Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3"

Transkriptio

1 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Satunnaisvektori on järjestetty lista ( 1,..., n ) reaaliarvoisia perusjoukolla S määriteltyjä satunnaismuuttujia eli mitallinen kuvaus perusjoukosta S n-ulotteiseen reaaliavaruuteen R n. Satunnaisvektorin ( 1,..., n ) jakauma eli satunnaismuuttujien 1,..., n yhteisjakauma B Pr( ( 1,..., n ) B ) kertoo, millä todennäköisyydellä vektori ( 1,..., n ) kuuluu joukkoon B. Satunnaismuuttujien 1,..., n yhteisjakauma on joukon R n todennäköisyysjakauma. hteisjakauman i:s reunajakauma on satunnaismuuttujan i jakauma. Kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Jatkossa rajoitutaan kaksiulotteisiin satunnaisvektoreihin (,), sillä niistä voi puhua ja kirjoittaa ilman hankalia indeksimerkintöjä. Käytännön tilanteissa on helppo päätellä, miten kaksiulotteisille satunnaisvektoreille ja jakaumille johdetut tulokset yleistyvät usampiulotteisiin tapauksiin. Kaksiulotteisen satunnaisvektorin (,) jakauma eli satunnaismuuttujien ja yhteisjakauma B P (B) = Pr( (,) B ) kertoo, millä todennäköisyydellä vektori eli lukupari (,) kuuluu joukkoon B. llä määritelty P on avaruuden R todennäköisyysjakauma. Jakauman P ensimmäinen reunajakauma A P (A R) = Pr( (,) A R ) = Pr( A ) kertoo, millä todennäköisyydellä satunnaisluku kuuluu joukkoon A, ja toinen reunajakauma A P (R A) = Pr( (,) R A) = Pr( A ) kertoo, millä todennäköisyydellä satunnaisluku kuuluu joukkoon A. Satunnaismuuttujien ja jakaumat ovat siis samat kuin yhteisjakauman P reunajakaumat. Diskreettien satunnaismuuttujien yhteisjakauma Satunnaisvektori (,) on diskreetti, jos sen komponentit ovat diskreettejä satunnaismuuttujia eli niiden arvojoukot voidaan numeroida äärellisenä tai äärettömänä listana. Diskreetin satunnaisvektorin (,) jakauma eli satunnaismuuttujien ja yhteisjakauma voidaan määrittää funktiosta käyttämällä kaavaa f (x,y) = Pr(=x, =y) L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 1/3

2 Pr((, ) B)) = f(x, y). ( x,y) B llämääritelty funktio f on diskreettien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio eli :n ja :n yhteispistetodennäköisyysfunktio. Diskreetin yhteisjakauman reunajakaumat Pistetodennäköisyysfunktion f (x,y) reunapistetodennäköisyysfunktiot määritellään kaavoilla f (x) = f (x, y), y f ( y) = f (x, y). x Jos f on diskreettien satunnaismuuttujien ja yhteispistetodennäköisyysfunktio, niin tällöin sitä vastaavat reunapistetodennäköisyysfunktiot f ja f ovat :n ja :n pistetodennäköisyysfunktiot, eli pätee ja Pr(=x) = f (x) = f (x, y) Pr(=y) = f ( y) = f (x, y). y x Huom. Kahden diskreetin satunnaismuuttujan yhteisjakauma on aina diskreetti Jatkuvien satunnaislukujen yhteisjakauma Satunnaisvektori (,) on jatkuva, jos sen jakauma eli satunnaislukujen ja yhteisjakauma voidaan esittää funktion f (x,y) 0 integraalina avulla muodossa Pr(a b ja c d) = b a d c f (x, y)dy dx Funktio f on satunnaisvektorin (,) tiheysfunktio eli satunnaislukujen ja yhteistiheysfunktio. Jatkuvan yhteisjakauman reunajakaumat Tiheysfunktion f (x,y) reunatiheysfunktiot määritellään kaavoilla ja + f ( x) = f ( x, y) dy f ( y) = f ( x, y) dx. + L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) /3

3 Jatkuvan satunnaisvektorin (,) komponentit ovat jatkuvia satunnaislukuja. Jos satunnaisluvuilla ja on on yhteistiheysfunktio f, niin tällöin sitä vastaavat reunatiheysfunktiot f ja f ovat :n ja :n tiheysfunktioita. Huom. Toisin kuin diskreetissä tapauksessa, kahden jatkuvan satunnaisluvun yhteisjakauma ei aina ole jatkuva. Satunnaisvektorin kertymäfunktio Kaksiulotteisen satunnaisvektorin (,) kertymäfunktio eli :n ja :n yhteiskertymäfunktio F (, x y) = Pr( x ja y) kertoo todennäköisyyden tapahtumalle: on enintään x ja enintään y. Diskreetin satunnaisvektorin kertymäfunktio Diskreetin satunnaisvektorin (,) kertymäfunktio saadaan määritettyä :n ja :n yhteispistetodennäköisyysfunktiosta kaavalla F ( x, y) Pr( x ja y) f ( x, y ) = =. i i xi x yi y Jatkuvan satunnaisvektorin kertymäfunktio Jatkuvan satunnaisvektorin (,) kertymäfunktio saadaan määritettyä :n ja :n yhteistiheysfunktion avulla kaavasta x y F ( x, y) Pr( x ja y) f ( u, v) dvdu = =. Satunnaismuuttujien tilastollinen riippumattomuus Satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomat, jos tapahtumat { A} ja { B} ovat riippumattomat kaikilla A ja B, eli pätee Pr( A, B) = Pr( A) Pr( B). Satunnaislukujen ja riippumattomuus voidaan selvittää yhteiskertymäfunktiosta F (x, y) seuraavasti: ja ovat riippumattomat jos ja vain jos F (x, y) = F (x)f (y) kaikilla x,y, missä F (x) ja F (y) :n ja :n kertymäfunktiot. Diskreettien satunnaismuuttujien ja riippumattomuus voidaan selvittää yhteispistetodennäköisyysfunktiosta f (x, y) seuraavasti: ja ovat riippumattomat jos ja vain jos f (x, y) = f (x)f (y) kaikilla x, y, missä f (x) ja f (y) ovat :n ja :n pistetodennäköisyysfunktiot. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 3/3

4 Jatkuvien satunnaislukujen ja, joilla on yhteistiheysfunktio f (x, y), riippumattomuus voidaan selvittää yhteispistetodennäköisyysfunktiosta f (x, y) seuraavasti: ja ovat riippumattomat jos ja vain jos f (x, y) = f (x)f (y) kaikilla x, y, missä f (x) ja f (y) ovat :n ja :n tiheysfunktiot. Diskreetin satunnaisvektorin muunnoksen odotusarvo Olkoon f (x, y) diskreettien satunnaismuuttujien ja yhteispistetodennäköisyysfunktio ja olkoon g :!! funktio. Tällöin satunnaisluvun g(, ) odotusarvo on E( g (, )) gxyf (, ) ( xy, ) =. x y Jatkuvan satunnaisvektorin muunnoksen odotusarvo Olkoon f (x,y) satunnaismuuttujien ja yhteistiheysfunktio ja olkoon g :!! funktio. Tällöin satunnaisluvun g(,) odotusarvo on + + E( g(, )) g( x, y) f ( x, y) dydx =. Odotusarvo ja riippumattomuus Jos satunnaisluvut ja ovat riippumattomat, niin tulon odotusarvo on odotusarvojen tulo: Huomautus: E( ) = E( ) E( ) = µ µ. Käänteinen ei päde: Siitä, että E( ) = E( ) E( ) = µ µ ei yleisesti seuraa, että satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Kovarianssi Olkoot satunnaislukujen ja odotusarvot E( ) = µ E( ) = µ. Satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Erityisesti Cov(, ) = σ = E[( µ )( µ )]. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 4/3

5 Cov(, ) = Var( ) = σ Cov(, ) = Var( ) = σ Kovarianssin kaava voidaan kirjoittaa seuraaviin yhtäpitäviin muotoihin: Cov(, ) = E[( µ )( µ )] = E( ) µ µ = E( ) E( ) E( ) Jos diskreeteillä satunnaisluvuilla ja on yhteispistetodennäköisyysfunktio f (x,y),. x y Cov(, ) = ( x µ )( y µ ) f ( xy, ) Jos jatkuvilla satunnaisluvuilla ja on yhteistiheysfunktio f (x,y), + +. Cov(, ) = ( x µ )( y µ ) f ( xydxdy, ) Kovarianssin ominaisuudet Jos Cov(, ) = σ = 0, niin sanomme, että satunnaismuuttujat ja ovat lineaarisesti korreloimattomia. Jos satunnaismuuttujat ja ovat tilastollisesti riippumattomia, niin ne ovat lineaarisesti korreloimattomia. Sen sijaan käänteinen ei päde: Siitä, että satunnaismuuttujat ja ovat lineaarisesti korreloimattomia, ei seuraa, että satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Olkoot satunnaismuuttujien ja varianssit ja kovarianssi Tällöin Jos niin Var( ) = σ Var( ) = σ Cov(, ) = σ. Var( ) Var( ) Var( ) Cov(, ) σ σ σ ± = + ± = + ±. Cov(, ) = σ = 0, Var( ) Var( ) Var( ) σ σ ± = + = +. Pearsonin korrelaatiokerroin Olkoon satunnaisluvuilla ja seuraavat odotusarvot, varianssit ja kovarianssi: E( ) = µ Var( ) = D ( ) = σ E( ) = µ Var( ) = D ( ) = σ Cov(, ) = E[( µ )( µ )] = σ L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 5/3

6 Satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin on Cov(, ) Cov(, ) σ Cor(, ) = ρ = = = Var( ) Var( ) D( ) D( ) σ σ Korrelaatiokertoimen ominaisuudet Huomaa, että täsmälleen silloin, kun Jos siis Cor(, ) = ρ = 0 Cov(, ) = σ = 0. Cor(, ) = ρ = 0, niin satunnaismuuttujat ja ovat lineaarisesti korreloimattomia. Olkoon satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin Cor(, ). Tällöin (i) 1 Cor(, ) + 1 (ii) Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin Cor(, ) = 0 (iii) Cor(, ) =± 1 jos ja vain jos = α + β, missä α ja β ovat reaalisia vakioita ja β 0. Lisäksi vakion β merkki on sama kuin korrelaation Cor(, ) merkki. Siten Pearsonin korrelaatiokerroin ρ mittaa satunnaismuuttujien ja lineaarisen riippuvuuden voimakkuutta: Mitä suurempi on korrelaatiokertoimen itseisarvo ρ, sitä voimakkaammin satunnaismuuttujat ja riippuvat lineaarisesti toisistaan. Lineaarimuunnokset ja kaksiulotteisen jakauman tunnusluvut Olkoot satunnaismuuttujilla ja seuraavat odotusarvot, varianssit ja kovarianssi: Olkoot W = a+ b Z = c+ d E( ) = µ Var( ) = σ E( ) = µ Var( ) = σ Cov(, ) = E[( µ )( µ )] = σ L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 6/3

