MAB5: Tunnusluvut 3.3 Hajontaluvusta Esmerkk 7 Seuraavat kolme kuvaa osottavat, että jakaumlla vo olla sama keskarvo ja stä huolmatta ne vovat olla avan erlaset. Kakken kolmen keskarvo on 78,0! Frekvenss I Frekvenss II 6 4 0 8 6 4 0 35 45 55 65 75 85 95 05 5 40 35 30 5 0 5 0 5 0 35 45 55 65 75 85 95 05 5 Frekvenss III 0 9 8 7 6 5 4 3 0 35 45 55 65 75 85 95 05 5 Onko keskarvo ss hyödytön? E todellakaan, mutta yksnään se vo kyllä olla harhaanjohtava. Se, kuten muutkn hajontaa kuvaavat luvat, on van yks monsta. Stä täydentämään on kehtetty joukko hajontalukuja. Alotetaan ntten tutkmnen tarkastelemalla vahteluvälä. Vahteluvälstä Vahteluväl lmottaa, mnkä kahden arvon välssä jakauman muuttujanarvot ovat. Se on tlaston muuttujanarvojen suurmman ja penmmän arvon väl. Jos penmmästä arvosta käytetään merkntää x mn ja suurmmasta merkntää x max, nn vahteluväl merktään x mn x max. Välvva e ss merktse tässä yhteydessä vähennyslaskua. Vahteluväln ptuus on yksnkertasest nätten kahden äärarvon erotus, jota merktään krjamella R. Vahteluväl määrtellään ss yhtälöllä
R = x max x mn Tässä välvva on vähennyslaskun merkntä! Esmerkk 8 Taulukkolaskentaohjelmssa ja monssa laskmssa, jossa on tlastollsa tomntoja, on myös tomnto, joka hakee lukujoukon suurmman arvon ja tonen, joka hakee joukon penmmän arvon. Nssä on myös tomnto, jonka avulla kone järjestää taulukon suuruusjärjestykseen. Ohesen hpphyppästen panojen taulukon penmmän ja suurmman arvon etsmseen e tok tarvta apuvälnetä. Koska taulukon suurn pano on 08 grammaa ja penn on 76 grammaa, nn taulukon vahteluväl on 76g 08 g ja vahteluväln ptuus on 3 grammaa. Ykslö Pano [g] 00 9 3 76 4 00 5 84 6 84 7 00 8 9 9 08 0 84 Vahteluväl on penmmän ja suurmman muuttujanarvon väl Vahteluväln ptuus on suurmman ja penmmän muuttujanarvon erotus ja stä merktään krjamella R. Vahteluväl kertoo van sen, mllä välllä mttausarvot ovat. Kuten Esmerkn 7 ensmmäsen ja kolmannen jakauman tlanteesta huomataan ntten vahteluväl on sama vahteluväl jättää paljon kertomatta. Joskus vahteluväln tarjoama teto rttää, mutta usen tarvtaan tarkempaa tetoa stä, mten mttausarvot jakautuvat esmerkks keskarvon suhteen. Tätä tarkotusta varten on kehtetty keskhajonta. Se on kakken enten käytetty apuvälne, kun haetaan vahteluvälä tarkempaa tetoa mttausarvojen hajonnasta. Keskhajonnasta Keskhajonnalla kuvataan mttausarvojen jakautumsta keskarvon ympärlle. Tavotteena on luku, joka kertoo, kunka kaukana keskarvosta mttausarvot yleensä ta keskmäärn ovat. Eräs keskhajonnan tärkeä omnasuus on se, että sllä on sama ykskkö kun tse anestolla ja aneston keskarvolla. Esmerkk 9 Tarkastellaan velä Esmerkn 8 taulukkoa ja lasketaan sen mttausarvojen el hpphyppäs otoksen ykslötten panojen keskarvo. Tulos on 9,0 grammaa. Yks mahdollsuus kuvata mttaustulosten jakautumsta keskarvon ympärlle ols laskea jokasen panon pokkeaman keskarvo panojen keskarvosta. Suortetaan tämä lasku ja tehdään stä taulukko. Krjotetaan taulukon ensmmäseen sarakkeeseen ykslötten panot kopodaan ne Esmerkstä 8 sekä panojen keskarvo. Toseen sarakkeeseen krjotetaan kunkn panon ja keskarvon erotus sekä nätten keskarvo. Vmeks mantun luvun krjotan otskoneen ( merveden ) vhreällä. Saatu erotusten tsesarvojen keskarvo, joka osottautu 8 grammaks, kelpas hajonnan mtaks.
Sen sjaan, että käytettäsn äskeseen tapaan keskarvoa laskettuna yksttästen mttausarvojen erotukssta, käytössä on luku, jota sanotaan keskhajonnaks ja joka määrtellään vähän äskestä monmutkasemmn. Keskhajonnan peraate on notten erotusten nelötten keskarvon nelöjuur. Luoktellun ja luokttelemattoman aneston keskhajonnat lasketaan käytännön systä tosstaan eroavlla, mutta tosaan vastaavlla tavolla. Pano ja keskarvo Keskarvon ja panon erotuksen tsesarvo 00 g 8 9 g 0 76 g 6 00 g 8 84 g 8 84 g 8 00 g 8 9 g 0 08 g 6 84 g 8 9,0 g Erotusten tsesarvojen keskarvo = 8,0 Keskhajontaa (standard devaton) merktään usen penellä s krjamella. Mutakn merkntöjä on. Esmerkks snun laskukoneesees se on saatettu merktä jollan muulla merkllä. Luokttelemattoman aneston keskhajonta lasketaan ss seuraavast: Määrtellään aluks merknnät: mttausarvojen keskarvoa merktään krjamella x (lue: äks vva ) ja kutakn mttausarvoa merktään x:llä, jotka numerodaan alandeksllä. Täten kolmas mttausarvo ta yhtä hyvn kolmannen hpphyppäsen pano on ss x 3. Merkntä x, = 0 tarkottaa tosaalta kutakn kymmentä mttausarvoa ja tosaalta stä, että mttausarvoja ylpäänsä on kymmenen kappaletta. Vähennetään jokanen mttaustulos vuorollaan keskarvosta ja krjotetaan erotukset taulukkoon. Lasketaan jokasen äskesen erotuksen nelö. Lasketaan nätten nelötten keskarvo. Lasketaan saadun keskarvon nelöjuur. Kun käytetään äskesä merkntöjä ja mttausarvoja on n kappaletta, luokttelemattoman aneston keskhajonta s on
s n = = ( x x) n. Tässä muodossa keskhajonta on tarkemmn sanottuna populaatokeskhajonta (populaton standard devaton). Kun nelöjuuren ssällä olevan nmttäjän n korvataan luvulla n, saadaan nn sanottu otoskeskhajonta (sample standard devaton), joka on ss s = n = ( x x) n. Jos n on suur, e ole välä, jaetaanko n:llä va n :llä. Valtaan selvyyden vuoks kakkn kaavohmme n. Käytetään ss yllä punasssa raamessa olevaa versota. Tämä on myös se verso, joka yleensä on laskmssa. Musta seuraavassa summan lyhennysmerkntä! Esmerkks k + f +... + f k = f. = Luoktellun aneston keskhajonta määrtellään luokttelemattoman aneston keskhajontaa vastaavalla tavalla. Luoktellun aneston keskhajonta lasketaan seuraavast. f Määrtellään aluks merknnät: mttausarvojen keskarvoa merktään krjamella x (lue: äks vva ) ja kutakn luokkakeskusta merktään x:llä, jotka numerodaan alandeksllä. Olkoon luokken lukumäärä k. Luokkakeskukset ovat ss x, kun = k. Merktään luokan x frekvenssä krjamella f, mssä ss edelleen = k. Mttausarvoja on jälleen n kappaletta el n f + f +... + f = k. Vähennetään jokanen luokkakeskus vuorollaan keskarvosta ja krjotetaan tulos taulukkoon. Lasketaan jokasen äskesen erotuksen nelö. Jaetaan nätten nelötten summa luvulla n. Kuten tedät, tämä e ole nelötten keskarvo avan tarkast. Lasketaan saadun keskarvon nelöjuur. Sama yhtälön avulla: luoktellun aneston keskhajonta s on s = k = f ( x x) n Esmerkk 0
Jatketaan Esmerkkä 9. Sen anesto on luokttelematonta. Lasketaan sen keskhajonta edellä sanallsest selostetulla tavalla ja velä uudelleen kaavaan soveltaen. Käytetään myös edellä oleva merkntöjä, jotka ovat muuallakn ylesessä käytössä. Mttausarvojen ja keskarvon erotukset mellä jo on ta tarkemmn sanoen ntten tsesarvot, mutta merkk häpyy, kun korotamme nuo erotukset nelöön. Seuraavan taulukon sarakkessa ovat mttausarvot, keskarvo, mttausarvojen ja keskarvon erotuksen nelöt sekä vmeks manttujen nelötten summa. Mttausarvot el x :t Erotusten keskarvosta nelöt el ( x x) x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 KA 9,0 Y.o. nelötten summa = 896 Keskhajonnasta puuttuu velä nelötten summa jaettuna mttausarvojen määrä mnus yhdellä el 9:llä sekä tämän osamäärän nelöjuur. Suortetaan nämä operaatot: 896 9 9, 98. Saamme keskhajonnaks ss non 0. Suortetaan velä samat laskut lman taulukkoa sjottamalla lukuarvot kaavaan. Keskhajonnan kaavamme on s = n = ( x x) n. Sjotetaan:
= n = ( x x) n ( x x) + ( x x) + ( x x) + ( x x) + ( x x) + ( x x) + ( x x) + ( x x) + ( x x) + ( x x) = ( 00 9) + ( 9 9) + ( 76 9) +... + ( 08 9) + ( 84 9) = 9 9, 98 Vastaus: Keskhajonta on non 0 grammaa. 3 4 5 6 0 7 8 9 0 Esmerkk Luokteltu anesto Seuraavassa taulukossa on tlastollsta tetoa hpphyppästen ptuukssta senttmetrenä lmastuna. Snä annetaan sekä luokteltuna että luokttelematta erään ryhmän jäsenten tedot. Lasketaan keskarvo ja keskhajonta. Luokttelematon anesto: 4, 4, 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5, 5,3 5,6 5,7 5,9 6,0 6,0 6, 6, 6,3 6,3 6,3 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,6 6,6 6,6 6,7 6,8 6,9 6,9 7,0 7,0 7, 7,3 7,7 7,9 8,0 8, 8, 8,4 8,6 8,7 8,7 9, 9,3 9,5 9,6 9,9 0, Luokteltu anesto: 0 3,550 7 4,550 7 5,550 9 6,550 5 7,550 6 8,550 5 9,550 0,550 0,550
Luoktellun aneston taulukon ensmmäsessä sarakkeessa on luokan alaraja, kolmannessa on luokan yläraja, neljännessä sarakkeessa on luokan frekvenss ja vhdon vdennessä sarakkeessa luokkakeskus. Keskarvoks saadaan nän 6,85 el okeutetummalla tarkkuudella 6,9. Koska keskhajonnan kaava on nyt s = k = f ( x x) n, nn s = 7 ( 4, 55 6, 85) + 7 ( 5, 55 6, 85) + 9 ( 6, 55 6, 85) + 5 ( 6, 55 6, 85) + 6 ( 7, 55 6, 85) 50 +... ja ss s =, 5. Vastaus: Aneston keskarvo on 6,9 ja keskhajonta on,5. Kun merktään mttausarvojen keskarvoa x :lla, mttausarvoja (luokttelematon anesto) ta luokkakeskuksa (luokteltu anesto) x :llä ( = n), mttausarvojen lukumäärää n:llä, luokken lukumäärää k:lla (luokteltu anesto) ja :nnen luokan frekvenssä f :llä (luokteltu anesto), nn mttausarvojen keskhajonnaks sanotaan lukua s, joka määrtellään kaavalla s = s = n = k = ( x x) n f ( x x) (luokttelematon anesto) (luokteltu anesto) n Huomautuksa
Yllä olevaa keskhajontaa, jonka määrttelevän yhtälön nmttäjässä on luku n sanotaan ertysest otoskeskhajonnaks. Lukua, joka saadaan, kun tämä n korvataan n :llä, sanotaan populaatokeskhajonnaks. Tällä kursslla van otoskeskhajonta on käytössä. Koska keskhajonnan laskukaavan molemmssa versossa mttausarvon ta luokkakeskuksen erotus korotettn toseen potenssn, e ole välä, kunka pän erotus lasketaan. Tosn sanoen, koska ( x x) = ( x x ), nn keskhajonnassa e ollenkaan näy, kummalla puolella keskarvoa mttausarvo on. Keskhajonta on tässä melessä symmetrnen. Täten keskhajonnalla on käyttöä van keskarvon suhteen symmetrsten jakaumen kanssa. Käytä keskhajontaa van keskarvon suhteen symmetrsten jakaumen kanssa Myös mttausarvojen ja keskarvon erotusten nelötten keskarvoa käytetään, kun mtataan mttausarvojen jakautumsta keskarvon ympärlle. Stä sanotaan varanssks ja stä merktään usen joko s :lla ta σ :lla. Sen ykskkö e kutenkaan ole sama kun mttausarvon ykskkö. Sks emme käytä stä tällä kursslla. Esmerkks laskukonees käskrja saattaa manta varanssn. Huomaa velä, että keskhajonta on varanssn nelöjuur. Tätä tetoa tarvtset anakn, jos konees lmottaa van varanssn. Normaaljakaumasta el Gaussn kellokäyrästä Kakken kuulusn keskarvon suhteen symmetrnen jakauma on Gaussn kellokäyrä ta lyhyest Gaussn käyrä. Seuraava kuva esttää sellasta Gaussn kellokäyrää, jonka mttausarvojen keskarvo x on 0 ja keskhajonta on. Se on funkton y = e π kuvaaja. Tämä yhtälö ja shen lttyvä tetoja ja taulukota on matematkan taulussa. Gaussn kellokäyrän muotosta jakaumaa sanotaan normaaljakaumaks (normal dstrbuton).
Jos mttausaneston frekvenssmonkulmo on symmetrnen mttausarvojen keskarvon suhteen ja on (muutenkn) Gaussn kellokäyrän muotonen, sanotaan, että anesto on normaalst jakautunut parametrena keskarvo x ja keskhajonta s. Kaavaan sjottamalla näet, että tämä nn sanottu normtettu Gaussn (kello)käyrä lekkaa y - 0 akseln y:n arvolla y( 0) = e 0, 4. π Monet arkpävän sekä luonnonteteen, teknkan ja yhteskunnan asat noudattavat normaaljakaumaa el asettuvat symmetrsest keskarvon ympärlle sten, että mtä penemp keskhajonta stä tukemmn mttausarvot keskttyvät keskarvon ympärlle ja stä kapeamp kellokäyrä kuvaa ntten hajontaa. Iso keskhajonta merktsee vastaavast leveää kellokäyrää. Anakn seuraavan luettelon jakaumat noudattavat kellokäyrää: kahden tuuman naulojen tarkat ptuudet mesten keskptuudet nasten keskptuudet lampun kestokä klon jauhopaketn tarkka ssällön määrä yo kokeden tulokset Esmerkk Tarkastellaan seuraavan taulukon anestoa. Snä on jälleen erään hpphyppästen yhtesön täyskasvusten jäsenten ptuudet senttenä. Prretään anestosta hstogramm sekä lasketaan aneston keskarvo ja keskhajonta. 3,6 4, 4, 4,6 4,7 4,7 4,8 4,9 5,0 5,0 5, 5, 5,3 5,3 5,4 5,5 5,6 5,6 5,7 5,7 5,8 5,8 5,8 5,9 5,9 5,9 6,0 6,0 6, 6, 6, 6, 6,3 6,3 6,3 6,4 6,4 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,6 6,6 6,6 6,6 6,7 6,7 6,8 6,9 6,9 7,0 7,0 7,0 7,0 7, 7, 7, 7, 7, 7,3 7,3 7,4 7,6 7,6 7,6 7,6 7,7 7,7 7,8 7,8 7,8 7,9 7,9 7,9 8,0 8,0 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,4 8,4 8,6 8,6 8,7 8,7 8,7 8,9 8,9 9, 9,3 9,5 9,5 9,6 9,9 9,9 0,
Hstogrammn prtämstä varten anesto on luokteltava. Käytä tlasuutta hyväkses ja tarksta nämä mnun tekemän laskut! Valtaan sentn ptuset luokat nn, että ensmmänen luokka on väl [3,;4,0]. Tosn sanoen mttausarvo 3,0 on mukana luokassa, jonka luokkakeskus on 3,55, samon 4,0. Ykskkönähän on senttmetr. Luokttelun tulos on seuraavassa taulukossa. Luoktellun aneston kaavojen avulla lasketut aneston keskarvo ja keskhajonta ovat: x = 6, 930cm, s =, 45cm. Luokkak f 3,55 4,55 9 5,55 8 6,55 7 7,55 8,55 5 9,55 7 0,55,55 0 Tuloksena saamme seuraavan hstogrammn. Jos kuvttelet vvan, joka yhdstää palkken huppujen keskpsteet ja vähän pyörstät vvan kulma, saat suunnlleen kellokäyrän. Tämä johtuu stä, että kuvan pohjana on lukujoukko, jonka nmenomaan laadn nn, että sen mttausarvot ovat normaalst jakautuneet keskarvona 6,9 cm ja keskhajontana,45 cm. Frekvenssjakauma 30 5 0 Frekvenss 5 0 5 0 Luokkakeskukset, cm
Johtopäätös: jakauma vo olla saman muotonen kun Gaussn kellokäyrä myös mulla keskarvon ja keskjakauman arvolla kun 0 ja. Arvodaan, kunka mon Esmerkn mttausarvo on yhden keskhajonnan etäsyydellä keskarvosta. Keskarvon ja keskhajonnan summa on 6,9 +,45 el 8,35 ja erotus 6,9,45 on 5,45. Täten keskarvon yläpuolelta mukaan tulee koko se luokka, jonka keskus on 7,55 el mttausarvoa. Keskarvon alapuolelta mukaan tulee kokonaan luokka, jonka keskus on 6,55 el 7 mttausarvoa. Arvodaan luokkaa, jonka luokkakeskus on 8,55 sten, että sen mttausarvot ovat tasasesta jakautuneet epätarkkaa, mutta e nyt hattaa nn, että sen frekvenssstä 35 prosentta tulee mukaan el ss 5 mttausarvoa. Manttu 35 prosentta tulee stä, että keskhajonta yltää luokkakeskusta 8,55 vastaavan luokan alueelle non 35 prosentta luokan koko laajuudesta. Vastaavast luokkakeskuksen 5,55 frekvenssstä otetaan 55 prosentta el 0 mttausarvoa. Yhteensä ss yhden keskhajonnan päässä keskarvosta on non 64 mttausarvoa. Tämä on melken kaks kolmasosaa koko määrästä. Kuten huomaat, prosenttykskkö suuntaan ta toseen e merktse tässä mtään. Normaaljakaumaa koskeva tulos Heman pyörstäen vodaan sanoa, että keskarvon kummallakn puolella erkseen, sekä okealla että vasemmalla puolella, on kolmannes kaksta normaaljakauman mttausarvosta. Tvstetään tämä asa kuvaan, josta se on havannollsemmn luettavssa kun sanallsesta seltyksestä. Kuvan x akseln ykskkönä on keskhajonta. Tämä tarkottaa stä, että x:n arvo vastaa kahta keskhajontaa ja vastaa yhtä keskhajontaa y akseln vasemmalla puolella.
96% 68% % 4% 34% 34% 4% % Yllä olevan kuvon luku 96% lenee vsasta tulkta lukuna non 95% ja luku 68% kahtena kolmasosana Esmerkk 3
Oletetaan, että hpphyppästen ptuudet ovat normaalst jakautuneet keskarvona 7,0 cm ja keskhajontana,3 cm. Kunka mon 000 ykslön kokosessa populaatossa on korkentaan 5,7 sentn ptunen? Ratkasu Kyseessä on ss ntten ykslötten ptuudet, jotka ovat joko yhden keskhajonnan päässä keskarvon alapuolella ta stä lyhyempä. Koska äsken estetyn perusteella non kaks kolmasosaa on yhden keskhajonnan etäsyydellä keskarvon ympärllä, nn keskarvon alapuolella alle yhden keskhajonnan päässä on non yks kolmasosa kaksta mttausarvosta. Tällön korkentaan yhden keskhajonnan päässä keskhajonnan alapuolella ta sen vasemmalla el penemmällä puolella on non yks kuudes osa kaksta. Yks kuudes osa 000 ykslön joukosta on non 333 ykslöä. Jos käytämme yllä manttuja oleva lukuja 4% ja %, saamme 0, 6 000 = 30. Tarkstetaan asa. Mellähän on 000 ykslön ptuudet taulukossa. Seltä löytyy 39 ykslöä, jotka ovat 5,7 senttä ptkä ta stä lyhyempä. Järjestetystä anestosta löydät ne het, mutta myös järjestämättömästä anestosta ne löytyvät ohjelman tomnnolla muullakn tavalla kun järjestämällä anesto. Normttamnen Keskarvo ja keskhajonta määräävät kellokäyrän muodon ykskästtesest. Yks keskhajonnan tehokkasta prtestä, joka tästä seuraa, on että keskhajonta tarjoaa aneston mttakaavan ja keskhajonta knnttää anestonsa pakan kartalla. Otamme tämän omnasuuden nyt käyttöön. Kaks kolmas osaa koko anestosta on ss yhden keskhajonnan säteellä keskarvosta. Tätä tetoa käytmme Esmerkssä 3. Gaussn käyrän käytännöllnen ja tehokas omnasuus on, että vastaavast kun tuo kaks kolmasosaa, mkä tahansa kellokäyrän x aksellta valttu pste ja mnkä tahansa kellokäyrän x aksellta valttu pste määrää ykskästtesest sen, mkä osa anestosta on tuon psteen ala- ta yläpuolella tuossa tlastossa. Esmerkk 4 normtettu arvo Ajatellaan naulatehdasta, joka tekee kaken muun ohessa kahden tuuman ptusa nauloja. Tehtaan laaduntarkkalu on huomannut, että kakken tehtaassa valmstettujen naulojen keskarvo on hyvn tarkkaan kaks tuumaa, mutta että tosaalta kahden tuuman naulojen ptuuksen keskhajonta on mllmetr. Kuten mustat, tämä merktsee stä, että kaksta tehtaan valmstamen kahden tuuman naulojen ptuukssta kaks kolmas osaa on välllä [4,98 cm ; 5,8 cm]. Valtaan satunnanen naula. Mtattuamme sen ptuuden, huomaamme, että se on juur tasan 5,00 cm ptkä. Tämä eroaa naulojen nmellsptuudesta, joka sattuu nyt olemaan myös todellsuudessa valmstuven naulojen keskptuus, määrän 5,00 cm = 0,08 cm, joka on puolestaan 0,8 keskhajontaa: 0, 08cm 0, cm = 0, 8. Tällön sanotaan, että satunnasen naulamme ptuuden normtettu arvo on 0,8. Luku on negatvnen, koska naulamme on keskarvoa lyhyemp. Vastaavast 5,6 senttä ptkän naulan ptuuden normtettu arvo ols 0,8, koska sekn on 0,8 keskhajonnan päässä keskarvosta mutta stä ptemp.
Esmerkk 5 Jos tehtaan vden tuuman naulojen ptuuksen keskarvo on tasan vs tumaa ja keskhajonta on 3 mllmeträ, kunka ptkä on naula, jonka nmellsptuus on 5 tuumaa ja ptuuden normtettu arvo on a) +, b) 0,9? Ratkasu a) Koska keskhajonnaks lmotetaan 3 mm ja koska, 3mm = 3, 6mm, nn naulan ptuus on 5 tuumaa + 3,6 mllä el 3,06 cm. Vastaus: Naulan ptuus on 3,06 cm. b) Nyt naulan ptuus on 5 0, 9 3 mm =,43 mm. Vastaus: Naulan ptuus on,43 cm. Ylesest muuttujan x el mttausarvon x normtettu arvo z määrtellään kaavalla x x z =. s Huomaa vähennyslaskun järjestys: keskarvo vähennetään mttausarvosta ja tulos käytetään merkkeneen. Muuttujan x normtettu arvo z on x x z =, s kun x:n keskhajonta on s ja sen keskarvo on x. Tämän kaavan avulla normttamalla vodaan mkä tahansa normaalst jakautunut tlasto palauttaa normaaljakaumaan, jonka keskarvo on 0 ja keskhajonta on. Tärkeä tulos: Mtataan muuttujaa x, joka on normaalst jakautunut keskarvona x ja keskhajontana s el parametrena x ja s. Sllon keskhajonta s ykskkönä lmotetun säteen päässä oleven mttausarvojen osuudet kaksta mttausarvosta vodaan laskea käyttämällä normaalst parametrena 0 ja jakautuneen normaaljakauman lukuarvoja. Koska vmeks mantun jakautuman arvot on taulukota [MAOL taulukot, Seppänen et al, ] ja ne löytyvät myös monsta laskmsta, normttamnen tekee normaalst jakautuneet mttausarvot paljon helpommn kästeltävks. Seuraavat esmerkt valassevat asaa. Tutk nässä merkessä velä Esmerkkä 3!
Jos x on normaalst jakautunut parametrena x ja s, nn z on normaalst jakautunut parametrena 0 ja, kun määrtellään z = x x s Seuraaven kolmen esmerkn jälkeen jätämme normaaljakauman vähäks akaa. Palaamme shen kutenkn velä todennäkösyyslaskennan merkessä han kurssn lopulla. Huomaa! Jos taulukkokrjan sjasta käytät lasknta normaaljakaumaa soveltavssa tehtävssä, varmsta konees käskrjasta, että tulktset koneen antamat arvot oken pän. Tarksta laskmes avulla, että saat seuraavsta esmerkestä samat tulokset kun mnä olen saanut. Jos et saa, ota konees käskrja uudelleen eslle! Yrtän ptää huolen stä, etten tse laske ntä väärn Kunhan varmstat, että saat samat, käytä tok laskntas. Taulukkokrjasta löydät tarvttavat tedot otskon Normaaljakauman kertymäfunkto alta. Juur nyt snun e kannata välttää tuosta nmestä kertymäfunkto, e myöskään sellassta merknnöstä kun Φ ( x), jota taulukkokrjassa näet. Mtään myststä nhn e ssälly, mutta emme tarvtse ntä velä. Palaamme nhnkn todennäkösyyslaskennan osuuden lopussa. Lasken esmerkt taulukkokrjan avulla. Jos käytät lasknta, hae vastaavat ohjeet sen käskrjasta. Esmerkk 6 Oletetaan, että hpphyppästen ptuudet ovat normaalst jakautuneet keskarvona 7,0 cm ja keskhajontana,3 cm. Kunka mon 000 ykslön kokosessa populaatossa on sllon ptemp kun 8,0 cm? Ratkasu Lasketaan ensn, kunka monta keskhajontaa 8,0 cm on ptemp kun 7,0 cm el normtetaan arvo 8,0 cm. x x 8, 0cm 7, 0cm Kaavan mukaan z = = = 0, 769. s 3, cm Ohesessa kuvassa on parametrena 0 ja jakautunut hajonta punasella vvalla sekä snsellä (slmämääräsest) prretty suora z = 0,769, joka taulukkokrjan merknnön z ols suora x = 0,769. Avaa taulukkokrjas kohdasta, jossa on normaaljakauman kertymäfunkton taulukko. Taulukon yläreuna on luultavast seuraavan kuvan näkönen.
Tämä kuva on ss van kysesen taulukon yläreuna el otskkorv, otskkosarake sekä kaks datarvä. Tovon, että tämä kuva auttaa snua löytämään okean taulukon. Tästä taulukosta, ohesta kuvaa alempaa, etstään nyt lukua 0,769 vastaavaa arvoa. Pyörstetään ensn 0,769 luvuks 0,77. Taulukon ensmmäsen sarakkeen otskkona ss x luvut 0,0; 0,; ; 3,4 ovat etsttävän luvun kokonasosa ja ensmmänen plkun jälkenen desmaal. Nnpä valtsemme rvn, joka alkaa 0,7. Stten edetään ptkn tätä rvä kunnes tullaan shen sarakkeeseen, joka alkaa seskalla el pyörstetyn lukumme seuraavalla desmaallla. Nätten rvn ja sarakkeen lekkauksessa on luku 7794. Se on kuvassa punasella rengastettuna. Pyörstn lukumme kahteen desmaaln, koska tästä taulukosta e lukuja vo etsä sen tarkemmn. Luku, joka on sen sarakkeen, joka alkaa luvulla 0 ja rvn, joka alkaa luvulla 0,0 rsteyksessä oleva luku on vähän erlanen kun muut: snä nolla ja plkku muun lsäks el snä on luku 0,5000. Musta nuo nolla ja plkku puuttuvat, koska ntä e ole vtstty tostaa. Luku, jonka löysmme, e ss olekaan 7794 vaan 0,7794. Tämä kertoo sen, että 77,94 prosentta kaksta mttausarvosta el hpphyppästen ptuukssta on 8,0 senttä ta lyhyempä. Täten 8 senttsä ta ptempä on 00% 77,94% =,06% el 000 ykslöstä 44. Vastaus: 000 hpphyppäsestä 44 on 8 senttä ptkä ta pdempä. Esmerkn 6 kuten mutten samankaltasten esmerkken ratkasemnen perustuu ajatukseen, että esmerkks mantun Esmerkn 6 kuvan snsen pystyvvan, punasen Gaussn käyrän ja x - akseln rajaaman alan suhteellnen osuus koko Gaussn käyrän ja x akseln rajaamasta alasta on sama kun vastaavaan normtetun käyrän kohtaan prretyn pystyvvan ja koko normtetun kellokäyrän ja x akseln rajaaman alan suhteellnen osuus kakken mttausten määrästä el koko kellokäyrän ja x akseln rajaamasta alasta. Nuo alan arvot saadaan taulukosta, jonka jakauman keskarvo on nolla ja keskhajonta on yks ja ne ovat myös monssa laskmssa. Huomaa, että mona laskma käytettäessä edellä oleva teto Tämä kertoo sen, että 77,94 prosentta kaksta mttausarvosta el hpphyppästen ptuukssta on 8,0 senttä ta lyhyempä täytyy krjottaa muodossa Tämä kertoo sen, että 77,94 prosentta kaksta mttausarvosta el hpphyppästen ptuukssta on 8,0 senttä ta ptempä.. Tätä tarkotn, kun edellä varotn vaarasta tulkta koneen antama lukuja väärn pän el väärään suuntaan. Taulukkokrjan taulukossa, yllä mantun otskon alla on taulukotu lukuja, jotten otskoks on krjattu x. Tuo x on nyt kutenkn medän edellä olevan punasen laatkon z. Kun ss haemme yllä laskettua muuttujan z arvoa, haemme sen taulukosta, joka on otskotu x:llä. Hämäävää! E kutenkaan hattaa paljon, kun sen mustaa! Vähän tarkemman luvun löytää nterpolomalla. Luetaan normtettuja ptuuksa 0,76 ja 0,77 vastaavat lukemat. Ne ovat 0,7764 ja 0,7794. Ntten erotus on 0,003. Koska 0, 7764 + 0, 9 0, 003 = 0, 779, nn 77,9 prosentta on 8 senttsä ta lyhyempä ja yl 8 senttsä ols non 44 otusta 000 ykslön populaatosta. Hpphyppäsä e kutenkaan vo mtata kunka tarkast tahansa, joten tämä tarkkuus ols nässä laskussa epärealstnen.
Esmerkk 7 Oletetaan, että hpphyppästen ptuudet ovat normaalst jakautuneet keskarvona 7,0 cm ja keskhajontana,3 cm. Kunka mon 000 ykslön kokosessa populaatossa on sllon pdemp kun 5 senttä, mutta lyhyemp kun 8 senttä? Entä kunka mon on tarkalleen 8 sentn ptunen? Ratkasu Lasketaan, kunka mon on alle 5 -senttnen, kunka mon on alle 8 senttnen ja vähennetään saadut luvut tosstaan: katso Esmerkstä 6, mtä taulukkomme luvut tarkottavat. x x 5, 0 7, 0 Alle 5 senttsä: z = = =, 538. Haetaan taulukosta lukua +,538 el non +,54 s 3, vastaava arvo. Se on 0,938. Koska nyt olemme keskarvoa penemmssä arvossa, mutta tauskukossa e ole negatvsa lukuja, nn hakemalla postvsen luvun saamme etsttävän joukon joukko-opllsta komplementta kuvaavan luvun. Met asaa kellokäyrän kuvan avulla! Ss alle 5 senttsä on ( 0, 938) 000 = 4 ykslöä. Alle 8 senttsä: Esmerkn 6 nojalla 000 44 = 559 ykslöä. Ykslötä, joden ptuudet ovat 5 sentn ja 8 sentn välssä on nän ollen 559 4 = 435 kappaletta. Krjamellsest tarkalleen 8 senttsä e vo olla yhtään, sllä asaan lttyy ana epätarkkuutta. Jos tarkalleen 8 senttä tulktaan sten, että tarkalleen mttaus- ta lmotetun tarkkuuden puttessa, nn tarkalleen 8 senttsä ovat ne, joden ptuudeks lmotetaan 8,0 senttä. Vastaus: 5 ja 8 sentn välssä on non 559 hpphyppästä. Esmerkk 8 Oletetaan, että hpphyppästen ptuudet ovat normaalst jakautuneet keskarvona 7,0 cm ja keskhajontana,3 cm. Mnkä ptusa ovat ne hpphyppäset, jota on alle 0 prosentta kaksta? Ratkasu Kymmenen prosentta kaksta hpphyppässtä koostuu joukosta. Toseen kuuluvat ne hpphyppäset, jotka kuuluvat kakken lyhmpen vteen prosenttn ja ne, jotka kuuluvat psmpen vteen prosenttn. Koska normaaljakauma on symmetrnen keskarvon suhteen, nn nämä joukot ovat yhtä suuret. Kysymyksemme kuuluu nyt: Mkä on lyhmmän 95 prosentn ylärajaptuus. Haemme ss taulukosta taulukon merknnän mukaan lukua x, medän lukuamme z. Taulukossa on 9495 ja 9505! Nätä vastaavat ehdokkaamme ovat,64 ja,65. Koska en halua arpoa, otan luvun,645. Nän saan yhtälön x 7 = 645,, 3, josta saadaan ratkasu x = 9,. Toseen suuntaan, mutta yhtä kaukana keskarvosta, on x = 4,9. Tämä on sama asa kun korvata yhtälön,645 luvulla,645. Vastaus: Ntä ykslötä, joden ptuus on suuremp kun 9, senttä ja ntä, joden ptuus on penemp kun 4,9 senttä on yhteensä kymmenen prosentta koko populaatosta. Kvartlesta
Nn tehokas kun keskarvon ja keskhajonnan yhdstelmä onkn normaaln jakauman tlantessa, normaaln jakautuman kaltaset sstt tlanteet ovat sttenkn van osa totuutta elävässä elämässä. Aemmn jo vttasn shen, että vnon jakauman tapauksessa keskarvo kuvaa todellsuutta aka huonost. Apuun otn medaann ja moodn. Nyt täydennän tuota luetteloa velä yhdellä, kvartln kästteellä. Nyt aneston e ss tarvtse olla jakautunut mllään ertysellä tavalla. Se jaetaan neljään osaan, john kakkn tulee yhtä monta mttausarvoa el 5% koko määrästä kuhunkn. Kutakn 5% koko määrästä ssältävän joukon rajaa sanotaan kvartlks. Nätä rajoja nmetään kolme kappaletta. Alakvartl Q on muuttujan arvo, jota penempä arvoja anestossa on 5% Medaan Q on muuttujan arvo, jota penempä arvoja anestossa on 50% Yläkvartl Q 3 on muuttujan arvo, jota penempä arvoja anestossa on 75% Kvartlvälks sanotaan välä ( Q ; Q 3 ). Tässä välssä ovat aneston keskmmänen puolkas. Kvartlväln ptuudeks vodaan sanoa erotusta Q 3 Q. Tämä on yks mahdollsuus kuvata mttausarvojen jakautumsta varsnkn tlantessa, mssä mttausarvot evät jakaudu keskarvon suhteen symmetrsest. Huomaa, että kvartleja vodaan soveltaa vähntään järjestysluokan muuttujn. Esmerkk 9 Seuraavassa taulukossa ovat Spon tkanheton tulokset nn, että alarvllä on lueteltu kakk mahdollset yhden tkan psteet ja ylärvllä Spon toteutuneet tulokset el kunkn psteen frekvenss koko turnauksen ajalta. Jaetaan tämä anesto kvartlehn. Ratkasu Anesto täyttää selväst kakk tarvttavat Frekvenss: 4 5 3 5 5 4 4 5 6 7 ehdot, joten kvartlehn jakamnen on Pste: melekäs ajatus. Anesto on valmks kvartlen etsmsen kannalta sopvast järjestetty. Helponta on turvautua taulukkolaskentaan. Täydennetään taulukko tosen kuvan mukaseks. Lsätään mukaan summafrekvenss sekä molemmat suhteellset frekvensst. Koska kolmen psteen heton rvllä suhteellnen summafrekvenss on 34% ja sen yläpuolella oleva rv 4%. täyttyy alakvartln ehto kolmen psteen rvllä. Se on merktty snsellä värllä ja vahvennuksella. Täten alakvartl on kolme pstettä. Yläkvartln ehto täyttyy kahdeksan psteen rvllä, joten yläkvartl on kahdeksan pstettä. Se on merktty tumman vhreällä ja vahvennuksella. Tähän anestoon palataan velä arvotavssa tehtävssä. Pste f f % sf sf % 4 5 3 5 5 4 4 5 6 7
Luoktellun materaaln kvartlt etstään kvartlluokken avulla käyttämällä suhteellsta summafrekvenssä. Esmerkk 0 Ohesessa taulukossa on jälleen erään hpphyppäspopulaaton strategsa mttoja. Tällä kertaa tutkmme porukan panoja. Samaan tapaan kun vastaavassa tlanteessa aemmn, alakvartlluokka on se luokka, jossa suhteellnen summafrekvenss saavuttaa 5 prosentn rajan. Kyseessä on luokka,5 4,4. Se on kuvassa vhreällä. Alakvartln lkarvoks otetaan luokan luokkakeskus 3,45. Yläkvartlluokka on vastaavast luokka, jossa summafrekvenss saavuttaa 75 prosentn rajan. Tämä tapahtuu luokassa 38,5 40,4, jonka luokkakeskus on 39,45. Se on merktty kuvaan snsellä. Yläkvartln lkarvo on 39,45 el luokan luokkakeskus. 4 5, 4 5,,3 5 6,3 6 7,6 3,9 9,4 0 5,3 9,4 9 36,7 0,7 39 49,4 0 0,0 39 49,4 4 5, 43 54,4 9,4 5 65,8,3 53 67,,5 55 69,6 0 0,0 55 69,6 0 0,0 55 69,6,5 57 7,,5 59 74,7 0 0,0 59 74,7 3 3,8 6 78,5 3 3,8 65 8,3 6 7,6 7 89,9 4 5, 75 94,9 4 5, 79 00,0 Joskus kvartlen tarkkuudeks rttää, että ne luetaan suhteellsen summafrekvenssn kuvasta. Laadn oheen suhteellsen summafrekvenssn kuvaajan. Katsotaan, mllaseen tarkkuuteen yllän kuvan kanssa, vakka kuvassan on van vaakasuorat astekonvvat! Tetokoneohjelman tosn auttaa tarkast vaakasuoran ja tarkast pystysuoran vvan prtämsessä. Näyttön ja slmen tarkkuuden puttessa saan samat tulokset kun laskemalla. Nn e käy ana!
Suhteellnen summafrekvenss Q 3 Q Q % 0,0 00,0 90,0 80,0 70,0 60,0 50,0 40,0 30,0 0,0 0,0 0,0 06,4 08,4 0,4,4 4,4 6,4 8,4 0,4,4 4,4 6,4 8,4 30,4 3,4 34,4 36,4 38,4 40,4 4,4 44,4 46,4 48,4