Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Integraalilaskenta. Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka"

Transkriptio

1 Integraalilaskenta 9 Markus Hähkiöniemi Satu Juhala Petri Juutinen Sari Louhikallio-Fomin Erkki Luoma-aho Terhi Raittila Tommi Tikka Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

2 Kirjan rakenne Aiemmin opiskeltua -tehtävät palauttavat mieleen aiempien kurssien asioita. Ennakkotehtäviä on jokaisen luvun aloitusaukeamalla kaksi: helpompi ja vaikeampi. Tehtävät on mahdollista ratkaista aiempien tietojen avulla. Digijohdanto ja johdanto aloittavat jokaisen alaluvun. Digijohdanto on appletti, jossa ratkaistaan alaluvun uuteen asiaan johdattava tehtävä. Johdannossa uuteen asiaan tutustutaan selittävän esimerkin avulla. Johdannon keskeiset havainnot kootaan lauseessa tai määritelmässä. Harjoitustehtävät on jaoteltu ydintehtäviin, vahvistaviin tehtäviin ja syventäviin tehtäviin. Ydintehtävät on tarkoitettu kaikille, ja niissä kohdataan keskeiset uudet asiat. Ydintehtäviä monipuolisemmat vahvistavat tehtävät lujittavat osaamista ja antavat vankan pohjan tulevien asioiden ymmärtämiselle. Aiheen perusteellista hallintaa tavoiteltaessa on syytä tehdä syventäviäkin tehtäviä. Ylioppilastehtävän tiedot on merkitty hakasulkeisiin. Esimerkiksi [K5/] on kevään 05 pitkän matematiikan kokeen tehtävä. Teknisten apuvälineiden käytöstä on mainittu harjoitustehtävässä erikseen, jos tehtävä on tarkoitus ratkaista ilman teknisiä apuvälineitä tai sopivalla ohjelmalla. Teknisellä apuvälineellä tarkoitetaan ohjelman toimintoa, josta on matematiikan kannalta apua. Muilta osin tietokoneen tai muun laitteen käyttäminen ratkaisun kirjaamisessa on aina sallittua. Kertausosiossa kurssin keskeiset ideat esitellään tiiviissä muodossa ja niitä harjoitellaan muutamalla tehtävällä. Kertausosion perässä on kokoavia tehtäviä koko kurssista. Logojen merkitykset ovat seuraavat: Asiaan liittyy appletti osoitteessa Tehtävään on vihje kirjan lopussa. SYVENNÄ Asiaan liittyviä tehtäviä on vain syventävissä tehtävissä. 4

3 Aiemmin opiskeltua Kertaa aiempien kurssien asioita, joita tarvitset tällä kurssilla. Vastausosiossa on tehtävien ratkaisut.. Derivoi. a) b) (4 7) 5. Funktion f arvo on erään kaupan myynti euroina tuntia kaupan aukeamisesta, kun 0 < <. Määritä myynnin muutosnopeus tunnin kuluttua kaupan aukeamisesta. a) f () = b) y 500 (4, 400) (, 800) y = f() Ohessa on polynomifunktion f derivaattafunktion f merkkikaavio. Hahmottele jokin mahdollinen funktion f kuvaaja. 3 f () Ratkaise annetun funktion derivaattafunktion nollakohdat. a) f () = e 3 b) g( ) = sin Kuvassa on erään toisen asteen polynomifunktion f kuvaaja. Piirrä samaan kuvaan derivaattafunktion f kuvaaja. 3 y y = f() (, 0) (3, 0) (0, 3) 6. Suora y = + 4 rajaa koordinaattiakseleiden sekä suoran = 3 kanssa puolisuunnikkaan. Määritä tämän puolisuunnikkaan pinta-ala. 5

