Suhteellinen puristuskapasiteetti arvioida likimääräisesti kaavalla 1 + Kyseisissä lausekkeissa esiintyvillä suureilla on seuraavat merkitykset:
|
|
- Mikko Heikkilä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 RAUDOITTAMATTOMAN SUORAKAIDEPOIKKILEIKKAUKSISEN SAUVAN PURISTUSKAPASITEETTI Critical Compression Load of Unreinforced Concrete Member with Rectangular Cross-Section Pentti Ruotsala Vaasa 04
2 TIIVISTELMÄ Seuraavan tarkastelun peruslähtökohtana on otaksuma, jonka puristetun sauvan puristusvoiman kriittinen arvo on suurempi kuin materiaalin murtumisrajoja vastaava arvo. Mainittuun otaksumaan sekä betonirakenteiden suunnittelussa yleisesti käytettyihin betonin muodonmuutosominaisuuksiin perustuen on tarkastelussa saatu lyhykäisyydessään seuraava tulos: Suhteellinen puristuskapasiteetti arvioida likimääräisesti kaavalla ν " + lc h 33 e i h e i h Puristusvoiman kriittinen arvo on siten N " = ν " b h f Kyseisissä lausekkeissa esiintyvillä suureilla on seuraavat merkitykset: N " = sauvan puristusvoiman kriittinen arvo b = poikkileikkauksen leveys e = sauvan puristusvoiman alkuperäinen epäkeskisyys h = poikkileikkauksen korkeus l = sauvan nurjahduspituus = suhteellisen puristusvoiman kriittinen arvo ν "
3 MERKINNÄT A = poikkileikkauksen pinta-ala A = poikkileikkauksen puristusvyöhykkeen pinta-ala M = poikkileikkausta rasittava taivutusmomentti N = sauvaa rasittava puristusvoima N " = sauvan puristusvoiman kriittinen arvo N = sauvan materiaalimurtumaa vastaava puristusvoiman arvo b = poikkileikkauksen leveys dy = poikkileikkauksen tarkasteltavan alkion pituus dη = suhteellisen puristuman alkion pituus e = puristusvoiman epäkeskisyys e = sauvan taipumisesta johtuva puristusvoiman lisäepäkeskisyys e "# = sauvan puristusvoiman kriittistä arvoa vastaava lisäepäkeskisyys e " = sauvan materiaalimurtumaa vastaava lisäepäkeskisyys e = sauvan puristusvoiman alkuperäinen epäkeskisyys f = betonin puristuslujuus h = poikkileikkauksen korkeus l = sauvan nurjahduspituus r = sauvan taipumaviivan kaarevuussäde x = poikkileikkauksen puristusvyöhykkeen korkeus y = poikkileikkauksen tarkasteltavaa kohtaa osoittava mitta = myötöpuristumaa ε " vastaava poikkileikkauksen mitta y α ε ε " ε ε ε " σ σ η η η μ ν ν " ξ = sauvan taipuman muodosta riippuva vakio = betonin puristuma = betonin myötöpuristuma = poikkileikkauksen enemmän puristetun reunan puristuma = poikkileikkauksen vähemmän puristetun reunan puristuma = betonin murtopuristuma = betonin puristusjännitys = betonin puristusjännitys poikkileikkauksen vähemmän puristetulla reunalla = betonin suhteellinen puristuma = poikkileikkauksen enemmän puristetun reunan suhteellinen puristuma = poikkileikkauksen vähemmän puristetun reunan suhteellinen puristuma = suhteellinen taivutusmomentti = suhteellinen puristusvoima = suhteellisen puristusvoiman kriittinen arvo = poikkileikkauksen puristusvyöhykkeen suhteellinen korkeus
4 0. JOHDANTO Tarkastellaan aluksi kuvion esittämää puristusvoiman N rasittamaa sauvaa, johon syystä tai toisesta on syntynyt taivutusrasitusta, jonka johdosta sauvan jänteen keskelle on syntynyt epäkeskisyyden e. Taivutusrasituksen johdosta sauva taipuu aiheuttaen sauvan jänteen keskelle taipumia, joita kutsutaan yleensä ns. lisäepäkeskisyyksi e, koska ne puristusvoiman johdosta lisäävät edelleen taivutusrasitusta ja siten myös lisäävät edelleen taipumia. Normaalivoiman kasvaessa taipumat ja samalla siis myös sen lisäepäkeskisyydet kasvavat. Tällöin jossakin vaiheessa normaalivoima saavuttaa ns. kriittisen arvonsa