Luku 3 Lagrangen mekankka Lähdetään stten opskelemaan abstraktmpaa mutta samalla tehokkaampaa mekankan formalsma, jonka taustalla on kaks suurta matemaatkkoa Joseph- Lous Lagrange (1736 1813) ja Sr Wllam Rowan Hamlton (1805 1865). Emme tee tässä emmekä jatkossakaan mtään, mkä e snänsä ratkeas ratkasemalla Newtonn lkeyhtälö ottaen huomoon kakk tarkasteltavaan systeemn vakuttavat vomat ja sdosehdot. Joskus tällanen te on jopa anoa vahtoehto. Mutta sllon, kun tarkasteltava systeem vodaan pukea Lagrangen formalsmn, hyvnkn monmutkaset ongelmat saattavat ratketa näppäräst. Langrangen ja Hamltonn formalsmella on myös tärkeä osa srryttäessä mekankasta kvanttmekankkaan, samon nstä on suurta hyötyä tarkasteltaessa mona termodynamkan ja statstsen fyskan ongelma. Kuva 3.1. Lagrange (yllä) ja Hamlton. 3.1 Systeemn vapausasteet ja sdokset Yksttäsen massapsteen tla tunnetaan täydellsest ajan hetkellä t, kun tedetään sen pakka ja nopeus. Kolmulottesessa avaruudessa massapsteellä on kolme rppumatonta pakkakoordnaatta ja kolme rppumatonta nopeusvektorn komponentta. Rppumattomen pakkakoordnaatten lukumäärää kutsutaan systeemn vapausasteks. Jos tarkastellaan N:n massapsteen mekaansta systeemä, jonka osaset pystyvät lkkumaan vapaast, on kyseessä 3N vapausasteen systeem. Tällasen systeemn täydellseen kuvaamseen tarvtaan 3N koordnaatta, 3N nopeuskomponentta. Systeemn lkkeen kuvaluun Newtonn mekankassa tarvtaan 3N tosen asteen dfferentaalyhtälöä. Es- 32
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 33 merkks tavallsessa tuolssa on non 10 24 atoma. Jos mkään e rajottas tuoln atomen lkettä, tuoln lketlan tarkastelu ols aka työläs tehtävä. Jos kutenkn tyydytään tarkastelemaan tuola knteänä kappaleena, knteys tuo erttän suuren määrän sdosehtoja. Itse asassa tuoln pakantamseen tarvtaan van 3 koordnaatta (esm. massakeskpsteen pakan lmasemseen) ja lsäks 3 koordnaatta tuoln asennon määrttämseen. Ylesest knteden kappaleden lketlan lmasuun tarvtaan enntään nämä kuus koordnaatta. Jos tuoln oletetaan lsäks sesovan pystyssä lattalla, tämä sdosehto rajaa pos yhden pakkakoordnaatn ja tuoln asento vodaan antaa yhden kulman avulla. El jäljellä on enää kolme vapausastetta. Ensmmäsen luvun lopussa ollut helur ol esmerkk 3-ulottesesta systeemstä, jota rajott tasolke ( 1 vapausaste) ja knteä varren ptuus ( 1 vapausaste), joten lke votn kuvalla täydellsest yhdelle muuttujalle krjotetulla lkeyhtälöllä, kunhan lkkeen alkutla on annettu. Sdosehdot kuvataan Newtonn mekankassa sdosvomen avulla. Esmerkknä olkoon vakka kaltevalla tasolla lukuva palkka. Systeemn vakuttavat vomat ovat gravtaato, joka osottaa suoraan alaspän ja sdosvoma, joka osottaa kohtsuoraan kappaleen lkettä vastaan, estäen stä työntymästä kaltevan tason ssään (prrä kuva). Myös matemaattsen helurn tapauksessa sdosvoma ol kohtsuorassa lkettä vastaan ptäen helurn pään koko ajan samalla etäsyydellä rpustuspsteestä. Tässä lmeneekn tämänkaltasten sdosvomen tärkeä omnasuus: ne evät tee työtä el F (s) dr = 0. (3.1) Tällanen sdosvoma muuttaa ss kappaleen lketlaa sten, ette kappaleen energa stä muutu. On tok olemassa myös työtä tekevä sdoksa, kuten ktkavomat. Ntä täytyy tarkastella kuten mutakn kappaleen kokonasenergaan vakuttava voma. Sdoksa on useta er tyyppejä. Tarkastellaan N:n hukkasen systeemä. Jos systeemn lkettä rajaavat ehdot vodaan krjottaa muodossa f j (r (1), r (2),..., r (N), t) = 0 (3.2) kyseessä ovat holonomset sdokset 1. Knteä kappale on hyvä esmerkk holonomssta sdokssta: kappaleen kahden psteen välnen etäsyys sälyy vakona el (r r j ) 2 c 2 j = 0. Muta sdoksa kutsutaan e-holonomsks. Jos sdosehdossa aka e ole eksplsttsest mukana, on kyseessä skleronomnen sdos, muussa tapauksessa sdos on reonomnen. (HT: Met yksnkertasa esmerkkejä kustakn sdostyypstä!) 1 Kakk yhtälön (3.2) muotoset sdokset evät tarkkaan ottaen ole holonomsa. Esm. f(x, y, z) = z z antaa e-holonomsen sdoksen (mnkä?). Holonomsen sdosehdon täytyy pudottaa systeemn vapausasteden määrää, so. sen avulla täytyy anakn peraatteessa voda elmoda systeemstä jokn koordnaatt krjottamalla se muden avulla.
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 34 Ylesest ottaen holonomset sdokset vodaan kästellä kohtuullsen helpost kun taas e-holonomset sdokset ovat yleensä paljon hankalampa. Esmerkkenä tästä käyvät vakka massapsteen lke tasolla (holonomnen, muotoa f = 0) ja lke tason yläpuolella (e-holonomnen, muotoa f 0). 3.2 Ylestetyt koordnaatt Massapstemekankan peruskoordnaatt ovat pakkavektorn kolme koordnaatta, jolla kaklla on ptuuden dmenso (SI-ykskkönä metr). Nden akadervaatat ovat nopeuksa (m/s). Tosaalta olemme jo oppneet, että myös kulma (aste, radaan) on hyvä koordnaatt ja sen muutosnopeudella on puolestaan ykskkönä /s ta rad/s. Lagrangen mekankassa käytetään ylestettyjä koordnaatteja, jotka vovat olla tuttuja pakka- ta kulmamuuttuja, mutta ne saattavat olla myös monmutkasempa fyskaalssta suuresta muodostettuja muuttuja, kunhan ne van ovat keskenään rppumattoma ja kuvalevat systeemä täydellsest 2. Mllasn koordnaattehn joudutaan, rppuu olennasest sdosten luonteesta. Jos mellä on n kappaletta tavallsa koordnaatteja ja k holonomsta sdosta, systeemä kuvaamaan tarvtaan n k kpl ylestettyjä koordnaatteja, jota merktään joukolla {q }. Koordnaatten välset muunnokset, esm. x 1 = x 1 (q 1, q 2,..., q n k, t) x 2 = x 2 (q 1, q 2,..., q n k, t) x 3 = x 3 (q 1, q 2,..., q n k, t). x = x (q 1, q 2,..., q n k, t). x n = x n (q 1, q 2,..., q n k, t) täytyy tuntea ja nden tulee mplsttsest ssältää sdokset. Huomaa, että tässä estyksessä jokasen massapsteen jokasella koordnaatlla on oma yhtälö! Olettaen, että x :t ovat kolmulottesen avaruuden psteden koordnaatteja, n = 3N ja nämä yhtälöt vo ryhmttää N:ks yhtälöks vektorelle r j r j = r j (q 1, q 2,..., q 3N k, t), j = 1,..., N. Mkäl ss systeemn sdosehdot ovat holonomset, tällä reseptllä vodaan välttää tosstaan rppuven koordnaatten esntymnen. Tällä kursslla oletetaan yleensä anakn mplsttsest, että sdokset ovat holonomsa. E-holonomset sdokset ovat paljon hankalampa ekä nden kästtelyyn ole ylestä menetelmää. 2 Koko holonomsuus vodaan tse asassa määrtellä elegantmmn ylestettyjen koordnaatten olemassaolon avulla: mkäl systeemä vodaan kuvata ylestetyllä koordnaatella, () jotka kuvaavat systeemä täydellsest ja () jota vo varoda tosstaan rppumatta systeemn sdosehtoja rkkomatta, systeemä kutsutaan holonomseks.