4 Integraalilaskenta K urssissa MAA6 tutustuttiin matemaattisen analyysin yhteen kulmakiveen, derivaattaan. Derivaatan eli muutosnopeuden avulla voidaan tutkia funktion kulkua ja ratkaista monenlaisia ääriarvoihin liittyviä ongelmia. Tässä kurssissa ajattelu käännetään: miten funktion lauseke voidaan määrittää, jos sen derivaattafunktion lauseke tunnetaan? Tähän kysymykseen vastaaminen ei ole pelkkää matemaattista ajanvietettä, vaan derivoinnille käänteisen operaation, integroinnin, avulla saadaan ratkaistua monta käytännön ongelmaa. Pinta-aloja ja tilavuuksia Oheisessa kuvassa on sovitettu karttapohjalle Temppeli aukion kirkkoa ympäröivän puiston rajoja mukailevat käyrät. Tällä kurssilla opitaan, miten käyrien rajoittaman alueen eli tässä tapauksessa puiston pinta-ala voidaan laskea. y y = 0,4 +,7 +, A 4 y = 0,04( ) y = 0,6 6,8 C 300 m B Jos Eiffel-tornin ulkopinta peitettäisiin metallilevyillä, kuinka suuri olisi levyjen rajaaman kappaleen tilavuus? Tällä kurssilla opittavilla tiedoilla voidaan laskea muidenkin kuin tavallisten geometristen kappaleiden tilavuuksia. 6 y = 4,5e,67 0,0089

5 Käyttöä tekniikan sovelluksissa Monien lääketieteessä käytettävien kuvantamis laitteiden kuva muodostetaan integraalimuunnosta käyttäen. Muunnos mahdollistaa eri poikki leikkaustasoissa tehtyjen mittaustulosten yhdistämisen (engl. integrate) yhdeksi kaksi- tai kolmiulotteiseksi kuvaksi. Aerobisessa urheilusuorituksessa kuluva energiamäärä voidaan laskea, jos tiedetään, kuinka paljon happea kulutetaan suorituksen aikana. Kokonaishapen kulutus on mahdollista selvittää analyysilaitteiden antamien tietojen ja integraalilaskennan avulla. Integraalimerkki Derivaatan on alkujaan tulkittu kertovan funktion muutoksen hyvin pienellä välillä. Käänteinen operaatio integrointi puolestaan pohjautuu ajatukseen näiden hyvin pienten muutosten laskemisesta yhteen. Tästä syystä integroinnin merkintätavaksi on vakiintunut summaan viittaava pidennetty S-kirjain eli. Integraalimerkki on peräisin Gottfried Leibnizilta (646 76). Leibnizia ja Isaac Newtonia (64 76) pidetään integraalilaskennan tärkeimpinä kehittäjinä. 7

6 Integraalifunktio Ilmiöitä tutkittaessa tulee vastaan tilanteita, joissa tiedetään jonkin suureen muutosnopeus mutta ei itse suuretta. Tiedetään esimerkiksi populaation koon muutosnopeus eli derivaatta mutta ei populaation kokoa. Tässä luvussa opitaan määrittämään funktioita, kun niiden derivaattafunktio tunnetaan. 8

7 Ennakkotehtävät Uusi asia on helpompi ymmärtää, kun sitä on jo pohtinut ennakkotehtävissä.. Tarkastellaan funktiota f, jonka derivaattafunktio on f () = 3. a) Määritä yksi mahdollinen funktion f lauseke. b) Määritä kaksi muuta mahdollista funktion f lauseketta. c) Piirrä a- ja b-kohdissa muodostamiesi funktioiden kuvaajat samaan koordinaatistoon. Mitä havaitset? Selitä, mistä havaintosi johtuu.. Biologit voivat luoda matemaattisen mallin jonkin populaation koon muutosnopeudesta eli derivaatasta. Muutosnopeus ei kaikissa malleissa ole vakio vaan muuttuu. Hahmottele applettiin populaation suuruuden kuvaaja neljässä eri muutosnopeuden mallissa. 9

8 . Integraalifunktion määritelmä Digijohdanto: Muodosta funktio, kun derivaattafunktio tiedetään. Johdanto Määritä jokin funktio F, jonka derivaattafunktio on f () = Ratkaisu Funktio F on sellainen, että se derivoimalla saadaan Tutkitaan ensin, mikä termi derivoimalla saadaan 8 3. Derivoitaessa polynomifunktion asteluku pienenee yhdellä, joten lausekkeen pitää olla neljännen asteen polynomi. Kokeillaan termiä 4 : D 4 = 4 4 = 4 3. D n = n n Lisätään sopiva kerroin: D( 4 ) = 4 3 = 8 3. Lisäksi D(5) = 5, joten D( 4 5) = Funktioksi F käy siis esimerkiksi F() = 4 5. Funktiota, jonka derivaattafunktio on f, sanotaan funktion f integraalifunktioksi. Määritelmä Funktion f integraalifunktio on funktio F, jolle F () = f () kaikissa pisteissä, joissa f on määritelty. Jatkossa oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin avoimella välillä, ellei toisin mainita. 0 Integraalifunktio

9 Esimerkki Ovatko funktiot F () = sin + 3 ja F () = sin funktion f () = cos integraalifunktioita? Ratkaisu Funktio F on funktion f integraalifunktio, jos F () = f (). Selvitetään derivoimalla funktio F, onko näin: F () = D(sin + 3) = cos + 0 = cos. D sin = cos Siis F on funktion f integraalifunktio. Vastaavasti F () = D(sin ) = cos 0 = cos. Molemmat funktiot F ja F ovat funktion f integraalifunktioita. Esimerkissä havaittiin, että annetulla funktiolla voi olla useita integraalifunktioita. Eri integraalifunktiot poikkeavat kuitenkin toisistaan vain vakion verran. Tulos pätee yleisestikin. Jatkossa tämä ilmaistaan toteamalla, että integraalifunktio on vakiota vaille yksikäsitteinen. Lause Olkoon F funktion f eräs integraalifunktio. Funktio G on funktion f integraalifunktio, jos ja vain jos G() = F() + C, jossa C on vakio. Todistus Osa Oletetaan, että G() = F() + C. Pitää osoittaa, että funktio G on funktion f integraalifunktio eli G () = f (). Tämä nähdään derivoimalla funktio G: G () = D(F() + C) = DF() + D(C) = f () + 0 = f (). Osa Oletetaan, että funktio G on funktion f integraalifunktio. Määritelmän mukaan tämä tarkoittaa, että G () = f (). Pitää osoittaa, että funktion G lauseke on muotoa G() = F() + C jollakin vakiolla C. Osoitetaan tämä näyttämällä, että funktioiden G ja F erotus eli funktio G() F() on vakiofunktio. Koska sekä F että G ovat funktion f integraalifunktioita, niin D(G() F()) = DG() DF() = f () f () = 0. Jos avoimen välin kaikissa pisteissä g () = 0, niin g() = C (vakio). Funktion G() F() derivaatta on siis koko määrittelyvälillä nolla. Kurssilla MAA6 esitetyn lauseen mukaan tästä seuraa, että funktio G() F() on vakiofunktio. Siis G() = F() + C jollakin vakiolla C.. Integraalifunktion määritelmä

10 Esimerkki Olkoon funktio f () =. a) Määritä funktion f kaikki integraalifunktiot. b) Piirrä funktion f neljän eri integraalifunktion kuvaajat. c) Määritä funktion f se integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (, 5) kautta. Ratkaisu a) Kun tehtävänä on etsiä jonkin funktion kaikki integraalifunktiot, edellisen lauseen mukaan riittää löytää yksi sen integraalifunktioista. Muut integraalifunktiot saadaan lisäämällä tähän funktioon vakioita. Funktion f eräs integraalifunktio on, sillä D( ) =. Funktion f kaikki integraalifunktiot ovat F() = + C, jossa C voi olla mikä tahansa reaaliluku. b) Piirretään funktion f integraalifunktioiden kuvaajat esimerkiksi vakion C arvoilla, 0, ja 3. F () = F () = F 3 () = + F 4 () = y y = F 4 () y = F 3 () y = F () y = F () Funktion f integraalifunktioiden kuvaajat saadaan toisistaan y-akselin suuntaisilla siirroilla. Appletti havainnollistaa syntyvää käyräparvea. c) Koska kysytyn integraalifunktion kuvaaja kulkee pisteen (, 5) kautta, funktio F() = + C saa kohdassa = arvon 5. F( ) = ( ) ( ) + C = + + C = + C Ratkaistaan ehdosta F( ) = 5 integroimisvakion C arvo. + C = 5 C = 3 Kysytty integraalifunktio on F() = + 3. Integraalifunktio