N ". Kokeellisestikin on havaittu ehkä yllättävältäkin vaikuttava seikka, että kyseinen arvo on rakenteen hoikkuudesta riippuen usein suurempi kuin poikkileikkauksen murtumista vastaava kapasiteetti N. Kuvio Seuraavassa tarkastelussa pyritään selvittämään edellä mainitun kriittisen normaalivoiman N " arvo poikkileikkaukseltaan suorakaiteen muotoisissa raudoittamattomissa betonirakenteissa, jotka yleensä ovat seinärakenteita.. PERUSOLETTAMUKSET. Betonin jännitys-muodonmuutosriippuvuudet Seuraavassa tarkastelussa käytetään murtorajatilatarkasteluissa yleisesti hyväksyttyä kuvion mukaista otaksumaa betonin jännitysten ja muodonmuutosten välisestä riippuvuudesta. Kuviossa betonin puristusjännityksen σ oletetaan kasvavan parabolisesti nollasta puristuslujuutta vastaavaan maksimiarvoonsa f betonin puristuman ε kasvaessa
5 samaan aikaan nollasta arvoon ε ". Puristuman kasvaessa edelleen oletettuun maksimiarvoonsa ε " puristusjännityksen σ otaksutaan pysyvän vakiona f. Kuvio Betonin puristusjännitysten ja puristumien välisillä riippuvuuksilla on siten seuraavat lausekkeet: σ = f ε c ε co ε c ε co, kun ε ε " (.3) σ = f, kun ε " ε ε " (.4) joissa f = betonin puristuslujuus ε = betonin puristuma Puristumille ε " ja ε " on yleisesti hyväksytty murtorajatilatarkasteluissa käytettäväksi seuraavat arvot: ε " = 0,00 (.5) ε " = 0,0035 (.6) Jos otetaan käyttöön merkintä η = ε c ε co (.7) lausekkeet (.) voidaan kirjoittaa muotoon σ = f η η, kun η (.8) σ = f, kun η,75 (.9). Puristetun sauvan taipuminen Kuten jo johdannossa mainittiin, sauvaa rasittava puristusvoima aiheuttaa sauvan lisätaipumista, josta aiheutuvaa puristusvoiman lisäepäkeskisyyttä e voidaan arvioida kaavalla e = r l c α (.0) missä /r = taipumaviivan kaarevuus taipuman maksimikohdassa l = puristetun sauvan pituus α = taipumaviivan muodosta riippuva vakio
6 3 Mikäli taipumaviiva otaksutaan sinikäyrän muotoiseksi, tällöin olisi eli α = π e = r l c π (.) Jos taas taipumaviiva olisi paraabelin muotoinen eli taivutusmomentin jakaantuminen sauvassa olisi tasainen, kyseessä oleva vakio olisi α = 8 sekä vastaavasti taipumaviivan ollessa kuutioparaabeli eli taivutusmomenttikuvion ollessa kolmion muotoinen olisi α =. Seuraavassa keskitytään kuitenkin tapaukseen, jossa taipumaviiva olisi ainakin likimääräisesti sinikäyrän muotoinen eli otaksutaan, että α = π. Sauvan kaarevuus on vuorostaan ilmaistavissa sauvan poikkileikkauksen muodonmuutosten avulla seuraavasti: = missä ε = poikkileikkauksen puristetumman reunan puristuma ε = poikkileikkauksen toisen reunan puristuma Jos poikkileikkaus on vain osittain puristettu, kaarevuus on ilmaistavissa myös muodossa = (.) missä x = poikkileikkauksen puristetun vyöhykkeen korkeus. PURISTETUN SAUVAN RASITUSTAPAUKSET Raudoittamattoman rakenteen puristavan normaalivoiman kriittistä arvoa N " selvitettäessä on otettava ensinnäkin huomioon se, että rakenteiden murtorajatilatarkasteluissa ei yleensä oteta puristuskapasiteetteja määritettäessä huomioon betonin vetolujuutta. Näin ollen joudutaan tarkasteluissa erottamaan kaksi toimintamallia: - Poikkileikkaus on osittain vedetty - Poikkileikkaus on kauttaaltaan puristettu Puristavalle normaalivoimalle on aina otaksuttava useistakin eri syistä johtuva tietty perusepäkeskisyys eli e. Tämä yhdessä rakenteen taipumisesta johtuvan lisäepäkeskisyyden e aiheuttaa sen, että hoikkien rakenteiden puristuskapasiteetin kannalta katsoen miltei poikkeuksetta joudutaan tilanteeseen, jossa poikkileikkaus on syntyneistä epäkeskisyyksistä johtuen osittain vedetty.
