pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 2 Jakoalgoritmi, kantaesitys Jakoalgoritmi Kantakehitelmät
|
|
- Kaarlo Majanlahti
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto Jakoalgoritmi, kantaesitys Jakoalgoritmi Kantakehitelmät Kokonaisluvun b-kantakehitelmä Kokonaisluvun Cantorin kehitelmä Reaaliluvun b-kantakehitelmä Rationaaliluvun b-kantakehitelmä Irrationaaliluvuista Ketjumurtoluvut Yksinkertaiset ketjumurtoluvut Ketjumurtoalgoritmi Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut
2 4.4 Toisen asteen algebralliset luvut Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Paras approksimaatio Sovelluksia Diofantoksen yhtälöitä Yleiset ketjumurrot Suppenemistarkasteluja Suppenemisehtoja Rekursioitten ratkaisemista Irrationaalisuusehtoja Transformaatioita Kehitelmiä Hypergeometriset sarjat
3 12.2 Hypergeometrinen sarja 0 F Kehitelmiä Neperin luvulle Irrationaalisuustuloksia Irrationaalisuus/lineaarinen riippumattomuus Lisää kehitelmiä F F π e
4 1 Johdanto S KETJUMURTOLUVUT (5OP SYVENTÄVÄ) Ketjumurtolukujen teoria on kiinteä osa matematiikan lukuteoriaa. Luennoilla tarkastelemme aluksi reaalilukujen b-kantaesityksiä ja yksinkertaisia ketjumurtoesityksiä sekä esityksien ominaisuuksiapäättyvä, päättymätön, irrationaalisuus, jaksollisuus, approksimaatioominaisuudet. Seuraavaksi tutkitaan yleisiin ketjumurtolukuihin liittyviä rekursiota ja transformaatioita sekä suppenemis- ja irrationaalisuusehtoja. Edelleen tarkastellaan hypergeometristen sarjojen ketjumurtokehitelmiä, joista saadaan tuttujen lukujen kuten Neperin luvun ja piin ketjumurtokehitelmiä. Tutkimus suunnataan myös yleisempiin irrationaalisuuskysymyksiin ja Diofantoksen yhtälöihin. 0-3
5 Esitiedot: Pakolliset aineopinnot ja Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I). Kirjallisuus: G.H. Hardy & E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Kenneth H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Lisa Lorentzen and Haakon Waadeland: Continued Fractions with Applications (1992). Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbruchen (1913). Kurssilla käytetään Lukuteorian perusteet kurssin merkintöjä. Notations and basics of Number Theory from the course: Lukuteorian perusteet. 0-4
6 2 Jakoalgoritmi, kantaesitys 2.1 Jakoalgoritmi Algebra I: Lause 2.1. Olkoot a, b Z ja b = 0. Tällöin! q Z ja! r N : a = qb + r, 0 r b 1. (2.1) Kun b Z +, niin q = a b. (2.2) 2.2 Kantakehitelmät Kokonaisluvun b-kantakehitelmä Kokonaisluvun b-kantakehitelmä. 0-5
7 Lause 2.2. (Algebra I) Olkoot b Z 2 ja a N. Tällöin! esitys a = n 0 a n b n, 0 a n b 1, a n N. (2.3) Esitystä (2.3) sanotaan kokonaisluvun b-kantakehitelmäksi. Merkintä 1. a m...a 0 = (a m...a 0 ) b = a m b m a 1 b + a 0. (2.4) Todistus Kokonaisluvun Cantorin kehitelmä Lause 2.3. Olkoot {b 1, b 2,...} Z 2 ja a N. Tällöin! esitys a = n 0 a n n i=1 b i, 0 a n b n+1 1, a n N. (2.5) 0-6
8 Seurauksena saadaan Cantorin kehitelmä Lause 2.4. Olkoon a N. Tällöin! Cantorin esitys a = n 1 a n n!, 0 a n n, a n N. (2.6) Reaaliluvun b-kantakehitelmä Reaaliluvun b-kantakehitelmä. Lause 2.5. Olkoot b Z 2 ja x R, 0 x < 1. Tällöin esitys x = n=1 x n b n, 0 x n b 1, x n N, (2.7) joka on yksikäsitteinen mikäli vaaditaan, että jokaista N Z + kohti sellainen luku k Z N että x k = b 1. Merkintä 2. 0, x 1 x 2... = (0, x 1 x 2...) b = x 1 b 1 + x 2 b (2.8) 0-7
9 a m...a 0, x 1 x 2... = (a m...a 0, x 1 x 2...) b = (2.9) a m b m a 1 b 1 + a 0 b 0 + x 1 b 1 + x 2 b Todistus. Kaikilla y R pätee (katso Lukuteoria I) 0 y y < 1. (2.10) Asetetaan y 0 = x ja palautuskaavat x k+1 = by k ; (2.11) Tällöin ja y k+1 = by k x k+1 k N. (2.12) x 1 = by 0 = bx (2.13) 0 x 1 = bx bx < b 0 x 1 b 1. (2.14) 0-8
10 Edelleen y 1 = by 0 x 1 = bx bx 0 y 1 < 1 (2.15) ja x = y 0 = x 1 b + y 1 b. (2.16) Vastaavasti y 1 = x 2 b + y 2 b, 0 y 2 < 1, (2.17) ja siten x = y 0 = x 1 b + x 2 b 2 + y 2 b 2. (2.18) Edelleen x = x 1 b + x 2 b x n b n + y n b n, (2.19) missä 0 x i b 1, 0 y i < 1 i = 1,..., n. (2.20) 0-9
11 Olkoon x = X n + y n, (2.21) bn missä on kasvava ja rajoitettu. Siten X n = x 1 b + x 2 b x n b n (2.22) lim X n = n=1 x n b n (2.23) ja edelleen lim X n = x. (2.24) Lauseen 2.5 yleistyksenä saadaan. Lause 2.6. Olkoot {b 1, b 2,...} Z 2 ja x R, 0 x < 1. Tällöin esitys x = n=1 c n b 1 b n, 0 c n b n 1, c n N. (2.25) esitys. Lauseen 2.6 erikoistapauksena saadaan Cantor tyyppinen 0-10
12 Lause 2.7. Olkoon x R, 0 x < 1. Tällöin esitys x = n=2 d n n!, 0 d n n 1, d n N. (2.26) Esimerkki 1. Määrätään luvuille e 2, 1/e (2.27) esitykset (2.26). 0-11
13 2.2.4 Rationaaliluvun b-kantakehitelmä Määritelmä 2.1. Esitys x = 0, x 1 x 2... (2.28) on päättyvä, jos sellainen M Z +, että x k = 0, k Z M. (2.29) Esitys (2.28) on jaksollinen, mikäli sellaiset N N ja L Z +, että x n+l = x n, n Z N+1, (2.30) missä L on jakso. Tällöin käytetään merkintöjä x = 0, x 1 x 2... = 0, x 1...x N x N+1...x N+L = 0, x 1...x N x N+1...x N+L x N+1...x N+L..., (2.31) 0-12
14 missä N on alkutermin pituus. Jos N = 0 eli alkutermiä ei ole, niin tällöin kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Huom 1. Jos muuta ei sanota, niin jakso ja alkutermi valitaan mahdollisimman lyhyeksi. Käytetään myös termiä minimijakso. Huom 2. Reaaliluvun päättyvä esitys on jaksollinen eli x = a, x 1...x N = a, x 1...x N 0... = a, x 1...x N 0 (2.32) ja rationaalinen eli x = a, x 1...x N Q. (2.33) Esimerkki 2. a) b = 2. b) b = = (0, ) 2 = (0, 001) = 0, , 2 7 = 0, , 6 7 = 0, , 0-13
15 4 7 = 0, , 5 7 = 0, , 1 7 = 0, Huom 3. Huomaa, että rationaaliluku x Q voidaan esittää supistetussa muodossa x = r s, r s, r Z, s Z+. (2.34) Lause 2.8. Olkoot b Z 2 ja x R, 0 x < 1. A). Jos rationaaliluvulle x Q, missä x = r s, r s, s = h pätee ehto niin esitys (2.7) on päättyvä. i=1 p v i i, p i P, v i Z +, (2.35) h p i b, (2.36) i=1 B). Jos reaaliluvun x esitys (2.7) on päättyvä, niin x Q ja 0-14
16 sen supistetulle esitykselle x = r s, r s, s = h i=1 p v i i, p i P, v i Z +, (2.37) pätee ehto h p i b. (2.38) i=1 Ehto (2.36) lyhemmin p s p b, p P. (2.39) Todistus. A. Ehdosta (2.36) seuraa, että s b K, K = max{v 1,..., v h }. (2.40) Siten b K x = b K r s Z+, joten b K x = c 0 +c 1 b+...+c m b m, 0 c i b 1, m < K. (2.41) 0-15
17 Siispä x = c m B. Olkoon esitys päättyvä eli b K m c 0 b K. (2.42) x = x 1 b +...+x N b N = x 1b N x N b N := r, s r s. (2.43) Siten b N r = (x 1 b N x N )s, r s. (2.44) Olkoon p i s. Koska r s, niin p i b N, joten p i b kaikilla s:n alkutekijöillä p i. Määritelmä 2.2. Olkoot n Z 2, b Z ja b n. Luvun b kertaluku ord n b, on pienin luku k Z +, jolle pätee b k 1 (mod n). (2.45) Olkoon b Z n ja b = {b k k N} (2.46) 0-16
18 alkion b generoima syklinen aliryhmä. Tällöin ord n b = # b. (2.47) Koska aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun, niin ord n b #Z n = φ(n). (2.48) Tarkemmin kurssilla Lukuteoria A. Esimerkki 3. n = 7, b = 10, 10 = 3 Z 7. ord = φ(7). (2.49) Lasketaan siis 3 1 = 3, 3 2 = 2, 3 3 = 6, (2.50) joten ord ord 7 10 = 6. (2.51) 0-17