7 missä a, b, c, d ovat reaalisia vakioita. Tällöin E( W) = a+ be( ) = a+ bµ E( Z) = c+ de( ) = c+ dµ Var( W) = b Var( ) = b σ Var( Z) = d Var( ) = d σ Cov( W, Z) = bdcov(, ) = bdσ Cor( W, Z) = sgn( bd)cor(, ) = sgn( bd) ρ Ehdolliset jakaumat Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteistiheysfunktio (vast. yhteispistetodennäköisyysfunktio) f (x, y) ja satunnaismuuttujien ja tiheysfunktiot (pistetodennäköisyysfunktiot) f (x) ja f (x). Satunnaismuuttujan ehdollinen tiheysfunktio (vast. pistetodennäköisyysfunktio) satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla = y) on f ( x, y) f ( x y) =, jos f ( y) 0 f ( y) >. Ehdolliset jakaumat ja riippumattomuus Jos ja ovat riippumattomat, satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma :n suhteen yhtyy satunnaismuuttujan jakaumaan: f ( x y) = f ( x), jos f ( y) > 0. Diskreetin satunnaisvektorin ehdolliset odotusarvot Olkoot satunnaismuuttujat ja diskreettejä. Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla =y) on ehdollisen jakauman odotusarvo E( y) xf ( xy) = =. Jatkuvan satunnaisvektorin ehdolliset odotusarvot Olkoon (,) jatkuva satunnaisvektori. x Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla =y) on ehdollisen jakauman odotusarvo + E( = y) = xf ( x y) dx. Ehdolliset odotusarvot ja riippumattomuus Jos ja ovat riippumattomat, ehdolliset odotusarvot yhtyvät tavallisiin odotusarvoihin. Jos siis ja ovat riippumattomat, niin L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 7/3

8 Regressiofunktiot E( = y) = E( ) E( = x) = E( ) Tarkastellaan satunnaisluvun ehdollista odotusarvoa E( = y) ehtomuuttujan arvojen y funktiona. Tätä funktiota kutsutaan :n regressiofunktioksi ehtomuuttujan suhteen. llämääritelty regressiofunktio määrittelee regressiokäyrän x= g ( ) E( ) y y = = y. Moniulotteisia jakaumia Kaksiulotteinen normaalijakauma Jatkuva satunnaisvektori (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa, jos sen tiheysfunktio on missä ja Merkintä: 1 1 f(, x y) = exp Q(, x y), πσ 1 (1 ) σ ρ ρ x µ x µ y µ y µ Qxy (, ) = ρ + σ σ σ σ < µ <+ σ > 0 < µ <+ σ > 0 1 ρ + 1 (, ): ( µ, µ, σ, σ, ρ) llämääritelty funktio Q(x, y) määrää tiheysfunktion tasa-arvokäyrät. Kaikki tasa-arvokäyrät ovat ellipsejä, joiden yhtälöt voidaan ilmaista muodossa missä c on vakio. x µ x µ y µ y µ Qxy (, ) = ρ + = c σ σ σ σ Kaksiulotteisen normaalijakauman tiheysfunktion parametreina ovat satunnaismuuttujien ja odotusarvot, varianssit ja korrelaatio: Satunnaismuuttujien ja odotusarvot ovat µ = E( ) µ = E( ) satunnaismuuttujien ja varianssit ovat L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 8/3

9 σ = Var( ) = E ( µ ) σ = Var( ) = E ( µ ) ja satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin on missä ρ σ = Cor(, ) =, σ σ [ ] σ = Cov(, ) = E ( µ )( µ ) on satunnaismuuttujien ja kovarianssi. Kaksiulotteista normaalijakaumaa noudattavan satunnaisvektorin (, ) odotusarvovektori on µ µ = µ ja kovarianssimatriisi on Σ σ σ σ ρσσ = σ σ = ρσσ σ. Kaksiulotteisen normaalijakauman reunajakaumat ovat yksiulotteisia normaalijakaumia: : : N( µ, σ) N( µ, σ) Kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujien ja lineaarisesti korreloimattomuudesta seuraa niiden riippumattomuus. Muista, että riippumattomuudesta aina seuraa korreloimattomuus, mutta yleisesti käänteinen ei päde. Kaksiulotteisen normaalijakauman ehdolliset jakaumat ovat yksiulotteisia normaalijakaumia: Ehdollinen odotusarvo ( ) : N( µ + β ( y µ ), σ (1 ρ)), β = ρ ( ) : N( + ( x ), (1 )), = σ σ σ µ β µ σ ρ β ρ σ E( = y) = µ + β ( y µ ) on muuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen. lläolevan funktion määrittämän suoran σ kulmakerroin on β = ρ ja suora kulkee pisteen (µ, µ ) kautta. σ Huomaa, että regressiosuorien kulmakertoimet β ja β toteuttavat yhtälön β β = ρ. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 9/3

10 Kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin on σ σ σ = ρ = ρ = σ σ σ ja ehdolliset varianssit ovat σ = σ (1 ρ ) σ = σ (1 ρ ) L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 10/3

