.18 1.77 1.66 1.98 1.73 1.76 1.60 1.72 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut iheet: vainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Lohkoasetelmat Latinalaiset neliöt ritmeettinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Korrelaatiokertoinen määrittely 165

Korrelaatiokertoinen määrittely 165 kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Toimittaja 1 2 3 Erä 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 3 1 3 0 4 2 4 0 3 4 0 1 2 0 4 1 0 3 2 2 2 0 2 2 1

Toimittaja 1 2 3 Erä 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 3 1 3 0 4 2 4 0 3 4 0 1 2 0 4 1 0 3 2 2 2 0 2 2 1 Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Hierarkkiset koeasetelmat -faktorikokeet Vastepintamenetelmä Aritmeettinen keskiarvo, Estimaatti, Estimaattori, -testi, aktorikokeet,

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4 TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun

Lisätiedot

Yleinen lineaarinen malli

Yleinen lineaarinen malli MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: 1 Määritelmä ja standardioletukset 2

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko, kevät 2004

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko, kevät 2004 Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko, kevät 2004 Esimerkkien ratkaisut http://mtl.uta.fi/tilasto/tiltp3/kevat2004/kaikki_esimerkit.pdf Raija Leppälä 19. joulukuuta 2003 Sisältö 1

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.

806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Raija Leppälä puh , sähköposti

Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Raija Leppälä puh , sähköposti Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Raija Leppälä puh. 03-2156301, sähköposti raija.leppala@uta.fi 3.2.01 Tilastollisten menetelmien perusteet II,TILTP3 Luentorunko, kevät

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu

Lisätiedot

Harha mallin arvioinnissa

Harha mallin arvioinnissa Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö

Lisätiedot

9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs)

9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) 9. Muita koeasetelmia 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) Tietyissä koetilanteissa yhden faktorin tasot ovat samanlaisia joskaan ei täysin identtisiä toisen faktorin eri tasoilla. Tällaista asetelmaa

Lisätiedot

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko Raija Leppälä 29. helmikuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Jatkuvista jakaumista 2 1.1.1 Normaalijakauma 2 1.1.2 Studentin t-jakauma 3 1.2 Satunnaisotos,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

Esim Brand lkm keskiarvo keskihajonta A ,28 5,977 B ,06 3,866 C ,95 4,501

Esim Brand lkm keskiarvo keskihajonta A ,28 5,977 B ,06 3,866 C ,95 4,501 Esim. 2.1.1. Brand lkm keskiarvo keskihajonta A 10 251,28 5,977 B 10 261,06 3,866 C 10 269,95 4,501 y = 260, 76, n = 30 SS 1 = (n 1 1)s 2 1 = (10 1)5, 977 2 321, 52 SS 2 = (n 2 1)s 2 2 = (10 1)3, 8662

Lisätiedot

1 Johdatus varianssianalyysiin

1 Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisia malleja 1 & 2: Varianssianalyysi Jarkko Isotalo Y131A & Y132A 15.1.2013 1 Johdatus varianssianalyysiin 1.1 Milloin varianssianalyysiä käytetään? Varianssianalyysi on tilastotieteellinen menetelmä,

Lisätiedot

Hypoteesin testaus Alkeet

Hypoteesin testaus Alkeet Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 11. helmikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti Wilcoxonin

Lisätiedot

Estimointi. Luottamusvälin laskeminen keskiarvolle α/2 α/2 0.1

Estimointi. Luottamusvälin laskeminen keskiarvolle α/2 α/2 0.1 Estimointi - tehdään päätelmiä perusjoukon ominaisuuksista (keskiarvo, riskisuhde jne.) otoksen perusteella - mitä suurempi otos, sitä tarkemmat estimaatit Otokseen perustuen määritellään otantajakaumalta

Lisätiedot

Estimointi. Otantajakauma

Estimointi. Otantajakauma Otantajakauma Otantajakauma kuvaa jonkin parametrin arvojen (esim. keskiarvon) jakauman kaikille tietyn kokoisille otoksille. jotka perusjoukosta voidaan muodostaa Histogrammissa otantajakauman parametrin

Lisätiedot

RISKITASO. Riskitaso (α) määrittää virhepäätelmän todennäköisyyden. Käytettyjä riskitasoja:

RISKITASO. Riskitaso (α) määrittää virhepäätelmän todennäköisyyden. Käytettyjä riskitasoja: RISKITASO Riskitaso (α) määrittää virhepäätelmän todennäköisyyden testattaessa Todennäköisyys, jolla tutkija on valmis hylkäämään nollahypoteesin, vaikka se saattaisikin pitää perusjoukossa paikkansa Käytettyjä

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu

Lisätiedot

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen) 1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi

Lisätiedot

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n = 1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista

Lisätiedot

Batch means -menetelmä

Batch means -menetelmä S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Tulosten keruu ja analyysi 1(9) Batch means -menetelmä Batch means -menetelmää käytetään hyvin yleisesti Simulointi suoritetaan tässä yhtenä pitkänä ajona olkoon simuloinnin

Lisätiedot

3. Yhden faktorin kokeet. 3.1 Varianssianalyysi. Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä).

3. Yhden faktorin kokeet. 3.1 Varianssianalyysi. Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä). 3. Yhden faktorin kokeet 3.1 Varianssianalyysi Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä). Esimerkki 3.1: Tutkitaan kankaassa käytettävän synteettisen kuidun vetolujuutta,

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Diskreetit muuttujat,

Lisätiedot

5. Johdatus faktorikokeisiin. Tekijän omaa vaikutusta vastemuuttujaan sanotaan. 5.1 Taustaa

5. Johdatus faktorikokeisiin. Tekijän omaa vaikutusta vastemuuttujaan sanotaan. 5.1 Taustaa 5. Johdatus faktorikokeisiin 5.1 Taustaa Faktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla. Täten, jos faktorilla A on a tasoa ja faktorilla

Lisätiedot

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Regressiomallin valinta Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit Mallinvalintakriteerit Epälineaaristen riippuvuuksien

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien mittausasteikot 93

Satunnaismuuttujien mittausasteikot 93 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut Otos 90 Otosta tarvitaan, kun koko perusjoukon tutkiminen on mahdotonta esim. seuraavista syistä: joukko on ääretön tai erittäin

Lisätiedot

Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä).

Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä). 3. Yhden faktorin kokeet 3.1 Varianssianalyysi Yhden faktorin koeasetelma, jossa faktorilla on a tasoa (kokeessa on a käsittelyä). Esimerkki 3.1: Tutkitaan kankaassa käytettävän synteettisen kuidun vetolujuutta,

Lisätiedot

KURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA

KURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA KURSSIN TILASTOMATEMATIIKKA KAAVOJA X = S = s = Otossuureita X i tai x = x i (otoskeskiarvo) (X i X) = (x i x) = Xi x i E(X) =µ, var(x) = σ X x tai, E(S )=σ (otosvariassi) Normaalijakautuee populaatio

Lisätiedot

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista

Lisätiedot

1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia

1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 5 RATKAISUEHDOTUKSET 232215 1 Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia Y i = β + β 1 X 1,i + β 2 X 2,i + u i (a) Kirjoita regressiomalli muodossa

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Sisältö Tilastotieteessä tehdään usein oletuksia havaintojen jakaumasta. Useat tilastolliset menetelmät toimivat tehottomasti tai jopa virheellisesti, jos jakaumaoletukset

Lisätiedot

Kaksitasoiset hierarkiset asetelmat (Two-Stage Nested Designs) 9. Muita koeasetelmia. 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs)

Kaksitasoiset hierarkiset asetelmat (Two-Stage Nested Designs) 9. Muita koeasetelmia. 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) 9. Muita koeasetelmia 9.1 Hierarkiset asetelmat (Nested Designs) Tietyissä koetilanteissa yhden faktorin tasot ovat samanlaisia joskaan ei täysin identtisiä toisen faktorin eri tasoilla. Tällaista asetelmaa

Lisätiedot

Kyllä. Kyllä. Jäitkö vielä epävarmaksi: Selvitä antavatko testit samansuuntaisen tuloksen.

Kyllä. Kyllä. Jäitkö vielä epävarmaksi: Selvitä antavatko testit samansuuntaisen tuloksen. Data: järjestysast. Ei Kyllä Jatkuva, normaali Kyllä t-testi Ei Suuria poikkeavia arvoja Ei Mann-Whitney Kyllä Mediaani testi ks. luentomoniste Valintakaavio: Kahden riippumattoman ryhmän jakauman keskikohdan

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot