MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

Transkriptio

1 MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

2 Moninkertaisten integraalien sovelluskohteita 1/2 Tähän mennessä kurssilla esiintyneita moninkertaisten integraalien sovelluskohteita ovat mm.: Pinta-alan laskeminen: Ala() = Tilavuuden laskeminen: Tilavuus() = Kappaleen massan laskeminen: m() = 1 da. 1 dv. δ(x, y, z) dv, missä δ(x, y, z) on tiheys pisteessä (x, y, z). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

3 Moninkertaisten integraalien sovelluskohteita 2/2 Hitausmomentti kappaleen pyöriessä z-akselin ympäri: I z () = δ(x, y, z)(x 2 + y 2 ) dv, missä δ(x, y, z) on tiheys pisteessä (z, y, z). Painopisteen eli massakeskipisteen ( x, ȳ) laskeminen tasaisesti jakautuneen massan (eli δ(x, y, z) = vakio) ja kaksiulotteisen alueen tapauksessa: x = x da da, ȳ = y da da. Seuraavaksi käsitellään muutamia muita sovelluksia. Muita sovelluksia esiintyy myöhemmillä kursseilla, mm. lujuuslaskennassa. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

4 Kaksiulotteinen pinta-ala avaruudessa 1/3 z k n γ y x Tutkitaan kaksiulotteista pintaa S, joka on xy-tason yläpuolella avaruudessa R 3. Tarkastellaan aluksi xy-tason neliön yläpuolelle jäävän osan pinta-alaa. Se on ilmeisesti suurempi tai yhtäsuuri kuin vastaavan neliön pinta-ala. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

5 Kaksiulotteinen pinta-ala avaruudessa 2/3 Tästä johtuen pinta-aladifferentiaali ds on suurempi tai yhtäsuuri kuin kuin dx dy. Itseasiassa dx dy saadaan, jos ds projisoidaan xy-tasoon. Projektio voidaan kirjoittaa kaavana dx dy = cos γ ds, missä γ on pinnan S normaalivektorin n ja z-akselin suuntaisen yksikkövektorin k välinen kulma. Toisaalta pistetulon määritelmästä saadaan n k = n k cos γ, ja siis ds = 1 n k dx dy = dx dy. cos γ n k Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

6 Kaksiulotteinen pinta-ala avaruudessa 3/3 Aikaisemmin on johdettu pinnan (ylöspäin suunnatulle) normaalivektorille esitys n = z x i z y j + k. Saadaan n = 1 + ( z x ) 2 ( z ) 2 + y Lisäksi k = 1 ja n k = 1, joten ( z ) 2 ( z ) 2 ds = dx dy. x y Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

7 Esimerkki Lasketaan xy-tason kiekon x 2 + y 2 = a 2, a > yläpuolella olevan hyperbolisen paraboloidipinnan z = x 2 y 2 osan pinta-ala. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

8 Ratkaisu 1/2 Lasketaan x z = 2x, y z = 2y. Siten pinta-aladifferentiaaliksi saadaan ( z ) 2 ( z ) 2 ds = dx dy x y = 1 + 4(x 2 + y 2 ) dx dy napakoordinaateissa ilmaistuna. = 1 + 4r 2 r dr dθ, Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

9 Ratkaisu 2/2 Lasketaan nyt integraali napakoordinaateissa: = π 4 Ala(S) = = π 4 a r= ˆ 2π ˆ a ˆ a r 1 + 4r 2 dr dθ 8r 1 + 4r 2 dr 2 3 (1 + 4r 2 ) 3/2 = π [ (1 + 4a 2 ) 3/2 1 ]. 6 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

10 Massakeskipiste 1/2 Kolmiulotteisen kappaleen massakeskipiste ( x, ȳ, z) voidaan laskea [ x = [ ȳ = [ z = ][ ] 1 xδ(x, y, z) dv δ(x, y, z) dv, ][ ] 1 yδ(x, y, z) dv δ(x, y, z) dv, ][ zδ(x, y, z) dv δ(x, y, z) dv ] 1, missä δ = δ(x, y, z) on kappaleen tiheys pisteessä (x, y, z). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

11 Massakeskipiste 2/2 Kaava voidaan kirjoittaa myös vektorimuodossa rδ dv xi + ȳj + zk = δ dv, missä r = xi + yj + zk. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

12 Esimerkki Lasketaan epäyhtälöiden x 1, y 1 ja z 1 määräämän yksikkökuution massakeskipiste, kun tiheys δ(x, y, z) = z. Huom. Yksikkökuutio voidaan myös määritellä käyttäen nk. karteesista tuloa: = [, 1] [, 1] [, 1] = [, 1] 3. Tämä merkintätapa tarkoittaa samaa kuin ylläoleva määritelmä epäyhtälöiden avulla. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

13 Ratkaisu 1/2 Lasketaan ensin Saadaan x = 1 1 = δ dv = ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 z dz = 1 xz dx dy dz 1/2 1 z= = z dx dy dz 1 2 z2 = 1 2. ( 1 x= = (1/2)2 1/2 = 1 2. )( x2 1/2 ) 1 z= 2 z2 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

14 Ratkaisu 2/2 Vastaavasti ȳ = yz dx dy dz 1/2 = (1/2)2 1/2 = 1 2. Edelleen voidaan laskea z = 1 Massakeskipisteeksi saadaan 1 1 z2 dx dy dz 1/2 = (1/3) (1/2) = 2 3. = ( x, ȳ, z) = (1/2, 1/2, 2/3). 1 1 z= 3 z3 1/2 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

15 Hitausmomentti 1/3 Tarkastellaan tilannetta, jossa pistemäiset kappaleet kiertävät oriogoa xy-tasossa ympyrän muotoista rataa pitkin samalla kulmanopeudella. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

16 Hitausmomentti 2/3 Voidaan laskea kappaleiden yhteenlaskettu liike-energia saadaan laskemalla summa E = N i=1 1 2 m iv 2 i = 1 2 [ N i=1 ] m i ri 2 ω 2 = 1 2 [ N i=1 ] m i (xi 2 + yi 2 ) ω 2, missä ω on kulmanopeus ja m i, x i sekä y i ovat i:nnen kappaleen massa ja paikka. Summaa kutsutaan hitausmomentiksi. N i=1 m i (x 2 i + y 2 i ) Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

17 Hitausmomentti 3/3 Ajattelemalla z-akselin ympäri pyörivä kappale joukoksi infinitesimaalisen pieniä pisteitä, voidaan edelläolevasta summasta päätellä kappaleen liike-energia: E = 1 [ ] (x 2 + y 2 )δ(x, y, z) dv ω 2 2 missä I z = = 1 2 I zω 2, (x 2 + y 2 )δ(x, y, z) dv on kappaleen hitausmomentti z-akselin suhteen. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

18 Esimerkki z y ω z=1 a x Lasketaan sylinterin = {(x, y, z) : x 2 + y 2 a 2 ja z 1}, a > hitausmomentti z-akselin suhteen, kun tiheys on vakio δ = δ. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

19 Ratkaisu 1/2 Lasketaan I z = (x 2 + y 2 )δ dv = δ ˆ 1 ˆ 2π ˆ a r 2 r dr dθ dz ˆ a = 2πδ r 3 dr = 1 2 πδ a 4. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2

20 Ratkaisu 2/2 Toisaalta sylinterin massa on m = δ dv = δ Tilavuus() = δ πa 2. Siten hitausmomentti voidaan kirjoittaa I z = 1 2 (πδ a 2 )a 2 = 1 2 ma2. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy / 2