Vapaat tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 6. Mikro- ja nanotekniikan laitos

Transkriptio

1 Vapaat tilat Harris luku 6 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016

2 Potentiaaliaskel Potentiaalivalli ja tunneloituminen Aaltopaketti ja aineaallon eteneminen

3 Potentiaaliaskel E > U 0 Tarkastellaan elektronisuihkua, joka etenee vasemmalta oikealle Suihku kohtaa potentiaaliaskeleen { 0, x < 0 U(x) = U 0, x > 0 Askeleen kohdalla elektroni kohtaa hetkellisen voiman, muuten siihen ei kohdistu voimia E Energia 0 E U 0 x

4 Alue x < 0 Alueessa potentiaali = 0, joten Schrödingerin yhtälö on 2 2 ψ 2m x = Eψ 2 2mE Vastaus: ψ(x) = A e ikx + B e ikx, missä k = 2 Kuvaavat oikealle (tuleva) ja vasemmalle (heijastunut) etenevia hiukkassuihkuja Tasoaallot eivät normalisoitavissa, po. aaltopaketteja, mutta käsitellään nyt tasoaaltoina (palataan myöhemmin) Ratkaisu ei kvantitu ei mitään syytä kvantittumiselle kaikki energian arvot sallittuja

5 Alue x > 0 Alueessa potentiaali = U 0, joten Schrödingerin yhtälö on 2 2 ψ 2m x + 2 U 0ψ = Eψ Vastaus: ψ(x) = C e ik x + D e ik x 2m(E, missä k U0 ) = 2 Kerroin D oltava nolla, koska alueessa x > 0 ei ole mitään minkä takia elektronisuihku kulkisi vasemmalle Tämäkään ratkaisu ei kvantitu

6 Kokonaisratkaisu ψ(x) = { A e ikx + B e ikx, x < 0 C e ik x, x > 0 Klassisesti heijastuminen edellyttää pistettä, jossa kineettinen energia nolla ja voimaa F, joka kääntäisi liikesuunnan Kvanttimaailmassa kyseessä aallot ja aaltoliikkeen perusolemukseen liittyy heijastuminen aina kun ympäristö muuttuu 1 Lisäksi hiukkasten lukumäärä/todennäköisyys ei säily, jollei oteta huomioon sekä läpäissyttä että heijastunutta hiukkasvirtaa

7 Heijastus- ja läpäisytodennäköisyydet Jatkuvuus- ja sileysehdoista saadaan ψ x<0 (0) = ψ x>0 (0); dψ x>0 = dψ x<0 dx x=0 dx = A + B = C k(a B) = k C x=0 Jatkuvuusehdoistakaan ei seuraa kvantittumista! Lasketaan heijastus- ja läpäisytodennäköisyydet hiukkasten lukumäärästä Avuksi tarvitaan käsite todennäköisyysvirta tai todennäköisyysvuo

8 Digress: Todennäköisyysvirta Kirjan ulkopuolelta Todennäköisyysvirta (engl. probability current) kertoo, miten hiukkasten todennäköisyys virtaa paikasta toiseen. NB! Ei liity sähkövirtaan! Määritellään j(x, t) = ( Ψ Ψ 2im x Ψ ) x Ψ Todennäköisyysvirta kytkeytyy todennäköisyysamplitudiin derivaattojen kautta 2 Yleistyy myös kolmeen ulottuvuuteen t P(x, t) = ( Ψ Ψ ) = j(x, t) t x Säilymislaki: todennäköisyys ei häviä, vaan muutosta todennäköisyystiheydessä/-amplitudissa vastaa aina muutos ko. alueeseen tulevassa vuossa