19 Kerrataan vielä, että reaaliluvun päättyvä esitys on jaksollinen eli x = a, x 1...x N = a, x 1...x N 0... = a, x 1...x N 0 ja päättyvä esitys on rationaalinen eli x = a, x 1...x N Q. Erityisesti 0 = 0, = 0, 0 = 0 1. Lause 2.9. Olkoot b Z 2 ja x R, 0 x < 1. A). Jaksollinen esitys on rationaalinen eli x = 0, x 1...x N x N+1...x N+L = r, r s. (2.52) s B). Rationaaliluvun x = r/s esitys on jaksollinen eli r s = 0, x 1...x N x N+1...x N+L. (2.53) 0-18
20 C). Olkoot x = r, r s, s = T U, U b; (2.54) s p T p b, p P; (2.55) ja luku N N on pienin, jolle pätee ord U b = L; (2.56) T b N. (2.57) Tällöin jakson pituus on L ja alkutermin pituus N. Huom: Jos T = 1, niin N = 0, jolloin alkutermiä ei ole ja kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Todistus. 0-19
21 A. Tutkitaan ensin puhtaasti jaksollista kehitelmää z = 0, z 1...z L = z 1 b z L b L + 1 ( z1 b L b z L b L + z 1 b L z ) L b 2L +... = d b L + 1 b L z, (2.58) mistä saadaan Siispä z = d b L 1. (2.59) x = 0, x 1...x N x N+1...x N+L = x 1 b x N b N + 1 ( xn+1 b N b B C x N+L b L = c b N + 1 b N + x N+1 b L x ) N+L b 2L +... d b L 1 := r Q. (2.60) s 0-20
22 Olkoon sitten 0 < x < 1. Ehdon (2.57) nojalla b N = T V, jollakin V Z +. (2.61) Siten b N x = T V missä jakoalgoritmin nojalla r T U = rv U cu + d = U, (2.62) rv = cu + d, 0 d U 1, c, d N. (2.63) Oletuksista saadaan vielä d U ja 0 c < b N, joten b N x = c + d U, d U, 0 c < bn. (2.64) a) Tapaus U = 1. Nyt s = T, jolloin ehdon (2.55) nojalla p s = T p b, p P. (2.65) Lauseen 2.8 kohdan A. nojalla esitys on päättyvä. b) Tapaus U 2. Oletuksen (2.56) nojalla b L 1 (mod U), (2.66) 0-21
23 joten on olemassa sellainen a N, että saadaan eräänlainen palautuskaava b L d U = (1 + au)d U = d U + ad. (2.67) Olkoon d U = n=1 d n b n, 0 d n b 1, d n N, (2.68) luvun d/u Lauseen 2.5 mukainen yksikäsitteinen kantakehitelmä. Sijoitetaan kehitelmä (2.68) kaavaan (2.67), jolloin saadaan d 1 b L d L b 0 +d L+1 b 1 +d L+2 b 2 +d L+3 b = (2.69) ad + d 1 b 1 + d 2 b 2 + d 3 b (2.70) Vertaamalla vastinpotenssien kertoimia (kantakehitelmien yksikäsitteisyyden nojalla) saadaan d 1 = d L+1, d 2 = d L+2, d 3 = d L+3,... (2.71) 0-22
24 eli d L+j = d j j = 1, 2,..., (2.72) ja siten luvun d/u kantakehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Edelleen yhtälön (2.64) nojalla x = c b N + 1 d b N U, (2.73) missä c = c K b K c 0, K < N. (2.74) Niinpä x = x 1 b x N b N + d 1 b (N+1) + d 2 b (N+2) d L b (N+L) + d 1 b (N+L+1) +d 2 b (N+L+2) +...+d L b (N+2L) +... = 0, x 1...x N d 1...d L. (2.75) 0-23
25 3 Irrationaaliluvuista Määritelmä 3.1. Luku α C Q on irrationaalinen. (Myös ei-rationaaliset p-adiset (p P) luvut ovat irrationaalisia eli luku α C p Q on irrationaalinen, missä C p on kompleksilukujen kuntaa C vastaava p-adisten lukujen kunta.) Monesti tyydytään suppeampaan määritelmään: Luku α R Q on irrationaalinen. Esimerkki 4. 5 / Q, i = 1 / Q. (3.1) Tämä yleistyy tulokseksi Lause 3.1. Olkoon D Z neliövapaa. Tällöin D / Q. (3.2) 0-24
26 Todistus kurssilla Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I). Lause 3.2. Olkoot n Z 3 ja r Q +. Tällöin n 1 + rn / Q. (3.3) Todistus, joka perustuu Wilesin tulokseen, kurssilla Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I). Esimerkki 5. Todistus. Jos olisi log 2 log 3 / Q. (3.4) log 2 log 3 = a b, a, b Z+, (3.5) niin mikä on mahdotonta. 2 b = 3 a 2 3 a 2 3 (3.6) 0-25
27 Esimerkki 6. log 2 / Q. (3.7) Todistus huomattavasti vaikeampi kuin Esimerkissä 5. Todistetaan myöhemmin ketjumurtolukujen avulla. Tiedetään, että Neperin luvulle e pätee e = lim n ( n) n = k=0 Lause 3.3. Neperin luku e on irrationaalinen. 1 k!. (3.8) Todistus kurssilla Lukuteorian perusteet (Lukuteoria I). Lauseeseen 2.9 nojautuen saadaan hyödyllinen irrationaalisuuskriteeri, jos luvulle τ tunnetaan jokin b-kantakehitelmä. Lause 3.4. Jos luvun τ kantakehitelmä on jaksoton eli τ = (a, τ 1...τ N τ N+1...τ N+L ) b, (3.9) niin τ / Q. 0-26
28 Esimerkki 7. Osoita, että τ = 0, / Q. (3.10) Esimerkki 8. Olkoon b Z 2. Osoita, että tällöin τ b = n=0 1 b (n+1 2 ) / Q. (3.11) Esimerkki 9. Muodostetaan sanoja seuraavasti käyttäen kuvausta σ(a) = ab, σ(b) = a, σ(xy) = σ(x)σ(y). (3.12) 0-27
29 Lähtemällä sanasta b saadaan σ(b) = a, σ 2 (b) = σ(a) = ab, σ 3 (b) = σ(ab) = σ(a)σ(b) = aba, σ 4 (b) = σ(aba) = σ(a)σ(b)σ(a) = abaab, σ 5 (b) = σ(abaab) = σ(a)σ(b)σ(a)σ(a)σ(b) = abaababa,... σ (b) = abaababaabaab... Tulkitaan kirjaimet biteiksi: a = 1, b = 0, ja muodostetaan binääriluku κ = 0, (= 0, abaababa...). (3.13) Osoita, että κ / Q. 0-28
30 4 Ketjumurtoluvut Äärellisellä ketjumurtoluvulla (finite continued fraction) tarkoitetaan rationaalilauseketta b 1 + a 1 a 2 b a n b n, (4.1) jolle käytetään seuraavia merkintöjä K n k=1 ( ak b k ) = a 1 a 2 b 1 + b... a n. (4.2) b n Luvut a n ovat ketjumurtoluvun osaosoittajia ja luvut b n osanimittäjiä. Lause 4.1. Olkoot luvut A n ja B n annettu rekursioilla A n+2 = b n+2 A n+1 + a n+2 A n, (4.3) B n+2 = b n+2 B n+1 + a n+2 B n (4.4) 0-29
31 lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 = 1, A 1 = b 0 b 1 + a 1 ja B 1 = b 1. Tällöin b 0 + K n k=1 kunhan B n = 0. ( ak b k ) = A n B n n N, (4.5) Todistus. Induktiolla. n = 0, jolloin n = 1, jolloin V.P. = b 0 = b 0 1 = A 0 B 0 = O.P.. (4.6) V.P. = b 0 + a 1 b 1 = b 0b 1 + a 1 b 1 = A 1 B 1 = O.P.. (4.7) Induktio-oletus: Väite pätee, kun n = 0, 1,..., l, jolloin b 0 + a 1 a 2 b 1 + b... a l = A l = b la l 1 + a l A l 2. (4.8) b l B l b l B l 1 + a l B l 2 Korvataan b l muuttujalla x ja merkitään K(x) = b 0 + a 1 a 2 b 1 + b... a l x, (4.9) 0-30
32 jolle kohdan (4.8) nojalla pätee K(x) = xa l 1 + a l A l 2 xb l 1 + a l B l 2, (4.10) kunhan x = 0 ja nimittäjä = 0. Siten kohdista (4.9) ja (4.10) seuraa ( ak K(b l + a ) l+1 ) = b 0 + K l+1 k=1 b l+1 b k ( ) b l + a l+1 b l+1 A l 1 + a l A l 2 ( ) = b l + a l+1 b l+1 B l 1 + a l B l 2 a l+1 b l+1 A l 1 + b l A l 1 + a l A l 2 a l+1 = b l+1 B l 1 + b l B l 1 + a l B l 2 = a l+1 A l 1 + b l+1 A l a l+1 B l 1 + b l+1 B l = A l+1 B l+1, (4.11) missä on sovellettu rekursioita (4.3) ja (4.4) pariin otteeseen. Siten induktioaskel on osoitettu ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee. 0-31
33 Määritelmä 4.1. Luku A n /B n on äärettömän ketjumurtoluvun b 0 + K k=1 ( ak b k ) (4.12) n. konvergentti. Edelleen ketjumurtoluku (4.12) suppenee, mikäli raja-arvo lim n A n B n (4.13) on olemassa. Tällöin sanotaan, että äärettömän ketjumurtoluvun (4.12) arvo on raja-arvo (4.13). Ääretöntä ketjumurtolukua (4.12) voidaan merkitä myös seuraavilla tavoilla b 0 + a 1 a 2 b 1 + b... = b a 1 b 1 + a 2 b (4.14) Edelleen käytetään merkintöjä [b 0 ; b 1,..., b n ] = b 0 + K n k=1 ( ) 1 b k ; (4.15) 0-32
