Monisteessa sivulla 10 esitetään pikku vilaus siitä, miten funktion f(x) määrätty integraali välillä [a, b], f(x) dx =

Transkriptio

1 Määrätt integrli Määritelmä j peruside Monisteess sivull esitetään pikku vilus siitä, miten funktion f() määrätt integrli välillä [, ], f() d, määritellään trksti Tällä kurssill ei trkk määritelmää kätetä, mutt siitä on stä sisäistää sen peruside: Integrliss summtn äärettömän mont äärettömän pientä (eli infinitesimlist) suurett Tästä lkisest jtuksest ei tietenkään ole trkksi määritelmäksi eikä mihinkään trkkn käsitteln muutenkn, vn nuo äärettömän mont j äärettömän pieniä pitää formuloid rj-rvoin Tämä rj-rvojtus näk sivun kvss f() d = D n i= f(ξ i ) i, missä otetn tvllisest äärellisestä summst sopiv rj-rvo Kuitenkin tuo lkinen jtus on integ- = f() A rlikäsitteen tkn Monisteen sivull 9 johdtelln sin esittämällä, miten (kun f() ) kärän = f() lle jäävän lueen pint-l A sdn pproksimoimll luett porrskuvioll (kuvio) j ottmll sitten rj-rvo A = jko tihenee (porrskuvion l), missä rj-rvo trkoitt, että nnetn välin jon tihentä niin että os- = f() välien määrä ksv kohti ääretöntä j niiden pituudet lähenevät noll Voi kuvitell, että rjll sdn summ äärettömän monest äärettömän kpest plväästä Ktso kuvioit mös monisteen sivuill 9, missä si hvinnollistetn lskuesimerkillä Summn rj-rvo on juuri trkn määritelmän mukinen integrli; siispä pint-l sdn integrlin A = f() d Otetn tässä toinen johdttelev esimerkki Ajtelln, että meidän pitäisi lske kärän = f() kren pituus s (Tämä si käsitellään möhemmin trkemminkin; ktso moniste, s 4 5)

2 Jetn kri pieniin osiin j pproksimoidn kärää kullkin osll suorll jänteellä; merkitään jänteiden pituuksi s,, s n Silloin kren pituudelle sdn pproksimtio n s s i, i= missä oike puoli on kuvion murtoviivn pituus = f() s s 3 s s n Kun nnetn jon tihentä niin että osvälien määrä lähenee ääretöntä j osvälien pituudet lähenevät noll, niin murtoviiv lähenee kärää, j siis summn n i= s i rj-rvon sdn ilmeisesti trkk rvo s Tällä tvoin voidn ktso, että kren pituus s sdn summn äärettömän monest äärettömän pienestä osst Trkemmll käsittelllä nähtäisiin, että summn rj-rvo on itse siss eräs trkn määritelmän mukinen integrli, j selvittämällä s i :den lusekkeet päädttäisiin lopult kvn s = + f () d ; johto on selitett s 4 5 Kv on mös kvkokoelmss, kv (39), tosin hämäävän lhesti kirjoitettun Integrlien lskuss määritelmän kättö ei ole järkevää Ktsotn mitä määritelmä snoisi integrlist d Nt f() = j väli on [, ] Vlitn välille tsvälinen jko = < < < n = ; siis i = + i n Vlitn osväleiltä pisteet ξ i = i [ i, i ] (i =,, n) (Sen mmärtämiseksi, miksi voidn tehdä juuri nämä vlinnt, ktso seurv huomutust) Määritelmän summ S n (eli Riemnn-summ) on nt n n ( S n = f(ξ i ) i = f + i ) n n n = + i n = n i= i= i= n i= n + i,

3 joten integrli olisi rj-rvo d = n n i= n + i Rj-rvon lskeminen nättää vikelt Summlle S n ei edes sd suljettu lusekett Onneksi integrlien lskemiseen on prempikin keino, Anlsin perusluse, j tämä integrli onkin lskettu esimerkissä 7 hdellä rivillä Määrätn integrlin trkk määritelmää trvitn tietenkin, kun teori olln kehittämässä trksti ti jos relifunktioiden integrointikäsitettä olln leistämässä muunlisiin tilnteisiin Sen lisäksi integrlin määritelmän lkinen mmärtäminen on välttämätöntä, kun trvitn pkälässä 4 esiteltäviä likimääräismenetelmiä Huomutus Voidn todist, että jos f() on jtkuv, niin Riemnn-summn rj-rvo on olemss j riippumton vlituist pisteistä i j ξ i (huomutus 3) Sen jälkeen, kun tämä (ik hnkl si) on todistettu, niin monisteen sivull olev integrlin perusominisuuksien list olisi todistettviss kohtuullisell töllä määritelmän pohjlt Tällä kurssill sitä ei tehdä Anlsin perusluse Lemmss 8 osoitetn, että jos f() on jtkuv, niin f() d = f(ξ)( ) (ξ [, ] ) Pisteestä ξ ei sd muut tieto kuin olemssolo j että se on välillä [, ] Etsitään esimerkkinä ξ, kun f() = j ξ = 3 = f() f(ξ) väli on [, ] Hvinnollistetn smll lemmn merkitstä Pitää siis oll d = ξ ( ) Kosk d = / 3 3 = 3 (Anlsin perusluseell), niin 3 = ξ, joten ξ = / 3 Yhtälö f() d = f(ξ)( ) merkitsee, että kuvioss kärän = f() = lle jäävän lueen l on sm kuin merkitn suorkulmion l 3