7 . Poikkileikkaus on osittain vedetty 4 Koska murtorajatilatarkasteluissa ei betonin vetojännityksiä oteta huomioon, rakenteen puristusresultantti N sekä momenttiresultantti M koostuvat yksinomaan poikkileikkauksen puristetun alueen jännityksistä. Tällöinkin on erotettavassa kaksi eri tapausta: - Puristetun reunan puristuma ε ε " - Puristetun reunan puristuma ε on välillä ε " ε ε " Otetaan näistä aluksi tarkasteltavaksi edellinen... Puristetun reunan betonin puristuma ε c ei ylitä arvoa ε co Kuvio 3 Kuvion 3 mukaan etäisyydelle a voidaan kirjoittaa lauseke a = ε c ε c x Kun otetaan käyttöön merkinnät η = ε c ε co
8 5 𝜀 𝜂 = 𝜀𝑐 𝑐𝑜 𝜉 = voidaan kirjoittaa edelleen 𝑥 𝜂 𝑎 = 𝜂 𝜉 𝑑𝜂 𝑑𝑎 = 𝜂 𝜉 Koska reunan puristuma 𝜀 𝜀" betonin puristusjännitykset 𝜎 jakaantuvat parabolisesti koko puristusvyöhykkeessä. Ne ovat siten ilmaistavissa kohdan. mukaan kaavalla 𝜎 = 𝑓 𝜂 𝜂 Puristusresultantin 𝑁 lauseketta voidaan kehitellä seuraavasti: 𝑁 = 𝜎 𝑑𝐴 = 𝜎 𝑏 𝑑𝑎 𝜉 𝜂 𝑑𝜂 = = 𝑓 𝑏 𝜂 𝜂 = = 𝑓 𝑏 𝜉 𝜂 (3 𝜂 ) 3 Ottamalla käyttöön ns. suhteellisen puristusvoiman 𝜈 käsite 𝑁 𝜈 = 𝑓 𝑏 𝑐 saadaan sille vastaavasti lauseke 𝜈 = 3 𝜉 𝜂 (3 𝜂 ) (.) Puristusjännitysten 𝜎 momenttiresultantti 𝑀 sauvan akselin suhteen saadaan vastaavalla tavalla seuraavasti: 𝑀 = = 𝜎 𝑥 + 𝑎 𝑏 𝑑𝑎 = 𝜎 𝑏 𝑎 𝑑𝑎 (𝑥 ) Koska edellä jo todettiin, että 𝑁 = 𝜎 𝑏 𝑑𝑎 𝜎 𝑏 𝑑𝑎 saadaan taivutusmomentin 𝑀 lauseke edelleen muotoon 𝑀 = 𝜎 𝑏 𝑎 𝑑𝑎 + 𝑁 (𝑥 ) jota voidaan edelleen kehitellä edellä mainittujen laaduttomien suureiden avulla seuraavasti:
9 6 𝑀 = 𝑓 𝑏 𝜉 𝜂 𝜂 𝜂 𝑑𝜂 + 𝑓 𝑏 𝜈 𝜉 = = 𝑓 𝑏 𝜉 𝜂 8 3 𝜂 + 𝜈 𝜉 Ottamalla tässäkin käyttöön ns. suhteellisen momentin käsite 𝜇 = saadaan sille lauseke 𝑀 𝑓𝑐 𝑏 𝜇 = 𝜉 𝜂 8 3 𝜂 𝜈 (𝜉 ) (.) Puristusvoiman suhteellinen epäkeskisyys 𝑒 on = eli sijoittamalla tähän edellä olevat 𝜇:n ja 𝜈:n lausekkeet (.) ja (.) saadaan = (.3) Kuten jo kohdassa mainittiin, puristusvoiman epäkeskisyys 𝑒 koostuu kahdesta osasta eli perusepäkeskisyydestä 𝑒 sekä sauvan taipumisesta aiheutuvasta lisäepäkeskisyydestä 𝑒, joista viime mainitun suhteellinen määrä voidaan ilmaista muodossa. 𝜀𝑐𝑜 (.4) Edellä oleva suhteellisen epäkeskisyyden 𝑒 lauseke johtaa siten yhtälöön + 𝜀𝑐𝑜 𝜉 4 = Saatu yhtälö voidaan muuntaa myös muotoon 4 𝜂 3 𝜂 𝜉 𝑒𝑖 𝜉 + 4 𝜂 𝜀𝑐𝑜 𝑙𝑐 𝜋 = 0 (.5) Kyseisestä toisen asteen yhtälöstä saadaan puristusvyöhykkeen suhteelliselle korkeudelle 𝜉 lauseke 3 𝜂 𝑒 4 𝜂 𝑙𝑐 𝜋 𝜉 = 4 𝜂 𝑖 + 4 𝜀𝑐𝑜 𝜂 3 𝜂 𝑒 𝑖 (.6) Puristusvyöhykkeen suhteellisen korkeuden 𝜉 lausekkeesta (.6) nähdään, että sillä on reaaliarvoja vain jos
10 7 l c 4 η 4 ε co η πh 3 η e i h 0 (.7) mistä seuraa hoikkuudelle l h vuorostaan ehto π 3 η 4 ε co (4 η ) ( e i h ) (.8) Mikäli siis sauvan hoikkuus on kaavan (.8) osoittamaa arvoa pienempi, ei tämän kohdan alussa esitetty jännitysjakauma ei ole voimassa. Lisäksi omat rajoituksensa jännitysjakauman käytölle asettaa ehto, jonka puristusvyöhykkeen suhteellisen korkeuden on oltava ξ. Edellä olevasta suhteellisen puristusvoiman ν lausekkeesta (.) havaitaan, että se riippuu sekä puristusvyöhykkeen suhteellisesta korkeudesta ξ että suhteellisesta puristumasta η. Koska tarkoitus on löytää sen maksimiarvo, kyse on siten ääriarvotehtävästä, jossa perusmuuttuja on η. Tarkka matemaattinen ratkaisu muodostuu kuitenkin siksi työlääksi, että käytännössä on joudutaan käyttämään numeerista lähestymistapaa... Puristetun reunan puristuma on välillä ε co ε c ε cu Kuvio 4
11 8 Betonin puristusjännitykset 𝜎 mutta muuttuvat parabolisesti nollasta maksimiarvoonsa 𝑓, kun 0 𝜀 𝜀" eli 0 𝜂, mutta pysyvät 𝑓 :n suuruisina, kun 𝜀" 𝜀 𝜀" eli 𝜂,75. Puristusjännitysten resultantille 𝑁 voidaan siten kirjoittaa suoraan 𝑁 = 𝑓 𝑏 𝑥 3 𝑓 𝑏 𝑎 Betonin puristusjännitykset 𝜎 mutta muuttuvat parabolisesti nollasta maksimiarvoonsa 𝑓, kun 0 𝜀 𝜀" eli 0 𝜂, mutta pysyvät 𝑓 :n suuruisina, kun 𝜀" 𝜀 𝜀" eli 𝜂,75. Puristusjännitysten resultantille 𝑁 voidaan siten kirjoittaa suoraan 𝑁 = 𝑓 𝑏 𝑥 3 𝑓 𝑏 𝑎 Kuvion 4 perusteella 𝜀 𝑎 = 𝜀𝑐𝑜 = 𝜂 𝜉 𝑐 missä 𝑥 𝜉 = Puristusvoiman 𝑁 lauseke saadaan siten muotoon 𝑁 = 𝑓 𝑏 𝜉 ( 3 𝜂 ) Suhteellisella puristusvoimalla 𝜈 on siten lauseke 𝜈 = 𝜉 ( 3 𝜂 ) tai toisessa muodossa esitettynä 𝜈 = 3 𝜉 3 𝜂 𝜂 (.9) Momenttiresultantin 𝑀 lauseke voidaan kehitellä vastaavalla tavalla. 𝑥 𝑀 = 𝑓 𝑏 𝑥 = 𝑓 𝑏 𝜉 𝜉 + 3 𝑓 𝑏 𝑎 + 3 𝑓 𝑏 𝜂𝜉 𝑎 𝑥 + 4𝑜 = 𝜉 𝜉 4 𝜂 Suhteelliselle momentille saadaan siten lauseke 𝜉 𝜇 = 6 3 𝜉 + 𝜂 [ 𝜉 ( 𝜂 ) ] Koska puristusvoiman suhteellinen epäkeskisyys on (.0)
12 9 = sille saadaan edellä olevien 𝜇:n ja 𝜈:n lausekkeiden avulla ilmaisu = + 𝜉 ( 𝜂 ) 3 𝜉 (.) Saatu yhtälö voidaan esittää myös muodossa 𝑒 = Kun otetaan huomioon, että 3 𝜂 = missä 𝜉 3 𝜂 + 𝜂 + 𝑒 𝜂 𝑙 𝜀" 𝜉 𝜋 ) saadaan yhtälö 𝜂 𝑒 𝑙𝑐 𝑖 + 𝜉 𝜀" 𝜋 ) = 𝜉 3 𝜂 + 𝜂 3 𝜂 joka voidaan muuntaa toisen asteen yhtälön muotoon 3 + 𝜂 𝜉 𝜉 + 𝜂 𝜀𝑐𝑜 ) =0 Saadun varsin monimutkaisen yhtälön ratkaisu on niinikään monimutkainen 𝜉 = 3 𝜂 + 𝑒𝑖 𝑒𝑖 𝜂 𝑙𝑐 + 8 𝜂 𝜀 𝑐𝑜 3 𝜂 𝜋 ) 3 𝜂 + joka voidaan esittää myös muodossa 𝜉= 3 𝜂 3 𝜂 𝑒 𝑖 𝜂 Saadulla ratkaisulla on reaaliarvoja vain, jos 𝜂 8 𝜀𝑐𝑜 𝜂 3 + 𝜂 3 𝜂 𝑙𝑐 𝜋 𝑒 𝑖 (.)