11 Esimerkki 6.1 Heitetään kahta symmetristä noppaa ja määritellään satunnaismuuttujat Määrää: (a) (b) (c) (d) (e) = 1. nopan heiton tulos =. nopan heiton tulos Z = Satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauma. Satunnaismuuttujien ja Z jakaumat. Satunnaismuuttujan Z odotusarvo. Satunnaismuuttujan Z varianssi. Satunnaismuuttujien ja Z kovarianssi. (f) Satunnaismuuttujan Z ehdollinen jakauma ehdolla =. (g) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ehdolla Z = 3. (h) Satunnaismuuttujan Z ehdollinen odotusarvo ehdolla. Esimerkki 6.1 Mitä opimme? Esimerkissä 6.1. tarkastellaan diskreettien satunnaismuuttujien yhteisjakaumaa, tunnuslukuja sekä ja ehdollisia jakaumia. Esimerkki 6.1 Ratkaisu (a) Satunnaismuuttujien ja pistetodennäköisyysfunktiot f (i) = Pr( = i), i = 1,, 3, 4, 5, 6 f (i) = Pr( = i), i = 1,, 3, 4, 5, 6 voidaan esittää seuraavana taulukkona: i f (i) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 f (i) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Määritetään seuraavaksi heittotulosten erotuksen Z = jakauma. Satunnaismuuttujan Z mahdolliset arvot ovat 5, 4, 3,, 1, 0, +1, +, +3, +4, +5 Muodostetaan aputaulukko, joka esittää kaikkia mahdollisia tapoja, joilla erotuksen Z = mahdolliset arvot voivat syntyä: L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 11/3

12 Erotus Tulos 1. nopan heitosta = Z = Tulos nopan heitosta = Satunnaismuuttujan Z = pistetodennäköisyysfunktio f Z (k) = Pr(Z = k), k = 5, 4, 3,, 1, 0, +1, +, +3, +4, +5 voidaan lukea suoraan tästä aputaulukosta. Tulos voidaan esittää seuraavana taulukkona: k f Z (k) 1/36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 1/36 Esimerkiksi 3 voi tulla erotuksen Z = arvoksi täsmälleen kolmella eri tavalla: Tapaus 1: = 1, = 4, Z = = 3 Tapaus : =, = 5, Z = = 3 Tapaus 3: = 3, = 6, Z = = 3 L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 1/3

13 Satunnaismuuttujien ja Z = yhteispistetodennäköisyysfunktio f Z (i, k) = Pr( = i ja Z = k) voidaan esittää seuraavana taulukkona: f Z (i, k) Tulos 1. nopan heitosta = = i / /36 1/ /36 1/36 1/ /36 1/36 1/36 1/36 Z 1 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 = 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 = k 1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0 1/36 1/36 1/36 1/ /36 1/36 1/ /36 1/ / Esimerkiksi f Z (, 4) = Pr( = ja Z = 4) = 0, koska silmälukujen erotukseksi ei voi tulla 4, jos 1. nopalla on saatu silmäluku. Edelleen f Z (3, 1) = Pr( = 3 ja Z = 1) = 1/36, koska tulos { = 3 ja Z = 1} voi syntyä täsmälleen yhdellä tavalla: = 3 ja = 4. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 13/3

14 (b) Satunnaismuuttujien ja Z jakaumat saadaan laskemalla yhteisjakaumaa kuvaavan taulukon rivi- ja sarakesummat: f Z (i,k) Tulos 1. nopan heitosta = = i Summa /36 1/ /36 1/36 / /36 1/36 1/36 3/ /36 1/36 1/36 1/36 4/36 Z 1 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 5/36 = 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6/36 = k 1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0 5/36 1/36 1/36 1/36 1/ /36 3 1/36 1/36 1/ /36 4 1/36 1/ /36 5 1/ /36 Summa 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 (c) Satunnaismuuttujan odotusarvo on E( ) = ipr( = i) = i = ( ) = = i i= 1 Vastaavasti satunnaismuuttujan odotusarvo on E() = 1/6 = 3.5. leisesti pätee: E( ) = E() E(). Siten erotuksen Z = odotusarvo on E(Z) = E( ) = E() E() = 0. (d) Satunnaismuuttujan toinen momentti on E( ) = i Pr( = i) = i = ( ) = = i i= 1 Koska (c)-kohdan mukaan E() = 1/6 = 3.5, niin satunnaismuuttujan varianssi on L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 14/3

15 Var( ) = E[ E( )] = E( ) [E( )] = = = 6. 1 Vastaavasti satunnaismuuttujan varianssi on Var() = 35/1 =.917. Koska satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomat, niin Var(Z) = Var( ) = Var() + Var() = 35/6 = (e) Todistetaan ensin seuraava aputulos: Cov(, ) = Var() Cov(, ) Koska kovarianssi ja varianssi ovat invariantteja siirron suhteen eli ja Cov(U + a, V + b) = Cov(U, V) Var(U + a) = Var(U) kaikille reaalisille vakioille a ja b, niin voimme olettaa todistuksen yleisyyden kärsimättä, että Siten E() = E() = 0. Cov(, ) = E[( )] = E[ ] = E( ) E() = Var() Cov(, ). Koska satunnaismuuttujat ja ovat tässä riippumattomia, niin Cov(, ) = 0. Siten satunnaismuuttujien ja Z = kovarianssiksi saadaan Cov(, Z) = Var() = 35/1 =.917. (f) Satunnaismuuttujan Z ehdollisten jakaumien, kun ehtomuuttujana on, pistetodennäköisyysfunktiot saadaan kaavalla f Z (k i) = f Z (i,k) f (i), i =1,,,6, k = 5, 4,,4,5 L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 15/3

16 Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyysfunktiot voidaan esittää seuraavana taulukkona, jossa ehdolliset jakaumat ovat sarakkeina: f Z (k i) Tulos 1. nopan heitosta = = i / /6 1/ /6 1/6 1/ /6 1/6 1/6 1/6 Z 1 0 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 = 0 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 = k 1 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 0 1/6 1/6 1/6 1/ /6 1/6 1/ /6 1/ / Lihavoitu sarake taulukossa esittää satunnaismuuttujan Z = ehdollista jakaumaa ehdolla =. Esimerkiksi, jos x = ja z = 4, niin f Z (4 ) = f Z (,4) f () = = 0. Edelleen, jos x = ja z =, niin f Z ( ) = f Z (, ) f () = = 1 6. Ehdolliset pistetodennäköisyydet saadaan jakamalla (b)-kohdassa esitetyn taulukon solutodennäköisyydet satunnaismuuttujan pistetodennäköisyyksillä. (g) Satunnaismuuttujan ehdollisten jakaumien, kun ehtomuuttujana on Z, pistetodennäköisyysfunktiot, saadaan kaavalla f Z (i k) = f Z (i,k) f Z (k), i =1,,,6, k = 5, 4,,4,5 Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyysfunktiot voidaan esittää seuraavana taulukkona, jossa ehdolliset jakaumat ovat riveinä: L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 16/3

17 f Z(i k) 1. nopan heiton tulos = i Summa / 1/ /3 1/3 1/ /4 1/4 1/4 1/4 1 Z 1 0 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1 = 0 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 = k 1 1/5 1/5 1/5 1/5 1/ /4 1/4 1/4 1/ /3 1/3 1/ / 1/ Lihavoitu rivi taulukossa esittää satunnaismuuttujan ehdollista jakaumaa ehdolla Z = 3. Esimerkiksi, jos x = ja z = 4, niin f Z ( 4) = f Z (,4) f Z (4) = 0 36 = 0. Edelleen, jos x = ja z =, niin f Z ( ) = f Z (, ) f Z ( ) = = 1 4. Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyydet saadaan jakamalla (b)-kohdassa esitetyn taulukon solutodennäköisyydet satunnaismuuttujan Z pistetodennäköisyyksillä. (h) Kohdan (f) taulukosta (laskemalla tai symmetria-argumentin perusteella) saadaan satunnaismuuttujan Z ehdolliset odotusarvot satunnaismuuttujan suhteen E(Z =i) = zf Z (k i) helposti esitettyä seuraavana taulukkona: = i E(Z = i) Esimerkiksi, jos =, niin L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 17/3

18 E( Z = ) = kpr( Z = k = ) = k = = k= 5 k= 4 Esimerkki 6. Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio Määrää: (a) (b) (c) (d) (e) Pr( = = 3) = Pr( = 1 = 1) = Pr( = 1 = 1) = Pr( = 1 = ) = 1/4. Satunnaismuuttujien ja jakaumat. Satunnaismuuttujien ja odotusarvot, varianssit ja keskihajonnat. Satunnaismuuttujien ja kovarianssi. Satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin. Satunnaismuuttujan ehdolliset jakaumat. (f) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla. Esimerkki 6. Mitä opimme? Esimerkissä 6. tarkastellaan diskreettien satunnaismuuttujien yhteisjakaumaa, ehdollisia jakaumia sekä tunnuslukuja. Esimerkki 6. Ratkaisu (a) Satunnaismuuttujien ja yhteispistetodennäköisyysfunktio f (x, y) = Pr( = x ja = y) voidaan esittää seuraavana taulukkona: f (x, y) y x /4 1 1/4 1/4 0 1/4 0 0 Satunnaismuuttujien ja jakaumien f (x) = Pr( = x) = y f (x, y) f (y) = Pr( = y) = x f (x, y) pistetodennäköisyysfunktiot saadaan yhteispistetodennäköisyysfunktiota esittävästä taulukosta rivi- ja sarakesummina: L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 18/3

19 f (x, y) x f (y) /4 1/4 y 1 1/4 1/4 0 1/ 1/ /4 f (x) 1/ 1/4 1/4 1 (b) Satunnaismuuttujan odotusarvo on E( ) = xpr( = x) = = = x Satunnaismuuttujan toinen momentti on E( ) = x Pr( = x) = ( 1) = = 1.75 x Satunnaismuuttujan varianssi on Var( ) = D ( ) = E[ E( )] = E( ) [E( )] = = = Satunnaismuuttujan keskihajonta on 7 D( ) = = Satunnaismuuttujan odotusarvo on E( ) = ypr( = y) = = = y Satunnaismuuttujan toinen momentti on E( ) = y Pr( = y) = ( ) = = 3.75 y Satunnaismuuttujan varianssi on Var( ) = D ( ) = E[ E( )] = E( ) [E( )] = = = L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 19/3

20 Satunnaismuuttujan keskihajonta on 51 D( ) = = (c) Määrätään ensin E( ) = xy Pr( = x, = y) x y = ( 1) ( ) + ( 1) = Satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Cov(, ) = E[( E( ))( E( ))] = E( ) E( ) E( ) = = = (d) Satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin on 9 Cov(, ) Cor(, ) = D( ) D( ) = 7 51 = 7 51 = 9 17 = (e) Muodostetaan satunnaismuuttujan ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyysfunktiot, kun ehtomuuttujana on : f ( y x) = f ( y, x). f (x) x = 1: y 1 3 f (y -1) 1/ 1/ 0 x = 1: y 1 3 f (y 1) L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 0/3

21 x = : y 1 3 f (y ) Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisyydet saadaan jakamalla (a)-kohdassa esitetyn taulukon solutodennäköisyydet satunnaismuuttujan pistetodennäköisyyksillä. (f) Ehdolliset odotusarvot E( = x) = yf (y x) saadaan kohdasta (e): x 1 1 E( = x) 1/ 1 3 Esimerkiksi: E( = 1) = ypr( = y = 1) = =. y Esimerkki 6.3 Olkoon satunnaismuuttujilla ja yhteistiheysfunktio f(x, y) = C(x + y), 0 x 1, 0 y 1, missä C on vakio. Määrää: (a) Vakio C. (b) Pr( ) (c) (d) (e) Satunnaismuuttujien ja jakaumat. Ovatko ja riippumattomia? Satunnaismuuttujan ehdollinen tiheysfunktio :n suhteen. Ehdollinen odotusarvo E( ). Esimerkki 6.3 Mitä opimme? Esimerkissä 6.3 tarkastellaan jatkuvien satunnaismuuttujien yhteisjakaumaa, ehdollisia jakaumia sekä tunnuslukuja. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 1/3

22 Esimerkki 6.3 Ratkaisu (a) Koska kaikille jatkuvien kaksiulotteisten jakaumien tiheysfunktioille f (x, y) pätee + + f ( x, y) dydx 1, niin saamme vakion C määräämiseksi yhtälön C ( x + y) dydx = C xy + y dx = C x + dx 1 1 = + C x x 1 1 = C + = C = 1 Ratkaisuksi saadaan C = 1. Siten satunnaismuuttujien ja yhteistiheysfunktio on f(x, y) = x + y, 0 x 1, 0 y (b) Integroimalla saadaan: ( ) 1 x Pr = ( x + y) dydx x 1 xy y dx = + 1 = + = 3 0 x x dx x dx 1 3 = x = (c) Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on yhteistiheysfunktion reunatiheysfunktio f( x) f( x, y) dy ( x y) dy xy y x = = + = + = +. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) /3

23 Vastaavalla tavalla satunnaismuuttujan tiheysfunktioksi saadaan 1 f ( y) = y+. Satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia, koska f( x) f( y) = xy+ x+ y+ x+ y = f( x, y). 4 (d) Satunnaismuuttujan ehdollinen tiheysfunktio :n suhteen on f (x y) = f (x, y) (x + y) = f ( y) y +1. Satunnaismuuttujan ehdollinen tiheys ehdolla = y riippuu y:stä, jolloin esimerkiksi myös sen ehdollinen odotusarvo riippuu y:stä. Tämä on ymmärrettävää, koska satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia. (e) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo, kun ehtomuuttujana on, on + 1 (x + y) E( ) = xf (x y)dx = x (y +1) dx = y (x + xy) dx $ 1 = y +1 3 x3 + 1 ' & x y) % ( y + = 3 y + 1 Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla = y eli satunnaismuuttujan regressiofunktio :n suhteen riippuu y:stä. Tämä on ymmärrettävää, koska ja eivät ole riippumattomia. Esimerkki 6.4 Olkoon diskreetin satunnaisvektorin (,) pistetodennäköisyysfunktio (a) (b) Pr( = +1, = 0) = Pr( = 0, = +1) = Pr( = 1, = 0) = Pr( = 0, = 1) = 1/4. Ovatko ja lineaarisesti korreloituneet? Ovatko ja tilastollisesti riippuvat? Selitä saamasi tulos. Esimerkki 6.4 Mitä opimme? Riippumattomat satunnaismuuttujat ovat aina lineaarisesti korreloimattomia, mutta lineaarisesta korreloimattomuudesta ei välttämättä seuraa tilastollinen riippumattomuus. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 3/3

24 Esimerkki 6.4 Ratkaisu Satunnaisvektorin (,) pistetodennäköisyysfunktio f (x, y) = Pr( = x ja = y) voidaan esittää seuraavana taulukkona: p xy p. y 1 0 1/4 0 1/4 0 1/4 0 1/4 1/ 1 0 1/4 0 1/4 p x. 1/4 1/ 1/4 1 (a) (b) Todetaan ensin, että E() = E() = 0. Siten satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Cov(, ) = ( x E( ))( y E( )) Pr( = x, = y) x y = xy Pr( = x, = y) x y 1 = [ ( + 1) ( + 1) + ( 1) ( 1) ] = 0 4 Koska kovarianssi on nolla, on myös :n ja :n Pearsonin korrelaatiokerron nolla. Satunnaismuuttujat ja ovat siten lineaarisesti korreloimattomia. ja ovat silti tilastollisesti riippuvat, koska esimerkiksi Pr(=1,=1) = 0 mutta Pr(=1)Pr(=1) = 1/16. Selitys: Tilastollisesti riippumattomat satunnaismuuttujat ovat aina lineaarisesti korreloimattomia, mutta myös tilastollisesti riippuvat satunnaismuuttujat voivat olla lineaarisesti korreloimattomia, jos satunnaismuttujien välinen riippuvuus on luonteeltaa epälineaarista. Tämän tehtävän tapauksessa satunnaisvektorin (,) arvot ovat yksikköympyrän x + y = 1 kehällä. Esimerkki 6.5 Oletetaan, että satunnaisvektori (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa seuraavin parametrein: L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 4/3

25 E( ) = 1 E( ) =+ 1 Var( ) = 4 Var( ) = 5 Cov(, ) = 5 Määrää: (a) Satunnaismuuttujien ja jakaumat. (b) Pearsonin korrelaatio Cor(, ). (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma :n suhteen. (d) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma :n suhteen. Esimerkki 6.5 Mitä opimme? Esimerkissä 6.5 tarkastellaan kaksiulotteisen normaalijakauman ominaisuuksia. Esimerkki 6.5 Ratkaisu Oletuksen mukaan E( ) = µ = 1 E( ) = µ =+ 1 Var( ) = D ( ) = σ = 4 Var( ) = D ( ) = σ = 5 Cov(, ) = σ = 5 L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 5/3