4 Lemm 8 voi joskus kättää määrätn integrlin rvioimiseen Monisteess se on mukn siksi, että sitä kätetään Anlsin perusluseen todistuksess seurvn seikn päättelemiseen: + f(t) dt = f(ξ) (ξ [, + ]) Seurvss on Anlsin perusluseen todistust selventävä kuvio l = G() + = f() Kuvioss oletetn f() On merkitt G() = f(t) dt, jolloin G() on pint-l kohtn sti Kun :lle on nnettu pieni lisäs, niin integrli + f(t) dt on kuvioss vrjostetun kpen plvään l, j sille siis sdn lemmst 8 rvo f(ξ) missä ξ on jokin piste pikku väliltä [, + ] Tästä sitten johdetn monisteess erotuosmäärää kättäen tulos G () = f() eli d d f(t) dt = f() (itsessään muistmisen rvoinen kv!), jost lopuksi päätellään: Anlsin perusluse Kun f() on välillä [, ] jtkuv funktio j F () jokin sen integrlifunktio, niin f() d = F () F () merk = / F () Ktso monisteest todistusten ksitiskohdt 4

5 Lsketn prelin = j -kselin välisen lueen pint-l Leikkuspisteiksi sdn = ± Siispä A = = / ( ) d ( 3 3 ) = ( 3 3 ) (( ) 3 ( )3 ) = A = 4 3, ti smmetristtä kättäen: A = ( ) d = / ( 3 3 ) = ( 3 3 ) = 4 3 Lsketn sini- j kosinikärien rjoittmn pienimmän lueen pint-l = sin = cos Leikkuspisteet sdn htälöstä sin = cos eli tn = (Kosk cos = ei nn rtkisu niin voidn jk cos :llä) Siis leikkuspisteet ovt = π 4 + nπ (n Z); muistetn että tngentin jkso on π Kstt pint-l sdn khden integrlin erotuksen eli erotusfunktion sin cos integrlin: A = = 5π/4 π/4 / 5π/4 π/4 (sin cos ) d ( cos sin ) = ( cos 5π 4 sin 5π ) ( 4 cos π 4 sin π ) 4 = ( + ) ( ) 5π/4 π/4 = Sijoitus määrättn integrliin Luvuss opittiin, että kun määräämättömään integrliin f()d tehdään sijoitus = g(t), niin muutos tulee khteen pikkn: funktioon j d:ään Määrätn integrlin f() d 5

6 tpuksess ts muutos tulee kolmeen pikkn: funktioon f() sijoitetn = g(t); d muuntuu säännöllä d = g (t)dt; integrointirjt muutetn t:tä vstviksi Siis f() d = β α f(g(t))g (t) dt missä { = kun t = α, = kun t = β, eli kun sijoitus on nnettu muodoss = g(t), niin = g(α), = g(β) Monisteen esimerkissä, s 4 5, tehdään määrättn integrliin tällinen sijoitus Seurv esimerkki on eräästä ikisemmst määräämätöntä integrli koskevst esimerkistä muokttu d sij = = (33) = π π / π sin t cos t dt cos t dt ( t + ) 4 sin t = π + = sin t d = cos t dt = kun t = = kun t = π = π 4 Huom, ettei siis trvinnut plt vnhn muuttujn Kren pituus Monisteess johdetn esimerkeissä j (tosin ei täsmällisesti) kvt kärän kren pituudelle j pörähdskppleen tilvuudelle Tärkeämpää kuin kvt sinänsä on tp, joll ne johdetn Näiden kvojen johdot onkin monisteess esitett juuri siksi, että menetelmä tulisi selväksi Seurvss on esimerkki hiemn tädenneltnä 6

7 Johdetn kärän = f() kren pituuden kv = f() s s = + f () d Trkstelln pientä krilkiot = f() s f ()d d Kuvioss on merkitt d on pieni :n lisäs; on vstv :n lisäs; s on vstvn krenpätkän pituus ( krilkion pituus) (Monisteess on perinteiseen tliin merkitt d j ds) Differentilist sdn f ()d Kuvioss on suorkulminen kolmio, jok klläkin on hdeltä sivultn käräviivinen Pthgorn luseen mukn s (d) + ( ) (d) + (f ()d) = + f () d Ajtelln nt, että koko kri = f(),, on jettu tällisiin krilkioihin Niiden summn sdn koko kren pituus likimin Sitten nnetn jon tihentä, niin että jkovälien pituudet lähenevät noll Rjll summst tulee trksti koko kren pituus s Toislt voidn osoitt että summst tulee integrli Lopputulos on s = + f () d Tämä päättel ei ollut mitenkään täsmällinen Menetelmä on kuitenkin oikein hvä j ljlti kätett Tällä tvll voidn joht ivn oikeit kvoj helpoll j intuitiivisell tvll 7

8 Monisteess on toisen esimerkkinä pörähdskppleen tilvuuden kvn johto Otetn tässä sen sijn esimerkkinä uudestn kren pituuden kvn johto mutt nt prmetrimuotoiselle kärälle Olkoon kri nnettu prmetrimuodoss { = (t) (t = (t) t t ) (Esimerkiksi kuvioss on kärän kri π 5 t 4π 5 ) { = cos 3t = sin t t = t t = t Trkstelln pientä krilkiot Siis nnetn prmetrille t pieni lisäs dt, j olkoot j vstvt :n j :n muutokset (ts funktioiden (t) j (t) muutokset) j olkoon s vstvn krilkion pituus (Kirjllisudess näitä vrmn useimmiten merkittäisiin d, d j ds) t + dt s t Differentilit ntvt (t)dt, (t)dt, joten s ( ) + ( ) ( (t)dt) + ( (t)dt) = (t) + (t) dt Näin ollen koko kren t t t pituus sdn integrlin s = t t (t) + (t) dt 8

9 Kvt kvkokoelmss Kvkokoelmn kvss (39) on kren pituudelle kolme eri lusekett Ne on siellä kirjoitettu niin lhesti, että ne pitää ost tulkit oikein Tässä tulee selitstä Kren pituus + d trkoitt edellä johdettu kv s = + f () d, jok sopii, kun kri on nnettu muodoss = f(), Kren pituus + dt trkoitt edellä johdettu kv s = t t (t) + (t) dt, jok sopii, kun kri on nnettu prmetrimuodoss { = (t) (t = (t) t t ) Kren pituus r + r dφ, eli trkemmin kirjoitettun s = φ φ r(φ) + r (φ) dφ, koskee tilnnett, jot ei tällä kurssill käsitellä: siinä kri on nnettu npkoordinteiss muodoss r = r(φ), φ φ φ Kvn voisi joht smoill ideoill kuin edellä, mutt sen s mös erikoistpuksen prmetrimuotoisen kren kvst Pörähdskppleen tilvuuden kv V = π f() d johdetn monisteess mutt sitä ei ole kvkokoelmss Siispä se on tentissä vin muistettv, ti, mikä on pljon prempi vihtoehto, voi muist miten se johdetn, niin että trvittess sen helposti in plutt mieleensä 3 Kvkokoelmn kv (4), jok tädellisemmin lusuttun kuuluu A = π f() + f () d, ei kuulu tähän kurssiin Se on pöräspinnn l Sen voisi joht esimerkkien j ideoill, joskin se on hiukn vikempi 9

10 Pörähdskppleen tilvuus Esimerkissä johdetn pörähdskppleen tilvuuden kv V = π f() d Kv ei ole kvkokoelmss, joten prs on muist se ti muist miten se johdettiin (ktso monisteen sivult 5) Otetn siitä ksi esimerkki Trkstelln pörähdsproloidi, jonk kor- keus on j pohjn säde Tämä trkoitt kpplett, jok sdn prelin pörähtäessä kselins mpäri Erilisist kvkokoelmist lötää sen tilvuudelle kvn V = π Ktsotn nt, miten se johdetn em leisestä kvst Sijoitetn kpple koordintistoon sillä tvll, että kvmme soveltuu = c Kosk tvllisen perusprelin htälö on =, niin -kselin suuntn vutuv preli on = eli = Nt meidän pitää vielä sovitt prelin muoto sopivksi, että se kulkisi pisteen (, ) kutt Sitä vrten preli on muoto = c jollin vkioll c Siis pitää oll = c, joten c = /, j siis prelin htälö on =

11 Nt smme tilvuuden V = π = π = π = π ( ) d / d ( ) = π Likimääräismenetelmät Monisteen pkälä 4 käsittelee määrätn integrlin lskemist numeerisesti, siis likirvon Trkk rvohn ei in sd, jos ei ost rtkist integrlifunktiot Tämä pkälä on viime vuosin jäänt kurssist pois jn puutteen tki Tällisi menetelmiä on kätett kun erilisiin ohjelmkirjstoihin on implementoitu rutiinej numeerist integrointi vrten Muitkin menetelmiä kllä on kuin monisteess esitett Knntt silmäillä monisteen teksti läpi Stthn joskus oll trpeen tunte menetelmien idet Monisteess on kolme menetelmää, suorkulmiomenetelmä, puolisuunniksmenetelmä, Simpsonin kv Ensimmäisessä j toisess iden on pproksimoid integrli f() d porrskuvion pint-lll ti puolisuunnikkist koostuvn kuvion pintlll (Puhuminen pint-loist edellttää tietenkin, että f() ) Idet selviävät o kuvioist, j monisteess on enemmän ksitiskohti Kummsskin menetelmässä vlitn välille [, ] jkopisteet = < < < < n =, useimmiten tsvälein, lsketn funktio f jkopisteissä ti niiden puoliväleissä, siis lsketn rvot f( i ) ti f( ( i + i )) (i =,,, ), j nämä sitten sijoitetn tiettn kvn, jok nt likirvon integrlille Kvt ovt monisteess s 6 j 7 Ne on helppo johtkin, ktso moniste

12 = f() = f() Kolms menetelmä, Simpsonin kv sdn siten, että kullkin jkovälillä kärää pproksimoidn prelill (jonk kseli on pstsuorss) Monisteess on kv muttei sen johto Kurssin lopuss smme srjoist ivn erilisen menetelmän numeeriseen integrontiin Epäolenninen integrli Edellä määriteltiin integrlit f()d kun [, ] on äärellinen väli j f() on jtkuv Miten lskettisiin esimerkiksi d? Näinkö: / ( d = ) Positiivisen funktion integrlin stiin negtii- vinen luku! Se ei ole mhdollist Kuitenkin lsku nättäisi noudttelevn sitä mitä on opittu, sillä d = + C = =? =

13 Missä on vik? No, Anlsin perusluse koskee vin jtkuvi funktioit, eikähän tämä funktio ole edes määritelt kun = (sillä on äärettömskoht ) Siis integrlifunktio F () = pitäisi ott erikseen välillä (, ) j erikseen välillä (, ), eikä ole integrlifunktiot, jok kelpisi koko välillä [, ] Ilmeisesti tälliset tpukset pitääkin käsitellä jollkin ivn eri tvll Ljennmme integrlikäsitettä esittelemällä ns epäolenniset integrlit, joist o tpus on esimerkki Yleisktsus epäolennisiin integrleihin Epäolennisi integrlej on seurvnlisi Integrointiväli on toisest päästä ääretön = e j funktio on jtkuv koko välillä, esimerkiksi e d Tällist snotn I ljin epäolennisuudeksi Integrointiväli on äärellinen j funktio on = jtkuv koko välillä pitsi ettei se ole määritelt toisess päätepisteessä, esimerkiksi d Tällist snotn II ljin epäolennisuudeksi 3 Voi oll jokin hdistelmä edellisistä, jolloin integrliss voi oll usempi kuin ksi epäolennisuus ti voi oll epäolennisuus välin sisäpisteessä Esimerkiksi eo integrliss d on kksi epäolennisuutt välin sisäpisteessä, j seurviss khdess integrliss on epäolennisuus kummllkin rjll: d + d Tpuksiss j integrli määritellään rj-rvon Tpuksess 3 integrointiväli jetn osiin, joihin tulee kuhunkin vin ksi epäolennisuus jommllekummlle rjlle Seurvksi käsittelemme sin ksitiskohtisemmin j otmme esimerkkejä 3

14 Määritelmä 4 (I ljin epäolenninen integrli) ) Olkoon f() jtkuv välillä [, ) Määritellään f() d = β f() d β = f() Jos rj-rvo on olemss (trkoitt tietenkin olemss äärellisenä!), snotn että integrli suppenee, muuten hjntuu ) Olkoon f() jtkuv välillä (, ] Määritellään f() d = α α f() d = f() α Jos rj-rvo on olemss, snotn että integrli suppenee, muuten hjntuu Monisteen esimerkissä 5 lsketn, että integrleist d, d ensimmäinen suppenee (j on = ) j jälkimmäinen hjntuu Lsketn tässä leisesti integrli n d 4

15 missä n > Integrliss on I ljin epäolennisuus lärjll (ktso kuvioit monisteen sivull 9), joten β d n n d β n d / n β = = n n n + n+ ( ) β n+ n ( ) n β n ( ) Kätettiin sitä, että kosk n >, niin β n, joten /β n Smme smn tien selvitettä mös tpuksen n < Nimittäin o lsku pätee tällöinkin lukuun ottmtt rj-rvon otto, j siinä kä näin: ( ) β n+ n kosk nt n + > Siis integrli = n d hjntuu kun n < Lsketn eksponenttifunktion e j -kselin välinen l lueess A = kuvjn e d e d α α / α α e α (e e α ) = = = e 5

16 Lsketn hperelisinin j -kosinin kuv- = sinh = cosh jien j -kselin rjoittmn lueen pint-l A = ( cosh sinh ) d β ( cosh sinh ) d / β ( sinh cosh ) ( sinh β cosh β + ) Kosk rj-rvo on muoto, siis epämääräistä muoto, niin emme suorn pst kirjoittmn tulost Kuvjist vstuksen kllä jo rvkin, mutt lskemme sen kuitenkin trksti lusumll kiken eksponenttifunktion vull, A = ( sinh β cosh β + ) ( e β e β eβ + e β + ) ( e β + ) = Määritelmä (II ljin epäolenninen integrli) ) Olkoon f() jtkuv välillä [, ) Määri- β = f() tellään f() d = β β f() d Jos rj-rvo on olemss, snotn että integrli suppenee, muuten hjntuu ) Olkoon f() jtkuv välillä (, ] Määri- α = f() tellään f() d = α + α f() d Jos rj-rvo on olemss, snotn että integrli suppenee, muuten hjntuu Mös II ljin epäolenniset integrlit määritellään siis luonnollisell tvll rj-rvoin Monisteess ei ole muodollist määritelmää, vn ne esitellään siellä esimerkkien vull sivull 6

17 Seurvll integrlill on epäolennisuus lärjll ( äärettömskoht ) d β β d β / β ln β ( ln β + ln ) Rj-rvo on, joten tämä integrli hjntuu d = α + α d α + / α α + ( α) = Integrlit joiss on usempi epäolennisuus Tälliset integrlit jetn osiin, joihin eo keinot soveltuvt, ts joiss on kusskin vin ksi epäolennisuus l- ti lärjll Jkminen tphtuu vlitsemll integrointiväliltä sopivt jkopisteet Voidn osoitt, ettei tulos riipu jkopisteiden vlinnst Integrli suppenee, jos kikki osintegrlit suppenevt, j hjntuu, jos ksikin osintegrli hjntuu Lsketn integrli + d Siinä on I ljin epäolennisuus kummllkin rjll Jetn integrli khti esimerkiksi kohdss = j lsketn kumpikin puoliks juuri opitull tvll = + 7

18 + d = α + d + α + d d + + / rctn + α α = α rctn α + β + d / β rctn rctn β Kätettiin jo sitä, että rctn = Nuo rkustngentin rj-rvot selvitetään muistmll, että rkustngentin kuvj sdn tngentin kuvjst vihtmll kselien roolit = tn π π π = rctn π Siis rctn = π, Kun nämä sijoitetn, sdn lopputulos Integrli rctn = π + d = π + π = π d hjntuu Nimittäin siinä on epäolennisuus kummllkin rjll, j kun se jetn kohdss =, sdn d = d + d, 8

19 j vikk oiken puolen integrleist ensimmäinen suppeneekin (j = kuten äsken lskettiin), niin toinen hjntuu: d = β / β ( β ) = Nt vihdoin voimme selvittää integrlin = d joll loitimme epäolennisten integrlien trkstelun d = d + d β β d + α + α d β / β ( ) + α + / α ( ) β ( β ) + α + ( + α ) Kumpikin rj-rvo on = Näin ollen oike vstus on, että integrli hjntuu Usein tällisess tpuksess snotn, että integrli on Hvinnollisesti tämä trkoitt, että kuvioss vrjostetun lueen pintl on ääretön Tulos poikke kovsti siitä tuloksest jonk luss simme Huomutus Sellisiss lskuiss kuin edellä pitää siis kummnkin rj-rvon erikseen oll olemss jott integrli suppenisi; siis rj-rvot β j α otetn toisistn riippumtt Jos sstä ti toisest hlutn, että ne kulkevt sm vuhti, johdutn ns integrlin päärvon käsitteeseen; ktso monisteen sivuilt 8 9