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 35 Esmerkk holonomssta sdokssta Tarkastellaan kahta hukkasta (m 1 ja m 2 ), jotka ovat l:n mttasen jäykän massattoman tangon molemmssa pässä ja tonen hukkassta on rajotettu lkkumaan (x, y)-tasossa ρ-sätesellä ympyrällä. Etstään tälle systeemlle rppumattomat koordnaatt ja koordnaattmuunnokset. Sjotetaan systeemn orgo ympyrän keskpsteeseen el z-aksel kulkee sen kautta. Olkoon ϕ 1 kulma, joka on laskettu x-akselsta ympyrän säteellä, ϕ 2 x-akseln ja tangon xy-tason projekton välnen kulma ja θ 2 z-akseln ja tangon välnen kulma. Molempen massapsteden pakat vodaan kuvata yhteensä kuudella koordnaatlla. Tehtävässä annetut ehdot antavat kutenkn seuraavat holonomset sdosehdot r 2 r 1 l = 0 x 3 = 0 r 1 ρ = 0. Nämä kolme sdosehtoa pudottavat rppumattomen koordnaatten määrän kolmeks, joks vodaan valta kulmat ϕ 1, ϕ 2 ja θ 2, jotka saadaan muunnokslla x 1 = ρ cos ϕ 1 x 2 = ρ sn ϕ 1 x 3 = 0 x 4 = ρ cos ϕ 1 + l sn θ 2 cos ϕ 2 x 5 = ρ sn ϕ 1 + l sn θ 2 sn ϕ 2 x 6 = l cos θ 2. 3.3 Vrtuaalnen työ Vrtuaalsen työn käste on tärkeä srryttäessä Lagrangen mekankkaan. Krjotetaan edellä olleden muunnoskaavojen avulla x -koordnaatn dfferentaal dx = n k j=1 x dq j + x dt. (3.3) t Vrtuaalsella srroksella δx koordnaatn x suuntaan tarkotetaan nfntesmaalsta, hetkellstä, kuvtteellsta srrosta, joka noudattaa ennalta annettuja sdoksa. Oletetaan sdokset tässä holonomsks. Hetkellsyys merktsee stä, että akadfferentaal vodaan jättää huomotta ja sten vrtuaalnen srros ylestettyjen koordnaatten avulla lausuttuna on δx = n k j=1 x δq j. (3.4)
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 36 Jean le Rond d Alembert (1717 1783) läht lkkeelle deasta, että ktkattomsta sdokssta johtuvat vomat evät tee työtä vrtuaalsssa srroksssa el F (s) δr = 0. Krjotetaan Newtonn lkeyhtälö koko systeemn slle komponentlle, jonka suuntaan vrtuaalnen srros on tehty ṗ = F + F (s). (3.5) Kerrotaan yhtälö kaklla kuvtellulla srrokslla ja summataan kakken komponentten yl Kuva 3.2. d Alembert. n =1 (F + F (s) ṗ ) δx = 0. (3.6) Koska d Alembertn oletuksen mukasest sdosvomat evät tee työtä, jää jäljelle n (F ṗ ) δx = 0. (3.7) =1 Tämä lauseke tunnetaan d Alembertn yhtälönä ta peraatteena. Jos systeemssä e ole sdoksa, δx :t ovat rppumattoma ja yhtälö tuottaa Newtonn yhtälöt komponenttmuodossa (ṗ = F ). Jos systeemssä kutenkn on sdoksa, tlanne on hankalamp. Tällön kannattaa srtyä ylestettyhn koordnaattehn, joden δq:t ovat rppumattoma, vakka tse koordnaatten määrttely-yhtälöt ssältävätkn sdokset. Ulkonen voma tekee vrtuaalsessa srroksessa vrtuaalsta työtä δw = = n F δx =1 n k n x ( F )δq j. (3.8) j=1 =1 Määrtellään ylestetty voma, jonka komponentt ovat Q j = n =1 F x, (3.9) jollon vrtuaalnen työ on n k δw = Q j δq j. (3.10) j=1 Ylestetyn voman dmenso e ole välttämättä sama kun tavallsen voman, mutta tulon Q j δq j dmenso on ana työn el energan dmenso, SI-ykskkönä joule. Huom. Edellä luvut ( x / ) muodostavat koordnaattjärjestelmen {x } ja {q j } välsen muunnosmatrsn elementt.
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 37 3.4 Lagrangen yhtälöt Lagrangen yhtälöden johtamseks tarkastellaan d Alembertn yhtälössä oleva htaustermejä ṗ ṗ δx = ( j Muokataan sulkulauseketta seuraavast m dẋ dt x = m ẍ x )δq j. (3.11) [ ] d m dt (ẋ x d x ) ẋ. (3.12) dt Päämäärän saavuttamseks tarvtaan kahta aputulosta. Jaetaan lauseke (3.3) ensn dt:llä, jollon saadaan ẋ = n k j=1 x q j + x t ja dervodaan tämän lausekkeen molemmat puolet q j :n suhteen. Nän saadaan ẋ = x (3.13) q j el psteet vo supstaa. (Mustutus: kokonasdffentaaleja (esm. dt, dx, jne.) vo supstaa, mutta osttasdfferentaalelle ( t, x, jne) e nn vo ylesest tehdä.) Toseks apuvälneeks lasketaan akadervaatta d dt ( x ) = n k l=1 = ( l q l ( x ) q l + t ( x ) x q l q l + x t ) = ẋ. (3.14) Näden avulla saadaan lopulta suoralla laskulla tulos (HT) x m ẍ = d dt q j 1 2 m ẋ 2 1 2 m ẋ 2. (3.15) Lausekkeeseen on tullut ss kneettsen energan T dervaattoja. Sjotetaan tämä nyt d Alembertn yhtälöön ja todetaan, että yhtälön tulee toteutua kaklla vrtuaalslla srrokslla. Täten on oltava kaklla j = 1,..., n k. d dt ( T q j ) T = Q j (3.16) Huom. Saatu yhtälöryhmä e ole yhtälö lke-energalle T vaan radalle {q j (t)}. Oletetaan stten, että ulkoset vomat ovat konservatvsa Q j = F x = U(q 1, q 2,..., q n k, t), (3.17)
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 38 jollon potentaal e rpu nopeudesta el U/ q j = 0. Ottamalla käyttöön Lagrangen funkto L = T U saadaan Lagrangen yhtälöt d dt L L = 0. (3.18) q j Yhtälötä on ss yks jokasta ylestettyä vapausastetta j koht. Nämä yhtälöt ovat vomassa holonomslle systeemelle. Jos sdokset ovat lsäks skleronomset, L e rpu eksplsttsest ajasta. Esm. 1. Hukkasen lkeyhtälö homogeensessa panovomakentässä Normtetaan hukkasen potentaalenerga nollaks (x 1, x 2 )-tasossa, joten U = mgx 3. Kneettnen energa on puolestaan T = m 2 (ẋ2 1 +ẋ2 2 +ẋ2 3 ). Laskemalla Lagrangen funkton L = T U dervaatat, saadaan Lagrangen yhtälöstä mẍ 1 = 0 ; mẍ 2 = 0 ; mẍ 3 = mg. (3.19) Nämä ovat Newtonn mekankasta tutut vnon hettolkkeen yhtälöt. Esm. 2. Matemaattnen helur Lagrangen formalsmssa Tuodaan edellseen esmerkkn mukaan sdosehto, että lke tapahtuu (x 1, x 3 )-tasossa ja srrytään ylestettyhn koordnaattehn (trvaallla) muunnoksella Nyt Lagrangen funkto on muotoa x 1 = q 1 ; x 3 = q 2 ; sdos : x 2 0. (3.20) L = 1 2 m( q2 1 + q 2 2) mgq 2. (3.21) Lsätään velä sdos, että massapsteen etäsyys orgosta on vako l el l 2 = q1 2 + q2 2. Jäljelle jää enää yks rppumaton vapausaste, joks valtaan q 2 -akseln ja massapsteen ja orgon välsen janan välnen kulma θ. Tällön q 1 = l sn θ ; q 2 = l cos θ (3.22) ja Lagrangen funktoks tulee tällä kertaa q 1 = l θ cos θ ; q 2 = l θ sn θ (3.23) L(θ, θ) = 1 2 ml2 θ2 + mgl cos θ. (3.24) Laskemalla jälleen L:n dervaatat Lagrangen funkto antaa tuloksen θ + g l sn θ = 0. (3.25) El on päädytty samaan matemaattsen helurn yhtälöön kun edellsessä luvussa. Tästä eteenpän ratkasu tetenkn etenee kuten aemmn el melvaltaslla kulmlla edessä on ellptsen ntegraaln laskemnen. Penllä kulmlla sn θ θ, joten jonka ratkasuna on tuttu snkäyrä. θ + g l θ = 0, (3.26)
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 39 Esm. 3. Lkemäärämomentn sälymnen tasolkkeessä Tarkastellaan massapsteen m lkettä tasossa. Käytetään napakoordnaatteja (r, θ). Muunnoskaavat ovat r ja θ ovat ajan funktota, joten ja kneettseks energaks saadaan x = r cos θ y = r sn θ. ẋ = ṙ cos θ r θ sn θ ẏ = ṙ sn θ + r θ cos θ T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2. Ylestetyn voman komponentt ovat el Q j = F x Q r = F r r = F (re r) = F e r = F r r Q θ = F r θ = F (re θ) = rf θ, josta Q θ on voman F momentt orgon suhteen. (Huom. Tässä e oleteta voman konservatvsuutta.) Sjottamalla nämä yhtälöön ( d T dt q j ) T = Q j saadaan suorlla dervonnella d dt (mr2 θ) = rfθ, (3.27) mkä on tetenkn lkemäärämomentn sälymslak. Esm. 4. Massapste, joka lukuu ptkn tasasest pyörvää lankaa Esmerkknä reonomssta sdosehdosta tarkastellaan massapstettä, joka lukuu keskpakovoman johdosta ptkn tasasella kulmanopeudella ω pyörvää lankaa. Olkoon massapsteen etäsyys pyörmslkkeen keskpsteestä r. Muunnosyhtälöt ovat nyt x = r cos ωt y = r sn ωt. Tässä tlanteessa on van yks vapausaste, joten r rttää anoaks koordnaatks. Lagrangen funkto on L = T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) = 1 2 m(ṙ2 + r 2 ω 2 ). Lagrangen yhtälöstä saadaan stten suoralla laskulla r = rω 2, (3.28) mkä on tetenkn tuttu lauseke keskpakoskhtyvyydelle.
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 40 3.5 Nopeudesta rppuvat potentaalt Edellä on oletettu, että potentaal rppuu van koordnaatesta {q}. Tetyssä tapauksssa myös nopeudesta rppuva potentaal vääntyy Lagrangen yhtälön kaltaseen muotoon. Tämä on mahdollsta, jos potentaal U(q, q) on sellanen, että ylestetty voma vodaan krjottaa muotoon Q l = U q l + d dt ( ) U. (3.29) q l 3.5.1 Sähkömagneettnen kenttä Tärkeä erkostapaus nopeudesta rppuvsta vomsta on sähkömagneettnen kentän vomavakutuksen magneettkentästä johtuva osa. SM-kenttn tutustutaan lähemmn elektrodynamkan kursslla. Oletetaan tässä yhteydessä kutenkn tetyt perusasat annetuks (Lorentzn voma ja Maxwelln yhtälöt). Varattu hukkanen tuntee sähkö- ja magneettkentten (E ja B) vakutuksen Lorentzn voman vältyksellä F = q(e + v B). (3.30) Voman magneettnen osa rppuu ss nopeudesta ekä stä voda sten lmasta suoraan nopeudesta rppumattoman potentaalfunkton gradenttna. Kakeks onneks SM-kentät totetuttavat Maxwelln yhtälöt, joden avulla päästään muotoa (3.29) olevaan vomaan. Tässä laskussa tarvtaan Maxwelln yhtälöstä Faradayn laka ja magneettkentän lähteettömyyttä E + B t = 0 (3.31) B = 0. (3.32) Jälkmmäsestä seuraa, että on olemassa vektorkenttä A sten, että B = A. Sjottamalla tämä Faradayn lakn saadaan (E + t A) = 0, el on olemassa skalaarkenttä Φ sten, että E + t A = Φ. El sähköja magneettkentät vodaan lmasta näden skalaar- ja vektorpotentaalen avulla (Huom. merkntä t / t.) E = Φ t A (3.33) B = A. (3.34) Lorentzn voma skalaar- ja vektorpotentaalen avulla krjotettuna on ss F = q( Φ t A + v ( A)). (3.35) Käytetään tässä karteessa koordnaatteja ( = x, y, z) ja lasketaan (HT) vmesen termn -komponentt (v ( A)) = (v A) (v )A.
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 41 Tosaalta koska A on pakan ja ajan funkto, da dt = A + (v )A. t Yhdstämällä nämä tulokset saadaan Lorentzn voman -komponentlle ( F = q Φ (v A) da ). dt Koska potentaalt Φ ja A tse evät rpu nopeudesta, vodaan krjottaa joten A = v (v A) = [ F = q (Φ v A) + d dt v [(v A) Φ], ] (Φ v A). v El on löydetty potentaal U = q(φ v A), jonka avulla voma vodaan krjottaa muotoon F = U + d ( ) U. (3.36) r dt ṙ Lagrangen funkto on L = 1 2 mṙ2 U (3.37) ja varatun hukkasen lkeyhtälo Lagrangen formalsmssa on d dt L ṙ L r = 0. (3.38) Tässä e ole tseasassa tehty mtään uutta, sllä sjottamalla (3.37) Lagrangen yhtälöön päästään takasn Newtonn lkeyhtälöön, jossa vomana on Lorentzn voma. Koko touhu saattaa aluks tuntua turhalta kkkalulta. Potentaalfunkton U löytymnen on kutenkn ratkasevan tärkeä askel srryttäessä kvanttmekankkaan. Mkäl lkeyhtälöä e votas krjottaa Lagrangen formalsmssa, kvanttmekankka ols velä paljon hksempää työtä kun nyt (jos stä ylpäänsä ols olemassa). Skalaar- ja vektorpotentaalesta on paljon hyötyä myös klasssessa elektrodynamkassa, kuten ED:n kursslla optaan. Ehkäpä tämän harjotelman tärken ant onkn kurkstus fyskan er alojen syvällsempään yhteyteen. 3.5.2 Ktkavomat Ktkavomat ovat usen verrannollsa kappaleen nopeuteen. Tarkastellaan esmerkkä, jossa ktkavoma vakuttaa x-akseln suuntaan ja on muotoa F (f) x = k x v x. (3.39) Otetaan käyttöön Rayleghn dsspaatofunkto F = 1 (k x vx 2 + k y vy 2 + k z v 2 2 z), (3.40)
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 42 mssä ndekso systeemn kappaleet. Selvästkn F (f) x = F v x. (3.41) Lasketaan nyt systeemn tekemä työ ktkaa vastaan dw (f) = F (f) dr = F (f) v dt = (k x v 2 x + k y v 2 y + k z v 2 z)dt. (3.42) Ss 2F on ktkan aheuttama energan dsspaatonopeus (dw/dt) el teho. Ylestetyn voman komponenteks tulee Q j = = F (f) r F ṙ ṙ q j ja Lagrangen yhtälöt saavat muodon d dt = F ṙ r = F q j (3.43) L L + F = 0. (3.44) q j q j Lkeyhtälön määräämseen tarvtaan sten kaks funktota L ja F. 3.6 Hamltonn peraate Hamlton kehtt Langrangen mekankkaa entstä elegantmpaan suuntaan, mssä nk. mnmperaattella on keskenen osa. Ensmmäsenä mnmperaatetta ajattel lmesest Newtonn akalanen ja klpalja Gottfred Wlhelm von Lebntz (1646 1716), mutta varsnasest ensmmäsen mnmperaatteen formulaaton mekankan perustana estt Perre-Lous Moreau de Maupertus (1698 1759). Hän läht (luultavast) lkkeelle Perre de Fermat n (1601 1665) optkan tutkmukssta. Fermat ol nmttän esttänyt optkan peruslan muodossa: Valo kulkee psteden r 0 ja r välsen matkan tetä, jolle ntegraal r r 0 ds/λ saa mnmnsä. Tässä λ on valon aallonptuus. Maupertus muotol mekankkansa perusajatuksen seuraavast: Kakken mahdollsten lkkeden joukosta luonto valtsee sen, joka toteutuu penmmällä vakutuksella. Maupertus n ajattelussa ol sten mukana jonkn verran mystkkaakn. Tässä tulee kutenkn ensmmästä kertaa eteen tärkeä käste vakutus. Vakutus määrtellään klasssessa mekankassa ntegraalna S = r r 0 mv dr. (3.45) Krjotetaan dr = v dt ja huomodaan, että ptkn rataa v dr. Sten S = t t 0 mv 2 dt = t t 0 2T dt. (3.46)
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 43 Konservatvselle systeemlle E = T + U on sälyvä suure ja S = t t 0 (T + E U)dt = E (t t 0 ) + t Nyt ntegraaln on lmaantunut Lagrangen funkto. Hamlton käytt äärarvoperaatteensa formulontn Leonhard Eulern (1707 1783) ja Lagrangen kehttämää varaatolaskentaa. Hamltonn peraate vodaan lmasta sanallsest Kakken psteden {q 1 }, {q 2 } välsten mahdollsten ratojen joukosta valkotuu se, jolle Hamltonn vakutusntegraal I = t2 t 1 L({q(t)}, { q(t)}, t)dt t 0 (T U)dt. (3.47) saa äärarvonsa, joko mnmn ta Kuva 3.3. Euler. maksmn. Velä heman termnologasta: vakutus määrtellään perntesest yhtälöllä (3.45). Modernmmassa krjallsuudessa kutenkn Hamltonn vakutusntegraala kutsutaan vakutukseks ta vakutusntegraalks (acton (ntegral)) ja yhtälöllä (3.45) määrteltyä suuretta lyhennetyks vakutukseks (abbrevated acton). 3.6.1 Matemaattnen apuneuvo: varaatolaskenta Emme käy tällä kursslla opskelemaan varaatolaskentaa kovn syvällsest, mutta kästellään tässä muutama yksnkertanen ongelma, jotta dea tulee ymmärretyks. Varaatolaskennassa on kysymys jonkn halutun suureen äärarvon antavan funkton etsmsestä, esm. mkä on lyhn te kahden psteen välllä ta mnkä muotonen kahden psteen välllä määrtelty käyrä antaa penmmän pnta-alan pyörähtäessään halutun akseln ympär. Jotta ongelma saatasn matemaattseen muotoon, tarkastellaan funktota f(y, ẏ, x), joka on määrtelty radalla y = y(x) ja pste tarkottaa nyt dervaattaa ẏ = dy/dx. Tehtävänä on etsä rata y(x) sten, että ntegraallla J = x2 x 1 f(y, ẏ, x) dx (3.48) on statonaarnen arvo verrattuna ratohn, jotka pokkeavat nfntesmaalsen verran etstystä radasta.
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 44 y ( x 2, y 2 ) Otetaan käyttöön varaatoparametr α ja olkoon η(x) funkto, joka hävää ntegraaln päätepstessä x = x 1 ja x = x 2. Krjotetaan y myös varaatoparametrn α funktona ( x 1, y 1 ) x y(x, α) = y(x, 0) + αη(x), (3.49) jollon J on α:n funkto Kuva 3.4. Radan x2 varont. J(α) = f(y(x, α)), ẏ(x, α), x) dx. (3.50) x 1 Varaatoparametr on ss muuttuja, joka vastaa er rettejä päätepsteestä toseen. Etstty statonaarnen ratkasu on ntegraaln J äärarvo (ekstreemarvo) ( ) dj = 0. (3.51) dα α=0 Lasketaan tämä dervaatta dj x2 ( f dα = y y α + f ) ẏ dx ẏ α = = = x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 ( f y ( f y ( f y d dx y α + f ẏ y α d dx Dervaatta hävää, kun α = 0, jos x2 ( f y d dx x 1 f ẏ f ẏ 2 ) y dx x α ( ) ) f y ẏ α dx + f ẏ y α ) y dx. (3.52) α ) ( ) y dx = 0. (3.53) α 0 Koska y/ α = η(x), olemme saaneet ehdon muotoon x2 x 1 M(x)η(x) dx = 0. (3.54) Nyt matemaatkot ovat osottaneet nk. varaatolaskennan peruslemman: Jos ylläoleva ehto on vomassa kaklle melvaltaslle kaks kertaa jatkuvast dervotuvlle funktolle η(x), nn M(x) = 0 välllä (x 1, x 2 ). Tämän perusteella J:llä on statonaarnen arvo anoastaan, jos f y d f dx ẏ = 0. (3.55) Tämä on ss samaa muotoa kun tuttu Lagrangen yhtälö, kun korvataan f L, y q ja x t. Ylläoleva tarkastelu e kerro, onko löydetty statonaarnen arvo mnm va maksm. Fyskaalsssa tlantessa se selvää yleensä ongelmanasettelusta. Luennolla tarkastellaan lähemmn seuraava klasssa esmerkkejä varaatolaskennan soveltamsesta x 2 x 1
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 45 Lyhn te kahden psteen välllä tasossa Kaaren ptuuselementt tasossa on ds = dx 2 + dy 2 ja kaaren kokonasptuus saadaan ntegromalla x2 ( ) dy 2 I = 1 + dx. dx x 1 Nyt tälle ptäs löytää mnm. Yhtälöön (3.55) sjotettava funkto on ss f = 1 + ẏ 2 ja f y = 0 ; f ẏ = ẏ 1 + ẏ 2. Sjottamalla nämä Eulern yhtälöön saadaan suoravvasella laskulla tetenkn tuttu tulos y = ax + b el suora vva. Integromsvakot a ja b määrätään annettujen kahden psteen mukaan. Etsttävä käyrä, jonka pyörähtämnen tuottaa penmmän pnnan Tämä on heman monmutkasemp ongelma. Tarkastellaan käyrää, joka yhdstää xy-tasossa psteet (x 1, y 1, 0) ja (x 2, y 2, 0). Sen käyräelementt on ds = 1 + ẏ 2 dx, joka pyörähtäessään y-akseln ympär tuottaa nauhan, jonka pnta-ala on Kokonaspnta-alaks tulee da = 2πx ds = 2πx 1 + ẏ 2 dx. A = 2π Nyt Eulern yhtälöön sjotetaan x2 x 1 x 1 + ẏ 2 dx. f = x 1 + ẏ 2 ; f y = 0 ; f ẏ = xẏ 1 + ẏ 2, joten y = a d xẏ dx = 0 1 + ẏ 2 xẏ 1 + ẏ 2 = a ẏ 2 (x 2 a 2 ) = a 2 dy dx = a x 2 a 2 dx x 2 a 2 + b = a cosh 1 x a + b,
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 46 jonka kääntämällä ratkasuks tulee ketjukäyrä (engl. caternary curve) x = a cosh y b a mssä käyrän päätepsteet määräävät ntegromsvakot a ja b. Nmtys ketjukäyrä tulee stä, että sama ratkasu löytyy myös ongelmaan, mhn muotoon asettuu päätepstestään rpustettu ketju (ta vakka pyykknaru)., Brachstocrone-ongelma Vuonna 1696 Jean Bernoull keks ratkasun kysymykseen: Mllasta rataa ptkn kappale putoaa psteestä A psteeseen B lyhymmässä ajassa? Hän estt akansa matemaatkolle haasteen ratkasta ongelma ja lupas esttää ratkasun puolen vuoden kuluttua. Tässä ajassa ongelman ratkasvat Lebntz ja Danel Bernoull. Newton kuul ongelmasta vasta vasta myöhemmn, mutta lähett seuraavana pävänä anonyymn ratkasun. Nähtyään ratkasun Bernoulln kerrotaan sanoneen tunnstavansa lejonan kynsstään. Vdes ongelman rppumattomast ratkassut henklö ol l Hosptal. Tässä ongelmassa on mnmotava aka t 12 = 2 1 ds v. Tarkastellaan lkettä xy-tasossa, mssä y-aksel osottaa alaspän ja kappale alkaa pudota tasolta y = 0. Systeemn energa sälyy, joten mgy = 1 2 mv2, mssä m on kappaleen massa ja g vetovoman khtyvyys. Kappaleen nopeus on sten v = 2gy ja mnmotavaks ajaks tulee t 12 = 1 2g 2 1 1 + ẏ 2 y dx. Laskun ykstyskohdat jääkööt harjotustehtäväks. Ratkasu on x = ay y 2 + a arccos(1 2y/a). 2 Tämä on syklodn kaar, jossa lähtöpste on syklodn kärkpsteessä. Käyrän parametrmuotonen lauseke on yksnkertasemman näkönen (HT) x = 1 (ϕ sn ϕ) 2 y = 1 (1 cos ϕ). 2 3.6.2 Lagrangen yhtälöden johtamnen Hamltonn peraatteesta Palataan stten mekankkaan ja tarkastellaan, kunka Lagrangen yhtälöt seuraavat Hamltonn peraatteesta. Olkoon q(t) systeemn todellnen rata ja q (t) = q(t) + δq(t) nfntesmaalsest varotu rata. Ylestetyt
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 47 nopeudet varotuvat määrällä δ q(t) = q (t) q(t). Oletetaan lsäks, että päätepstessä varaatot hävävät (Kuva 3.4). Vakutusntegraaln varaatoks tulee δi = I I = = t2 t 1 t2 t 1 L({q + δq}, { q + δ q}, t) dt j t2 t 1 L({q}, { q}, t)dt ( L δq j + L ) δ q j dt. (3.56) q j Jotta kyseessä ols I:n äärarvo, varaaton δi täytyy hävtä, kun δq j 0 kaklla j. Tämän näkemseks muokataan ntegrandn vmestä tekjää L δ q j = d ( ) ( ) L d L δq j δq j. (3.57) q j dt q j dt q j Koska päätepsteden varaatot ovat nolla, antaa yhtälön okean puolen ensmmänen term ntegrotaessa nollan. Sten varaatontegraal saa muodon t2 δi = δ L({q}, { q}, t) dt = t 1 t2 t 1 j ( L d dt ) L δq j dt. (3.58) q j Koska tämän on hävttävä kaklla varaatolla (kun ne menevät nollaan), jäävät jäljelle juur Lagrangen yhtälöt. ( ) d L L = 0. (3.59) dt q j kaklla j = 1,..., n k. Olemme ss todstaneet, että Lagrangen yhtälöt seuraavat Hamltonn peraatteesta. Hamltonn peraatetta vo sten käyttää mekankan peruspostulaattna. Tästä on suurta hyötyä, kun tavotteena on tehdä mekankan kaltanen kuvalu e-mekaanslta näyttävlle systeemelle kuten kenttäteorossa tapana on. Itse asassa Hamltonn peraate myös seuraa Lagrangen yhtälöstä, joten kyseessä on kaks ekvvalentta tapaa formuloda klassnen mekankka. Emme käy stä tässä kutenkaan todstamaan. 3.7 Sdosvomat Vakkakn d Alembertn peraatteen ja ylestettyjen koordnaatten käyttö lakasee sdosvomat maton alle, nden tuntemnen saattaa olla tärkeää käytännön ongelmssa. Palataan takasn koordnaattehn x. Olvatpa ne rppumattoma ta e, on vomassa t2 t 1 n =1 ( L x d dt L ẋ ) δx dt = 0. (3.60) Oletetaan stten, että systeemn lttyy k kappaletta holonomsa sdoksa f l (x 1,..., x n, t) = 0, l = 1,..., k. (3.61)
