PUOMIN NOSTOLIIKKEEN MALLINNUKSESTA

Transkriptio

1 PUOMIN NOSOLIIKKEEN MALLINNUKSESA H. MARJAMÄKI, J. MÄKINEN amperee ekillie yliopiso PL 589, 33 AMPERE s-posi: s-posi: IIVISELMÄ Koeerakeuksessa käyeää rusaasi osopuomeja, joide osoliike saadaa aikaa hydraulisylierillä. ässä yössä esieää kolme vaihoehoisa malliusapaa liikkee aikaasaamiseksi. Malliusava perusuva epälieaarise elemeimeelmä käyöö. Esimmäisessä avassa puomi liike oeaa huomioo holoomisa rajoieyhälöä käyäe. Rajoieyhälössä o aeu hydraulisylieri kiiiyssilmukoide eäisyys aja fukioa. oisessa avassa hydraulisylieri liike o mallieu käyäe piuuaa muuavaa sauvaelemeiä. Kolmaessa avassa puomi liike aikaasaadaa malliamalla hydraulisylieri liike esimmäise keraluvu differeiaaliyhälöä, jolloi ilamuuujia o mekaaise järjeselmä siirymie lisäksi hydraulisylieri kammiopaiee. Syyvä kykey hydromekaaie ehävä rakaisaa yheäiseä eli mooliiisea järjeselmää, jolloi o oeu huomioo mekaaise ja hydraulise järjeselmä vuorovaikuukse. Laskeamalli dyaamie vase laskeaa Newmarki aikaiegroiia ieroimalla laskeamalli asapaioo kullaki aika-askeleella oae huomioo kuki edellä esiey malliusava eroavaisuude. JOHDANO Koeerakeuksessa käyeää rusaasi osopuomeja, joide osoliike aikaasaadaa hydraulisylierillä. Hydraulisylieri liikkee mallius käyäe elemeimeelmää voidaa ehdä usealla eri avalla [,]. ässä yössä esieää kolme vaihoehoisa apaa liikkee aikaasaamiseksi. Malliusava perusuva epälieaarise elemeimeelmä käyöö, missä siirymäsuuree o miau kiieää koordiaaisoo ähde [3]. Esimmäisessä avassa puomi liike oeaa huomioo holoomisa rajoieyhälöä käyäe. Rajoieyhälössä o aeu hydraulisylieri kiiiyssilmukoide eäisyys aja fukioa. ällöi malli rakaisemissa o käyey Lagrage fukioa, jossa o eergiayhälöide lisäksi rajoieyhälösä aiheuuva ermi ja lisäuemaomaa o Lagrage kerroi.

2 oisessa avassa hydraulisylieri liike o mallieu käyäe piuuaa muuavaa sauvaelemeiä. Laskea aikaa sauvaelemei jäiykseö piuus L c muuuu vasae sylieri kiiiyssilmokoide eäisyyä. Koska laskeamallisa syyvä differeiaaliyhälöryhmä rakaisaa ilma algebrallisia sidosehoja, ii rakaisualgorimisa o saau verraai opea. Lisäksi hydraulisyliereide vaikuukse kokoaisjousoo saadaa mallieua suoraa. Kolmaessa avassa puomi liike aikaasaadaa malliamalla hydraulisylieri esimmäise keraluvu differeiaaliyhälöä, jolloi ilamuuujia o sylieri kammiopaiee. Syyvä kykey hydromekaaie ehävä rakaisaa yheäiseä eli mooliiisea järjeselmää, jolloi o oeu huomioo mekaaise ja hydraulise järjeselmä vuorovaikuukse. Laskeamalli dyaamie vase laskeaa Newmarki aikaiegroiia ieroimalla laskeamalli asapaioo kullaki aika-askeleella oae huomioo kuki edellä esiey malliusava eroavaisuude. LIIKEYHÄLÖ Mekaaie järjeselmä ilma sidosehoja Mekaaise järjeselmä, jossa vaikuaa vai koservaiivisia voimia, Hamiloi periaae voidaa kirjoiaa ( qq) d [ ] δl, = δ -δv d = () missä o syseemi liike-eergia, V poeiaalieergia, joka koosuu ulkoise voima poeiaalisa sekä kimmoeergiasa ja q o syseemi yleisey asemavekori, saadaa mekaaise järjeselmä liikeyhälö muooo (,,) M = g q q () Missä M o massamariisi M = qq (3) Liearisoimalla liikeyhälö saadaa missä (4) M q+ C q+ K q = r C o ageiaalie vaimeusmariisi C g = q (5) ja K o ageiaalie jäykkyysmariisi g ( M) K = + q q (6) ja residuaalivekori ( ) r : = g q, q, M (7)

3 Mekaaie järjeselmä jossa o holoomisia sidosehoja arkasellaa aas koservaiivisa mekaaisa järjeselmää, jossa o holoomisia rajoieia. ällöi voidaa käyää laajeeya Hamiloi periaaea ( ) ( ) δ L qq, λφq, d = (8) ja mekaaise järjeselmä liikeyhälö saadaa y muooo (,,) (9) Mq + B λ = g q q missä holoomise rajoie-ehoje gradiei Φ B = q Liearisoimalla liikeyhälö saadaa () missä ja M C q q λ λ B λ Φ K B r + + = C o ageiaalie vaimeusmariisi ( B λ) g C = + q q K o ageiaalie jäykkyysmariisi ( M) ( B λ) g K = + + q q q () () (3) ja residuaalivekori ( ) (4) r : = g q, q, Mq B λ Kykey hydro-mekaaie järjeselmä Lisäää mekaaise järjeselmä liikeyhälöö hydraulisyliereide osuude, jolloi saadaa (,,,, ) (,, ) Mq = g q q x x x = f x q q Liearisoimalla kykey liikeyhälö saadaa (5) g g C K M + + r = x f x f f x s x q x q I q q x (6) missä residuaalivekori

4 ( ) ( ) :,,,, r = g q q x x Mq :,, s = x f x q q (7) RAKENNEOSIEN MALLINNUS Nosopuomi o mallieu Reisseri kiemaaisee mallii perusuvilla palkkielemeeillä [] ja [3]. Sylieri mallius holoomisella rajoieyhälöllä Rajoieyhälö saadaa aseamalla kuva 3 mukaise sylieri kiiiyssilmukoide B ja D välie eäisyys ( ) ( ) ( ) l ( ) Φ q = x x x x = (8) B D B D BD missä o laskea-aika ja jäykäksi oleeu sylieri piuus l BD () 5 5 5π 5 = + + cos Koska pise D oleeaa kiieäksi, ii ( ) ( ) δ Φ= x x δx = x x Dδq = Bδq () B D B B D missä asoapauksessa kykeämariisi D = Sylieri mallius piuuaa muuavalla sauvalla 6 ässä apauksessa sylieri liike mallieaa käyäe massaomaksi oleeua piuuaa muuavaa sauvaelemeiä []. Laskea aikaa sauvaelemei jäiykseö piuus L c muuuu vasae sylieri kiiiyssilmukoide eäisyyä. Laskeassa sauva jäykkyys o valiu sie, eä se vasaa hydraulisylieri esepasaide jäykkyyä alkuilassa. (9) () Sylieri mallius hydraulisylierielemeillä Kuvassa o esiey kaksioimie hydraulisylieri. Mia, kue siirymä (,,3,4), joka kykevä sylieri ja mekaaise järjeselmä oisiisa o esiey kuvassa.

5 4 F c 3 L Q B p B p A D s x C F c Q A Kuva. Hydraulisylieri ja se laskeassa arviavia suureia Sylieri kiiiyssilmukoihi vaikuava voimaresulai saadaa Fc = Ap A A Ap B B () kammiopaieide lausekkee ova p p A B QA x caa = B VA + xcaa QB + x cab = B V x A B c B ai kompakimmassa muodossa (, ) x = f q q (4) missä xc = L L, L o sylieri piuus siiryeessä ilassa, L o sylieri piuus alkuilassa, Q A ja Q B ova sylieri kammioihi uleva ja lähevä ilavuusvira, V A ja V B ova sylieri kammioide alkuilavuude ja B o paieväliaiee kokoopurisuvuus. Sylierivoima variaaio o [ ] δf = A δ p A δ p = A A δx = A δx (5) c A A B B A B A Sylierivoimasa johuva solmuvoimavekori saadaa F i c Fc Cx Fc = Fc = = c L Ax Cx L missä vekori ( ) x = x, y, x, y suuaie ykkösvekori x x x x c = = x x L B D B D B D (3) (6) sisälää sylieri kiiiyspiseide koordiaai. Sylieri (7)

6 Sylieri kiiiyssilmukoide välie vekori saadaa xb xa = = x Cx (8) ja sylieri piuus ( ) L = Cx Cx= x C Cx= x Ax (9) Sylieri jäykkyysmariisi lauseke saadaa varioimalla sylierivoimasa johuva solmuvoimavekori lausekea koska Fc δ i Aδ Fcδ F = Ax A x Ax Aδx (3) L L L x L L x L c = δ c = δ = δ = δ L Sylieri piuude kääeisarvo variaaio saadaa δ L δ L L L ja jäykkyysmariisi voidaa y kooa xax xa x (3) = = x Aδ x (3) 3 δ δ F δ F F = Ax A x + A xx A x A δ x = k δ x + k δ x (33) c c i A 3 C L L L AIKAINEGROINI Nosoliikkee eri malliusava edellyävä hiema erilaisia aikaiegroii-implemeaaioia. ässä esiyksessä o valiu aikaiegroiimeelmäksi implisiiie Newmarki aikaiegroii [], koska äi voidaa ilamuuuja ja rajoieyhälö ieroida haluulla arkkuudella ja iegroiimeeelmä o hyvi ueu. Seuraavaksi esieää edellä maiiu aikaiegroiimeelmä sovieua eri osoliikkee malliusapoihi. Mekaaie järjeselmä ilma sidosehoja Valiaa kuki aika-askelee ieroii alkuarvaukseksi = ( γ ) q = q + h q = q + hq + β h Korjaaa alkuarvausa kullaki ieroiikierroksella (34)

7 k = + q k γ q = q + + q (35) q = q + q k missä siirymämuuos rakaisaa γ S = K + C + M S q = r Aikaiegroii eeee kuva vasemmapuoleise kaavio mukaisesi. (36) Mekaaie järjeselmä jossa o holoomisia sidosehoja Ku laskeamallii liiyy holoomisia sidosehoja ja e oeaa huomioo Lagrage fukioa käyäe ulee yhälöryhmää lisäuemaomaa Lagrage keroimie vekori. Valiaa kuki aika-askelee ieroii alkuarvaukseksi + = q = q + ( γ ) h q = q + hq + β h λ = λ Korjaaa alkuarvausa kullaki ieroiikierroksella k = + q γ q = q + q λ = λ + λ k q = q + q (38) k k (37) missä siirymä ja Lagrage kerroivekori muuos rakaisaa γ S = K + C + M S B q r = λ B Φ Ny aikaiegroii eeee kuva keskimmäise kaavio mukaisesi. (39) Kykey hydro-mekaaie järjeselmä Hydro-mekaaisessa laskeamallissa o mekaaise järjeselmä siirymämuuujie lisäksi o hydraulisylierielemeie hydraulise muuuja eli ässä apauksessa kammiopaiee. Valiaa aas kuki aika-askelee ieroii alkuarvaukseksi

8 = ( γ ) q = q + h q = q + hq + β h ( x ) = ( x ) ( x ) = ( x ) + h( x ) Korjaaa alkuarvausa kullaki ieroiikierroksella k = + q k γ q = q + q q = q + q k k γ x = x + x ( ) ( ) ( ) ( ) x = x + x k (4) (4) Hydraulise muuujie ja siirymämuuujie muuos rakaisaa γ S = K + C + M U L H g γ g = + x x f γ f = + q q f γ = I x S U q r = L H x s Ny aikaiegroii eeee kuva oikeapuoleise kaavio mukaisesi. (4) Kuvassa o esiey Newmarki aikaiegroii kaaviomaisesi eri osoliikkee malliusavoilla.

9 Mekaaie järjeselmä ilma sidosehoja aika-askellus = + h Mekaaie järjeselmä holoomisilla sidosehdoilla aika-askellus = + h Kykey hydro-mekaaie ehävä aika-askellus = + h alkuarvaus q,q,q alkuarvaus q,q,q,λ alkuarvaus q, q,, x, x epäasapaio laskea r(q,q,q ) epäasapaio laskea (,,, ), Φ( q) r qqqλ epäasapaio laskea r q q q x s f x (,,, ), (, ) Kyllä suppeemisarkasus r < ε uemaomie rakaisu q Kyllä suppeemisarkasus r < ε, Φ < η uemaomie rakaisu q, λ Kyllä suppeemisarkasus r < ε, s < η uemaomie rakaisu q, x uemaomie päiviys q = q+ q γ q = q + q = + q uemaomie päiviys q = q+ q γ q = q + q = + q λ= λ+ λ uemaomie päiviys q= q+ q q = q + γ / q = + / q x = x + x x = x + γ / x Kuva. Newmarki aikaiegroii periaae eri malliusavoilla LASKENAMALLI arkasellaa kuva 3 mukaisa puomia, jossa päämia o esiey mereiä. Puomi osoliike apahuu piseide D ja B välissä oleva hydraulisylieri avulla C A B m. D Kuva 3. Laskeamalli peraaekuva Nosoliike o sovieu sie, eä puomi ousee 5 sekui aikaa 6 asee kulmaa, missä kulma o suora AB ja vaakaaso välillä. Puomi yleisey asemavekori asoapauksessa o ( ϕ, x, y, ϕ, x, y, ϕ, x, y, ϕ, x, y, ϕ, x, y, ϕ ) q = (43) A B B B Nosopuomi A-C o mallieu käyäe suorakaidepoikkileikkausa, joka mia ja muu lähöarvo ova aulukossa.

10 aulukko. Laskeamalli lähöarvo Suure Arvo Yks. Kimmokerroi Gpa GA s EA Pa Palkkielemeie lukumäärä 5 kpl Palki korkeus. m Palki leveys.8 m Seiämä paksuus.5 m Poikkileikkaukse pia-ala.9 m Neliömomei m 4 Piuusiheys 4.9 kg/m Pisemassa puomi päässä 4 kg Sauva redusoiu kimmokerroi.9 GPa Sauva jäiykseö loppupiuus.4755 m Loppupiuus l BD (5).4546 m ilavuusvira Q A.6 m 3 /s Laskea-aika max.3 s Aika-askel. s Sylieri kammiopia-ala A A.3848 m Sylieri kammiopia-ala A B.58 m LASKENAULOKSE Laskeamalli paiovoimasa johuva alkuaipuma määrieii kaikissa apauksissa epälieaarisea saiika ehävää ja saau siirymä ja hydromekaaisessa ehävässä sylieri kammio A paie aseeii ilamuuujie alkuarvoiksi. Laskeamalli vase määrieii Newmarki aikaiegroiilla käyäe vakio aika-askelela, h =, s. Nosoliikkee alkuvaihee jäiyshuipu selviämiseksi keräii puomi poikkileikkaukse B yläpia veojäiysä aja fukioa. Kuvissa 4 ja 5 o esiey edellä maiiu veojäiys eri laskeaavoilla. Veojäiys [MPa] Mekaaie järjeselmä holoomisella rajoieella Aika [s] Veojäiys [MPa] Mekaaie järjeselmä piuuaa muuavalla sauvalla Aika [s] Kuva 4. Veojäiys piseessä B käyäe rajoieyhälöä (vase kuvaaja) ja piuuaa muuavaa sauvaelemeiä (oikea kuvaaja)

11 Veojäiys [MPa] Hydro-mekaaie laskeamalli Aika [s] Kammiopaie [MPa] Hydraulisylieri kammiopaiee Aika [s] Kuva 5. Veojäiys piseessä B ja sylieri kammiopaiee p A ja p B hydro-mekaaisella laskeamallilla JOHOPÄÄÖKSE ässä esiyksessä o kuvau lyhyesi kolme erilaisa apaa malliaa osopuomi liike epälieaarisa elemeimeeelmää käyäe. Käyeäessä osoliikkee malliuksee rajoieyhälöä ja Lagrage fukioa o osoliikkee aikaa laskeu jäiyshuippu suurempi kui muilla meeelmillä saau. Suuremma jäiykse johuva laskeamalli liiallisesa jäykkyydesä. Malliusapa o myös umeerisesi häiriöaliimpi. Rajoieyhälö voiaisii huomioida myös muilla keioi, kue sakkomeeelmällä, jolloi valisemalla sakkokerroi sopivasi, laskeu jäiyshuippu pieeisi. oisea meeelmää osoliike o mallieu käyäe piuuaa muuavaa sauvaelemeiä, jolloi mekaaise järjeselmä siirymämuuujie lisäksi ei arviu muia muuujia, koska holoomie sidoseho o upoeu laskeamallii isää-orjaekiikalla, kue läheessä [] o asoapauksessa esiey. ällöi saau laskeamalli ei sisällä laikaa sidosehoja, jolloi välyää umeerisilä häiriöherkyysogelmila. Laskeu jäiyshuippu oli selväsi pieempi kui rajoieyhälöä käyäe. Viimeiseä o arkaselu liikkee malliusa hydraulisylierielemeiä käyäe, jolloi laskeamallii uli siirymämuuujie lisäksi hydraulisylierielemeie hydraulise muuuja eli ässä apauksessa kammiopaiee. Laskeaulokse vasasiva jäiyshuipu osala edellisellä meeelmällä laskeua arvoa. Mallieaessa hydraulisylieri aiheuamaa liikeä mekaaisee järjeselmää ova piuuaa muuava sauva sekä hydromekaaie malli suosielavampia malliusvaihoehoja ja iillä myös pysyää malliamaa realisisemmi hydraulisylieri jouso, joka odellisuudessaki o merkiävä. LÄHEE [] Marjamäki, H., Mäkie, J. Modellig elescopic boom - he plae case: par I, Compuers & Srucures 3, 8(6), s [] Geradi, M., Cardoa, A., Flexible Mulibody Dyamics: A Fiie Eleme Approach, J. Wiley & Sos, Chicheser,, 37 s. [3] Mäkie, J. A Formulaio for Flexible Mulibody Mechaics - Lagragia Geomerically Exac Beam Elemes usig Cosrai Maifold Paramerizaio, ampere Uiversiy of echology, Isiue of Applied Mechaics ad Opimizaio, Research Repor 4:3, 89 s. URL: hp://