34 [b 0 ; b 1,...] = b 0 + K k=1 ( ) 1 Usein tarkastellaan yksinkertaisia ketjumurtolukuja. b k. (4.16) Määritelmä 4.2. Olkoot b 0 N, b k Z +, a k = 1, k Z +. (4.17) Tällöin ketjumurtoluku [b 0 ; b 1,..., b n ] = b 0 + K n k=1 ( 1 b k ) (4.18) on äärellinen yksinkertainen (simple) ketjumurtoluku ja vastaavasti [b 0 ; b 1,...] = b 0 + K k=1 ( 1 b k ) (4.19) on ääretön yksinkertainen ketjumurtoluku. 0-33
35 4.1 Yksinkertaiset ketjumurtoluvut Ketjumurtoalgoritmi Olkoon α R 0 annettu. Muodostetaan lukuun α liittyvä yksinkertainen ketjumurtolukukehitelmä [b 0 ; b 1,...] α (4.20) seuraavalla Ketjumurtoalgoritmilla: α 0 = α; k = 0; (4.21) α k = α k + {α k }, 0 {α k } < 1; (4.22) b k = α k ; (4.23) Jos {α k } = 0 STOP; (4.24) 0-34
36 Jos {α k } > 0 ; (4.25) α k+1 = 1 {α k } GO TO 4.22 with k = k + 1; (4.26) Siten algoritmi alkaa seuraavasti: α 0 = α 0 + {α 0 }, 0 {α 0 } < 1; (4.27) Jos Jos b 0 = α 0 ; (4.28) {α 0 } = 0 STOP; (4.29) {α 0 } > 0 ; (4.30) α 1 = 1 {α 0 } = α 1 + {α 1 }, 0 {α 1 } < 1; (4.31) 0-35
37 b 1 = α 1 ;... (4.32) Huom 4. Hyödyllisiä identiteettejä: [b 0 ; b 1,..., b m ] = b [b 1 ; b 2,..., b m ] ; (4.33) α k = b k + 1 α k+1 ; (4.34) α = [b 0 ; b 1,..., b m 1, b m +{α m }] = [b 0 ; b 1,..., b m, α m+1 ]. (4.35) Esimerkki 10. Olkoon α = 3, 14. α 0 = α 0 + {α 0 } = /100; (4.36) b 0 = α 0 = 3; (4.37) 0-36
38 {α 0 } = 14/100 > 0 ; (4.38) α 1 = 1 {α 0 } = α 1 + {α 1 } = 7 + 1/7; (4.39) b 1 = α 1 = 7; (4.40) {α 1 } = 1/7 > 0 ; (4.41) α 2 = 1 {α 1 } = α 2 + {α 2 } = 7 + 0; (4.42) b 2 = α 2 = 7; (4.43) {α 2 } = 0 STOP; (4.44) 0-37
39 ja siten [b 0 ; b 1,...] 3,14 = [3; 7, 7]. (4.45) Huom 5. Tärkeä. Numeerisessa laskennassa desimaaliluvut katkaistaan, jolloin katkaistu esitys kannattaa heti kirjoittaa murtoluvuksi. Tällöin algoritmissa vältytään pyöristysvirheiltä. 4.2 Äärelliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 4.2. Äärellisen yksinkertaisen ketjumurtoluvun arvo on rationaaliluku eli [b 0 ; b 1,..., b m ] Q b 0 N, b 1,..., b m Z +. (4.46) Todistus (Laskarit) induktiolla käyttäen kaavaa (4.33). Lause 4.3. Positiivinen rationaaliluku r/s Q + voidaan esittää äärellisenä yksinkertaisena ketjumurtolukuna eli sellaiset kokonaisluvut b 0 N, b 1,..., b m Z +, että r s = [b 0; b 1,..., b m ]. (4.47) 0-38
40 Lisäksi rationaaliluvulla on yksikäsitteinen muotoa r s = [b 0; b 1,..., 1] (4.48) oleva esitys. Edelleen rationaaliluvun kaikki esitykset ovat äärellisiä. Todistus. Eukleideen algoritmi Lukuteorian perusteet: r 0 = r, r 1 = s r 0 = b 0 r 1 + r 2 0 r 2 < r 1. r k = b k r k+1 + r k+2. r m 1 = b m 1 r m + r m+1 m N : r m+1 = 0, r m+2 = 0 0 r k+2 < r k+1 0 r m+1 < r m r m = b m r m+1 r m+1 = syt(r, s). 0-39
41 Nyt r/s = α 0 ja α 0 = r 0 r 1 = b 0 + r 2 r 1 = α 0 + {α 0 }, (4.49) 0 {α 0 } = r 2 r 1 < 1; (4.50) α 1 = 1 {α 0 } = r 1 r 2 = b 1 + r 3 r 2 = α 1 + {α 1 }, (4.51)... 0 {α 1 } = r 3 r 2 < 1; (4.52) α k = r k r k+1 = b k + r k+2 r k+1, (4.53) α k+1 = 1 {α k } = r k+1 r k+2, (4.54) 0-40
42 ... α m 1 = r m 1 r m = b m 1 + r m+1 r m, (4.55) α m = 1 {α m 1 } = r m r m+1 = b m + 0. (4.56) Siten {α m } = 0 (4.57) ja r s = [b 0; b 1,..., b m ]. (4.58) Koska b m 2 (totea!), niin r s = [b 0; b 1,..., b m 1, b m ] = [b 0 ; b 1,..., b m 1, b m 1, 1]. Siten rationaaliluvulla on yksikäsitteinen muotoa (4.59) r s = [b 0; b 1,..., 1] (4.60) 0-41
43 oleva esitys. Edelleen, Eukleideen algoritmin pituus on äärellinen, joten esitykset ovat äärellisiä. Lauseen 4.1 erikoistapauksena saadaan n. konvergentti laskettua seuraavien rekursioiden (4.61) ja (4.62) avulla. Lause 4.4. Olkoot luvut A n ja B n annettu rekursioilla A n+2 = b n+2 A n+1 + A n, (4.61) B n+2 = b n+2 B n+1 + B n (4.62) lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 = 1, A 1 = b 0 b ja B 1 = b 1. Tällöin [b 0 ; b 1,..., b n ] = A n B n n N. (4.63) Lause 4.5. Olkoon (F n ) on Fibonaccin lukujono. Tällöin B n F n+1 ( ) n n Z +. (4.64)
44 Lause 4.6. Determinanttikaavat. A n+1 B n A n B n+1 = ( 1) n n N. (4.65) A n+2 B n A n B n+2 = b n+2 ( 1) n n N. (4.66) Todistus induktiolla käyttäen rekursioita (4.61) ja (4.62). Seuraus 4.1. A n+1 B n+1 A n B n = ( 1)n B n B n+1 n N. (4.67) A n+2 B n+2 A n B n = b n+2( 1) n B n B n+2 n N. (4.68) Seuraus 4.2. A 0 B 0 < A 2 B 2 < A 4 B 4 <... < A 2k B 2k < (4.69) < A 2h+1 B 2h+1 <... < A 5 B 5 < A 3 B 3 < A 1 B 1. (4.70) 0-43
45 kaikilla k, h N. Todistus. Tuloksen (4.68) nojalla A 2k+2 B 2k+2 A 2k B 2k = b 2k+2 B 2k B 2k+2 > 0 k N (4.71) mikä todistaa epäyhtälöt (4.69). Samaten tuloksen (4.68) nojalla A 2h+3 A 2h+1 = B 2h+3 B 2h+1 b 2h+1 B 2h+1 B 2h+3 < 0 h N (4.72) mikä todistaa epäyhtälöt (4.70). Tutkitaan vielä epäyhtälöketjujen (4.69) ja (4.70) välistä epäyhtälöä. a) Tapaus h k. Tällöin A 2h+1 A 2k = A 2h+1 A 2h + A 2h A 2k 4.67 = B 2h+1 B 2k B 2h+1 B 2h B 2h B 2k (4.73) 1 B 2h B 2h+1 + A 2h B 2h A 2k B 2k 4.69 > 0. (4.74) 0-44
46 b) Tapaus h < k. Tällöin A 2h+1 B 2h+1 A 2k B 2k Siten 4.70 > A 2k+1 A 2k 4.67 = B 2k+1 B 2k 1 B 2k B 2k+1 > 0. (4.75) Lause 4.7. A 2h+1 B 2h+1 A 2k B 2k > 0 h, k N. (4.76) A n A n+1, B n B n+1, (4.77) A n B n n N. (4.78) Huom 6. Tuloksen (4.78) nojalla konvergentit A n B n ovat supistetussa muodossa olevia rationaalilukuja. 0-45
47 4.3 Äärettömät yksinkertaiset ketjumurtoluvut Lause 4.8. Olkoon [b 0 ; b 1,..., b n ] = A n B n, b 0 N, b 1,..., b m Z +, (4.79) äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun [b 0 ; b 1,...] konvergenttijono. Tällöin lim n A n B n = τ, τ R +, (4.80) ja 0 < τ A m < 1 m N. (4.81) B m B m+1 B m Todistus. Tuloksien (4.69) ja (4.70) nojalla jono ( A 2k B 2k ) on kasvava ja ylhäältä rajoitettu. Vastaavasti jono ( A 2h+1 B 2h+1 ) on vähenevä ja alhaalta rajoitettu. Täten lim k A 2k B 2k = α 2, (4.82) 0-46
48 lim h A 2h+1 Yhtälöstä (4.64) ja (4.67)saadaan B 2h+1 = α 1. (4.83) 0 < A 2k+1 B 2k+1 A 2k B 2k = 1 B 2k B 2k+1 (4.84) 1 F 2k+1 F 2k+2 Edelleen raja-arvona saadaan ( ) 4k 5 1 k Z +. (4.85) 2 0 lim josta k A 2k+1 B 2k+1 lim k A 2k B 2k lim k ( ) 4k 5 1, 2 (4.86) α 1 = α 2. (4.87) Siten lim n A n B n = α 1 = α 2. (4.88) 0-47
49 Merkitään vielä τ = α 1 = α 2. Tällöin (Laskarit) mistä saadaan τ > 0 ja edelleen 0 < τ A 2k B 2k < 0 < A 2k B 2k < τ < A 2k+1 B 2k+1, (4.89) 1 B 2k B 2k+1 k N. (4.90) Vastaavasti (osoita!) 0 < A 2k+1 B 2k+1 τ < 1 B 2k+1 B 2k+2 k N. (4.91) Siispä 0 < τ A m < 1 m N. (4.92) B m B m+1 B m Lause 4.9. Olkoon [b 0 ; b 1,..., b n ] = A n B n, n N, (4.93) äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun [b 0 ; b 1,...] = τ konvergenttijono. Tällöin τ = b 0 + n=0 ( 1) n B n B n+1 (4.94) 0-48
50 ja b m+2 B m B m+2 < τ A m < 1 m N. B m B m+1 B m (4.95) Edelleen 1 (b m+1 + 2)Bm 2 < τ A m B m < 1 b m+1 Bm 2 1 Bm 2 (4.96) kaikilla m N. Huom 7. Usein arvion (4.95) sijasta käytetään väljempää arviota (4.96). Todistus. Summataan yhtälö (4.67) puolittain, jolloin m 1 n=0 ( An+1 A ) n B n+1 B n = m 1 n=0 ( 1) n B n B n+1 (4.97) ja siten A m B m = b 0 + m 1 n=0 ( 1) n B n B n+1. (4.98) 0-49
51 Raja-arvona saadaan (4.94). Edelleen τ A m B m = n=m ( 1) n B n B n+1, (4.99) missä alternoivan summan ominaisuuksilla saadaan 1 B m B m+1 Vielä 1 B m+1 B m+2 < τ A m < 1. B m B m+1 B m (4.100) 1 B m B m+1 1 B m+1 B m+2 = B m+2 B m B m B m+1 B m+2 = b m+2 B m B m+2. (4.101) Lause Äärettömän yksinkertaisen ketjumurtoluvun arvo τ on irrationaalinen eli b 0 N, b 1, b 2,... Z + pätee τ = [b 0 ; b 1,...] / Q. (4.102) Todistus. Aluksi, Lauseen 4.8 nojalla τ R +. I tapa. Lauseen 4.3 nojalla rationaaliluvun esitys on päättyvä, 0-50
52 joten päättymättömän arvo ei voi olla rationaalinen. II tapa. Vastaoletus [b 0 ; b 1,...] = τ = r/s Q +, r, s Z +. (4.103) Tuloksen (4.90) nojalla 0 < r s A 2k B 2k < 1 B 2k B 2k+1 k Z + (4.104) Täten Koska niin 0 < rb 2k sa 2k s B 2k+1 k Z +. (4.105) rb 2k sa 2k Z +, (4.106) 1 rb 2k sa 2k s B 2k+1 k Z +. (4.107) Tuloksen (4.64) nojalla on olemassa sellainen k Z +, että s B 2k+1 < 1, (4.108) 0-51
53 joka johtaa ristiriitaan. Lause Olkoon α R Q, α > 0 annettu ja olkoon [b 0 ; b 1,...] α (4.109) Ketjumurtoalgoritmilla muodostettu lukuun α liittyvä yksinkertainen ketjumurtolukukehitelmä. Tällöin α = [b 0 ; b 1,...] α. (4.110) Todistus. Olkoon ketjumurtolukuun [b 0 ; b 1,..., b k ] = A k B k (4.111) [b 0 ; b 1,...] α (4.112) liittyvä konvergenttijono. Toisaalta ketjumurtoalgoritmin nojalla α = [b 0 ; b 1,..., b m 1, α m ] = A m B m, (4.113) 0-52
54 missä A m = α m A m 1 + A m 2, Bm = α m B m 1 + B m 2. Lasketaan seuraavaksi (4.114) B m Am A m Bm = B m (α m A m 1 + A m 2 ) A m (α m B m 1 + B m 2 ) = α m (A m 1 B m A m B m 1 ) + A m 2 B m A m B m 2 = ( 1) m (α m b m ) = ( 1) m {α m }. (4.115) Siten α A m B m = A m B m A m B m = {α m } B m B m m 0. (4.116) 0-53
55 Lause Olkoot b 0, c 0 N, b 1, c 1, b 2, c 2,... Z + ja [b 0 ; b 1,...] = [c 0 ; c 1,...], (4.117) tällöin b k = c k k N. (4.118) Siten irrationaaliluvun yksinkertainen ketjumurtokehitelmä on yksikäsitteinen. Huom 8. Tarkastellaan ääretöntä yksinkertaista ketjumurtolukua jonka konvergenttijonolle pätee sillä rekursiot [1, 1, 1,...] = [b 0, b 1,...], (4.119) [b 0, b 1,..., b m ] = A m B m = F m+2 F m+1, (4.120) A k = A k 1 +A k 2, B k = B k 1 +B k 2 k = 2, 3,..., (4.121) 0-54
56 antavat Fibonaccin jonoja. Koska nämä rekursiot osataan ratkaista Lukuteorian perusteet eli ( F k = ) k ( 1 ) k 5, (4.122) 2 niin raja-arvokin lim m A m B m = lim m saadaan kivuttomasti. Niinpä F m+2 F m+1 = (4.123) [1, 1, 1,...] = (4.124) Yleensä, kuitenkin, rekursioitten ratkaiseminen on vaikeampaa, jolloin voidaan soveltaa esimerkiksi seuraavaa menettelyä. Lauseen 4.8 nojalla ketjumurtoluvun (4.119) arvo, olkoon se τ. Tällöin τ = [1, 1, 1,...] = [1, τ], τ R >1, (4.125) 0-55
57 joten τ = τ, τ =. (4.126) Toisen asteen algebralliset luvut Määritelmä 4.3. Luku α C on toisen asteen algebrallinen luku, mikäli on olemassa sellaiset rationaaliluvut a, b Q, D Z, että α = a + b D, D / Q. (4.127) Luku α = a b D (4.128) on luvun α liittoluku. Toisen asteen algebralliset luvut (4.127) muodostavat 2. asteen neliökunnan Q( D) = {a + b D a, b Q}. (4.129) 0-56
58 Huom 9. Konjugointi eli liittoluvun ottaminen h(α) = α = a b D, h : Q( D) Q( D), (4.130) on rengasmorfismi (2 laskutoimitusta). Tällöin saadaan esimerkiksi α n = α n, nα = nα n Z; (4.131) α/β = α/β α, β Q( D). (4.132) Lause Olkoon α C toisen asteen algebrallinen luku, tällöin on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B, C Z, että Aα 2 + Bα + C = 0. (4.133) Määritelmä 4.4. Toisen asteen algebrallinen luku α C Q on toisen asteen irrationaaliluku eli α = a + b D, b = 0, D / Q. (4.134) 0-57
59 Lause Irrationaaliluku α C Q on toisen asteen irrationaaliluku, mikäli on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B, C Z, A = 0, että Aα 2 + Bα + C = 0. (4.135) 4.5 Jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Määritelmä 4.5. Yksinkertainen ketjumurtoluku [b 0 ; b 1,...] (4.136) on jaksollinen, mikäli sellaiset N N ja L Z +, että b n+l = b n, n Z N, (4.137) missä L on jakso. Tällöin käytetään merkintöjä [b 0 ; b 1,...] = [b 0 ; b 1,..., b N 1, b N,..., b N+L 1 ] = 0-58
60 [b 0 ; b 1,..., b N 1, b N,..., b N+L 1, b N,..., b N+L 1,...] (4.138) Jos [b 0 ; b 1,...] = [b 0,..., b L 1 ], (4.139) niin tällöin kehitelmä on puhtaasti jaksollinen. Huom 10. Jos muuta ei sanota, niin jakso ja alkutermi valitaan mahdollisimman lyhyeksi. Käytetään myös termiä minimijakso. Esimerkki 11. Esimerkki 12. [1] = (4.140) [2] = 1 + 2, [1, 2] = 2. (4.141) Esimerkki 13. [3, 3, 6] = 11. (4.142) 0-59
61 Esimerkki 14. [10, 20] = 101. (4.143) Lause Euler. Yksinkertainen päättymätön jaksollinen ketjumurtoluku α = [b 0 ; b 1,..., b N 1, c 0,..., c L 1 ] (4.144) on reaalinen toisen asteen irrationaaliluku. Todistus. Merkitään β = [c 0,..., c L 1 ], (4.145) jolloin α = [b 0 ; b 1,..., b N 1, β]. (4.146) Olkoon (C n /D n ) kehitelmän (4.145) konvergenttijono, tällöin Jaksollisuuden nojalla β = [c 0,..., c L 1, β] = C L D L, (4.147) 0-60
62 missä C L = βc L 1 +C L 2, DL = βd L 1 +D L 2 (4.148) ja C k = c k C k 1 +C k 2, D k = c k D k 1 +D k 2 (4.149) kaikilla k = 2,..., L 1. Siten josta β = βc L 1 + C L 2 βd L 1 + D L 2, (4.150) D L 1 β 2 + (D L 2 C L 1 )β C L 2 = 0. (4.151) Niinpä β on 2. asteen irrationaaliluku ja β Q( D), jollakin D Z (määrää D). Edelleen α = [b 0 ; b 1,..., b N 1, β] = A N B N, (4.152) 0-61
63 missä A N = βa N 1 + A N 2, BN = βb N 1 + B N 2 (4.153) ja A k = b k A k 1 +A k 2, B k = b k B k 1 +B k 2 (4.154) kaikilla k = 2,..., N 1. Siispä α = βa N 1 + A N 2 βb N 1 + B N 2 Q( D). (4.155) Siten α on 2. asteen irrationaaliluku. Esimerkki 15. Sovelletaan äskeisen todistuksen menetelmää ketjumurtolukuun α = [2, 3, 8, 1, 1, 1, 4]. (4.156) Nyt β = [1, 1, 1, 4] (4.157) 0-62
64 ja siten β = [1, 1, 1, 4, β] = C 4 D 4, (4.158) missä C 0 D 0 = 1, C 1 D 1 = 2, C 0 = D 0 = D 1 = 1, C 1 = 2, (4.159) C 2 = c 2 C 1 +C 0 = 3, C 3 = c 3 C 2 +C 1 = 14, (4.160) D 2 = c 2 D 1 +D 0 = 2, D 3 = c 3 D 2 +D 1 = 9, (4.161) C 4 = βc 3 +C 2 = 14β+3, D4 = βd 3 +D 2 = 9β+2. (4.162) Niinpä β = 14β + 3 9β + 2, 3β2 4β + 1 = 0, (4.163) 0-63
65 ja siten Edelleen β = (4.164) 3 α = [2, 3, 8, β] = A 3 B 3, (4.165) A 0 = 2, B 0 = 1, A 1 = 7, B 1 = 3, A 2 = 58, B 2 = 25, (4.166) A 3 = βa 2 +A 1 = 58β+7, B3 = βb 2 +B 1 = 25β+3, (4.167) Sievennä vielä α:n lauseke. α = 58β β + 3 Q( 7). (4.168) Lemma 4.1. Kun α = [b 0, b 1,..., b n 1, α n ], niin α = α na n 1 + A n 2 α n B n 1 + B n 2 (4.169) 0-64
66 α n = αb n 2 A n 2 αb n 1 A n 1. (4.170) Lemma 4.2. Olkoot a, b Q, D Z. Tällöin luku α = a + b D Q( D) voidaan esittää muodossa α = P + d Q, Q P 2 d, P, Q, d Z. (4.171) Lause Lagrange. Reaalisen neliökunnan positiivisen irrationaaliluvun α ketjumurtoesitys on jaksollinen. Todistus. Aluksi Lemman 4.2 nojalla saadaan esitys α 0 = α = P 0 + d Q 0, Q 0 P 2 0 d, P 0, Q 0, d Z. (4.172) Käytetään seuraavaksi ketjumurtoalgoritmia (4.21) (4.26). Ensin α 0 = α 0 + {α 0 } = b 0 + {α 0 }, (4.173) missä 0 < {α 0 } = P 0 b 0 Q 0 + d Q 0 < 1. (4.174) 0-65
67 Siten missä α 1 = 1 {α 0 } = P 1 + d, (4.175) Q 1 P 1 = b 0 Q 0 P 0, Q 1 = d P 2 1 Q 0. (4.176) Tässä Q 0 P 2 1 d, (4.177) joten P 1, Q 1 Z. (4.178) Edelleen pätee Q 1 P 2 1 d = Q 1 Q 1. (4.179) Seuraavaksi jatketaan algoritmin mukaisesti α 1 = α 1 + {α 1 } = b 1 + {α 1 }... (4.180) ja yleisemmin 1 < α n = P n + d Q n, P n, Q n Z, (4.181) 0-66
68 missä Q n P 2 n d. (4.182) Algoritmin mukaisesti α n = α n + {α n } = b n + {α n } (4.183) missä 0 < {α n } = P n b n Q n + d Q n < 1. (4.184) α n+1 = 1 {α n } = P n+1 + d, (4.185) Q n+1 P n+1 = b n Q n P n, Q n+1 = d P 2 n+1 Q n. (4.186) Tässä Q n P 2 n+1 d, (4.187) joten P n+1, Q n+1 Z. (4.188) 0-67
69 Edelleen pätee Q n+1 Pn+1 2 d. (4.189) Seuraavaksi osoitetaan, että jonot (P k ) ja (Q k ) ovat rajoitettuja. Tarkastellaan lauseketta α n α n = P 2 n d Q 2 n = (4.190) αb n 2 A n 2 αb n 1 A n 1 αb n 2 A n 2 αb n 1 A n 1 = G n G n, (4.191) missä Harjoitustehtävän 18d nojalla G n = αb n 2 A n 2 αb n 1 A n 1 < 0 n Z + (4.192) ja G n = α A n 2 B n 2 α A n 1 B n 1 B n 2 B n 1 (4.193) 0-68
70 Koska α = α, niin on olemassa sellainen n, että α A k < B k 1 B 2 k < 2 d Q 0 kaikilla k K = n 2. Tällöin, joko = α α (4.194) α A k B k < 0 tai α A k B k > 0 (4.195) kaikilla k K. Siten G k > 0 α k α k = P 2 k d Q 2 k = G k G k < 0, (4.196) josta P 2 k < d d < P k < d k K. (4.197) Edelleen yhtälöstä (4.181) ja (4.197) nähdään, että Q k 1 Q k Q k Q k+1 = d P 2 k+1 d (4.198) 0-69
71 1 Q k d k K. (4.199) Olkoon B = {(S, T ) Z 2 S d 1, 1 T d}, (4.200) jonka mahtavuudelle pätee #B = M <. Välittömästi saadaan, että A = {(P k, Q k ) Z 2 k = K, K + 1,...} B. (4.201) Siten joillakin 0 l < h M, pätee (P K+l, Q K+l ) = (P K+h, Q K+h ). (4.202) Merkitään L = h l, jolloin α K+l = α K+L+l α K+l+1 = α K+L+l+1,... (4.203) 0-70
72 Merkitään vielä N = K + l, jolloin b N+j = b N+L+j j = 0, 1,... (4.204) ja siten α = P + d Q = [b 0 ; b 1,..., b N 1, b N,..., b N+L 1 ]. (4.205) Esimerkki 16. Olkoon d Z +. Tällöin d2 + 2 = [d, d, 2d]. (4.206) Todistus. Käytetään ketjumurtoalgoritmia d2 + 2 = d + d d = b 0 + {α 0 }, (4.207) α 1 = 1 {α 0 } = 1 d2 + 2 d = d d > 2 2 > 1, (4.208) 0-71
73 joten valitulle {α 0 }, pätee 0 < {α 0 } < 1. Edelleen d2 + 2 d α 1 = d + = b 1 + {α 1 }, 2 α 2 = 1 {α 1 } = 2 d2 + 2 d = d d = 2d + d d = b 2 + {α 2 }, α 3 = 1 {α 2 } = 1 d2 + 2 d = α 1. (4.209) Siten b 0 = d, b 1 = d, b 2 = 2d, b 3 = b 1 = d, b 4 = b 2 = 2d,... (4.210) Määritelmä 4.6. Toisen asteen irrationaaliluku α Q( D) 0-72
74 on redusoitu, jos α = a + b D > 1, ja 1 < α = a b D < 0. (4.211) Lause Toisen asteen positiivinen irrationaaliluku α Q( D) on redusoitu täsmälleen silloin, kun sen ketjumurtoesitys on puhtaasti jaksollinen. Tarkemmin: α > 1, ja 1 < α < 0 (4.212) α = [b 0,..., b L 1 ] (4.213) 1 α = [b L 1,..., b 0 ]. (4.214) Lause Olkoot D Z 2, D / Q ja A = D. Tällöin D = [A, b1, b 2,..., b 2, b 1, 2A]. (4.215) 0-73
75 Todistus. Aluksi A = b 0 = D, A + D = 2A. (4.216) Joten D = [b0 ; b 1, b 2,...] = [A; b 1, b 2,...] (4.217) ja Edelleen α = A + D = [2A; b 1, b 2,...]. (4.218) α = A D = ( D D ), 1 < α < 0 eli α on redusoitu. Siten tuloksen (4.213) nojalla (4.219) α = A + D = [2A, b 1,..., b L 1 ] (4.220) D = [A, b1,..., b L 1, 2A, b 1,..., b L 1, 2A,...] (4.221) 0-74
76 eli D = [A, b1,..., b L 1, 2A], (4.222) mistä saadaan D A = [0, b1,..., b L 1, 2A]. (4.223) Tuloksen (4.214) nojalla 1 α = 1 D A = [b L 1,..., b 1, 2A]. (4.224) josta Harjoitustehtävä 17a:n nojalla D A = [0, bl 1,..., b 1, 2A]. (4.225) Verrataan vielä esityksiä (4.223) ja (4.225), joista saadaan b L 1 = b 1, b L 2 = b 2,... (4.226) ja siten D = [A, b1, b 2,..., b 2, b 1, 2A]. (4.227) 0-75
77 Esimerkki = [3, 1, 1, 1, 1, 6]. (4.228) 31 = [5, 1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10]. (4.229) Huom 11. Jaksollinen jono on rajoitettu ja erityisesti ylöspäin rajoitettu. Lause Neperin luku e ei ole neliöllinen irrationaaliluku eli e / Q( D) D Z. (4.230) Todistus. Myöhemmin, Seuraus 12.4 todistetaan, että e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1,...] = [2, 1, 2k, 1] k=1. 1. Välikoe tähän asti eli luvut 1 4. (4.231) 0-76
78 5 Paras approksimaatio Kerrataan vielä, että rationaalilukujen nimittäjät oletetaan positiivisiksi (kuten yleensäkin tällä kurssilla). Määritelmä 5.1. Olkoon α R Q. Rationaaliluku r/s Q on α:n paras approksimaatio, jos sα r < uα t t/u Q {r/s}, (5.1) missä 1 u s. Parhaalle approksimaatiolle r/s pätee α r < s α t u, jos 1 u s. (5.2) ja t/u = r/s. Siispä, jos t/u = r/s ja α t u α r, (5.3) s niin u > s. Siten luvun α paras approksimaatio on sellainen rationaaliluku r/s, että kaikilla lukua α lähempänä olevilla rationaaliluvuilla on suurempi nimittäjä. 0-77
79 Lause 5.1. Olkoon α R Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos uα t < B k α A k, u Z +, t Z, (5.4) niin u B k+1. Todistus. Vastaoletus: u < B k+1. Osoitetaan ensin, että yhtälöryhmällä u = ab k + bb k+1 ; t = aa k + ba k+1 (5.5) on kokonaislukuratkaisu (a, b) Z 2, ab < 0. Yhtälöryhmän determinantti B k A k B k+1 A k+1 = ( 1)k = 0, (5.6) joten saadaan ratkaisu a = ( 1) k (ua k+1 tb k+1 ); b = ( 1) k ( ua k + tb k ). (5.7) 0-78
80 Yhtälöistä (5.5) ja vastaoletuksesta saadaan, että 1 u = ab k + bb k+1 < B k+1. (5.8) Näytetään seuraavaksi, että ab = 0. Jos olisi a = 0, niin 1 u = bb k+1 < B k+1, (5.9) johtaen ristiriitaan. Siten a = 0. Jos b = 0, niin u = ab k, t = aa k, (5.10) josta edelleen uα t = a B k α A k > uα t, (5.11) johtaen ristiriitaan. Siten b = 0. Tutkimalla epäyhtälöä (5.8) saadaan relaatiot a < 0 b > 0; a > 0 b < 0; (5.12) ab <
81 Edelleen uα t = a(b k α A k )+b(b k+1 α A k+1 ) = ax +by, missä (laskarit) (5.13) XY = (B k α A k )(B k+1 α A k+1 ) < 0. (5.14) Katsomalla merkkikombinaatiot saadaan ax > 0 by > 0 ja ax < 0 by < 0 kaikissa tapauksissa. Täten (5.15) uα t = a X + b Y X + Y = (5.16) B k α A k + B k+1 α A k+1 > B k α A k. (5.17) Ristiriita. 0-80
82 Lause 5.2. Olkoon α R Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos α r < s α A k B k (5.18) niin s > B k. Lause 5.3. Olkoon α R Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos niin α r < 1 s 2s 2, (5.19) r s = A k B k, (5.20) jollakin k. Todistus. Olkoon r s = A l B l l sa l rb l 1 l. (5.21) 0-81
83 Koska jono (B k ) on aidosti kasvava, niin on olemassa sellainen k, että B k s < B k+1. (5.22) Siten Lauseen 5.1 ja oletuksen (5.19) mukaan B k α A k sα r < 1 2s (5.23) Toisaalta 1 sb k α r + s α A k < 1. (5.24) 2sB k B k sa k rb k sb k = r s A k (5.25) B k α A k < sB k 2s 2, (5.26) B k mistä saadaan s < B k. Ristiriita. 0-82
84 Lause 5.4. Olkoon α R Q ja (A k /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin α A k B k < 1 2B 2 k (5.27) tai α A k+1 B k+1 < 1 2B 2 k+1. (5.28) Todistus laskareissa. 6 Sovelluksia 6.1 Diofantoksen yhtälöitä Yleensä, Diofantoksen yhtälöt ovat kokonaislukukertoimisia polynomija/tai eksponenttiyhtälöitä, joihin haetaan kokonaislukuratkaisuja. Määritelmä 6.1. Olkoon d Z, d / Q. Yhtälö x 2 dy 2 = 1 (6.1) 0-83
85 on Pellin yhtälö. Lause 6.1. Olkoon d Z 2, d / Q ja (Ak /B k ) sen konvergenttijono. Tällöin, jos x, y Z + on Pellin yhtälön (6.1) ratkaisu, niin jollakin k N. x y = A k B k, (6.2) Todistus. Yhtälön (6.1) mukaan (x y d)(x + y d) = 1 x y > d; (6.3) Niinpä x y d = 1 x + y d. (6.4) x y d = 1 y 2 (x/y + d) < 1 2y 2, (6.5) joten Lauseen 5.3 nojalla x y = A k B k, (6.6) 0-84
86 jollakin k N. Esimerkki 18. Tutkitaan yhtälöä x 2 2y 2 = 1. (6.7) Aluksi laskemalla konvergentteja nähdään, että (x, y) = (3, 2) ja (x, y) = (17, 12) ovat ratkaisuja. Muodostetaan lisäratkaisuja asettamalla β n = x n + y n 2 = ( ) n. (6.8) Tällöin β n β n = x 2 n 2y 2 n = ( ) n = 1. (6.9) Täten jokainen (x n, y n ) on ratkaisu, joilla on seuraava esitysmuoto x n = 1 2 (( ) n + (3 2 2) n ), (6.10) 0-85
87 y n = (( ) n (3 2 2) n ). (6.11) Määrää vielä rekursiot luvuille x n ja y n. 7 Yleiset ketjumurrot Kerrataan, että Lauseen 4.1 nojalla ketjumurron b 0 + a 1 b 1 + a 2 b = b 0 + a 1 a 2 b 1 + b = (7.1) b 0 + K k=1 ( ak b k ) (7.2) konvergentit b 0 + K n k=1 ( ak b k ) = A n B n n N, (7.3) saadaan laskettua rekursioilla A n+2 = b n+2 A n+1 + a n+2 A n, (7.4) 0-86
88 B n+2 = b n+2 B n+1 + a n+2 B n (7.5) lähtien alkuarvoista A 0 = b 0, B 0 = 1, A 1 = b 0 b 1 + a 1 ja B 1 = b 1. Lause 7.1. A n+1 B n A n B n+1 = ( 1) n a 1 a n+1 n N. (7.6) A n+2 B n A n B n+2 = ( 1) n b n+2 a 1 a n+1 n N. (7.7) Todistus induktiolla käyttäen rekursioita (7.4) ja (7.5). Seuraus 7.1. A n+1 B n+1 A n B n = ( 1)n a 1 a n+1 B n B n+1 n N. (7.8) 0-87
89 A n+2 B n+2 A n B n = ( 1)n b n+2 a 1 a n+1 B n B n+2 n N. (7.9) Todistus laskareissa. Seuraus 7.2. Olkoot a k, b k R +, tällöin A 0 B 0 < A 2 B 2 < A 4 B 4 <... < A 2k B 2k < (7.10) < A 2h+1 B 2h+1 <... < A 5 B 5 < A 3 B 3 < A 1 B 1. (7.11) kaikilla k, h N. Todistus laskareissa. 0-88
90 8 Suppenemistarkasteluja 9 Suppenemisehtoja Lause 9.1. Olkoot a k, b k C. Ketjumurtoluku ) ( K ak k=1 b k (9.1) suppenee, jos b k a k + 1 k Z +. (9.2) Lause 9.2. Olkoot b k C, 0 < ε < π/2 ja π 2 + ε < arg b k < π 2 ε k Z+. (9.3) Tällöin ketjumurtoluku K k=1 ( 1 b k ) (9.4) suppenee, jos b k =. (9.5) k=1 0-89
91 Lause 9.3. Olkoot a k, b k R +. Ketjumurto ) ( K ak k=1 b k (9.6) suppenee, jos ja erityisesti, jos a 1 a n+1 B n B n+1 0, (9.7) b n+1 n i=1 b2 i n+1 i=1 a i. (9.8) Todistus. Edetään kuten Lauseen 4.8 todistuksessa. Nyt yhtälön (7.8) mukaan pätee 0 < A 2k+1 B 2k+1 A 2k B 2k = a 1 a 2k+1 B 2k B 2k+1. (9.9) Täten suppenemiseen riittää tulos Rekursion nojalla a 1 a n+1 B n B n+1 0. (9.10) B k+2 = b k+2 B k+1 + a k+2 B k > b k+2 B k+1, (9.11) 0-90
92 joten B k > b k b 1. (9.12) Siispä a 1 a n+1 B n B n+1 < a 1 a n+1 b 1 b n b 1 b n+1 0. (9.13) Esimerkki 19. K k=1 ( k 2 2k + 1 ) R +. (9.14) Myöhemmin todistetaan vielä, että arctan 1 = 1 + K k=1 1 ( k 2 2k+1 ) (9.15) Esimerkki 20. Ketjumurto π 4 = K k=1 ( 1 ) 1 + i. (9.16) (9.17) suppenee. 0-91
93 Esimerkki 21. Ketjumurto suppenee. K k=1 ( ) i 2 (9.18) Esimerkki 22. Milloin ketjumurto b + a b + a b +... (9.19) suppenee? Esimerkki 23. τ = (9.20) suppenee aikaisempien tulosten nojalla. Joten saadaan yhtälö mutta kumpi?? τ = τ τ = 1 tai 2 (9.21) Toisaalta esimerkkien (20 23) suppenemista voidaan tutkia myös ratkaisemalla konvergenttien osoittajonot ja nimittäjäjonot rekursioista ja laskemalla konvergenttijonon raja-arvo. 0-92
94 9.1 Rekursioitten ratkaisemista Jono (w n ) on ei-triviaali, jos ainakin yksi alkio w n = 0. Määritelmä 9.1. Olkoot r, s C, s = 0. Ei-triviaalia jonoa (w n ), joka toteuttaa palautuskaavan w n+2 = rw n+1 + sw n, n N (9.22) sanotaan Lucasin jonoksi. Ratkaistaan rekursio (9.22) yritteellä w n = x n, x C. (9.23) Rekursiosta (9.22) saadaan x 2 rx s = 0, (9.24) jonka ratkaisut ovat α = r + r 2 + 4s 2, β = r r 2 + 4s. (9.25)
95 Määritelmä 9.2. Polynomi K(x) = K w (x) = x 2 rx s = (x α)(x β) (9.26) on rekursion (9.22) karakteristinen polynomi. Lause 9.4. Olkoot a, b C. Tällöin w n = aα n + bβ n (9.27) on rekursion (9.22) ratkaisu. Olkoon r 2 + 4s = 0, tällöin α = β. Siten rekursion (9.22) kaikki ratkaisut ovat muotoa (9.27), joillakin a, b C, jotka riippuvat jonon (w n ) alkuarvoista w 0, w 1. Esimerkki 24. Ketjumurron b + a b + a b +... (9.28) konvergenteille pätee A k+2 = ba k+1 +aa k, B k+2 = bb k+1 +ab k. (9.29) 0-94
96 Rekursioiden karakteristinen polynomi on muotoa x 2 bx a = (x α)(x β), (9.30) missä α = b + b 2 + 4a 2, β = b b 2 + 4a. (9.31) 2 Siten rekursioitten (9.29) yleiset ratkaisut ovat A k = tα k + uβ k, B k = vα k + wβ k, (9.32) missä t, u, v, w saadaan alkuarvoyhtälöistä A 0 = tα 0 + uβ 0, A 1 = tα 1 + uβ 1, (9.33) B 0 = vα 0 + wβ 0, B 1 = vα 1 + wβ 1. (9.34) Tapaus a, b R, b 2 + 4a > 0, α > β. Tällöin A k B k = t + u(β/α)k v + w(β/α) k t k v (9.35) 0-95
97 ja siten b + a b + a b +... = t v. (9.36) Esimerkki 25. Ratkaisemalla rekursiot ja määräämällä rajaarvo saadaan vastaus τ = = 2 (9.37) +... aikaisemman Esimerkin 23 kysymykseen. Nimittäin, nyt a = 2, b = 3, joten α = 2, β = 1. Siten rekursioitten (9.29) yleiset ratkaisut ovat muotoa A k = t2 k + u1 k, B k = v2 k + w1 k, (9.38) missä t = 4, u = 1, v = 2, w = 1 saadaan alkuarvoyhtälöistä (9.33) A 0 = 3 = t + u, A 1 = 7 = 2t + u, (9.39) B 0 = 1 = v + w, B 1 = 3 = 2v + w. (9.40) 0-96
98 Siten A k = 4 2k 1 B k 2 2 k 1 = 4 (1/2) k 4 2 (1/2) k k 2 = 2. (9.41) 10 Irrationaalisuusehtoja Määritelmä Ketjumurron τ = K n=1 ( an b n ), (10.1) häntä on ketjumurto ( an ) τ k = K n=k b n. (10.2) Hännille pätee palautuskaava τ k = a k b k + τ k+1. (10.3) 0-97
99 Huom 12. Mikäli ketjumurron (10.1) kaikki hännät suppenevat, niin tällöin pätee: A) τ k = 0 a k = 0. (10.4) B) Olkoot a k, b k Q, a k = 0 kaikilla k. Tällöin τ Q τ k Q k Z +. (10.5) Lause Olkoot a k, b k Z +. Jos a k b k k Z +, (10.6) niin ( an ) K n=1 b n / Q. (10.7) Lause Olkoot a k, b k Z. Jos 1 a k < b k k Z +, (10.8) ja τ k = 1 k Z +, (10.9) 0-98
100 niin ( an ) K n=1 b n / Q. (10.10) Ennen lauseiden 10.1 ja 10.2 todistusta esitellään ketjumurtojen häntiin liittyvä tulos. Lause Olkoot a k, b k Z. Jos 0 < τ k < 1 k Z +, (10.11) niin ( an ) K n=1 b n / Q. (10.12) Todistus. Vastaoletus τ Q. Tällöin τ k = r k s k, r k Z, s k Z +, r k s k, 1 r k s k 1 k Z +. (10.13) Palautuskaavan (10.3) nojalla r k r k+1 = s k+1 (s k a k b k r k ), (10.14) 0-99
101 joten välttämättä s k+1 r k s k+1 r k k Z +. (10.15) Edelleen r k+1 s k+1 1 r k 1 k Z +. (10.16) Täten saadaan ääretön aidosti vähenevä jono r 1 > r 2 >... positiivisia kokonaislukuja. Ristiriita. Lauseen 10.1 todistus. Aluksi todetaan, että kaikki hännät suppenevat, joten τ k < 0 < τ k k Z +. (10.17) Edelleen 0 < τ k = a k b k + τ k < a k b k (10.18) Sovelletaan vielä Lausetta
102 Lemma Olkoot a k, b k Z. Jos 1 a k < b k k Z +, (10.19) niin τ k 1 k Z +. (10.20) Todistus. Olkoon n Z + annettu. Asetetaan κ n := a n b n, κ k := a k b k + κ k+1, k = n 1,..., 1. (10.21) Oletuksen (10.19) nojalla 1 a k b k 1, k = 1,..., n, (10.22) ja 0 < κ n = a n b n < 1. (10.23) 0-101
103 Edelleen kolmioepäyhtälön nojalla b n 1 + κ n b n 1 κ n b n 1 κ n > b n 1 1 a n 1 (10.24) Siispä 0 < κ n 1 = a n 1 b n 1 + κ n < 1 (10.25) eli 0 < a n 1 b n 1 + a n bn < 1,..., (10.26) ja lopulta 0 < a 1 a 2 a n b 1 + b b n = A n B n < 1. (10.27) Niinpä τ = lim A n B n τ 1 (10.28) 0-102
104 ja samaten τ k 1 k Z +. (10.29) Lauseen 10.2 todistus. Lemman 10.1 nojalla τ k 1 k Z +. (10.30) Edelleen kaikkien ehtojen nojalla 0 < τ k < 1 k Z +, (10.31) joten Lausetta 10.3 käyttämällä saadaan väite. Huom 13. Esimerkin (25) nojalla τ = = 2, (10.32) joten τ 1 = = 1 Q (10.33) vaikka Lauseen 10.2 ehto (10.8) 1 a k < b k k Z +, (10.34) 0-103
105 toteutuu. Mutta nyt τ 1 = 1. (10.35) 11 Transformaatioita Lause Olkoot t k = 0 kaikilla k. Tällöin b 0 + a 1 a 2 b 1 + b = (11.1) b 0 + t 1a 1 t 1 t 2 a 2 t 2 t 3 a 3 t 1 b 1 + t 2 b 2 + t 3 b (11.2) eli ) ) K k=1 ( ak b k = K k=1 ( ck d k, (11.3) missä d 0 = b 0, c 1 = t 1 a 1, d 1 = t 1 b 1, (11.4) c k = t k 1 t k a k, d k = t k b k, k = 2, 3,... (11.5) 0-104
106 Todistus. Olkoot (A n /B n ) ja (C n /D n ) ketjumurtojen konvergenttijonot. Näytetään, että C n = t 1 t n A n, D n = t 1 t n B n n = 1, 2,... Induktiolla käyttäen rekursioita (11.6) C n+2 = d n+2 C n+1 + c n+2 C n, (11.7) D n+2 = d n+2 D n+1 + c n+2 D n, n = 0, 1,... (11.8) 12 Kehitelmiä Seuraavassa tutkitaan lukujen ja funktioiden sarjakehitelmiin liittyviä rekursioita, joiden avulla muodostetaan laajahko luokka ketjumurtokehitelmiä
107 12.1 Hypergeometriset sarjat Pochhammerin symboli määritellään asettamalla (a) 0 = 1, (a) n = a(a + 1) (a + n 1), (12.1) jolloin esimerkiksi (1) n = n! n Z +. (12.2) Formaalia sarjaa AF B ( a1,..., a A b 1,..., b B ) t = n=0 (a 1 ) n (a A ) n n!(b 1 ) n (b B ) n t n (12.3) kutsutaan yleistetyksi hypergeometriseksi sarjaksi. Seuraavassa ei välttämättä tutkita sarjojen suppenemista. Erikoistapauksia: 0-106
108 Gauss hypergeometric series 2F 1 ( a, b c ) t = n=0 (a) n (b) n n!(c) n t n. (12.4) Geometric series 2F 1 ( 1, 1 1 ) t = 1 F 0 ( 1 ) t = n=0 t n (12.5) Jos A = 0 tai B = 0, niin käytetään merkintää. Logarithm series 2F 1 ( 1, 1 2 ) t log(1 t) = t = n=0 1 n + 1 tn (12.6) Binomial series: 2F 1 ( 1, α 1 ) t = (1 t) α = n=0 ( ) α ( t) n (12.7) n Arcustangent: 2F 1 ( 1, 1/2 3/2 ) t 2 = arctan t t = n=0 ( 1) n 2n + 1 t2n+1 (12.8) 0-107
109 Eksponenttifunktio: 0F 0 ( ) t = exp(t) = n=0 1 n! tn (12.9) jonka avulla saadaan sarjaesitykset seuraaville funktioille. Trigonometriset funktiot sin(t) = eit e it, cos(t) = eit + e it, 2i 2 tan(t) = sin(t) cos(t). (12.10) Hyperboliset funktiot sinh(t) = et e t, cosh(t) = et + e t, 2 2 tanh(t) = sinh(t) cosh(t). (12.11) 12.2 Hypergeometrinen sarja 0 F 1 Sarjalle f(c) = 0 F 1 ( c ) t = n=0 1 n!(c) n t n (12.12) 0-108
110 pätee palautuskaava f(c) = f(c + 1) + t f(c + 2), (12.13) c(c + 1) josta saadaan f(c+k) = f(c+k+1)+ Niinpä f(c + k) f(c + k + 1) = 1 + Toistetaan yhtälöä (12.15), jolloin f(c) f(c + 1) = 1 + t (c + k)(c + k + 1) f(c+k+2). (12.14) t (c+k)(c+k+1) f(c + k + 1)/f(c + k + 2). (12.15) t (c)(c+1) f(c + 1)/f(c + 2) = (12.16) t (c)(c+1) t (c+1)(c+2) f(c+2)/f(c+3) =... (12.17) 0-109
111 Voidaan todistaa, että ketjumurtokehitelmä t (c)(c+1) t (c+1)(c+2) (12.18) suppenee kaikilla t C kohti funktiota f(c) f(c + 1), (12.19) siten käyttämällä vielä muunnosta (11.3)saadaan Lause Olkoon c, t C, c = 0, 1, 2,... Tällöin f(c) f(c + 1) = t (c)(c+1) t (c+1)(c+2) = (12.20) 1 + c t/c t c+2+ t c (12.21) Lemma sinh z = z 0 F 1 ( 3/2 ) z2 4 = n=0 1 (2n + 1)! z2n+1 ; (12.22) 0-110
112 cosh z = 0 F 1 ( 1/2 ) z2 4 = n=0 1 (2n)! z2n ; (12.23) tanh z = z 0 F 1 ( 3/2 0F 1 ( 1/2 z2 4 z2 4 ) ). (12.24) Lemma sin z = z 0 F 1 ( 3/2 ) z2 4 = n=0 ( 1) n (2n + 1)! z2n+1 ; (12.25) cos z = 0 F 1 ( 1/2 ) z2 4 = n=0 ( 1) n (2n)! z2n ; (12.26) tan z = z 0 F 1 ( 3/2 0F 1 ( 1/2 z2 4 z2 4 ) ). (12.27) 0-111
113 Lause Kaikilla z C, z = i(π/2 + kπ), k Z pätee tanh z = ez e z e z + e z = z z 2 z 2 z (12.28) +... Todistus. Lauseen 12.1 mukaan tanh z = ez e z e z + e z = z 0 F 1 ( 3/2 0F 1 ( 1/2 z2 4 z2 4 ) ) = (12.29) z f(1/2)/f(3/2) = 1 + c+1+ z t/c t c+2+ t c (12.30) t=z 2 /4,c=1/2 = 1 + 3/2+ z z 2 /2 z 2 /4 5/2+ z2 /4 7/2+... = (12.31) z 1 + z 2 3+ z2 5+ z (12.32) 0-112
114 Lause Kaikilla z C, z = π/2 + kπ, k Z pätee tan z = z 1 + Todistus laskareissa. z 2 z 2 z (12.33) 12.3 Kehitelmiä Neperin luvulle Seuraus Kaikilla z C pätee e 2z = 1 + 2z z 2 z 2 1 z (12.34) +... Todistus. Yhtälön (12.28) nojalla e 2z = tanh z = (12.35) z 1+ z2 3 + z = (12.36) z 1+τ = 1 + z + τ 1 z + τ (12.37) 0-113
115 1 + 2z 1 z + τ, (12.38) missä τ = z2 z (12.39) +... Seuraus e = 1 + 2[0, 1, 4k + 2] k=1 = (12.40) +... I. Todistus. Asetetaan z = 1/2 kehitelmään (12.34), jolloin e = /4 1/4 1/ = (12.41) Lause e = [2, 1, 2k, 1] k=1 = (12.42) (12.43)
116 e 2 = [7, 3k 1, 1, 1, 3k, 12k + 6] k=1. (12.44) Todistus. Todistetaan (12.43), kehitelmä (12.44) menee vastaavasti. Lähdetään kehitelmästä (12.40), missä merkitään α = β 1 = Käytetään myös merkintöjä (12.45) +... β k = 1 d k + β k+1, d k = 4k 2, k = 2, 3,... (12.46) ja α 0 = β 1 = 2 = 2. (12.47) d 1 + β β 2 Sovelletaan ketjumurtoalgoritmia lukuun α 0 = [b 0, b 1,...]. Sijoitetaan β 2 = 1 d 2 + β 3 = β 3 (12.48) 0-115
117 yhtälöön (12.47), jolloin α 0 = β β 3 = β β 3 = b 0 + {α 0 }; (12.49) α 1 = 1 {α 0 } = 7 + β β 3 = β 3 = b 1 + {α 1 }; (12.50) α 2 = 1 {α 1 } = 5 + β 3 2 = β 3 2 = b 2 + {α 2 }; (12.51) Sijoitetaan α 3 = 1 {α 2 } = β 3. (12.52) β 3 = yhtälöön (12.52), jolloin 1 d 3 + β 4 = β 4 (12.53) α 3 = 2d 3 + 2β 4 d β 4 = 1 + d β 4 d β 4 = b 3 + {α 3 }; (12.54) 0-116
118 α 4 = 1 {α 3 } = d β 4 = 1+ d β 4 2 = b 4 +{α 4 }; d β 4 (12.55) α 5 = 1 {α 4 } = d β 4 2 = d β = b 5 +{α 5 }; (12.56) Yleisemminkin α 6 = 1 {α 5 } = β 4. (12.57) α 3l 3 = 1 {α 3l 4 } = β l+1, (12.58) johon sijoitetaan β l+1 = 1 d l+1 + β l+2. (12.59) Tällöin α 3l 3 = 2d l+1 + 2β l+2 d l β l+2 = (12.60) 0-117
119 1 + d l β l+2 d l β l+2 = b 3l 3 + {α 3l 3 }; (12.61) α 3l 2 = 1 {α 3l 3 } = d l β l+2 d l β l+2 = (12.62) d l β l+2 = b 3l 2 + {α 3l 2 }; (12.63) α 3l 1 = 1 {α 3l 2 } = d l β l+2 2 = (12.64) d l siten jälleen β l+2 2 = b 3l 1 + {α 3l 1 }; (12.65) α 3l = 1 {α 3l 1 } = 2. (12.66) 1 + β l
120 Niinpä b 3l 1 = d l = 2l, b 3l = b 3l+1 = 1 (12.67) ja siten α = β 1 = [1, 1, 2, 1, 1, 4, 1,..., 1, 2k, 1,...], (12.68) josta e = 1 + β 1 = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1,..., 1, 2k, 1,...]. II. Todistus. Tutkitaan konvergenttijonoa (12.69) missä A n B n = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1,..., 1, 2k, 1,..., b n ], (12.70) A 3n+1 = A 3n + A 3n 1, B 3n+1 = B 3n + B 3n 1 ; (12.71) 0-119
121 A 3n+2 = 2(n+1)A 3n+1 +A 3n, B 3n+2 = 2(n+1)B 3n+1 +B 3n (12.72) A 3n+3 = A 3n+2 + A 3n+1, B 3n+3 = B 3n+2 + B 3n+1. Asetetaan (12.73) α n = 1 n! 1 0 x n (x 1) n e x dx, (12.74) β n = 1 n! 1 0 x n+1 (x 1) n e x dx, (12.75) γ n = 1 n! Lemma x n (x 1) n+1 e x dx. (12.76) α n = β n 1 γ n 1 ; (12.77) 0-120
122 β n = 2nα n + γ n 1 ; (12.78) γ n = β n α n. (12.79) Huomataan, että integraaleista tulee lineaarikombinaatioita luvuista 1 ja e, joten merkitään: Lemma α n = v 3n 2 e t 3n 2 ; (12.80) β n = t 3n 1 v 3n 1 e; (12.81) γ n = t 3n v 3n e. (12.82) Lemma v n = B n n N. (12.83) 0-121
123 Lemma B 3n 2 e A 3n 2 = α n n 0; (12.84) B 3n 1 e A 3n 1 = β n n 0; (12.85) B 3n e A 3n = γ n n 0; (12.86) Todistus. lim A n B n = e e = [2, 1, 2k, 1] k=1. (12.87) 13 Irrationaalisuustuloksia Lause Olkoon r/s Q, tällöin e r/s / Q. (13.1) 0-122
124 nojalla Todistetaan tapaus z = r Z {0}. Yhtälön (12.28) e 2r 1 e 2r + 1 = r r 2 r Vastaoletus r 2 2k 1 + τ k+1 = τ. (13.2) e r Q e2r 1 e 2r + 1 Q. (13.3) Toisaalta, valitaan k niin isoksi, että b k+1 = 2k + 1 > r 2 = a k+1, (13.4) jolloin Lauseen 10.1 nojalla τ k+1 / Q τ / Q. (13.5) Ristiriita. Lause π / Q (13.6) 0-123
125 I. Todistus. Valitaan z = π/4, jolloin tan z = 1 ja yhtälön (12.33) nojalla z = 1 + z2 z 2 z (13.7) +... Vastaoletus π Q. Olkoon z = π/4 = r/s, r Z, s Z +, jolloin r s = 1 + (r/s)2 (r/s) 2 (r/s) = (13.8) missä 1 + r2 r 2 r 2 3s s = τ, (13.9) b k = (2k + 1)s 2 2 k, b k = 2k k, (13.10) Nyt a k = r 2, k Z +. (13.11) b k a k + 1, k k 0 = r (13.12) 0-124
802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II
802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA
LisätiedotKETJUMURTOLUVUT. Tapani Matala-aho
KETJUMURTOLUVUT Tapani Matala-aho 5. helmikuuta 0 Sisältö Johdanto 3 Jakoalgoritmi, kantaesitys 4. Jakoalgoritmi............................. 4. Kantakehitelmät........................... 4.. Kokonaisluvun
Lisätiedot802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I
802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I
Lisätiedot802655S KETJUMURTOLUVUT, CONTINUED FRACTIONS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
802655S KETJUMURTOLUVUT, CONTINUED FRACTIONS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 207 Sisältö ABSTRACT 3 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 3 2. ESITYKSIÄ SEKÄ TYÖKALUJA................. 3 2.2
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
LisätiedotYleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus
Yleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus Pro gradu -tutkielma Jonna Luokkanen 22452 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 24 Sisältö Johdanto 2 Johdatus ketjumurtolukuihin 2 Ketjumurtoluvun
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
LisätiedotKetjumurtoluvut ja Pellin yhtälö
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Viivi Seppälä Ketjumurtoluvut ja Pellin yhtälö Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 204 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SEPPÄLÄ,
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotTehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
Lisätiedotreaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään
LisätiedotLukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.
Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotJonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).
Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................
LisätiedotRationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Liisa Lampinen Rationaaliluvun desimaaliesitys algebrallisesta ja lukuteoreettisesta näkökulmasta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2016 Tampereen
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
LisätiedotKetjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin 1
Ketjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin. x y Yllä olevassa kuvassa siis pitää olla x + y x = x y = ϕ. Tästä saadaan josta edelleen + y x = x y = ϕ, + ϕ = ϕ ja eli ϕ + = ϕ 2 ϕ 2 ϕ = 0. Tämä on toisen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotSeuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat
3.3 Luokkaryhmä Seuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat muodostavat ryhmän. Määritelmä 3.39. Määritellään operaatio kahden samaa diksriminanttia olevan binäärisen
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
Lisätiedot1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa
1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
LisätiedotTOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotLuvun π irrationaalisuus. Ilari Vallivaara
Luvun π irrationaalisuus Ilari Vallivaara 27. marraskuuta 24 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Todistuksen pääpiirteinen kulku 3 3 Todistus 4 Lähdeluettelo 9 1 1 Esipuhe Luvun π irrationaalisuus seuraa suoraan sen
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
LisätiedotVaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
LisätiedotLUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
LisätiedotRekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotRothin lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan pro gradu
Rothin lause Heikki Pitkänen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 0 Tiivistelmä: Heikki Pitkänen, Rothin lause. Matematiikan pro gradu -tutkielma, 47
LisätiedotJohdatus p-adisiin lukuihin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anne Keskinen Johdatus p-adisiin lukuihin Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Maaliskuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotMat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
LisätiedotIntegroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
Lisätiedotei ole muita välikuntia.
ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
LisätiedotShorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm
Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua
Lisätiedot1 Tätä dokumenttia, Ketjumurtoluvuista.pdf, saa levittää vain yhdessä lähdekoodinsa
Sisältö Eukleideen algoritmi Jakoyhtälö positiivisille kokonaisluvuille 2 2 Eukleideen algoritmi 2 3 Laajennettu Eukleideen algoritmi 3 2 Ketjumurtoluvut 4 2 Irrationaalilukujen ketjumurtolukukehitelmä
Lisätiedot2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];
802656S ALGEBRALLISET LUVUT Harjoituksia 2017 1. Näytä, että (a) (b) (c) (d) (e) 2 1/2, 3 1/2, 2 1/3 ; 2 1/2 + 3 1/2 ; 2 1/3 + 3 1/2 ; e iπ/m, m Z \ {0}; sin(π/m), cos(π/m), tan(π/m), m Z \ {0}; ovat algebrallisia
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotLukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
Lisätiedot