Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka"

Transkriptio

1 Integraalilaskenta 9 Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

2 Kirjan rakenne Aiemmin opiskeltua -tehtävät palauttavat mieleen aiempien kurssien asioita. Ennakkotehtäviä on jokaisen luvun aloitusaukeamalla kaksi: helpompi ja vaikeampi. Tehtävät on mahdollista ratkaista aiempien tietojen avulla. Digijohdanto ja johdanto aloittavat jokaisen alaluvun. Digijohdanto on appletti, jossa ratkaistaan alaluvun uuteen asiaan johdattava tehtävä. Johdannossa uuteen asiaan tutustutaan selittävän esimerkin avulla. Johdannon keskeiset havainnot kootaan lauseessa tai määritelmässä. Harjoitustehtävät on jaoteltu ydintehtäviin, vahvistaviin tehtäviin ja syventäviin tehtäviin. Ydintehtävät on tarkoitettu kaikille, ja niissä kohdataan keskeiset uudet asiat. Ydintehtäviä monipuolisemmat vahvistavat tehtävät lujittavat osaamista ja antavat vankan pohjan tulevien asioiden ymmärtämiselle. Aiheen perusteellista hallintaa tavoiteltaessa on syytä tehdä syventäviäkin tehtäviä. Ylioppilastehtävän tiedot on merkitty hakasulkeisiin. Esimerkiksi [K5/] on kevään 05 pitkän matematiikan kokeen tehtävä. Teknisten apuvälineiden käytöstä on mainittu harjoitustehtävässä erikseen, jos tehtävä on tarkoitus ratkaista ilman teknisiä apuvälineitä tai sopivalla ohjelmalla. Teknisellä apuvälineellä tarkoitetaan ohjelman toimintoa, josta on matematiikan kannalta apua. Muilta osin tietokoneen tai muun laitteen käyttäminen ratkaisun kirjaamisessa on aina sallittua. Kertausosiossa kurssin keskeiset ideat esitellään tiiviissä muodossa ja niitä harjoitellaan muutamalla tehtävällä. Kertausosion perässä on kokoavia tehtäviä koko kurssista. Logojen merkitykset ovat seuraavat: Asiaan liittyy appletti osoitteessa Tehtävään on vihje kirjan lopussa. SYVENNÄ Asiaan liittyviä tehtäviä on vain syventävissä tehtävissä. 4

3 Aiemmin opiskeltua Kertaa aiempien kurssien asioita, joita tarvitset tällä kurssilla. Vastausosiossa on tehtävien ratkaisut.. Derivoi. a) b) (4 7) 5. Funktion f arvo on erään kaupan myynti euroina tuntia kaupan aukeamisesta, kun 0 < <. Määritä myynnin muutosnopeus tunnin kuluttua kaupan aukeamisesta. a) f () = b) y 500 (4, 400) (, 800) y = f() Ohessa on polynomifunktion f derivaattafunktion f merkkikaavio. Hahmottele jokin mahdollinen funktion f kuvaaja. 3 f () Ratkaise annetun funktion derivaattafunktion nollakohdat. a) f () = e 3 b) g( ) = sin Kuvassa on erään toisen asteen polynomifunktion f kuvaaja. Piirrä samaan kuvaan derivaattafunktion f kuvaaja. 3 y y = f() (, 0) (3, 0) (0, 3) 6. Suora y = + 4 rajaa koordinaattiakseleiden sekä suoran = 3 kanssa puolisuunnikkaan. Määritä tämän puolisuunnikkaan pinta-ala. 5

4 Integraalilaskenta K urssissa MAA6 tutustuttiin matemaattisen analyysin yhteen kulmakiveen, derivaattaan. Derivaatan eli muutosnopeuden avulla voidaan tutkia funktion kulkua ja ratkaista monenlaisia ääriarvoihin liittyviä ongelmia. Tässä kurssissa ajattelu käännetään: miten funktion lauseke voidaan määrittää, jos sen derivaattafunktion lauseke tunnetaan? Tähän kysymykseen vastaaminen ei ole pelkkää matemaattista ajanvietettä, vaan derivoinnille käänteisen operaation, integroinnin, avulla saadaan ratkaistua monta käytännön ongelmaa. Pinta-aloja ja tilavuuksia Oheisessa kuvassa on sovitettu karttapohjalle Temppeli aukion kirkkoa ympäröivän puiston rajoja mukailevat käyrät. Tällä kurssilla opitaan, miten käyrien rajoittaman alueen eli tässä tapauksessa puiston pinta-ala voidaan laskea. y y = 0,4 +,7 +, A 4 y = 0,04( ) y = 0,6 6,8 C 300 m B Jos Eiffel-tornin ulkopinta peitettäisiin metallilevyillä, kuinka suuri olisi levyjen rajaaman kappaleen tilavuus? Tällä kurssilla opittavilla tiedoilla voidaan laskea muidenkin kuin tavallisten geometristen kappaleiden tilavuuksia. 6 y = 4,5e,67 0,0089

