Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Differentiaali- ja integraalilaskenta 1"

Transkriptio

1 (DRAFT) Differentili- j integrlilskent 1 Hrri Vrpnen October 16, 2015

2 2

3 Esipuhe Tätä monistett on kirjoitettu Alto-yliopiston mtemtiikn j systeeminlyysin litoksen syksyn 2015 periodin I kursseill MS-A0103 Differentili- j integrlilskent 1 (ELEC1) j MS-A0105 Differentilij integrlilskent 1 (ENG1). Monisteen runkon on käytetty Pekk Alestlon tiivistelmää iemmilt vuosilt. Tvoitteeni on ollut kirjoitt tulevi kurssitoteutuksi vrten kehityskelpoinen mterili, jok näyttää pikoitellen enemmän kurssimonisteelt kuin tiivistelmältä. Kiitän Pekk tiivistelmän luovuttmisest käyttööni. Kurssin pituus on kuusi viikko (24+24) j ljuus 5 op. Kurssill käydään läpi krkesti koko yhden muuttujn differentili- j integrlilskent muknlukien srjt j differentiliyhtälöt. Kurssin luennot ovt olleet kndikeskuksen sliss B, joss ei ole liitu- eikä tussitulu, vn pelkkä vlkokngs. Luennoill on ktsottu verkkoluentoj selimell j lskettu esimerkkejä ipdin Note Tker HD -ohjelmll. Verkkoluennot ovt Pennsylvnin yliopiston kurssist Clculus: Single Vrible (Prof. Robert Ghrist), jok löytyy osoitteest j jonk järjestystä tässä monisteesskin pyritään noudttmn. Verkkokurssin luennot ovt mielestäni loistvi j muodostvt hyvän pohjn kurssin rkentmiselle siten, että kurssi voi opiskell myös etäältä (hyödyntäen myös esimerkiksi Khn Acdemyn verkkoluentoj). Lj suomenkielinen kirjllinen esitys kurssill esiintyvistä iheist on Professori Juhni Pitkärnnn kirj Clculus Fennicus, jok löytyy osoitteest Lisäksi opiskelijoit on kehotettu tutustumn ljsti muihin verkkomterileihin j Clculus-kirjoihin. Kurssin toteutunut luentorunko (suluiss verkkoluennon numero): 3

4 Esipuhe ti 8.9. Funktiot j Tylor-srjt, yleiskuv kurssist, kurssin käytännöt. Verkkoluennot: Introduction (0), Functions (1), Exponentils (2). to Eksponenttifunktio, sini, kosini, Tylor-srjn lskeminen. Verkkoluennot: Exponentils (2), Tylor Series (3), Computing Tylor Series (4). ti Suppeneminen, rj-rvo, l Hôpitlin sääntö. Verkkoluennot: Derivtives (10), Limits (7), l Hôpitl (8). to Derivtt, linerisointi, differentili. Verkkoluennot: Derivtives (10), Differentition rules (11), Lineriztion (12), Differentils (15). ti Antiderivtt, differentiliyhtälöitä. Verkkoluennot: Indefinite Integrls (17), A Simple O.D.E. (18), More O.D.E.s (19). to Integroimismenetelmiä. Verkkoluennot: Integrtion by Substitution (21), Integrtion by Prts (22), Prtil Frctions (24). ti Määrätty integrli, nlyysin perusluse, epäoleellinen integrli. Verkkoluennot: Definite integrls (25), The F.T.I.C. (26), Improper Integrls (27). to Integrlin sovelluksi. Vlittuj ploj verkkoluennoist ti Numeerist integrointi. Verkkoluennot: Numericl Integrtion (49), Approximtion nd Error (56). to Srjteori. Verkkoluennot: Infinite Series (50), Convergence Tests I (51), Convergence Tests II (52). ti Lisää srjteori. Verkkoluennot: Absolute & Conditionl (53), Power Series (54), Tylor Series Redux (55). to Differentiliyhtälöiden rtkiseminen potenssisrjmenetelmällä j differentiliyhtälöiden linerisointi. Verkkoluennot: Indefini- 4

5 Esipuhe te Integrls (17), O.D.E. lineriztion (20+BONUS!) 5

6 Esipuhe Kiitän sydämellisesti luennoille osllistuneit opiskelijoit hyvästä tunnelmst j idosti kehittävästä plutteest. Suuri kiitos kuuluu myös kurssin henkilökunnlle eli ssistenteille, jotk ovt pyyteettömästi uhrutuen neuvoneet opiskelijoit kädestä pitäen j trkistneet heidän kirjllisi opinnäytteitään. Espoo, 16. lokkuut 2015, Hrri Vrpnen 6

7 Sisältö Esipuhe 3 Sisältö 7 1. Johdnto 9 2. Funktioist Merkintöjä Funktion määrittely Yhdistetty funktio Käänteisfunktio Alkeisfunktiot Polynomit j rtionlifunktiot Trigonometriset funktiot Arkusfunktiot Eksponentti- j logritmi Eulerin kv Hyperboliset funktiot Tylor-srjoist Tylor-srjn lskeminen Tylor-srjn yksikäsitteisyys j mnipulointi Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt Funktion jtkuvuus Jtkuvien funktioiden ominisuuksi Funktion rj-rvo Derivtt Määritelmä j perusominisuudet L Hôpitlin sääntö

8 Sisältö Äärirvotehtävät Kuperuus, toiset derivtt j äärirvotehtävät Linerisointi j Newtonin menetelmä Integrli Antiderivtt Differentiliyhtälöitä Ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälöt Toisen kertluvun linerinen differentiliyhtälö Integrlin määritelmä Integrlin ominisuuksi Epäoleellinen integrli Integroimismenetelmiä Osittisintegrointi Sijoitusmenetelmä Osmurtohjotelm Integroinnin sovelluksi Numeerinen integrointi Srjteori Tylor-srjn pluu Srjn suppeneminen Positiiviset srjt Suppenemistestejä positiivisille srjoille Vihtuvmerkkiset srjt Vuorottelevt srjt Potenssisrjt Liite: lukujonot Lukujonot Induktioperite* Lukujonot Lukujonon suppeneminen Jtkuvuus j jonot

9 1. Johdnto Tämän kurssin kntv teem on Tylor-polynomi. Iden on pproksimoid funktiot (lähtökohtisesti monimutkinen) polynomill (in verrten yksinkertinen). Tylor-polynomeill on sovelluksi kikkill, esim: mtemttiset ohjelmistot (tietokone os lske vin polynomeill) fysiikn differentiliyhtälöt (trkkoj rtkisuj hrvoin trjoll) optimointi (mm. äärirvokohdn ldun selvittäminen). Tylor-polynomiin liittyy kiinteästi myös Tylor-srj, joss Tylor-polynomin steluku ksvtetn rjtt. Tylor-polynomiin j -srjn liittyvä ihepiiri on keskeinen myös usen muuttujn vektorirvoisill funktioill, joit käsitellään jtkokursseill. Esimerkki 1.1. Sovitetn funktion f(x) = sin(x) kuvjn { (x, y) R 2 : x R, y = f(x) } pisteeseen (x, y) = (2π/3, 3/2) polynomej, joiden steluku ksv yhdestä seitsemään (MATLAB R -komennot ll): syms x f=sin(x) =[-2*pi 2*pi -5 5] figure fplot(chr(f),, k ) hold on for m=2:8 puse(1) 9

10 Johdnto t=tylor(f,x,2*pi/3, Order,m) fplot(chr(t),, b ) end Tehtävä 1.2. Tutustu MATLAB R -ohjelmn yllä olevn koodin j ll olevien kysymysten vull. Voit toimi tietokoneluokss ti ldt MATLAB R - ohjelmn ilmiseksi omlle koneellesi osoitteess downlod.lto.fi. 1. Syötä komento f=sin(x) ilmn edeltävää syms x -komento. Mikä on komennon syms x trkoitus? (Komenn myös: help syms.) 2. Syötä kikki Esimerkin 1.1 komennot (järjestyksessä). Jos kikki menee hyvin, näet nimtion polynomipproksimtiost. 1 Missä mielessä väittämä funktion polynomipproksimtio trkentuu polynomin steluvun ksvess ei pidä pikkns? 3. Miksi polynomin steluku ksv yhdestä seitsemään eikä khdest khdeksn, vikk koodiss komennetn for m=2:8? Etsi vstus sopivn help-komennon vull. Millä help-komennoll vstus löytyi? 4. Mitä merkit b j k tekevät komennoiss fplot(chr(f),, b ) j fplot(chr(f),, k )? Etsi vstus sopivn help-komennon vull. Millä help-komennoll vstus löytyi? 1 Komennon figure vm piirtoikkun siirtyy piiloon tustlle heti, kun komentoj syötetään lisää. Eräs rtkisu: pienennä syöttöikkun niin, että syöttö- j piirtoikkun näkyvät in ruudullsi smnikisesti. 10