9 Todennäköisyysvirta potentiaaliaskeleen ympärillä Kun x < 0 (c.c. = ed. lausekkeen kompleksikonjugaatti): j(x, t) = [ (A e ikx + B e ikx)( ika e ikx ikb e ikx) c.c.] 2im Kun x > 0: j(x, t) = k C 2 m Tarkastellaan tasaista hiukkasvirtaa, eli tilanne ei riipu ajasta Molemmissa alueissa pätee P(x, t) = 0 = t =... = k m j(x, t) = 0 = j(x, t) = vakio x ( A 2 B 2 )

10 Todennäköisyysvirta potentiaaliaskeleen ympärillä Tulos tarkoittaa sitä, että todennäköisyysvirta on vakio molemmilla puolilla askelta Todennäköisyysvirrassa ei myöskään ole hyppäystä askeleen luona, joten k m ( A 2 ) B 2 = k C 2 m Näillä varustautuneena voidaan laskea heijastus- ja läpäisyamplitudit 3 R = k k k + k = missä R = B/A ja T = C/A E E U0 E + E U0 ja T = 2k k + k = 2 E E + E U0 NB! Heijastus- ja läpäisytodennäköisyydet ovat R 2 ja T 2, sekä kirjan R kalvojen R 2 ja T kalvojen T 2.

11 Huomiot 1. Vastoin klassisen mekaniikan ennusteita, elektronisuihku heijastuu potentiaaliaskeleesta takaisinpäin. Seuraus aaltoluonteesta 2. Kun E U 0, R 2 0, eli askel on pelkkä häiriö aaltofunktiolle 3. Jos E < U 0, k on kompleksinen ja kun x > 0, ψ(x) = TA e k x Vaikka R 2 = 1, T 0! Tarkoittaa sitä, että aaltofunktio tunkeutuu valliin, mutta häviää vallin sisällä eksponentiaalisesti pois Elektronit eivät tunkeudu valliin ja heijastu pois (miksi?) Tunkeutumissyvyys δ = 2m(U0 E) Vapaat tilat Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 6

12 Potentiaaliaskel Potentiaalivalli ja tunneloituminen Aaltopaketti ja aineaallon eteneminen

13 Potentiaalivalli E > U 0 Tarkastellaan elektronisuihkua, joka etenee vasemmalta oikealle Suihku kohtaa potentiaalivallin { 0, x < 0 ja x > L U(x) = U 0, 0 < x < L Energia Ratkaisut e ikx + R e ikx, x < 0 ψ(x) = C e ik x + D e ik x, 0 < x < L T e ikx x > L R ja T ovat todennäköisyysamplitudin heijastus- ja läpäisykertoimet (suhteessa tulevaan vuohon) E 0 U 0 L x

14 Heijastus- ja läpäisytodennäköisyydet Jatkuvuus- ja sileysehdoista saadaan 1 + R = C + D k(1 R) = k (C D) C e ik L + D e ik L = T e ikl k(c e ik L D e ik L ) = kt e ikl Jatkuvuusehdoista ei taaskaan seuraa kvantittumista! Pienen algebrallisen jumpan jälkeen saadaan T 2 = 4k 2 k 2 (k 2 k 2 ) 2 sin 2( k L ) + 4k 2 k ( 2 ) 2 k 2 k 2 R 2 = sin 2( k L ) sin 2( k L ) + 4k 2 k 2 (k 2 k 2 ) 2 Resonanssitransmissio: heijastuskerroin menee nollaksi kun E = U 0 + n2 π 2 2 (miksi?) 2mL 2

15 Tunnelointi E < U 0 Tarkastellaan elektronisuihkua, joka etenee vasemmalta oikealle Suihku kohtaa potentiaalivallin { 0, x < 0 ja x > 0 U(x) = U 0, 0 < x < L Ratkaisut e ikx + R e ikx, x < 0 ψ(x) = C e αx + D e αx, 0 < x < L T e ikx x > L Eksponentiaalinen vaimeneminen (ja kasvu) vallissa α = E Energia U 0 0 L 2m(U0 E) 2 x

16 Heijastus- ja läpäisytodennäköisyydet Jatkuvuus- ja sileysehdoista saadaan 1 + R = C + D ik(1 R) = α(c D) C e αl + D e αl = T e ikl α(c e αl D e αl ) = ikt e ikl Kaamean algebrallisen jumpan jälkeen saadaan T 2 = 4k 2 k 2 (k 2 k 2 ) 2 sinh 2( k L ) + 4k 2 k ( 2 ) 2 k 2 k 2 R 2 = sinh 2( k L ) sinh 2( k L ) + 4k 2 k 2 (k 2 k 2 ) 2

17 Huomiot Hiukkasella todennäköisyys läpäistä valli vaikka E < U 0 Analoginen tilanne sähkömagneettisille aalloille FTIR (frustrated total internal reflection) Tunnelointi puhtaan kvanttimekaaninen ilmiö; seuraus todennäköisyyden säilymisestä

18 Sovelluksia Alfahajoaminen (Alpha Decay): kahden protonin ja kahden neutronin muodostama hiukkanen pakenee ytimen potentiaalista tunneloitumalla Tunnelointidiodi (Tunneling diode): puolijohderakenteen sisällä sähköstaattinen potentiaalivalli (materiaali tai sen ominaisuus vaihtuu). Ilman jännitettä elektronit tunneloituvat ohuen potentiaalin läpi molempiin suuntiin (ei nettovirtaa). Ulkoinen jännite rikkoo symmetrian ja elektronit tunneloituvat todennäköisemmin vain yhteen suuntaan. Kytkentänopeus erittäin suuri. SQUID (Superconducting quantum interference device): Kahden suprajohteen välinen eriste, jonka läpi elektronit tunneloituvat pareittain. Elektronien aaltofunktiot kytkeytyvät toisiinsa ja voivat interferoida joko desktruktiivisesti tai konstruktiivisesti, mikä havaitaan virran kulkuna. Interferenssi erittäin herkkä ulkoiselle magneettikentälle.

19 Lisää sovelluksia Kenttäemissio (Field Emission): metallin johde-elektronit tarvitsevat työfunktion verran energiaa paetakseen metallista. Tyypillisesti lisäenergia saadaan lämpöliikkeestä tai fotoneista. Jos metallin lähelle tuodaan positiivinen elektrodi, ilman muodostama potentiaaliaskel muuttuu potentiaalimuuriksi, jonka läpi elektronit voivat tunneloitua, jolloin saadaan aikaan elektronisuihku ilman lämmitykseen tuhlattua energiaa ja sen tuomaa sähköistä kohinaa. Tunnelointimikroskooppi (Scanning Tunneling Microscope). Koska tunnelointitodennäköisyys on erittäin herkkä vallin paksuudelle, voidaan sitä käyttää atomiresoluution kuvantamiseen. Ohut metallineula viedään erittäin lähelle tutkittavaa pintaa, ja samalla mitataan pinnasta tunneloituvien elektronien muodostamaa virtaa. Tällä tavoin voidaan kuvata näytteen pintatopologiaa. STM:llä voidaan jopa havaita pinnalta puuttuvia atomeja. Nanotieteilijän perustyökaluja elektronimikroskoopin lisäksi.

20 Potentiaaliaskel Potentiaalivalli ja tunneloituminen Aaltopaketti ja aineaallon eteneminen

21 Aaltopaketti Tähän asti käsiteltiin tasoaaltojen etenemistä Hieman ongelmallisia: tasoaaltoa ei voi esim. normalisoida Jotta voisi kuvata lokalisoitua hiukkasta, tarvitaan aaltopaketti Aaltopaketista keskusteltiin aiemmin epätarkkuusperiaatteen yhteydessä Fourier-teorian mukaisesti aaltopaketin muodostaminen edellyttää useiden eri aaltonumeroisten tasoaaltojen summaamista Osa-aallot etenevät omalla vaihenopeudellaan ja aaltopaketti ryhmänopeudella Vaihenopeus riippuu taajuudesta dispersio aaltopaketti leviää ajan funktiona

22 Vaihe- ja ryhmänopeus Yksinkertainen aaltopaketti Ψ(x, t) = A e i(k 1x ω 1 t) + A e i(k 2x ω 2 t) Valitaan k 1 = k 0 + dk, k 2 = k 0 dk, ω 1 = ω 0 + dω, sekä ω 2 = ω 0 dω ja lasketaan lauseke läpi: Ψ(x, t) = 2A e i(k 0x ω 0 t) cos(x dk t dω) Ensimmäinen termi häviää todennäköisyystiheyden lausekkeesta vaihenopeus häviää Ψ(x, t) 2 = 4A 2 cos 2 (x dk t dω) Osa-aaltojen nopeudella ei hiukkasen etenemisen kannalta merkitystä, mutta funktio ω = ω(k) keskeisessä asemassa

23 Dispersiorelaatio Edellinen aalto on periodinen ja todennäköisyystiheys levinnyt edelleen pitkin avaruutta Yleisin aaltopaketin muoto saadaan Fourier-relaation kautta: Ψ(x, t) = A(k) e i(kx ωt) dk Aika t ja paikka x riippumattomia toisistaan, mutta mistä saadaan ω? Energia ja liikemäärä riippuvat toisistaan, joten taajuus ja liikemääräkin riippuvat toisistaan. Miten? Vapaan hiukkasen tapauksessa ω = k 2 /2m, mikä seuraa lausekkeesta E = p 2 /2m Yleisessä tapauksessa riippuvuutta kuvataan dispersiorelaatiolla ω = ω(k)

24 Dispersiorelaatio ja vaihenopeus! SMG-tasoaallon dispersiorelaatio tyhjiössä: ω(k) = ck Vapaan hiukkasen aineaallon dispersiorelaatio: ω(k) = k 2 2m Vaihenopeudet vastaavasti: v p,smg = c ja v p,aine = k/2m Tyhjiössä kulkevan smg-aaltopulssin kaikki osa-aallot kulkevat samalla nopeudella, mutta aineaallon osa-aallot eivät! (samoin smg-aallot muualla kuin tyhjiössä) Dispersiolla perustavanlaatuinen merkitys aaltoliikkeessä (lisää esim Materiaalien ominaisuudet -kurssi ja kuituoptiikkaa, laserfysiikkaa tai radiotekniikkaa käsittelevät kurssit)

25 Gaussinen aaltopaketti Tarkastellaan aaltopakettia, jolla jakauma aaltonumeroita keskiaaltonumeron k 0 ympärillä Valitaan A(k) = e α(k k 0) 2, jolloin Ψ(x, t) = Yleisessä tapauksessa dispersiorelaatiota ei tunneta e α(k k 0) 2 e i(kx ω(k)t) dk Oletetaan sen olevan hitaasti vaihteleva funktio k 0 :n ympäristössä, jolloin Taylorin sarjakehitelmästä saadaan ω(k) ω(k 0 ) + (k k 0 ) dω dk + 1 k0 2 (k k 0) 2 d 2 ω k0 dk 2 vaihetekijä (phase factor), ryhmänopeus v g (group velocity) ja dispersiokerroin (dispersion coefficient) tai ryhmänopeusdispersio β (group velocity dispersion)

26 Gaussinen aaltopaketti ja dispersio Sijoittamalla saatu sarjakehitelmä aallon lausekkeeseen saadaan Ψ(x, t) ( 2 π 2 ) 1 2 = e α 2 + β 2 t 2 (x vg t)2 ( ) 2α 1+ β2 t 2 α 2 Tämä on gaussinen pulssi, joka leviää ajan kasvaessa (mitä se tarkoittaa?) Se on myös Schrödingerin yhtälön ratkaisu! Aaltopulssin törmäykset potentiaalivalleihin monimutkaisia: läpäisy- ja heijastuskertoimet riippuvat aaltonumerosta tietokone ratkaisee