5 Käyttöä tekniikan sovelluksissa Monien lääketieteessä käytettävien kuvantamis laitteiden kuva muodostetaan integraalimuunnosta käyttäen. Muunnos mahdollistaa eri poikki leikkaustasoissa tehtyjen mittaustulosten yhdistämisen (engl. integrate) yhdeksi kaksi- tai kolmiulotteiseksi kuvaksi. Aerobisessa urheilusuorituksessa kuluva energiamäärä voidaan laskea, jos tiedetään, kuinka paljon happea kulutetaan suorituksen aikana. Kokonaishapen kulutus on mahdollista selvittää analyysilaitteiden antamien tietojen ja integraalilaskennan avulla. Integraalimerkki Derivaatan on alkujaan tulkittu kertovan funktion muutoksen hyvin pienellä välillä. Käänteinen operaatio integrointi puolestaan pohjautuu ajatukseen näiden hyvin pienten muutosten laskemisesta yhteen. Tästä syystä integroinnin merkintätavaksi on vakiintunut summaan viittaava pidennetty S-kirjain eli. Integraalimerkki on peräisin Gottfried Leibnizilta (646 76). Leibnizia ja Isaac Newtonia (64 76) pidetään integraalilaskennan tärkeimpinä kehittäjinä. 7

6 Integraalifunktio Ilmiöitä tutkittaessa tulee vastaan tilanteita, joissa tiedetään jonkin suureen muutosnopeus mutta ei itse suuretta. Tiedetään esimerkiksi populaation koon muutosnopeus eli derivaatta mutta ei populaation kokoa. Tässä luvussa opitaan määrittämään funktioita, kun niiden derivaattafunktio tunnetaan. 8

7 Ennakkotehtävät Uusi asia on helpompi ymmärtää, kun sitä on jo pohtinut ennakkotehtävissä.. Tarkastellaan funktiota f, jonka derivaattafunktio on f () = 3. a) Määritä yksi mahdollinen funktion f lauseke. b) Määritä kaksi muuta mahdollista funktion f lauseketta. c) Piirrä a- ja b-kohdissa muodostamiesi funktioiden kuvaajat samaan koordinaatistoon. Mitä havaitset? Selitä, mistä havaintosi johtuu.. Biologit voivat luoda matemaattisen mallin jonkin populaation koon muutosnopeudesta eli derivaatasta. Muutosnopeus ei kaikissa malleissa ole vakio vaan muuttuu. Hahmottele applettiin populaation suuruuden kuvaaja neljässä eri muutosnopeuden mallissa. 9

8 . Integraalifunktion määritelmä Digijohdanto: Muodosta funktio, kun derivaattafunktio tiedetään. Johdanto Määritä jokin funktio F, jonka derivaattafunktio on f () = Ratkaisu Funktio F on sellainen, että se derivoimalla saadaan Tutkitaan ensin, mikä termi derivoimalla saadaan 8 3. Derivoitaessa polynomifunktion asteluku pienenee yhdellä, joten lausekkeen pitää olla neljännen asteen polynomi. Kokeillaan termiä 4 : D 4 = 4 4 = 4 3. D n = n n Lisätään sopiva kerroin: D( 4 ) = 4 3 = 8 3. Lisäksi D(5) = 5, joten D( 4 5) = Funktioksi F käy siis esimerkiksi F() = 4 5. Funktiota, jonka derivaattafunktio on f, sanotaan funktion f integraalifunktioksi. Määritelmä Funktion f integraalifunktio on funktio F, jolle F () = f () kaikissa pisteissä, joissa f on määritelty. Jatkossa oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin avoimella välillä, ellei toisin mainita. 0 Integraalifunktio

