Kertausta: Hamiltonin periaate

Transkriptio

1 Maanantai /19 Kertausta: Hamiltonin periaate Hamilton: Kaikkien pisteiden {q 1 } ja {q 2 } välisten mahdollisten ratojen joukosta valikoituu se, jolle (Hamiltonin) vaikutusintegraali I = t2 saa ääriarvon, joko minimin tai maksimin. t 1 L({q i }, { q i }, t)dt Hamiltonin periaatetta kutsutaan joskus nimellä pienimmän vaikutuksen periaatteeksi, mutta tarkempi termi olisi stationaarisen vaikutuksen periaate.

2 Kertausta: Lagrangen yhtälöt Hamiltonin periaatteesta t2 I = L({q(t)}, { q(t)}, t)dt t 1 Varioidaan rataa hieman, s.e. δq j (t 1 ) = δq j (t 2 ) = 0 ja { q j (t) = q j (t) + δq j (t) q j (t) = q j (t) + δ q j (t) Lasketaan sitten variaatio δi = I I t2 δi = t 1 t2 = t 1 j = j t2 L({q(t) + δq(t)}, { q(t) + δ q(t)}, t) [ L q j δq j ( L δq j + L ) δ q j dt q j q j ] t2 t 1 j t2 t 1 ( L q j d dt L q j t 1 L({q(t)}, { q(t)}, t) ) δq j dt Ensimmäinen termi häviää sillä δq j (t 1 ) = δq j (t 2 ) = 0. Etsitään I :n ääriarvoa, eli δi = 0. Koska δq j mv, niin saadaan d L L = 0 j dt q j q j Maanantai /19

3 aanantai /19 Kertausta: Sidosvoimat Lagrangen formalismissa Lagrangen formalismissa sidokset katoavat muunnosyhtälöihin x i = x i ({q j }, t), i = 1,..., n, j = 1,..., n k. Joskus sidosvoimat on tärkeää tuntea. Määritellään k kpl λ α muuttujaa, joita kutsutaan Lagrangen kertoimiksi ja määritellään uusi Lagrangen funktio k L = L({x i }, {ẋ i }, t) + λ αf α({x i }, t) α=1 Käsitellään λ α kuten uusia koordinaatteja. Koska L ei riipu λ α:stä, Lagrangen yhtälöt λ α:lle ovat: L λ α = f α({x i }, t) = 0 (sidosehdot) Toisaalta liikeyhtälöt x i :lle ovat d dt ( L ẋ i ) L x i = k α=1 λ α f α x i Voimme nyt ratkaista nämä yhtälöt kuten teimme Newtonilaisittainkin.

4 aanantai /19 Esimerkki: Massapiste tasaisesti pyörivällä langalla lanka pyörii ω z-akselin ympäri m liikkuu ulospäin ei muita voimia Reonominen sidosehto f (ϕ, t) = ϕ ωt = 0. { x = r cos ϕt y = r sin ϕt L = T = 1 2 m ( ẋ 2 + ẏ 2) + λ (ϕ ωt) = 1 2 m ( ṙ 2 + r 2 ϕ 2) + λ (ϕ ωt) Lagrangen liikeyhtälöiksi tulee (+sidosehto λ:n liikeyhtälöstä): { m r mr ϕ 2 = 0 ( d dt mr 2 ϕ ) = λ Sij. ϕ = ω: { r = rω 2 liikeyhtälö λ = d dt ( mr 2 ω ) sidosvoiman momentti (= Q (s) ϕ )

5 λ = 2mrω 2 r 2 r 2 0 aanantai /19 Esimerkki: Massapiste tasaisesti pyörivällä langalla Ratkaistaan nyt täydellisyyden vuoksi liikeyhtälö sekä sidosvoima siinä tapauksessa, että liike lähtee levosta. Alkuehdot r(t = 0) = r 0 ja ṙ(t = 0) = 0. { r = rω 2 liikeyhtälö λ = d dt ( mr 2 ω ) sidosvoiman momentti (= Q (s) ϕ ) ṙ r = 1 d 2 dt ṙ 2 = rṙω 2 = 1 d r 2 dt r 2 ω 2 ṙ 2 = ω 2 (r 2 r0 2 ) ωt = r 0 λ = 2mrṙω dr r 2 r0 2 ( ) r = arcosh r 0 Lopullinen ratkaisu on siis: { r = r0 cosh ωt

6 aanantai /19 Esimerkki: Pyykkinaru Ratkaistaan seuraava ongelma. Mikä on riippuvan pyykkinarun muoto? Narun pituus D on vakio (δd = 0) ja ripustuspisteiden etäisyys on 2a D. Stationaarinen tilanne, joten Lagrangen funktio on L = U λρg δd = E λρg δd Narunpätkälle de = du = gydm = gyρds = gyρ 1 + y (x) 2 dx, missä narun massatiheys ρ (kg/m). (a,y1 ) a E = gyρds = gρ y (a,y1 ) a 1 + y 2 dx, D = ds = 1 + y 2 dx = vakio ( a,y 1 ) a ( a,y 1 ) a Etsitään siis integraalin ääriarvo. Euler: a I = ρg (y + λ) 1 + y 2 dx a ( ) d f dx y f x = 0, f = (y + λ) 1 + y 2 (y + λ) y = 1 + y 2

7 Maanantai /19 Esimerkki: Pyykkinaru Pyöritellään vähän tätä differentiaaliyhtälöä: Eli saamme suoraan integroitua: (y + λ) y = 1 + y 2 2y y 1 + y 2 = 2y y + λ d dx log(1 + y 2 ) = 2y y 2y = 1 + y 2 y + λ = d log(y + λ)2 dx log(1 + y 2 ) = log(y + λ) 2 + log C dy dx = C(y + λ) 2 1 Reunaehdot, valitaan y(0) = 0 ja symmetrian vuoksi dy(0)/dx = 0 Cλ 2 = 1. a x = 0 dy 1+a/λ (1 + y/λ) 2 1 = λ 1 du = λ arcosh(1 + y/λ) u 2 1

8 Maanantai /19 Esimerkki: Pyykkinaru Ratkaisu siis on entuudestaan tuttu: y ( x ) λ = cosh 1 λ Mutta mikä olikaan λ? Derivoidaan ensin ratkaisua: Ja narun pituus on siis: dy ( x ) dx = sinh λ ds dx = ketjukäyrä 1 + sinh 2 x λ = cosh x λ a/λ D = cosh u du = 2λ sinh a a/λ λ = 2a + λ ( a ) 3 ( a ) 4 + O 3 λ λ josta voidaan (periaatteessa) ratkaista λ = λ(a, D). Muistetaan vielä lähtökohta δe + λρgδd = 0: Jännitys = λρg Huomaa, että kun λ, niin 2a D.

9 Maanantai /19 Kanoniset impulssit Aluksi hieman terminologiaa liikemäärä (momentum) liikemäärämomentti (myös impulssimomentti, angular momentum) kanoninen impulssi (canonical momentum) Määritellään kanoniset impulssit Lagrangen yhtälöissä siis d dt p i = L q i ( L q i ) = ṗ i, joten ṗ i = L q i Esim. massapiste konservatiivisessa kentässä karteesisille koordinaateille L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) U(x, y, z): p x = L L L = mẋ ; py = = mẏ ; pz = ẋ ẏ ż = mż keskeisliike ratatason napakoordinaateissa L = 1 2 m(ṙ 2 + r 2 ϕ 2 ) U(r): p r = L ṙ = mṙ ; pϕ = L ϕ = mr 2 ϕ = ( r m v) z = l z

10 Maanantai /19 Kanoniset impulssit SM-kentässä Muista, SM-kenttä annetaan potentiaaliensa avulla: { E = Φ A t B = A ( Hitun potentiaalifunktio on tällöin U( r, v) = q Φ v A ) ja L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) + q (ẋa x + ẏa y + ża z ) qφ Kanoniset impulssit ovat siis ( A ja Φ eivät riipu nopeudesta) p x = L = mẋ + qax, py = mẏ + qay, pz = mż + qaz ẋ Tärkeä tulos! Sähkömagneettisella kentällä on itsessään liikemäärää, joka pitää ottaa huomioon Newtonin lakeja sovellettaessa.