26 (a) Koska satunnaisvektori (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa, niin satunnaismuuttujien ja jakaumat ovat normaalijakautuneita: missä ja missä ~ N(E(), Var()) E( ) = µ = 1 Var( ) = D ( ) = σ = 4 ~ N(E(), Var()) E( ) = µ =+ 1 Var( ) = D ( ) = σ = 5 (b) Määritelmän mukaan satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin on ρ Cov(, ) σ 5 1 = Cor(, ) = = = = = 0.5 D( ) D( ) σ σ 5 (c) Koska satunnaisvektori (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa, niin satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma :n suhteen on normaalijakauma: ~ N(E( ), Var( )). Kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo on ehtomuuttujan arvojen funktiona lineaarinen: σ E( = y) = µ + ρ ( y µ ) = 1 ( y 1) = y. σ Vaikka satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo :n suhteen riippuu ehtomuuttujan arvoista (koska ρ 0), niin satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi :n suhteen ei riipu ehtomuuttujan arvoista: " " Var( = y) = (1 ρ )σ = 1 $ 1% % $ $ # & ' ' ' 4 = 3 # & 4 4 = 3. (d) Koska satunnaisvektori (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa, niin satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma :n suhteen on normaalijakauma: ~ N(E( ), Var( )) Kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa :n ehdollinen odotusarvo :n suhteen on :n arvojen funktiona lineaarinen: σ E( = x) = µ + ρ ( x µ ) = 1 ( x+ 1) = x. σ 4 4 L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 6/3

27 Vaikka satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo :n suhteen riippuu ehtomuuttujan arvoista (koska ρ 0), niin satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi ei riipu ehtomuuttujan arvoista: " " Var( = x) = (1 ρ )σ = 1 $ 1% % $ $ # & ' ' ' 5 = 3 # & 4 5 = 75 4 = Esimerkki 6.6 Oletetaan, että satunnaisvektori (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein Määrää: (a) (b) (c) E( ) = E( ) = 5 Var( ) = 5 Var( ) = 4 Cov(, ) = 8 Pearsonin korrelaatiokerroin Cor(, ). Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo :n suhteen. Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi :n suhteen. Esimerkki 6.6 Mitä opimme? Esimerkissä 6.6 tarkastellaan kaksiulotteisen normaalijakauman ominaisuuksia. Esimerkki 6.6 Ratkaisu (a) Satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin on ρ Cov(, ) σ 8 4 = Cor(, ) = = = = = 0.8. D( ) D( ) σ σ 5 5 (b) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo, kun ehtomuuttujana on, on σ E( = x) = µ + ρ ( x µ ) = 5 + ( x ) = x+. σ Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo :n suhteen on lineaarinen. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 7/3

28 (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi, kun ehtomuuttujana on, on " " Var( = y) = (1 ρ )σ = 1 $ 4% % $ $ # 5& ' ' ' 5 = 9 5 = 9. # & 5 Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi ei riipu ehtomuuttujan arvoista. Esimerkki 6.7 Oletetaan, että satunnaisvektori (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein (a) (b) (c) µ = E( ) = 1 µ = E( ) = 1 σ = Var( ) = 1 σ = Var( ) = 1 ρ = Cor(, ) = 0.8 Määritä satunnaisvektorin (, ) kovarianssimatriisi. Määritä satunnaismuuttujien ja jakaumat. Määritä satunnaismuuttujien ja ehdolliset jakaumat toistensa suhteen. Esimerkki 6.7. Mitä opimme? Esimerkissä 6.7 tarkastellaan kaksiulotteisen normaalijakauman ominaisuuksia. Esimerkki 6.7 Ratkaisu (a) Koska satunnaismuuttujien ja kovarianssi on σ = ρσσ = = 0.8, niin satunnaisvektorin (, ) kovarianssimatriisi on! σ σ $ # & "# σ σ %& =! $ "# %&. (b) Satunnaismuuttujien ja jakaumat ovat yksiulotteisia normaalijakaumia: : : N( µ, σ) = N( 1,1) N( µ, σ) = N(1,1) (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma :n suhteen on yksiulotteinen normaalijakauma: Koska ( ) : N( µ + β ( x µ ), σ(1 ρ)), β = σρ / σ β = σ ρ /σ = 1 0.8/1 = 0.8, L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 8/3

29 niin Lisäksi E( ) = µ + β ( x µ ) = ( x 1). σ = σ (1 ρ ) = 1 (1 0.8 ) = Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma :n suhteen on yksiulotteinen normaalijakauma: Koska niin Lisäksi ( ) : N( µ + β ( y µ ), σ (1 ρ)), β = σ ρ / σ β = σ ρ /σ = 1 0.8/1 = 0.8, E( ) = µ + β ( y µ ) = ( y+ 1). σ = σ (1 ρ ) = 1 (1 0.8 ) = Ehdollinen odotusarvo E( ) määrää suoran y= µ + β ( x µ ) = 0.8x 1.8 Ehdollinen odotusarvo E( ) määrää suoran x= µ + β ( y µ ) = 0.8y+ 1.8 Molemmat suorat kulkevat pisteen kautta. (µ, µ ) = (+1, 1) Esimerkki 6.8 Oletetaan, että satunnaisvektori (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Olkoon 5y = 6x 17 satunnaismuuttujan regressiosuora satunnaismuuttujan suhteen ja 15x= 8y+ 38 satunnaismuuttujan regressiosuora satunnaismuuttujan suhteen. (a) Määrää satunnaismuuttujien ja odotusarvot. (b) Määrää satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 9/3

30 (c) (d) Määrää satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan arvojen suhteen, jos satunnaismuuttujan varianssi on 9. Määrää satunnaismuuttujan varianssi ja ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan arvojen suhteen, jos satunnaismuuttujan varianssi on 9. Esimerkki 6.8 Mitä opimme? Esimerkissä 6.8 tarkastellaan kaksiulotteisen normaalijakauman ominaisuuksia. Esimerkki 6.8 Ratkaisu (a) Koska sekä satunnaismuuttujan regressiosuora :n suhteen että satunnaismuuttujan regressiosuora :n suhteen kulkevat odotusarvojen E() = µ E() = µ määräämän pisteen (µ, µ ) kautta, saadaan odotusarvot määräämällä suorien 5y = 6x 17 15x= 8y+ 38 leikkauspiste. Tämä piste on (, 1), joten E() = µ = 1, E() = µ =. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 30/3