11 2. Funktioist 2.1 Merkintöjä Relilukujen joukko R. Tällä kurssill pisteellä trkoitetn reliluku (mielikuvn piste lukusuorll). Alkion kuuluminen joukkoon: esimerkiksi 2 R, mutt 2 / Q (tässä Q = rtionlilukujen joukko). Osjoukkous: Q R, mutt R Q. Huomio 2.1. Osjoukko merkitään usein myös symbolill, jot tällä kurssill ei käytetä linkn. Tällä kurssill käytetään merkintää sllivss merkityksessä (joukkojen yhtäsuuruus sllitn), esimerkiksi väittämä {x R x 2 2} {x R 2 x 2 } on tosi (joukot ovt smt). Jos hlutn korost tilnnett, joss kyseessä on ito osjoukko, voidn merkitä esimerkiksi Q R ti Q R, Q R. Huomio 2.2. Ilmistess joukkoj kuten yllä voidn pystyviivn semest käyttää myös kksoispistettä, esimerkiksi {x R : x = 2} = { 2, 2}. Avoin väli (, b) ti (, ) ti (, b) ti (, ). Suljettu väli [, b]. 11

12 Funktioist Puolivoimet välit: muoto [, b) ti (, b]. Huomio 2.3. Avoint väliä merkitään usein myös ], b[ j puolivoint [, b[ ti ], b]. Tässä monisteess suosimme normlej sulkuj, sillä ne ovt typogrfisesti mukvmpi. Asiyhteydestä käy ilmi, trkoitetnko merkinnällä (, b) voint väliä vi tson R 2 pistettä. Joukkojen A j B yhdiste A B, leikkus A B j erotus A \ B: ks. erillinen symbolit-moniste. 2.2 Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, jok liittää jokiseen joukon A lkioon täsmälleen yhden joukon B lkion b. Merkitään b = f(). Tässä A = M f on f:n määrittelyjoukko j B on f:n mlijoukko. Funktion f rvojoukko eli kuvjoukko on B:n osjoukko f[a] = {f() A}. Esimerkki 2.4. Funktion f : R R, f(x) = x 2, mlijoukko on R, mutt sen rvojoukko on [0, ). Edellisen esimerkin funktio voidn toki määritellä suorn muodoss f : R [0, ), f(x) = x 2, jolloin rvojoukko on sm kuin mlijoukko. Näin voidn peritteess menetellä kikkien funktioiden kohdll, mutt se ei yleensä ole käytännöllistä. Tehtävä 2.5. Mikä on funktion f : R R, f(x) = x 6 + x 2 + x rvojoukko? Miksi rvojoukon ilmiseminen on tässä hnkl? Jos funktion määrittelyjoukko A R, niin kyseessä on yhden muuttujn funktio, joit tällä kurssill käsitellään. Usen muuttujn funktioit (A R n, n 2) käsitellään mm. kursseill Differentili- j integrlilskent

13 Funktioist Yhdistetty funktio Khden funktion f, g säännöllä yhdistetty funktio merkitään f g, määritellään (f g)(x) = f ( g(x) ) j lusutn f pllo g. Yhdistetyn funktion ljin mhdollinen määrittelyjoukko (jok yleensä oletetn, ellei toisin minit) on M f g = {x M g g(x) M f }. Jos yllä M f g = (tyhjä joukko), ei yhdistettyä funktiot void määritellä. Esimerkki 2.6. Olkoon f(x) = 2 x j g(x) = x 3. Tällöin (f g)(x) = 2 2 x 3 j (g f)(x) = x 3. Kosk M f = (, 2] j M g = [3, ), niin M f g = {x [3, ) x 3 (, 2] } = {x R x 3 j x 3 2} = {x R x 3 j x 3 4} = {x R x 3 j x 7} = {x R 3 x 7} = [3, 7]. Tehtävä 2.7. Määritä yllä olevss esimerkissä 2.6 joukko M g f Käänteisfunktio Funktio f : A B on injektio, jos eri pisteissä sdn eri rvot: x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) eli yhtäpitävästi f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2. surjektio, jos rvojoukko on sm kuin mlijoukko, ts. f[a] = B. bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. 13

14 Funktioist Funktiost tulee surjektio, jos mlijoukko kutistetn mhdollisimmn pieneksi eli jätetään pois kikki ne pisteet, jotk eivät ole funktion rvoj. Toinen tp määritellä nämä käsitteet perustuu yhtälön rtkisujen lukumäärän tutkimiseen: Jos nnettun on funktio f : A B j lkio y B, niin yhtälöllä y = f(x) on korkeintn yksi rtkisu x A, jos f on injektio vähintään yksi rtkisu, jos f on surjektio täsmälleen yksi rtkisu, jos f on bijektio. Jos f : A B on bijektio, niin se on kääntyvä eli sillä on käänteisfunktio f 1 : B A, jok määräytyy ehdost y = f(x) x = f 1 (y). Käänteisfunktiolle pätee f 1( f() ) = kikill A j f ( f 1 (b) ) = b kikill b B. Tehtävä 2.8. Miksi käänteisfunktion kuvj on lkuperäisen funktion 1 kuvjn peilikuv suorn y = x suhteen? Jos A R j f : A R on idosti monotoninen (ts. idosti vähenevä ti idosti ksvv), niin funktio f : A f[a] on kääntyvä. 2.3 Alkeisfunktiot Polynomit j rtionlifunktiot Polynomit P (x) = x + 2 x + + n 1 x n 1 + n x n n = k x k, k=0 1 Tässä puhutn funktion f : R R kuvjst {(x, y) R 2 y = f(x)}. 14

15 Funktioist missä n N j 0, 1,..., n 1, n R ovt nnettuj lukuj. Luku n on polynomin ste j luvut 0,..., n ovt polynomin kertoimet. Polynomi voidn in määritellä koko R:ssä; sen sijn rtionlifunktiot R(x) = P (x) Q(x), missä P j Q ovt polynomej, voidn määritellä vin joukoss {x R Q(x) 0} Trigonometriset funktiot Kulmn yksikkö rdini = rd: kulm vstvn yksikköympyrän osn krenpituus. Vstvuus steiden knss: π rd = 180 stett, 1 rd = 180/π 57,3 stett. Rdinit smistetn relilukuihin j useimmiten rd jätetään merkitsemättä. Esimerkiksi ilmisuiss cos π = 1 j sin( π/2) = 1 kulmt π j π/2 ovt rdinej (relilukuj). Funktiot sin x j cos x määritellään yksikköympyrän ( = origokeskinen j 1-säteinen ympyrä tsoss R 2 ) vull niin, että (cos 0, sin 0) = (1, 0) R 2 piste (cos x, sin x) R 2 on yksikköympyrän prmetrisointi krenpituuden x R vull Krenpituus x > 0 kiertää ympyrää vstpäivään lähtien pisteestä (1, 0); vstvsti negtiivinen krenpituus kiertää myötäpäivään. Edelleen j tn x = sin x cos x cot x = cos x sin x (x π + nπ, n Z) 2 (x nπ, n Z). 15

16 Funktioist Jksollisuus: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x, tn(x + π) = tn x. Ominisuuksi (nähdään yksikköympyrästä / määritelmistä): sin 0 = 0, sin(π/2) = 1, cos 0 = 1, cos(π/2) = 0, sin( x) = sin x, cos( x) = cos x, tn( x) = tn x, sin 2 x + cos 2 x = 1. Yhteenlskukvt: sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y Derivtt: D(sin x) = cos x, D(cos x) = sin x Edellisestä seur, että molemmt funktiot y(t) = sin ωt j y(t) = cos ωt toteuttvt differentiliyhtälön y (t) + ω 2 y(t) = 0, jok kuv ns. hrmonist värähtelyä. Tässä muuttuj t on ik j vkio ω > 0 on värähtelyn kulmtjuus. Kuten myöhemmin nähdään, differentiliyhtälön kikki rtkisut ovt muoto y(t) = A cos ωt + B sin ωt, joss A, B ovt vkioit. Ne määräytyvät yksikäsitteisesti, jos tunnetn esimerkiksi lkutil y(0) j lkunopeus y (0). Kikki rtkisut ovt jksollisi j niiden jksonik on T = 2π/ω Arkusfunktiot Huom. tässä kppleess voimi välejä merkitään hksulkeill, jott vältytään seknnuksilt. Trigonometrisill funktioill on käänteisfunktiot, jos funktioiden määrittelyj mlijoukkoj rjoitetn sopivll tvll. 16

