Lyhyt, kevät 2016 Osa A

Transkriptio

1 Lyhyt, kevät 206 Osa A. Muodostettu yhtälö, 2x 2 + x = 5x 2 Kaikki termit samalla puolla, 2x 2 4x + 2 = 0 Vastaus x = x:n derivaatta on x 2 :n derivaatta on 2x f (x) = 4x + derivoitu väärää funktiota, esim. f g vastaus muodossa 2 2x + ratkaistu myös f (x) = 0 2. idea toiseen potenssiin korottamisesta TAI 9 = 3 7 < 3 2 = 9 TAI 7 < 9 Esim. Pätee, koska 9 = 3 2 Pelkkä vastaus 0 x > 2x 2 TAI kerrottu sulut auki 3x 2 < 9 joten 3 < x < 3 < sijaan Vastaus x < ± 3 Jussi on jakanut luvut 27 = ja 3 = 30 + ja kertonut yksiköt ja kymmenet erikseen, joka on pätevä menetelmä Pelkkä vastaus 0 Laskettu 27 3 = 837 muulla tavalla, ja todettu, että pätee Hän on jakanut luvun osiin 3. Oikea vastaus: 3, 2, 2, 2,, ( p/kohta)

2 4. Seuraavat seikat ilmenevät kuviosta f () = 0 on ainoa nollakohta f on suora (myös vapaalla kädellä piiretty kelpaa) f on aidosti vähenevä (esimerkiksi piiretty y = 2 2x) suunnilleen paraabelin muotoinen 2/3 alaspäin aukeava (symmetrinen) parabeeli 2/3 g(0) = 0 2/3 huippu kohdassa x = 3 2 (esimerkiksi piiretty y = x(3 x)) 2 Kuvaaja ylittää/alittaa välin [0, 2] hieman Yli puolen ruudun ylitys/alitus, yhteensä Täysin väärä sijainti (esim. välillä [, ]) 2 2 a-vastaus b-koordinaatistossa ja päinvastoin, selvä tapaus (esim. kuviossa lukee max6 f tai kuvaaja kvantitatiivisesti oikein) a-vastaus b-koordinaatistossa ja päinvastoin, sopivasti tulkittuna 2 Osa B 5. kesäkuussa 2006 indeksi oli 0,7 ja kesäkuussa 200 se oli 09,7 joten lasketaan 09,7 0,7, 0787, eli nousua oli 7,87% Myös 8% kelpaa vastaukseksi suhde 0,7 väärin päin max 09,7 Luettu indeksin arvot väärästä kohdasta vuokraa on korotettu viimeksi tammikuussa 204 vastaamaan joulukuun 203 indeksiä; siten riittää verrata indeksejä syyskuussa 20 ja joulukuussa 203 9,, ,2 vuokra oli noin 542/, euroa kuukaudessa Käytetty joulukuun sijaan marras- tai tammikuun indeksejä; tai syyskuun sijaan heinä- tai elokuun indeksiä Käytetty joulukuun sijaan kesäkuun indeksiä Käytetty syyskuun sijaan tammikuun 20 tai marras/joulukuun 200 indeksiä Laskettu kolmessa osassa, pyöristyksellä tai ilman max3 Vastaus sentin tarkkuudella Suhde väärin päin (huom: vaikea havaita) max

3 6. Lasketaan palojen pinta-ala kerrotaan pinta-ala paksuudella jolloin saadaan tilavuus sekä tiheydella jolloin saadaan massa e.m. askeleet oikein suoritettu, vastaus, 76 kg Laskettu tilavuus oikein (3200) 2 Huomioitu neljää tai vähempää lautaa max sisäkorkeus 24 (cm) sisäsyvyys 0 (cm) 2/3 sisäleveys 0 (cm) 2/3 em. pituksien tulo 2/3 Vastaus väärää suuruusluokkaa max 7. Perusjoukossa 5 alkiota ensimmäinen voidaan valita viidellä tavalla, seuraava neljällä, jne mahdollisuuksia on siis = = 20 TAI 5nPr4 = 20 3 Pelkästään 5! = 20 TAI pelkkä vastaus 20 otettu mukaan 0 ja laskettu = 360 (tai muu väärä perusjoukko) Laskettu todennäköisyytenä, vastaus 20 max3 Koodeja ilman numeroa 9 on = 24 kappaletta lista 24:stä koodista (tai eliminoitu jo osa) Vastaus: 375 ja 573 TAI 2 kappaletta TAI Päätelty, että ensimmäinen/viimeinen numero ei voi olla /7 2 Vastaus: 375 ja 573 TAI 2 kappaletta 8. Malli 40 2 t/8 TAI a q 8 = 2a joten CRP voi kuudessa tunnissa nousta enintään arvoon /8 67 Vastaus 68 tai 70 väheneminen noudattaa eksponentiaalista mallia 00 ( 2 )t/9 TAI a q 9 = a 2 joten ratkaistaan yhtälö 00 ( 2 )t/9 = 0 TAI q = 2 /9 ja 00q t = 0 log 0 josta t = 9 log 2 63 tunnin jälkeen on torstai, klo 3 Vastaus klo 4, klo 3:07, tms. Taulukoitu 9 tunnin välein 9 tunnin sijaan 8

4 9. Kuva, josta näkyy, että suorien selvitetty suorien L 2 ja L 3 leikkauspistettä ei tarvita laskettu funktion arvot ainakin pisteissä (0, 0), (2, 0) ja (0, 3) ja saatu oikea vastaus (4 ja 2) selvitetty suorien L ja L 2 yhtälöt selvitetty suorien L ja L 2 leikkauspiste selvitetty suorien L ja L 3 leikkauspiste laskettu funktion arvo em. leikkauuspisteissä Leikkauspisteet yhden desimaalin tarkkuudella (esim. laskimesta) max5 TAI päätelty, että funktion suurin arvo saavutetaan kun x on suurin mahdollinen (eli 2 2) ja y pienin mahdollinen (0) eli f(2, 0) = 4 ja funktion pienin arvo saavutetaan kun x on pienin mahdollinen (0) ja y suurin 2 mahdollinen (3) eli f(0, 3) = 2 Osa B2 0. Perintö kuuluu kategoriaan joten veron määrä on , ( ) = 3680 (euroa) Veroprosentti on 3680/ ,3% Kategoria voi ilmetä myös implisiittisesti, esim. käyttämällä prosenttia kuvaaja on kasvava ja oikean suuntainen nivelkohdat (20000, 0,5), (40000, 4,25) ja (60000, 6,5) oikein kuvaaja konkaavi väleillä ja , ja derivaatassa epäjatkuvuus kohdassa kuvaaja hyppää nollasta puoleen prosenttiin kohdassa x = b-kohdasta voi saada vain kolme pistettä, mutta pisteet voi kerätä usealla tavalla kuvaajasta ilmenee euroja prosenttien sijaan max. cos saa kaikki arvot välillä ja joten cos(x) + suurin arvo on + = 2 ja pienin arvo on + = 0 sin saa kaikki arvot välillä [, ] joten A sin(x) saa kaikki arvot välillä [ A, A] joten A sin(x) + B saa kaikki arvot välillä [ A + B, A + B] b-kohdassa vain suurin ja pienin arvo -p

5 2. taulukossa vähintään neljä lukua kahdeksasta oikein kaikki kohdat oikein kohdan a pisteet taulukoidut oikein piiretty pisteet yhdistetty suoralla suoran kulmakerroin on 2 joka vastaa muuttujan t potenssia suora leikkaa y-akselia kohdassa joka vastaa kertoimen logaritmia lg 0 logaritmin laskukaavalla lg s = + 2 lg t b-kohdasta voi saada vain neljä pistettä, mutta pisteet voi kerätä usealla tavalla a-kohdassa väärät pisteet, silti suoralla, b-kohdasta max4 3. Odotusaika oikein vähintään yhdessä nollasta poikkeavassa tapauksessa (esim. kerros K, 5 sekuntia) Odotusaikaa on laskettu oikean periaatteen mukaisesti suurimmassa osassa tapauksia (ainakin 5 kerrosta) Kaikki odotusajat oikein (ks. alla) Kerroksia, joissa odotusaika on yli 22 sekuntia on siis 7 ja jokaisessa todennäköisyys hissin tilaukselle on 0, 025 joten kokonaistodennäköisyys yli 22 sekunnin odotukselle on 7 0, 025 = 0, 75. Laskettu odotusaika eri hisseille erikseen Kerroksissa, 8 ja 6 odotusaika on 0 Kerroksissa K, 2, 7, 9, 5, 7 odotusaika on 5 s Kerroksissa 3, 6, 0, 4, 8 odotusaika on 20 s Kerroksissa 4, 5,, 3, 9 odotusaika on 25 s Kerroksissa 2 ja 20 odotusaika on 30 s Kerroksia, joissa odotusaika on yli 22 sekuntia on siis 7