11 aanantai /19 Muistutus: Sykliset koordinaatit Jos yleisessä tilanteessa tilanne on se, että L = L(q 1, q 2,..., q i 1, q i+1,..., q n k, { q j }, t) toisin sanoen Lagrangen funktio ei riipu yleistetystä koordinaatista q i, kutsutaan puuttuvaa koordinaattia sykliseksi. L = 0 LY : ṗ i = L = 0 q i q i Syklisen koordinaatin kanoninen impulssi on liikevakio (säilyvä suure). Muista Noetherin teoreemasta: systeemin invarianssi muunnoksessa tai systeemissä vallitseva symmetria johtaa säilymislakiin.

12 Maanantai /19 Esimerkki: vapaa hitu Tarkastellaan vapaata hiukkasta L = 1 2 m v 2 = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ). Lagrangen funktiolla on translaatioinvarianssi: L säilyy siirroksissa r r + a, missä a on vakio. Kaikki karteesiset koordinaatit syklisiä: L x = L y = L = 0. Vastaavat z kanoniset impulssit p i = mẋ i ovat liikevakioita. Huom. sylinterikoordinaateissa L = 1 2 m(ṙ 2 + r 2 ϕ 2 + ż 2 ) vain ϕ ja z syklisiä. p ϕ = mr 2 ϕ ja p z = mż liikevakioita, mutta p r = mṙ noudataa yhtälöä ṗ r = L r = mr ϕ2 = p2 ϕ mr 3 Syklisten koordinaattien määrä riippuu siis valitusta koordinaatistosta! Kannattaa etsiä semmoista koordinaatistoa, jossa on mahdollisimman monta syklistä koordinaattia. SYMMETRIAT!

13 aanantai /19 Esimerkki: hitu keskeisvoimakentässä Tarkastellaan seuraavaksi hitua keskeispotentiaalissa. Karteesissa koordinaateissa L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) U( x 2 + y 2 + z 2 ) on siis varsinaisen huono valinta koordinaattijärjestelmäksi, sillä syklisiä koordinaatteja ei ole! Pallokoordinaateissa (r, ϕ, θ): Tässä siis ϕ on syklinen L = 1 2 m(ṙ 2 + r 2 θ2 + r 2 sin 2 θ ϕ 2 ) U(r) p ϕ = L ϕ = mr 2 sin 2 θ ϕ = L z on liikevakio Voidaan valita ratatasoksi vaikka θ = π/2, niin p ϕ = mr 2 ϕ = l, eli liikemäärämomentin säilymislaki tutummassa muodossa.

14 Maanantai /19 Mekaaninen similariteetti L = L(q, q, t) d dt L q L q = 0 antaa radan Muunnos L = αl antaa saman radan, kun α on vakio. Saamme kuitenkin tietoa liikkeestä rataa integroimatta! Oletetaan, että L = T U, missä U on k:nnen asteen homogeeninen funktio: U(ax 1,..., ax n) = a k U(x 1,..., x n), a vakio Skaalataan koordinaatit ja aika: { x i x i = ax i t t = bt v i ṽ i = a b v i T T ( a ) 2 = T, U Ũ = a k U b Vaaditaan T /Ũ = T /U, jolloin { a k = ( ) a 2 b = a b 1 k/2 L L = a k L

15 Maanantai /19 Esimerkkejä Pienoismalliesimerkki: skaalataan systeemiä pienemmäksi, eli parametrilla joka on a < 1: { l = al t = bt = a 1 k/2 t t t = ) 1 k/2 ( l ja ṽ l v = ) k/2 ( l l Ideana tässä on se, että nähdään millainen vaikutus potentiaalilla U on systeemiin. Potentiaali U = Cx 2 (harmoninen oskillaattori) U(ax) = Ca 2 x 2 = a 2 U(x) k = 2 ) 1 k/2 t ( l = t l = 1 värähdysaika ei riipu amplitudista ) k ) 2 Ẽ ( l = E l = ( l energia verrannollinen amplitudin neliöön l

16 Maanantai /19 Esimerkkejä Potentiaali U = Cr 1 (Keplerin liike) U(ar) = a 1 C/r = a 1 U(r) k = 1 t t = ) 1 k/2 ( l = l ) 3/2 ( l l ) ( t 2 = t ) 3 ( l l Tämä on Keplerin 3. laki, jos t, t ovat kiertoaikoja sekä l, l isoakselien puolikkaita! Klassinen esimerkki Lagrangen formalismin vahvuudesta: ei edes vaadittu mitään (kunnon) laskuja. Potentiaali U = Cz (hitu homogeenisessa painovoimakentässä) U(az) = au(z) k = 1 t t = ) 1 k/2 ( l l = l l Eli heilurin periodi on verrannollinen varren pituuden neliöjuureen.

17 aanantai /19 Dimensioanalyysiä Edellä olevissa esimerkeissä saatiin selville muuttujien väliset riippuvuussuhteet. Voimme menetellä myös toiseen suuntaan. Jos keksimme oikeat muuttujat, joilla saisimme selville selvitettävän suureen, jäisi jäljelle vain skaalausvakion a selvittäminen (kokeellisesti). Tätä menetelmää kutsutaan dimensioanalyysiksi ja tarkastellaan muutamia esimerkkejä. Esimerkkinä arvioidaan ilmakehässä räjähtävän ydinpommin energiaa. Oletetaan, että räjähdys on pistemäinen ja, että paineaallon säteeseen vaikuttavat muuttujat E, ρ, t. Oletetaan similaarisuus, eli r = C E a t b ρ c (C dimensioton luku) Valitaan perusyksiköt [r] = L ; [t] = T ; [m] = M [E] = ML2 T 2 ; [ρ] = M L 3 L = [r] = [E] a [t] b [ρ] c = M a+b L 2a 3c T 2a+b a + b = 0 a = 1/5 2a 3c = 1 b = 2/5 2a + b = 0 c = 1/5 r = C E 1/5 t 2/5 ρ 1/5

18 Dimensioanalyysiä Kuuluisa esimerkki, kun G.I.Taylor dimensioanalyysillä selvitti Yhdysvaltojen suurimman atomisalaisuuden vuonna Taylor arvioi shokkifysiikasta C 1. Ilman tiheys korkeudella 1, 4km (Alamogordo, New Mexico) on n. ρ 1, 3kg/m 3. Kuvasta säde r = 39m ajan hetkellä t = 1.22ms, jolloin saamme E = r 5 ρ/t 2 7, J, oikein! (Vrt. Trinity test, esim. wikipedia: 84 TJ) Maanantai /19

19 Maanantai /19 Soutuveneen nopeus soutajien funktiona Seuraava esimerkki on myöskin klassinen: kuinka soutuveneen nopeus muuttuu soutajien lukumäärän mukaan? Soutuveneeseen kohdistuu neliöllinen kitkavoima, joka on verrannollinen vedessä olevan veneen keulan poikkipinta-alaan F kitka v 2 A Teho, joka tarvitaan tämän voittamiseen skaalautuu kuten P F kitka v v 3 A Arkhimedeen lain mukaan syrjäytetyn veden tilavuus on lineaarisesti verrannollinen soutajien lukumäärään V N. Eli vedenpinnan alla oleva tilavuus V N ja siis pinta-ala A N 2/3. Oletetaan lisäksi, että jokaisen soutajan tuoma lisäteho on sama: P N. P N N 2/3 v 3 v N 1/9 Hienosti sopusoinnussa esim. olympiasoutujen kanssa.