17 Funktioist Funktio sin: [ π/2, π/2] [ 1, 1] on idosti ksvv bijektio. Funktio cos: [0, π] [ 1, 1] on idosti vähenevä bijektio. Funktio tn: ] π/2, π/2 [ R on idosti ksvv bijektio. Käänteisfunktiot (rkusfunktiot): rctn x ] π/2, π/2 [, kun x R, rcsin x [ π/2, π/2], kun x [ 1, 1], rccos x [0, π], kun x [ 1, 1] Siis: x = tn α α = rctn x, kun α ] π/2, π/2[ x = sin α α = rcsin x, kun α [ π/2, π/2] x = cos α α = rccos x, kun α [0, π] Huom: rkusfunktioiden rvot nnetn in rdineiss eikä steiss, ellei erikseen toisin minit. Käänteisfunktioiden derivtt (näihin pltn vielä) D rctn x = D rcsin x = D rccos x = x 2, x R 1, 1 < x < 1 1 x 2 1, 1 < x < 1. 1 x Eksponentti- j logritmi (All esiintyy rj-rvo- j srjmerkintöjä, joihin plmme myöhemmin.) 17

18 Funktioist Neperin luku e = ( lim ) n = n n 2! + 1 3! + 1 4! , Eksponenttifunktio ( f(x) = e x = lim 1 + x ) n x k = n n k!. n=0 Eksponenttifunktio voidn määritellä myös ominisuuden f (x) = f(x) vull (ks. Clculus Fennicus, luku VI.2), jonk vuoksi eksponenttifunktio on tärkeä differentiliyhtälöiden rtkisemisess. Erilisten määritelmien välinen yhtäpitävyys sivuutetn tällä kurssill (ks. esim. Clculus Fennicus). Ominisuuksi: e 0 = 1, e x > 0 kikill x, D(e x ) = e x, e x = 1/e x, (e x ) y = e xy, e x e y = e x+y Logritmifunktio = eksponenttifunktion käänteisfunktio: ln x, x > 0 Ominisuuksi e ln x = x, ln(e x ) = x, ln 1 = 0, ln e = 1, ln( b ) = b ln, ln(b) = ln + ln b, D ln x = 1/x, x 0 Eksponenttifunktion vull voidn rtkist täydellisesti differentiliyhtälö y = ky, kun k on vkio: Kikki funktiot y = y(x), joille on voimss y (x) = ky(x) kikill x R, ovt muoto y(x) = Ce kx, joss C on vkio. Vkio C kiinnittyy, jos funktion y rvo tunnetn josskin pisteessä x 0. Tällöin differentiliyhtälön rtkisu on yksikäsitteinen Eulerin kv Imginriyksikkö i: luku, jok toteutt i 2 = 1. Kompleksiluvut muoto z = x + iy, joss x, y R. 18

19 Funktioist Kun ensponenttifunktion srjkehitelmään sijoitetn muuttujn piklle ix j ryhmitellään termit sopivll tvll, niin sdn Eulerin kv e ix = cos x + i sin x. Seuruksen on kv e iπ + 1 = 0, jot jotkut pitävät mtemtiikn hienoimpn kvn. Se sitoo toisiins tärkeimmät luvut 0, 1, i, e j π sekä kolme lskutoimitust Hyperboliset funktiot Hyperbolinen sini sinus hyperbolicus sinh, hyperbolinen kosini cosinus hyperbolicus cosh j hyperbolinen tngentti tnh: sinh x = 1 2 (ex e x ) cosh x = 1 2 (ex + e x ) tnh x = sinh x cosh x Ominisuuksi: cosh 2 x sinh 2 x = 1; kikill trigonometrisill kvoill on hyperbolinen vstine, jok seur yhteyksistä sinh(ix) = i sin x, cosh(ix) = cos x. Kvoiss sin 2 -termien merkki vihtuu, muut pysyvät smoin. Derivtt: D sinh x = cosh x, D cosh x = sinh x. Käänteisfunktiot; lyhenne r viitt snn re, sillä käänteisfunktioill on geometrinen tulkint eräänä hyperbeliin liittyvänä pint-ln: sinh 1 x = r sinh x = ln(x x 2 ), x R cosh 1 x = r cosh x = ln(x + x 2 1), x 1. 19

20 Funktioist 20

21 3. Tylor-srjoist Pltkmme luksi eksponenttifunktioon. Määrittelemme kikille x R eksponenttifunktion e x srjn e x x k = k! = 1 + x + x2 2! + x3 3! (3.1) k=0 Toistiseksi sivuutmme kysymyksen srjn suppenemisest j otmme sen uskon vrss. Nämä sit trkentuvt myöhemmin kurssill. Sitävstoin miellämme srjn (3.1) mielivltisen pitkänä polynomin, missä mielivltinen viitt hluttuun trkkuuteen. Esimerkki 3.1. Lsketn määritelmän (3.1) vull likirvoj Neperin luvulle e = e 1 = ll MATLAB R -koodi: k=0 1 k! = ! + 1 3! +... ; formt long; sum=1; for m=1:10 puse(1) sum=sum+1/fctoril(m) end exp(1) Nähdään, että kymmenennen steen pproksimtio on khdeksn desimlin trkkuudell oikein. Itse siss jokinen lkeisfunktio j yleisemmin jokinen riittävän sileä funktio f : R R voidn esittää potenssisrjn f(x) = c k x k = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x (3.2) k=0 21

22 Tylor-srjoist jollekin relilukujonolle (c k ) k=0 = (c 0, c 1, c 2,...). Tässä viheess sivuutmme jälleen sen, mitä riittävän sileällä trkoitetn j keskitymme kertoimien c k lskemiseen. 3.1 Tylor-srjn lskeminen Oletetn, että yhtälö (3.2) pätee, j että funktio f yhtälössä (3.2) on mielivltisen mont kert derivoituv. Oletetn myös, että yhtälössä (3.2) säilyy yhtäsuuruus, kun yhtälön molempi puoli derivoidn (srj derivoidn termeittäin). Sijoittmll x = 0 yhtälöön (3.2) sdn heti c 0 = f(0). Derivoimll kertlleen yhtälön (3.2) molemmt puolet sdn f (x) = c 1 + 2c 2 x + 3c 3 x = kc k x k 1, (3.3) j sijoittmll tähän x = 0 sdn c 1 = f (0). k=1 Derivoidn edelleen kertlleen yhtälön (3.3) molemmt puolet: f (x) = 2c c 3 x c 4 x = (k 1) k c k x k 2, (3.4) johon sijoittmll x = 0 sdn c 2 = f (0). 2 Derivoimll vielä kerrn yhtälön (3.4) molemmt puolet sdn f (x) = 2 3 c c 4 x c 5 x = (k 2) (k 1) k c k x k 3, johon sijoittmll x = 0 sdn k=2 k=3 c 3 = f (0) 2 3 = f (0) = f (3) (0). 3! Jtkmll smn tpn ( köyhän miehen induktiotodistus ) sdn 22 tulos c k = f (k) (0) k!

23 Tylor-srjoist mielivltiselle k N. Kootn vielä edellinen lsku oletuksineen luseeksi: Luse 3.2. Jos mielivltisen mont kert derivoituv funktio f : R R on esitettävissä potenssisrjn f(x) = niin potenssisrjn kertoimille pätee kikille k N. c k x k, k=0 c k = f (k) (0) k! Huomio 3.3. Luseess 3.2 riittää olett, että funktio on määritelty j esitettävissä srjn vin origon ympäristössä. Oletust funktion f derivoituvuudest ei itse siss trvit, vn derivoituvuus seur oletuksest potenssisrjesityksen olemssolost. Vstvll lskull sdn myös Luse 3.4. Jos relimuuttujn relirvoinen funktio f on pisteen R ympäristössä esitettävissä potenssisrjn f(x) = c k (x ) k, k=0 niin potenssisrjn kertoimille pätee kikille k N. c k = f (k) () k! Huomio 3.5. Luseiden 3.2 j 3.4 mukisi funktoiden potenssisrjesityksiä kutsutn Tylor-srjoiksi. Origon ympäristössä Tylor-srj kutsutn joskus myös Mclurin-srjksi. Esimerkki 3.6. Joitin tunnettuj Tylor-srjoj origon ympäristössä: 1 1 x = x k, x < 1 e x = sin x = cos x = k=0 k=0 k=0 k=0 (1 + x) r = k! xk, x R ( 1) k (2k + 1)! x2k+1, x R ( 1) k (2k)! x2k, x R k=1 r(r 1)(r 2)... (r k + 1) x k, x < 1 k! 23

24 Tylor-srjoist Viimeinen on nimeltään binomisrj j se on voimss kikill r R. Jos r N, niin srjn kertoimet ovt nolli summusindeksistä k = r + 1 lähtien j tuloksen on binomikv. Tehtävä 3.7. Vrmist derivoimll, että yleisen n:nnen steen polynomin n f(x) = c k x k k=0 Tylor-srj (origon ympäristössä) on polynomi itse. Tehtävä 3.8. Määritä funktiolle f(x) = x kertluvun Tylor-polynomit origon ympäristössä. ensimmäisen j toisen 3.2 Tylor-srjn yksikäsitteisyys j mnipulointi Tylor-srjojen mnipulointi (yhteen- j vähennyslsku, kertominen j jkminen, derivointi j integrointi) plutuu polynomien mnipulointiin, sillä vdittv trkkuus kiinnitetään ensin j sen jälkeen kikki riittävän korke-steiset termit voidn unoht. 1 Tylor-srjn lskemisess voidn usein yllä olevn filosofin ohell hyödyntää Tylor-srjn yksikäsitteisyyttä. Edellä luseet 3.2 j 3.4 snovt nimittäin myös: Seurus 3.9. Jos funktio on esitettävissä Tylor-srjn, niin srjn kertoimet määräytyvät yksikäsitteisesti. Toisin snoen funktioll ei voi (smn pisteen ympäristössä) oll kht erilist Tylor-srj. Esimerkki Lsketn funktion f(x) = 1 (1 x) 2 toisen steen Tylor-polynomi origon ympäristössä. Kosk 1 1 x = 1 + x + x2 + O(x 3 ), missä x < 1 j merkintä O(x 3 ) luetn vähintään kolmnnen steen 1 Virheen rviointi eli mikä riittää on om (vike, mutt etenkin insinöörille tärkeä) titeenljins j sitä tulln hrjoittelemn myöhemmin kurssill. 24

25 Tylor-srjoist termejä, niin lueess x < 1 pätee myös 1 (1 x) 2 = ( 1 + x + x 2 + O(x 3 ) ) 2 = ( 1 + x + x 2 + O(x 3 ) )( 1 + x + x 2 + O(x 3 ) ) = ( 1 + x + x 2 + O(x 3 ) ) + ( x + x 2 + x 3 + O(x 4 ) ) + ( x 2 + x 3 + x 4 + O(x 5 ) ) + ( O(x 3 ) + O(x 4 ) + O(x 5 ) + O(x 6 ) ) = 1 + 2x + 3x 2 + O(x 3 ). Stu srj (jost emme tiedä kuin lkupään) on potenssisrj. Kosk funktioll voi (nnetun pisteen ympäristössä) oll vin yksi potenssisrj, niin kysytyn toisen steen Tylor-polynomin on oltv 1 + 2x + 3x 2. Tehtävä Vrmist Esimerkin 3.10 tulos khdell eri tvll: ) käyttämällä Luseen 3.2 kv b) derivoimll yhtälön 1/(1 x) = 1+x+x 2 +x 3 +O(x 4 ) molemmt puolet muuttujn x suhteen. Smoin esimerkiksi tngenttifunktion Tylor-polynomej (eri pisteiden ympäristöissä) on hnkl lske suorn Luseiden 3.2 j 3.4 vull. Helpomp on jk sinin Tylor-polynomi kosinin Tylor-polynomill (hlutull trkkuudell). Tehtävä Ot selvää miten polynomej jetn jkokulmss j j polynomi 2x 4 + 6x polynomill x 2 + x + 1. Tehtävä J srj jkokulmss srjll sin x = x x3 6 + x O(x7 ) cos x = 1 x2 2 + x x O(x8 ) j päättele, että tn x = x x x5 + O(x 7 ). 25

26 Tylor-srjoist 26

27 4. Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt 4.1 Funktion jtkuvuus Funktion jtkuvuus määritellään usein rj-rvon vull. Jtkuvuus on kuitenkin rj-rvo yksinkertisempi käsite, joten loitmme sillä. Huomio 4.1. Jos, b R, niin luseke b on pisteiden j b välinen etäisyys. Määritelmä 4.2. Olkoon A R j f : A R funktio. Funktio f on jtkuv pisteessä A, kun pätee: Jokist ε > 0 vst sellinen δ > 0, että f(x) f() < ε in kun x A j x < δ. Tässä ε j δ (reli- ti rtionlilukuj) mielletään pieniksi. Määritelmän voi mieltää pelinä: vstustj nt luvun ε, jonk sisään etäisyyden f(x) f() on mhduttv kunhn etäisyyttä x pienennetään riittävästi. Jos pystyn ntmn miten pienelle ε:lle thns luvun δ siten, että x < δ = f(x) f() < ε, niin voitn j funktio on jtkuv pisteessä. Jos ts löytyy yksikin sellinen ε > 0, jolle f(x) f() ε vikk x olisi miten pieni thns, niin häviän j funktio on epäjtkuv pisteessä. Ide käy hyvin ilmi esimerkiksi verkkoluennost Lecture 7: Limits osoitteess Esimerkki 4.3. Todistetn, että funktio f : R R, f(x) = x 2, on jtkuv mielivltisess pisteessä x 0 R. Olkoon ε > 0 nnettu. Hlutn voimn epäyhtälö f(x) f(x 0 ) < ε, 27

28 Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt joten kirjoitetn sitä uki: f(x) f(x 0 ) < ε x 2 x 2 0 < ε (x x 0 )(x + x 0 ) < ε x x 0 x + x 0 < ε. Viime kädessä hlutn siis löytää luku δ > 0 siten, että x x 0 < δ = x x 0 x + x 0 < ε. Nyt x x 0 < δ = x x 0 x + x 0 < δ x + x 0, (4.1) joten riittäisi jos δ < ε x + x 0. Tässä on kuitenkin ongelmn, että etsitty luku δ s riippu vin luvust ε j pisteestä x 0, ei pisteestä x. 1 Siten on vielä rvioitv termiä x + x 0. Kolmioepäyhtälön mukn x x 0 x + x 0, j termiä x (pisteen x etäisyys origost) voi rvioid käyttämällä tieto x x 0 < δ (pisteen x etäisyys pisteestä x 0 on enintään δ). Jos x 0 0 j δ < x 0, niin x x 0 < δ = x < 2 x 0. Sijoittmll yhtälöön (4.1) sdn x x 0 < δ = x x 0 x + x 0 < δ x + x 0 δ( x + x 0 ) < 2δ x 0, jolloin etsityksi luvuksemme δ kelp mikä thns epäyhtälön δ < ε 2 x 0 toteuttv luku, esimerkiksi δ = ε/(4 x 0 ). Tehtävä 4.4. Todist, että funktio f(x) = x 2 on jtkuv pisteessä x 0 = 0. Usein funktion määrittelyjoukko A on jokin väli. Tällöin jtkuvuutt voidn tutki määritelmän vull myös väliin kuuluvss päätepisteessä; ehto x A on olenninen. Jos f on jtkuv jokisess määrittelyjoukkons pisteessä, niin se on jtkuv joukoss A (ti lyhyesti: jtkuv). 1 Vert lukujonon rj-rvon määritelmään ll: etsitty indeksi N ei s oll funktio N(n). 28

29 Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt Funktion jtkuvuus voidn määritellä myös jonojen vull. 2 Funktio f : A R on jtkuv pisteessä A täsmälleen silloin, kun lim f( n) = f( lim n) n n kikill jonoill { n } n=0 A, joille lim n n =. Edellä jonon { n } n=0 rj-rvo määritellään seurvsti: lim n n = täsmälleen silloin, kun jokiselle ε > 0 löytyy N N siten, että n N = n < ε. (GeoGebr-pplet: Määrittelyjoukoissn jtkuvi funktioit ovt esim. polynomit rtionlifunktiot juurifunktiot: f(x) = x p/q, kun x 0 trigonometriset funktiot jtkuvien funktioiden summt, tulot j osmäärät jtkuvien funktioiden yhdistetyt funktiot. 4.2 Jtkuvien funktioiden ominisuuksi Määritelmä 4.5. Olkoon f : A R. Funktioll f on mksimi eli suurin rvo pisteessä 0 A, jos f() f( 0 ) kikill A. Vstvsti f:llä on minimi eli pienin rvo pisteessä 1 A, jos f() f( 1 ) kikill A. Muuttujn rvot 0 j 1 ovt funktion f äärirvokohti. Funktion rvot f( 0 ) j f( 1 ) ovt funktion äärirvot. Luse 4.6 (Weierstrss). Suljetull välillä määritellyllä jtkuvll funktioll on mksimi j minimi joisskin välin pisteissä. 2 Jonoist lisää luvuss X. 29

30 Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt Luse 4.7 (Jtkuvien funktioiden välirvoluse). Suljetull välillä I määritelty jtkuv funktio s kikki rvot, jotk ovt sen minimin j mksimin välissä. Toisin snoen: funktion rvojoukko f[i] on myös väli. Tässä muodoss väite pätee myös voimille ti puolivoimille väleille I (jolloin mksimi ti minimiä ei in ole). Erityisesti: Jos f : [, b] R on jtkuv j f()f(b) < 0, niin funktioll f on nollkoht voimell välillä ], b[. Näitä sioit käsitellään yleisemmin kurssill MS-C1540 Euklidiset vruudet, joss ne myös todistetn. 4.3 Funktion rj-rvo Jos A R j f : A R, niin f:n käyttäytymistä pisteen x 0 R lähellä voidn tutki myös funktion rvost f(x 0 ) välittämättä; ei edes trvitse oll x 0 A. Funktion rj-rvo voidn kuitenkin määritellä vin sellisiss pisteissä x 0 R, joille jokinen väli [x 0 δ, x 0 + δ] sisältää äärettömän mont joukon A pistettä, vikk δ > 0 olisi kuink pieni thns. (Tällisi pisteitä x 0 kutsutn joukon A ksutumispisteiksi.) Määritelmä 4.8. Funktioll f : A R on rj-rvo L pisteessä x 0 R, jos pätee: Jokist ε > 0 vst sellinen δ > 0, että f(x) L < ε in kun x A j 0 < x x 0 < δ. Tällöin merkitään lim f(x) = L. x x 0 Huomio 4.9. Ehdon 0 < x x 0 ino trkoitus on rjt mhdollinen funktion rvo f(x 0 ) pois käsittelystä; ts. ehto tutkitn vin tpuksess x x 0. Vstvll tvll sdn myös toispuoleiset rj-rvot lim f(x) j lim x x 0 + f(x), x x 0 kun epäyhtälö 0 < x x 0 < δ korvtn epäyhtälöllä 0 < x x 0 < δ ti 0 < x 0 x < δ. Nämä voidn tulkit myös tvllisen rj-rvon eri- 30

31 Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt koistpuksin, kun funktion määrittelyjoukoksi muutetn A ]x 0, [ ti A ], x 0 [. Tällöin on voimss: Rj-rvo on olemss täsmälleen silloin, kun lim f(x) = L x x 0 lim f(x) = lim f(x) = L. x x 0 + x x 0 Funktion rj-rvo toteutt seurvt lskusäännöt: Jos niin lim f(x) = j x x 0 lim (f(x) + g(x)) = + b, x x 0 lim g(x) = b, x x 0 lim f(x)g(x) = b, x x 0 f(x) lim x x 0 g(x) = b ; viimeisen kohdll täytyy olett b 0 (jolloin g(x) 0 josskin pisteen x 0 ympäristössä). Jos funktion määrittelyjoukko on väli, niin jtkuvuus pisteessä x 0 M f on yhtäpitävää sen knss, että lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Jos f : A R on jtkuv, x 0 A j lim x x0 f(x) = L, niin voidn määritellä uusi funktio f : A R, A = A {x 0 }, settmll f(x), kun x A, f(x) = L, kun x = x 0. Tällöin f on jtkuv. Usein merkitään hiukn epätäsmällisesti f = f. Tyypillinen esimerkki: sin x x f(x) =, x 0, 1, x = 0, on jtkuv koko relikselill. Myös seurvt käsitteet voidn määritellä täsmällisesti: lim f(x) = ±, x x 0 lim f(x) = L, lim x ± f(x) = ±, jne. x ± 31

32 Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt Esimerkiksi lim f(x) =, x x 0 jos pätee: Jokist M R vst sellinen δ > 0, että f(x) > M in kun x A j 0 < x x 0 < δ. 4.4 Derivtt Määritelmä j perusominisuudet Erilisi lähestymistpoj: geometrinen (käyrän tngentti seknttien rj-senton) ti fysiklinen (jst riippuvn funktion hetkellinen muutosnopeus). Funktio f määritelty josskin pisteen x 0 R ympäristössä; sen derivtt on f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) lim = lim, h 0 h x x 0 x x 0 jos rj-rvo olemss. Funktio on derivoituv, jos sillä on derivtt jokisess määrittelyjoukon (= voin väli) pisteessä. Merkintöjä: f (x) = Df(x) = df dx. Derivtn määritelmä joht pproksimtioon f (x 0 ) f(x) f(x 0) x x 0 f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Oiken puoleinen luseke on funktion f linerisointi eli differentili pisteessä x 0. Sille käytetään merkintää df. Linerisoinnin kuvj y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) on funktion kuvjn pisteeseen (x 0, f(x 0 )) setettu tngenttisuor. Fysiklinen tulkint: x = x(t) kppleen yksiulotteisen liikeen pikkkoordintti hetkellä t, sen hetkellinen nopeus on v(t) = x (t) = ẋ(t). Näistä viimeinen on tvllinen merkintä fysiikss. Lskusääntöjä: Linerisuus 32

33 Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt D(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) D(cf(x)) = cf (x), kun c R on vkio Tulon derivoimissääntö D(f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Osmäärän derivoimissääntö ( ) f(x) D = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) g(x) 2 Yhdistetyn funktion derivoiminen (Chin Rule = ketjusääntö; nimen tust liittyy osittisderivttoihin, joist lisää kurssill Differentilij integrlilskent 2) D(f(g(x)) = f (g(x))g (x) Eräitä derivttoj: D(vkiofunktio) = 0, D(x r ) = rx r 1, r 0, D(sin x) = cos x, D(cos x) = sin x Välirvoluse: Olkoon f : [, b] R jtkuv j lisäksi derivoituv välillä ], b[. Tällöin on olemss sellinen piste c ], b[, että f (c) = f(b) f(), ts. f(b) f() = f (c)(b ). b Seurus: Jos f (x) = 0 kikiss voimen välin pisteissä x, niin funktio f on vkio tällä välillä Seurus: Jos f (x) 0 jollkin välillä, niin f on ksvv; jos f (x) 0 jollkin välillä, niin f on vähenevä Jos edellisen kohdn lisäksi f (x) = 0 inostn yksittäisissä pisteissä, niin f on idosti ksvv/vähenevä. Esim: f(x) = x 3. 33

34 Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt L Hôpitlin sääntö Rj-rvojen lskeminen derivtn vull; erilisi versioit mm. tyyppiä "0/0" ti " / " oleville rj-rvoille; myös toispuoleisille. Tärkein tpus: Oletetn, että f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0 j funktiot f, g ovt derivoituvi. Jos on olemss, niin Todistus: Tylor! (Luennoll.) f (x) lim x x 0 g (x) f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) Äärirvotehtävät Pikllinen äärirvo = pikllinen mksimi ti minimi; voi esiintyä myös määrittelyvälin päätepisteessä. Pikllinen äärirvo voi tull (i) derivtn nollkohdss (ii) määrittelyvälin päätepisteessä, ti (iii) kohdss joss funktio ei ole derivoituv. Jos tiedetään etukäteen, että funktioll on mksimi/minimi, niin etsitään kikki mhdolliset piklliset äärirvokohdt (vrt. edellinen), lsketn niissä funktion rvot j vlitn näistä suurin/pienin Kuperuus, toiset derivtt j äärirvotehtävät Kuper eli konveksi lue D R 2 : jos x, y D, niin myös niiden välinen yhdysjn [x, y] D Välillä I R määritelty funktio on konveksi, jos sen kuvjn yläpuolinen tsolue on konveksi; tähän riittää se että kuvjlle piirretyt sekntit ovt in kuvjn yläpuolell, kvn f((1 t)x + ty) (1 t)f(x) + tf(y) kikill x, y I j kikill t [0, 1]. Erityisesti: jos f (x) 0 koko välillä, niin f on konveksi 34

35 Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt Funktion käännepiste: koht, joss kuvjll on tngentti j funktion kuperuussuunt vihtuu. Esimerkiksi, jos f (x) viht merkkiä. Kuperuutt tutkimll päädytään seurvn tulokseen: jos funktion f derivtn nollkohdss x 0 on f (x 0 ) < 0, niin kyseessä on pikllinen mksimi; jos f (x 0 ) > 0, niin kyseessä on pikllinen minimi. Tpuksess f (x 0 ) = 0 tilnnett täytyy tutki trkemmin (esimerkiksi korkemmn kertluvun derivttojen vull) Linerisointi j Newtonin menetelmä Funktion f ensimmäisen steen Tylor-polynomi pisteessä x 0 kehitettynä, P 1 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), kutsutn funktion f linerisoinniksi pisteen x 0 ympäristössä (ti pisteen x 0 suhteen usein jop pisteessä x 0, vikk oikestn se trkoittisi luku P 1 (x 0 ) = 0). Sitä voidn käyttää erilisiss rvioiss j numeerisiss menetelmissä. Newtonin menetelmä: Yhtälö f(x) = 0 rtkistn likimääräisesti vlitsemll lkupiste x 0 (esimerkiksi kuvion perusteell) j määrittelemällä x n+1 = x n f(x n) f (x n ), kun n = 0, 1, 2,... Näin sdn lukujono (x 0, x 1, x 2,... ), jonk termit yleensä ntvt yhä prempi likirvoj funktion f nollkohdlle. Plutuskv perustelln geometrisesti etsimällä funktion nollkoht sen linerisoinnin (tngenttipproksimtion) vull. Esimerkki Tehdään verkkoluennon Lecture 12: Lineriztion (https: //clss.courser.org/clcsing-005/lecture/preview) kohdss 13:45 esiintyvä esimerkki MATLAB R -ohjelmll. formt long; % riittävästi desimlej epsilon = 1e-12; % virherjksi 12 desimlin trkkuus err = 1; % lustetn muuttuj virheelle 35

