Moraalinen uhkapeli: N:n agentin tapaus eli moraalinen uhkapeli tiimeissä

Transkriptio

1 Moraalnen uhkapel: N:n agentn tapaus el moraalnen uhkapel tmessä Mat Optmontopn semnaar Ismo Räsänen S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

2 Päämes vs. tm Ongelma Vapaamatkustus Klpalutus Ratkasuja kannustmet valvonta suortusten arvont Kottehtävä Aheet S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

3 Ryhmäkannustmet: determnstnen yhtestuotto Agentteja n kpl Havatsematon tomnta (tuotantopanos) Ykstynen (e-rahallnen) kustannus v adost konveks, dfferentotuva ja kasvava s.e. ( 0) = 0 v Yhtenen rahallnen tuotos a A = [ 0, ) : A R x adost kasvava, konkaav, ja dfferentotuva s.e. x( 0) = 0 v x : A R S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

4 Ryhmäkannustmet: determnstnen yhtestuotto Jakosääntö agentn osuus tuotoksesta x Agentn s (x) preferenssfunkto u ( m, a ) = m v ( a ) alkupääomat (ntal endowment of money) äärellsä ja normalsotu nollaan S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

5 Ryhmäkannustmet: determnstnen yhtestuotto Vodaanko x jakaa kokonaan s.e. agentten eyhtestyöpeln (EY-pel) tuloksena agentella on Pareto-optmaalnen Nashn tasapano? El löytyykö s ( x) 0, s.e. n (1) budjett tasapanossa s x x x = ( ) =, 1, (2) EY-peln tuotot ovat s x( a)) v ( a ), (3) Pareto-optmaalnen Nashn tasapano a* = arg max a A [ ] n x( a) v ( a ) = 1 ( = 1, K, n S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

6 Ryhmäkannustmet: determnstnen yhtestuotto Teoreema 1: E ole olemassa sellasa jakosääntöjä { s (x)}, jolla (1) toteutuu ja samaan akaan a* tuottas Nashn tasapanossa EY-peln tuotoks (2). Johtopäätös: Tehokkuutta e voda saavuttaa jakamalla kakk yhtenen tuotto x s.e. oletetaan (1). S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

7 Teoreema 1:n seurauksa Vapaamatkustus Syy: Hujaava agentteja e voda tunnstaa, jos yhtestuotos x on anoa havattava merkk agentten panokssta Ratkasu: Kannustmn motvotu (okeus nettoansohn) päämes valvomaan osakkuudesta kaptalsmn Teoreema 2:n mukaset kannustmet S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

8 Vapaamatkustuksen ratkaseva jakosääntö Teoreema 2: On olemassa joukko käypä jakosääntöjä s ( x) 0,, kun relaksodaan (1) n el asetetaan s x x ja saadaan tomnnat =1 ( ) a* Nashn tasapanoon. Todstus: Otetaan s ( x) b, = 0, x( a*) x( a*). (8) Valtaan b s.e. b = x( a ) b > ja v ( a ) > 0. Tällön x( a ) v ( a ) > 0. Tällön a* on paretooptmaalnen ja Nashn tasapanossa.q.e.d. S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu x x < Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

9 Teoreema 2:n tomnta vapaamatkustuksen ktkemsessä Relaksomalla budjetttasapanorajotusta (1) saadaan ottaa käyttöön (determnstsen yhtestuotoksen tapauksessa) agentten käytöstä valvovat sakot (ta bonukset ta uhat). Mutta ryhmäsakot tomvat van, jos ntä toteuttaa päämes. Tm e saa ntä tse toteuttaa (sllon sakot jäsvät toteuttamatta). Päämehen (havatsematon) tuotantopanostus on kelletty. S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

10 Teoreema 2:n tomnta vapaamatkustuksen ktkemsessä Sakon käytön lsäks on mahdollsta käyttää myös stouttamsta el tmn jäsenet maksavat ennakkoon x(a*) ja saavat osuuden s ( a*) = x Stouttamsessa agentten tulojen rajaukset (endowment constrants) vovat olla ongelma Johtopäätös: Päämehen päärool on meluummn asettaa tmlle valvovat kannusteet (rkkomalla samalla budjetttasapanon) kun valvoa tmä. S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

11 Oletukset: Ryhmäkannustmet: satunnanen yhtestuotto agentt rskneutraaleja panostusten kustannus kuten aemmn yhtenen tuotos x( a, θ ) satunnanen olosuhteen kautta (esm. kone, jota van valvotaan) agentella samanlaset uskomukset kosken epävarmaa θ :aa θ S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

12 Ryhmäkannustmet: satunnanen yhtestuotto Tarkastellaan yhtestuotoksen x jakaumaa pelkästään a:n funktona x:n ehdollnen jakauma F(x,a) ja theysfunkto f(x,a) annetulla a Oletetaan, että F ( x, a) = F( x, a) / a ja f ( x, a) = f ( x, a) / ovat olemassa & ( x, a) a S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

13 Ryhmäkannustmet: satunnanen yhtestuotto Oletus 1: F(x,a) on a:n konveks funkto Globaal optm Oletus 2: F ( x, a) / F( x, a) (ta x:n alarajaa) Oletus 3: x + S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu F ( x, a) / 1 F( x, a) (ta x:n ylärajaa), kun ( ), kun Oletus 2 ja 3 tulktaan s.e. hyvn penllä ja suurlla x:n arvolla vodaan tarkast havata onko tomnta ollut haluttua. Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät 2008 x 13

14 Ryhmäkannustmet: satunnanen yhtestuotto Oletus: sellaset jakosäännöt, jolla s x x ( Teoreema 3: Kun oletukset 1 ja 2 pätevät, teoreeman 2 optmaalnen ratkasu jakosäännöks vodaan approksmoda melvaltasen tarkast käyttämällä ryhmäkannustma. On ss olemassa tehokkata sakkoja, jolla saadaan paras tuotos vakka tuotoksen suhteen ols epävarmuutta. S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu n =1 ) Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

15 Teoreema 3:n todstus: x, x ~ x x < ~ x Jakosääntönä, s ( x) = s s x k mssä k > 0 ja s = 1. (9) toteuttaa budjettrelaksaaton, ja se kuvaa joka agentn sakon k, jos krttstä yhtestuotostasoa ~ x Jotta a* on Nashn tasapano (9):llä on välttämätön ja rttävä ehto (oletuksella 1) ( ~ s E ( a ) k F x, a ) v ( a ) = 0, = 1, K, n mssä E(a)=Ex(a) odotettu yhtestuotos ja E ( a) = Ex( a) / a., (10) (9) S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

16 Teoreema 3:n todstus: Knntetään ja valtaan k s.e. (10) toteutuu. Odotettu jäännös on W = k F( ~ x, ). x~ Näytetään, että W vodaan saada melvaltasen peneks: (10):stä saadaan a ( ~ k = A / F x, a ), mssä A = se ( a ) v ( a ) (11) Annetaan ~ x : n penentyä ja säädetään k tä : s.e. (11) toteutuu. Sllon jäännökseks saadaan ( ~ ( ~ W = A F x, a ) / F x, a ), joka menee nollaan oletuksen 2 nojalla. Q.E.T. S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

17 Teoreema 3:n seurauksa Jos x:n jakauma tukka el x~, jolle F on suur, kun F / F on pen (esm. suurvaranssnen log-normaaljakauma), sllon saadaan ana hyvä approksmaato parhaalle ratkasulle Mutta jos x jakautunut laajemmn s.e. F on pen x ~, sllon tehokkuuden lasku on merkttävä varallsuusrajotuksen (wealth constrants) vakutuksesta S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

18 Teoreema 3:n seurauksa Satunnasella yhtestuotoksella tulorajotukset (endowment constrants) rajottavat tmn kokoa, jota vodaan tehokkaast valvoa sakolla, sllä S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu kun n kasvaa F 0, ja kun E (a) on rajotettu, päädytään shen, että a 0, koska (10) vomassa ja s 0 ( koska s = 1). Joskus tähän ongelmaan vodaan löytää ratkasu maksamalla bonuksa kuten seuraava teoreema ehdottaa Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

19 Ryhmäkannustmet: satunnanen yhtestuotto Teoreema 4: Oletusten 1 ja 3 pätessä, paras tuotos vodaan pakottaa päämehelle mtättömn kustannuksn rajattomalla varallsuudella (unbounded wealth), vakka agentten tulot (endowments) olsvatkn rajotettuja. S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

20 Ryhmäkannustmet: satunnanen yhtestuotto Todstus teoreemalle 4 on dealtaan samankaltanen kun teoreema 3:lla Idea:Päämes jakaa rahat bonuksna s.e. s = : s ( x) b, = s x( a*), x x > ~ x ~ x b 1 Bonuksa ja x~ :ää säädetään s.e. a* sälyy Nashn tasapanossa, kun päämehen odotetut kustannukset ( )( 1 ( ~ x, a*) ) menevät nollaan (oletus 3) b F S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

21 Ryhmäkannustmet yhteenveto E yhtestyötä agentten välllä Jos tuotos determnstnen, relaksomalla budjetttasapanon ja käyttämällä (jaettavan) tuotoksen haaskaava sakkoja ta tuotoksen ylttävä bonuksa, postetaan vapaamatkustus Jos tuotos e ole determnstnen, kannusteet tmlle tomvat kohtuullsen hyvn jossakn tlantessa. Jos agentten määrä kasvaa ja jos he ovat rskä karttava ta jos agentten tulot (endowments) rajataan, tehokkuus hekkenee. Tällön valvonta avuks, koska optmaalnen ratkasu e ole tarjolla. S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

22 Rttävä tunnusluku Ylestä mallsta: rskneutraal päämes, rskä karttavat agentt päämehen rskneutraalsuudesta seuraa rsknjaon hyödyttömyys agentn hyötyfunkto separotuva rahahyödyks ja tomnnan kustannukseks tuotos anoastaan sgnaal agentten tomsta Olkoon y havattu sgnaal tomsta a. y vo ssältää x:n mutte ole pakko. y:n theysfunkto on g(y,a). S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

23 Rttävä tunnusluku sgnaallle y a = ( a, K, a 1, a+ 1, K, an), a = Määrtelmä: Funkto T (y) on rttävä y:lle suhteen, jos on olemassa funktot ) 0, s.e. g( y, a) h ( y, a ) p ( T ( y), a), y, a g : = T ( y) = ( T ( y1), K, T ( yn)) on rttävä y:lle a:n suhteen, jos jokanen T (y) on rttävä y:lle. ( a, a 1 ) a : n h ( p ( ) 0 n tueks S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

24 Rttävä tunnusluku sgnaallle y Teoreema 5: Oletetaan, että T y) = ( T ( y ), K, T ( y on rttävä y:lle a:n suhteen. Sllon annettuna mkä tahansa kokoelma kannustnjärjestelmä { s (y)}, on olemassa joukko järjestelmä ~ s ( T ) jotka Pareto-domnovat hekost { s (y)}. ( 1 n { }, )) S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

25 Teoreema 5:n seurauksa Agentt saa saman odotetun hyödyn molemmlla järjestelmllä, joten sama tomntakn. Lsäks päämes saa vähntään yhtä suuren hyödyn ~ s ( T ) : llä kun s( y ) : llä. Jos agentn hyötyfunkto on separotuva, jakosääntö saa olla satunnanen enntään agentn tomsta kertoven sgnaalen kautta ja sks ylenen kohna on suodatettava S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

26 Globaalst rttävä tunnusluku Määrtelmä: ja, T sgnaallle y T (y) on rttävä a:ssa, jos kaklla ga ( y1, a) ga ( y2, a) = lähes kaklla y1, y2 g( y, a) g( y, a) = 1 2 { y T ( y) T } (17) T(y) on globaalst rttävä, jos (17) on totta kaklla a ja ja globaalst rttämätön, jos jollan (17) e ole totta kaklla a. S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

27 Globaalst rttävä tunnusluku sgnaallle y Teoreema 6: Oletetaan, että T(y) on globaalst e-rttävä y:lle. Otetaan kokoelma vahtuva jakosääntöjä { s ~ ( y) = s ( T ( y)) } s.e. agentten tomnnat ovat unkssa tasapanossa. Sllon on olemassa jakosäännöt { ~ s ( y )}, jotka antavat adon Pareto-parannuksen. Lsäks { ~ s ( y )} vodaan valta s.e. saadaan samat tasapanon tomnnat kun säännöllä { s (y)} saatn. S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

28 Teoreema 6:n seuraus Jos T(y) e ole rttävä tunnusluku y:lle (optmaalsella a), käyttämällä kakka y jakosäännön perusteena pärjätään adost paremmn. S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

29 Suhteellnen suortuksen arvont Ylestä: ja klpalu agentten kesken systeemssä nformaatota paljon, joten vodaan ertellä tuotto jokasen ykslön panoksen mukaan, x( a, θ ) = x ( a, θ ), θ = ( θ1, K, θn ), mssä kakk x : t havataan erkseen Jos θ : t ovat determnstsä, tehokkuus saavutetaan asettamalla joka agentt vastuuseen omasta tuotoksestaan S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

30 Suhteellnen suortuksen arvont ja klpalu agentten kesken Entäpä, jos : t ovat satunnasa? θ Epävarmuutta vodaan kuvata seuraavast: θ Ryhmä työntekjötä tekemässä samanlasa tehtävä s.e. jokasen agentn tuotanto rppuu agentn ponnstelusta, kaklle työntekjölle yhtesestä kohnasta ja ertysestä kohnasta η. Tm samassa kaupassa tekee osttan tsenäsä tehtävä ja käyttää yhtesä työkaluja η. ε ε S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

31 Suhteellnen suortuksen arvont ja klpalu agentten kesken Sjotusjärjestys-turnaus palktsee agentt anoastaan suortussjotuksen mukaan ekä tuotoksen perusteella n agentta ja n palkntoa; korken tuotos saa suurmman palkkon, toseks korken toseks suurmman palkkon jne. S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

32 Suhteellnen suortuksen arvont ja klpalu agentten kesken Teoreema 7: Oletetaan, että x : t ovat monotonsa θ : n suhteen. Sllon agentn optmaalnen jakosääntö rppuu anoastaan ykslön tuotoksesta joss kakken tuotokset ovat rppumattoma η = 0 ( ). S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

33 Teoreema 7:n seurauksa Johtaa shen, että agentten pakottamnen klpalemaan keskenään on tsessään arvotonta, jos e ole ylestä kohnaa η. Anoa hyöty on teto vertassuortukssta. S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

34 Teoreema 7:n seurauksa Jos agentten tuotokset ovat rppumattoma, Sjotusjärjestys-turnaus tuottavat huonompa suortuksa kun agentten palktsemnen hedän tsenäsen tuotoksen pohjalta (Teoreema 7). Jos tuotokset rppuvat tosstaan, sllon Sjotusjärjestys-turnaus vo toma. S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

35 Teoreema 7:n seurauksa Mutta...Sjotusjärjestys-turnaukset vovat hukata paljon nformaatota, jos suortusta votasn mtata kardnaalsest. Esm. agentten tuotokset x = ( x 1, K, x n ) kuvataan tunnusluvuks T ( x) = ( k1( x), K, kn( x mssä k (x) on agentn sjotus. Tästä e saa rttävää tunnuslukua a:lle (pats trvaalt tapaukset) Teoreema 6 sanoo, että ols paremp tapa käyttää x:ää, mkäl mahdollsta. )), S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

36 Teoreema 8 Kaks erlasta tuotosta: I : II : x ( a, θ ) = x ( a, θ ) = a + η + ε, a ( η + ε ), = 1, K, n, = 1, K, n. Tässä θ = ( η, ε ), mssä η on ylesen kohnan parametr ε : t ja ovat rppumattoma ertysä rskejä. S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

37 Teoreema 8 Kaks teknologaa I ja II. Oletetaan, että η, ε, K 1, ε n ovat rppumattoma ja normaaljakautuneta. Olkoon x = α x agentten tuotosten panotettu keskarvo. Teknologalle I α = τ / τ, mssä τ on ε : tarkkuus (varanssn kääntesluku). Teknologalle II α = τ / τ a, mssä a on agentn vastaus tasapanotlanteessa. Molemmssa tapauksssa optmaalnen jakosääntö rppuu anoastaan x : stä ja x : stä. S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät 2008 n 37

38 Teoreema 8:n seurauksa Joskus ss kokonasmtta kuten panotettu keskarvo vertassuortuksesta vo ssältää kaken oleellsen tedon ylesestä kohnasta Panotetun keskarvon rttävyys on kutenkn normaaljakaumalle ertynen omnasuus Huomaa, että teoreema 8 e vätä, että jakosäännön ptäs rppua x x : stä vaan anoastaan, että se on muotoa s ( x, x). η. S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

39 Teoreema 8:n seurauksa Se, että er agentten tuotokset ovat er tavalla panotettuja x : n laskemsessa vttaa skaalaus- ja er tetolähteden arvoerohn Erot skaalauksessa korjataan jakamalla xj a j : llä mkä tulktaan tuottavuuden (rate of return) mttarna S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

40 Teoreema 8:n seurauksa Informaatoarvot eroavat, jos ε j : llä on er tarkkuus Jos ε j : llä on korkea tarkkuus (pen varanss), x j kertoo tarkemmn η : n arvon ja saa suuremman panon keskarvossa El ne x j : t, jotka ovat vahvast korrelotuneet x : n kanssa, ptäs olla merkttävämpä ndkaattoreta agentn suortuksen arvonnssa S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

41 Teoreema 8:n seurauksa Tosnpän: kun τ 0, x j e kerro paljon mtään η : sta ε j : n kohnan vuoks, ja sks sllä e anneta paljon panoa S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

42 Suuret tmkoot teknologolla I η ja II Jos tunnetaan jälkkäteen, teoreeman 5 mukaan se ptäs suodattaa pos, jotta akaansaadaan parannus. Myöskään e ols tarpeen vertalla yksttästen agentten tuotoksa, koska ne olsvat tosstaan ehdollsest rppumattoma η : lla (vrt. teoreema 7). S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

43 Suuret tmkoot teknologolla I ja II Ss n:n agentn kannustnongelma yhtenee n:n rppumattoman agentn ongelmaan, kun η tunnetaan jälkkäteen. Tällön optmaalset kenot rppuvata + ε (teknologalle I) ja aε, koska η : n havannont sall näden muuttujen havannonnn. S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

44 Suuret tmkoot teknologolla I η ja II Jos e havata jälkkäteen, agentten määrän kasvaessa, vodaan η päätellä rppumattomsta sgnaalesta x. Tällön agentten määrän kasvaessa saavutetaan approksmatvsest sama tulos kun jos ols η = 0. Agentten määrän kasvaessa vodaan ss ylenen kohna havata raja-arvona ja tällön postaa agentten vastuulta (oletus teknologosta I ja II e välttämätön). S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät

45 Kottehtävä Met ja anna esmerkk kunka käyttäst Holmströmn edellä kästeltyjä tuloksa okeassa elämässä. S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn semnaar - Kevät