λ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa.

Transkriptio

1 S Fysiikka V (Sf) Tetti välikokee alue 1. Oletetaa, että protoi ja elektroi välie vetovoia o verraollie suureesee r ( F =- kr) eikä etäisyyde eliö kääteisarvoo ( F =-k / r ). Käytä kulaliikeäärä kvatittuissäätöä ja osoita, että statioääriste ratoje säteet ovat r =! / / d ki 1 ja että eergiat ovat E =!w, issä w o assa oaava hiukkase kiertoliikkee kulataajuus tässä voiaketässä. Bohri alli kvatisoitiehto o L =!; = 0, 1,,,... (1) Jos oletae rada ypyrä uotoiseksi! L =! = rvfi v=. () r Tasaiselle ypyräliikkeelle pätee (sijoitetaa lopuksi yhtälö ()) v!! kr = = r r =. () r r Ratkaisealla r!! r k k = fi = F H G K J 1/. (4) Merkitseällä oskillaattori kulataajuutta w = k / saadaa kokoaiseergiaksi: E = 1 v + 1 kr = kr = k! k =! k / =! w, (5) issä käytettii toistaisee yhtälöä (). Voidaa osoittaa, että eksakti kvattiekaaie ratkaisu o F H K E = +!w, issä ( / )!w o s. ollapiste-eergia. Huoaa, että yös haroie oskillaattori toteuttaa viriaaliteoreea, joka yleisessä uodossa kirjoitetaa Eki = 1 V r (6) klassisessa ekaiikassa tarkoittaa aikakeskiarvoa ja kvattiekaiikassa ao suuree odotusarvoa. Voidaa osoittaa, että teoreea (6) yleistys johtaa reaalikaasu tilayhtälö uotoo

2 F 1 pv = RT + ij ij  F r kaikki parit KJ ave issä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa.. Tarkastellaa 0,100 rötgefotoi sekä 0,66 MeV gaafotoi (17Cs-isotoopi lähettää gaasäteily) Copto-sirotaa vapaasta elektroista 90 kulassa tulosuutaa ähde. Laske kuassaki tapauksessa a) aallopituude Copto-siirtyä, b) elektroi saaa liike-eergia. c) Vertaa toisiisa tuleva fotoi suhteellista eergia eetystä kuassaki tapauksessa. λ x = 0,100, Eγ = 0,66 MeV, θ = 90. a) Copto-siirtyä o 4 h 6,66 10 Js λ = ( 1 cosθ) 1 8 ( 1 cos 90 ), 4 p c e 9, kg, s kuassaki tapauksessa. hc hc b) Eergia säilyislaista saadaa Eek = Efot E fot =, josta edellee λ λ 1 1 hc λ Eek = hc = λ λ+ λ λ λ+ λ E ek ( ) 4 8 6,66 10 Js, Rötgefotoi: 1,00 10 ( 1, ,46 10 ) 17 4, J 9,7 ev 94 ev 4 8 hc 6,66 10 Js, s Gaafotoi: λ = 1,87 p , J E ek E γ 4 8 6,66 10 Js, , J,76 10 ev 74 kev 1, s, ( ) s , , , hc 1, ev c) Rötgefotoi: Ex = 1,99 kev λ 10 x 1,00 10 Ex Eekx 0, 97 kev =,69 10,7% Ex Ex 1,99 kev Eγ E ek 7,6 Gaafotoi: 0, , 4% E = γ E kev 66 kev γ γ 6

3 Mitä suurepi fotoi eergia, sitä suurepi suhteellie eergiauutos.. Tarkastellaa oraalia Zeea efektiä vedy sähköisessä dipolitrasitiossa p 1s. Oletetaa, että sekä spiageettie oetti, että spi-ratavuorovaikutus voidaa jättää huoiotta. a) Mitkä ovat p eergiataso ageettiste alitiloje eergiat? b) Mitkä ovat sallitut trasitiot ja äide eergiat? Mageettivuo tiheys o,0t. a) Spiageettise oeti ja ulkoise ketä vuorovaikutus huoiooottae p-taso jakautuu kuutee alitasoo joide eergiat saadaa yhtälöstä R E = + µ BBl + µ BgSBs (1)

4 issä R 1.6 ev o Rydbergi vakio (vedy perustila oiaiseergia itseisarvo), e g S =, 004 o elektroi gyroageettie suhde, µ B =! Bohri agetoi ja ageettiset kvattiluvut voivat saada arvot l = 1,0, + 1 ja S = 1/, + 1/. Yleisesti saae siis e kuusi eri eergia arvoa, äistä tosi kaksi hyvi lähellä toisiaa, koska gyroageettie suhde o hyvi lähellä arvoa (ks. kuva). b) Dipoli-valitasääöt o esitetty oheisessa kuvassa. Trasitio kokoaiseergia = alku- ja loppuelektroitiloje eergioide erotus. Koska sähköisissä dipolitrasitioissa spi-tila ei voi uuttua eergiassa (1) voidaa spii ja ulkoise ketä vuorovaiktus uohtaa se o yhtä suuri trasitio alku. ja lopputilassa. Saae siis eittoituvie fotoie eergioiksi (B =,0 T) R R E E E = = µ B = R 0.116eV 1 4 i f B l l välikokee alue 4. Jos olekyylillä o kaksi yhtä suurta päähitausoettia ( 1 x- ja y-suuissa), ii se rotaatioeergiaoperaattori o " H" L 1F 1 1 L" rot = + - z. (1) 1 1KJ Laske rotaatiotiloje väli, ku a) = ja = Piirrä eergiatasot yksiköissä! / 1. Katsotaa aluksi ite tehtävä Haliltoi o johdettu. Klassie pyöriiseergia o pyörähdysellipsoidille Lx L y Lz 1 Lz L rot = + + = ( x + y ) + = + z E L L L. Tästä uodostetaa Hailtoi korvaaalla liikeäärät vastaavilla kvattiekaaisilla operaattoreilla. Vetyatoi eergiatasoje yhteydessä olee osoittaeet, että palloharoiset fuktiot Y l bq, fgovat operaattoreide L " ja L " z yhteisiä oiaisfuktioita: " LYl = ll b +1g! Yl. () LY " z l=! Yl Jälkiäisestä yhtälöstä seuraa, että palloharoit ovat yös operaattori Lz " oiaisfuktioita: LY " z l =! Y l. Yhtälöstä () huoataa, että palloharit ovat yös Hailtoi (1) oiaisfuktioita :