31 (b) Suorien yhtälöistä nähdään, että σ β ρ σ β = = 6 5 σ 8 = ρ = σ 15 Siten satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokertoimen neliö on ρ = β β = = = 0.64, joten satunnaismuuttujien ja Pearsonin korrelaatiokerroin on ρ = 0.8. Korrelaatiokerroin on positiivinen, koska regressiosuorien kulmakertoimet β ja β ovat positiivisia. (c) Koska σ = 9, niin satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan arvojen suhteen on σ = (1 ρ) σ = (1 0.64) 9 = 3.4. Huomaa, että satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan arvojen suhteen on vakio eli se ei riipu ehtomuuttujan arvoista. (d) Tehtävän asettelun mukaan 8 β =, 15 (b)-kohdan mukaan ρ = 0.8, ja lisäksi olemme olettaneet, että Koska σ = 9. β σ = ρ, σ niin saamme yhtälön σ 8 = 0.8, 15 3 L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 31/3

32 josta satunnaismuuttujan keskihajonta σ saadaan ratkaisuksi. Ratkaisuksi saadaan σ =. Siten satunnaismuuttujan varianssi on σ = 4. Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi muuttujan arvojen suhteen on σ = (1 ρ) σ = (1 0.64) 4 = Huomaa, että satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan arvojen suhteen on vakio eli se ei riipu ehtomuuttujan y arvoista. L Leskelä, I Mellin, M Kibble (015) 3/3

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat .9. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat MS-A Todennäköisslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Moniulotteiset satunnaismuuttujat sekä niiden jakaumat ja tunnusluvut; Moniulotteisia jakaumia Usein

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 0302P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhteisjakauma Edellä on tarkasteltu yksiulotteista satunnaismuuttujaa. Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan samanaikaisesti

Lisätiedot

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin

Johdatus regressioanalyysiin Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾. 24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Keskihajonta ja korrelaatio

Keskihajonta ja korrelaatio Luku 4 Keskihajonta ja korrelaatio Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 19. syyskuuta 2017 4.1 Jakauman varianssi ja keskihajonta Edellisessä luvussa opittiin, että satunnaismuuttujan odotusarvo on X:n jakauman

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

8.1 Ehdolliset jakaumat

8.1 Ehdolliset jakaumat 8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

P (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx.

P (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx. Yhteenveto: Satunnaisvektorit ovat kuvauksia tn-avaruudelta seillaiselle avaruudelle, johon sisältyy satunnaisvektorin kaikki mahdolliset reaalisaatiot. Satunnaisvektorin realisaatio eli otos on jokin

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

3.1 Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma

3.1 Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma 3 Yhteisjakauma Kappaleessa 2 tarkastelimme aina yhtä satunnaismuuttujaa kerrallaan. Tässä kappaleessa näemme, miten aikaisemmat käsitteet yleistyvät siihen tilanteeseen, jossa samalla perusjoukolla on

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat

Lisätiedot

Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi on lineaarinen projektio.

Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi on lineaarinen projektio. Määritelmä 4.3. Estimaattoria X(Y ) nimitetään lineaariseksi projektioksi, jos X on lineaarinen kuvaus ja E[(X X(Y )) Y] 0 }{{} virhetermi Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt

Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisslaskenta B 1. välikoe 08.03.2011 / Kibble Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin seuraavat tiedot: Mat-1.2620 SovTnB 1. vk 08.03.2011 opiskelijanumero + kirjain TEKSTATEN

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja kuvaa kokeen tuloksen reaaliakselille Satunnaismuuttuja on siis funktio X(s) joka saa reaalisia arvoja Koe s

Satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja kuvaa kokeen tuloksen reaaliakselille Satunnaismuuttuja on siis funktio X(s) joka saa reaalisia arvoja Koe s Satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja kuvaa kokeen tuloksen reaaliakselille Satunnaismuuttuja on siis funktio X(s) joka saa reaalisia arvoja Koe s kuuluu todennäköisyysavaruuteen S (s S) Esimerkkejä Kolikonheitossatodennäköisyysavaruus

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo

Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Luku 5 Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 21. syyskuuta 2017 5.1 Satunnaismuuttujien summa Satunnaismuuttujien summa S n = X 1 + +X n ja keskiarvo n 1 S n ovat satunnaismuuttujia,

Lisätiedot

Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista

Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Satunnaismuuttujien generointi 1(18) Generointi yksinkertaisista diskreeteistä jakaumista Seuraavassa U, U 1,..., U n tarkoittavat riippumattomia U(0,1)-jakautuneita

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6B Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg 1 Todennäköisyys Satunnaismuuttujat Keskeinen raja-arvolause Aalto-yliopisto. tammikuuta 015 Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

4.2.2 Uskottavuusfunktio f Y (y 0 X = x)

4.2.2 Uskottavuusfunktio f Y (y 0 X = x) Kuva 4.6: Elektroniikassa esiintyvän lämpökohinan periaate. Lämpökohinaa ε mallinnetaan additiivisella häiriöllä y = Mx + ε. 4.2.2 Uskottavuusfunktio f Y (y 0 X = x) Tarkastellaan tilastollista inversio-ongelmaa,

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

2. Multinormaalijakauma

2. Multinormaalijakauma Multinormaalijakauma 15 2. Multinormaalijakauma 2.1 Alustavaa johdattelua Monimuuttujamenetelmissä multinormaalijakaumalla on ehkä vielä keskeisempi asema kuin normaalijakaumalla yhden muuttujan tilastollisissa

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot