Yleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus
|
|
- Ella Lattu
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Yleiset ketjumurtoluvut ja piin irrationaalisuus Pro gradu -tutkielma Jonna Luokkanen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 24
2 Sisältö Johdanto 2 Johdatus ketjumurtolukuihin 2 Ketjumurtoluvun muunnos ja häntä 6 2 Yksinkertainen ketjumurtoluku 2 3 Jaksollinen yksinkertainen ketjumurtoluku 23 2 Algebrallisen luvun yksinkertainen ketjumurtoesitys 23 3 Hypergeometriset sarjat 3 3 Hypergeometrinen sarja F 32 4 Luvun π irrationaalisuustodistuksia 36 Lähdeluettelo 4
3 Johdanto Tässä pro gradu -tutkielmassa tutkitaan ketjumurtolukuja ja luvun pii irrationaalisuutta Tutkielmassa edetään ketjumurtolukujen ominaisuuksien kautta yksinkertaisen ketjumurtoluvun ja toisen asteen algebrallisen luvun väliseen yhteyteen, sekä piin irrationaalisuuden todistamiseen Aluksi käydään läpi ketjumurtolukujen yleinen määritelmä lineaaristen muunnosten avulla Yleisestä määritelmästä johdetaan yksinkertaisempi ketjumurtoluku, johon tutkielmassa keskitytään Tälle ketjumurtoluvulle määritellään konvergentit ja häntä Tästä jatketaan ketjumurtolukujen erikoistapaukseen, yksinkertaisiin ketjumurtolukuihin Näille ketjumurtoluvuille määritellään kokonaisosamäärä, sekä tutkitaan miten konvergentit arvioivat ja lähestyvät yksinkertaisen ketjumurtoluvun arvoa Yhtenä esimerkkinä tutkitaan, kuinka kultaisesta leikkauksesta saadaan yksinkertainen ketjumurtoluku ja miten tämän ketjumurtoluvun avulla voidaan määrittää kaava Fibonaccin lukujonon jäsenille Yksinkertaisiin ketjumurtolukuihin liittyen käsitellään toisen asteen algebrallisen luvun yksinkertaisen jaksollisen ketjumurtolukuesityksen määrittäminen Viimeisenä tutkielmassa on piin irrationaalisuuden todistaminen kahdella tavalla Ensimmäisessä tavassa käytetään ketjumurtolukujen lisäksi hypergeometrisia sarjoja ja niiden ominaisuuksia Toinen tapa ei liity ketjumurtolukuihin vaan siinä käytetään hyväksi piitä sisältäviä integraalilausekkeita Positiivisten kokonaislukujen joukolle käytetään tutkielmassa merkintää Z + {, 2, } ja luonnollisten lukujen joukolle merkintää N {,, } Merkintä (a, b tarkoittaa lukujen a ja b suurinta yhteistä tekijää Johdatus ketjumurtolukuihin Aloitetaan ketjumurtolukujen yleisestä määritelmästä ja yksinkertaistetaan se siihen muotoon, jota tutkielmassa myöhemmin käytetään Yleisen ketju- 2
4 murtoluvun ja sen konvergenttien määritelmä pohjautuvat lähteen [2] sivuihin 3-2 Olkoot r p C ja τ τ p (w r pw + s p t p w + u p, t p, p,, 2, Määritellään muunnoksien tulo seuraavasti τ τ (w τ (τ (w, τ τ τ 2 (w τ τ (τ 2 (w, τ τ τ 2 τ 3 (w τ τ τ 2 (τ 3 (w, Lisätään ja vähennetään lausekkeen τ p (w osoittajaan r p u p /t p, jolloin saadaan τ p (w r pw + s p r pw + s p + r p u p /t p r p u p /t p t p w + u p u p + t p w r p(w + u p /t p (r p u p s p t p /t p t p (u p /t p + w r p(w + u p /t p w + t p (u p /t p (r pu p s p t p /t p t p (u p /t p + w r p (r pu p s p t p /t 2 p t p u p /t p + w r p p/t 2 p t p u p /t p + w, missä p r p u p s p t p Nyt voidaan kirjoittaa τ τ τ 2 τ 3 τ n (w r t /t 2 /t 2 u /t + r /t u /t +r 2 /t 2 n /t 2 n u n /t n +rn/tn n/t2 n un/tn+w 3
5 Kun asetaan w ja annetaan luvun n lähestyä ääretöntä, niin saatu ääretön esitys on ketjumurtoluku Jos raja-arvo lim τ τ τ 2 τ 3 τ n ( v n on äärellisenä olemassa, niin ketjumurtoluvun sanotaan suppenevan ja sen arvo on luku v Tässä oletetaan, että vain äärellinen määrä tuloista τ τ τ n ( ei ole määritelty äärellisenä Jotta saadaan yksinkertaistettua ketjumurtoluvun esitystä, korvataan muunnokset τ p (w muunnoksilla Huomataan, että t (w b + w, t p (w Tällöin saadaan ketjumurtoluku a p, p, 2, 3, ( b p + w lim t t t n ( lim t t t n+ ( n n b + a b + a 2 b 2 + (2 Lukua a p kutsutaan p:nneksi osaosoittajaksi ja lukua b p p:nneksi osanimittäjäksi, sekä lukua a p /b p p:nneksi osamääräksi Ketjumurtolukua t t t n ( b + a b + a 2 b an bn kutsutaan ketjumurtoluvun (2 n:nneksi konvergentiksi tai approksimaatioksi Lause Olkoon t t t n (w b + 4 a b + a 2 b an bn+w
6 ja määritellään nyt Tällöin A, B, A b, B A p+ b p+ A p + a p+ A p, (3 B p+ b p+ B p + a p+ B p, (4 p,, 2, t t t n (w A n w + A n B n w + B n, n,, 2, Todistus Todistetaan lause matemaattisella induktiolla indeksin n suhteen Olkoon ensin n Tällöin t A w + A B w + B w + b, ja väite on tosi Tehdään induktio-oletus, että väite on tosi kun n k Nyt ( t t t k+ (w ( ak+ t t t k b k+ + w ( A ak+ IO k b k+ + A +w k ( B ak+ k b k+ + B +w k A kw + (b k+ A k + a k+ A k B k w + (b k+ B k + a k+ B k (3,(4 A kw + A k+ B k w + B k+, joten väite on tosi kun n k + Siis väite on tosi kaikilla n, 2, Edellä esitetystä seuraa t t t n ( b + a b + a 2 b an bn A n B n 5