9 Esimerkki Ovatko funktiot F () = sin + 3 ja F () = sin funktion f () = cos integraalifunktioita? Ratkaisu Funktio F on funktion f integraalifunktio, jos F () = f (). Selvitetään derivoimalla funktio F, onko näin: F () = D(sin + 3) = cos + 0 = cos. D sin = cos Siis F on funktion f integraalifunktio. Vastaavasti F () = D(sin ) = cos 0 = cos. Molemmat funktiot F ja F ovat funktion f integraalifunktioita. Esimerkissä havaittiin, että annetulla funktiolla voi olla useita integraalifunktioita. Eri integraalifunktiot poikkeavat kuitenkin toisistaan vain vakion verran. Tulos pätee yleisestikin. Jatkossa tämä ilmaistaan toteamalla, että integraalifunktio on vakiota vaille yksikäsitteinen. Lause Olkoon F funktion f eräs integraalifunktio. Funktio G on funktion f integraalifunktio, jos ja vain jos G() = F() + C, jossa C on vakio. Todistus Osa Oletetaan, että G() = F() + C. Pitää osoittaa, että funktio G on funktion f integraalifunktio eli G () = f (). Tämä nähdään derivoimalla funktio G: G () = D(F() + C) = DF() + D(C) = f () + 0 = f (). Osa Oletetaan, että funktio G on funktion f integraalifunktio. Määritelmän mukaan tämä tarkoittaa, että G () = f (). Pitää osoittaa, että funktion G lauseke on muotoa G() = F() + C jollakin vakiolla C. Osoitetaan tämä näyttämällä, että funktioiden G ja F erotus eli funktio G() F() on vakiofunktio. Koska sekä F että G ovat funktion f integraalifunktioita, niin D(G() F()) = DG() DF() = f () f () = 0. Jos avoimen välin kaikissa pisteissä g () = 0, niin g() = C (vakio). Funktion G() F() derivaatta on siis koko määrittelyvälillä nolla. Kurssilla MAA6 esitetyn lauseen mukaan tästä seuraa, että funktio G() F() on vakiofunktio. Siis G() = F() + C jollakin vakiolla C.. Integraalifunktion määritelmä

10 Esimerkki Olkoon funktio f () =. a) Määritä funktion f kaikki integraalifunktiot. b) Piirrä funktion f neljän eri integraalifunktion kuvaajat. c) Määritä funktion f se integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (, 5) kautta. Ratkaisu a) Kun tehtävänä on etsiä jonkin funktion kaikki integraalifunktiot, edellisen lauseen mukaan riittää löytää yksi sen integraalifunktioista. Muut integraalifunktiot saadaan lisäämällä tähän funktioon vakioita. Funktion f eräs integraalifunktio on, sillä D( ) =. Funktion f kaikki integraalifunktiot ovat F() = + C, jossa C voi olla mikä tahansa reaaliluku. b) Piirretään funktion f integraalifunktioiden kuvaajat esimerkiksi vakion C arvoilla, 0, ja 3. F () = F () = F 3 () = + F 4 () = y y = F 4 () y = F 3 () y = F () y = F () Funktion f integraalifunktioiden kuvaajat saadaan toisistaan y-akselin suuntaisilla siirroilla. Appletti havainnollistaa syntyvää käyräparvea. c) Koska kysytyn integraalifunktion kuvaaja kulkee pisteen (, 5) kautta, funktio F() = + C saa kohdassa = arvon 5. F( ) = ( ) ( ) + C = + + C = + C Ratkaistaan ehdosta F( ) = 5 integroimisvakion C arvo. + C = 5 C = 3 Kysytty integraalifunktio on F() = + 3. Integraalifunktio

11 Esimerkki 3 a) Osoita derivoimalla, että funktiot F( ) =, > G( ) =, > b) Esitä G() muodossa F() + C., ja, ovat saman funktion integraalifunktioita. Ratkaisu a) Näytetään, että funktioilla F ja G on sama derivaattafunktio. F ( ) = D = D( ) = ( ) = ( ) G ( ) = D ( ) = ( ) = ( ) Du(s()) = u (s())s () Molemmat funktiot F ja G ovat funktion f( ) = ( ) integraalifunktioita. b) Ehto G() = F() + C on toisin sanottuna G() F() = C. Lasketaan funktioiden erotus. G( ) F( ) = = = Näin ollen G ( ) = F ( ) + = +. D f ( ) f ( ) g( ) f( ) g ( ) = g( ) ( g( )) Tämäkin lasku riittäisi osoittamaan, että F ja G ovat saman funktion integraalifunktioita.. Integraalifunktion määritelmä 3

12 Harjoitustehtävät YDINTEHTÄVÄT 0. Onko funktio F funktion f integraalifunktio? Perustele. a) F() = ja f () = 3 + b) F() = ja f () = 4 3 Ratkaise tehtävä ilman teknisiä apuvälineitä. 0. Määritä funktion f () = 3 a) jokin integraalifunktio b) kaikki integraalifunktiot c) se integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (, 3) kautta. 03. Määritä jotkin kolme funktion f () = integraalifunktiota ja piirrä niiden kuvaajat samaan koordinaatistoon sopivalla ohjelmalla. 04. Onko väittämä oikein vai väärin? Perustele. a) Funktiolla voi olla kaksi eri integraalifunktiota. b) Saman funktion kahden eri integraalifunktion kuvaajat eivät voi leikata toisiaan. 05. Päättele kuvaajien perusteella, mikä funktioista F, F ja F 3 voi olla polynomifunktion f integraalifunktio. Perustele. y y = f() y y = F () y y = F () y y = F 3 () 4 Integraalifunktio

13 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 06. Osoita, että funktio F( )= + 3 on funktion f () = integraalifunktio. Määritä myös jokin toinen funktion f integraalifunktio. Ratkaise tehtävä ilman teknisiä apuvälineitä. 07. Arvioi appletin avulla, mikä on se funktion f () = sin integraalifunktioista, jonka a) kuvaaja kulkee pisteen (π, 3) kautta b) suurin arvo on. 08. Määritä funktion f se integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta, kun 0 a) f () = 4 3 b) f () = 5 4 c) f () = e. 09. Tarkastele funktiota f () =. a) Määritä jotkin kolme funktion f integraalifunktiota ja piirrä niiden kuvaajat samaan koordinaatistoon. b) Laske funktion f integraalifunktioiden arvojen erotus F(3) F() a-kohdan funktioille. Mitä huomaat? c) Päteekö päätelmäsi kaikille funktion f integraalifunktioille? Perustele. 0. Hahmottele ilman teknisiä apuvälineitä kuvaajan perusteella funktion f kolmen eri integraalifunktion kuvaajat. y y = f(). Ohessa on osa funktion f erään integraalifunktion F kuvaajasta. a) Minkä funktion integraalifunktioita G() = F() + ja H() = F() ovat? Perustele. b) Hahmottele funktion f kuvaaja ilman teknisiä apuvälineitä. y y = F() π π 3π π 5π 3π. Muuta pisteitä liikutellen appletin funktio f sellaiseksi, että sen a) kaikilla integraalifunktioilla F on paikallinen minimi kohdassa = ja paikallinen maksimi kohdassa = b) jollakin integraalifunktiolla on paikallinen maksimiarvo 0 c) kaikki integraalifunktiot ovat kasvavia vain välillä [, ].. Integraalifunktion määritelmä 5