11 Esimerkki 3 a) Osoita derivoimalla, että funktiot F( ) =, > G( ) =, > b) Esitä G() muodossa F() + C., ja, ovat saman funktion integraalifunktioita. Ratkaisu a) Näytetään, että funktioilla F ja G on sama derivaattafunktio. F ( ) = D = D( ) = ( ) = ( ) G ( ) = D ( ) = ( ) = ( ) Du(s()) = u (s())s () Molemmat funktiot F ja G ovat funktion f( ) = ( ) integraalifunktioita. b) Ehto G() = F() + C on toisin sanottuna G() F() = C. Lasketaan funktioiden erotus. G( ) F( ) = = = Näin ollen G ( ) = F ( ) + = +. D f ( ) f ( ) g( ) f( ) g ( ) = g( ) ( g( )) Tämäkin lasku riittäisi osoittamaan, että F ja G ovat saman funktion integraalifunktioita.. Integraalifunktion määritelmä 3

12 Harjoitustehtävät YDINTEHTÄVÄT 0. Onko funktio F funktion f integraalifunktio? Perustele. a) F() = ja f () = 3 + b) F() = ja f () = 4 3 Ratkaise tehtävä ilman teknisiä apuvälineitä. 0. Määritä funktion f () = 3 a) jokin integraalifunktio b) kaikki integraalifunktiot c) se integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (, 3) kautta. 03. Määritä jotkin kolme funktion f () = integraalifunktiota ja piirrä niiden kuvaajat samaan koordinaatistoon sopivalla ohjelmalla. 04. Onko väittämä oikein vai väärin? Perustele. a) Funktiolla voi olla kaksi eri integraalifunktiota. b) Saman funktion kahden eri integraalifunktion kuvaajat eivät voi leikata toisiaan. 05. Päättele kuvaajien perusteella, mikä funktioista F, F ja F 3 voi olla polynomifunktion f integraalifunktio. Perustele. y y = f() y y = F () y y = F () y y = F 3 () 4 Integraalifunktio

13 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 06. Osoita, että funktio F( )= + 3 on funktion f () = integraalifunktio. Määritä myös jokin toinen funktion f integraalifunktio. Ratkaise tehtävä ilman teknisiä apuvälineitä. 07. Arvioi appletin avulla, mikä on se funktion f () = sin integraalifunktioista, jonka a) kuvaaja kulkee pisteen (π, 3) kautta b) suurin arvo on. 08. Määritä funktion f se integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta, kun 0 a) f () = 4 3 b) f () = 5 4 c) f () = e. 09. Tarkastele funktiota f () =. a) Määritä jotkin kolme funktion f integraalifunktiota ja piirrä niiden kuvaajat samaan koordinaatistoon. b) Laske funktion f integraalifunktioiden arvojen erotus F(3) F() a-kohdan funktioille. Mitä huomaat? c) Päteekö päätelmäsi kaikille funktion f integraalifunktioille? Perustele. 0. Hahmottele ilman teknisiä apuvälineitä kuvaajan perusteella funktion f kolmen eri integraalifunktion kuvaajat. y y = f(). Ohessa on osa funktion f erään integraalifunktion F kuvaajasta. a) Minkä funktion integraalifunktioita G() = F() + ja H() = F() ovat? Perustele. b) Hahmottele funktion f kuvaaja ilman teknisiä apuvälineitä. y y = F() π π 3π π 5π 3π. Muuta pisteitä liikutellen appletin funktio f sellaiseksi, että sen a) kaikilla integraalifunktioilla F on paikallinen minimi kohdassa = ja paikallinen maksimi kohdassa = b) jollakin integraalifunktiolla on paikallinen maksimiarvo 0 c) kaikki integraalifunktiot ovat kasvavia vain välillä [, ].. Integraalifunktion määritelmä 5