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 48 Näden varaatolle δf l = n =1 f l x δx = 0, l = 1,..., k. (3.62) Nämä nollat vodaan kertoa funktolla λ l = λ l ({x }) ja lsätä alkuperäseen yhtälöön t2 t 1 n =1 ( L x d dt L ẋ + k l=1 λ l f l x ) δx dt = 0. (3.63) Srrytään stten koordnaatstoon, jossa on n k kappaletta rppumattoma koordnaatteja, jota merktään {y j }. Joukko {y l }, l = n k + 1,..., n, on stten jäljellejääven e-rppumattomen koordnaatten joukko. Funktota λ l kutsutaan Lagrangen kertojks ja ne on valttava sten, että rppuven koordnaatten varaatoden kertomet hävävät. Tällön jää jäljelle yhtälöryhmä d dt ( L ẏ ) L y = k l=1 λ l f l y (3.64) kaklla = 1,..., n. 3 Nämä n yhtälöä yhdessä k:n sdosyhtälön kanssa määräävät sekä koordnaatt {y (t)} (n kpl) että kertomet {λ l } (k kpl). Mstä tässä on kyse, selvää krjottamalla L = T U, jollon d dt ( T ẏ ) T y = U y + k l=1 λ l f l y. (3.65) Ss okean puolen jälkmmäsen termn vo ajatella sdoksn lttyvänä vomana samaan tapaan kun potentaalfunkton gradentt on todellnen voma. Helur tasossa Palataan luvun alussa kästeltyyn matemaattseen tasohelurn. Valtaan koordnaateks helahduskulma θ ja massan m etäsyys rpustuspsteestä, r. Kyseessä ovat ss napakoordnaatt, joden yhteys karteessn koordnaattehn on x = r cos θ ja y = r sn θ, kun x-aksel osottaa orgosta gravtaatokhtyvyyden suuntaan (Kuva 1.3). Ilman sdosehtoja systeemn Lagrangen funktoks tulee L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) + mgx = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 ) + mgr cos θ Helurn sdosehtohan on napakoordnaatessa yksnkertasest f(r, θ) r l = 0, 3 Huom. Tässä tarkastelussa saavutettn yhtälöden (3.64) vomassaolo tosstaan rppuven koordnaatten tapauksessa valtsemalla Lagrangen kertojen arvot sopvast. Rppumattomen koordnaatten osalta nden vomassaolo seuraa Hamltonn peraatteesta.
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 49 jota käytettn akasemmn elmnomaan ongelmasta tonen koordnaatt (r). Käytetään nyt kutenkn Lagrangen kertojamenetelmää. Lasketaan f/ r = 1 ja f/ θ = 0, ja krjotetaan yhtälö (3.64) komponentettan d L L dt θ θ d L dt ṙ L r = λ f θ = 0 = λ f r = λ, mssä ss okealla ovat sdosvoman komponentt, merk. (Q (s) r, Q (s) θ ). Nästä saadaan yhdessä sdosehdon kanssa mr 2 θ + mgr sn θ = 0 m r mr θ 2 mg cos θ = λ r = l, ja käyttämällä vmestä yhtälöä kahdessa muussa, saamme helurn lkeyhtälöks ja sdosvoman suuruudeks θ + (g/l) sn θ = 0 Q (s) r = λ = m(l θ 2 + g cos θ). Tässä Q (s) r on tetyst luvusta 1 tuttu jänntysvoma J. Hukkanen parabolodlla Tarkastellaan parabolodlla lkkuvaan kappaleeseen vakuttava sdosvoma. Parabolod on ss pnta, joka syntyy, kun paraabel pyörähtää symmetra-akselnsa ympär. Parabolodn pnnan yhtälö on z = 1 2 a(x2 + y 2 ), mssä a on vako. Sdosehto on ss f(x, y, z) = 1 2 a(x2 + y 2 ) z = 0. Tarkastellaan tlannetta sylnterkoordnaatessa (r, θ, z): jollon f = 1 2 ar2 z. x = r cos θ y = r sn θ z = z, Koska tarkastellaan pelkästään pnnasta aheutuvaa sdosvomaa, vodaan gravtaatokhtyvyys jättää huomotta g = 0 ja U = 0. Lagrangen funktoks tulee L = T = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 + ż 2 ) ja Lagrangen yhtälöks sdosvomneen d dt T q j T = λ f
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 50 mssä koordnaatt {q j } ovat (r, θ, z). Laskemalla dervaatat saadaan lkeyhtälöks m r mr θ 2 = λar m d dt (r2 θ) = 0 m z = λ. Nästä keskmmäsen ntegraal antaa lkemäärämomentn z-komponentn, joka vodaan sjottaa ensmmäseen ja vmesessä yhtälössä vodaan krjottaa z = 1 2 ar2. Kaken kakkaan lkeyhtälöt saadaan muotoon m r l2 z mr 3 = λar m(r 2 θ) = lz maṙ 2 + r r = λ. Kappaleen energaks saadaan E = T = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 + ż 2 ) = 1 [ ] 2 m (1 + a 2 r 2 )ṙ 2 + l2 z m 2 r 2 ja Lagrangen kerron λ vodaan krjottaa muotoon λ = a 2E + (a2 l 2 z/m) (1 + a 2 r 2 ) 2. Lenee selvää, että näden kavamnen esn lman Lagrangen mekankan välnetä ols paljon työläämp juttu! Pyykknaru Tärkeä esmerkk Lagrangen kertojen avulla ratkeavasta ongelmasta on selvttää mhn muotoon kahden tukpsteen väln rpustettu köys asettuu. Köyden ptuus on D (sdosehto) ja tukpsteden väl 2a < D. Ongelman ratkasu on ketjukäyrä y ( x ) λ = cosh 1, λ mssä λ on yhtälön ratkasu. ( a D = 2λ snh. λ) Jätetään laskun ykstyskohdat harjotustehtäväks. Todetaan kutenkn, että tämä on ss sama käyrä, joka löydettn edellä varaatolaskennalla, kun etsttn mnmaalsen pyörähdyspnnan tuottavaa käyrää. Nällä kahdella ongelmalla on ss jokn yhteys ja sen metskely on hyvä harjotusta fyskaalsen ntuton kehttämsessä.
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 51 3.8 Kanonset mpulsst Aluks heman kelenkäytöstä. Tällä kursslla olemme käyttäneet termejä lkemäärä ja lkemäärämomentt vastaamaan englannn kelen termejä momentum ja angular momentum. Term mpulssmomentt on kutenkn yhä laajalt käytössä lkemäärämomentn synonyymnä. Hamltonn mekankassa lkemäärää vastaa käste canoncal momentum, joka ols johdonmukasnta kääntää kanonnen lkemäärä, mutta me pokkeamme tässä johdonmukasuudesta ja käytämme tradtonaalsempaa termä kanonnen mpulss. Kanonset mpulsst määrtellään kaavalla p = L q. (3.66) Lagrangen yhtälöden akadervaattaterm on nyt tetenkn ṗ, joten ṗ L q = 0. (3.67) Massapste konservatvsessa vomakentässä Käytetään karteessa koordnaatteja el L = m 2 (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) U(x, y, z). Tästä näemme suoraan, että karteessa koordnaatteja vastaavat kanonsen mpulssn koordnaatt ovat tavallsen lkemäärän komponentt (p x, p y, p z ). Jos taas tarkastellaan lkettä keskespotentaalssa käyttäen pallokoordnaatteja lkkeen ratatasossa L = m 2 (ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) U(r), kanonsen mpulssn komponenteks tulee p r = mṙ p ϕ = mr 2 ϕ el kulmakoordnaatta vastaava kanonsen mpulssn komponentt on lkemäärämomentt sen akseln ympär, jota kulma kertää. Kanonnen mpulss sähkömagneettsessa kentässä Krjotetaan seuraavaks Lagrangen funkto sähkömagneettsessa kentässä komponenttmuodossa L = m 2 (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) + q(ẋa x + ẏa y + ża z ) qφ. Kanonsen mpulssn x-komponentks tulee p x = L ẋ = mẋ + qa x (3.68)
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 52 ja samon mulle komponentelle. Ss SM-kentässä lkemäärä on p = mv + qa. (3.69) Tämä on ernomasen tärkeä tulos, sllä hukkasen mekaansen lkemäärän lsäks SM-kentällä tsellään on lkemäärää. Elektrodynamkan kursslla nähdään, että Newtonn lat varaukslle pelkknä massapstenä evät päde vaan myös kentän lkemäärä ptää ottaa huomoon. 3.9 Syklset koordnaatt ja sälymslat Jos Lagrangen funkto e rpu ylestetystä koordnaatsta q j el L/ = 0, kutsutaan ko. koordnaatta syklseks. Lagrangen yhtälöstä jää tällön jäljelle ( ) d L = 0 (3.70) dt q j el p j on lkevako. Ss jokasta syklstä koordnaatta vastaa sälyvä kanonsen mpulssn komponentt. Tässä on kyse ylesestä fyskan peraatteesta: Jos systeem on nvarantt jossakn muunnoksessa (translaato, kerto, jne.), muunnokseen lttyy jokn sälymslak. Velä ylesemmn asa vodaan lmasta sanomalla, että jokasta symmetraa vastaa sälymslak. Tämä peraate ulottuu myös sellasn kysymyksn kuten baryonluvun ta outouden sälymnen alkeshukkasfyskassa. Yksnkertasn esmerkk on vapaan hukkasen (L = (1/2)mv 2 ) translaatonvaranss el vapaalle hukkaselle pakka on syklnen koordnaatt: L/ x = 0, jollon 0 = d L = d dt ẋ dt (mẋ ), joten lkemäärä on lkevako. Tarkastellaan tosena esmerkknä hukkasta keskespotentaalssa ja pallokoordnaatessa L = m 2 (ṙ2 + r 2 θ2 + r 2 sn 2 θ ϕ 2 ) U(r). L e rpu kulmasta ϕ vaan anoastaan sen dervaatosta. Nnpä kulmaa vastaava kanonsen mpulssn komponentt p ϕ = L ϕ = mr2 sn 2 θ ϕ on lkevako. Jos valtaan ratataso kuten aemmn (θ = π/2), nähdään, että lkemäärämomentn z-komponentt p ϕ = mr 2 ϕ on lkevako. El jälleen on päädytty lkemäärämomentn sälymslakn. (Huom. p ϕ on ss todella lkemäärämomentn z-komponentt, vakka alandeksnä onkn ϕ.)
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 53 Tarkastellaan lopuks tärkeää erkostapausta, jossa Lagrangen funkto e rpu eksplsttest ajasta. Lasketaan ensn kokonasakadervaatta dl dt = j L q j + j L q j + L q j t. (3.71) Nyt ss L/ t = 0. Käyttämällä Lagrangen yhtälötä saadaan dl = ( ) d L q j + L q j dt dt q j j q j j = ( ) d L q j, (3.72) dt q j j josta seuraa d dt j L q j q j L = 0. (3.73) Sulkulauseketta merktään H:lla ja kutsutaan Hamltonn funktoks. Se on sälyvä suure ja konservatvsessa potentaalssa U lkkuvalle hukkaselle H = T + U = E. (3.74) H kuvaa ss hukkasen kokonasenergaa, mkä sälyy ajasta rppumattomassa konservatvsessa systeemssä. Newtonn ja Langrangen yhtälöden lsäks on olemassa velä kolmas tapa esttää mekaansen systeemn lkeyhtälöt. Se perustuu edellä johdetun Hamltonn funkton käyttöön ja shen palataan kurssn loppupuolella. 3.10 *Hyödyllsä apuvälnetä 3.10.1 *Mekaannen smlarteett On selvää, että jos Lagrangen funkto kerrotaan melvaltasella vakolla, lopputuloksena ovat samat lkeyhtälöt. Tämä ansosta vodaan monmutkastenkn systeemen lkkeestä saada hyödyllstä tetoa lman, että lkeyhtälötä varsnasest tarvtsee ntegroda. Oletetaan, että Lagrangen funkto on muotoa L = T U ja että U on krjotettavssa karteessten koordnaatten k:nnen asteen homogeensena funktona el U(ax 1, ax 2,..., ax n ) = a k U(x 1, x 2,..., x n ), (3.75) mssä a on mkä tahansa vako. Skaalataan pakkakoordnaatt tekjällä a ja aka tekjällä b x x = ax ; t t = bt. Tällön nopeudet muuntutvat kertomella a/b, lke-energa kertomella a 2 /b 2 ja kuten yllä oletettn potentaalenerga kertomella a k. Vaadtaan lsäks, ette suhde T/U muutu. Tällön a 2 /b 2 = a k el b = a 1 k/2 ja koko Lagrangen funkto tulee kerrotuks tekjällä a k.
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 54 Jos nyt ollaan tekemässä jonknlasta penosmallkoetta el 0 < a < 1, nn ajat ja pakat muunnetaan lausekkella el ajat skaalautuvat kuten l = al t = bt = a 1 k/2 t t t = ) 1 k/2 ( l l ja nopeudet kuten ṽ v = ) k/2 ( l. l Se, mtä tällasella kokeella vme kädessä etstään, on potentaala U vastaaven vomen vakutus systeemn. Esm. 1. Potentaal Cx 2 Tämä on harmonnen lneaarnen oskllaattor, johon tutustutaan lähemmn seuraavassa luvussa. Koska k = 2 sadaan tulos t/t = ( l/l) 0 = 1, mkä vodaan tulkta sten, että oskllaattorn värähdysaka e rpu ampltudsta. Tosaalta energalle Ẽ/E = a k = a 2 = ( l/l) 2 el värähteljän energa on verrannollnen ampltudn nelöön. Esm. 2. Potentaal Cr 1 Tämä kuvaa on tetenkn Newtonn panovomalan potentaala. Nyt skaalaus antaa t t = ) 3/2 ( l el l ) 2 ( t = t ) 3 ( l, l mkä on tetenkn Keplern kolmas lak, kun ajat tulktaan kertoakona ja etäsyydet soakselen puolkkana. Tämä on hyvä esmerkk tuloksesta, joka löytyy Lagrangen mekankassa paljon penemmällä vavalla kun Newtonn mekankassa (vrt. luku 2). Esm. 3. putoamnen homogeensessa gravtaatokentässä Nyt F = mg el U x, joten k = 1. Tällön t/t = l/l el vapaassa pudotuksessa putoamsaka on verrannollnen alkuperäskorkeuden nelöjuureen.
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 55 3.10.2 *Dmensonanalyysstä Kakssa ylläolevssa esmerkessä on ss löydetty fyskaalsten suureden rppuvuus tosstaan. Menetelmää vodaan soveltaa myös tosn pän. Jos vodaan jotenkn päätellä selvtettävänä olevan suureen rppuvuus fyskaalssta perussuuresta, nn jäljelle jää van kokeellsest määrättävssä ta jotenkn muuten tedossa oleva oleva skaalausparametr a. Tätä menetelmää kutsutaan dmensoanalyysks. Vakkakaan dmensoanalyys e ole mkään ylespätevä takasauva, se on joskus hämmästyttävän tehokas työkalu. Ydnräjähdyksen energa Esmerkk, jossa G. I. Taylor päättel flmltä ydnräjäytyksessä vapautuneen energan määrän, on ertysen kuulusa. Taylor läht oletuksesta, että ydnräjähteen tulpallon säde r rppuu räjähdyksen energasta E, lman theydestä ρ ja ajasta t muodossa r E ρ r = CE a t b ρ c Kuva 3.5. Ydnräjähdys. mssä C on dmensoton vako. Nyt yhtälön okealla puolella olevat eksponentt täytyy valta sten, että koko lausekkeen fyskaalnen dmenso on ptuuden dmenso (el SI-ykskössä metr). Merktään perussuureden dmensota seuraavast: ptuus [l] = L, aka [t] = T ja massa [m] = M. Tällön energan dmenso on [E] = ML2 T 2 ja theyden dmenso on [ρ] = M L 3, joten säteen lausekkeen dmensot ovat [r] = C [E] a [t] b [ρ] c L = C M a L 2a T 2a T b M c L 3c Tämä on mahdollsta van jos a, b ja c toteuttavat yhtälöryhmän a + c = 0 b 2a = 0 2a 3c = 1 el c = 1/5, a = 1/5 ja b = 2/5 ja sten säde määräytyy kaavalla r = CE 1/5 t 2/5 ρ 1/5.
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 56 Nän on päästy tulokseen, jossa tarvttaan velä C:n määrttämnen joko mttauksella ta jollan muulla tedolla. Taylor päättel shokkaaltoteoran perusteella, että C 1. Tulpallon säde ol 15 ms kuluttua räjäytyksestä 300 m ja lman theys on non 1.3 kgm 3. Ratkasemalle energan ja sjottamalla nämä lukuarvot saadaan tulos Tulos osottautu okeaks! E = ρ t 2 ( r C ) 5 1.4 10 16 J. Räjähdyksen vomakkuutta vo olla melenkntosta verrata esm. Lovsan ykkösreaktorn vuostuotantoon. Reaktorn teho on 440 MW ja se tom non 300 vuorokautta vuodessa. Tämä antaa energan tuotoks non 1.14 10 16 J. Ss samaa suuruusluokkaa kun Taylorn analysoma ydnpommn räjähdys. Sntavas Ehkä velä hämmästyttävämp saavutus ol Raylegh n vuonna 1871 esttämä seltys slle, mks tavas on snnen. Tavaalta tuleva valo sroaa lman molekyylestä. Merktään Aurngosta tulevan valoaallon ampltuda E ja molekyyln srottaman valon ampltuda E s = αe. Raylegh päättel aaltolkeopn osaamsensa perusteella, että verrannollsuuskerron α on puolestaan verannollnen molekyyln tlavuuteen V = (4π/3)a 3, mssä a on molekyyln säde. Koska ampltud on puolestaan valon ntensteetn I nelöjuur, se penenee etäsyyden funktona kuten 1/r 2 = 1/r. Lsäks sronnut ntensteett I s vo rppua aallonptuudesta, joten mssä I E 2 Nnpä I s = CI a 6 r 2 λb, on tulevan valon ntensteett ja C dmensoton vako. [I s ] = [I ] [a]6 [r] 2 [λ]b, joten [a] 6 [λ] b /[r] 2 = L 4+b on dmensoton, joka toteutuu, kun b = 4 el I λ 4. Johtopäätöksenä ss on, että näkyvän valon lyhytaaltosemp pää el snnen vär on sronneessa valossa valltseva. Iltaruskon punerrus taas johtuu stä, että lyhytaaltosemp valo sroaa ympärnsä ja tavaanrannalta slmn tulee suhteellsest enemmän vähemmän sronnutta ptkäaaltosta valoa. Fyskaalnen ongelma e ole sunkaan ana ratkastavssa yksnkertasella dmensoanalyysllä ja joka kerta se vaat enemmän ta vähemmän fyskaalsta ntutota. Ensmmänen tehtävä on osata tunnstaa ongelmaan vakuttavat suureet. Vakka tavotteena e olskaan ongelman lopullnen ratkasemnen dmensoanalyysllä, on usen hyödyllstä mettä,
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 57 mtkä fyskaalset suureet ovat ongelman kannalta relevantteja ja mtkä vodaan jättää huomotta. Prmtvsmmässä muodossaan dmensoanalyys on saadun lausekkeen yksköden tarkastamsta, mkä sekn monest kertoo, onko jokn mennyt matkan akana vkaan. Suuren kvanttfyskan kehttäjän P. A. M. Dracn kerrotaan todenneen, että hän katsoo ymmärtävänsä fyskaalsen yhtälön, jos hän pystyy sen perusteella päättelemään ratkasun perusomnasuudet lman, että hänen tarvtsee varsnasest ratkasta yhtälöä. Tässä smlaarsuusja dmensoanalyyttset tarkastelut ovat suureks avuks. 3.10.3 *Vraalteoreema Olkoon f muuttujen {x } k:nnen asteen homogeennen funkto. Tällön on vomassa Eulern teoreema Funkton f(t) akakeskarvo määrtellään kaavalla 1 f = lm τ τ f x x = kf. (3.76) τ 0 f(t) dt. (3.77) Jos f(t) on rajotetun funkton F (t) kokonasakadervaatta, nn sen keskarvo on nolla: 1 f = lm τ τ τ 0 df dt F (τ) F (0) dt = lm = 0. (3.78) τ τ Tarkastellaan stten skleronomsta (ss ajasta rppumattomatonta) systeemä, jonka lke on rajotettu ( < q <, kaklla ). Nyt kneettnen energa T on nopeuksen { q } nelöllnen (k = 2) funkto. Joten Eulern teoreeman mukaan T q q = 2T. (3.79) Oletetaan, että U e rpu nopeukssta ja on k:nnen asteen homogeennen funkto. Nyt T/ q = p, joten 2T = ( ) (p q ) = d p q q ṗ. (3.80) dt Ottamalla tästä akakeskarvo saadaan 2 T = q ṗ = U q q = kū. (3.81) Tätä tulosta kutsutaan Clausuksen vraalteoreemaks.
LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 58 Harmonnen voma Nyt k = 2, joten T = Ū. Harmonsen värähteljän energa jakautuu keskmäärn tasan kneettsen ja potentaalenergan kesken. Keplern lke Tässä tapauksessa k = 1, joten 2 T = Ū. Nyt kokonasenerga on E = T. Koska kneettnen energa on ana postvnen, rajotetussa Keplern lkkeessä E < 0, mkä on tok tuttu tulos tämäkn. Tämä tulos e tetenkään päde paraabel- (E = 0) ta hyperbelradalle (E > 0). Tällön lke e ole rajotettu ja stten vraalteoreeman oletukset evät ole vomassa.