14 3. Tutki funktion f () = integraalifunktioita F. Määritä kaikki mahdolliset seuraavista funktion F ominaisuuksista: ääriarvokohdat, ääriarvot ja ääriarvojen laatu. 4. Mitkä funktioista F( )=, F( )= + ja F3( )= ovat funktion f( )= integraalifunktioita, kun > 0? Esitä, jos mahdollista, funktioiden F ja F 3 lausekkeet muodossa F () + C. Käytä tarvittaessa apuna symbolisen laskennan ohjelmaa. 5. Vakiofunktiolla f () = on integraalifunktio F, jonka kuvaaja rajoittaa koordinaattiakselien kanssa 9 pinta-alayksikön suuruisen kolmion. Määritä F(). SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 6. Funktion f kuvaajalle pisteeseen (, y) piirretyn tangentin kulmakerroin on yhtä suuri kuin pisteen -koordinaatti. Lisäksi funktion pienin arvo on. a) Määritä f (). b) Mikä on kuvaajalle kohtaan = 3 piirretyn tangentin yhtälö? 7. Osoita, että funktiot F() = ln ja G() = ln(k) ovat saman funktion integraalifunktioita, kun > 0 ja k on positiivinen vakio. Esitä funktion G lauseke muodossa F() + C. 8. Funktion f derivaattafunktio on 3 +. Kuinka paljon funktion f arvo muuttuu kohdasta = kohtaan = 3 siirryttäessä? 9. Funktion f derivaattafunktion muutosnopeus kohdassa on 6. Tiedetään, että funktion f muutosnopeus on pienimmillään. Lisäksi funktiosta f tiedetään, että f () =. Määritä f (). 0. a) Olkoon F () = f (). Osoita, että funktion k f () integraalifunktiot ovat k F() + C, jossa C on vakio. b) Olkoon F () = f () ja G () = g(). Etsi funktion f () + g() jokin integraalifunktio. Perustele. 6 Integraalifunktio

15 . Polynomifunktion integrointi Digijohdanto: Muodosta integraalifunktiot. Johdanto Määritä funktion f () = n kaikki integraalifunktiot, kun n on positiivinen kokonaisluku. Ratkaisu Päätellään derivoimissääntöjen avulla funktio, jonka derivaattafunktio on f () = n. Listataan kokeilun tuloksia. derivointi derivointi D n = n n Lisätään sopiva kerroin Kokeilun perusteella voidaan tehdä arvaus funktion n integraalifunktiosta: eksponentti kasvaa yhdellä ja kertoimeksi tulee uuden eksponentin käänteisluku. Integraalifunktio on siis n+. n + Tarkistetaan derivoimalla: D n + n = n + ( + ) =. n+ n+ n Funktion f () = n n+ kaikki integraalifunktiot ovat F( ) = + C. n + Funktion f kaikkien integraalifunktioiden muodostamista kutsutaan integroimiseksi ja integraalifunktioita merkitään symbolilla f ( ) d. Merkintä luetaan integraali f d. Merkintä d ilmaisee muuttujan, jonka suhteen integroidaan. 7 d integrointi C ( ) D C derivointi. Polynomifunktion integrointi 7

16 Seuraava lause sisältää polynomifunktioiden integroimiseen tarvittavat integroimissäännöt. Lause n n+ a) d = + C, kun n =,, 3, n + b) kd = k + C, kun k on vakio. c) kf( ) d = k f( ) d, kun k on vakio. ( ) = + d) f( ) + g( ) d f( ) d g( ) d Todistus a) Todistettiin johdannossa. b) Koska D(k) = k, funktio k on vakiofunktion f () = k integraalifunktio. Näin ollen funktion f () = k kaikki integraalifunktiot ovat muotoa F() = k + C, ts. kd = k + C. c) Jos F on funktion f jokin (mikä tahansa) integraalifunktio, niin D(kF()) = kf () = kf(). Näin ollen funktio kf on funktion kf integraalifunktio. Funktion kf kaikki integraalifunktiot ovat muotoa kf + C, eli kf( ) d = kf( ) + C. Tämä sääntö voidaan esittää muodossa kf( ) d = k f( ) d. d) Todistus on harjoitustehtävänä. 8 Integraalifunktio

17 Esimerkki Määritä. a) ( d ) b) ( t+ ) dt Ratkaisu a) Edellisen lauseen perusteella polynomit voidaan integroida termeittäin ja kertoimet siirtää integrointimerkin eteen. ( ) d = 3 d+ d+ 5d + + = C + + = C = C Riittää lisätä yksi integroimisvakio C koko lausekkeen loppuun. b) Merkintä dt ilmaisee, että integroidaan muuttujan t suhteen. Kirjaimella ei sinänsä ole merkitystä: ( t+ ) dt lasketaan täysin samalla tavalla kuin ( + ) d. Aiemmin todistettuja sääntöjä ei nyt voida käyttää suoraan, vaan sulkeet on avattava, jotta integroitavaksi saadaan polynomilauseke. (t + ) = 4t + 4t + (a + b) = a + ab + b Polynomilauseke voidaan integroida muuttujan t suhteen edellä esitettyjä integrointisääntöjä käyttäen. ( t+ ) dt = ( 4t + 4t+ ) dt + + = 4 t + 4 t + t+ C = t + t + t+ C Appletissa näytetään, miten integraalit voidaan laskea symbolisen laskennan ohjelmalla.. Polynomifunktion integrointi 9