14 3. Tutki funktion f () = integraalifunktioita F. Määritä kaikki mahdolliset seuraavista funktion F ominaisuuksista: ääriarvokohdat, ääriarvot ja ääriarvojen laatu. 4. Mitkä funktioista F( )=, F( )= + ja F3( )= ovat funktion f( )= integraalifunktioita, kun > 0? Esitä, jos mahdollista, funktioiden F ja F 3 lausekkeet muodossa F () + C. Käytä tarvittaessa apuna symbolisen laskennan ohjelmaa. 5. Vakiofunktiolla f () = on integraalifunktio F, jonka kuvaaja rajoittaa koordinaattiakselien kanssa 9 pinta-alayksikön suuruisen kolmion. Määritä F(). SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 6. Funktion f kuvaajalle pisteeseen (, y) piirretyn tangentin kulmakerroin on yhtä suuri kuin pisteen -koordinaatti. Lisäksi funktion pienin arvo on. a) Määritä f (). b) Mikä on kuvaajalle kohtaan = 3 piirretyn tangentin yhtälö? 7. Osoita, että funktiot F() = ln ja G() = ln(k) ovat saman funktion integraalifunktioita, kun > 0 ja k on positiivinen vakio. Esitä funktion G lauseke muodossa F() + C. 8. Funktion f derivaattafunktio on 3 +. Kuinka paljon funktion f arvo muuttuu kohdasta = kohtaan = 3 siirryttäessä? 9. Funktion f derivaattafunktion muutosnopeus kohdassa on 6. Tiedetään, että funktion f muutosnopeus on pienimmillään. Lisäksi funktiosta f tiedetään, että f () =. Määritä f (). 0. a) Olkoon F () = f (). Osoita, että funktion k f () integraalifunktiot ovat k F() + C, jossa C on vakio. b) Olkoon F () = f () ja G () = g(). Etsi funktion f () + g() jokin integraalifunktio. Perustele. 6 Integraalifunktio

15 . Polynomifunktion integrointi Digijohdanto: Muodosta integraalifunktiot. Johdanto Määritä funktion f () = n kaikki integraalifunktiot, kun n on positiivinen kokonaisluku. Ratkaisu Päätellään derivoimissääntöjen avulla funktio, jonka derivaattafunktio on f () = n. Listataan kokeilun tuloksia. derivointi derivointi D n = n n Lisätään sopiva kerroin Kokeilun perusteella voidaan tehdä arvaus funktion n integraalifunktiosta: eksponentti kasvaa yhdellä ja kertoimeksi tulee uuden eksponentin käänteisluku. Integraalifunktio on siis n+. n + Tarkistetaan derivoimalla: D n + n = n + ( + ) =. n+ n+ n Funktion f () = n n+ kaikki integraalifunktiot ovat F( ) = + C. n + Funktion f kaikkien integraalifunktioiden muodostamista kutsutaan integroimiseksi ja integraalifunktioita merkitään symbolilla f ( ) d. Merkintä luetaan integraali f d. Merkintä d ilmaisee muuttujan, jonka suhteen integroidaan. 7 d integrointi C ( ) D C derivointi. Polynomifunktion integrointi 7

16 Seuraava lause sisältää polynomifunktioiden integroimiseen tarvittavat integroimissäännöt. Lause n n+ a) d = + C, kun n =,, 3, n + b) kd = k + C, kun k on vakio. c) kf( ) d = k f( ) d, kun k on vakio. ( ) = + d) f( ) + g( ) d f( ) d g( ) d Todistus a) Todistettiin johdannossa. b) Koska D(k) = k, funktio k on vakiofunktion f () = k integraalifunktio. Näin ollen funktion f () = k kaikki integraalifunktiot ovat muotoa F() = k + C, ts. kd = k + C. c) Jos F on funktion f jokin (mikä tahansa) integraalifunktio, niin D(kF()) = kf () = kf(). Näin ollen funktio kf on funktion kf integraalifunktio. Funktion kf kaikki integraalifunktiot ovat muotoa kf + C, eli kf( ) d = kf( ) + C. Tämä sääntö voidaan esittää muodossa kf( ) d = k f( ) d. d) Todistus on harjoitustehtävänä. 8 Integraalifunktio

17 Esimerkki Määritä. a) ( d ) b) ( t+ ) dt Ratkaisu a) Edellisen lauseen perusteella polynomit voidaan integroida termeittäin ja kertoimet siirtää integrointimerkin eteen. ( ) d = 3 d+ d+ 5d + + = C + + = C = C Riittää lisätä yksi integroimisvakio C koko lausekkeen loppuun. b) Merkintä dt ilmaisee, että integroidaan muuttujan t suhteen. Kirjaimella ei sinänsä ole merkitystä: ( t+ ) dt lasketaan täysin samalla tavalla kuin ( + ) d. Aiemmin todistettuja sääntöjä ei nyt voida käyttää suoraan, vaan sulkeet on avattava, jotta integroitavaksi saadaan polynomilauseke. (t + ) = 4t + 4t + (a + b) = a + ab + b Polynomilauseke voidaan integroida muuttujan t suhteen edellä esitettyjä integrointisääntöjä käyttäen. ( t+ ) dt = ( 4t + 4t+ ) dt + + = 4 t + 4 t + t+ C = t + t + t+ C Appletissa näytetään, miten integraalit voidaan laskea symbolisen laskennan ohjelmalla.. Polynomifunktion integrointi 9

18 Esimerkki Integroi funktio f, kun 3 4 a) f( )=, > b) f + 3 ( )=, <. + Ratkaisu a) Aiemmin todistettuja sääntöjä ei nyt voida käyttää suoraan, vaan lauseketta on sievennettävä, jotta integroitavaksi saadaan polynomilauseke. Funktion f lauseke voidaan sieventää polynomiksi funktion määrittelyjoukossa >. f( ) = 4 ( )( + ) = = + a b = (a b)(a + b) Siis f 4 ( ) d = d = ( ) d C + = + +, kun >. b) Jotta aiemmin todistettuja sääntöjä voidaan käyttää, funktion f lauseke on supistettava polynomiksi ( + 3 ) = + + = ( + )( ) + = ( ) = Tekijöihin jakaminen nollakohtien avulla: a + b + c = a( )( ) Siis f( ) d = d = ( ) d + = 3 + C kun <. 3, 0 Integraalifunktio

19 Kirjaimet tulevat englannista: t = time s = space v = velocity a = acceleration Sovelluksissa tiedetään usein jonkin suureen muutosnopeus eli derivaatta. Tällöin suure voidaan selvittää integroimalla. Esimerkiksi kappaleen nopeus v on paikan s muutosnopeus: v(t) = s (t), kun t on aika. Näin ollen paikka s on jokin funktion v integraalifunktio. Vastaavasti kappaleen kiihtyvyys a on kappaleen nopeuden v muutosnopeus eli a(t) = v (t). Esimerkki 3 Pesäpallolukkari syöttää pallon suoraan ylöspäin alkunopeudella 0 m/s. Pallo irtoaa lukkarin kädestä metrin korkeudella maanpinnasta. Kappaleen putoamiskiihtyvyys maanpinnan läheisyydessä on vakio, noin 9,8 m/s. a) Määritä pallon nopeus t:n sekunnin kuluttua irtoamishetkestä. b) Kuinka korkealle pallo nousee? Ratkaisu a) Pallon irrottua sen nopeus vähenee 9,8 m/s sekunnissa (= 9,8 m/s ). Näin ollen pallon nopeuden v muutosnopeus on 9,8 m/s eli v (t) = 9,8. Tällöin vt () = 9,8dt = 9, 8t+ C. Alkunopeus on 0 m/s, joten v(0) = 0. Ratkaistaan tästä integroimisvakio. Koska v(0) = 9,8 0 + C = C, niin C = 0. Nopeus on siis v(t) = 9,8t + 0. Appletissa havainnollistetaan pallon liikettä. Selvyyden vuoksi yksiköt jätetään laskuista pois.. Polynomifunktion integrointi

20 b) Selvitetään ensin pallon paikan s eli korkeuden lauseke. Paikan derivaatta on nopeus eli s (t) = v(t), joten st () = vt () dt = ( 9,8t+ 0) dt = 98, t + 0t+ D = 4, 905t + 0t+ D. Pallo lähtee metrin korkeudelta, joten s(0) =. Ratkaistaan tästä ehdosta vakio D. Koska s(0) = 4, D = D, niin D =. Pallon paikka hetkellä t on siis s(t) = 4,905t + 0t +. Ratkaistaan hetki, jolloin pallo on lakipisteessä eli jolloin sen nopeus on nolla: v(t) = 9,8t + 0 = 0, josta t =,09,0 (sekuntia). Kysytty pallon lakikorkeus saadaan laskemalla pallon paikka kyseisellä hetkellä: s(,09 ) = = 6,096 6 (metriä). Pallo nousee 6 metrin korkeudelle. Merkintä ilmaisee, että ratkaisusta on jätetty pois mekaanisia välivaiheita. Integraalifunktio

21 Harjoitustehtävät YDINTEHTÄVÄT. Yhdistä sanallinen esitysmuoto A C, symbolinen esitysmuoto I III sekä integraalifunktio 3. Ratkaise ilman teknisiä apuvälineitä. A. Funktion + integraali muuttujan suhteen. B. Funktion + integraali muuttujan suhteen. C. Funktion t + integraali muuttujan t suhteen. I. ( + ) d. t + t + C II. ( t+ ) dt. + + C III. ( + ) d C Määritä tehtävien 4 integraalit ilman teknisiä apuvälineitä.. a) 6 d b) 5 4 d c) 4d 3. a) 4d b) ( 3 + 3) d c) 4. Määritä funktion f kaikki integraalifunktiot, kun 3 3 a) f( )= 4 b) f () = d 5. a) Määritä ilman teknisiä apuvälineitä funktion f () = se integraalifunktio F, jonka kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta. b) Tarkista a-kohdan vastaus sopivalla ohjelmalla. VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 6. Määritä ilman teknisiä apuvälineitä. 5 3 a) ( ) d b) ( 3 + ) d c) ( + )( 3 4d ) 7. a) Määritä ( t+ 3) d t ilman teknisiä apuvälineitä. b) Määritä funktion f (t) = 6t 3 + t se integraalifunktio F, jolle F(0) =. 8. Lue tarvittavat tiedot polynomifunktion f kuvaajalta ja määritä a) funktion f lauseke f () b) funktion f kaikki integraalifunktiot c) kohta, jossa saavutetaan funktion f jokaisen integraalifunktion pienin arvo. y y = f() 3 4. Polynomifunktion integrointi 3