5 L NM F " L L" ll Y = KJ O QP F Rataatioeergiat ovat siis L N M b g ll+ El =! L N M b! g F KJ O Q P. () O KJ Q P z l Yl 1 1 issä l = 01,,,,.. ja =-l, - l+ 1,.., l-1, l. Yksiköissä! / 1 eergia voidaa esittää uodossa : (Eergiat o piirretty oheisee kuvaa) L NM b g O! / NM b g QP! /. 1 a) = El = l l QP L 1 O b) = 1, 1 El = l l LiF olekyylissä oleva ioisidokse potetiaalieergia voidaa esittää uodossa 6 E () r =- z e /( 4pe r) + be -d/ r (1) p ar issä a=. 5Å, b = 895eV ja d=.68 evå 6 ja z ioie varaus. Laske LiF olekyyli dissosiaatioeergia eutraaleiksi Li ja F atoeiksi ku tiedetää, että litiui ioisaatioeergia o 5.9 ev ja fluori elektroiaffiiteetti.45 ev ja LiF olekyyli tasapaioetäisyys r 0 = 154. Å.

6 Yhtälö (1) kuvaa ioie potetiaalieergiaa. Lasketaa tää eergia aluksi tasapaioetäisyydellä ja seuraavaksi ytiie ollessa äärettöä kaukaa toisistaa. Jälkiäisessä tapauksessa potetiaalieergia (1) o olla. Eergia joka tarvitaa hajottaaa LiF olekyyli Li + ja F - ioeiksi o siis (potetiaalieergia äärettöyydessä - potetiaalieergia tasapaioetäisyydellä) - Ep ( r0 ) = 5. 09eV Seuraavaksi o ioit uutettava eutraaleiksi atoeiksi. Ku aae Li + ioille yhde elektroi, joka oli aluksi vapaaa (kieettie eergia = 0) saae eergiaa 5.9 ev, koska tää o juuri se eergia joka tarvitaa irroittaaa uloi elektroi Li atoista - eli ioisaatioeergia. Lopuksi eidä otettava yliääräie elektroi pois F - ioilta. Tähä tarvittavaa eergiaa saotaa elektroiaffiiteetiksi (se o siis yleisesti joki egatiivise ioi uloia elektroi ioisaatioeergia). Tähä tarvitaa siis eergiaa.45 ev. Tarvittava kokoaiseergia o siis 5.09eV-5.9eV+.45eV=.15eV. 6. Osoita, että tight bidig aaltofuktio y ( x)= f x-x e esittää uodossa y k af= x e u k ( x), issä uk x a u x k  b g o Blochi tila ts. voidaa + = k a f a f. Voie kirjoittaa tight bidig aaltofuktio uodossa ψ ( x) = e x x e ( ) = e u x ik x x φ( ) ( ). k k issä ( ) ik x x u ( ) ( ) k x = φ x x e o s. atoie Blochi fuktio. Osoitae, että u ( x+ a) = u ( x) : k k

7 ik( x+ a x) ik( x x u x+ a = φ x+ a x e = φ x x e 1 ) ( ) ( ) ( 1) (1) k issä käytie x = ( 1) a. Käytäe yt hyväksi s periodista reuaehtoa, joka ukaa kiderakee toistuu aia N: atoi pituisia jaksoia. Tällöi hilapaika x 0 = a ajatellaa vastaava jakso viieistä hilapaikkaa N. Suaideksi 1 käy siis läpi kaikki hilapaikat, jote voie kirjoittaa ik( x x 1) ik( x x u ) k ( x a) φ( x x 1 ) e + = = φ( x x) e = uk( x) () eli tight bidig aaltofuktio toteuttaa Blochi teoreea. Edelläaiittua periodista reuaehtoa voi perustella yös site, että koska N o erittäi suuri luku (kiteessä o kussaki diesiossa iljooa atoia illietriä kohde) yhde hilapaika siirrokse aiheuttaa virhe o erkityksettöä piei koko aaltofuktiota ajatelle. Käää VAKOTA e = p = = = 9, kg 1, kg 1, kg au 1, kg c! µ B e = 1, C =, /s = 1, Js = 9, 7 10 JT = Ke = 0 0 = K = 0 ε 8, C N 1/ 4πε µ 1, kgc µ / 4π A γ = 6, N kg N = 6, ol R = 8, 14 JK ol k=1, JK