18 Esimerkki Integroi funktio f, kun 3 4 a) f( )=, > b) f + 3 ( )=, <. + Ratkaisu a) Aiemmin todistettuja sääntöjä ei nyt voida käyttää suoraan, vaan lauseketta on sievennettävä, jotta integroitavaksi saadaan polynomilauseke. Funktion f lauseke voidaan sieventää polynomiksi funktion määrittelyjoukossa >. f( ) = 4 ( )( + ) = = + a b = (a b)(a + b) Siis f 4 ( ) d = d = ( ) d C + = + +, kun >. b) Jotta aiemmin todistettuja sääntöjä voidaan käyttää, funktion f lauseke on supistettava polynomiksi ( + 3 ) = + + = ( + )( ) + = ( ) = Tekijöihin jakaminen nollakohtien avulla: a + b + c = a( )( ) Siis f( ) d = d = ( ) d + = 3 + C kun <. 3, 0 Integraalifunktio

19 Kirjaimet tulevat englannista: t = time s = space v = velocity a = acceleration Sovelluksissa tiedetään usein jonkin suureen muutosnopeus eli derivaatta. Tällöin suure voidaan selvittää integroimalla. Esimerkiksi kappaleen nopeus v on paikan s muutosnopeus: v(t) = s (t), kun t on aika. Näin ollen paikka s on jokin funktion v integraalifunktio. Vastaavasti kappaleen kiihtyvyys a on kappaleen nopeuden v muutosnopeus eli a(t) = v (t). Esimerkki 3 Pesäpallolukkari syöttää pallon suoraan ylöspäin alkunopeudella 0 m/s. Pallo irtoaa lukkarin kädestä metrin korkeudella maanpinnasta. Kappaleen putoamiskiihtyvyys maanpinnan läheisyydessä on vakio, noin 9,8 m/s. a) Määritä pallon nopeus t:n sekunnin kuluttua irtoamishetkestä. b) Kuinka korkealle pallo nousee? Ratkaisu a) Pallon irrottua sen nopeus vähenee 9,8 m/s sekunnissa (= 9,8 m/s ). Näin ollen pallon nopeuden v muutosnopeus on 9,8 m/s eli v (t) = 9,8. Tällöin vt () = 9,8dt = 9, 8t+ C. Alkunopeus on 0 m/s, joten v(0) = 0. Ratkaistaan tästä integroimisvakio. Koska v(0) = 9,8 0 + C = C, niin C = 0. Nopeus on siis v(t) = 9,8t + 0. Appletissa havainnollistetaan pallon liikettä. Selvyyden vuoksi yksiköt jätetään laskuista pois.. Polynomifunktion integrointi

20 b) Selvitetään ensin pallon paikan s eli korkeuden lauseke. Paikan derivaatta on nopeus eli s (t) = v(t), joten st () = vt () dt = ( 9,8t+ 0) dt = 98, t + 0t+ D = 4, 905t + 0t+ D. Pallo lähtee metrin korkeudelta, joten s(0) =. Ratkaistaan tästä ehdosta vakio D. Koska s(0) = 4, D = D, niin D =. Pallon paikka hetkellä t on siis s(t) = 4,905t + 0t +. Ratkaistaan hetki, jolloin pallo on lakipisteessä eli jolloin sen nopeus on nolla: v(t) = 9,8t + 0 = 0, josta t =,09,0 (sekuntia). Kysytty pallon lakikorkeus saadaan laskemalla pallon paikka kyseisellä hetkellä: s(,09 ) = = 6,096 6 (metriä). Pallo nousee 6 metrin korkeudelle. Merkintä ilmaisee, että ratkaisusta on jätetty pois mekaanisia välivaiheita. Integraalifunktio