13 0 8 ε " η 3 + η 3 η lc π h e i h 0 Tästä saadaan tästä sauvan redusoidulle hoikkuudelle ehto π η η + ( e i ) (.3) h Mikäli siis sauvan hoikkuus on kaavan (.3) osoittamaa arvoa pienempi, ei oletettu jännitysjakauma ei ole voimassa. Lisäksi puristusvyöhykkeen suhteellisen korkeuden on oltava ξ.. Poikkileikkaus on kauttaaltaan puristettu Kuvio 5 Kyseisessä tapauksessa normaalivoiman suhteellinen epäkeskisyys on pieni eli e h 0,084. Tapaus on siten vaikutusalueeltaan varsin vähäinen, mutta kokonaisuuden kannalta sekin on syytä selvittää. Tällöin on tarkasteltavana olevaa puristusvoiman kriittistä arvoa N " ja samalla sen suhteellista arvoa ν " selvitettäessä on kyseessä pääasiassa tapaus:
14 𝜀" 𝜀 𝜀" 𝜀 𝜀" eli suhteellisessa muodossa ilmaistuna 𝜂,75 𝜂 Paraabelipinnan tunnettuja ominaisuuksia käyttäen voidaan voimasuureet 𝑁 ja 𝑀 kuvion 5 mukaan määrittää myös seuraavasti: 𝑁 = 𝑓 𝑏 3 (𝑓 𝜎 ) 𝑏 𝑎 𝑎 𝑀 = 3 (𝑓 𝜎 ) 𝑏 𝑦 4𝑜 Kyseisissä lausekkeissa vähemmän puristetun reunan jännitys 𝜎 on kohdan. mukaan 𝜎 = 𝑓 𝜂 ( 𝜂 ) Kuvion mukaan voidaan etäisyydeksi 𝑦 saadaan 𝜂 𝜀𝑐𝑜 𝜀 𝑎 = 𝜀 𝜀𝑐 = 𝜂 𝜂 𝑐 𝑐 Puristusvoiman 𝑁 lauseke voidaan kirjoittaa siten muotoon 𝜂 𝑁 = 𝑓 𝑏 3 𝜂 𝜂 𝜂 𝜂 josta saadaan suhteelliselle puristusvoimalle 𝜈 lauseke 𝜂 𝜈 = 3 𝜂 𝜂 𝜂 𝜂 (.4) Taivutusmomentille 𝑀 ja sen suhteelliselle arvolle 𝜇 voidaan kirjoittaa vuorostaan lausekkeet 𝜂 𝜂 𝑀 = 𝑓 𝑏 3 𝜂 𝜂 𝜂 𝜂 4 𝜂 𝜂 𝜇 = 4 𝜂 𝜂 𝜂 𝜂 𝜂 𝜂 𝜂 Aikaisemmissa kohdissa esitettyjen selvitysten mukaan ja = = + (.5)
15 Koska kyseisessä tapauksessa koko poikkileikkaus on puristettu, suhteellinen epäkeskisyys e h on lausekkeen (.) mukaan e h η l η ε " π h) Näin ollen saadaan yhtälö η η ε co ) = 0 (.6) josta varioimalla suureiden η ja η arvoja voidaan selvittää esimerkiksi numeerisesti suurin mahdollinen suhteellisen puristusvoiman arvo ν " vastaamaan erilaisia hoikkuuksien l h arvoja. 3. PURISTUSVOIMAN KRIITTINEN ARVO Suhteellisten normaalivoimien kriittisten arvojen ν " riippuvuus hoikkuuksista l h voidaan edellä oleviin selvityksiin perustuvien numeeristen analyysien perusteella koota seuraavaan graafiseen muotoon: Kuvio 7
16 3 Mikäli kuvion 7 mukainen käyräparvi muunnetaan koordinaatistoon, jossa molemmat koordinaatit jaetaan luvulla, käyräparvi kutistuu kuvion 8 mukaiseen muotoon eli hoikkuudesta l h 5 lähtien kaikki käyrät kutakuinkin yhtyvät. Hoikkuuden ollessa varsin pieni l h < 5 poikkeamista tapahtuu tälläkin alueella vain erittäin pienillä suhteellisen epäkeskisyyden e h arvoilla. Kuvio 8 Jos teoreettinen tapaus e = 0 jätetään ottamatta huomioon, kuvion perusteella voidaan siten päätellä, että hoikkuuden ollessa välillä ν " + lc h 33 e i h (3.) Arvioitiinpa kriittisen puristusvoiman ν " arvot kuvion 8 mukaisen käyrästön tai kaavan (3.) avulla puristusvoiman kriittinen arvo on lopulta ilmaistavissa kaavalla N " = ν " b h f (3.)
17 4 Kuten luvussa mainittiin, sauvan taipumaviiva otaksuttiin likimääräisesti sinikäyrän muotoiseksi. Mikäli sauvaa rasittaisi alun perin koko sauvan matkalta vakiosuuruinen epäkeskisyys e, olisi edellä mainittuja käyrästöjä ja likimääräiskaavaa käytettäessä hoikkuusarvot l h kerrottava luvulla π 8,. Johdannossa esitettyyn otaksumaan siitä, että puristusvoiman kriittinen arvo on hoikissa sauvoissa yleensä suurempi kuin materiaalien murtumisarvoja vastaava puristuskapasiteetti, voidaan kuviossa 6 esittää muutamia havainnollistavia esimerkkejä tästä otaksumasta. Tehtyjen selvityksen mukaan kyseinen otaksuma näyttää olevan täysin perusteltu. j Kuvio 9 Vaasassa.4.04 Pentti Ruotsala
2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyv
2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyvien vakioiden määrittämiseen. Jännitystila on siten
LisätiedotJohdatus materiaalimalleihin
Johdatus materiaalimalleihin 2 kotitehtäväsarja - kimmoisat materiaalimallit Tehtävä Erään epälineaarisen kimmoisen isotrooppisen aineen konstitutiivinen yhtälö on σ = f(i ε )I + Ge () jossa venymätensorin
LisätiedotMateriaalien mekaniikka
Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =
LisätiedotPalkki ja laatta toimivat yhdessä siten, että laatta toimii kenttämomentille palkin puristuspintana ja vetoteräkset sijaitsevat palkin alaosassa.
LAATTAPALKKI Palkki ja laatta toimivat yhdessä siten, että laatta toimii kenttämomentille palkin puristuspintana ja vetoteräkset sijaitsevat palkin alaosassa. Laattapalkissa tukimomentin vaatima raudoitus
LisätiedotTERÄSRISTIKON SUUNNITTELU
TERÄSRISTIKON SUUNNITTELU Ristikon mekaniikan malli yleensä uumasauvojen ja paarteiden väliset liitokset oletetaan niveliksi uumasauvat vain normaalivoiman rasittamia paarteet jatkuvia paarteissa myös
LisätiedotHarjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 1:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri
LisätiedotHarjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä.
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkona 2.3. ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä puiseen kyyhkyslakkaan, jonka numero on 9. Arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa.
LisätiedotPUHDAS, SUORA TAIVUTUS
PUHDAS, SUORA TAIVUTUS Qx ( ) Nx ( ) 0 (puhdas taivutus) d t 0 eli taivutusmomentti on vakio dx dq eli palkilla oleva kuormitus on nolla 0 dx suora taivutus Taivutusta sanotaan suoraksi, jos kuormitustaso
LisätiedotBETONITUTKIMUSSEMINAARI 2018
BETONITUTKIMUSSEMINAARI 2018 KESKIVIIKKONA 31.10.2018 HELSINGIN MESSUKESKUS Esijännitetyn pilarin toiminta Olli Kerokoski, yliopistonlehtori, tekn.tri, TTY Lähtötietoja Jännitetyn pilarin poikkileikkaus
LisätiedotLaskuharjoitus 1 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 28.2. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1.
LisätiedotOvi. Ovi TP101. Perustietoja: - Hallin 1 päätyseinän tuulipilarit TP101 ovat liimapuurakenteisia. Halli 1
Esimerkki 4: Tuulipilari Perustietoja: - Hallin 1 päätyseinän tuulipilarit TP101 ovat liimapuurakenteisia. - Tuulipilarin yläpää on nivelellisesti ja alapää jäykästi tuettu. Halli 1 6000 TP101 4 4 - Tuulipilaria
LisätiedotHoikan teräsbetonipilarin mitoittamismenetelmien
Hoikan teräsbetonipilarin mitoittamismenetelmien perusteet Lauri Uotinen, Lauri.Uotinen@tkk.fi Rakenteiden mekaniikan laboratorio Teknillinen korkeakoulu Tiivistelmä Työssä perehdytään yleisimpien käytössä
Lisätiedotα γ MPa α f γ f cd Mitoitus SFS-EN (EC2) mukaan Betoni
Mitoitus SFS-EN-1992-2-1 (EC2) mukaan Betoni Betonin nimellislujuus; merkintä C ck / ck,cube rak.luokka C sylinteri / kuutio-lujuus esim: C 25/30-2 sylinterilujuus ck 20 MPa kuutiolujuus ck,cube 30 MPa
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotKANSALLINEN LIITE STANDARDIIN
LIITE 15 KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN SFS-EN 1994-1-2 EUROKOODI 4: BETONI- TERÄSLIITTORAKENTEIDEN SUUNNITTELU Osa 1-2: Yleiset säännöt. Rakenteiden palomitoitus Esipuhe Tätä kansallista liitettä käytetään
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotMEI Kontinuumimekaniikka
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 6. harjoitus jännitysmitat Ratkaisut T 1: Ohuen suoran sauvan pituus referenssitilassa on 0 ja poikkipinta-ala on A 0. Sauvan akselin suuntaisen
LisätiedotMitoitetaan MäkeläAlu Oy:n materiaalivaraston kaksiaukkoinen hyllypalkki.
YLEISTÄ Mitoitetaan MäkeläAlu Oy:n materiaalivaraston kaksiaukkoinen hyllypalkki. Kaksi 57 mm päässä toisistaan olevaa U70x80x alumiiniprofiilia muodostaa varastohyllypalkkiparin, joiden ylälaippojen päälle
LisätiedotRASITUSKUVIOT. Kuvioiden laatimisen tehostamiseksi kannattaa rasitukset poikkileikkauksissa laskea seuraavassa esitetyllä tavalla:
RASITUSKUVIOT Suurimpien rasitusten ja niiden yhdistelmien selvittämiseksi laaditaan niin sanotut rasituskuviot, joissa esitetään kunkin rasituksen arvot kaikissa rakenteen poikkileikkauksissa. Rasituskuvioita
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotMuutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
LisätiedotLaskuharjoitus 2 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 7.3. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 2 Ratkaisut 1.
LisätiedotRatkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotLaskuharjoitus 3 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tieostona MyCourses:iin 14.3. klo 14.00 mennessä. Maholliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 3 Ratkaisut 1. Kuvien
LisätiedotExam III 10 Mar 2014 Solutions
TTY/ Department o Mechanical Engineering and Industrial Systems TE III / EDE_ / S EDE- Finite Ement Method Exam III Mar Solutions. Compute the dection at right end o the y,v / F structure using the potential
Lisätiedot3. SUUNNITTELUPERUSTEET
3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Myötölujuuden ja vetomurtolujuuden arvot f R ja f R y eh u m tuotestandardista tai taulukosta 3.1 Sitkeysvaatimukset: - vetomurtolujuuden ja myötörajan f y minimiarvojen
LisätiedotTAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat
TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat Lasketaan suurimmat leikkaus- ja taivutusrasitukset Analysoidaan sauvoja, jotka ovat suoria,
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
Lisätiedot7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ
TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin
LisätiedotESIMERKKI 3: Nurkkapilari
ESIMERKKI 3: Nurkkapilari Perustietoja: - Hallin 1 nurkkapilarit MP10 ovat liimapuurakenteisia mastopilareita. 3 Halli 1 6000 - Mastopilarit on tuettu heikomman suunnan nurjahusta vastaan ulkoseinäelementeillä.
LisätiedotLauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:
Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs
LisätiedotNäihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,
TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko
Lisätiedot3. SUUNNITTELUPERUSTEET
3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Rakenneterästen myötörajan f y ja vetomurtolujuuden f u arvot valitaan seuraavasti: a) käytetään suoraan tuotestandardin arvoja f y = R eh ja f u = R m b) tai käytetään
LisätiedotTuomas Kaira. Ins.tsto Pontek Oy. Tuomas Kaira
Ins.tsto Pontek Oy Lasketaan pystykuorman resultantin paikka murtorajatilan STR/GEO yhdistelmän mukaan Lasketaan murtorajatilan STR/GEO yhdistelmän mukaisen pystykuorman aiheuttama kolmion muotoinen pohjapainejakauma
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotRASITUSKUVIOT (jatkuu)
RASITUSKUVIOT (jatkuu) Rakenteiden suunnittelussa yksi tärkeimmistä tehtävistä on rakenteen mitoittaminen kestämään ja kantamaan annetut kuormitukset muotonsa riittävässä määrin säilyttäen. Kun on selvitetty
LisätiedotDifferentiaalilaskennan tehtäviä
Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
Lisätiedot(m) Gyproc GFR (taulukossa arvot: k 450/600 mm) Levykerroksia
.2 Seinäkorkeudet Suurin sallittu seinäkorkeus H max Taulukoissa 1 ja 2 on esitetty H max (m) Gyproc-seinärakenteiden perustyypeille. Edellytykset: Rankatyypit Gyproc XR (materiaalipaksuus t=0,46 mm),
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta
Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona
LisätiedotHoikan teräsbetonipilarin mitoittamismenetelmien perusteet. Lauri Uotinen
Hoikan teäsbetonipilain mitoittamismenetelmien peusteet Laui Uotinen Johdanto Laui Uotinen, 9.3.8 Johdanto Laui Uotinen, 9.3.8 3 Johdanto Laui Uotinen, 9.3.8 4 Johdanto a b 3 M Laui Uotinen, 9.3.8 5 Johdanto
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotTehtävä 1. Lähtötiedot. Kylmämuovattu CHS 159 4, Kylmävalssattu nauha, Ruostumaton teräsnauha Tehtävän kuvaus
Tehtävä 1 Lähtötiedot Kylmämuovattu CHS 159 4, Kylmävalssattu nauha, Ruostumaton teräsnauha 1.437 LL 33, 55 mm AA 19,5 cccc² NN EEEE 222222 kkkk II 585,3 cccc 4 dd 111111 mmmm WW eeee 73,6 cccc 3 tt 44
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotRatkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:
LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima
LisätiedotStabiliteetti ja jäykistäminen
Stabiliteetti ja jäykistäminen Lommahdusjännitykset ja -kertoimet Lommahdus normaalijännitysten vuoksi: Leikkauslommahdus: Eulerin jännitys Lommahduskerroin normaalijännitykselle, pitkä jäykistämätön levy:
LisätiedotTasokehät. Kuva. Sauvojen alapuolet merkittyinä.
Tasokehät Tasokehä muodostuu yksinkertaisista palkeista ja ulokepalkeista, joita yhdistetään toisiinsa jäykästi tai nivelkehässä nivelellisesti. Palkit voivat olla tasossa missä kulmassa tahansa. Palkkikannattimessa
LisätiedotPalkin taivutus. 1 Johdanto. missä S on. määritetään taivuttamalla. man avulla.
PALKIN TAIVUTUS 1 Johdanto Jos homogeenista tasapaksua palkkia venytetäänn palkin suuntaisella voimalla F, on jännitys σ mielivaltaisellaa etäisyydellää tukipisteestä, 1 missä S on palkin poikkileikkauksen
Lisätiedota P en.pdf KOKEET;
Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit
KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan,
LisätiedotEN : Teräsrakenteiden suunnittelu, Levyrakenteet
EN 993--5: Teräsrakenteiden suunnittelu, Levyrakenteet Jouko Kouhi, Diplomi-insinööri jouko.kouhi@vtt.fi Johdanto Standardin EN 993--5 soveltamisalasta todetaan seuraavaa: Standardi EN 993--5 sisältää
LisätiedotESIMERKKI 2: Kehän mastopilari
ESIMERKKI : Kehän mastopilari Perustietoja: - Hallin 1 pääpilarit MP101 ovat liimapuurakenteisia mastopilareita. - Mastopilarit ovat tuettuja heikomman suunnan nurjahusta vastaan ulkoseinäelementeillä.
LisätiedotRAKENNUSTEKNIIKKA Olli Ilveskoski PORTAL FRAME WITH COLUMNS RIGIDLY FIXED IN THE FOUNDATIONS
PORTAL FRAM WITH COLUMNS RIGIDLY FIXD IN TH FOUNDATIONS 9 Load cases 2. MASTOJÄYKISTTYN KHÄN PÄÄPILARIN P MITOITUS Suunnitellaan hallin ulkoseinillä olevat kehän P- pilarit runkoa jäykistäviksi kehän mastopilareiksi.
LisätiedotLaskuharjoitus 7 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin 25.4. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 7 Ratkaisut 1. Kuvan
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1
763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi
LisätiedotKJR-C1001: Statiikka L5 Luento : Palkin normaali- ja leikkausvoima sekä taivutusmomentti
KJR-C1001: Statiikka L5 Luento : Palkin normaali- ja leikkausvoima sekä taivutusmomentti Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Statiikan välikoe 12.3.2018 Ajankohta ma 12.3.2018 klo 14:00 17:00 Salijako
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotMITOITUSTEHTÄVÄ: I Rakennemallin muodostaminen 1/16
1/16 MITOITUSTEHTÄVÄ: I Rakennemallin muodostaminen Mitoitettava hitsattu palkki on rakenneosa sellaisessa rakennuksessa, joka kuuluu seuraamusluokkaan CC. Palkki on katoksen pääkannattaja. Hyötykuorma
LisätiedotKERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotMAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
Lisätiedot(c) Kuinka suuri suhteellinen virhe painehäviön laskennassa tehdään, jos virtaus oletetaan laminaariksi?
Tehtävä 1 Vettä (10 astetta) virtaa suorassa valurautaisessa (cast iron) putkessa, jonka sisähalkaisija on 100 mm ja pituus 70 m. Tilavuusvirta on 15 litraa minuutissa. (a) Osoita, että virtaus on turbulenttia.
LisätiedotTERÄSBETONISEN MASTOPILARIN PALOMITOITUSOHJE. Eurokoodimitoitus taulukoilla tai diagrammeilla
TERÄSBETONISEN MASTOPILARIN PALOMITOITUSOHJE Eurokoodimitoitus taulukoilla tai diagrammeilla Toukokuu 2008 Alkulause Betonirakenteiden suunnittelussa ollaan siirtymässä eurokoodeihin. Betonirakenteiden
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
LisätiedotBetonin lujuus ja rakenteiden kantavuus. Betoniteollisuuden kesäkokous Hämeenlinna prof. Anssi Laaksonen
Betonin lujuus ja rakenteiden kantavuus Betoniteollisuuden kesäkokous 2017 11.8.2017 Hämeenlinna prof. Anssi Laaksonen Sisältö 1) Taustaa 2) Lujuuden lähtökohtia suunnittelussa 3) Lujuus vs. rakenteen
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
LisätiedotOheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!
LUT-Kone Timo Björk BK80A2202 Teräsrakenteet I: 17.12.2015 Oheismateriaalin käyttö EI sallittua, mutta laskimen käyttö on sallittua Vastaukset tehtäväpaperiin, joka PALAUTETTAVA (vaikka vastaamattomana)!
Lisätiedot235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti
8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.
Lisätiedot{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotRAK-C3004 Rakentamisen tekniikat
RAK-C3004 Rakentamisen tekniikat Johdatus rakenteiden mitoitukseen joonas.jaaranen@aalto.fi Sisältö Esimerkkirakennus: puurakenteinen pienrakennus Kuormat Seinätolpan mitoitus Alapohjapalkin mitoitus Anturan
LisätiedotEpäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotRatkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
LisätiedotKANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN EUROKOODI 3: TERÄSRAKENTEIDEN SUUNNITTELU. Osa 1-1: Yleiset säännöt ja rakennuksia koskevat säännöt
LIITE 9 1 KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN SFS-EN 1993-1-1 EUROKOODI 3: TERÄSRAKENTEIDEN SUUNNITTELU. Osa 1-1: Yleiset säännöt ja rakennuksia koskevat säännöt Esipuhe Tätä kansallista liitettä käytetään yhdessä
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten
LisätiedotHarjoitus 4. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
Lisätiedot