PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA

Transkriptio

1 PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA

2 PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA Pyörädyskappaleen pinta syntyy, kun funktion kuvaaja pyörätää suoran ympäri., suomennos Matti Pauna

3 LIERIÖ JA KARTIO Lieriöt ja kartiot ovat yksinkertiaisimpia pyörädyskappaleiden pintoja., suomennos Matti Pauna

4 LIERIÖN VAIPAN PINTA-ALA Leikataan lieriö auki sinistä janaa pitkin., suomennos Matti Pauna

5 LIERIÖN VAIPAN PINTA-ALA Suorakulmion pinta-ala = 2πr. r 2πr, suomennos Matti Pauna

6 LIERIÖN VAIPAN PINTA-ALA Suorakulmion pinta-ala = 2πr. r Lieriön vaipan pinta-ala = 2πr. 2πr, suomennos Matti Pauna

7 LIERIÖN VAIPAN PINTA-ALA Pinta-alan kaava Lieriön, jonka säde on r ja korkeus, vaipan pinta-ala on 2πr. r, suomennos Matti Pauna

8 KARTIO Ympyräkartio, jonka pojan säde on r ja korkeus. r

9 KARTION SIVUJANA R = r Kartion sivujana on jana, joka kulkee kartion uipusta pojaan kartion pintaa pitkin. r

10 KARTION VAIPAN ALA R = r r 2πr Leikataan auki R Kun kartio leikataan auki punaista sivujanaa pitkin, saadaan ympyrän sektori. Tämän ympyrän säde on kartion sivujanan pituus.

11 KARTION VAIPAN ALA R = r r Leikataan auki Sektorin kulma on 2πr R α = 2πr 2π = 2π r. 2πR R Sektorin ala on A = α 2π πr2 = πrr.

12 KARTION VAIPAN ALA Jotopäätös Kartion, jonka pojan säde on r ja sivujanan pituus R, vaipan pinta-ala on πrr. R = r r

13 KARTION VYÖHYKKEEN PINTA- ALA Kartion vyöykkeen pinta-ala voidaan laskea kaden kartion pinta-alojen erotuksena.

14 KARTION VYÖHYKKEEN PINTA- ALA Tarkastellaan yllä olevassa kuvassa olevaa mustaa kartion vyöykettä. Vyöyke saadaan aikaan, kun annetaan ruskealla suoralla sijaitsevan mustan janan pyörätää x-akselin ympäri.

15 KARTION VYÖHYKKEEN PINTA- ALA 1 r 2 r 1 Olkoon 1 sivujanan pituus kartiolle, jonka pojan säde on r 1. Olkoon 2 = 1 + sivujanan pituus kartiolle, jonka pojan säde on r 2.

16 KARTION VYÖHYKKEEN PINTA- ALA 1 r 2 r 1 Vyöykkeen pinta-ala = kartion ala, jonka sivujana on 1 + miinus kartion ala, jonka sivujana on 1.

17 KARTION VYÖHYKKEEN PINTA- ALA 1 1 r 2 r 1 Keltaiset kolmiot ovat ydenmuotoiset, joten r 1 1 = r 2 r = r ( + )

18 KARTION VYÖHYKKEEN PINTA- ALA 1 r 2 r 1 Vyöykkeen pinta-ala = ( ) r 2 π 1 r 1 π 1 + ( ) = π r ( + ) + r r = π 1 r 2 + r 2 1 r 1 ( ) r 2 1 = r 1 ( ) + 1

19 KARTION VYÖHYKKEEN PINTA- ALA 1 r 2 r 1 Vyöykkeen pinta-ala = ( ) r 2 π 1 r 1 π 1 + ( ) = π r ( + ) + r r ( ) = 2πr, missä r = r + r 1 2 = π 1 r 2 + r 2 1 r 1 = π r 1 + r 2 ( ) 2.

20 KARTION VYÖHYKKEEN PINTA- ALA 1 r 2 r 1 Pinta-alan kaava Kartion vyöykkeen, jonka keskimääräinen säde on r ja sivujanan pituus, pinta-ala on 2πr.

21 KARTION VYÖHYKKEEN PINTA- Lausutaan termin x avulla. ALA ( ) 2 2 = Δx 2 + r 2 r 1 r 2 ( ) 2 = Δx 2 + r 2 r 1 r 1 Δx = 1 + r r 2 1 Δx 2 Δx.

22 KARTION VYÖHYKKEEN PINTA- ALA r 2 Vyöykkeen pinta-ala r 1 Δx = 2πr = 2πr 1 + r r 2 1 Δx 2 Δx. Tässä r = r 1 + r 2 2.

23 PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA Kun annetaan funktion, joka saa vain einegatiivisia arvoja, kuvaaja pyörätää x-akselin saadaan pyörädyskappaleen pinta.

24 PINTA-ALAN KAAVA Idea Approksimoidaan pinta-alaa laskemalla sopivia kartioiden vyöykkeitä yteen. Näin saadaan Riemannin summa integraalille, jonka arvo on pyörädyskappaleen pintaala.

25 PINTA-ALAN KAAVA Sinisten kartiovyöykkeiden ydiste approksimoi pyörädyskappaleen pintaa.

26 PINTA-ALAN KAAVA Yksittäisen kartiovyöykkeen pinta-ala 2π f x k ( ) ( ) + f x + Δx k 2 f x k 1 + ( ) ( ) f x + Δx k Δx 2 Δx.

27 PINTA-ALAN KAAVA Koko approksimaation pinta-ala n 1 k=0 2π f x k ( ) ( ) + f x + Δx k 2 b f x k 1 + ( ) ( ) f x + Δx k Δx 2π f x x. n a ( ) 1 + f ( ) 2 dx 2 Δx

28 PINTA-ALAN KAAVA Pyörädyskappaleen pinnan pinta-ala b ( ) 1 + f ( ) 2 dx A = 2π f x x. a

29 PALLON PINTA-ALA Kaava A = 2π f x x. b a ( ) 1 + f ( ) 2 dx Esimerkki Laske r-säteisen pallon pinta-ala.

30 PALLON PINTA-ALA Pallo, jonka säde on r, saadaan aikaan, kun annetaan r-säteisen puoliympyrän pyörätää x- akselin ympäri.

31 PALLON PINTA-ALA Kaava b ( ) 1 + f ( ) 2 dx A = 2π f x x. a Ratkaisu r-säteisen pallon pintaalan laskemiseksi sovelletaan ylläolevaa kaavaa funktiolle ( ) = r 2 x 2. f x

32 PALLON PINTA-ALA Kaava b A = 2π f x x. a ( ) 1 + f ( ) 2 dx Ratkaisu r r A = 2π r 2 x x 2 r 2 x 2 2 dx r r = 2π r 2 x 2 + x 2 dx = 2π r dx = 4πr 2. r r

33 PALLON PINTA-ALA Kaava b ( ) 1 + f ( ) 2 dx A = 2π f x x. a Ratkaisu Pallon, jonka säde on r, pinta-ala on A = 4πr 2.

34 PINTA-ALAN KAAVA Pyörädyskappaleen pinnan pinta-ala on b ( ) 1 + f ( ) 2 dx A = 2π f x x. a