36 Rj-rvo, jtkuvuus, derivtt = 100; % hluttiin luvun 100 kuutiojuuri prev = 5; % lkurvus = "edellinen" rvo k = 0; % montko itertiot on tehty kmx = 25; % montko itertiot enintään tehdään while err > epsilon & k < kmx % kunnes virherj littuu ti itertiomäärä täyttyy: k=k+1; % päivitetään itertiolskuri next = prev - (prev^3 - )/(3*prev^2); % newtonin menetelmän kv err = bs(next-prev); % virhe = edellisen j nykyisen rvon erotuksen itseisrvo puse(1); % sekunnin tuko disp(next); % näytetään nykyinen rvo prev = next; % setetn nykyinen rvo edelliseksi end % siirrytään tkisin while-testiin. Hluttu trkkuus svutetn hyvin nopesti. 36

37 5. Integrli Huomio 5.1. Tässä luvuss integrlill trkoitetn määrättyä integrli. Määräämätöntä integrli (ti integrlifunktiot) kutsutn ntiderivtksi. 5.1 Antiderivtt Määritelmä 5.2. Derivoituv funktio F : R R on funktion f : R R ntiderivtt, jos F (x) = f(x) kikill x R. Huomio 5.3. Kirjoitmme f : R R trkoittmn relimuuttujn relirvoist funktiot; trkempi määrittelyjoukkojen trkstelu sivuutetn. Luse 5.4. Antiderivtt on vkio ville yksikäsitteinen. Todistus. Jos F 1 (x) = F 2 (x) = f(x) kikill x R, niin d ( F1 (x) F 2 (x) ) = f(x) f(x) = 0 dx kikill x, joten F 1 (x) F 2 (x) = C = vkio, ts. F 1 (x) = F 2 (x) + C. Huomio 5.5. Jos funktio F on funktion f ntiderivtt, niin merkitään f(x) dx = F (x) + C eli merkintä f(x) dx sisältää kikki vkiot. Esimerkki 5.6. kikill r R, r 1. x r dx = xr+1 r C 37

38 Integrli Esimerkki 5.7 (muuttujnvihto). Lsketn integrli x sin(x 2 ) dx. Merkitään u = x 2, jolloin du dx = 2x eli x dx = 1 du. Siten 2 x sin(x 2 ) dx = sin(x 2 )x dx = 1 sin u du 2 = 1 2 cos u + C = 1 2 cos(x2 ) + C. Tehtävä 5.8. Lske e x 1 + e x dx. Huomio 5.9. Kikill jtkuvill funktioill on integrlifunktio, mutt sitä ei in void esittää lkeisfunktioiden vull, vikk f olisi lkeisfunktio; esim. f(x) = e x2 5.2 Differentiliyhtälöitä Esimerkissä 5.7 esiintyviä termejä dx j du kutsutn differentileiksi j niillä voidn (useimmiten) lske kuten luvuill. Trkemmin, ks. Clculus Fennicus? Ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälöt Linerinen differentiliyhtälö y + (x)y = r(x), joss (x) j r(x) ovt jollkin voimell välillä jtkuvi funktioit. Rtkisu sdn kertomll yhtälö puolittin integroivll tekijällä e A(x), joss A (x) = (x). Yleiseksi rtkisuksi sdn y(x) = Ce A(x) + e A(x) e A(x) r(x) dx, joss C on vkio. Seproituv differentiliyhtälö y = f(x)g(y) voidn rtkist muuntmll se muotoon j integroimll. dy = f(x) dx g(y) Differentiliyhtälöistä on erillinen moniste, joss rtkisumenetelmiä selitetään trkemmin. 38

39 Integrli Toisen kertluvun linerinen differentiliyhtälö Toisen kertluvun linerinen j vkiokertoiminen differentiliyhtälö on muoto y + py + qy = r(x), joss p, q ovt vkioit j r(x) on (inkin ploittin) jtkuv funktio. Differentiliyhtälö on homogeeninen, jos r(x) = 0 kikill x; muuss tpuksess se on epähomogeeninen. Yhtälön rtkisumenetelmä on esitetty erillisessä monisteess. 5.3 Integrlin määritelmä Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm n S = M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k }, j lsumm s = Ain pätee: (i) s S, k=1 n m k (x k x k 1 ), m k = min{f(x) x k 1 x x k }. k=1 (ii) Kun jko tihenee, niin s ksv j S pienenee. Funktio f on integroituv välillä [, b], jos jokist ε > 0 vst sellinen jko, joss S s < ε. Funktion f integrli I R on tällöin se yksikäsitteinen luku, jolle s I S kikiss joiss; merkitään b f(x) dx = I. 39

40 Integrli Pätee: integrli on määritelty kikille jtkuville funktioille j se voidn lske rj-rvon n lim f(x k ) x n k=1 käyttämällä tsvälisiä jkopisteitä x k = + k x, joss x = (b )/n on skelpituus j 0 k n. Määritelmä yleistyy myös ploittin jtkuville funktioille (j vieläkin yleisempään tilnteeseen) Sopimus: f(x) dx = 0, b f(x) dx = b f(x) dx 5.4 Integrlin ominisuuksi Linerisuus: j (i) b b b (c 1 f(x) + c 2 g(x)) dx = c 1 f(x) dx + c 2 g(x) dx (ii) b f(x) dx = c f(x) dx + b kikill, b, c järjestyksestä riippumtt. Lisäksi (iii) f(x) g(x) b f(x) dx c b Erityisesti ±f(x) f(x), joten b b f(x) dx f(x) dx Keskirvoperite: jos f on jtkuv, niin toisin snoen b f(c) = 1 b f(x) dx g(x) dx f(x) dx = f(c)(b ) jollkin c [, b], b f(x) dx = funktion f keskirvo välillä [, b] Anlyysin perusluse: Jos f : [, b] R on jtkuv, niin kikill x (, b). d dx x f(t) dt = f(x) 40

41 Integrli Seurus: Jos F (x) = f(x) kikill x, ts. F on funktion f ntiderivtt, niin b f(x) dx = b F (x) = F (x) x=b x= = F (b) F (). 5.5 Epäoleellinen integrli Kksi eri perustyyppiä: Tyyppi I: Integroimisvälinä [, [ ti ], b] ti koko R Tyyppi II: Funktio f : ], b[ R ei ole rjoitettu ti sillä ei ole toispuoleisi rj-rvoj päätepisteissä Tyyppi I: Esim. f : [, [ R jtkuv. Tällöin f(x) dx = lim R jos rj-rvo olemss j äärellinen. R f(x) dx, Jos f : R R jtkuv, niin f(x) dx = 0 f(x) dx + 0 f(x) dx, jos molemmt oiken puolen integrlit suppenevt Jos f(x) 0 kikill x R, niin pätee f(x) dx = lim R R R f(x) dx Tyyppi II: poistetn ongelmkoht j tutkitn rj-rvon; esim. f : ], b] R jtkuv, mutt sillä ei äärellistä rj-rvo, kun x +. Tällöin b b f(x) dx = lim f(x) dx, ε 0+ +ε jos rj-rvo on olemss j äärellinen. Tällöin snotn: epäoleellinen integrli suppenee; muuten se hjntuu. Jos ongelmi molemmiss päätepisteissä ti välin sisällä, jetn [, b] niin moneen osn, että kusskin osss vin yksi ongelmkoht: vditn, että jokinen erikseen nt äärellisen tuloksen, jolloin koko integrli = osien summ 41

42 Integrli 5.6 Integroimismenetelmiä Integrointi on usein vike: vikk kikill jtkuvill funktioill on integrlifunktio, sen määrittäminen lkeisfunktioiden vull on usein hnkl ti mhdotont. Joissin tpuksiss niin voidn kuitenkin tehdä; ll tärkeimmät menetelmät, joill on myös teoreettist rvo Osittisintegrointi Osittisintegrointi: b ti ilmn rjoj f (x)g(x) dx = / b f(x)g(x) f (x)g(x) dx = f(x)g(x) b f(x)g (x) dx f(x)g (x) dx Sijoitusmenetelmä Sijoitusmenetelmä: b f(g(x))g (x) dx = Käytännössä: Sijoitus u = g(x), jolloin g(b) g() f(u) du du dx = g (x) du = g (x) dx Rjojen muutos: x = u = g(), x = b u = g(b) Muunnos voidn kirjoitt myös käänteisfunktion vull: x = g 1 (u) dx = (g 1 ) (u) du = (1/g (x)) du, joten tulos on sm kuin ikisemmin Osmurtohjotelm Osmurtohjotelm: Rtionlifunktiot voidn integroid hjottmll ne yksinkertisempiin osiin. Tyypillinen esimerkki:, b R vkioit, x + b (x 1)(x 2) = A x 1 + B x 2, joss kertoimet A, B sdn selville kertomll puolittin lusekkeell (x 1)(x 2) j sijoittmll vuorotellen x = 1 ti x = 2. 42

43 Integrli Toinen tp: verrtn x-termien kertoimi yhtälön eri puolill. Tämän vull voidn lske x + b dx = A ln x 1 + B ln x 2 + C (x 1)(x 2) 5.7 Integroinnin sovelluksi Jos f(x) 0, niin b f(x) dx on funktion kuvjn j x-kselin rjoittmn tsolueen pint-l välillä [, b] Yleisemmin: jos 0 g(x) f(x), niin b (f(x) g(x)) dx on kuvjien y = f(x) j y = g(x) väliin jäävän lueen pint-l Funktion kuvjn y = f(x) krenpituus välillä [, b] on l = b 1 + f (x) 2 dx Kun funktion f kuvj y = f(x) pyörähtää x-kselin ympäri, niin sdun pyörähdyspinnn pint-l on A = 2π b f(x) 1 + f (x) 2 dx Jos kpplett leiktn yz-tson suuntisell tsoll kohdss x j poikkileikkuksen pint-l on A(x), kun x [, b], niin kppleen tilvuus on V = b A(x) dx. Kun funktion f kuvj y = f(x) pyörähtää x-kselin ympäri, se rj pyörähdyskppleen, jonk tilvuus on V = π b f(x) 2 dx Yleisemmin: Jos 0 g(x) f(x) j kuvjien y = g(x) j y = f(x) välinen lue pyörähtää x-kselin ympäri, niin sdun kppleen tilvuus on V = π b (f(x) 2 g(x) 2 ) dx Huom: Tulos ei ole sm kuin π b (f(x) g(x))2 dx 43

44 Integrli Kun käyrä y = f(x) pyörähtää y-kselin ympäri, niin vstv tilvuus on V = 2π b xf(x) dx Numeerinen integrointi (Ks. verkkoluento 49: Numericl Integrtion.) Numeerinen integrointi: Yksinkertisin tp on puolisuunniks- eli trpetsisääntö: b ( 1 f(x) dx T n = h 2 f(x 0) + f(x 1 ) + f(x 2 ) + + f(x n 1 ) + 1 ) 2 f(x n), joss h = (b )/n on skelpituus, n N jkovälien lukumäärä j x k = + kh, 0 k n, ovt jkopisteet. Prempi pproksimtio on Simpsonin sääntö b f(x) dx S n = h 3 (f(x 0)+4f(x 1 )+2f(x 2 )+4f(x 3 )+2f(x 4 )+ +4f(x n 1 )+f(x n )), joss funktiot interpoloidn 2. steen polynomill khdell peräkkäisellä jkovälillä; luvun n täytyy oll prillinen. Esimerkki Tiedetään, että dx = ln 2 = 0, x Lsketn sm integrli numeerisesti trpetsoidimenetelmällä. Kirjoitetn seurv MATLAB R -koodi skriptiksi ( New Script ) j tllennetn nimellä trpez.m. function I=trpez(f,,b,n) h=(b-)/n; y=0;x=; for i=1:(n-1) % kikki pitsi päätepisteet x=x+h; y=y+f(x); % korkeudet summtn muuttujn y end I=h*((f()+f(b))/2+y) % päätepisteet lisätään 44

45 Integrli Skripti tllennetn in smll nimellä kuin function-määrittely. Esimerkiksi edellä tllennetn nimellä trpez.m, kosk määrittely on trpez(f,,b,n). Kun skripti on tllennettu selliseen hkemistoon, jost MATLAB R sen löytää (ks. pth-komento), niin skriptiä voidn kutsu komennoll trpez. Määritellään ensin komentorivillä nonyymi funktio 1 f(x) = 1/x komentmll Pistettä ennen jkoviiv trvitn erottmn pisteittäinen jkolsku mtriisijkolskust. Tämän jälkeen komennetn esimerkiksi >> formt long >> trpez(f,1,2,16) ns = j huomtn, että 16:ll jkovälillä pproksimtio on kolmen desimlin trkkuudell oikein. Esimerkki Korvtn edellisessä esimerkissä trpetsoidimenetelmä Simpsonin menetelmällä. Tällöin tllennetn skripti function I = simpson(f,,b,n) h=(b-)/n; k=:h:b; I=h/3*(f()+2*sum(f(k(3:2:end-2)))+4*sum(f(k(2:2:end)))+f(b)) nimellä simpson.m, komennetn esimerkiksi >> simpson(f,1,2,4) ns = Google: nonymous function mtlb 45

46 Integrli j huomtn, että jo neljällä jkovälillä Simpsonin menetelmä nt trkemmn pproksimtion kuin trpetsoidimenetelmä 16:ll jkovälillä. 46

47 6. Srjteori 6.1 Tylor-srjn pluu Edellä minitut numeerisen integroinnin menetelmät ovt käteviä erityisesti mittusdtn käsittelyssä, kun integroitvn funktion lusekett ei ole olemsskn. Teoreettisiss trksteluiss luseke on usein olemss, mutt integrli ei void lske suljetuss muodoss, kosk funktioll ei ole ntiderivtt. Tällöin voidn edellä minittujen menetelmien lisäksi käyttää Tylor-pproksimtioon pohjutuv menetelmää. Todistetn ensin Tylor-pproksimtion trkempi versio, joss pproksimtion virhe otetn huomioon. Luse 6.1. Jos funktio f on n + 1 kert derivoituv j derivtt f (n+1) on integroituv pisteen ympäristössä, niin pätee missä f(x) = Pf n (x; ) + En f (x; ), P n f (x; ) = f() + n k=1 f (k) () (x ) k k! on funktion f steen n Tylor-polynomi pisteen ympäristössä j x Ef n (x; ) = (x t) n f (n+1) (t) dt (6.1) n! on steen n Tylor-pproksimtion virhe. Todistus. Anlyysin perusluse snoo f(x) = f() + Käytetään osittisintegrointi termiin u = f (t), x x f (t) dt. (6.2) dv = dt, f (t) dt: setetn 47

48 Srjteori jost du = f (t) dt, v = t j sdn x f (t) dt = Anlyysin perusluse snoo t=x t= [ tf (t) ] x tf (t) dt = xf (x) f () f (x) = f () + x j sijoittmll tämä yhtälöön (6.3) sdn x f (t) dt = f ()(x ) + Siten yhtälö (6.2) s muodon f(x) = f() + f ()(x ) + x f (t) dt, x x Jtketn osittisintegrointi yhtälön (6.4) termiin (x t)f (t) dt: setetn jost j x (x t)f (t) dt = u = f (t), dv = (x t) dt, du = f (3) (x t)2 (t) dt, v = 2 t=x t= Siten yhtälö (6.4) s muodon [ (x t) 2 2 = f () (x ) tf (t) dt. (x t)f (t) dt. (6.3) (x t)f (t) dt. (6.4) f (t) ] x + x f(x) = f() + f ()(x ) + f () (x ) x (x t) 2 f (3) (t) dt 2 (x t) 2 f (3) (t) dt. 2 x Jtketn osittisintegrointi yhtälön (6.5) termiin nt u = f (3) (t), dv = x (x t) 2 2 (x t)2 2 (x t) 2 f (3) (t) dt. (6.5) 2 x (x t) 2 f (3) (t) dt: 2 dt, du = f (4) (x t)3 (t) dt, v = 3! f (3) (t) dt = f (3) () x (x ) 3 + 3! (x t) 3 f (4) (t) dt, 3! j jtkmll osittisintegrointi (induktio) yhtälö (6.5) s muodon n f (k) () x f(x) = f() + (x ) k (x t) n + f (n+1) (t) dt. k! n! k=1 48

49 Srjteori Luse 6.2. Jos funktio f on n + 1 kert derivoituv j derivtt f (n+1) on jtkuv pisteen ympäristössä, niin virhetermille Ef n (x; ) pätee Ef n (x; ) f (n+1) (c) x n+1 n! jollekin c, jok on pisteiden j x välissä. Todistus. Soveltmll integrlilskennn välirvolusett virhetermiin (6.1) sdn E n f (x c)n (x; ) = f (n+1) (c)(x ) n! jollekin c, jok on pisteiden j x välissä. Kosk x c x, niin E n f x c n (x; ) = f (n+1) (c) x n! x n f (n+1) (c) x = f (n+1) (c) x n+1. n! n! Esimerkki 6.3. Lsketn e x2 0 dx siten, että virhe on pienempi kuin Funktion e x potenssisrjesitys origon ympäristössä on missä e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! xn n! + E n(x), E n (x) e c (n + 1)! xn+1 jollekin 0 < c < x. (Oikell puolell ei trvit itseisrvoj, kosk x > 0 j e c > 0.) Kun edellä sijoitetn x:n piklle x 2, sdn missä e x2 = 1 + x 2 + x4 2! + x6 3! x2n + E n (x 2 ), n! E n (x 2 ) e c (n + 1)! x2(n+1) j 0 < c < x 2. (Oltisiin voitu merkitä myös e c2, 0 < c < x.) Edelleen = e x2 dx ) (1 + x 2 + x4 2! + x6 3! x2n n! dx E n (x 2 ) dx. Ensimmäinen os on helppo integroid, j kysymys kuuluukin: miten suuri on luvun n oltv, jott jälkimmäinen integrli on itseisrvoltn korkeintn 10 4? Tässä 1 0 E n (x 2 ) dx e c (n + 1)! 1 0 x 2(n+1) dx = e c (n + 1)!(2n + 3). 49

50 Srjteori Kosk 0 x 1, kosk 0 < c < x 2 1 j kosk eksponenttifunktio on ksvv, pätee e c e 1 3. Siten 1 0 E n (x 2 ) dx 3 (n + 1)!(2n + 3), jok (kokeilemll) on pienempi kuin 10 4 silloin, kun n 6. Siispä 1 1 ) e x2 dx (1 + x 2 + x4 2! + x6 3! + x8 4! + x10 + x12 dx 5! 6! 0 0 =... 1, hlutun virherjn sisällä. 6.2 Srjn suppeneminen Tässä kppleess määrittelemme trksti srjn j sen suppenemisen. Srj määritellään lukujonon vull; lukujonoist ks. Liite. Lukujonost ( n ) n N voidn muodost sen ossummien jono (s n ): n s 1 = 1, s 2 = 1 + 2, s 3 = ,..., s n = k. Jos ossummien jonoll (s n ) on rj-rvo s R, niin snotn, että jonost ( k ) muodostettu srj suppenee j sen summ on s. Tällöin merkitään k = s. k=1 Jos srj ei suppene, niin se hjntuu. k=1 Huomutuksi: Ossummt indeksöidään smll tvll kuin jono ( k ); esim. jonon ( k ) k=3 ossummt ovt s 3 = 3, s 4 = jne. Suppenevn srjn voidn tehdä summusindeksin siirtoj: esim. k = k+1 = k 1. k=1 k=0 k=2 Geometrinen srj summ on q k suppenee, jos q < 1 (ti = 0), jolloin sen k=i qi. Jos q 1, niin srj hjntuu. 1 q 50

51 Srjteori Suppenevien srjojen ominisuuksi: k=1 ( k + b k ) = k=1 k + k=1 b k k=1 (c k) = c k=1 k, jos c R jos k=1 k suppenee, niin lim k k = 0; ts. jos lim k k 0, niin srj k=1 k hjntuu. Esimerkki. Hrmoninen srj k=1 hjntuu, vikk srjn yleisen termin rj-rvo on noll. PERUSTELU. Srjn khdelle peräkkäiselle termille pätee 1 k 1 k k > 1 k + 1 k = 2 k kikill k 2. Ryhmitellään ossummn s 2n kksi peräkkäistä termiä yhteen toisest prist lken. Näin sdn s 2n = n n = ( ) ( ) ( n ) 2n > n = n = s n + 1 2, kun n 2. Jos srj suppenee kohti reliluku, niin yllä olevn perusteell ( = lim s 2n lim s n + 1 ) = + 1 n n 2 2, jok on ristiriit. Srj hjntuu siis kohti ääretöntä. Huom: Kosk s 1 myös perinteinen rvio = 1, niin yllä olevst epäyhtälöstä seur suorn s 2 n 1 + n 2, jok yleensä perustelln ryhmittelemällä srjn termit luvun 2 potenssien kokoisiin ryhmiin. Molemmt epäyhtälöt voidn todist myös induktioll, kunhn vin ensin keksitään epäyhtälön oike muoto. 51

52 Srjteori 6.3 Positiiviset srjt Srj k=1 p k on positiivinen (ti positiiviterminen), jos p k 0 kikill k. Positiivisille srjoille suppenemisen tutkiminen on suorviivist: Positiivinen srj suppenee täsmälleen silloin, kun sen ossummien jono on ylhäältä rjoitettu. Syy: Positiivisen srjn ossummien jono on nousev Suppenemistestejä positiivisille srjoille Ns. mjorntti- j minornttiperitteet: Jos 0 k b k j b k suppenee, niin myös k suppenee. Jos 0 b k k j b k hjntuu, niin myös k hjntuu. Käytännössä tärkein tp suppenemisen tutkimiseen perustuu ns. suhdetestiin, joss srjn termejä verrtn sopivn geometriseen srjn: Jos jostkin indeksistä lken on voimss k+1 k Q < 1, niin srj k suppenee (j "suppenemisnopeus" vst geometrist srj Q k ti on vieläkin suurempi). Edellisen kohdn käytännöllisempi versio on: k+1 Jos on olemss rj-rvo lim = q, niin k k suppenee, jos 0 q < 1, srj k hjntuu, jos q > 1, voi oll suppenev ti hjntuv, jos q = 1. Viimeisessä kohdss ei siis sd mitään tieto suppenemisest. 52

53 Srjteori 6.4 Vihtuvmerkkiset srjt Srj k suppenee itseisesti, jos vstv positiivinen srj k k=1 suppenee. k=1 Pätee: srjn itseisestä suppenemisest seur sen tvllinen suppeneminen, j tällöin k k=1 k. Vihtuvmerkkisten srjojen suppenemist siis tutkitn tutkimll srjn termien itseisrvoist muodostetun positiivisen srjn suppenemist edellisen kppleen testeillä. k= Vuorottelevt srjt Jos p k > 0 kikill k, niin muoto ( 1) k+1 p k k=1 olev srj on vuorottelev. ti ( 1) k p k k=1 Suhdetestin lisäksi vuorottelevn srjn suppenemist voidn tutki Leibnizin luseen vull: Jos vuorottelevss srjss k=1 ( 1)k+1 p k pätee (i) p k+1 < p k, j (ii) lim p k = 0, niin srj suppenee. Jos lisäksi srj ktkistn kohdst n, niin vstvlle jäännöstermille on voimss r n+1 < p n+1. r n+1 = s s n = k=n+1 ( 1) k+1 p k ( 1) k+1 Leibnizin luseen perusteell esim. srj k k=1 ikisemmn perusteell se ei suppene itseisesti. suppenee, vikk 53

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (DRAFT) Differentili- j integrlilskent 1 Hrri Vrpnen October 16, 2015 2 Esipuhe Tätä monistett on kirjoitettu Alto-yliopiston mtemtiikn j systeeminlyysin litoksen syksyn 2015 periodin I kursseill MS-A0103

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto.9.26 Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat / Jonot / 200. jossa / 200 MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle,

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia MS-AX Di erentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. Sisältö Nämä klvot sisältävät otsikoss

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita: 12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2. Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 10 MAA10 ratkaisut kertausharjoituksiin Ludtur MAA rtkisut kertushrjoituksiin Integrlifunktio. ) Jokin integrli funktio on esimerkiksi F( ) b) Kikki integrlifunktiot F( ) + C, missä C on vkio Vstus: ) F( ) b) F( ) + C, C on vkio. Kikki integrlifunktiot

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014 Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi! MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Integrointi Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) derivtt on f (x), niin funktion f (x) integrli on F(x). Täten, kosk esimerkiksi funktion x + e x derivtt

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 Perustehtäviä Tehtävä 1. Tuti seurvien funtiojonojen (f (x)) suppenemist. pisteittäistä j tsist 1. f (x) = cos x, x R. f (x) = 1 1+x, x R 3.

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä

Lisätiedot