TILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 2008

Transkriptio

1 TILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 008 Randy Harrsn krjan luvun 9 Statstcal Mechancs alueeseen lttyvä suomenkelnen ohesmateraal. Tämä luentomateraal on teoran osalta laajemp ja perusteellsemp kun Harrsn krja.. välkoe tehdään Harrsn krjan pohjalta. Nässä luennossa tlatheysfunktota on merktty g(e) kun Harrs merktsee tlatheysfunktota D(E). Pävtetty

2 III Klassnen tlastollnen mekankka III KLASSINEN TILASTOLLINEN MEKANIIKKA Johdanto Tlastollsen mekankan kästtetä Maxwell - Boltzmann jakauman johtamnen Energatlan ssänen vapausaste Tasapanotlaa vastaavan partton laskemnen Parttofunkto ja tasapanojakauma Tasapanojakauma ja lämpötla Ideaalkaasun parttofunkto Maxwell-Boltzmann-jakauman omnasuuksa Energajakauma Nopeusjakauma Todennäkösn energa Todennäkösn nopeus Keskmääränen nopeus Nopeuden nelöllnen keskarvo Molekyylen nopeusjakauman vektorkomponentt Maxwell Boltzmann-jakauma ja entropa Maxwell-Bolzmann entropa Tlatheyden verrannollsuus kaasun tlavuuteen... 6 IV KVANTTISTATISTIIKAN PERUSTEET Monhukkastlan symmetraomnasuudet ja statstkka Bose-Ensten jakauma Mkrotlojen lukumäärän laskemnen Tasapanotlaa vastaava partto Ferm-Drac jakauma Mkrotlojen lukumäärän laskemnen Tasapanotlaa vastaava partto Parttofunkto, ssäenerga ja entropa kvanttstatstkassa Hukkasten lukumäärä systeemssä Ssäenerga Entropa... 36

3 3.1 Johdanto Klassnen raja Maxwell-Boltzmann jakauma...38 V KVANTTISTATISTIIKAN SOVELLUTUKSIA Hukkastlojen theys potentaallaatkossa Elektrontlojen mehttymnen johtovyössä Johtavuuselektronen lämpökapasteett Mustan kappaleen sätely Fotonen energatheys Wenn srtymälak Stefan-Boltzmannn lak Molekyylen pyörms- ja värähtelylke tlastollsessa mekankassa Kokonasparttofunkto Molekyylen pyörmslkkeen parttofunkto Molekyylen värähtelylkkeen parttofunkto Kaksatomsen deaalkaasun ssäenerga korkessa lämpötlossa Kaksatomssta molekyylestä koostuvan kaasun kokonasentropa Fonont ja hlalämpö Rppumattomen oskllaattoren mall (Dulong-Pett-lak) Debyen teora...6 LIITTEET Lte A Strlngn kaavan tarkkuudesta...68 Lte B Lagrangen kertomet...69

4 4 III Klassnen tlastollnen mekankka III Klassnen tlastollnen mekankka Teora on stä vakuttavamp, mtä yksnkertasemmat ovat sen perusoletukset, mtä erlasempa lmötä se kuvaa ja mtä laajemp on sen sovellutusalue. Sks klassnen termodynamkka on tehnyt mnuun syvän vakutuksen. Se on kästyksen mukaan anoa unversaal fyskaalnen teora, joka peruskästtedensä sovellutusalueella on todella pysyvä. Albert Ensten 3.1 Johdanto Tlastollsen mekankan teora kehtettn 1800-luvun jälkpuolskolla. Alan uranuurtaja olvat Ludvg Boltzmann ( ), James Maxwell ( ) ja Josah W. Gbbs ( ). Aneen kvanttteoran kehttämsen jälkeen 1900-luvun alussa klassnen tlastollnen mekankka ylestettn kästtämään hukkasa, joden tlaan kvanttefektellä on oleellnen vakutus. Kvanttstatstkan kehttäjä olvat mm. Satyendranath Bose ( ), Albert Ensten ( ), Enrco Ferm ( ) ja Paul Drac ( ). Tlastollnen mekankka vodaan luoktella mkroskooppseks teoraks. Tlastollsessa mekankassa mkroskooppsuus rajottuu kutenkn aneen mkroskooppsten osen energatlarakenteen tuntemseen. Seuraavassa tlastollsen mekankan peraatteta sovelletaansysteemehn, joden mkroskooppsten osen välllä e ole vuorovakutuksa. Nän esmerkks molekyylen välset vomat evät ole mukana tarkastelussa. E-vuorovakuttavlle hukkaslle saadut tulokset vodaan kutenkn ylestää systeemelle, joden mkroskooppsten osen välllä on vuorovakutus. Alotamme tlastollsen mekankan opskelun klasssesta deaalkaasusta ja perehdymme kappaleessa IV kvanttstatstkan alkesn.

5 3. Tlastollsen mekankan kästtetä 5 3. Tlastollsen mekankan kästtetä Tlastollsen mekankan peruslähtökohtana on, että yksttäsen mkroskooppsen osan kannalta jokanen er lketla on yhtä todennäkönen. Tästä perusolettamuksesta vodaan johtaa systeemn osen, esmerkks molekyylen nopeusjakauma. Ennen kun johdamme termodynaamsta tasapanotlaa vastaavan molekyylen nopeusjakauman, käymme lyhyest läp tlastollsen mekankan tärkemmät peruskästteet. Energatasot: E1, E, E 3,.. ovat systeemn yksttäsen mkroskooppsen osan el hukkasen (molekyyl, elektron, foton) mahdollsa energota. Mehtysluvut: n1, n,.. kertovat, kunka monta hukkasta on kullakn energatasolla. Mehtyslukujonoa n1, n, n 3,.. kutsutaan parttoks (krjallsuudessa usen myös makrotlaks). Sälymslat: Hukkasten kokonasmäärä U = ne N = n ja kokonasenerga oletetaan vakoks seuraavssa tarkastelussa. Tällasta sys- teemä sanotaan mkrokanonseks joukoks. Tulokset vodaan ylestää tapaukseen, jossa systeemn kokonasenerga e ole vako (kanonnen joukko) ta tapaukseen, jossa hukkasmäärä ja kokonasenerga evät kumpkaan ole vakota (suurkanonnen joukko). Jälkmmäsä emme tarkastele tässä yhteydessä. Omnastlat (lyhyest tla): Jokanen hukkanen sjatsee jollakn omnastlalla, joka määrää kakk yksttäsen hukkasen fyskaalset omnasuudet. Energa on yks mutta e välttämättä anoa fyskaalnen omnasuus. Tästä syystä yhteen energatasoon lttyy yleensä useta omnastloja. Nällä omnastlolla olevlla hukkaslla on sama energa, mutta jonkn muun fyskaalsen suureen arvot ovat nällä tlolla erlaset. Degeneraato: Jos energatasoon E lttyy energa E, sanotaan suuretta g energatason g omnastlaa, jolla on sama E degeneraatoks.

6 6 III Klassnen tlastollnen mekankka Monhukkastla el mkrotla: Oletetaan, että sjotamme N hukkasta salltulle omnastlolle kahdella er tavalla. Jos vomme anakn peraatteessa kuvtella fyskaalsen kokeen, joka paljastaa havattavan eron näden kahden sjotustavan välllä sanomme, että ne edustavat er monhukkastloja el mkrotloja. Hukkasten dentteett Tlastollsen mekankan monhukkastla on klassseen mekankkaan pohjautuvassa Maxwell - Boltzmann (MB)- jakaumassa oleellsest erlanen kun kvanttfyskkaan pohjautuvssa Ferm-Drac (FD) ja Bose-Ensten (BE)-jakaumssa. Ero lttyy hukkasten tunnstamseen ykslönä. Tarkastellaan aluks tlannetta MB-jakaumassa. Vakka molekyylt ovat denttsä, ne vodaan ykslönä erottaa tosstaan. Vomme ajatella, että ltämme kuhunkn molekyyln krjamen, jonka avulla vomme seurata tämän molekyyln sjottumsta er omnastlolle. Tarkastellaan yksnkertasta esmerkkä, jossa degeneraatotekjä g = 1. Sjotamme aluks molekyyln a tasolle E 1, molekyyln b tasolle E ja loput molekyylt c,... tasolle E 3. Tosessa vahtoehtosessa sjotustavassa olkoon molekyyl b tasolla E 1, molekyyl a tasolla E ja loput molekyylt c,... kuten edellä tasolla E 3. Koska g = 1, kukn taso on samalla omnastla, joten tedämme molemmssa tapauksssa mllä omnastlalla kukn molekyyl sjatsee. Nämä kaks sjotustapaa edustavat MB-statstkassa er mkrotloja, sllä klasssessa mekankassa molekyylt vodaan samanlasuudestaan huolmatta erottaa (anakn peraatteessa) ykslönä tosstaan. Kvanttfyskassa (asasta lähemmn luvussa 4) monhukkastlan määrää ykskästtesest se, kunka monta hukkasta kullakn omnastlalla sjatsee. Useamman hukkasen systeemssä yksttästä hukkasta e voda tutka pstemäsenä objektna, joka votasn erottaa ykslönä musta samanlassta hukkassta. Itse asassa systeemn tlaa kuvaa van aneaaltokenttä, joka on määrätty, kun tedetään, kunka monta hukkasta kullakn omnastlalla on. Sks ym. kaks sjotustapaa lttyy kvanttstatstkassa samaan mkrotlaan!

7 3.3 Maxwell - Boltzmann jakauman johtamnen 7 Sekä klasssessa, että kvanttstatstkassa oletetaan kutenkn, että jokanen (hukkasten kokonasmäärän ja energan sälymsen toteuttava) monhukkastla, on a pror yhtä todennäkönen. Tetyn partton todennäkösyys on ss suoraan verrannollnen tähän parttoon kuuluven mkrotlojen lukumäärään. 3.3 Maxwell - Boltzmann jakauman johtamnen Oletamme, että kaasumolekyylt ovat pstemäsä (unohdamme rotaato- ja värähtelyvapausasteet) ja noudattavat klasssen mekankan lakeja. Molekyylen salltut energatlat muodostavat dskreetn joukon E1, E, E3, E 4,... Olkoon näden tlojen mehtysluvut n, n, n, n,... Energadskretont on kenotekonen ja postetaan lopuks (vertaa kneettset mallt). Hukkasten kokonasmäärä olkoon N = n ja kokonasenerga U = ne. Tetyn kokonasenergan U puttessa N molekyylllä vo olla useta mahdollsa makrotloja el parttota. Nästä se partto, joka havataan suurmmalla todennäkösyydellä, edustaa termodynaamsta tasapanotlaa. Tarkastellaan parttoden esntymstodennäkösyyden määräämstä yksnkertasen esmerkn avulla. Kuva 3-1 esttää skemaattsest kahta mahdollsta parttota. Molemmssa on kymmenen molekyylä ja molekyylen kokonasenerga 15e. Energat sjatsevat tasavälen (tämä e kutenkaan ole olennasta) verekkästen tasojen väln ollessa e. Parttoden kesknä- Kuva 3-1 Tlastollsen mekankan tavotteena on määrätä makrotlojen el parttoden suhteellset todennäkösyydet. Kuvassa kaks parttota, jossa on 10 hukkasta, joden kokonasenerga on 15e.

8 8 III Klassnen tlastollnen mekankka nen esntymstodennäkösyys määräytyy seuraaven peraatteden mukaan: Tlastollsessa mekankassa oletetaan, että jokanen (energan ja hukkasmäärän sälyttävä) mkrotla on yhtä todennäkönen. Tämä vodaan myös ymmärtää tlastollsen mekankan perushypoteesks! Parttoden kesknäsen esntymstodennäkösyyden määrää se, kunka monta mkrotlaa kuhunkn parttoon lttyy. Tarkastellaan kuvan 3-1 ylempään parttoon lttyvä mkrotloja. Ylmmälle tlalle vodaan poma mtkä tahansa kaks kymmenestä molekyylstä ts. ne vodaan valta (kahden järjestämätön satunnasotos kymmenestä) 10! P 5 =!(10 )! er tavalla. Tlan 4 mehtysluku 0 vodaan saavuttaa van yhdellä tavalla. Sen sjaan tlalle 3 saadaan 3 satunnasotos jäljelle jääneestä 8 molekyylstä: (10 )! P3 =. 3!(10 3)! Nän jatkaen saadaan selvlle kakk mahdollset tavat sjottaa kymmenen molekyylä vdelle tlalle mehtyslukujen osottamalla tavalla. Mahdollsten (järjestämättömen) kombnaatoden el mkrotlojen kokonasmäärä on ss 10! (10 )! (10 3)! (10 3 1)! P = 1!(10 )! 3!(10 3)! 1!(10 3 1)! 4!( )!, josta supstamalla 10! P = = 1600.!0!3!1!4! Vastaavast alemmalle parttolle saadaan mkrotlojen lukumääräks

9 3.4 Energatlan ssänen vapausaste 9 10! P = = !0!1!1!5! Ylemp partto on ss,5 kertaa todennäkösemp! Yllä oleva tarkastelu vodaan helpost ylestää melvaltaselle N molekyyln systeemlle. Makrotlaan n1, n, n 3,... kuuluven mkrotlojen lukumäärä on ylesest P = N!.. = N! n1! n! n3! n!. (3.1)

10 10 III Klassnen tlastollnen mekankka 3.4 Energatlan ssänen vapausaste Käytännössä esntyy tlanne, jossa useammalla kun yhdellä tlalla on sama energa, ts. molekyylllä on eräänlanen ssänen vapausaste, joka e vakuta sen energaan. Tarkastellaan ssäsen vapausasteen merktystä yksnkertasen esmerkn avulla. Oletetaan että energatlaan E lttyy g omnastlaa, jolla kaklla sama energa. Olkoon g = ja n = 3. Kolme molekyylä vodaan sjottaa kahdelle omnastlalle 8 er tavalla noudattaen samaa peraatetta kun yllä. Merktään molekyylejä krjamlla a, b ja c. Mahdollsa jakoja ovat: Tla 1 Tla a,b,c 0 a,b c a,c b b,c a c a,b b a,c a c,b 0 a,b,c 3 Saamme yhteensä 8= tapaa sjottaa kolme tunnstettavaa molekyylä kahdelle omnastlalle. Yllä oleva tarkastelu vodaan tostaa helpost ylesessä tapauksessa, jollon energatason E yhteensä g omnastlalla on n n molekyylä. Sjotustapojen määräks saadaan g. Kun degeneraaton vakutus lasketaan samaan tapaan kaklle energatasolle, parttoon kuuluven mkrotlojen määrä vodaan ylestää muotoon n g P = N! n!. (3.) Usen P on tapana jakaa tekjällä N!, jollon saadaan P N n g = n!. (3.3) Jos g >> n (kullakn energatasolla enntään yks molekyyl), yhtälön 3.3 määrttelemä P N ols mkrotlojen lukumäärä snä tapauksessa, että mole-

11 3.4 Energatlan ssänen vapausaste 11 kyylejä e votas ykslönä erottaa tosstaan. Suuretta 3.3 kutsutaan usen myös partton esntymstodennäkösyydeks. Tarkalleen 3.3 on kutenkn van suoraan verrannollnen ko partton esntymstodennäkösyyteen. Jos lasketaan yhteen sde-ehdot N = n ja U = ne toteuttaven parttoden todennäkösyyksen P N summa, se e ole 1. Esmerkk 1. Systeemssä on 6 tunnstettavssa olevaa hukkasta, joden mahdollset energatlat ovat 0 ε, 1 ε, ε, 3 ε, 4 ε, 5 ε, 6 ε, 7 ε,.. Tlojen degeneraatotekjä on g = 1. Molekyylen kokonasenerga on 6 ε. Mtkä ovat er makrotlojen esntymstodennäkösyydet? Mkä on termodynaamsta tasapanotlaa vastaava partto? Laske myös energatasojen keskmääräset mehtysluvut. Kokonasenergan 6 ε puttessa ovat seuraavat parttot el makrotlat mahdollsa. Energatlat joden energa on suuremp kun 6 ε on jätetty merktsemättä, koska nlle e voda annetun kokonasenergan puttessa sjottaa molekyylejä. Kuhunkn makrotlaan lttyven mkrotlojen lukumäärä saadaan yhtälöstä Pk = 6! nk,1! nk,! nk,3! nk,4! nk,5! nk,6! nk,7! mssä n k, j on energatason j mehtysluku parttossa k. Todennäkösn on se partto, johon lttyy enten mkrotloja el partto 6. Koska mahdollsn parttohn lttyy yhteensä 46 mkrotlaa, saamme partton j normtetun esntymstodennäkösyyden yhtälöstä Pk W k =. 46 Kuva 3- Maxwell Boltzmann-statstkan mukaset parttot 6 molekyyllle, joden kokonas- Tällön tetenkn W k = 1. Energatasojen keskmääräset mehenerga on 6ε. k tysluvut saadaan panottamalla ku-

12 1 III Klassnen tlastollnen mekankka hunkn parttoon lttyvä mehtystodennäkösyyksä ao. partton esntymstodennäkösyydellä: j n j 1,777 1, , , , , ,01987 Σ 6 n j Wn k k, j k =. Keskmääräset mehtysluvut on estetty ohesessa taulukossa. Nden summa on tetenkn hukkasten kokonasmäärä = Tasapanotlaa vastaavan partton laskemnen Määrätään seuraavaks todennäkösmmän tettyä molekyylmäärää ja kokonasenergaa vastaavan partton. Laskennallsest on edullsempaa johtaa mkrotlojen lukumäärän logartmn ln P maksmarvo. Koska logartmfunkto on adost kasvava, logartmn maksmarvo vastaa argumentn maksmarvoa. Suureen 3.3 logartmks saadaan ln P = n ln g + n ln g + n ln g +.. N ln n! ln n! ln n! (3.4) Oletaaan, että kullakn energatasolla on paljon molekyylejä. Yhdessä 3 moolssa on 10 molekyylä, joten ntä rttänee paljon kaklle tasolle. Jos n on suur vomme käyttää Strlngn kaavaa (Lte A) ln( n!) nln( n) n. (3.5) Yhtälö 3.4 vodaan nyt krjottaa ln P = n ln g + n ln g + n ln g +.. N n ln n + n n ln n + n n ln n + n n n n = n ln n ln n ln.. + ( n + n + n +..) g1 g g3 (3.6)

13 3.5 Tasapanotlaa vastaavan partton laskemnen 13 el n ln PN = N n ln. (3.7) g Etstään ss sellaset n, että yhtälöllä 3.7 on maksmarvo. Maksmarvon määräämseks etsmme P logartmn dervaatan: [ ] d(ln PN ) = ( dn) ln( n / g) nd ln( n / g) = ( dn)ln( n / g) n( dn)/ n = ( dn)ln( n / g) dn (3.8) Hukkasten kokonasmäärä N on vako, joten dn = 0. (3.9) Yhtälön 3.9 perusteella vodaan ss krjottaa (vastaluku on tapana ottaa, vakka sllä e ole vakutusta lopputulokseen) d(ln PN) = ( dn)ln( n / g) = 0. (3.10) Jos mehtyslukujen muutokset dn olsvat tosstaan rppumattoma, votasn yhtälö 3.10 toteuttaa valtsemalla n ln 0 g =. Mehtyslukujen dfferentaaleja stoo kutenkn tosnsa yhtälön 3.9 lsäks yhtälö Edn = 0, (3.11) sllä ssäenerga U = En on vako.

14 14 III Klassnen tlastollnen mekankka Reunaehdot 3.9 ja 3.11 vodaan ottaa huomoon Lagrangen määräämättömen kertomen menetelmällä. (Lte B). Kertomalla yhtälö 3.9 α :lla ja yhtälö (11) β :lla ja laskemalla ne yhteen yhtälön 3.10 kanssa saamme: [ ln( n / g) + α + βe] dn = 0 (3.1) Yhtälö 3.1 toteutuu valnnalla ln( n / g) + α + βe = 0 el n E = g e. (3.13) Mehtyslukujen lauseketta 3.13 kutsutaan Maxwell-Boltzmann jakaumaks. 3.6 Parttofunkto ja tasapanojakauma Jotta jakaumaa 3.13 votasn käyttää termodynaamsta tasapanotlaa vastaavan partton määräämseen, on ensn määrättävä Lagrangen kertomen arvot. Laskemalla yhteen tasapanojakauman mehtysluvut saamme mssä suure α βe α βe α, (3.14) N = n = g e = e g e = e Z E Z g e β on nmeltään parttofunkto. = (3.15) Parttofunkton avulla vodaan tasapanojakauman mehtysluvut krjottaa muodossa N β E n = ge, (3.16) Z

15 3.7 Tasapanojakauma ja lämpötla 15 ja ssäenerga muodossa N β E U = g Ee. (3.17) Z Yhtälöstä 3.17 havataan, että ssäenerga vodaan krjottaa myös muodossa N d β E N dz d U = ge = = N (ln Z) Z dβ. (3.18) Z dβ dβ Molekyylen keskmääräselle energalle saadaan vastaavast U d Eave = = (ln Z ). (3.19) N dβ Yhtälöstä havataan, että systeemn parttofunkto ja ssäenerga ovat suureen β funktota. Lagrangen parametrt votasn peraatteessa määrätä numeersest, jollon todennäkösmmän jakauman yhteyttä absoluuttseen lämpötlaan e lankaan tarvta. Edellytyksenä on tetenkn, että tlojen energat E ja degeneraatot g sekä molekyylen lukumäärä N ja ssäenerga U tunnetaan. Jakamalla yhtälö 3.17 yhtälöllä 3.14 saadaan U N = β E gee β E ge. Tämä vodaan ratkasta teratvsest: annetaan parametrlle β jokn lähtöarvo, lasketaan summat yhtälön okealla puolella ja korjataan β :n arvoa sten, että lopulta yhtälö toteutuu halutulla tarkkuudella. Kun β on määrätty, saadaan α yhtälöstä Tlastollsen mekankan dea on kutenkn kääntenen tähän lähestymstapaan nähden. Parametr β on yhteydessä erääseen tlanmuuttujaan, jonka arvo vodaan määrätä kokeellsest. Tämän jälkeen saadaan mehtysluvut yhtälöstä 3.16, jos parttofunkto 3.15 tunnetaan.

16 16 III Klassnen tlastollnen mekankka 3.7 Tasapanojakauma ja lämpötla Määrtellään tlastollsen mekankan lämpötla T 1 β = ( kbt), (3.0) jollon parttofunkto, tasapanojakauma ja ssäenerga ovat vastaavast E / kbt Z = ge (3.1) ja N E / kbt n = ge Z (3.) Ssäenergan lauseke saadaan sjottamalla β = 1/ kbt dβ = dt / kbt d U = kbnt ln( Z). (3.3) dt Ylesest jonkn molekyyln tlaa kuvaavan suureen F keskarvo on 1 E / ( ) kbt Fave = gf E e. (3.4) Z t Yhtälöstä vomme päätellä, että parttofunkto Z ja suure k B T ovat keskesessä asemassa määrättäessä systeemn termodynaamsa omnasuuksa. Nämä yhtälöt evät kutenkaan velä todsta, että nssä esntyvä suure T on sama kun termodynaamnen absoluuttnen lämpötla. Osotetaan seuraavaks näden kahden lämpötlamäärtelmän yhtenevyys deaalkaasulle.

17 3.8 Ideaalkaasun parttofunkto Ideaalkaasun parttofunkto Molekyylen nopeus- ja energa jakaumat ovat jatkuva. Jaetaan koko energa-alueen äärettömän moneen osaan. Olkoon kunkn osaväln leveys Δ E. E, E + ΔE oleven Eräällä energa-avaruuden dfferentaalsella välllä [ ] omnastlojen lukumäärä vodaan esttää muodossa g( E) Δ E, mssä funktota g( E ) kutsutaan tlatheysfunktoks ta lyhyest tlatheydeks. Aemmn epäjatkuvlle energatasolle johdettussa MB-jakauman parttofunktossa dskreett energat E korvataan jatkuvalla muuttujalla E ja degeneraatotekjät g vastaavast tlatheydellä g( E ). Summa yl dskreetten arvojen korvataan ntegraallla : = E/ kbt ( ). (3.5) 0 Z e g E de Tlatheysfunkto g( E ) vodaan päätellä seuraavast. Tarkastellaan molekyylen kolmdmensosta nopeusavaruutta. A pror kakk nopeuden arvot ovat sallttuja, joten nden tlojen lukumäärä, jolla E, E + ΔE, on verrannollnen sellasen nopeusavaruuden energa on välllä [ ] pallokuoren tlavuuteen, jonka ssemp säde vastaa energaa E = (1/ ) mv ja ulomp säde energaa E + ΔE. Tosaalta ΔE = mvδv 1/ 1/ = ( ) Δ, mssä sjotmme Δv m E E 1/ 1/ ( ) mv = m E. Pallokuoren, jonka ssäsäde on v ja ulkosäde v+ Δv tlavuus on pnta-ala 3/ 1/ kertaa paksuus = 4πv Δv = 4π m E ΔE = tlojen lukumäärä välllä [ E, E ΔE] +. Vomme ss krjottaa 1/ ge ( ) = C E, (3.6) mssä C on eräs vako. Tämä energasta ja lämpötlasta rppumaton vako e kutenkaan vakuta kaasun termodynaamsn omnasuuksn, vaan supstuu pos kakken mtattavssa oleven fyskaalsten suureden lausekkesta.

18 18 III Klassnen tlastollnen mekankka Sjottamalla 3.6 yhtälöön 3.5 saadaan 1/ E/ k 1 BT 3 Z = C E e de = C π ( kbt). (3.7) 0 Ottamalla logartm ja sjottamalla tulon ja potenssfunkton logartmn laskentasääntöjä hyväkskäyttäen kakk lämpötlasta rppumattomat tekjät suureeseen C saamme 3 ln Z = C ' + lnt (3.8) ja edelleen ssäenergaks (ensmmäsen termn dervaatta T:n suhteen on nolla) d(ln Z) 3 U = kbnt = kbnt. (3.9) dt Makroskooppsen termodynamkan mukaan (yksatomsen) deaalkaasun lämpökapasteett (omnaslämpö kertaa anemäärä) vakotlavuudessa on C V U = = T V 3 Nk B Yhtälö 3.9 antaa ss saman lämpökapasteetn kun termodynamkka, jos tlastollsen mekankan lämpötla on sama kun termodynaamnen absoluuttnen lämpötla..

19 3.9 Maxwell-Boltzmann-jakauman omnasuuksa Maxwell-Boltzmann-jakauman omnasuuksa Energajakauma Dskreetstä tasapanojakauman yhtälöstä N E / kbt n = e g saadaan vas- Z taava jatkuva jakauma tlatheyden avulla: N E/ kbt N 1/ E/ k ( ) BT dn = e g E de = C E e de, (3.30) Z Z mssä dn on nden molekyylen lukumäärä, jolla energa on välllä E, E + de. Sjottamalla tähän yhtälöön parttofunkto Z yhtälöstä 3.7 [ ] huomataan, että vako C supstuu pos. Lopputulokseks saadaan dn de π N 1/ E / kbt = E e. (3.31) 3/ ( π kt ) Kuvassa 3-3 on estetty happmolekyylen energajakauma 100 ja 300 K lämpötlossa Nopeusjakauma Nopeusjakauma saadaan energajakaumasta dervonnn ketjusäännön avulla ( E = (1/ ) mv ) dn dn de dn = = mv. dv de dv de Sjottamalla tähän energajakauma saadaan dn dv 3/ m mv /k 4 BT = π N v e π kbt.(3.3) Ohesessa kuvassa on estetty happ molekyylen nopeusjakauma 80 K ja 800 K lämpötlossa.

20 0 III Klassnen tlastollnen mekankka Yhtälössä 3.31 ja 3.3 on annettu molekyylen energa- ja nopeusjakaumat molekyylen kokonasmäärälle N. Usen tarvtaan molekyylen energa- ja nopeusjakauma tlavuuden ykskköä kohden, el molekyylen lukumäärä tlavuuden ja energan ta tlavuuden ja nopeuden ykskkövälä kohden. Nämä suureet saadaan jakamalla yhtälöt 3.31 ja 3.3 kaasusälön tlavuudella. Myöhemmn käytämme usen suuretta n merktsemään molekyylen lukumäärää tlavuusykskköä kohden Todennäkösn energa Kuva 3-3 Happmolekyylen MB-energajakauma (a) ja nopeusjakauma (b). Todennäkösn energa vastaa jakauman 3.31 maksmarvoa. Merktään 1/ / f = E e E k B T. Tällön 1/ df 1 1/ E E/ k 1 BT = E e = 0 Emp = kbt de kbt Todennäkösn nopeus. (3.33) Todennäkösn nopeus on jakauman 3.3 maksmkohta. Merktään f = v e mv / k B T. Dervomalla saamme maksmarvoks 3 df mv mv /k BT k 0 BT = v e = vmp = dv kbt m 1/. (3.34)

21 3.9 Maxwell-Boltzmann-jakauman omnasuuksa Keskmääränen nopeus Määrtelmän mukaan 1 1 dn vave = vdn = v dv N N dv 0 0. Sjottamalla tähän nopeusjakauma 3.3 saadaan 3/ m 3 mv /k 4 BT vave = π ve dv π kbt. (3.35) 0 Muuttujan vahdolla u = v, du = vdv, vodaan ntegraal krjottaa ( m/ kbt) u = 1 1, josta osttasntegronnlla / ue du kbt m 0 ( ). Sjottamalla yhtälöön 3.35 saadaan 1/ 8kBT vave = = 1,13 vmp π m. (3.36) Nopeuden nelöllnen keskarvo Määrtelmän mukaan 1 ( v ) ave = v dn N 0 Sjottamalla v = E / m saadaan ( v ) ave = Edn E ave mn =, m 0 sllä määrtelmän mukaan 1 Eave = Edn N. 0

22 III Klassnen tlastollnen mekankka Keskmääräselle energalle johdettn yllä Eave = (3/) kbt, joten 3k ( ) BT vrms = v ave = m ja 1/ 3kBT vrms = = 1, 5vmp m. (3.37) Molekyylen nopeusjakauman vektorkomponentt MB-nopeusjakaumassa 3.3 suure dn on nden molekyylen lukumäärä jolle molekyyln nopeuden tsesarvo on välllä [ v, v dv] +. Yhtälön 3.3 s- sältämä tekjä ( ) 4π v dv on sellasen nopeusvektoravaruuden pallokuoren tlavuus, jonka ssäsäde on v ja ulkosäde v+dv. Mehtysluku rppuu van energasta el nopeusvektorn tsesarvosta. Sks kaklle tämän pallokuoren ssällä olevlle nopeusvektorarvolle vodaan käyttää samaa, yhtälössä 3.3 hakasulussa olevaa, panokerronta. Kun halutaan laskea jossakn nopeusavaruuden dfferentaalsessa alkossa oleven molekyylen lukumäärän, medän on kerrottava kysesen alkon tlavuus shen kuuluven tlojen mehtystodennäkösyydellä: 3/ m mv = exp π kbt kbt dn N dv v Tässä dv v on jokn dfferentaalnen nopeusavaruuden alko, johon kuuluven nopeusvektoreden tsesarvo on v. Oletamme nyt, että dfferentaalnen alkomme on suorakulmanen särmö, jonka yks kulma on psteessä ( vx, vy, v z) ja vastakkanen nurkka psteessä ( vx + dvx, v y + dv y, vz + dvz) ; särmen ptuudet ovat ss dvx, dvy ja dv z ja tlavuus dvv = dvxdvydvz. Tässä nopeusavaruuden osassa oleven molekyylen lukumäärä saadaan sjottamalla yhtälöön 3.38 dvv = dvxdvydvz ja v = vx + vy + vz. Esmerkk. Osota, että nden molekyylen lukumäärä, joden nopeu- 0,v, mssä v 0 > 0 on den x-komponentt on välllä [ ] 0

23 3.9 Maxwell-Boltzmann-jakauman omnasuuksa 3 N Nnt [ 0, x] = erf ( x), mssä x = v0 / vm ( v m on todennäkösn nopeus) ja erf ( x ) on määrtelty ntegraalna x x erf ( x) = e dx π. 0 Tehtävässä kysytään nden molekyylen lukumäärää, joden nopeusvekto- 0,v. Nopeuden y- ja z-komponentten arvot rn x-komponentt on välllä [ ] 0 vovat kutenkn olla välllä [, + ]. Näden molekyylen lukumäärän selvlle saamseks medän summattava el ntegrotava yl kakken nden alkoden dv v, jotka toteuttavat tämän ehdon: vx o, v0 3/ v0 m mv = x y z exp π kt k 0 BT N N dv dv dv Integrodaan tämä aluks yl nopeuden y- ja z-komponentten. Sjotetaan v = vx + vy + vz ja ntegrodaan, jollon saadaan ( y + z) π = B kbt m mv v k T dvy dvz exp. Käytmme tässä ntegrontkaavaa (muuttujan vahto napakoordnaatstoon x + y r, dxdy rdrdθ ) π α( x + y ) αr αr π m θ π ; α. I = dx dye = e rdrd = e rdr = = α kbt Lopuks ntegromme yl nopeuden x-komponentn: 1/ v0 m mvx /kbt Nvx o, v N e dv 0 = x π kbt, 0

24 4 III Klassnen tlastollnen mekankka 0 0; v m v k B T m m jossa tehdään muuttujanvahto x = vx, dx dvx kbt = kbt. Integrontrajat muuttuvat vastaavast 0 0 ja saamme ntegraaln arvoks lopulta m v 0 kbt 1 x N m N v Nv, erf erf x o v N e dx v 0 = = = π k 0 BT v m Seventämsessä käytmme todennäkösmmän nopeuden lauseketta vmp = k B T m. Matematkan kertausta: muuttujanvahto ntegronnssa: Lasketaan b I = f ( x) dx. Määrtellään x = g() t dx = g'( t) dt ; f( x) = f( g( t)). Oletetaan, a 1 että on olemassa kääntesfunkto t = g ( x). Tällön ntegrontrajoks saadaan 1 tmn g ( a) = ja 1 tmax g ( b) =. Integraalks saadaan 1 g ( b) I = f ( g()) t g'() t dt. 1 g ( a)

25 3.10 Maxwell Boltzmann-jakauma ja entropa Maxwell Boltzmann-jakauma ja entropa Maxwell-Bolzmann entropa Entropa määrtellään tlastollsessa mekankassa yhtälöllä S = kb ln PN, (3.39) mssä P N on tettyä termodynaamsta tlaa vastaavan partton todennäkösyys. Seuraavaks estämme entropan 3.39 ssäenergan, lämpötlan ja parttofunkton avulla.vodaan osottaa, että 3.39 on ekvvalentt termodynaamkan entropan määrtelmän δ Q ds = (3.40) T kanssa. Sjotetaan aemmn johdettu mkrotlojen lukumäärän lauseke yhtälöön 3.39 (tekjä N! vodaan vakona jättää pos) S = kb ln PN = kb n ln g n ln n + n = kb n ln( n / g) + kbn. (3.41) Tasapanotlan mehtysluvut saadaan yhtälöstä N E / kbt n = ge. (3.4) Z Ottamalla yhtälön 3.4 logartm saadaan n E Z ln = ln. g kbt N Sjottamalla tämä yhtälöön 3.41 saadaan

26 6 III Klassnen tlastollnen mekankka E Z S = kb n + n ln + n k BT N 1 Z = ne + kb n ln + kbn. T N (3.43) Tosaalta U = ne ja N = n, joten U Z S = kbnln kbn T + N +. (3.44) Tarkastellaan velä tlatheysfunkton g( E ) rppuvuutta systeemn tlavuudesta Tlatheyden verrannollsuus kaasun tlavuuteen 3 Ideaalkaasun parttofunktolle johdettn edellä tulos Z = C(1/ ) π ( kbt), mssä C on tlatheydessä esntynyt vako. Tlatheys on systeemn rakennetta kuvaava suure, joten se e vo rppua paneesta ta lämpötlasta. Vako C vo kutenkn rppua systeemn tlavuudesta. Yhdstetään kaks kaasusälötä, jossa on molemmssa N molekyylä lämpötlassa T ja paneessa p tlavuudessa V. Yhdstetyssä sälössä molekyylellä on käytettävssä molempn sälöhn kuuluvat energatlat. Yhdstetyn sälön tlatheys on ss kaksnkertanen. Tästä vodaan päätellä, että tlatheyden on oltava verrannollnen kaasusälön tlavuuteen. Tlatheys on ss 1/ ( ) cve g E =, (3.45) mssä vako c on tuntematon. Parttofunktoks saadaan vastaavast 3 ( 1/ ) π ( ) Z = cv kbt. Palataan velä entropan laskemseen. Sjotetaan deaalkaasun ssäenerga U = (3/ ) k B NT ja parttofunkto yhtälöön Tällön saadaan

27 3.10 Maxwell Boltzmann-jakauma ja entropa 7 3/ 3 VT c π kb 3 /4 S = kbn + kbnln + kbn. (3.46) N Kerätään molekyylen lukumäärään verrannollset vakotermt yhteen: 3/ VT 3 3 S = kbnln + kbn 1 ln c π kb / 4 N + +. (3.47) Entropa vodaan esttää myös moolmäärän avulla korvaamalla Tällön saadaan kb N ν R. 3/ VT 3 3 S = νrln + νr 1 ln c πkb / 4 ln( kb / R) ν + +, ta lyhyemmn 3/ VT S = ν R ln + ν c. (3.48) ν mssä 3 c = R 1+ + ln c k / 4 ln( k / R) 3 π B B. Yhtälö 3.48 ssältää tuntemattoman vakon c, joten sen avulla vodaan määrätä van entropan muutoksa.

28 8 IV Kvanttstatstkan perusteet IV Kvanttstatstkan perusteet 4.1 Monhukkastlan symmetraomnasuudet ja statstkka Mkroskooppset systeemt vodaan jakaa nden kulmalkemäärän mukaan kahteen ryhmään. Ensmmäseen ryhmään kuuluvat ne hukkaset (alkeshukkaset, atomt ta molekyylt) joden kulmalkemäärää kuvaava kvanttluku on kokonasluku (0, 1,... ). Nätä hukkasa kutsutaan bosoneks. Toseen ryhmään, fermonehn, kuuluvat ne jolla kulmalkemäärän kvanttluku on puolkkaan parton monkerta (1/, 3/, 5/...) ja jota kutsutaan fermoneks. Vodaan osottaa, että kulmalkemäärän tsesarvon J yhteyden vastaavan kvanttlukuun j määrttelee yhtälö J = j( j+ 1) (4.1) mssä on Planckn vako. Yhtälöä (4.1) on tarkasteltu lähemmn kvanttfyskan yhteydessä. Kulmalkemäärän arvo lttyy usean mkroskooppsen kappaleen systeemä kuvaavan aaltofunkton symmetraomnasuuksn. Bosonella aaltofunkto on muuttumaton vahdettaessa kahden hukkasen koordnaatt keskenään. Esmerkks fotont noudattavat bosonen symmetrasääntöä. Fermonella aaltofunkto vahtaa merkknsä koordnaattvahdon seurauksena. Esmerkks elektront ovat fermoneja. Symmetraomnasuukssta seuraa, että kuvattaessa hukkasten sjottumsta er energatlolle e samalle kvantttlalle voda sjottaa enemmän kun yks fermon (Pauln keltosääntö). Bosonen suhteen vastaavaa rajotusta e ole.

29 4. Bose-Ensten jakauma 9 4. Bose-Ensten jakauma 4..1 Mkrotlojen lukumäärän laskemnen Tarkastelemme energatasoa E, joka koostuu esmerkssämme 3 omnastlasta, jolle sjotamme 3 hukkasta. Kunka monella peraatteessa fyskaalsest erotettavssa olevalla tavalla hukkaset vodaan sjottaa omnastlolle? Koska hukkaset evät ole ykslönä erotettavssa, monhukkastla on täysn määrätty kun tedetään, kunka monta hukkasta kullakn altlalla on: Taulukko 4. 1 Omnastla Hukkasten lukumäärä tlalla Huomataan, että saamme ( g + n ) ( g 1! ) n! 1! P = = 10 (4.) mahdollsuutta. Tostamme saman jokaselle energatasolle. Erlasten koko systeemn monhukkastlojen määrä on tällön yksttäslle energatasolle laskettujen monhukkastlojen lukumäären tulo ( g + n 1! ) P. (4.3) ( g 1! ) n! P = = 4.. Tasapanotlaa vastaava partto Johdamme seuraavaks termodynaamsta tasapanotlaa vastaavan partton. Käyttämällä Strlngn kaavaa ln x! xln x x saamme ( ) ( ) ( ) ( ). (4.4) ln P = n + g 1 ln n + g 1 n ln n g 1 ln g 1 Entropan logartmn vastaluvun dfferentaalks saadaan

30 30 IV Kvanttstatstkan perusteet d P = dn n + g n + g ( ln ) ln ( 1) ( 1) ( n + g 1 ) dn + dn ln n + n n ( ) = ln n + g 1 + ln n dn = 0. dn (4.5) Sde-ehtona ovat hukkasluvun N = n ja ssäenergan U = ne sälymnen. Dervomalla nämä summat saamme dn = dn = 0 ja du = dne = 0. Kerrotaan dfferentaalt Lagrangen parametrella α ja β d ln P 4.5 kanssa: ja lasketaan yhteen dfferentaaln ( ) d ( ln P) + αdn + βdu = ln ( n + g 1) + ln n + α + βe dn = 0. (4.6) Mehtyslukuja n vodaan nyt ptää rppumattomna muuttujna, joten yhtälö 4.6 toteutuu van, jos kakken mehtyslukujen dfferentaalen dn kertomet ovat nolla: el ( ) ln n + g 1 + lnn + α + βe = 0 (4.7) n n α β ln = α βe = e n + g 1 n + g 1 E. (4.8) Olettamalla, että mehtysluvut n ovat suura vomme approksmoda yhtälössä 4.8 n + g 1 n + g. Ratkasemalla n ja merktsemällä β = 1/ kbt vodaan 4.8 esttää muodossa g n = E / kbt e α + 1. (4.9) Lagrangen määräämättömät kertomet α ja β = 1/ kbt vodaan tämän jälkeen määrätä sde-ehdosta N = n ja U = ne.

31 4.3 Ferm-Drac jakauma 31 Esmerkk 3. Laske esmerkn 1. parttot, nhn kuuluven mkrotlojen lukumäärät ja energatasojen keskmääräset mehtysluvut olettaen, että hukkaset ovat nyt bosoneja. Oleta g = 1 kaklle energatasolle. j n j 1, , , , , , , Σ 6 Salltut makrotlat ovat samat kun MB-jakaumassa, (ks. Kuva 3-) yhteensä 11 kpl. Mkrotlojen lukumäärät lasketaan nyt kutenkn yhtälöstä 4.3. Koska g = 1, saamme P k = 1, ts. kakkn makrotlohn lttyy van yks mkrotla ja kakk makrotlat ovat nän ollen yhtä todennäkösä. Keskmääräset mehtysluvut saadaan laskemalla kunkn energatason mehtyslukujen summa ja jakamalla se makrotlojen lukumäärällä. Tulokset ovat ohesessa taulukossa. Huomataan, että BE-jakauma panottaa almpa energota. Lasketaan velä sama esmerkk tapaukselle g = 3 BE statstkassa. Makrotlat ovat samat kun yllä ja esmerkssä 1. Mkrotlojen lukumäärät on annettu alla olevassa taulukossa. Makrotla P k Huomaamme, että makrotla 6 vastaa nyt termodynaamsta tasapanoa. Sen normtettu todennäkösyys on 0,176. MBjakaumassa tämän makrotlan todennäkösyys ol 0,60. Energatasojen keskmääräset mehtysluvut on annettu ohesessa taulukossa. Vodaan osottaa, että kun g kasvaa, BE-jakauman makrotlojen normtetut todennäkösyydet ja mehtysluvut lähestyvät MB-jakauman vastaava arvoja 4.3 Ferm-Drac jakauma j n j 1,83 1,60 3 0, , ,05 6 0, ,041 Σ Mkrotlojen lukumäärän laskemnen Laskemme seuraavaks melvaltasen fermonpartton todennäkösyyden ja tlastollsta tasapanoa vastaavat mehtysluvut. Oletamme jälleen, että kukn energataso E jakautuu g omnastlaan, jolla kaklla on sama energa. Kunka monella tavalla eräälle tasolle E vodaan sjottaa n

32 3 IV Kvanttstatstkan perusteet hukkasta? Selvästkn pätee rajotus n g, sllä muuten samalle omnastlalle tulee hukkasta mkä on kellettyä. Tarkastelemme aluks samaa esmerkktapausta, kun Bose-Ensten jakauman kohdalla. Sjotamme 3 hukkasta ( n = 3 ) energatasolle, johon kuuluu 3 omnastlaa ( g = 3 ). Koska monhukkastla on täysn määrätty, kun tedetään, kunka monta hukkasta kullakn omnastlalla on, saadaan nyt seuraava taulukko: Taulukko 4. Hukkasten lukumäärä Omnastla tlalla Saamme ss van yhden mahdollsen monhukkastlan. Tästä vodaan päätellä, että mahdollsten monhukkastlojen määrä sjotettaessa n hukkasta g omnastlalle on g! P =. (4.10) n!( g n)! Huomaa, että 0! = 1. Taulukko 4. on kutenkn erkostapaus, joten yhtälön 4.10 ylespätevyyden osottamseks tarkastelemme velä tosesta ertystapausta. Olkoon nyt g = 4 ja n =. Saamme taulukon 4.3 esttämät tlat. Samme yhteensä 6 mkrotlaa. Sjottamalla annetut degeneraatot ja me- Taulukko 4. 3 Omnastla Hukkasten lukumäärä tlalla htysluvut yhtälöön 4.10 vomme todeta sen antavan yhteensä 6 mkrotlaa sopusonnussa taulukkomme kanssa. Ylesemmn vomme perustella yhtälön 4.10 seuraavast. Ensmmänen hukkanen vodaan sjottaa mlle tahansa altlosta. Saamme g er mahdollsuutta. Seuraava vodaan sjottaa jäljellä olevlle g 1 tyhjälle altlalle jne. Yhteensä saadaan ss

33 4.3 Ferm-Drac jakauma 33 P = g( g 1)( g ) ( g n + 1) = g! ( g n )! (4.11) er tapaa sjottaa n fermona g altlalle. Yllä tehty tarkastelu e ottanut huomoon stä, että fermonella e kvanttmekaansna hukkasna ole dentteettä. Anoastaan ne monhukkastlat, jossa omnastlojen mehtysluvut ovat erlaset, ovat adost tosstaan rppumattoma. Tämä otetaan huomoon jakamalla yhtälö (4.11) hukkasten mahdollsten permutaatoden lukumäärällä el tekjällä n!. Nän saamme yhtälön Kuten BE jakaumankn kohdalla partton kokonastodennäkösyys on kullekn energatasolle laskettujen er monhukkastlojen lukumäären tulo: g! P. (4.1) n!( g n )! P = = Tämäkään jakauma e ole normtettu. Sks parttoden todennäkösyyksen summa ole Tasapanotlaa vastaava partto Määrätään ne mehtysluvut n, jolla todennäkösyys 4.1 saa maksmarvon. Sovelletaan samoja menetelmä, kun MB-jakauman johtamsen yhteydessä. P maksm vastaa ln P :n maksmarvoa. Käyttämällä Strlngn kaavaa saadaan ( ) ( ). (4.13) ln P = g ln g n ln n g n ln g n Dfferentaalks (kerrottuna -1:llä) saadaan dn dn d P = dn n + n + g n dn g n n g n ( ln ) ln ( ) ln ( ) ( ) ( ) = ln n ln g n dn = 0 (4.14) Sde-ehtosta saadaan jälleen dn = dn = 0 ja du = dne = 0. Kerrotaan nämä Lagrangen parametrella α ja β ja lasketaan yhteen dfferentaaln ( ln P) d kanssa:

34 34 IV Kvanttstatstkan perusteet d ( ln P) + αdn + βdu = ln n ln ( g n) + α + βe dn = 0 (4.15) Mehtyslukuja n vodaan nyt ptää rppumattomna muuttujna, joten yhtälö 4.15 toteutuu van jos kaklle energatasolle pätee el ( ) lnn ln g n + α + βe = 0 (4.16) n α βe g = e n = g E n + α+ β e + 1. (4.17) Merktsemällä β = 1/kT ja μ = αkt vodaan (4.11) esttää muodossa g n =. (4.18) ( E μ )/ kbt e + 1 Yhtälössä 4.18 μ on kemallnen potentaal el systeemn energan lsäys kun shen tuodaan yks elektron lsää systeemn termodynaamsen tlan sälyessä muuten muuttumattomana. Lämpötla ja kemallsen potentaaln arvo vodaan määrätä hukkasmäärän ssäenergan arvosta sde-ehtojen kautta. Ylesest tämä on mahdollsta van numeersest. Vastaavast, jos lämpötla tunnetaan, vodaan kemallsen potentaaln arvo laskea hukkasmäärän ja lämpötlan avulla. Kemallsen potentaaln raja-arvoa matalssa lämpötlossa kutsutaan fermenergaks ja stä merktään usen suureella E F. Usessa oppkrjossa myös kemallsta potentaala merktään suureella E F, mkä on edellä kerrotun perusteella harhaanjohtavaa.

35 4.4 Parttofunkto, ssäenerga ja entropa kvanttstatstkassa Parttofunkto, ssäenerga ja entropa kvanttstatstkassa Kvanttstatstkassa parttofunkto määrtellään yhtälöllä ( E / kt) Z =± g ln 1± e α B, (4.19) mssä plusmerkk pätee fermonelle ja mnusmerkk bosonelle. Johdamme seuraavassa hukkasten kokonasmäärän, ssäenergan ja entropan lausekkeet bosonelle. Fermonelle johtamnen suortetaan ykstyskohta lukuun ottamatta samaan tapaan Hukkasten lukumäärä systeemssä Hukkasluku saadaan parttofunktosta dervomalla parametrn α suhteen Z N = α. (4.0) T Yhtälö 4.0 vodaan johtaa Bose-Ensten jakaumasta seuraavast. Mehtysluvut ovat g n = E / kbt e α + 1, joten g N = n = E / kbt e α + 1. Tosaalta yhtälön 4.0 mukaan α E / kbt ( e ) Z ln 1 g = α T α T g α E / kbt g = e = N. α E / / 1 kbt = α+ E kbt e e 1

36 36 IV Kvanttstatstkan perusteet 4.4. Ssäenerga Bosonsysteemn ssäenerga saadaan yhtälöstä U Z = kbt T α. (4.1) Tulos johdetaan seuraavast. Ssäenergalle saadaan määrtelmän perusteella g U = ne = E E / kbt e α + 1. Tosaalta yhtälöstä 4.1 saadaan α E / kbt ( e ) g ln 1 Z U = kbt = kbt T α T α Entropa g E / k T E α g = kbt e = E = U. B α E / / ( 1 kbt E kbt ) kbt α+ e ( e 1) Kvanttsysteemn entropa saadaan yhtälöstä Z U S = kbt + αkbn + kbz = + αkbn + kbz T α T Todstamme tämän lähten entropan määrtelmästä. (4.) S = k ln P, mssä ( g + n 1! ) P. ( g 1! ) n! P = = Käyttämällä Strlngn kaavaa saadaan ( ) ( ) ( ) ( ). kb ln P = kb n + g 1 ln n + g 1 n ln n g 1 ln g 1 Ryhmttämällä termejä saadaan edelleen

37 4.4 Parttofunkto, ssäenerga ja entropa kvanttstatstkassa 37 n + g 1 n + g 1 kb ln P = kb n ln + g 1 ln n g 1 ( ) ( ). Oletamme, että n, g >> 1, jollon vomme jättää yhtälössä esntyvät ykköset huomotta ja saamme n + g g kb ln P = kb n ln g ln n n + g ( ) ( ). Sjotamme lopuks Bose-Ensten mehtysluvut (4.9), jollon seventämällä α + E / ln ( ) ln kbt n g kb P = kb n ( e ) ( g) ln n + g n 1 = ne + kbα n kb g ln 1 e T U = + k Bα N + k B Z. T Klassnen raja α E / kbt ( ) Tarkastelemalla MB-, FD- ja BE-mehtyslukujen lausekketa huomataan, että jälkmmäset lähestyvät MB-statstkan mehtyslukuja, kun tekjä e α E / kasvaa. Samalla MB-mehtysluvut kbt n = ge α penenevät, ja vomme olettaa, että n << 1. Kullakn energatasolla on tällön suurella todennäkösyydellä enntään yks hukkanen, ja kvanttefektt, jotka lttyvät denttsten hukkasten sjottumseen saman energatason er omnastlolle ovat merktyksettömä. Osotamme seuraavassa, että tällön yhtälön 4. mukanen entropa lähestyy vastaavaa MB-entropaa yht. (3.44). Jos e α E / on hyvn pen, on lmesest myös kbt e α pen ja parttofunkto 4.19 vodaan kehttää sarjaks käyttämällä kehtelmää ln 1 x x (1/ ) x... Ottamalla huomoon van ensmmänen term saadaan ( ). (4.3) α E / kbt α E / kbt Z = ge = e ge

38 38 IV Kvanttstatstkan perusteet α E / Merktään Z = e ZMB, mssä kbt ZMB = ge on MB-jakauman parttofunkto. Sjottamalla tämä parttofunkto yhtälöön 4. saadaan U α S = + αkn + kbe ZMB. (4.4) T α Tosaalta MB jakaumalle e = N / ZMB (Luku III) ja vastaavast α Z α kbn = kbnln e = kbnln MB. N Sjottamalla nämä tulokset yhtälöön 4.4 saamme MB entropan (3.44). Vastaavast vodaan todstaa muden kvanttstatstkan tlanfunktoden saavan rajalla e α MB-statstkan mukaset raja-arvot. 4.5 Maxwell-Boltzmann jakauma Olemme johtaneet MB jakauman jo akasemmn, mutta johdamme sen velä kerran tavalla, joka havannollstaa eroa kvanttstatstkan ja klasssen statstkan välllä. Tarkastellaan jälleen aluks energatasoa E, jonka mehtysluku olkoon n = ja degeneraato g = 3. Koska hukkaslla on nyt dentteett merktsemme ntä krjamlla a ja b. Taulukko 4. 4 Omnastla Hukkasten jakautumnen omnastlolle 1 a,b a A b b b 0 a 0 a,b a b B 0 a 0 b a a,b n Saamme yhteensä 9 = g monhukkastlaa. Edellsä kvanttstatstkan tarkasteluja mukallen vos luulla, että partton todennäkösyys ols n P = g. (4.5) Nän e kutenkaan ole. Hukkaset a ja b vodaan sjottaa myös mulle energatasolle kun tasolle E lman, että n muuttuu, jos vastaavast multa energatasolta tuodaan kaks hukkasta (esmerkks c ja d) tasolle E. Nän päädytään uuteen monhukkastlaan, joka kutenkn lttyy sa-

39 4.5 Maxwell-Boltzmann jakauma 39 maan parttoon. Todellsuudessa tettyyn parttoon kuuluven monhukkastlojen määrä on paljon suuremp kun 4.5, sllä jos hukkasten kokonasmäärästä valtaan mtkä tahansa kaks hukkasta tasolle E, saadaan kutakn erlasta kahden hukkasen valntaa kohden 9 monhukkastlaa tasolle E. Nän ollen saamme yhtälön 4.5 lmottaman määrän monhuk- kastloja jokaselle erlaselle tavalle jakaa N dentfotavssa olevaa hukkasta tasolle E 1, E, E 3,.. mehtyslukujen ollessa knteät n 1, n, n 3,... N! Ensmmäselle energatasolle vodaan n 1 molekyylä valta tavalla seuraavalle n molekyylä tavalla jne. Tämä on sama n1!( N n1 )! ( N n1 )! n!( N n1 n)! kun se mahdollsten sjotustapojen määrä, jonka johdmme MBjakaumalle luvussa III. Erlasten sjotustapojen lukumäärä (er energatasojen kesken) on 1 N! n!. Kakken tettyyn parttoon lttyven monhukkastlojen kokonasmäärä on ss n g N!, (4.6) n! el sama kun jo aemmn luvussa III johtamamme tulos. Mks fermonen ja bosonen kohdalla e tarvnnut ottaa huomoon hukkasten vahtamsta er energatasohn kuuluven omnastlojen kesken? Sks, että se e tuo fyskaalsest erotettavssa oleva uusa monhukkastloja. Kvanttstatstkassa omnastlolla oleven hukkasten lukumäärä määrää ykskästtesest omnastlan. Esmerkk 4. Osota, että BE-jakaumafunkto P = P = n g lähestyy "normtettua" MB-funktota kun g >> n. n! Tarkastellaan energatasoon ( g + n ) ( g 1! ) n! E lttyvä tekjötä. BE-jakaumalle saadaan 1!

40 40 V Kvanttstatstkan sovellutuksa ( ) ( ) ( )( ) ( ) g + n 1! g g + 1 g +... g + n 1 P = = g 1! n! n!. Jaettavassa on ss n termä. Jos, n << g emme tee suurta vrhettä, jos jokanen tekjä korvataan suureella g, jollon P n g ja tulo P = P antaa normtetun MB-jakauman, vrt. yht. n! 3.3. Saatu raja-arvo eroaa tekjän N! taka MB-jakauman mkrotlojen lukumäärän lausekkeesta 3.1. Mks emme saa BE-jakauman mkrotlojen lukumäärästä raja-arvona MB-jakauman mkrotlojen lukumäärää? MBjakaumassa hukkaset erotetaan ykslönä tosstaan, joten kussakn jonossa hukkaset vodaan permutoda keskenään. Tästä saadaan tekjä N!. Tämä tekjä e lmesty raja-arvoon lman, että hukkasten dentfotavuus tuodaan ulkopuolelta annettuna uutena omnasuutena mukaan tarkasteluun. Huomattakoon, että tämä normtustekjä e vakuta parttoden suhteellsn todennäkösyyksn, joten termodynaamnen tasapanotla vastaa samaa parttota el mehtyslukuja n. Se, että er jakaumat antavat saman raja-arvon kun g >> n, nähdään myös krjottamalla mehtysluvut seuraavaan muotoon: g g E / 1 kbt n = α + e α E / kbt e 1 n + = g g E / 1 kbt n = α + e α E / kbt e + 1 n = (Bose - Ensten) (4.7) (Ferm - Drac) (4.8) α E / kbt g α+ E/ kbt n ge e n = = (Maxwell - Boltzmann). (4.9) Kun yhtälössä 4.7 ja 4.8 jätetään tekjät +1 ja -1 pennä pos ja ratkastaan yhtälöt n :n suhteen saadaan raja-arvona MB-jakauma.

41 5.1 Hukkastlojen theys potentaallaatkossa 41 V Kvanttstatstkan sovellutuksa Tässä luvussa kästtelemme erätä kvanttstatstkan tärkempä sovellutuksa. Hukkasten ssästen energatlojen mehttymnen noudattaa ana MB-statstkkaa, sllä denttsten hukkasten aaltofunkton vahtosymmetralla e ole vakutusta yksttäsen hukkasen ssäseen energatlaan. Alotamme tarkastelemalla energatlatheyden johtamsta sellaselle kvanttmekaanselle systeemlle, jonka salltut energatlat muodostavat jatkumon. Kvanttmekankassa energatlojen theys e ssällä tuntematonta vakotekjää, kuten klasssessa mekankassa, vaan tlatheys on numeroarvoa myöten ykskästtenen. 5.1 Hukkastlojen theys potentaallaatkossa Tarkastellaan massallsten hukkasten omnastloja kuuton muotosessa äärettömän korkeassa potentaallaatkossa. Laatkon tlavuus V = a, mssä a on särmän ptuus. Laatkon ulkopuolella potentaal on ääretön, joten hukkanen on rajotettu lkkumaan laatkon ssällä. Hukkanen vo olla esmerkks metalln johtovyön elektron. Elektron vo lkkua lkman vapaast metallkappaleen ssällä, mutta kappaleen reunalla elektronn ptää metalln ssällä rajapntapotentaal, jota vodaan approksmoda potentaallaatkolla. Seuraava esmerkn kvanttfyskkaan perustuva tarkastelu kuuluu Fyskka IV alueeseen, mutta sen perusdean tlatheyden kannalta vo ymmärtää kohtuullsest, kun ajattelee hukkastlohn lttyvän sesova aaltoja samaan tapaan kun sähkömagnetsmssa. 3 Esmerkk 5. Elektronen tlatheyden johtamnen. Elektront ovat alkeshukkasa, joten nden energatlat määräytyvät kvanttmekankan perusyhtälöstä. Kvanttmekankkaa kästellään erllsessä opntojaksossa. Seuraavassa estämme lyhyen yhteenvedon elektronn tlojen kvantttumsesta. Mkroskooppsten hukkasten lkettä kuvaa kvanttmekankassa aaltoyhtälö

42 4 V Kvanttstatstkan sovellutuksa + + ( xyz) E ( xyz) m Ψ = Ψ. (5.1) x y z Yhtälöä 5.1 kutsutaan Schrödngern yhtälöks ja sen fyskaalsta ssältöä tullaan opskelemaan kvanttfyskan luennolla. Tässä teemme van lyhyen yhteenvedon tärkemmstä tulokssta tlastollsen fyskan kannalta. Omnasarvoyhtälö 5.1 vodaan ratkasta muuttujen separontmenetelmällä: Funkto Ψ= X ( xy ) ( yz ) ( z) on yhtälön 5.1 ratkasu, jos seuraavat omnasarvoyhtälöt ovat vomassa X ( x) = E ( ), ( ) ( ) xx x Y y = E yy y m x m y Z( z) = E ( ). zz z m z (5.) Yhtälössä 5. omnasarvojen summa on hukkasen kokonasener- E = E + E + E. Kukn yhtälöstä 5. on tse asassa denttnen yksd- ga x y z mensoden potentaallaatkon yhtälön kanssa (leveys a). Kvanttfyskassa osotetaan, että hukkasen omnasfunktoks ja omnasarvoks saadaan n1πx nπ y n3πz Ψ ( xyz,, ) = Csn sn sn a a a. (5.3) π E = ( n1 + n + n3) ma ( 1 3) Kvanttstatstkassa tarvtsemme van yhtälössä 5.3 annettuja omnasenergota. Nämä omnasenergat ovat mkroskooppsen hukkasen salltut energatasot. Tarkastellaan nyt omnastlojen lukumäärää suureen k = n + n + n funktona. Postvsten koordnaattakseleden määräämässä osassa avaruutta ltämme kuhunkn kolmen postvsen kokonasluvun yhdstelmään särmältään ykkösen suurusen kuuton. Nän jokasta energatlaa vastaa tlavuudeltaan ykkösen suurunen osa tästä koko avaruuden 1/8 osan kästtävästä alueesta. Kun k kasvaa, tulee verekkästen energatlojen välnen suhteellnen ero Δ E/ E yhä penemmäks, ja tlojen vodaan katsoa muodostavan jatkumon. Tarkastellaan nyt tlojen lukumäärää sellasella pallokuorella, jonka paksuus tässä ndeksavaruudessa on Δ k. Vastaava energaero kuoren ssä- ja ulkoreunan välllä on 1/ π ma 1/ Δ E = kδ k = E Δk. (5.4) ma π

43 5. Elektrontlojen mehttymnen johtovyössä 43 Tlojen lukumäärä tässä dfferentaalsessa alueessa on kuoren tlavuus Δ N = (1/ 8)4π k Δ k el kahdeksas osa koko pallokuoren tlavuudesta. Tlojen lukumääräks energaykskköä kohden el tlatheydeks saadaan ( ) 1/ 3/ 1/ 3/ ΔN 4πk Δk π π ma g( E) = = = ΔE 1/ 4 16E Δk ma π π m = 3 h V E 1/. E 1/ (5.5a) Yhtälössä 5.5a kuuton tlavuus on muodossa 3 V = a. Tlatheys estetään usen myös g( E) = 3/ m V 1/ E 1/ 3 π, (5.5b) mssä on käytetty Planckn vakon tosta estysmuotoa = h /π (luetaan usen h-bar). Huomataan, että tlojen lukumäärä energaykskköä kohden on suoraan verrannollnen tlavuuteen ja energan nelöjuureen samon kun aemmn klasssen mekankan avulla johtamamme kaasumolekyylen tlatheys. Edellä johdetut yhden elektronn omnastlojen degeneraato g =, sllä elektronlla on ssänen kulmalkemäärä, jolla on kaks mahdollsta suuntaa. Sks laskettaessa elektrontlojen tlatheyttä on tlatheys (5.5b) kerrottava tekjällä. 5. Elektrontlojen mehttymnen johtovyössä Metalln johtavuusvyön elektroneja vodaan kuvata lkmääräsest elektronkaasuna, jossa tlojen mehttymstä kuvaa jatkuva Ferm-Drac-jakauma: ( ) dn g E = de ( E μ )/ kbt e +. (5.6) 1 Yhtälössä 5.6 dn on elektronen lukumäärä välllä [ E, E de] +. Yhtälön 5.6 Tlatheys g( E ) on yhtälön 5.5 theys kerrottuna tekjällä, sllä kuhunkn energan arvoon lttyy kaks elektronn spnn mahdollsta arvoa. Kemal-

44 44 V Kvanttstatstkan sovellutuksa Kuva 5-1 Elektrontlojen mehttymnen metalln johtovyössä lämpötlassa T = 0 K ja äärellsessä lämpötlassa T > 0 K. lnen potentaal määrätään seuraavast. Oletetaan, että systeemssä on N elektrona, V ja T ovat vakota. Tällön elektronen kokonasmäärä on 1/ 3/ 1/ dn N = de = Vm E de de 3 π ( E μ )/ kbt e (5.7) Yhtälöstä 5.7 kemallnen potentaal μ vodaan määrätä (ylesessä tapauksessa) van numeersest. Kemallsen potentaaln arvoa absoluuttsessa nollapsteessä kutsutaan fermenergaks ja merktään E (krjallsuudessa usen ε F ). Tällön kakk tlat fermenergan alapuolella on mehtetty ja kakk tlat sen yläpuolella ovat tyhjä (ks. kuva 5-1). F Fermenergan arvo vodaan laskea yhtälöstä 5.7 seuraavast. Merktään μ = E F ja ( E EF)/ kbt FE ( ) = 1/ e + 1. Kun T 0, jakajassa esntyvän eksponenttfunkton arvo muuttuu nollasta postvseen äärettömyyteen energan E F kohdalla. Sks lähestyttäessä absoluuttsta nollapstettä FE ( ) = 1, kun E EF ja FE ( ) = 0, kun E > EF. Yhtälö 5.7 vodaan ss krjottaa 1/ 3/ E 1/ 3/ Vm F 1/ Vm 3/ ( ) ( ) 3 3 F 3 0 π 0 π N = g E f E de = E de = E, (5.8) josta saadaan ratkasemalla fermenergaks

45 5. Elektrontlojen mehttymnen johtovyössä 45 E /3 / 3 (3 π ) N F = m V. (5.9) Määrttelemällä fermlämpötla yhtälöllä Θ = E / k vodaan osottaa, että alueella T << Θ kemallnen potentaal on lkmäärn F F F π T μ( T) EF 1 1 ΘF (5.10) Käytännössä kemallnen potentaal on hyvn lähellä fermenergaa myös 4 huonelämpötlassa sllä tyypllsest ΘF 10 K. Taulukko 5.1 Muutamen metallen fermenergota ja fermlämpötloja Metall E F, ev Θ F, K L Na K.14.4 Cu Ag Au Esmerkk 6. Laske N hukkasen fermonsysteemn kokonasenerga hyvn alhasessa lämpötlassa. Ssäenerga on määrtelmän mukaan U = ne = g( E) f( E) EdE 0, (5.11) 1 mssä FE ( ) =, sllä matalssa lämpötlossa μ E ( E EF)/ kbt F. Rajalla e + 1 T 0 fermfunkto muuttuu askelfunktoks: FE ( ) = 1, kun E EF ja FE ( ) = 0 kun E > EF. Yhtälö 5.11 vodaan ss krjottaa E F U = geede ( ). (5.1) 0

46 46 V Kvanttstatstkan sovellutuksa Sjottamalla tlatheys saadaan 3/ E 1/ 3/ Vm F 3/ Vm 5/ U = 1/ 3 E de == E 3 F π 5 0 π. (5.13) Yhdstämällä lopuks 5.9 ja 5.13 saadaan 3 U = NE F. (5.14) 5 Matalssa lämpötlossa johtavuuselektronn keskmääränen energa on ss Eave = U / N = (3/5) EF. 5.3 Johtavuuselektronen lämpökapasteett Koska usemmlle metallelle ΘF >> ΘD, van hyvn harvat johtavuuselektront osallstuvat lämpöenergan jakamseen Debye-lämpötlan lähesyydessä. Ekvparttoperaate on vomassa elektronehn nähden van hyvn korkessa lämpötlossa el kun T >> Θ. Johtavuuselektronen osuus omnaslämmöstä on hyvn pen huonelämpötlassa. Nllä vo kutenkn olla merktystä hyvn matalssa lämpötlossa, kun hlavärähtelystä johtuva lämpökapasteett 5.6 lähestyy nollaa. F

47 5.4 Mustan kappaleen sätely Mustan kappaleen sätely Mustan kappaleen sätelyllä tarkotetaan aneen emttomaa lämpölkkeestä aheutuvaa sähkömagneettsta sätelyä. Sätelyn vodaan ajatella syntyvän varattujen hukkasten värähdyslkkeestä. Värähtelyyn lttyy khtyvyyttä, jonka seurauksena hukkanen emtto sähkömagneettsta sätelyä el fotoneta. Fotont ovat sähkömagneettsen kentän kvantteja. Fotonn energa on E = hf, mssä f on fotonn taajuus ja h Planckn vako. Fotonn lkemäärä on p = E / c, mssä c on valon nopeus. Usen esntyvä suure on myös fotonn kulmataajuus ω = π f = πc / λ, mssä λ valon aallonptuus. Emttotujen fotonen taajuusspektr on jatkuva ja nden vaheet ovat satunnaset, joten lämpösätely on epäkoherentta. Fotoneja kästellään perusteellsemmn kvanttfyskan opntojaksossa. Tarkastelemme seuraavassa knteään aneeseen tehtyyn kavteettn (onteloon, ks. Kuva 5.) muodostuven fotoneden theyttä ja taajuusjakaumaa. Vodaan osottaa, että onteloon muodostuvat fotont muodostavat fotonkaasun, joka hakeutuu termseen tasapanoon ontelon reunamateraaln kanssa. Kokeellsest on havattu, että saman energan omaaven fotonen määrää vodaan kasvattaa rajatta. Fotont ovat ss bosoneja. Koska fotont vovat absorbotua kavteetn senn, ja senämateraal vo emttoda uusa fotoneja, fotonen lukumäärä ontelossa e ole vako. Koska hukkasten lukumäärää koskevaa sde-ehtoa e ole, vodaan valta α = Fotonen energatheys Nden fotonen lukumäärä, joden energa on välllä [ E, E de] +, on tlavuusykskköä kohden dn = e ge ( ) de 1 E/ kbt, (5.15) mssä fotonen tlatheysfunkto on 8πV g( E) = E. (5.16) 3 3 hc Fotonen tlatheys on johdettu alla olevassa esmerkssä.

48 48 V Kvanttstatstkan sovellutuksa Esmerkk 7. Tlatheys on sesoven aaltojen lukumäärä energan ykskköä kohden tetyssä tlavuudessa V. Ontelo, johon sesovat aallot muodostuvat vodaan ajatella kuuton muotoseks ja sesoven aaltojen ampltud nollaks kuuton reunolla. Tällön sesovan aallon reunaehto on sama fotonelle ja samansuurusessa potentaallaatkossa olevlle elektronelle. Tästä johtuen elektronen ja fotonen tlatheys aallonptuuden ykskköä g λ = g λ. kohden on sama ts. ( ) ( ) ph el Lasketaan aluks g ( λ) g( E) ( dλ/ de) =. Elektronelle pätee p = h / λ, joten = /( ) ja ( λ ) el E h mλ el el el 3 d / de mλ / h =. Sjottamalla ( ) el g E yhtälöstä 5.5 (huomaa, että tässä tlatheydessä e ole mukana spntloja) ja sjottamalla yhtälössä 5.5 energan pakalle E = h/( λ m) g ( λ) el ( ) 5/ 3/ π m V h h 4πV = 3 3 = 4 h mλ λ m λ = g ( λ ) ph. Huomaa, että tlatheys aallonptuuden ykskköä kohden on negatvnen. Tämä johtuu stä, että tlojen lukumäärä penene, kun aallonptuus kasvaa! Tlatheydessä e esnny Planckn vakota, koska se pätee sekä klassslle, että kvanttmekaanslle sesovlle aallolle. Fotonen tlatheys saadaan 5.16 srtymällä fotontlojen lukumäärästä aallonptuuden ykskköä kohden tlojen lukumäärään energan ykskköä kohden. ( ) ( λ) ( λ/ ) g E = g d de. ph ph ph Fotonelle pätee E hf hc / λ = =, joten ( ) dλ/ de = λ /( hc). Sjottamalla saadut tulokset tlatheyteen g( E ) ph ja vahtamalla muuttujaks fotonn energa aallonptuuden sjaan sekä kertomalla lopuks valon polarsaatotekjällä, (kuhunkn sesovaan aaltoon lttyy fotonn polarsaatotlaa) saamme yhtälön 5.16 tlatheyden. ph fotonelle ( de/ df ) Edellsen tarkastelun mukasest vodaan fotonen tlatheys taajuuden ykskköä kohden esttää muodossa g ( f ) = g ( E) ( de/ df ph ) = hg( E), sllä = h. Sjottamalla saadaan tlatheydeks taajuudenykskköä kohden

49 5.4 Mustan kappaleen sätely 49 g ( f ) ph 8π Vf =. 3 c Sjottamalla tähän tlatheys 5.16 ja korvaamalla E hf, vodaan fotonen energatheys taajuus- ja tlavuusykskköä kohden esttää muodossa f E( ) hf dn 8π hf 1 = = V df c e 3 3 hf / kbt Yhtälö 5.17 tunnetaan Planckn sätelylan nmellä. 1. (5.17)

50 50 V Kvanttstatstkan sovellutuksa 5.4. Wenn srtymälak Ohenen kuva esttää energatheyttä 5.17 kolmella er lämpötlan arvolla. Jakauman maksm srtyy korkeampn taajuuksn lämpötlan kasvaessa. Vastaako tämä oma havantojas lämpösätelystä? Koejärjestelyssä onteloon tehty rekä oletetaan nn peneks, ette stä purkautuva fotonvuo muuta ontelon sätelytasapanoa. Lämpösätelyä kutsutaan mustan kappaleen sätelyks sätelyjakauman johtamsessa käytettyjen termodynaamsten tasapanoehtojen taka. (Krchoff n sätelylat) Edellä kuvatun materaalsta rppumatottoman sätelytasapanon muodostumnen edellyttää, että kakk kavteettn ulkopuolelta osuva sätely absorbotuu kavteetn senn. Energatheyden E( f ) maksma vastaava taajuus saadaan dervomalla 5.17 taajuuden suhteen ja määrttämällä kysesen dervaatan nollakohta de( f ) = 0. (5.18) df Yhtälö 5.18 vodaan ratkasta van numeersest, jollon maksmkohtaa vastaavaks taajuudeks saadaan Kuva 5- Mustan kappaleen sätelyn muodostumnen ja energajakauma. k 1 max BT f = s h. (5.19) Yhtälö 5.19 tunnetaan Wenn srtymälan nmellä (kuva 5.) Stefan-Boltzmannn lak Energan kokonastheys (ntegrotuna yl fotonen taajuuden) saadaan yhtälöstä 5.17 ntegromalla