Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
|
|
- Niina Haapasalo
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1
2 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu ryhmiin yhden tekijän suhteen Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän suhteen Tavoitteena on kuten yksisuuntaisessa varianssianalyysissa testata hypoteesia, että tarkasteltavan muuttujan ryhmäkohtaiset odotusarvot ovat yhtä suuria. Vilkkumaa / Kuusinen 2
3 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma 1/4 Oletetaan, että tutkimuksen kohteena oleva perusjoukko voidaan jakaa ryhmiin kahden tekijän A ja B suhteen. Oletetaan, että tekijällä A on I tasoa ja tekijällä B on J tasoa, jolloin jaossa syntyy ryhmiä I J kappaletta. Oletetaan, että ryhmistä poimitaan riippumattomat yksinkertaiset satunnaisotokset, joiden koko on K. Vilkkumaa / Kuusinen 3
4 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma 2/4 Olkoon y kij = k. havainto tekijän A tason i ja tekijän B tason j määräämässä ryhmässä (i, j). Käytetystä otantamenetelmästä seuraa, että havainnot y kij voidaan olettaa riippumattomiksi satunnaismuuttujiksi. Vilkkumaa / Kuusinen 4
5 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma 3/4 Oletetaan, että havainnot y kji ovat normaalijakautuneita: y kij N(μ ij, σ 2 ), k = 1,..., K, i = 1,..., I, j = 1,..., J Haluamme testata nollahypoteesia, että ryhmäkohtaiset odotusarvot E(y kij ) = μ ij ovat yhtä suuria. Nollahypoteesi on siis muotoa H 0 : μ ij = μ, i = 1,..., I, j = 1,..., J Jos nollahypoteesi H 0 pätee, ryhmät voidaan yhdistää havaintojen keskimääräisiä arvoja koskevissa tarkasteluissa. Vilkkumaa / Kuusinen 5
6 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin perusasetelma 4/4 Kaksisuuntaisessa varianssianalyysissa nollahypoteesi H 0 : μ ij = μ, i = 1,..., I, j = 1,..., J on tapana jakaa kolmeksi nollahypoteesiksi, jotka koskevat tekijöiden A ja B päävaikutuksia ja tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta. Tämä tekee ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta koskevan testausongelman monimutkaisemmaksi kuin yksisuuntaisessa varianssianalyysissa. Syy: jos tekijöillä A ja B on yhdysvaikutusta, tekijöiden A ja B päävaikutuksia ei voida tarkastella erillisinä. Vilkkumaa / Kuusinen 6
7 Yhdysvaikutus Tekijöillä A ja B on yhdysvaikutusta, jos tekijän A vaikutus vastesuureeseen y on erilainen tekijän B eri tasoilla. Yhdysvaikutuksen olemassaolon voi tulkita havaintojen keskiarvodiagrammeista: jos ryhmäkeskiarvojen yhdysjanat eivät ole yhdensuuntaisia, havainnot viittaavat siihen, että tekijöillä on yhdysvaikutusta. Vilkkumaa / Kuusinen 7
8 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesit Tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta koskeva nollahypoteesi on muotoa H AB : Ei yhdysvaikutusta Jos nollahypoteesi H AB jää voimaan, havaintojen ryhmittelyä tekijöiden A ja B suhteen voidaan tarkastella erillisinä. Tekijöiden A ja B päävaikutuksia koskevat nollahypoteesit ovat muotoa H A : Ei A-vaikutusta H B : Ei B-vaikutusta Vilkkumaa / Kuusinen 8
9 Ryhmäkeskiarvot ja kokonaiskeskiarvo Määritellään havaintoarvojen y kij ryhmäkeskiarvot kaavoilla ȳ ij = 1 K K k=1 y kij, i = 1,..., I, j = 1,..., J sekä kaikkien havaintoarvojen y ji kokonaiskeskiarvo kaavalla ȳ = 1 IJK I i=1 J j=1 K k=1 y kij, jossa IJK = N on havaintojen kokonaislukumäärä. Vilkkumaa / Kuusinen 9
10 Reunakeskiarvot Määritellään havaintoarvojen y kij marginaali- eli reunakeskiarvot kaavoilla ȳ i = 1 JK J j=1 K k=1 y kij = 1 J J j=1 ȳ ij, i = 1,..., I, ȳ j = 1 IK I i=1 K k=1 y kij = 1 I I i=1 ȳ ij, j = 1,..., J. Vilkkumaa / Kuusinen 10
11 Neliösummia 1/2 Olkoon I J K SST = (y kij ȳ ) 2 i=1 j=1 k=1 havaintoarvojen y kij kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma, SSA = JK I (ȳ i ȳ ) 2 i=1 tekijän A päävaikutusta kuvaava neliösumma ja SSB = IK J (ȳ j ȳ ) 2 j=1 tekijän B päävaikutusta kuvaava neliösumma. Vilkkumaa / Kuusinen 11
12 Neliösummia 2/2 Olkoon SSAB = K I J (ȳ ij ȳ i ȳ j + ȳ ) 2 i=1 j=1 tekijöiden A ja B yhdysvaikutusta kuvaava neliösumma ja SSE = I J K (y kij ȳ ij ) 2 i=1 j=1 k=1 ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava jäännösneliösumma. Neliösummille pätee varianssianalyysihajotelma SST = SSA + SSB + SSAB + SSE. Vilkkumaa / Kuusinen 12
13 Testisuure yhdysvaikutukselle Määritellään F -testisuure F AB = IJ(K 1) (I 1)(J 1) SSAB SSE Jos nollahypoteesi H AB : Ei yhdysvaikutusta pätee, testisuure noudattaa F -jakaumaa vapausastein ((I 1)(J 1), IJ(K 1)). Vilkkumaa / Kuusinen 13
14 Testisuure A-vaikutukselle Määritellään F A -testisuure F A = IJ(K 1) I 1 SSA SSE Jos nollahypoteesi H A : Ei A-vaikutusta pätee, testisuure noudattaa F -jakaumaa vapausastein ((I 1), IJ(K 1)). Vilkkumaa / Kuusinen 14
15 Testisuure B-vaikutukselle Määritellään F B -testisuure F B = IJ(K 1) J 1 SSB SSE Jos nollahypoteesi H B : Ei B-vaikutusta pätee, testisuure noudattaa F -jakaumaa vapausastein ((J 1), IJ(K 1)). Vilkkumaa / Kuusinen 15
16 Testisuureiden tulkinnat 1/2 Testisuureet F AB, F A, F B voidaan tulkita varianssien vertailutestisuureiksi, joissa varianssiestimaattoreita MSAB = SSAB SSA SSB, MSA =, MSB = (I 1)(J 1) I 1 J 1 verrataan ryhmien sisäisen varianssin estimaattoriin MSE = SSE IJ(K 1) Vilkkumaa / Kuusinen 16
17 Testisuureiden tulkinnat 2/2 Estimaattori MSE = SSE IJ(K 1) on aina harhaton havaintojen y kij varianssille σ 2, mutta estimaattorit MSAB = SSAB SSA SSB, MSA =, MSB = (I 1)(J 1) I 1 J 1 ovat harhattomia varianssille σ 2 ainoastaan jos nollahypoteesit pätevät. H AB, H A, H B Vilkkumaa / Kuusinen 17
18 Varianssianalyysitaulukko Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tulokset on tapana esittää seuraavanlaisessa varianssianalyysitaulukossa: Vaihtelun SS df M S F lähde A SSA I 1 MSA = SSA/df F A = MSA/MSE B SSB J 1 MSB = SSB/df F B = MSB/MSE AB SSAB (I 1)(J 1) MSAB = SSAB/df F AB = MSAB/MSE Jäännös SSE IJ(K 1) M SE = SSE/df Kokonais- SST IJK 1 vaihtelu Vilkkumaa / Kuusinen 18
19 Klikkeri-kysely Kahden tekijän suhteen ryhmitellylle aineistolle on tehty varianssianalyysi. Minkä johtopäätöksen voit tuloksista tehdä merkitsevyystasolla 0.05? 1. Tekijöillä A ja B on itsenäistä vaikutusta, muttei yhdysvaikutusta. 2. Tekijöillä A ja B on yhdysvaikutusta, muttei itsenäistä vaikutusta. 3. Tällä merkitsevyystasolla ei voi tehdä lainkaan johtopäätöksiä. Vilkkumaa / Kuusinen 19
20 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli Parametrointi I 1/2 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli voidaan parametroida seuraavasti: y kij = μ ij + ε kij, k = 1,..., K, i = 1,..., I, j = 1,..., J (1) jossa jäännöstermit ε kij ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: ε kij N(0, σ 2 ), k = 1,..., K, i = 1,..., I, j = 1,..., J Mallin parametreja ovat vakiot μ ij, i = 1,..., I, j = 1,..., J ja jäännösvarianssi σ 2. Vilkkumaa / Kuusinen 20
21 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli Parametrointi I 2/2 Mallia koskevista oletuksista seuraa, että ja E(y kij ) = μ ij, k = 1,..., K, i = 1,..., I, j = 1,..., J Var(y kij ) = σ 2, k = 1,..., K, i = 1,..., I, j = 1,..., J. Vilkkumaa / Kuusinen 21
22 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli Parametrointi II 1/3 Tilastollinen malli voidaan parametroida myös seuraavasti: jossa y kij = μ + α i + β j + (αβ) ij + ε kij, (2) k = 1,..., K, i = 1,..., I, j = 1,..., J, I J I J α i = β j = (αβ) ij = (αβ) ij = 0 i=1 j=1 i=1 j=1 ja jäännöstermit ε kij ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: ε kij N(0, σ 2 ), k = 1,..., K, i = 1,..., I, j = 1,..., J. Vilkkumaa / Kuusinen 22
23 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli Parametrointi II 2/3 Mallin parametreja ovat vakiot μ α i β j (αβ) ij, i = 1,..., I, j = 1,..., J, i = 1,..., I, j = 1,..., J sekä jäännösvarianssi σ 2. Vilkkumaa / Kuusinen 23
24 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollinen malli Parametrointi II 3/3 Mallia koskevista oletuksista seuraa, että E(y kij ) = μ + α i + β j + (αβ) ij, k = 1,..., K, i = 1,..., I, j = 1,..., J ja Var(y kij ) = σ 2, k = 1,..., K, i = 1,..., I, j = 1,..., J. Vilkkumaa / Kuusinen 24
25 Kaksisuuntaisen varianssianalyysin laskutoimitusten suorittaminen Kaksisuuntaisessa varianssianalyysissa tarvittavien neliösummien laskeminen voi olla työlästä ilman tietokonetta. Ohjeet tarvittavien laskutoimitusten suorittamiseen löytyy 8. laskuharjoituksen ratkaisuista sivuilta (vanhat tehtävät). Vilkkumaa / Kuusinen 25
26 Yhteenveto Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan, poikkeavatko kahden tekijän suhteen ryhmitellyn aineiston ryhmäkohtaiset odotusarvot toisistaan Nollahypoteesi H 0 : μ ij = μ i, j jaetaan kolmeen osaan: - H AB : Ei yhdysvaikutusta - H A : Ei A-vaikutusta - H B : Ei B-vaikutusta F -testi perustuu varianssiestimaattorien vertailuun Jos tekijöillä ei ole yhdysvaikutusta, voidaan A- ja B-vaikutuksia tarkastella erillisinä Yhdysvaikutuksen olemassaolon voi tulkita havaintojen keskiarvodiagrammeista Vilkkumaa / Kuusinen 26
Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotLohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa
LisätiedotLohkoasetelmat. Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,
LisätiedotHierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1
Hierarkkiset koeasetelmat Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa käytetään tarkasteltaessa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tekijän
LisätiedotLohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan
LisätiedotKoesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 2 k -faktorikokeet: Mitä opimme?
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma Jaetaan perusjoukko rhmiin kahden tekän A ja B suhteen
LisätiedotUseampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi
(c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi ohdatus tilastotieteeseen Useampisuuntainen varianssianalsi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi: Mitä opimme? arkastelemme tässä
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
ohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) Kaksisuuntainen varianssianalyysi Varianssianalyysi: ohdanto Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotVastepintamenetelmä. Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kurssipalautteen antamisesta saa hyvityksenä yhden tenttipisteen. Palautelomakkeeseen tulee lähiaikoina linkki kurssin kotisivuille. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä
Lisätiedot2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1
2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta
LisätiedotKertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kertausluento Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kokeellinen tutkimus Kokeellisessa tutkimuksessa on tavoitteena selvittää, miten erilaiset käsittelyt vaikuttavat tutkimuksen kohteisiin - Esim. miten lämpötila ja
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotVastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,
LisätiedotKaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma aetaan perusoukko rhmiin kahden tekän A a B suhteen
LisätiedotVastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Vastepintamenetelmä Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Varianssianalyysissa tutkitaan tekijöiden vaikutusta vasteeseen siten, että tekijöiden tasot on ennalta valittu. - Esim. tutkitaan kemiallisen prosessin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotOsafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1
Osafaktorikokeet Kurssipalautetta voi antaa Oodissa 27.4.-25.5. Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeen
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
Lisätiedot1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalyysi Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, Kaksisuuntainen varianssianalyysi Kokonaiskeskiarvo,
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotKoesuunnittelu Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmä: Johdanto 2 k -faktorikokeet Vastefunktion kaarevuuden testaaminen 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
LisätiedotKoesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Latinalaiset neliöt Latinalaisten neliöiden koeasetelma ja sen malli Latinalaisten neliöiden koeasetelman analysointi Laskutoimitusten suorittaminen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotAltistusaika 1 kk 2 kk 3 kk 1.35 1.53 1.38 1.35 1.63 1.51 1.60 1.40 2.18 1.77 1.66 1.98 1.73 1.76 1.60 1.72
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut iheet: vainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Lohkoasetelmat Latinalaiset neliöt ritmeettinen
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
Lisätiedot2 2 -faktorikokeen määritelmä
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tai useamman tekijän vaikutusta
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yksisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Kokonaiskeskiarvo,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotYleistetyistä lineaarisista malleista
Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
Lisätiedot10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut
10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla
LisätiedotToimittaja 1 2 3 Erä 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 3 1 3 0 4 2 4 0 3 4 0 1 2 0 4 1 0 3 2 2 2 0 2 2 1
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Hierarkkiset koeasetelmat -faktorikokeet Vastepintamenetelmä Aritmeettinen keskiarvo, Estimaatti, Estimaattori, -testi, aktorikokeet,
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotKoska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.
24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
Lisätiedot2. Keskiarvojen vartailua
2. Keskiarvojen vartailua Esimerkki 2.1: Oheiset mittaukset liittyvät Portland Sementin sidoslujuuteen (kgf/cm 2 ). Mittaukset y 1 ovat nykyisestä seoksesta ja mittaukset y 2 uudesta seoksesta, jossa lisäaineena
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?
MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo
LisätiedotErityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen
LisätiedotTestaa onko myrkkypitoisuus eri ryhmissä sama. RATK. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: k T i = = 486.
Mat-.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Harjoitus 8, kevät 004 Esimerkkiratkaisut. 1. Myrkyllistä ainetta oli kaadettu jokeen, joka johtaa suurelle kalastusalueelle. Tie- ja vesirakennusinsinöörit
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 5
MS-A Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Tilastollinen testaus Tilastollisten testaaminen Tilastollisen tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta on esitetty jokin väite tai
LisätiedotTilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko, kevät 2004
Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko, kevät 2004 Esimerkkien ratkaisut http://mtl.uta.fi/tilasto/tiltp3/kevat2004/kaikki_esimerkit.pdf Raija Leppälä 19. joulukuuta 2003 Sisältö 1
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
LisätiedotKorrelaatiokertoinen määrittely 165
kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotYleinen lineaarinen malli
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: 1 Määritelmä ja standardioletukset 2
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu
Lisätiedot