3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia

Transkriptio

1 ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Derivoituvan funktion ominaisuuksia 31 l Hospitalin sääntö 1 Määritä , e 1 2, (c) tan sin 2 Määritä , Osoita, että 4 Määritä arc tan = 1 arc tan(2) arc sin(2) 2 arc sin, 3 5 Määritä sellainen vakio a R, että + sin a + sin = 2, a a + a 1 ( 1) 2 = 6 6 Määritä sellaiset vakiot a R ja b R, että 7 Määritetään raja-arvo ( sin 3 + a ) 3 + b 2 käyttämällä l Hospitalin sääntöä Siis + cos = + cos = sin = = 1 Onko tulos oikein ja jos ei, niin missä on virhe ja mikä on oikea raja-arvo? 8 Määritä + log, cot + log(1 cos ) e +1 + e, (c) log(sin ) e +

2 9 Osoita, että + log(sin a) log(sin b) = 1 a, b > 0 10 Määritä e 1, cos 1 + log( + 1) tai osoita, että raja-arvoa ei ole (äärellisenä eikä äärettömänä) olemassa 11 Määritä 12 Määritä ( 1 log 1 ) ( 5, ) ( 1 sin 1 ), + ( 1 1 sin 1 ) 13 Määritä log log(1 ), sin(π 2 arc tan ) 14 Määritä (2) 3 5+log(7), (arc tan )e, (c) Osoita, että 16 Määritä (log ) 1 = 1, n n = 1 n ( ) 1 sin, + (cot ) 1 log(+sin ) + 17 Funktiosta f tiedetään, että f() on derivoituva ja f () on jatkuva pisteessä = 0, f(0) = 0 ja f (0) = 2 Määritä raja-arvo 18 Määritä (1 + f()) 1 (2 1) 1 1, (e 3 5) 1, (c) 1 19 Määritä (1 + ) cot, ( + cos ) 1, (c) (tan ) tan 2 π 4 20 Määritä sellainen vakio a R, että ( + a ) = 4 a

3 32 Funktion monotonisuus 1 Osoita, että funktio f() = 1 + sin 1 cos on aidosti vähenevä välillä ]0, π[ 2 2 Osoita, että funktiolla f() = on käänteisfunktio, joka on jatkuva kaikilla R Missä pisteissä käänteisfunktion derivaattaa ei voida määrittää? 3 Osoita, että kun > 0 arc tan > 3 3, 4 Olkoon > 0 Määritä laajin väli, jolla funktio on aidosti vähenevä f() = (3) log 5 Osoita, että funktio on aidosti kasvava, kun 1 e f() = ( ) 6 Tutki funktion derivaattaa tarkastelemalla, onko funktio aidosti monotoninen, kun > 0 f() = (log(1 + )) ( > 0) 7 Tutki funktion derivaattaa tarkastelemalla, onko funktio f() = cos ( > 0) aidosti kasvava tai aidosti vähenevä välillä ]0, 1[ 8 Olkoon f sellainen funktio, että f (0) = 1 ja f () on jatkuva pisteessä = 0 Osoita, että on olemassa sellainen h > 0, että f on aidosti kasvava välillä [0, h] 9 Olkoon a > 0 ja f sellainen derivoituva funktio, että f () 1 + a kaikilla R Osoita, että on olemassa sellainen c R, että f() > aina, kun > c Vihje: Tarkastele erotusta f() 10 Olkoon f välillä ], 0[ derivoituva funktio Osoita, että jos 0 f () 1 < 0, niin raja-arvo f() on (äärellisenä) olemassa

4 33 Funktion ääriarvot 1 Tutki, onko piste = 0 funktion f() = (1 e ) 7 (1 ) 13 paikallinen ääriarvokohta 2 Määritä funktion f() = log( 2 + 4) + arc tan 2 ( 0) paikalliset ääriarvokohdat ja ääriarvojen laatu välillä ]0, [ 3 Määritä funktion f() = arc tan( 2 ) paikalliset ääriarvokohdat ja ääriarvojen laatu 4 Määritä funktion arc cot, kun < 0, f() = arc cos, kun 0 1, log, kun > 1, paikalliset ääriarvokohdat ja ääriarvojen laatu 5 Määritä funktion f() = paikalliset ääriarvokohdat ja ääriarvojen laatu 2 2, kun < 2, log 2 ( + 2), kun 2, 6 Määritä funktion f() = (arc tan ) arc tan ( > 0) paikalliset ääriarvokohdat ja ääriarvojen laatu 7 Määritä funktion f() = paikalliset ääriarvokohdat ja ääriarvojen laatu 8 Määritä funktion f() = log, kun > 0, arc cot, kun 0, 2 3, kun 0, paikalliset ääriarvokohdat ja ääriarvojen laatu (2 + 1) 3, kun > 0,

5 9 Määritä funktion suurin ja pienin arvo välillä [0, π] f() = arc tan(cos ) 10 Osoita, että log 1 > 0