7 Tässä tutkielmassa käytetään ketjumurtoluvuille esitystä b + a b + a 2 b 2 + (5 Elementit a p ja b p ovat kompleksilukuja, ellei toisin mainita Määritellään tämän ketjumurtoluvun konvergentit asettamalla b + a b + a 2 b an bn A n B n (6 lauseen avulla lähtien alkuarvoista A b, B, A b b + a ja B b seuraavasti A n+2 b n+2 A n+ + a n+2 A n (7 B n+2 b n+2 B n+ + a n+2 B n (8 kaikilla n,, 2, Jos konvergenttien raja-arvo A n lim n B n on äärellisenä olemassa, niin ketjumurtoluku (5 suppenee Jos raja-arvoa ei ole olemassa, niin ketjumurtoluku hajaantuu Raja-arvo on ketjumurtoluvun arvo Ketjumurtoluvulle (5 käytetään myös merkintöjä ja b + a b + a 2 b 2 + b + K p ( ap b p Ketjumurtoluvun muunnos ja häntä Tutkitaan ketjumurtolukujen ekvivalenssimuunnosta ja häntiä Lauseet ja todistukset perustuvat lähteeseen [5] Näitä lauseista on paljon hyötyä kappaleessa 4, kun tutkitaan piin irrationaalisuutta 6
8 Lause 2 Olkoon t k kaikilla k, 2, Tällöin a b + b + a 2 b 2 + t a b + t b + t t 2 a 2 t 2 b 2 + t 2 t 3 a 3 t 3 b 3 + (9 ( eli K k ( ak b k K k ( ck missä d b, c t a, d t b, c k t k t k a k, ja d k t k b k kaikilla k 2, 3, d k, Seuraava todistus ei perustu mihinkään lähteeseen Todistus Olkoon (A n /B n ja (C n /D n ketjumurtojen (9 ja ( konvergenttijonot Alkuarvoilla C d, D, C d d + c ja D d rekursiokaavoista (7 ja (8 saadaan C n+2 d n+2 C n+ + c n+2 C n D n+2 d n+2 D n+ + c n+2 D n kaikilla k,, Nyt C d b A ja D B Näytetään rekursiokaavojen ja induktion avulla, että C n t t n A n ja D n t t n B n kaikilla n, 2, Koska 7
9 C d d + c b (t b + t a t (b b + a t A, C 2 d 2 C + c 2 C t 2 b 2 C + t t 2 a 2 C t 2 b 2 (t A + t t 2 a 2 A t t 2 (b 2 A + a 2 A t t 2 A 2, D d t b t B, ja D 2 d 2 D + c 2 D t 2 b 2 t B + t t 2 a 2 B t t 2 (b 2 B + a 2 B t t 2 B 2 niin väite on tosi, kun n ja n 2 Oletetaan, että väite pätee kun n, 2,, m, eli C m t t m A m ja D m t t m B m 8
10 Nyt C m+ d m+ C m + c m+ C m t m+ b m+ t t m A m + t m t m+ a m+ t t m A m t t m+ (b m+ A m + a m+ A m t t m+ A m+ ja D m+ d m+ D m + c m+ D m t m+ b m+ t t m B m + t m t m+ a m+ t t m B m t t m+ (b m+ B m + a m+ B m t t m+ B m+, joten väite on tosi kun n m + Siis induktioperiaatteen nojalla väite on tosi kaikilla n, 2, ja Saatiin, että kaikilla n, 2,, jolloin C n t t n A n D n t t n B n C n /D n A n /B n Siispä ketjumurrot (9 ja ( ovat samat Äskeisestä ekvivalenssimuunnoksia koskevasta lauseesta saadaan mielenkiintoinen muunnos kerjumurtoluvuille Jos merkitään c n b n, niin saadaan kerjumurtoluku b +, + a 2 + a 3 + missä a a /b ja a j a j /(b j b j kun j 2 Lähde [] 9 a
11 Määritelmä 3 Ketjumurron τ K n ( an b n a b + a 2 b 2 + häntä on ketjumurto τ k K nk ( an b n a k b k + a k+ b k+ + Hännät toteuttavat palautuskaavan τ k Lause 4 Olkoon a k, b k Z Jos a k b k + τ k+ ( a k < b k kaikilla k Z + niin τ k kaikilla k Z + Todistus Valitaan positiivinen kokonaisluku n Oletuksen nojalla < a n < Määritellään K n a n b n, K k b n a k b k + K k+, kaikilla k, 2,, n, missä K n < alkuoletukssen nojalla Nyt < K n a n b n + K n <, koska kolmioepäyhtälön mukaan b n + K n b n K n b n K n > b n a n
12 Samalla tavoin < K n 2 < ja kun tätä jatketaan, saadaan < a k b k + K k+ < kaikilla k, 2,, n, eli < a b + K 2 a a 2 b + b 2 + K 3 a a 2 a n a n b + b 2 + b n + A n < Siis τ lim b n A n n B n, joten τ k k Z + B n Lause 5 Olkoon a k, b k Z Jos niin < τ k < kaikilla k Z +, τ K n ( an b n / Q Todistus Tehdään vastaoletus, että τ Q, jolloin myös τ k Q Voidaan siis kirjoittaa Palautuskaavaan ( nojalla τ k r k /s k, k Z, s k Z +, s k r k, ja r k s k k Z + (2 r k /s k a k b k + r, k+ s k+
13 eli r k r k+ s k+ (s k a k b k r k Nyt siis välttämättä eli (s k + r k, s k+ r k k Z + Yhtälön (2 ja äsken saadun mukaan r k+ s k+ r k k Z + Näin saadaan ääretön aidosti vähenevä jono r > r 2 positiivisia kokonaislukuja, mikä ei ole mahdollista Vastaoletus on siis väärä ja lause tosi 2 Yksinkertainen ketjumurtoluku Ketjumurtolukujen erikoistapaus on yksinkertaiset ketjumurtoluvut, sekä jaksolliset yksinkertaiset ketjumurtoluvut Tässä kappaleessa käsitellään näiden ketjumurtolukujen ominaisuuksia Määritelmät ja lauseet perustuvat lähteeseen [3] Määritelmä 6 Olkoon b N ja b k Z + kaikilla k, 2, Tällöin muotoa τ b + b + b 2 + olevaa ketjumurtolukua kutsutaan yksinkertaiseksi ketjumurtoluvuksi Sitä voidaan merkitä lyhyemmin τ [b ; b, b 2, ] 2
14 Yksinkertaisilla ketjumurtoluvuilla rekursiokaavat (7 ja (8 yksinkertaistuvat alkuarvoilla A b, B, A b b + ja B b muotoon A n+2 b n+2 A n+ + A n (3 B n+2 b n+2 B n+ + B n (4 Lisäksi huomataan, että luonnollisista luvuista koostuva jono (A n n ja positiivisista kokonaisluvuista koostuva jono (B n n ovat aidosti kasvavia Lause 7 Yksinkertaisen ketjumurtoluvun konvergenteille pätee A k B k A k B k ( k k Z + Todistus Merkitään E k A k B k A k B k ja todetaan aluksi, että E A B A B b b b b Kaavojen (3 ja (4 perusteella E k+ A k+ B k A k B k+ (b k+ A k + A k B k A k (b k+ B k + B k b k+ A k B k + A k B k A k b k+ B k A k B k (A k B k A k B k E k Siispä E, E, E 2 ja niin edelleen, joten E k ( k kaikilla k,, Lauseen 7 seurauksena yksinkertaisten ketjumurtolukujen konvergenteille pätee, että (A k, B k Näin on, koska jos olisi (A k, B k, niin tämän ykköstä suuremman luvun ja jonkin kokonaisluvun tulo olisi miinus yksi tai yksi, mikä on mahdotonta Samalla tavoin (A k, A k+ ja (B k, B k+ 3
15 Lause 8 Yksinkertaisen ketjumurtoluvun konvergenttien raja-arvo on äärellisenä olemassa Todistus Lauseen 7 mukaan A n lim n B n A k B k A k B k ( k Jakamalla tämä luvuilla B k ja B k saadaan Tällöin A B + k A k B k A k B k ( k B k B k (5 ( Ak A k A + B k B k B k ( k B k B k on suppeneva sarja, koska jono (B k k on aidosti kasvava Siis raja-arvo on äärellisenä olemassa A n lim n B n Määritelmä 9 Yksinkertaisen ketjumurtoluvun hännän τ k b k + b k+ + käänteisluvulle käytetään merkintää C k /τ k b k + b k+ + b k+2 + [b k ; b k+, b k+2, ] Kutsutaan ketjumurtolukua C k ketjumurtoluvun τ k:nneksi kokonaisosamääräksi Kokonaisosamäärälle pätee τ C ja C k b k + C k+ (6 4
16 Lause Yksinkertainen ketjumurtoluku τ voidaan kokonaisosamäärien avulla esittää seuraavasti τ A kc k+ + A k B k C k+ + B k kaikilla k, kun merkitään A ja B Todistus Aluksi τ A C + A B C + B b C + C b + C C Tehdään induktio-oletus, että lause on tosi jollakin k Tällöin yhtälön (6 ja rekursiokaavan (3 perusteella τ A kc k+ + A k B k C k+ + B k (a k+ A k + A k + C k+2 A k ( (a k+ B k + B k + C k+2 B k A k (b k+ + C k+2 + A k B k (b k+ + C k+2 + B k ( (C k+2 A k+c k+2 + A k B k+ C k+2 + B k Väite on siis tosi myös arvolla k + ja induktioperiaatten nojalla lause on tosi kaikilla k,, Ketjumurtoluvun konvergenttijono suppenee kohti ketjumurtoluvun arvoa, jolloin konvergenteilla voidaan arvioida ketjumurtoluvun arvoa Johdetaan arvion virheelle kaava Lause Yksinkertaisen ketjumurtoluvun ja sen konvergentin erotukselle pätee τ A k B k < Bk 2 5
17 Todistus Lauseiden ja 7 perusteella johdetaan τ A k B k A kc k+ + A k B k C k+ + B k A k B k (A kc k+ + A k B k (B kc k+ + B k A k (B k C k+ + B k B k (B k C k+ + B k B k (A kb k A k B k (B k C k+ + B k B k ( k (B k C k+ + B k B k ( k ( (7 Bk 2 C k+ + B k B k Koska C k+ > ja B k < B k, eli B k /B k >, niin C k+ + B k /B k > Tämän avulla τ A k B k B 2 k ( ( k C k+ + B k B k < Bk 2 Tutkitaan vielä lisää konvergentteja ja käytetään niitä yksinkertaisen äärettömän ketjumurtoluvun irrationaalisuuden todistamiseen Seuraavat kaksi lausetta ja niiden todistukset pohjautuvat lähteen [4] sivuihin 4-48 Lause 2 Merkitään yksinkertaisen ketjumurtoluvun konvergentteja seuraavasti Tällöin K n A n B n K > K 3 > K 5 > ja K < K 2 < K 4 < Lisäksi kaikki parittomat konvergentit K 2j ovat suurempia, kuin mikä tahansa parillinen konvergentti K 2j 6
18 Todistus Kirjoitetaan aluksi K k K k 2 A k B k A k 2 B k 2 A kb k 2 B k B k 2 A k 2B k B k 2 B k A kb k 2 A k 2 B k B k B k 2 Rekursiokaavaojen (3 ja (4, sekä Lauseen 7 avulla yllä olevan lausekkeen viimeisen osamäärän osoittaja voidaan kirjoittaa muotoon A k B k 2 A k 2 B k (b k A k + A k 2 B k 2 A k 2 (b k B k + B k 2 Nyt siis b k A k B k 2 + A k 2 B k 2 A k 2 b k B k A k 2 B k 2 b k (A k B k 2 A k 2 B k b k ( k 2 K k K k 2 b k( k B k B k 2, joten K k < K k 2, kun k on pariton ja K k > K k 2, kun k on parillinen Siis ja K > K 3 > K 5 > (8 K < K 2 < K 4 < (9 Todistetaan vielä viimeinen yhtälö, jonka mukaan parittomat konvergentit ovat suurempia, kuin parilliset konvergentit Lauseen 7 perusteella joten K 2m K 2m ( 2m B 2m B 2m <, K 2m > K 2m, (2 eli pariton konvergentti on suurempi kuin seuraava parillinen konvergentti Yhtälöiden (8, (9 ja (2 perusteella K 2j > K 2j+2k > K 2j+2k > K 2k, joten jokainen pariton konvergentti on suurempi kuin mikä tahansa parillinen konvergentti 7
19 Lause 3 Yksinkertainen ketjumurtoluku τ b + b + b 2 + on irrationaaliluku Todistus Kaavan (5 perusteella A 2n+ B 2n+ A 2n B 2n ( 2n B 2n+ B 2n B 2n+ B 2n ja tiedetään, että jono (B k k on aidosti kasvava, joten ( A2n+ lim A 2n n B 2n+ B 2n Siis A 2n+ A 2n A n lim lim lim τ n B 2n+ n B 2n n B n Lauseen 2 perusteella jono ( A 2n B 2n n on aidosti kasvava ja ylhäältä rajoitettu sekä jono ( A 2n+ B 2n+ n on aidosti vähenevä ja alhaalta rajoitettu Lisäksi saman lauseen perusteella parittoman jonon jäsenet ovat suurempia kuin parillisen jonon jäsenet Tästä saadaan, että parillinen jono lähestyy lukua τ vasemmalta ja pariton jono oikealta Voidaan siis kirjoittaa Kaavan (5 perusteella eli < τ A 2n B 2n < A 2n+ B 2n+ A 2n B 2n A 2n+ B 2n+ A 2n B 2n < τ A 2n B 2n < B 2n+ B 2n, B 2n+ B 2n Kerrotaan saatu yhtälö puolittain luvulla B 2n, jolloin < τb 2n A 2n < B 2n+ 8
20 Oletetaan, että τ on rationaalinen, eli τ c/d, missä c ja d ovat kokonaislukuja ja d Tällöin < cb 2n d Kerrotaan yhtälö luvulla d, jolloin A 2n < B 2n+ < cb 2n da 2n < d B 2n+ Nyt cb 2n da 2n on kokonaisluku kaikilla positiivisilla indeksin n arvoilla Koska (B n n on aidosti kasvava jono, niin on olemassa sellainen kokonaisluku n, että B 2n + > d, jolloin d/b 2n + < Saatiin < cb 2n da 2n <, mikä on ristiriita, koska cb 2n da 2n rationaaliluku on väärä ja lause tosi on kokonaisluku Oletus, että τ on Määritelmä 4 Määritellään yksinkertaisen ketjumurtoluvun τ k:nnes dierenssi asettamalla D, D τ b τ ja kaikilla k 2, 3, Lause 5 Dierensseille pätee D k B k τ A k D k+ D k C k+2 Todistus Dierenssin määritelmästä saadaan D k /B k τ A k /B k Käytetään tähän Lauseen yhtälöä (7, jolloin ja D k /B k τ A k /B k D k B 2 k ( ( k C k+ + B k B k ( k B k C k+ + B k (2 9
21 Korvataan äsken saadusta lausekkeesta C k+ kaavan (6 mukaan, sekä käytetään rekursiokaavaa (4, jolloin D k Yhtälön (2 perusteella ( k B k (b k+ + C k+2 + B k ( k (b k+ B k + B k + B k C k+2 ( k C ( k B k+ + B k k+2 (22 B C k+ C k+2 + B k k+2 D k+ Kun tämä sijoitetaan yhtälöön (22, niin ( k B k+ C k+2 + B k D k C k+2 D k+ ja D k+ D k C k+2 Yhtälöstä (2 nähdään, että dierenssien jonon (D k k jäsenten etumerkki vaihtelee positiiviseksi ja negatiiviseksi vuorotellen Indeksin k kasvaessa jono lähestyy nollaa monotonisesti, sillä jono (B k k on aidosti kasvava Esimerkki 6 Tutkitaan ketjumurtolukujen, kultaisen leikkauksen ja Fibonaccin lukujonon yhteyttä Tarkastellaan janaa, jonka pituus on yksi Jaetaan jana kahteen osaan niin, että koko janan suhde pitempään osaan on sama kuin pitemmän osan suhde lyhyempään janaan Jos merkitään, että pitempi osa on x, niin saadaan yhtälö g x x x, (23 2
22 missä g on kultainen leikkaus Muokataan yhtälöä ja ratkaistaan se Siis x x x x( x x x2 x 2 + x x ± 2 4 ( 2 ± 5 2 Negatiivinen muuttujan x arvo ei käy, joten yhtälön ratkaisuksi saadaan 5 x 2 ja tällöin kultainen leikkaus voidaan laskea seuraavasti g ( x ( , joten Kun g >, saadaan x + ( x + x x g + g + x, x Kun tätä käytetään uudelleen ja uudelleen, saadaan yksinkertainen ketjumurtoluku g Tähän ketjumurtoon liittyvää lukujonoa (F k k, missä F k+ B k ja B kutsutaan Fibonaccin lukujonoksi Kyseisen ketjumurtoluvun osaosoittajat ovat nyt a k ja osanimittäjät b k kaikilla k, 2, joten rekursiokaavoiksi saadaan A k+2 A k+ + A k ja Tällöin B k+2 B k+ + B k F k+ F k + F k, 2
23 missä k, 2, Kun lasketaan Fibonaccin lukujonon ensimmäiset termit rekursiokaavan (8 avulla, niin F B, F B, F 2 B F + F A, F 3 B 2 F 2 + F + 2 A, F 4 B A 2, F 5 B A 3, Siis A k B k+ F k+2 Muodostetaan dierenssin avulla Fibonaccin luvuille lauseke indeksin k avulla lausuttuna Edellisten ja dierenssin määritelmän perusteella D k F k+ g F k+2 Tiedetään, että C k g, joten Lauseesta 5 seuraa F k+ g F k+2 ( /g(f k g F k+ ( /g k (F g F 2 ( /g k+ ( Kun tämä yhtälö jaetaan puolittain luvulla g, saadaan F k+ gf k ( /g k ja F k+ ( /g k + gf k Kirjoitetaan viimeisimpään yhtälöön h /g 5, 2 jolloin F k+ h k + gf k Toistetaan tätä kaavaa yhä uudelleen ja saadaan F k+ h k + gf k h k + gh k + g 2 F k h k + gh k + g 2 h k g k h + g k+ F Käyttämällä äsken saatuun yhtälöön yleistä potenssien erotuksen kaavaa C n D n (C D(C n + C n D + + CD n 2 + D n, 22
24 voidaan kirjoittaa Lasketaan jolloin g h ( F k+ 5 F k+ gk+ h k+ g h k+ ( , k Jaksollinen yksinkertainen ketjumurtoluku Määritelmä 7 Ketjumurtoluku [b ; b, b 2,, b N, b N,, b N+L ] [b ; b, b 2,, b N, b N,, b N+L, b N, b N,, b N+L, ] on yksinkertainen jaksollinen ketjumurtoluku, jonka jakson pituus on L ja alkutermin pituus on N Jos alkutermiä ei ole, eli ketjumurtoluku on muotoa [b ; b, b 2,, b L ], niin sitä sanotaan yksinkertaiseksi puhtaasti jaksolliseksi ketjumurtoluvuksi Tässä jakson pituus määritellään aina lyhimmäksi mahdolliseksi ja alkutermin lopussa ei ole jakson toistuvaa osaa Jaksollisessa ketjumurtoluvussa siis jokin äärellinen osa osaosoittajista toistuu äärettömän monta kertaa 2 Algebrallisen luvun yksinkertainen ketjumurtoesitys Käsitellään lyhyesti toisen asteen algebrallisia lukuja Näitä lauseita ei todisteta, koska todistukset eivät kuulu tutkielman aihepiiriin Algebrallisten lukujen määritelmät ja lauseet perustuvat lähteeseen [5] 23
25 Määritelmä 2 Kompleksiluku τ on toisen asteen algebrallinen luku, jos on olemassa rationaaliluvut a ja b sekä kokonaisluku D, jotka toteuttavat ehdot τ a + b D ja D on irrationaaliluku Toisen asteen algebralliset luvut τ muodostavat toisen asteen neliökunnan Q( D {a + b D a, b Q} (24 Luku τ a b D on luvun τ liittoluku Luku τ kuuluu myös neliökuntaan (24 Toisen asteen algebrallisten lukujen A ja B liittoluvuille pätee A + B A + B, A/B A/B ja na na, missä n Z Lause 22 Jos kompleksiluku τ on toisen asteen algebrallinen luku, niin on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B, C ja D, että Aτ 2 + Bτ + C Määritelmä 23 Määritelmän 2 luku τ on irrationaalinen toisen asteen algebrallinen luku, jos d Lause 24 Irrationaaliluku τ on irrationaalinen toisen asteen algebrallinen luku, jos on olemassa sellaiset kokonaisluvut A, B ja C, A, että Aτ 2 + Bτ + C (25 Käydään läpi kaksi yksinkertaisiin jaksollisiin ketjumurtolukuihin ja algebrallisiin lukuihin liittyvää lausetta Toisen lauseen todistuksesta saadaan metodi joidenkin neliöjuurta sisältävien lausekkeiden jaksollisen ketjumurtoesityksen löytämiseen, joten lasketaan tästä pieni esimerkki lopuksi Käsiteltävät lauseet perustuvat lähteeseen [3] 24
26 Lause 25 Jos τ on yksinkertainen jaksollinen ketjumurtoluku, niin τ on irrationaalinen toisen asteen algebrallinen luku Todistus Koska τ on yksinkertainen päättymätön ketjumurtoluku, niin se on positiivinen ja irrationaalinen Olkoon τ [b ; b, b 2,, b L ] puhtaasti jaksollinen yksinkertainen ketjumurtoluku Tällöin τ C C L C 2L, joten tämän ja Lauseen perusteella τ A L C L + A L 2 B L C L + B L 2 A L τ + A L 2 B L τ + B L 2 Kun tätä yhtälöä kerrotaan puolittan luvulla B L τ + B L 2, niin Tästä saadaan toisen asteen yhtälö B L τ 2 + B L 2 τ A L τ + A L 2 B L τ 2 + (B L 2 A L τ A L 2 Tässä B L on yksinkertaisen ketjumurtoluvun konvergentin osoittajana nollasta eroava kokonaisluku ja B L 2 A L sekä A L 2 ovat samoin kokonaislukuja Siis τ on irrationaalinen toisen asteen algebrallinen luku määritelmän mukaan Olkoon nyt ketjumurtoluvulla τ alkutermi, eli τ [b ; b, b 2,, b N, b N,, b N+L ] Nyt C N C N+L C N+2L Käytetään Lausetta kahdella eri indeksillä ja saadaan kaksi yhtälöä τ A N C N + A N 2 B N C N + B N 2 ja τ A N+L C N+L + A N+L 2 B N+L C N+L + B N+L 2 Koska C N C N+L, niin jälkimmäisestä yhtälöstä tulee τ A N+L C N + A N+L 2 B N+L C N + B N+L 2 25
27 Muokataan ensimmäistä yhtälöä niin, että τ A N C N + A N 2 B N C N + B N 2 (B N C N + B N 2 B N C N τ + B N 2 τ A N C N + A N 2 B N C N τ A N C N A N 2 B N 2 τ C N (B N τ A N A N 2 B N 2 τ : (B N τ A N C N A N 2 B N 2 τ B N τ A N B N 2τ A N 2 B N τ A N Muokataan samalla tavoin toista yhtälöä, jolloin τ A N+L C N + A N+L 2 B N+L C N + B N+L 2 (B N+L C N + B N+L 2 B N+L C N τ + B N+L 2 τ A N+L C N + A N+L 2 C N (B N+L τ A N+L A N+L 2 B N+L 2 τ : (B N+L τ A N+L C N B N+L 2τ A N+L 2 B N+L τ A N+L Nyt on saatu kaksi muotoa kokonaisosamäärälle C N, joten merkitään ne samaksi Muokataan saatua yhtälöä niin, että B N 2 τ A N 2 B N τ A N B N+L 2τ A N+L 2 B N+L τ A N+L (B N 2 τ A N 2 (B N+L τ A N+L (B N+L 2 τ A N+L 2 (B N τ A N B N 2 B N+L τ 2 B N 2 A N+L τ A N 2 B N+L τ + A N 2 A N+L B N+L 2 B N τ 2 B N+L 2 A N τ A N+L 2 B N τ + A N+L 2 A N (B N 2 B N+L B N+L 2 B N τ 2 + (B N+L 2 A N + A N+L 2 B N B N 2 A N+L A N 2 B N+L τ + A N 2 A N+L A N+L 2 A N Saatu yhtälö ei ole toisen asteen yhtälö, jos toisen asteen termin kerroin on nolla, eli B N 2 B N+L B N+L 2 B N 26
28 Tässä tapauksessa siis kokonaisluku B N+L jakaisi termin B N+L 2 B N Tiedetään, että (B N+L, B N+L 2, jolloin luvun B N+L täytyisi jakaa luku B N, mutta B N+L > B N Siis B N+L ei jaa tuloa B N+L 2 B N Näin ollen kyseinen yhtälö on toisen asteen yhtälö ja τ on irrationaalinen toisen asteen algebrallinen luku Lause 26 Jos τ on positiivinen irrationaalinen algebrallinen luku, niin τ on jaksollinen yksinkertainen ketjumurtoluku Todistus Olkoon nyt τ positiivinen irrationaalinen toisen asteen algebrallinen luku, jolloin sen on toisen asteen yhtälön (25 ratkaisu Siis Nyt voidaan kirjoittaa τ B ± B 2 4CA 2A τ P + D Q, missä Q ja P ovat kokonaislukuja ja D > ei ole minkään luvun neliö Lisäksi koska Q (D P 2, D P 2 b 2 4CA ( B 2 4CA 2C(2A ja Q 2A Etsitään luvulle τ ketjumurtoesitystä Merkitään luvun τ kokonaisosaa b [τ], jolloin desimaaliosa on τ [τ] P + D b P + D Q b P Q b + D Q Q Q Q D (Q b P D P, Q Q missä P b Q P 27
29 on kokonaisluku Nyt missä C τ b Q ( D + P D P 2 Q D P P + D Q, Q ( D + P ( D P ( D + P Q D P 2 D (b Q P 2 D (b2 Q 2 2b Q P + P 2 Q Q Q D P 2 + Q (2b P b 2 Q D P 2 + 2b P b 2 Q Q Q Luku Q on kokonaisluku, sillä tiedetään, että Q (D P 2 Koska C on positiivisen luvun τ desimaaliosan käänteisluku, niin C > Seuraavaksi merkitään, että luvun C kokonaisosa on b ja lasketaan samalla tavoin luvun C desimaaliosa ja sen käänteisluku Koska niin joten C 2 P 2 + D C 2 b Q 2 Q D P 2 Q, Q Q D P 2, Q (D P 2 Tästä saadaan, samalla tavoin kuin luvun Q kohdalla, että luku on kokonaisluku Q 2 D P 2 2 Q Kun jatketaan yllä olevaa algoritmia, niin saadaan C k+ P k+ + D Q k+, 28
30 missä P k+ b k Q k P k, Q k+ (D P 2 k+ /Q k ja C k+ > kun k,, 2, Tässä luvut P k+ ja Q k+ ovat kokonaislukuja Todistetaan seuraavaksi, että algoritmi alkaa jossakin kohti toistamaan itseään Luvun C k konjugaatti on luku Lauseen ( perusteella jolloin Ratkaistaan tästä C k+ kirjoittamalla C k P k D Q k τ C A kc k+ + A k B k C k + B k, C A kc k+ + A k B k C k + B k C A kc k+ + A k B k C k+ + B k (B k C k+ + B k C (B k C k+ + B k A k C k+ + A k C B k C k+ A k C k+ A k C B k C k+ (C B k A k (C B k A k : (C B k A k C k+ C B k A k C B k A k B k C (A k /B k B k C (A k /B k Koska A k /B k τ kun k, niin tiedetään, että C k+ B k B k ( + ɛ k, missä ɛ k, kun k (ei todisteta tätä Tästä seuraa, että < C k+ < Koska kokonaisosamäärä C k+ >, niin suurilla indeksin k arvoilla C k C k P k + D Q k P k D 2 D >, joten Q k >, Q k Q k 29
31 C k + C k P k + D Q k + P k D Q k 2P k Q k > joten P k >, C k P k D <, joten P k D <, joten P k < D, Q k < C k P k D D Pk <, joten < <, joten D P k < Q k ja Q k Q k C k P k + D Q k > joten Q k < D + P k Näin ollen P k ja Q k ovat positiivisia kokonaislukuja, sekä < P k < D ja < D P k < Q k < D + P k Siis positiivisten kokonaislukujen jonot (P k ja (Q k ovat rajoitettuja, eli luvuille (P k ja (Q k on vain äärellinen määrä vaihtoehtoja Nämä luvut siis alkavat toistua suoritettaessa algoritmia tarpeeksi pitkälle ja ketjumurtoluku τ [b ; b, b 2 ] on jostakin lähtien jaksollinen Yllä olevassa todistuksessa esitetään algoritmi irrationaalisen toisen asteen algebrallisen luvun jaksollisen yksinkertaisen ketjumurtoesityksen löytämiseksi Käytetään tätä metodia seuraavassa esimerkissä, joka ei perustu mihinkään lähteeseen Esimerkki 27 Tutkitaan yhtälöä Yhtälön ratkaisut ovat Ratkaisu x 8 ± x 2 8x ± ± ± 7 3 τ on positiivinen irrationaalinen toisen asteen algebrallinen luku Käytetään tähän todistuksen (2 algoritmia, jolloin C 4 + 7, P 4, Q 3, D 7, b 2 ja 3 (
32 Jatketaan laskemista ja P b Q P , Q D P Q 3 C P , b 4, Q, P , Q P 3 3 2, Q P 4 2, Q , C , b 2, 3 2, C 3 + 7, b 3, 2 3, C 4 + 7, b 4, 3 P 5 3 2, Q , C , b 5 4 Huomataan, että C 5 C ja tästä eteenpäin algoritmi alkaa toistua Saadaan τ [2; 4,,,, 4] 3 Hypergeometriset sarjat Tässä luvussa tutkitaan hypergeometristen sarjojen ja ketjumurtolukujen yhteyttä Todistukseen luvun π irrationaalisuudesta tarvitaan näihin sarjoihin liittyvää yleistä teoriaa ja lauseita, joita tässä luvussa käsitellään Käsitellyt asiat pohjautuvat lähteisiin [] ja [5] Määritellään uusi merkintä (a, (a n a(a + (a + n, n,, 2, Tästä erikoistapauksena saadaan luvun n kertoma ( n 2 n n! 3
33 Tällaisten tulojen avulla määritellään hybergeometrinen sarja AF B ( a,, a A b,, b B t n (a n (a A n (b n (b B n tn n! Esimerkki 3 Erikoistapauksia hypergeometrisista sarjoista: a geometrinen sarja 2F (, t n n! n! t n n! n! ( t n F n t b eksponenttifunktio F ( t n t n n! et 3 Hypergeometrinen sarja F Tässä kappaleessa c, t, z C, c,, 2, ja f(c F ( c Lemma 32 f(c f(c + + t n t f(c + 2 c(c+ n!(c n t n 32
34 Todistus Merkinnän (a n ja funktion f(c määritelmien perusteella t f(c + + c(c + f(c + 2 t n t t n + n!(c + n n c(c + n!(c + 2 n n t n t n+ + n!(c + n n n!(c n n+2 t n t n + n!(c + n n (n!(c n n+ ( (c (n + + t n n!(c + n n (n!(c n+ c + n + t n n!(c n + + n f(c n n n c + n n!c(c + (c + n tn n!(c n t n n!(c n t n Lause 33 Funktiolle f(c pätee f(c f(c Todistus Lemmasta 32 saadaan t c(c+ t (c+(c+2 + t/c + c + + t c+2+ t c+3+ joten f(c + k f(c + + k + t f(c k, (c + k(c + + k t f(c + k f(c + + k + (c+k(c++k f(c + + k/f(c k (26 33
35 Kun k, saadaan yhtälöstä (26 t f(c f(c + + c(c+ f(c + /f(c + 2 Käytetään yhtälöä (26 vakion k arvolla edellä saadun yhtälön oikean puolen nimittäjän nimittäjään ja saadaan f(c f(c t c(c+ t (c+(c+2 f(c+2/f(c+3 Kun näin jatketaan yhtälön (26 sijoittamista, saadaan f(c f(c t c(c+ t (c+(c+2 + Lemma 34 Trigonometriset funktiot sini ja kosini voidaan esittää seuraavalla tavalla: a sin z n b cos z n ( n (2n+! z2n+ z F ( 3/2 ( (2n! z2n F /2 z2 4 z2 4 Todistus Kehitelmät ( n (2n +! z2n+ ja n n (2n! z2n ovat sinin ja kosinin Taylorin kehitelmät Kirjoitetaan auki sinin ja kosinin hyperbolinen fuktio F : 34
36 a b F ( 3/2 F ( /2 z2 z 4 n (3/2 n n! ( z 2 n 4 n ( n (3/2 n n 4 n n! z2n+ ( n 3/2 5/2 7/2 (3/2 + n 4 n }{{} n n! z2n+ n kpl ( n (2n + 2 n n! z2n+ n n z2 4 ( n (2n (2n z2n+ ( n (2n +! z2n+ n n n n (/2 n n! ( z 2 4 ( n (/2 n 4 n n! z2n n ( n ( 3 (2n 2 4 (2n z2n ( n (2n! z2n Äsken todistetusta lemmasta saadaan, että tan z sin z cos z z F ( 3/2 z2 4 F ( /2 z2 4 35
37 Lause 35 Olkoon z π/2 + kπ, missä k Z Tangenttifunktio voidaan esittää ketjumurtolukuna tan z z z 2 z Todistus Käytetään lausetta 33 sijoituksilla t z 2 /4 ja c /2 ja saadaan tan z z F ( 3/2 F ( /2 z2 4 z2 4 zf(3/2 f(/2 z f(/2/f(3/2 z z + 2 /2 3/2+ z2 /4 5/2+ z2 /4 7/2+ Käytetään vielä Lausetta 2 arvoilla t ja t n 2, kun n 2, 3,, jolloin tan z z + z2 3+ z2 5+ z Luvun π irrationaalisuustodistuksia Lause 4 Luku π on irrationaalinen Todistus Todistetaan lause kahdella hyvin erilaisella tavalla Tapa Tämä todistus perustuu lähteeseen [5] Olkoon nyt z π/4, jolloin tan z Käyttämällä tangenttifunktion ketjumurtokehitelmää saadaan z + z2 z 2 z ,
38 joten z + z2 z 2 z Tehdään vastaoletus, että π Q Nyt voidaan merkitä z π/4 r/s, r Z ja s Z +, jolloin r/s + (r/s2 3+ Käytetään Lausetta 2 ja saadaan Ketjumurtoluvussa τ siis (r/s 2 5+ (r/s r/s + r2 r 2 r 2 3s s 2 + τ b k (2k + s 2, kun 2 k, b k 2k +, kun 2 k, ja Nyt a k r 2 kaikilla k Z + (2k + s 2 2k + 2k + 2 r2 + 2 r > r 2 + a k +, + eli b k a k +, kun k k r2 + 2 Joten Lauseen 4 perusteella τ k, k k Edelleen < τ k a k b k + τ k+ a k b k τ k+ a k b k a k b k < r2 + 2k k k, r2 + 2 r
39 eli < τ k kaikilla k k Näin ollen Lauseen 5 perusteella τ k / Q, jolloin myös τ / Q Tämä on ristiriita vastaoletuksen kanssa, joten vastaoletus on väärä ja lause on tosi Tapa 2 Todistuksen idea on lähteestä [6] Tutkitaan luvun π irrationaalisuutta integraalien avulla Tehdään vastaoletus, että luku π on rationaaliluku, eli on olemassa kokonaisluvut q ja p siten, että π p q Määritellään lauseke C n qn n! π [x(π x] n sin xdx, n,, 2, (27 Käytetään integraaliin jatkuvien ja derivoituvien funktioiden osittaisintegroinnin kaavaa sijoituksilla π f gdx / π fg π f cos x, f sin x, g fdx g (x(π x n (πx x 2 n ja Nyt joten / π g n(x(π x n (π 2x fg cos π n[π(π π] n [ cos n( (π n ] π [x(π x] n sin xdx π n[x(π x] n (π 2x cos xdx 38
40 Käytetään osittaisintegrointia edellä saatuun lausekkeeseen sijoituksilla ja f sin x, f cos x, g n(x(π x n (π 2x g n(n (x(π x n 2 (π 2x 2 2n(x(π x n Kuten edellä, niin myös tässä tapauksessa π [x(π x] n sin xdx π π Kirjoittamalla saadaan C n qn n! / π fg, joten [n(n (x(π x n 2 (π 2x 2 2n(x(π x n ] sin xdx 2n(x(π x n sin x n(n (x(π x n 2 (π 2x 2 sin xdx π π qn n! + qn n! π (π 2x 2 π 2 4xπ + 4x 2 π 2 4x(π x (28 2n(x(π x n sin x n(n [x(π x] n 2 [π 2 4x(π x] sin xdx 2n(x(π x n sin xdx qn n! π n(n [x(π x] n 4 sin xdx 2qC n (qπ 2 C n 2 + 4(n qc n (4n 2qC n (qπ 2 C n 2 Alussa määritetylle lausekkeelle pätee siis rekursiokaava n(n [x(π x] n 2 π 2 sin xdx C n (4n 2qC n (qπ 2 C n 2, (29 39
41 kun n 2, 3, Osoitetaan nyt, että C n on kokonaisluku kaikilla n,, Integraalit C ja C ovat kokonaislukuja, sillä yhtälön (27 mukaan C π sin xdx / π ja yhtälön (28 mukaan C q 2q π π cos x cos π ( cos ( ( 2 2(x(π x sin x (x(π x (x 2x 2 sin xdx sin xdx 2q / π cos x 2q[ cos π ( cos ] 4q Oletetaan, että C k ja C k 2 ovat kokonaislukuja jollakin positiivisella kokonaisluvulla k Nyt kaavan (29 mukaan C k (4k 2qC k (qπ 2 C k 2 (4k 2qC k p 2 C k 2, eli myös C k on kokonaisluku Induktioperiaatteen nojalla siis C n on kokonaisluku kaikilla n,, 2 Olkoon nyt x [, π] Tällöin (2x π 2 4x 2 4xπ + π 2 x 2 + xπ π 2 /4 x 2 + xπ π 2 /4 x(π x π 2 /4, joten sin x ja x(π x π 2 /4 Voidaan siis arvioida, että < C n qn n! π Tiedetään, että joten myös [x(π x] n sin xdx gn n! (qπ 2 /4 n lim n n! π lim C n n (π 2 /4 n dx (qπ2 /4 n, Näin ollen suurilla indeksin n arvoilla < C n < Aikaisemmin kuitenkin saatiin, että C n on kokonaisluku, mikä on ristiriita Vastaoletus on siis epätosi ja alkuperäinen väite tosi n! / π x π (qπ2 /4 n n! 4
42 Lähdeluettelo [] George A Baker (junior: Essentials of Pade approximants Academic Press, New Your, 975 [2] Lester R Ford: Analytic Theory of Continued Fractions D van Nostrand Company Inc, New York, 948 [3] Andrew R Rockett, Peter Szüsz: Continued fractions Word Scientic Publishing Co Pte Ltd, Singapore, 992 [4] Kenneth H Rosen: Elementary Number Theory and Its Applications, Third Edition Addison-Wesley Publishing Company, 993 [5] Tapani Matala-aho: Ketjumurtoluvut-luentomoniste Oulun yliopisto, [6] wwwproofwikiorg/wiki/pi_is_irrational (
(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Lisätiedot802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II
802655S KETJUMURTOLUVUT OSA II CONTINUED FRACTIONS PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 11 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus syksy 008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä Todista ketjumurtoluvun peräkkäisille konvergenteille kaava ( ) n induktiolla käyttämällä jonojen ( ) ja ( ) rekursiokaavaa.
LisätiedotKetjumurtoluvut ja Pellin yhtälö
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Viivi Seppälä Ketjumurtoluvut ja Pellin yhtälö Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Huhtikuu 204 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SEPPÄLÄ,
LisätiedotKETJUMURTOLUVUT. Tapani Matala-aho
KETJUMURTOLUVUT Tapani Matala-aho 5. helmikuuta 0 Sisältö Johdanto 3 Jakoalgoritmi, kantaesitys 4. Jakoalgoritmi............................. 4. Kantakehitelmät........................... 4.. Kokonaisluvun
LisätiedotTehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 2 Jakoalgoritmi, kantaesitys Jakoalgoritmi Kantakehitelmät
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 Johdanto 0-1 2 Jakoalgoritmi, kantaesitys 0-3 2.1 Jakoalgoritmi.................. 0-3 2.2 Kantakehitelmät................ 0-3 2.2.1 Kokonaisluvun b-kantakehitelmä.....
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
Lisätiedot802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I
802655S KETJUMURTOLUVUT OSA I CONTINUED FRACTIONS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802655S KETJUMURTOLUVUT YLIOPISTO OSA I
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
LisätiedotLukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.
Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen
LisätiedotJonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).
Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Lisätiedotreaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
LisätiedotPerustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.
Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
Lisätiedot802655S KETJUMURTOLUVUT, CONTINUED FRACTIONS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
802655S KETJUMURTOLUVUT, CONTINUED FRACTIONS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 207 Sisältö ABSTRACT 3 2 INTRODUCTION/JOHDANTO 3 2. ESITYKSIÄ SEKÄ TYÖKALUJA................. 3 2.2
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotLuvun π irrationaalisuus. Ilari Vallivaara
Luvun π irrationaalisuus Ilari Vallivaara 27. marraskuuta 24 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Todistuksen pääpiirteinen kulku 3 3 Todistus 4 Lähdeluettelo 9 1 1 Esipuhe Luvun π irrationaalisuus seuraa suoraan sen
LisätiedotEsimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta
Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen
LisätiedotVaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot1 Tätä dokumenttia, Ketjumurtoluvuista.pdf, saa levittää vain yhdessä lähdekoodinsa
Sisältö Eukleideen algoritmi Jakoyhtälö positiivisille kokonaisluvuille 2 2 Eukleideen algoritmi 2 3 Laajennettu Eukleideen algoritmi 3 2 Ketjumurtoluvut 4 2 Irrationaalilukujen ketjumurtolukukehitelmä
LisätiedotRekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
LisätiedotKetjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin 1
Ketjumurtoluvut, ratkaisuja demotehtäviin. x y Yllä olevassa kuvassa siis pitää olla x + y x = x y = ϕ. Tästä saadaan josta edelleen + y x = x y = ϕ, + ϕ = ϕ ja eli ϕ + = ϕ 2 ϕ 2 ϕ = 0. Tämä on toisen
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotSarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,
Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotJäniksistä numeroihin Fibonaccin luvuista
Jäniksistä numeroihin Fibonaccin luvuista LuK-tutkielma Antti Kaasila 11706 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 017 Sisältö Johdanto 1 Historiaa 11 Fibonaccin elämä 1 Fibonaccin lukujen
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
LisätiedotLiite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa
Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus - käsinlaskuesimerkkejä - kaikki välivaiheet esittävä
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.
LisätiedotVastaoletuksen muodostaminen
Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotMat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
LisätiedotLineaariset kongruenssiyhtälöryhmät
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotOutoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.
Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Käytännön asiat Jonot Sarjat 1.1 Opettajat luennoitsija Riikka Korte
LisätiedotDiskreetti derivaatta
Diskreetti derivaatta LuK-tutkielma Saara Sadinmaa 43571 Matemaattisten tieteiden koulutusohjelma Oulun yliopisto Syksy 017 Sisältö Johdanto 1 Peruskäsitteitä 3 Ominaisuuksia 4 3 Esimerkkejä 8 4 Potenssifunktioita
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,
LisätiedotJokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
LisätiedotLUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 14.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
M-A010{2,3,4,5} (CI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: arjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos eptember 12, 2018 Pekka
LisätiedotMatemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja
Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Antti-Juhani Kaijanaho 7 maaliskuuta 0 Deduktiivinen ja induktiivinen päättely Deduktiivisessa päättelyssä johtopäätös seuraa aukottomasti premisseistä
Lisätiedot0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut
0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotJuuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,
LisätiedotRothin lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan pro gradu
Rothin lause Heikki Pitkänen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 0 Tiivistelmä: Heikki Pitkänen, Rothin lause. Matematiikan pro gradu -tutkielma, 47
Lisätiedot= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
LisätiedotDiofantoksen yhtälön ratkaisut
Diofantoksen yhtälön ratkaisut Matias Mäkelä Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Suurin yhteinen tekijä 2 2 Eukleideen algoritmi 4 3 Diofantoksen yhtälön
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
Lisätiedot