21 Harjoitustehtävät YDINTEHTÄVÄT. Yhdistä sanallinen esitysmuoto A C, symbolinen esitysmuoto I III sekä integraalifunktio 3. Ratkaise ilman teknisiä apuvälineitä. A. Funktion + integraali muuttujan suhteen. B. Funktion + integraali muuttujan suhteen. C. Funktion t + integraali muuttujan t suhteen. I. ( + ) d. t + t + C II. ( t+ ) dt. + + C III. ( + ) d C Määritä tehtävien 4 integraalit ilman teknisiä apuvälineitä.. a) 6 d b) 5 4 d c) 4d 3. a) 4d b) ( 3 + 3) d c) 4. Määritä funktion f kaikki integraalifunktiot, kun 3 3 a) f( )= 4 b) f () = d 5. a) Määritä ilman teknisiä apuvälineitä funktion f () = se integraalifunktio F, jonka kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta. b) Tarkista a-kohdan vastaus sopivalla ohjelmalla. VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 6. Määritä ilman teknisiä apuvälineitä. 5 3 a) ( ) d b) ( 3 + ) d c) ( + )( 3 4d ) 7. a) Määritä ( t+ 3) d t ilman teknisiä apuvälineitä. b) Määritä funktion f (t) = 6t 3 + t se integraalifunktio F, jolle F(0) =. 8. Lue tarvittavat tiedot polynomifunktion f kuvaajalta ja määritä a) funktion f lauseke f () b) funktion f kaikki integraalifunktiot c) kohta, jossa saavutetaan funktion f jokaisen integraalifunktion pienin arvo. y y = f() 3 4. Polynomifunktion integrointi 3

22 9. a) Etsi appletin avulla se funktion f () = + 6 integraalifunktio F, jonka suurin arvo on 4. Mikä on funktion f arvo kohdassa, jossa F saavuttaa suurimman arvonsa? Miksi? b) Määritä ilman teknisiä apuvälineitä funktion h() = 4 8 se integraalifunktio H, jonka pienin arvo on 6. Määritä tehtävien 30 ja 3 integraalit ilman teknisiä apuvälineitä. 30. a) ( ) 3 9+ d b) ( t )( t+ ) d t c) d 6 3. a) ( ) d b) ( t) d t c) ( + 4)( )( + ) d 3. Integroi funktio f ilman teknisiä apuvälineitä, kun a) f( ) =, < 3 b) f( ) =, > Määritetään funktion f () = 3 se integraalifunktio F, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = 3. a) Etsi F appletin avulla. Mikä on funktion f arvo sivuamiskohdassa? Miksi? b) Määritä funktio F laskemalla ilman teknisiä apuvälineitä. 34. Levosta lähtevän vapaasti putoavan kappaleen nopeus hetkellä t on likimain v()= t 0t t (m/s), kun 0 s t 0 s. a) Mikä on kappaleen nopeus 0 sekunnin kuluttua? b) Kuinka pitkän matkan kappale etenee ensimmäisten 0 sekunnin kuluessa? 35. a) Kuinka korkealle ihmisen on mahdollista heittää kappale? Ota lähtökohdaksi huippupesäpalloilijan heittonopeus, noin 50 km/h eli noin 4 m/s ( m/s = 3,6 km/h). Putoamiskiihtyvyys on maanpinnan läheisyydessä noin 9,8 m/s. b) Olympiastadionin tornin korkeus on 7 metriä. Pohdi a-kohdan tuloksen avulla, olisiko mahdollista heittää pesäpallo tornin yli. 36. Määritä ilman teknisiä apuvälineitä se funktion f () = integraalifunktio F, jolla on paikallinen maksimiarvo 6. Tarkista ratkaisusi sopivan ohjelman avulla. 37. Määritä ne funktion f () = 3 + integraalifunktiot, jotka saavat pelkästään negatiivisia arvoja. 4 Integraalifunktio

