Statstnen mekankka 1 Kevät 2017 Luennotsja Aleks Vuornen (aleks.vuornen@helsnk.f, A322) Laskuharjotusasstentt: Francesco Montanar (francesco.montanar@helsnk.f, A321) Tuomas Tenkanen (tuomas.tenkanen@helsnk.f, A312) Ylestä Luennot ma 14-16 ja t 12-14 salssa E204; laskart pe 14-16 E205 Kursskrjana Arponen & Honkonen, Statstnen fyskka; lsäks prujut nettn ana tstan luennon jälkeen Kurssn kotsvulta http://www.courses.physcs.helsnk.f/teor/stamec/ prujut, laskart, ajankohtasta tetoa, jne Laskareta yhteensä 5 kpl. Ilmestyvät nettn tstasn ja palautetaan seuraavan vkon tstana luennolla ta luennotsjan postlaatkkoon (Physcumn 3. kerroksen A-sp). Käyään läp perjantan laskartlasuuessa. Laskart evät pakollsa mutta erttän suosteltava: nssä mennään myös luentomateraaln ulkopuolelle ja tämä tulee olemaan osa koealuetta Vkolla 13.-17.2. e luentoja ekä laskareta, mutta mahollsest pen tsenäsen opskelun projekt, tms. Vmenen luento t 28.2. ja vmeset laskart pe 3.3. Loppukoe ma 6.3. klo 9-13. Detaljt myöhemmn kurssn kotsvulla. Suortus: loppukoe 75% ja laskart 25% 1 Tämä luentomonste on kehttynyt vuosen varrella useen kurssn luennotsjoen tomesta; ertysest Ismo Napar ja Joonas Merkanto ovat krjottaneet stä suuren osan. 1
Mtä statstnen mekankka oken on? Tutk makroskooppsten systeemen omnasuuksa lähten lkkeelle mkroskooppsesta teorasta ja karkestamalla kuvausta. Ison systeemn kuvaus mkroteoran vapausasten harvon mahollsta. Yksnkertastetust: hukkastason vuorovakutukset + tlastollset menetelmät termofyskan fenomenologset lat (mm. termoynamkan pääsäännöt) Muoostaa termofyskan kurssn (formaaln) pohjan. Kurss onnstunut tehtävässään, jos se tukee termofyskan hallntaa ja ymmärrystä. Statstsen mekankan ja termofyskan kurssen suurn ero formalsmssa. Termofyskka matemaattsest helppo, mutta kvaltatvsen ymmärryksen tasolla haastava. Statstnen merkankka konseptuaalsest yksnkertasemp ja loogsemp, mutta samalla aavstuksen formaalmp ja teknsemp. Pohjateot: termofyskka ja klassnen mekankka tärketä; jatkokursslla (kvanttstatstkka) myös kvanttmekankka sekä ED. Matemaattnen konesto MAPU:lta ja osn FYMM I:ltä. Puuttuva taustatetoja mahollsta kerrata kurssn akana. Materaala 5 op:n kursslle varsn maltllsest, ja luentojen ssältöä mahollsta muokata sen mukaan, mkä tuntuu haastavalta. Ilmottakaa jos/kun jokn epäselvää! Kurssn alustava ssällys Vkot 1-2: klassnen faasavaruus, jakaumen (ensemblejen) teoraa: mkrokanonnen, kanonnen ja suurkanonnen jakauma Vkot 3-4: kneettsen teoran perusteet, Boltzmannn yhtälö ja Maxwell- Boltzmannn jakauman johto Vkot 5-6: fluktuaatot tasapanon ympärllä, statstsen fyskan yhteys termoynamkkaan, vuorovakuttaven systeemen ja faastranstoen perusteet 2
KERTAUSTA: LAGRANGEN JA HAMILTONIN FORMALISMI Konservatvsten (kokonasenergan sälyttäven) systeemen mekankkaa voaan kuvata Lagrangen ta Hamltonn formulaatolla, jotka ovat yhteneväsä Newtonn mekankan kanssa. Systeemlle, jota kuvaa N kappaletta koornaatteja q, Lagrangen funkto L määrtellään N L = K U = 1 2 m q 2 U(q 1,..., q N ), mssä K on kneettnen energa, U potentaalenerga, ja q ylestettyjä, ajasta rppuva koornaatteja. Aktota varomalla saaaan lkeyhtätöks tuttu Euler-Lagrangen yhtälö t ( L ) L = 0, q q joka on täysn yhtenevänen Newtonn 2. lan kanssa: t ( L ) = q t m q = m q, L = U = F q q. Hamltonn formalsmn päästään suorttamalla Legenren muunnos N H = p q L, jossa p = L = m q q ja jonka myötä funkton H luonnollsks muuttujks tulevat q ja p. Tälle funktolle saaaan helpost tulos H = K + U = p 2 2m + U(q 1,..., q N ). Hamltonn formalsmssa lkeyhtälöt saavat muoon N 3
q t = H, p p t = H q, joka nähään helpost yhtäptäväks Lagrangen lkeyhtälöen kanssa. Hamltonn funkto on kutenkn määrtelty pakka- ja lkemääräavaruuessa, el ns. faasavaruuessa, joka osottautuu erttän hyöyllseks työkaluks statstsessa fyskassa. Lagrangen funkto taas ssältää pelkästään pakka-avaruuen muuttuja. Mustutus: Legenren muunnos Mantsmme yllä, että Hamltonn ja Lagrangen formalsmeja yhstää Legenren muunnos, jossa tonen funkton f(x, y) muuttujsta vahetaan seuraavast (f:n muuttujen lukumäärä rrelevantt tässä; x:n tlalla vos olla 0 ta vakka 5 muuttujaa): Määrtellään ensn uus muuttuja z, ja sen avulla uus funkto g, z f y = Funkton g nfntesmaalnen muunnos on nyt f(x, y) y g yf y f = yz f. g = yz + zy f = yz + zy f x x f y y = yz f x x, joten funkton g rppumattomna muuttujna voaan ptää x:ää ja z:aa, ts. g = g(x, z). Lsäks nähään suoraan, että y = g z. Legenren muunnos on usen termoynamkassakn esntyvä muuttujanvahos, jonka avulla srrytään käyttämään alkuperästen muuttujen sjasta uutta muuttujajoukkoa, joka sop paremmn tarkasteltavan tapauksen reunaehtohn. Takasn alkuperäseen funktoon päästään luonnollsestkn määrttelemällä f zg z g = yz g. Esmerkk: Johetaan Lagrangen ja Hamltonn yhtälöt 2-ulotteselle harmonselle värähteljälle, jossa pano m on jäykän R-ptusen akseln päässä y x 4 g θ R (x,y)
Koornaatn (x, y) täytyy selväst toteuttaa ehto x 2 + y 2 = R. Jos krjotamme lkeyhtälön pelkässä koornaatt-avaruuessa, nn tuo ehto täytyy ottaa eksplsttsest huomoon. Vahtoehtosest vomme kutenkn käyttää van yhtä muuttujaa θ, mkä onnstuu näppäräst Lagrangen funkton avulla. Alotetaan krjottamalla L(θ, θ ) = K U. Nyt x = R sn θ, y = R cos θ ja K = 1 2 m(x 2 + y 2 ) = 1 2 m(r2 cos 2 θ + R 2 sn 2 θ)θ 2 = 1 2 mr2 θ 2 Euler-Lagrangen yhtälössä U = mgy = mgr cos θ L(θ, θ ) = 1 2 mr2 θ 2 + mgr cos θ voaan nyt entfoa t ( L ) L θ θ = 0 L θ = mr 2 θ, L = mrg sn θ, θ josta saaaan eelleen helpost ratkeava lkeyhtälö t (mr2 θ ) + mrg sn θ = 0 θ = g sn θ. R Seuraavaks krjotamme Hamltonn funkton käyttäen Legenren muunnosta. Alotetaan lkemäärästä (huomaa menso!) josta Hamltonn funktoks saaaan p θ L θ = mr 2 θ H = p θ θ L = mr 2 θ 2 1 2 mr2 θ 2 mgr cos θ = 1 2 mr2 θ 2 mgr cos θ 5
H(θ, p θ ) = p θ 2 Tästä on helppo työ johtaa Hamltonn yhtälöks mgr cos θ. 2mR2 θ = H = p θ, p θ t p θ mr 2 = H = mgr sn θ t θ joen nähään olevan yhtäptävä Lagrangen lkeyhtälön kanssa. 6
KLASSINEN FAASIAVARUUS (AH 4.1, osn 4.2) Faasavaruus Klasssen N-hukkassysteemn tlaa -ulottesessa avaruuessa voaan kuvata ns. ylestetyllä (pakka)koornaatella q, ja lkemäärllä p, mssä =1,2,,N ja on avaruuen menso. Faasavaruus on koornaatten q=(q 1,q 2,,q N ) ja p=(p 1,p 2,,p N ) vrttämä 2Nulottenen avaruus ss esm. 2-hukkassysteemlle 3-ulottesessa tla-avaruuessa faasavaruus on 12-ulottenen. Faasavaruuen jokanen pste Π = (q, p) vastaa systeemn yhtä mkroskooppsta tlaa, mutta makroskooppsen systeemn tarkkaa sjanta faasavaruuessa on luonnollsest hyvn vakea mtata solla N:n arvolla, ekä tämä ols yleensä ees tarkotuksenmukasta. Systeemn akakehtystä faasavaruuessa, Π = Π(t), voaan kuvata Hamltonn yhtälöllä q t = H p ; p t = H q mssä H = H(Π, t) on Hamltonn funkto. Kuten yllä nämme, nämä evät ole mtään muuta kun normaalt lkeyhtälöt kullekn systeemn hukkaselle. Jos Hamltonn funkto e rpu ajasta, on systeemn käytös faasavaruuessa ajasta rppumatonta snä melessä, että Hamltonn yhtälöen ratkasut el faasraat (trajektort) ovat statonaarsa. Faasraat Faasraoks kutsutaan Hamltonn yhtälön ratkasuja faasavaruuessa. Tetylle yksttäselle monhukkassysteemlle nämä raat: Evät vo lekata tosaan (Hamltonn yhtälöen etermnstsyyen nojalla) 7
Evät tyypllsest ala mstään evätkä pääty mhnkään, ovat joko äärettömän ptkä ta perosa Tässä kaks esmerkkä faastrajektoren mahollssta muoosta kaksulottesessa q- p-avaruuessa. Okeanpuolenen tapaus vastaa harmonsta oskllaattora, jollon ympyrämuotosten ratojen säteen nähään olevan verrannollnen hukkasten energan nelöön. (t) (t) Jos halutaan seurata jonkn systeemä kuvaavan faasavaruuen sekä ajan funkton F(Π, t) = F(q, p, t) akakehtystä faasavaruuen mukana vrtaavassa volyymelementssä, on laskettava kokonasakaervaatta: F t = F t + ( F q q t + F p p t ) = F t + ( F H F H ) q p p q = F t + {F, H} mssä {F,H} symbollla merktään funktoen F ja H Possonn sulkuja. Huomaa ervaattojen F t ja F t ero: F t kertoo muutoksen vrtauksen mukana kulkevassa tlavuuselementssä F kertoo muutoksen tetyssä faasavaruuen psteessä t Käytännössä klasssten faasratojen laskemnen onnstuu van molekyylynamkkkasmulaatolla penlle systeemelle ja lyhyllä akaskaalolla. Tätä suurempen 8
systeemen kästtelyssä kannattaa turvautua tlastollsn menetelmn, jotka ovatkn tämän kurssn pääteema. Tlastollnen joukko el ensemble Määrtellään myöhempä tarkasteluja slmälläptäen ensn faasavaruuen tlavuusmtta N:n enttsen hukkasen systeemlle -ulottesessa avaruuessa N = 1 N! q p, h =1 mssä N! postaa permutaatosymmetran ja h=6,62607 x 10-34 Js on Plankn vako. Se kannattaa ssällyttää :n määrtelmään kahesta syystä: [q p]= [h], joten on mensoton luku. Kvanttmekankan epätarkkuusperaatteen mukaan tetyn hukkasen pakkaa ja lkemäärää e vo mtata samanakasest melvaltasen tarkast. Kun valtaan normtustekjäks h, ssältää faasavaruuen elementt (q p)/h karkeast ottaen yhen kvantttlan ja makroskooppsen faasavaruuen osan tlavuus puolestaan vastaa sen ssältämen kvantttlojen määrää. Systeemn makrotlaa kuvaa tyypllsest muutama observaabel (esm. eaalkaasua laatkossa P, T, V ), mutta yhtä makrotlaa vastaa valtavan suur joukko ( kpl.) systeemn mahollsa mkrotloja. Näen mkrotlojen kuvapsteet faasavaruuessa j (j=1,, ) muoostavat tlastollsen joukon el ensemblen. Rajalla M kuvapsteen j jakaumasta saaaan toennäkösyystheys ρ(, t) ta lyhyemmn ρ( ), joka oletetaan normtetuks sten että ρ( )Γ = 1. Jos ϱ( ) tunnetaan, voaan makrotlaa vastaavat fyskaalset suureet laskea ensembleoletusarvona f makro = < f > = ρ( )f( )Γ. 9
On kutenkn vaattava, että trajektoreen kulku faasavaruuessa on sellanen, että makrotlan rajotusten määrttelemssä puttessa jokanen faasavaruuen pste vaeltaa melvaltasen lähellä mtä tahansa muuta faasavaruuen pstettä. Tämä on ns. ergosuushypotees. Suureelle f vo ylesest ottaen laskea oletusarvon kahella tapaa: joko keskarvostamalla faasavaruuen psteen yl ta lähtemällä lkkeelle melvaltasesta faasavaruuen psteestä Π(t = 0) ja ottamalla akakeskarvon jonkn rttävän ptkän tarkastelujakson yl. Ergoselle systeemlle suureen f ptkän ajan keskarvo 1 f = lm T T f( (t))t on sama kun ensemblekeskarvo < f > ensemblelle jossa tetty energapnta H( ) = E on tasasest eustettuna, ρ( )~δ(h( ) E). 0 Toellset systeemt ovat yleensä ergosa; esmerkkejä epäergossta systeemestä löytyy lähnnä ns. ntegrotuven (el analyyttsest ratkeaven) systeemen ynamkasta. Lsäks statstsen fyskan laskussa vaataan usen systeemn sekottuvuutta, mllä vtataan shen, että melvaltanen tetyllä energapnnalla määrtelty toennäkösyystheys täyttää vrtauksen myötä ennen ptkää tasasest koko energapnnan. Ns. ergosuusteora tutk vrtausta faasavaruuessa ja on lähesessä yhteyessä kaoottsen ynamkan tutkmukseen (ks. AH 4.2). T Lkeyhtälöt Faasavaruus e ssällä lähtetä ta neluja, jossa toennäkösyyttä syntys lsää ta stä häväs. Sks toennäkösyys tetyssä trajektora ptkn vrtaavassa faasavaruuen elementssä 0 sälyy, mkä vastaa entteettä ρ(, t) = 0. t 0 (t) Tarkastellaan lähemmn tämän ntegraaln muutosta. Se koostuu: toennäkösyystheyen muutoksesta volyymelementn 0 ssällä 10
alueen 0 ajallsesta muutoksesta 0 n A v Vrtaus faasavaruuessa tapahtuu nopeuella v = (q, p ) = ( H p, H q ), joten ajassa t tlavuuselementn 0 reunapnnan nfntesmaalsen pntaalaelementn A lke kasvattaa 0 :n tlavuutta määrällä n vta, mssä n on A:ta vastaava pnnan normaalvektor. Tästä saaaan yo. ntegraaln akaervaataks t ρ( ) = 0 ρ t + 0 0 = ρ t + An v ρ 0 0 = ( ρ + (ϱv)) t Atn v t (Gaussn lasta), 0 mnkä ss teämme hävävän. Koska tämä pätee kaklle tlavuuselementelle 0, tulee päteä jatkuvuusyhtälö ρ + (ϱv) = 0. t ρ Jatkuvuusyhtälön vergensstermlle voaan eelleen krjottaa (ϱv) = v ϱ + ϱ v, jossa Hamltonn yhtälöstä seuraa v = ( q + p ) = q p ( H H ) = 0. q p p q 11
Tämän tuloksen mukaan vrtaus faasavaruuessa vastaa kokoonpurstumattoman nesteen vrtausta, mkä e lene suurkaan yllätys. Sjottamalla saatu tulos jatkuvuusyhtälöön, saaaan tulokseks 0 = ρ ρ + (ϱv) = + v ϱ t t = ρ t + ρ ρ (q + p ). q p Kuten vme luvussa totesmme, tämä tulos kertoo, että tutkttu suure (toennäkösyystheys) sälyy vakona vrtauksen mukana kulkevassa tlavuuselementssä, ρ( (t), t) = 0. t Tätä tulosta kutsutaan Louvllen lauseeks, jonka toseks muooks saaaan Hamltonn lkeyhtälöstä ρ t = (q = ( H p ρ ρ + p ) q p ρ H ρ ) q q p = ( H ρ H ρ ) q p p q = {H, ρ} = Lρ, mssä L = {H, } on ns. Louvllen operaattor. Saatua yhtälöä kutsutaan Louvllen yhtälöks. Kakkaan on ss nähty, että 12 vrtaus faasavaruuessa vastaa kokoonpurstumattoman nesteen vrtausta, ensembleä kuvaavan toennäkösyystheyen arvo pysyy vakona faasavaruuen vrtausta seurattaessa.
Laskuharjotuksssa nähään lsäks, että mkäl ensemblen theysfunkto rppuu faasavaruuesta van Hamltonn funkton kautta, ts. ρ(, t) = ρ(h( ), t), nn ensemble on statonaarnen, el ρ t = 0. Esmerkktehtävä (AH 4.5): Määrää Hamltonn vrtauksen trajektort 2-ulottesessa faasavaruuessa (q, p) hukkaselle vakopanovomakentässä H = p2 2m + mgq. Tutk, mten faasavaruuen alue, joka hetkellä t = 0 on kolmo, kärkpsteet (q 0, p 0 ), (q 0 + a, p 0 ), (q 0, p 0 + b), lkkuu ajan mukana, ja osota, että sen pnta-ala sälyy. 13