Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Transkriptio

1 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A23 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 216 Laskuharjoitus 2A (Vastaukset) Alkuviikolla 2 Aihepiiri: Kahden ja useamman muuttujan funktiot, raja-arvot Luentokalvot, Adams & Essex, Taulutehtävät 1. Määritä käyrien t r 1 (t) = (sin 2t, ln(1+t), t) ja t r 2 (t) = (cos 3t, sin 3t) nopeusvektorit. Osoita, että jälkimmäisen käyrän nopeus- ja paikkavektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan kaikilla parametrin t arvoilla. Derivoimalla saadaan 2 cos 2t r 1(t) =, r 2(t) = 1 1+t 1 ( ) 3 sin 3t 3 cos 3t Saadaan siis r 2(t) r 2 (t) = 3 sin 3t cos 3t + 3 cos 3t sin 3t =. 2. Määritä funktion f(x, y) suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun kuvajoukkona on R ja a) f(x, y) = x2 xy 2 x y Että funktio saisi reaaliarvoja, ei neliöjuurien alla voi olla negatiivisia lukuja, joten saadaan ehto x, y. Toisaalta nimittäjä ei voi olla nolla, joten 2 x y 4x y. Siispä suurin määrittelyjoukko on xytason R 2 osajoukko U = {(x, y) R 2 : x, y, y 4x}, jonka rajaavat positiiviset koordinaattiakselit, poislukien suora y = 4x (kuva). b) f(x, y) = exy xy Tässä osoittaja on määritelty kaikkialla, joten välttämätön ehto on x ja y. Toisaalta juurrettava ei saa olla negatiivinen, eli tulee olla x >, y > tai x <, y < yhtä aikaa. Saadaan siis oikeasta yläneljänneksestä ja vasemmasta alaneljänneksestä koostuva tason osajoukko (kuva) eli joukko U = {(x, y) R 2 : x > ja y > tai x < ja y < }.

2 Kuva 1: 2. a) Kuva 2: 2. b) 3. Laske seuraavat raja-arvot, mikäli ne ovat olemassa, tai perustele miksi raja-arvoa annetussa pisteessä ei ole olemassa. a) 8x y 4 Jotta raja-arvo olisi olemassa, laskettujen raja-arvojen tulee olla kaikkia käyriä pitkin lähestyttäessä samat. Tutkitaan asiaa: Suoraa x = pitkin lähestyttäessä: (,y) (,) 8x y 4 = Suoraa y = pitkin lähestyttäessä: (x,) (,) 8x y 4 = Suoraa x = y pitkin lähestyttäessä: 8x y 4 = Raja-arvoa ei siis ole olemassa. b) (,y) (,) (x,) (,) 2x 2 xy 4x 2 y 2 13y 4 = 8x 4 = 5x 4 21x 4 = 5 21

3 Kuten a-kohdassa, saadaan Suoraa x = y pitkin lähestyttäessä: 2x 2 xy 4x 2 y = 2x 2 x 2 2 4x 2 x = Suoraa x = pitkin lähestyttäessä: Raja-arvoa ei ole olemassa. c) 2x 2 xy (,y) (,) 4x 2 y = 2 Kuten edellä, saadaan: Paraabelia x = y 2 pitkin lähestyttäessä: xy 2 x 2 + y 4 = Suoraa x = pitkin lähestyttäessä: (,y) (,) Raja-arvoa ei siis ole olemassa. xy 2 x 2 + y 4 = (,y) (,) xy 2 x 2 + y 4 (,y) (,) y 2 = y 4 2y 4 = 1 2 y 4 =

4 Palautettavat tehtävät 1. Sähköinsinööri tarvitsee uuden käämin, ja päätyy 8-luvun televisiosarjasta oppimillaan kikoilla tekemään sen tyhjästä wc-paperirullasta sekä ohuesta kuparilangasta, jota hän kiertää tasaisesti rullan ympäri päästä päähän 1 kierrosta. Olkoon rullan säde r ja pituus l. Kuinka pitkän pätkän kuparilankaa insinööri tarvitsee? Anna vastaus funktiona f(r, l). Tapa 1: Kuparilanka muodostaa korkkiruuvin rullan ympärille, jolloin johdon muodostaman käyrän yhtälö on parametrimuodossa r cos t r(t) = r sin t b Tässä viimeinen komponentti on nousu b = lt/2π, eli kun johtoa kierretään kymmenen kierrosta ja t kasvaa 2π kullakin kierroksella rullan ympärille, t on välillä [, 1 2π]. Käyrän pituus on siis b f(r, l) = dr 2π ( ) dt dt = 2 l ( r sin t)2 + (r cos t) 2 + b 2 dt = 2π r 2 + 2π Tapa 2: a Avataan rulla, jolloin voidaan kirjoittaa Pythagoraan lauseen avulla (tiedetään myös, että f, l, r ): (f(r, l)) 2 = (2πr) 2 + l 2 f(r, l) = 2π eli sama vastaus kuin tavalla 1. r 2 + ( ) 2 l 2π 2. xy-tasossa sijaitsevan ohuen metallilevyn lämpötila on T (x, y) pisteessä (x, y). Funktion T tasa-arvokäyriä kutsutaan isotermeiksi, sillä näillä käyrillä lämpötila on kaikkialla sama. Hahmottele vähintään neljä isotermiä, kun a) T : R 2 R, T (x, y) = y 2

5 b) T : R 2 R, T (x, y) = x + y

6 c) T : R 2 R, T (x, y) = x 2 + y 2 3. Määritä missä pisteissä seuraavat funktiot ovat jatkuvia. (Voit virkistää muistiasi arkusfunktioiden osalta esim. Wikipediasta tai kurssikirjan kappaleesta 3.5) a) F (x, y) = xy 1+e x y Funktio on määritelty kaikkialla, ja kahden jatkuvan funktion osamäärä. Nimittäjä on kaikkialla nollasta poikkeava, joten funktio on kaikkialla jatkuva. b) F (x, y, z) = arcsin(x 2 + y 2 + z 2 ) Pallossa x 2 + y 2 + z 2 1, koska arkussini on jatkuva koko määrittelyjoukossaan. { xy jos (x, y) (, ) x c) F (x, y) = 2 +xy+y 2 jos (x, y) = (, ) Origon ulkopuolella funktio on selvästi jatkuva, sillä se on rationaalifunktio, jonka nimittäjä on nollasta poikkeava (neliöön täydentämällä x:n suhteen on x 2 + xy + y 2 = (x + y 2 )2 + 3y2 = ). Raja-arvo 4 lähestyttäessä origoa suoraa x = y pitkin on 1, joten funktio ei ole origossa 3 jatkuva.