23 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 38. Metro kiihdyttää tasaisesti kiihtyvyydellä,0 m/s, ajaa tämän jälkeen tasaisella nopeudella 60 km/h ja jarruttaa lopuksi pysähdyksiin hidastuvuudella,0 m/s. Pysäkkien väliseen matkaan kuluu 3 minuuttia. Laske pysäkkien välimatka. 39. Funktio F on funktion f ja funktio G funktion g integraalifunktio. Onko väittämä tosi vai epätosi? Perustele. ( ) = + ( ( ) ( )) d = ( ) ( ) + a) f( ) g( ) d F( ) G( ) C b) f g F G C c) f( ) F( ) d = + C, k k k 40. Millä funktion f () = + integraalifunktiolla nollakohtien välisen janan pituus on 4? 4. Funktion f toisen kertaluvun derivaattafunktio on f () = Funktiolla on maksimi f (0) = 36. Määritä funktion f nollakohdat ja ääriarvopisteet. Käytä tarvittaessa symbolisen laskennan ohjelmaa. ( ) = + 4. Todista teoriaosan lauseen kohta f( ) + g( ) d f( ) d g( ) d. n n+ 43. a) Osoita, että d = + C myös silloin, kun n =, 3, 4, n + Määritä 0 5 d. b) Miksi a-kohdan integrointikaava ei päde funktioon? Määritä d.. Polynomifunktion integrointi 5

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

Integraalifunktio. Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5

Integraalifunktio. Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5 Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? MiH (Ivalon lukio) MAA10 25. kesäkuuta 2014 1 / 5 Pohdittavaa: Minkä funktion derivaattafunktio on a) 3x 2, b) 2x? Derivaatta a) 3x 2 Funktio

Lisätiedot

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio 3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2].

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2]. 7. Derivaatan sovellutuksia 7.1. Derivaatta tangentin kulmakertoimena 6. Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x + ax + b ja y = cx x sivuavat toisiaan pisteessä (1,). a = 0, b =, c = 4. 6. Määritä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Derivaatan sovelluksia

Derivaatan sovelluksia Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA MIKROTEORIA, HARJOITUS BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA tilasto (600 00) 00 a. Kulmakerroin: = = =, koska 00 sivua lisää ta aiheuttaa (00 400) 00 luopumisen 00 sivusta tilastoa. Toisin

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 2, viikko 3

Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 2, viikko 3 Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 2, viikko 3 Tehtävä 1.Tarkastellaan opiskelijaa, jolla opiskelun ohella jää 8 tuntia päivässä käytettäväksi työntekoon ja vapaa-aikaan. Olkoot hänen

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

1 Oikean painoisen kuulan valinta

1 Oikean painoisen kuulan valinta Oikean painoisen kuulan valinta Oheisessa kuvaajassa on optimoitu kuulan painoa niin, että se olisi mahdollisimman nopeasti perillä tietyltä etäisyydeltä ammuttuna airsoft-aseella. Tulos on riippumaton

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä

Pietarsaaren lukio Vesa Maanselkä Fys 9 / Mekaniikan osio Liike ja sen kuvaaminen koordinaatistossa Newtonin lait Voimavektorit ja vapaakappalekuvat Työ, teho,työ-energiaperiaate ja energian säilymislaki Liikemäärä ja sen säilymislaki,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Anastasia Vlasova Peruskoulun matematiikkakilpailutyöryhmä Tämän työn tarkoituksena oli saada käsitys siitä,

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

Luentoesimerkki: Riemannin integraali

Luentoesimerkki: Riemannin integraali Luentoesimerkki: Riemannin integraali Heikki Apiola, "New perpectives "-esitykseen lievästi muokattu Kurssi: Informaatioverkostot, keväällä Tässä (4..) käytetään "worksheet-modea", uudempaa "document mode"

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

Havainnoi mielikuviasi ja selitä, Panosta ajatteluun, selvitä liikkeen salat!

Havainnoi mielikuviasi ja selitä, Panosta ajatteluun, selvitä liikkeen salat! Parry Hotteri tutki näkymättömiä voimia kammiossaan Hän aikoi tönäistä pallon liikkeelle pöydällä olevassa ympyrän muotoisessa kourussa, joka oli katkaistu kuvan osoittamalla tavalla. Hän avasi Isaac Newtonin

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti MAA8 Ko 5..04 T konsptiin pisttsruudukko! Muista kirjata nimsi ja rhmäsi. Lu ohjt huolllissti A-Osio: Ei saa kättää laskinta. MAOL saa olla alusta asti kätössä. Maksimissaan h aikaa suorittaa A- Osio.

Lisätiedot

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi

MAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t,

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, v)-koordinaatistossa ruutumenetelmällä. Tehtävä 4 (~YO-K97-1). Tekniikan

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5 ja jatkuvuus, L5 1 Wikipedia: (http://fi.wikipedia.org/wiki/ ) 2 Funktion f () = 2 4 2 a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään,

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot