PALKIN KIMMOVIIVA M EI. Kaarevuudelle saatiin aiemmin. Matematiikassa esitetään kaarevuudelle v. 1 v

Transkriptio

1 PALKIN KIMMOVIIVA Palkin akseli taipuu suorassa taivutuksessa kuormitustasossa tasokäyräksi, jota kutsutaan kimmoviivaksi tai taipumaviivaksi. Palkin akselin pisteen siirtymästä y akselin suunnassa käytetään merkintää v ja sitä kutsutaan taipumaksi. Se on positiivinen y akselin positiiviseen suuntaan. Kaarevuudelle saatiin aiemmin M EI t Matematiikassa esitetään kaarevuudelle ( x) lauseke v ( x) 3 / v Kuvan mukaan M t ja v ovat vastakkaismerkkiset, joten v Mt 3 / v EI Kun rajoitutaan siirtymäkentän pieniin paikallisiin muutoksiin, niin 3 / v v v

2 Tästä seuraa yhtälö M v EI t Tätä sanotaan kimmoviivan linearisoiduksi differentiaaliyhtälöksi. Aiemmin saatiin palkin differentiaalipalan tasapainoyhtälöistä d M Q t d qx ( ) dx dx Ratkaistaan ylimmästä yhtälöstä EI kertainen taipuman toinen derivaatta EI vm tai EI v M t t Derivoimalla eo. yhtälöä saadaan M Q EI v t M q EI v t EI v q( x) Tämä on neljännen kertaluvun differentiaaliyhtälö kimmoviivan ratkaisemiseksi. Jos palkin taivutusjäykkyys EI on vakio, yksinkertaistuu yhtälö muotoon EI v q( x)

3 KINEMAATTISET REUNA JA VÄLIEHDOT ESIMERKKI Määritä kuvan ulokepalkin kimmoviivan lauseke, kun palkin taivutusjäykkyys EI on vakio. RATKAISU Valitaan origo ulokkeen vasempaan päähän, jolloin taivutusmomentilla on lauseke M ( x) Fx, 0 xl t Integroimalla kimmoviivan differentiaaliyhtälöä saadaan EIvMt Fx EI v Fx C 3

4 Edelleen integroimalla EI v Fx 3 CxC 6 joissa C ja ovat integroimisvakioita. C Niiden arvot saadaan reunaehdoista v ( L) 0 FL C 0 C FL v( L) 0 FL C L C 0 C FL Sijoitetaan nämä yo. kimmoviivan lausekkeeseen, jolloin saadaan 3 3 FL x x 3 FL vx ( ) 3, vmax v( 0) 6EI L L 3EI Määritetään vielä lisäksi kimmoviivan derivaatan lauseke v( x) FL x FL v ( x), v min v( 0) EI L EI Itseisarvoltaan suurin derivaatan arvo on FL v v() 0 max EI Koska v, on vtan, joten derivaatta v kelpaa myös kimmoviivan absoluuttisen suuntakulman arvoksi. Sitä kutsutaan kiertymäksi ( joissain lähteissä myös kääntymä). 4

5 ESIMERKKI Määritä tasaisella kuormituksella qx ( ) qo vakio kuormitetun palkin kimmoviivan lauseke. Määritä myös suurin taipuma. Palkin taivutusjäykkyys EI on vakio. RATKAISU Vkk:sta saadaan taivutusmomentin lausekkeeksi M ( ) t x qlx qx Differentiaaliyhtälöksi tulee EIv M ( ) t x qlx qx Integroimalla saadaan EIv qlx 3 qx C 4 6 EIv 3 qlx 4 4qx Cx C Palkin reunaehdot ovat v() 0 0 C 0 vl ( ) 0 qll 4 qlcl 0 C 4 ql Näistä seuraa taipumalle ja kiertymälle lausekkeet q vx Lx L x 4EI q 3 3 v 4x 6Lx L 4EI

6 Taipuman ja kiertymän ääriarvoiksi saadaan 4 5 ql vmax v( L) 384 EI 3 ql v max v() 0 4EI vv( L) v min max RATKAISU ESIMERKKI Mitoita kuvan puupalkki ( b h) siten, että tmax tsall ja vmax L/ 400. q o kn/m, tsall 0 E MPa MPa Lasketaan taipuman perusteella ensin tarvittava neliömomentti 4 5 ql o L vmax 384 EI ql o 4005 N/mm 8000mm Ivaad 533, 330 mm 384 E N/mm 6 4 6

7 Lasketaan taivutusmomentin perusteella vaadittava taivutusvastus ql o N/mm 8000 mm 6 Mtmax 60 Nmm Mtmax Mtmax 60 Nmm tmax Wvaad, 6 mm W tsall 0N/mm Taivutusvastus on suorakaidepoikkileikkaukselle toisaalta 6 4 I Ivaad 53333, 0 mm W hvaad 666, 7mm 6 3 h/ W 6, 0 mm Leveydeksi saadaan vaikkapa taivutusvastuksen kaavasta 6 3 bh 6Wvaad 66, 0 mm W bvaad, 60mm 6 h 6667, mm vaad Suorakaidepoikkileikkauksen mitoitus tällä tavalla tuottaa kovin epäkäytännölliset mitat! vaad PALKIN TAIVUTUKSEN PERUSTAPAUKSIA Taulukko Kaksitukisen palkin kimmoviivan lausekkeita 7

8 Taulukko Kaksitukisen palkin kimmoviivan lausekkeita Taulukko Ulokepalkin kimmoviivan lausekkeita 8

9 Yhteenlasku l. superpositio periaate Jos kyseessä oleva mekaniikan ongelma on lineaarinen toisin sanoen. siirtymäkenttä on loiva, jolloin taipuma v on pieni, esimerkiksi jännemittaan verrattuna ja sen derivaatta v ja. materiaalilaki on lineaarinen (HOOKEn laki voimassa) ( 3. puristava voima on paljon pienempi kuin ns. nurjahdusvoima) niin yhteenlaskuperiaate on voimassa. Tällöin voidaan ratkaista kohtalaisen mutkikaskin taivutustehtävä yhdistelemällä sopivasti taulukoiden tuloksia. RATKAISU ESIMERKKI Määritä LVL palkin taipuma pistevoiman kohdalla ja palkin keskipisteessä. Palkin leveys b 5mm ja korkeus h 400mm. Materiaalin kimmomoduuli E 0, 5GPa. Määritä myös palkin suurin taivutusjännitys. Taipuma pistevoiman kohdalla: pistevoimasta 3 F 80 N ( 000mm) ( 4000mm) vf 36000mm 0000N/mm 7, 00 mm 6 4 0, 46mm 9

10 tasaisesta kuormituksesta q N/mm 3 3 vf ( 6000 mm 000mm N/mm 7, 00 mm mm 000 mm 000 mm ) 0, 78mm yhteensä pistevoiman kohdalla F q vf vf vf, 4mm Taipuma keskipisteessä: pistevoimasta 3 F 80 vc [ ( ) , ( ) ], 7mm tasaisesta kuormituksesta 4 q vc, 4mm , 00 yhteensä palkin keskellä F q vc vc vc 3, 68mm 0

11 ESIMERKKI Määritä kuvan ulokepalkin ulokepään taipuma v c ja kiertymä v c. Palkin taivutusjäykkyys EI on vakio. RATKAISU Sovelletaan yhteenlaskuperiaatetta. Voimasta tulee osataipumiksi F 3 Fa 3EI Fa bb b EI Voimasta F 3 FL 3 3EI taipumaksi saadaan Kokonaistaipumaksi saadaan Fa FL v ( b c 3 3 ) 6EI a 3EI Kokonaiskiertymäksi tulee Fa FL v c EI EI 3 3

12 TEHTÄVÄ Laske kuvan palkin taipumat palkin keskipisteessä sekä pistevoimien vaikutuskohdilla. Palkin materiaali on teräs S75J0G ja sen poikkileikkaus on IPE 400. V: 5, 7mm, 8, 0mm, 5, 8mm (tulokset on laskettu Robot ohjelmistolla) TEHTÄVÄ Laske kuvan palkin taipumat palkin vasemman kentän keskipisteessä sekä pistevoiman vaikutuskohdalla. Sovella yhteenlaskuperiaatetta. Palkin taivutusjäykkyys EI on vakio. V:

13 TEHTÄVÄ Laske kuvan palkin taipumat palkin vasemman kentän keskipisteessä (C) sekä ulokkeen päässä (D). Sovella yhteenlaskuperiaatetta. Palkki on kuumamuovattua HEA60 profiilia. V: TEHTÄVÄ 3

14 TEHTÄVÄ 4