22 9. a) Etsi appletin avulla se funktion f () = + 6 integraalifunktio F, jonka suurin arvo on 4. Mikä on funktion f arvo kohdassa, jossa F saavuttaa suurimman arvonsa? Miksi? b) Määritä ilman teknisiä apuvälineitä funktion h() = 4 8 se integraalifunktio H, jonka pienin arvo on 6. Määritä tehtävien 30 ja 3 integraalit ilman teknisiä apuvälineitä. 30. a) ( ) 3 9+ d b) ( t )( t+ ) d t c) d 6 3. a) ( ) d b) ( t) d t c) ( + 4)( )( + ) d 3. Integroi funktio f ilman teknisiä apuvälineitä, kun a) f( ) =, < 3 b) f( ) =, > Määritetään funktion f () = 3 se integraalifunktio F, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = 3. a) Etsi F appletin avulla. Mikä on funktion f arvo sivuamiskohdassa? Miksi? b) Määritä funktio F laskemalla ilman teknisiä apuvälineitä. 34. Levosta lähtevän vapaasti putoavan kappaleen nopeus hetkellä t on likimain v()= t 0t t (m/s), kun 0 s t 0 s. a) Mikä on kappaleen nopeus 0 sekunnin kuluttua? b) Kuinka pitkän matkan kappale etenee ensimmäisten 0 sekunnin kuluessa? 35. a) Kuinka korkealle ihmisen on mahdollista heittää kappale? Ota lähtökohdaksi huippupesäpalloilijan heittonopeus, noin 50 km/h eli noin 4 m/s ( m/s = 3,6 km/h). Putoamiskiihtyvyys on maanpinnan läheisyydessä noin 9,8 m/s. b) Olympiastadionin tornin korkeus on 7 metriä. Pohdi a-kohdan tuloksen avulla, olisiko mahdollista heittää pesäpallo tornin yli. 36. Määritä ilman teknisiä apuvälineitä se funktion f () = integraalifunktio F, jolla on paikallinen maksimiarvo 6. Tarkista ratkaisusi sopivan ohjelman avulla. 37. Määritä ne funktion f () = 3 + integraalifunktiot, jotka saavat pelkästään negatiivisia arvoja. 4 Integraalifunktio

23 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 38. Metro kiihdyttää tasaisesti kiihtyvyydellä,0 m/s, ajaa tämän jälkeen tasaisella nopeudella 60 km/h ja jarruttaa lopuksi pysähdyksiin hidastuvuudella,0 m/s. Pysäkkien väliseen matkaan kuluu 3 minuuttia. Laske pysäkkien välimatka. 39. Funktio F on funktion f ja funktio G funktion g integraalifunktio. Onko väittämä tosi vai epätosi? Perustele. ( ) = + ( ( ) ( )) d = ( ) ( ) + a) f( ) g( ) d F( ) G( ) C b) f g F G C c) f( ) F( ) d = + C, k k k 40. Millä funktion f () = + integraalifunktiolla nollakohtien välisen janan pituus on 4? 4. Funktion f toisen kertaluvun derivaattafunktio on f () = Funktiolla on maksimi f (0) = 36. Määritä funktion f nollakohdat ja ääriarvopisteet. Käytä tarvittaessa symbolisen laskennan ohjelmaa. ( ) = + 4. Todista teoriaosan lauseen kohta f( ) + g( ) d f( ) d g( ) d. n n+ 43. a) Osoita, että d = + C myös silloin, kun n =, 3, 4, n + Määritä 0 5 d. b) Miksi a-kohdan integrointikaava ei päde funktioon? Määritä d.. Polynomifunktion integrointi 5

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 010 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4 kesäkuuta 010 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa olla

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin: Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA

MAA10 HARJOITUSTEN RATKAISUJA MAA MAA HARJOITUSTEN RATKAISUJA. f(), jolloin kaikki integraalifunktiot saadaan parvesta F() C, ja kun F(), niin integroimisvakion määräämiseksi saadaan yhtälö C C 9 9 C. Kysytty integraalifunktio on siten

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.

derivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,. Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty

Lisätiedot

Lukion. Calculus. MAA10 Integraalilaskenta. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. MAA10 Integraalilaskenta. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Integraalilaskenta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Integraalilaskenta (MAA Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. MAA Koe..05 Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko. konseptin yläreunaan. A-osio. Ilman laskinta! MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Laske kaikki tehtävät. Vastaa tälle paperille.

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot