z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)"

Otto Penttilä
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa. Koska vaihekulmille pätee 0 = 0) )), ) niin tämä kertoo kolmion kärjen kulman suuruuden. Vastaavasti ) ) 0 kertoo kolmion kärjen kulman suuruuden. Koska kolmio on tasaklkinen, ovat nämä kulmat samat. Saadaan 0 ) ) ) 0 = ) 0 ) ) = 0, ) 0 joten eritisesti Im +) = 0. 0 Selvästi muut kompleksitason pisteet, jotka toteuttavat annetun htälön, ovat reaaliakselin pisteet; Kun ei ole ksikkömprällä, lläolevan päätteln kulmat ovat samat vain kun ne ovat molemmat0tai π. Vaihtoehtoinen tapa päätellä väite geometrisesti: Piirretään pisteet ja + kompleksitasoon ja huomataan, että ne muodostavat hdessä pisteiden 0 ja kanssa neljäkkään, eli tasasivuisen suunnikkaan. Smmetrian perusteella neljäkkään origosta pisteeseen

2 + kulkeva lävistäjä puolittaa neljäkkään origossa olevan kulman. Vaihekulmille se tarkoittaa ) = +) +) = 0, josta väite seuraa.. a) Selvitä geometrisesti, miksi ne pisteet, jotka toteuttavat ehdon a = vakio b määräävät tasoon mprän kaaren, joka kulkee pisteiden a ja b kautta. b) Selvitä kuvan avulla pistejoukot i i Re = 0, ja Im = 0. ++i ++i a) Pisteissä, joille a = vakio, b on janojen a ja b välinen kulma vakio. Nätetään, että tällaisia ovat ainakin erään pisteiden a ja b kautta kulkevan mprän kaaren pisteet. Oletuksella a b ei tarkasteltava joukko ole koskaan thjä, koska millä tahansa vakiolla väliltä π,π] löt ehdon toteuttava piste 0 {a,b}. Tällöin nämä kolme pistettä muodostavat ksikäsitteisesti mprän tai suoran, jos ne osuvat samalle suoralle. Tämä voidaan tulkita -säteiseksi mpräksi). Kaikille tämän mprän pisteille, jotka ovat samalla puolellaa:n jab:n hdistävää kaarta kuin 0, pätee tällöin a = vakio b kehäkulma keskuskulma-lauseen perusteella. Muut pisteet ovat tämän kaaren ulko- tai sisäpuolella, joten kulma on näillä pisteillä eri, eli ne eivät kuulu tarkasteltavaan joukkoon.

3 b a o Kehäkulma keskuskulma-lause kertoo, että pisteen kehäkulma on puolet mprän keskipisteessä o olevasta keskuskulmasta. b) Merkitääna = +i jab = i. Nt kseessä ovat joukot a = π a b +nπ ja = nπ, n Z. b Ensimmäinen niistä on kehäkulma keskuskulma-lauseen perusteella origokeskinen -säteinen mprä, ja jälkimmäinen suora =. Kummassakaan tapauksessa piste i ei kuulu joukkoon, koska lläoleva osamäärä ei ole määritelt, kun = b. +i +i i i 3. Miten sijaitsevat tason pisteeta, b ja c kun pätee b a a c =? c a b c Eritisesti b a a c =, c a b c 3

4 joten janat ab ja ac muodostavat saman kulman kuin janat ca ja cb. Pisteet a, b ja c muodostavat siis ainakin tasaklkisen kolmion. Eritisesti pätee tällöin b a = b c. Toisaalta pätee mös b a c a = a c b c b a b c = a c b a = a c, joten kseessä on itse asiassa tasasivuinen kolmio. 4. Olkoon kompleksiluku siten, että = ja = θ π. Osoita, että pätee = itan θ ) +) a) katsomalla kuvasta, b) laskemalla. a) Yhtälö pätee, jos ja vain jos se pätee sekä vaihekulmalle että itseisarvolle, eli = π ja + + = tan θ. Päätellään kuvasta ensin näistä ensimmäinen. Kun on ksikkömprän kehällä, niin se muodostaa suorakulmaisen kolmion pisteiden ja kanssa kehäkulma keskuskulma-lauseen perusteella. Siten ensimmäinen ehto pätee. θ/ 0 θ Päätellään sitten kuvasta toinen ehto. Edelleen kehäkulma keskuskulma-lauseen perusteella pisteen kärjen kulma on suuruudeltaan θ, joten suorakulmaisen kolmion tangentin htälöstä vastakkainen kateetti / viereinen kateetti) seuraa jälkimmäinen ehto. 4

5 b) Todistus. Kaksinkertaisen kulman kosinin kaavasta saadaan puolikkaan kulman tangentille kaava: cost) = cos t sin t = cos = sin t cos θ = ± +cosθ), sin θ = ± cosθ) tan θ cosθ = ± +cosθ = ± cos θ +cosθ) = sinθ +cosθ, θ π. Toisaalta koska Näin ollen + = eiθ e iθ + = eiθ )e iθ +) e iθ +)e iθ +) = eiθ e iθ isinθ +e iθ = +e iθ +cosθ = isinθ +cosθ, sinθ = i eiθ e iθ ) ja cosθ = eiθ +e iθ ). = itan θ ) +). 5

Samankaltaiset tiedostot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja