f[x i ] = f i, f[x i,..., x j ] = f[x i+1,..., x j ] f[x i,..., x j 1 ] x j x i T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x), T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "f[x i ] = f i, f[x i,..., x j ] = f[x i+1,..., x j ] f[x i,..., x j 1 ] x j x i T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x), T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x."

Transkriptio

1 Kaavakokoelma f[x i ] = f i, f[x i,..., x j ] = f[x i+,..., x j ] f[x i,..., x j ] x j x i T n+ (x) = 2xT n (x) T n (x), T (x) =, T (x) = x. n I,n = h f(t i + h 2 ), E,n = h2 (b a) f (2) (ξ). 24 i= I,n = h n 2 [f(a) + f(b) + 2 f(t i )], E,n = h2 (b a) f (2) (ξ) 2 I 2,n = h 3 [f(a) + f(b) + 4 m i= i= m f(t 2i ) + 2 f(t 2i )], E 2,n = h4 (b a) f (4) (ζ) 8 R k, = I,2 k, R k,j = 4j R k,j R k,j 4 j, k j 2. i= f (x ) = f(x + h) f(x h) 2h f (x ) = 3f(x ) + 4f(x + h) f(x + 2h) 2h + h2 6 f (3) (η) f (x ) = f(x + h) f(x ) h + h2 3 f (3) (η) f (x ) = f(x + h) 2f(x ) + f(x h) h 2 h2 2 f (4) (η) u n+ = u n + hk 2 u n+ = u n + h 2 [K + K 2 ] K = f(t n, u n ) K = f(t n, u n ) K 2 = f(t n + 2 h, u n + 2 hk ) K 2 = f(t n + h, u n + hk ) u n+ = u n + h 4 [K + 3K 3 ] u n+ = u n + h 6 [K + 4K 2 + K 3 ] K = f(t n, u n ) K = f(t n, u n ) K 2 = f(t n + 3 h, u n + 3 hk ) K 2 = f(t n + 2 h, u n + 2 hk ) K 3 = f(t n h, u n hk 2) K 3 = f(t n + h, u n hk + 2hK 2 ) u n+ = u n + h 6 [K + 2K 2 + 2K 3 + K 4 ] K = f(t n, u n ) K 2 = f(t n + 2 h, u n + 2 hk ) K 3 = f(t n + 2 h, u n + 2 hk 2) K 4 = f(t n + h, u n + hk 3 )

2 Matematiikan jaos, teknillinen tiedekunta Numeeriset menetelmät, loppukoe Ratkaise Jacobin menetelmällä yhtälöryhmän 4x y = 2 x + 4y z = 4 y + 4z = likiratkaisu. Suorita kolme iteraatiokierrosta lähtien arvoista x = y = z =. Arvioi virhettä -normin suhteen. 2. Funktio f(x) saa pisteissä x = 7, x = 5, x 2 = 4, x 3 = arvot f(x ) =, f(x ) = 5, f(x 2 ) = 2, f(x 3 ) =. Määrää funktion interpolaatiopolynomi ja laske sen arvo pisteessä x = Oletetaan, että jäätikön muoto on ympyräsylinteri, jonka säde on R 4 m ja paksuus h. Hyvin karkeassa mallissa stabiilin jäätikön sädettä R voidaan mallintaa yhtälöllä R Määrää jäätikön säteen approksimaatio. cos(r 2 )dr R 2 =. 4. Approksimoi modifioidulla Eulerin menetelmällä alkuarvotehtävän y (x) = x 2 + y(x) 2 y() = ratkaisua pisteessä x =.2 käyttäen askelpituutta h =. 5. Ratkaise differenssimenetelmällä reuna-arvotehtävän approksimaatio, kun hilaparametri h =.25. u (x) + u(x) = u() = u() =

3 Matematiikan jaos, teknillinen tiedekunta Numeeriset menetelmät, loppukoe Ratkaise Jacobin menetelmällä yhtälöryhmän 4x y = 5 x + 4y z = 5 y + 4z = likiratkaisu. Suorita kolme iteraatiokierrosta lähtien arvoista x = y = z =. 2. Ratkaise epälineaarinen yhtälöryhmä { xy = x 2 y 2 = Newtonin menetelmällä. a) Kirjoita yleinen iteraatioaskel (4 p); b) Ratkaise ensimmäinen iteraatio x ja y, kun alkuarvaus on x = 2 ja y = (2 p). 3. Olkoon P P 3 interpolaatiopolynomi siten, että P (x i ) = f i,missä x : 3 f : Laske interpolaatiopolynomin arvo pisteessä x = Laske Rombergin menetelmällä integraalin likiarvo tuhannesosan tarkkuudella. ln(x) dx 5. Ratkaise differenssimenetelmällä reuna-arvotehtävän approksimaatio, kun hilaparametri h = 4. u (x) + u(x) = u() = u() =

4 Matematiikan jaos, teknillinen tiedekunta Numeeriset menetelmät, loppukoe Määrää matriisin LU-hajotelma. 2. Ratkaise Gauss-Seidelin menetelmällä lineaarinen yhtälöryhmä x 9 2 x 2 = 7. 2 x 3 6 Arvioi neljännen iteraatin virhettä x x (4). Arvioi a priori-arvion nojalla, kuinka monta iteraatiota tarvitaan ko. menetelmällä miljoonasosan tarkkuuteen. 3. Ratkaise epälineaarinen yhtälöryhmä Newtonin menetelmällä. a)kirjoita yleinen iteraatioaskel (4 p); { xy = x y 2 = b)ratkaise ensimmäinen iteraatio x ja y, kun alkuarvaus on x = ja y = (2 p). 4. Laske integraalille x 3 dx likiarvo summatulla Simpsonin kaavalla, kun tukipisteitä on 6. Mikä on approksimaation virhe? 5. Ratkaise alkuarvotehtävän y (x) + y(x) = cos( 8π 3 x), y() =, approksimaatio välillä [, ] käyttämällä toisen kertaluvun Runge-Kutta menetelmää askelpituudella h = 4.

5 Mathematics division, Faculty of Technology Numerical methods, Exam Find the LU-decomposition of the matrix Solve by the Gauss-Seidel iterations the system of equations x 9 2 x 2 = 7. 2 x 3 6 Estimate the error x x (4). Using the a priori error estimate find the number of iterations needed for the accuracy of one millionth. 3. Solve the nonlinear system of equations { xy = x y 2 = with Newton method. a)write the general iteration step (4 p); b)solve the first iteration step x ja y, when the initial guess is x = and y = (2 p). 4. Find the approximate value of the integral x 3 dx using the compound Simpson rule, when the number of grid points is 6. What is the approxcimation error? 5. Solve the initial value problem y (x) + y(x) = cos( 8π 3 x), y() =, on the interval [, ] using the second order Runge-Kutta method with the stepsize h = 4.

6 TTK MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT Loppukoe Muodosta funktiolle f(x) = 3x kolmannen asteen Taylorin polynomi origossa sekä vastaava virhetermi. 2. Määrää funktion f(x) = x 3 2 cos( πx 4 ) interpolaatiopolynomi pisteistöllä { 2,,,, 2} ja interpoloi polynomin avulla lukua f(.5). 3. Laske integraalin I = cos(2x 2 )dx, summatulla Simpsonin säännöllä, kun osavälien lukumäärä on 8 ja suorita virhearviointi. 4. Ratkaise Jacobin menetelmällä yhtälöryhmän 4x y = 5 x + 4y z = 5 y + 4z = likiratkaisu. Suorita kolme iteraatiokierrosta lähtien arvoista x = y = z =. 5. Ratkaise alkuarvotehtävä y (x) = 4x 2 y(x) + 3x 2, y() =, x toisen kertaluvun Taylorin menetelmällä, kun askelpituus h =.25

7 MATHEMATICS DIVISION NUMERICAL METHODS EXAM Construct a Taylor polynomial of order 3 for the function f(x) = 3x at the origin. and the corresponding error term. 2. Find the interpolation polynomial of the function f(x) = x 3 2 cos( πx 4 ) with respect to the points { 2,,,, 2}. Compute the approximate value f(.5) using the interpolation polynomial. 3. Compute an approximate value for the integral I = cos(2x 2 )dx, using the compound Simpson rule with 8 subintervals. Estimate the error. 4. Solve the system of equations 4x y = 5 x + 4y z = 5 y + 4z = by the Jacobi iteration. Carry out three iterations starting with x = y = z = and discuss the convergence of the method. 5. Solve the initial value problem y (x) = 4x 2 y(x) + 3x 2, y() =, x by applying the Taylor series method of order two and the step size h =.25.

8 Teknillinen tiedekunta, matematiikan jaos Numeeriset menetelmät Loppukoe, Määrää matriisin [ ] QR-hajotelma Householderin menetelmällä. 2. Ratkaise Jacobin iteraatiomenetelmällä yhtälöryhmän [ ] [ ] [ ] 3 x 4 =. 3 4 likiratkaisu x (4), kun alkuarvaus on x () = [ ] T. Arvioi ratkaisun a posteriori -virhettä. 3. Olkoon P P 3 interpolaatiopolynomi siten, että P (x i ) = f i, missä x 2 x i : 2 f i : 2 5. Laske interpolaatiopolynomin arvo pisteessä x = Laske Rombergin menetelmällä integraalin likiarvo tuhannesosan tarkkuudella. ln(x) dx 5. Ratkaise differenssimenetelmällä reuna-arvotehtävän y (x) + sin(y(x)) = y() = y() =, approksimaatio solmupisteissä, kun hilaparametri h = 3.

9 FACULTY OF TECHNOLOGY, MATHEMATICS DIVISION NUMERICAL METHODS, EXAM Find the QR-decomposition of the matrix [ ] using the Householder method. 2. Find the approximate solution of the matrix equation [ ] [ ] [ ] 3 x 4 =. 3 4 x 2 using the Jacobi iteration. Compute x (4) [, ] and estimate the error using the a posteriori estimate. Start the iteration from x () =. 3. Let P P 3 be the interpolation polynomial such that P (x i ) = f i, where x : 2 f : 2 5. Compute the value of the polynomial at the point x = Approximate the value of the integral ln(x) dx within one thousands of accuracy using the Romberg integration. 5. Find the approximate solution of the boundary value problem y (x) + sin(y(x)) = y() = y() =, by the finite difference method, when the mesh parameter is h = 3.

10 TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT, Loppukoe Ratkaise Jacobin menetelmällä yhtälöryhmän 4x x 2 = 4 x + 4x 2 x 3 = x 2 + 4x 3 = 4 likiratkaisu käyttäen alkuarvausta x () = [ ] T. Arvioi approksimaation x (2) virhettä L -normin suhteen a posteriori-arvioiden perusteella. 2. Ratkaise kiintopisteiteraatiolla funktion g(x) = 2x kiintopiste joukossa {x R +x 2 2 x 3 2 } kolmen desimaalin tarkkuudella lähtien alkuarvauksesta x = Laske Rombergin menetelmällä integraalin likiarvo tuhannesosan tarkkuudella. ln(x) dx 4. Olkoon P P 3 interpolaatiopolynomi siten, että P (x i ) = f i,missä x : 3 f : Laske interpolaatiopolynomin arvo pisteessä x = Ratkaise differenssimenetelmällä reuna-arvotehtävän approksimaatio, kun hilaparametri h = 3. u (x) + e u(x) = u() = u() =

11 FACULTY OF TECHNOLOGY, MATHEMATICS DIVISION NUMERICAL METHODS, EXAM Solve by the Jacobi iteration the system of equations 4x x 2 = 4 x + 4x 2 x 3 = x 2 + 4x 3 = 4 using x () = [ ] T as the initial guess. Estimate a posteriori error of x (2) in L -norm. 2. Find, within three decimals, the fixed point of the function g(x) = 2x +x 2 within the set {x R 2 x 3 2 } using the fixed point iteration starting from x = Approximate the integral ln(x) dx using the Romberg method within three decimals. 4. Let P P 3 be the interpolation polynomial such that P (x i ) = f i,where Compute P (x) at the point x = Solve by the finite difference method x : 3 f : u (x) + e u(x) = u() = u() = the approximate solution when the mesh parameter is h = 3.

12 TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT, Loppukoe..24. Muodosta funktiolle f(x) = 3x kolmannen asteen Taylorin polynomi origossa sekä vastaava virhetermi. 4. Ratkaise Jacobin menetelmällä yhtälöryhmän 4x y = 5 x + 4y z = 5 y + 4z = likiratkaisu. Suorita kolme iteraatiokierrosta lähtien arvoista x = y = z =. 3. Laske Rombergin menetelmällä integraalin likiarvo miljoonasosan tarkkuudella. x ln(x) dx 4. Määrää funktion F (x, x 2 ) = ( 2 4 x 2 5 x x 2 2 x 2 2 kiintopiste joukossa B = {x R 2 x 2 + x2 2 } sadasosan tarkkuudella käyttäen Banachin kiintopisteiteraatiota. Alkuarvauksena käytä pistettä x = [.5.5]. 5. Ratkaise alkuarvotehtävä y (x) = 4x 2 y(x) + 3x 2, y() =, x toisen kertaluvun Taylorin menetelmällä, kun askelpituus h =.25 )

13 FACULTY OF TECHNOLOGY, MATHEMATICS DIVISION NUMERICAL METHODS, EXAM Solve by the Jacobi iteration the system of equations 4x x 2 = 5 x + 4x 2 x 3 = 5 x 2 + 4x 3 = within the accuracy of 3 using as the initial guess x () = [ ] T. 3. Approximate the integral x ln(x) dx using the Romberg method within the accuracy of Find the fixed point of the function F (x, x 2 ) = ( 2 4 x 2 5 x x 2 2 x 2 2 in the set B = {x R 2 x 2 + x2 2 } within the accuracy of 2 using the Banach fixed point iteration. As the initial guess use the point x = [.5.5]. 5. Solve by the finite difference method u (x) + e u(x) = u() = u() = the approximate solution when the mesh parameter is h = 3. )

14 TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT, kesätentti Määrää matriisin A = ( ) QR-hajotelma Householderin menetelmällä. 2. Ratkaise Jacobin menetelmällä yhtälöryhmän 5x x 2 = 9 x + 5x 2 x 3 = 4 x 2 + 5x 3 = 6 likiratkaisu tuhannesosan tarkkuudella käyttäen alkuarvauksena pistettä x () = [ ] T. 3. Määrää integraalin π 2 x cos(x) dx likiarvo Rombergin menetelmällä tuhannesosan tarkkuudella. 4. Ratkaise modifioidulla l. parannetulla Eulerin menetelmällä alkuarvotehtävän y = y + t, y() = likiratkaisu y(), kun askelpituus h = Ratkaise differenssimenetelmällä reuna-arvotehtävän approksimaatio, kun hilaparametri h = 3. u (x) + e u(x) = u() = u() =

15 TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT, loppukoe Ratkaise Jacobin menetelmällä yhtälöryhmän 2x x 2 = 3 x + 2x 2 = 3 likiratkaisu sadasosan tarkkuudella a posteriori-arvion perusteella. 2. Määrää yhtälöparin 4x 3 27xy = 4x 2 3y 2 = ratkaisun approksimaatio Newtonin menetelmällä käyttäen alkuarvauksena pistettä (, ). Laske kaksi iteraatiokierrosta. 3. Muodosta funktion f(x) interpolaatiopolynomi P 3 (x), kun funktio saa pisteissä x =, x = π 2, x 2 = π, x 3 = 3π 2 arvot f =, f =, f 2 =, f 3 =. 4. Laske integraalin e dx likiarvo Rombergin menetelmällä, kun integroitavan funktion x +2 arvo lasketaan korkeintaan 9:ssä pisteessãď. 5. Ratkaise differenssimenetelmällä reuna-arvotehtävän approksimaatio, kun hilaparametri h =.25. u (x) + u(x) = u() = u() =

16 FACULTY OF TECHNOLOGY, MATHEMATICS DIVISION NUMERICAL METHODS, EXAM Solve the system of equations 2x x 2 = 3 x + 2x 2 = 3 by the Jacobi method within the accuracy of onehundreths according to the a posteriori estimate. 2. Approximate the solution of 4x 3 27xy = 4x 2 3y 2 = by the Newton method. Use as the starting point for your iterations the point (, ). Compute two iterations. 3. Find the interpolation polynomial P 3 (x) to the function f(x) that attains at the points x =, x = π 2, x 2 = π, x 3 = 3π 2 the values f =, f =, f 2 =, f 3 =. 4. Compute the approximate value of the integral e dx using the Rombergin integration, when the values of the integrand is computed only at most nine x +2 points. 5. Solve by the finite difference method the approximate solution of the boundary value problem when the discretization parameter h =.25. u (x) + u(x) = u() = u() =

17 MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT Loppukoe, Ratkaise Jacobin iteraatiomenetelmällä yhtälöryhmän 6 2 x x 2 = x 3 likiratkaisu x (4), kun alkuarvaus x () = [ ] T. Arvioi a posteriori-arvion nojalla likiratkaisun virhettä. 2. Määrää funktion ϕ(x) = 2 sin(x)+ 4 kiintopiste välillä I = [ 4, 3 4 ] sadasosan tarkkuudella. Käytä alkuarvauksena x = Määrää summatulla Simpsonin säännöllä integraalin I = likiarvo kolmen desimaalin tarkkuudella. + x 4 dx 4. Ratkaise modifioidulla Eulerin menetelmällä alkuarvotehtävän y (x) = y(x) sin(x) x y() = ratkaisun likiarvo pisteessä x = 2, kun askelpituutena on h = Ratkaise differenssimenetelmällä reuna-arvotehtävän likiratkaisu, kun hilaparametri h =.25. y =, y() = y() =

18 MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT Exam, Solve the approximate solution x (4) of the system of equations 6 2 x x 2 = x 3 using the Jacobi iteration, when the initial quess is x () = [ ] T. Estimate the a posteriori error. 2. Determine the fixed point of the function ϕ(x) = 2 sin(x) + 4 on the interval I = [ 4, 3 4 ] within the accuracy of.. As the initial quess the value x = Approximate the integral I = with the composite Simpson rule in three digits. + x 4 dx 4. Using the modified Euler method compute the approximation of the initial value problem y (x) = y(x) sin(x) x y() = at the point x = 2, when the step size is h = By the finite difference method approximate the solution of the boundary value problem when the discretization parameter h =.25. y =, y() = y() =,

19 TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT, loppukoe Määrää funktiolle f(x) = e x toisen asteen interpolaatiopolynomi pisteiden -, ja suhteen. Arvioi virhettä P f = P (x) f(x). max x [,] 2. Laske kahden desimaalin tarkkuudella integraalin I = + x likiarvo summatulla Simpsonin säännöllä. Kuinka monta osaväliä tarvitaan, jotta I saataisiin laskettua tarkkuudella 6 kyseistä kvadratuuria käyttäen. 3. Ratkaise Gauss-Seidelin menetelmällä yhtälöryhmän likiratkaisu kahden desimaalin tarkkuudella. 4. Määrää yhtälöparin 2x x 3 = 2x 2 x 3 = x x 2 + 4x 3 = 2 x 2 e x = x 2 + x 2 2 = ratkaisun approksimaatio Newtonin menetelmällä. Kirjoita yleinen iteraatioaskel. Laske eräs likiarvo lähtien alkuarvosta [.5,.8]. Suorita kaksi iteraatioaskelta. 5. Ratkaise modifioidulla l. parannetulla Eulerin menetelmällä alkuarvotehtävän likiratkaisu y(), kun askelpituus h =.25. y = + y 2, y() =

20 MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT Loppukoe, Ratkaise yhtälöryhmä Ax = b Gauss-Seidelin menetelmällä, kun yhtälöryhmän kerroinmatriisi A on , ja oikean puolen vektori 5 b = 7. 8 Laske kolme iteraatiota lähtien alkuarvauksesta x () = [ ]. Arvioi ratkaisun tarkkuutta aposteriorivirheen avulla. 2. Ratkaise Newtonin menetelmällä yhtälön x ln(x) = positiivinen juuri kuuden desimaalin tarkkuudella. 3. Laske Rombergin menetelmällä integraalin likiarvo miljoonasosan tarkkuudella. x ln(x) dx 4. Ratkaise modifioidulla l. parannetulla Eulerin menetelmällä alkuarvotehtävän y = y + t, y() = likiratkaisu y(), kun askelpituus h = Ratkaise differenssimenetelmällä reuna-arvotehtävän u (x) + e x = u() =, u() = likiratkaisut pisteissä x = 4, x 2 = 2, x 3 = 3 4.

21 TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT (Latidi), loppukoe Ratkaise Jacobin menetelmällä yhtälöryhmän likiratkaisu tuhannesosan tarkkuudella. 2. Määrää yhtälöparin 5x x 2 = 9 x + 5x 2 x 3 = 4 x 2 + 5x 3 = 6 x 2 + y 2 = 4 e x + y = ratkaisun approksimaatio Newtonin menetelmällä. Yksi ratkaisu on pisteen (.8,.8) ympäristössä. Laske kaksi iteraatiokierrosta. 3. Muodosta funktion f(x) interpolaatiopolynomi P 3 (x), kun funktio saa pisteissä x =, x = 2, x 2 = 4, x 3 = 5 arvot f =, f = 2, f 2 = 2, f 3 = 2. Laske interpolaatiopolynomin arvo pisteessä x = Ratkaise modifioidulla l. parannetulla Eulerin menetelmãďllãď alkuarvotehtãďvãďn y = y + t, y() = likiratkaisu y(), kun askelpituus h = Ratkaise differenssimenetelmällä reuna-arvotehtävän approksimaatio, kun hilaparametri h =.25. u (x) + u(x) = u() = u() =

Teknillinen tiedekunta, matematiikan jaos Numeeriset menetelmät

Teknillinen tiedekunta, matematiikan jaos Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät 1. välikoe, 14.2.2009 1. Määrää matriisin 1 1 a 1 3 a a 4 a a 2 1 LU-hajotelma kaikille a R. Ratkaise LU-hajotelmaa käyttäen yhtälöryhmä Ax = b, missä b = [ 1 3 2a 2 a + 3] T. 2.

Lisätiedot

Numeerinen integrointi ja derivointi

Numeerinen integrointi ja derivointi Numeerinen integrointi ja derivointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Interpolaatiokaavat Approksimoitava integraali I = b a f(x)dx. Tasavälinen hila: x i = a+ (b a)i n, i = 0,...,n Funktion

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT

MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT MATEMATIIKAN JAOS NUMEERISET MENETELMÄT Harjoitustehtäviä, kevät 2012 1. Tarkastellaan summaa S = 1+0.4+0.3+0.2+0.04+0.03+0.02+0.01. a) Laske summa laskukoneella vasemmalta oikealle käyttäen liukulukuaritmetiikkaa,

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 10 To 6.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 10 To 6.10.2011 p. 1/35 p. 1/35 Numeerinen integrointi Puolisuunnikassääntö b a f(x)dx = h 2 (f 0 + f

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =

2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 = TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko

Lisätiedot

Iteratiiviset ratkaisumenetelmät

Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Yleinen iteraatio Lineaarisen yhtälöryhmän iteratiivinen ratkaisumenetelmä voidaan esittää muodossa: Anna alkuarvaus: x 0 R n

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 8 To 29.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 8 To 29.9.2011 p. 1/36 p. 1/36 Interpolointi kuutiosplinillä Osavälit: I i = [t i 1,t i ], i = 1,2,...,n

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 4. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 4. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 4 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 4 () Numeeriset menetelmät 21.3.2013 1 / 44 Luennon 4 sisältö Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta: Choleskyn menetelmä

Lisätiedot

Funktioiden approksimointi ja interpolointi

Funktioiden approksimointi ja interpolointi Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 11 Ti 11.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 11 Ti 11.10.2011 p. 1/34 p. 1/34 Automaattiset integrointialgoritmit Numeerisen integroinnin tarkkuuteen

Lisätiedot

BM20A1501 Numeeriset menetelmät 1 - AIMO

BM20A1501 Numeeriset menetelmät 1 - AIMO 6. marraskuuta 2014 Opetusjärjestelyt Luennot + Harjoitukset pe 7.11.2014 10-14 2310, 14-17 7337 la 8.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337 pe 14.11.2014 10-14 2310, 14-17 6216 la 15.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma

Lisätiedot

Harjoitus 7 -- Ratkaisut

Harjoitus 7 -- Ratkaisut Harjoitus 7 -- Ratkaisut 1 Solve osaa ratkaista polynomiyhtälöitä, ainakin astelukuun 4 asti. Erikoistapauksissa korkeammankin asteen yhtälöt ratkeavat. Clear a, b, c, d, e, x ; Solve a x 3 b x 2 c 0,

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

Konjugaattigradienttimenetelmä

Konjugaattigradienttimenetelmä Konjugaattigradienttimenetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Konjugaattigradienttimenetelmä Oletukset Matriisi A on symmetrinen: A T = A Positiivisesti definiitti: x T Ax > 0 kaikille x 0

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion

Lisätiedot

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A = Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot

Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät

Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Reuna-arvotehtävien ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Malliprobleema Kahden pisteen reuna-arvotehtävä u (x) = f (x) (1) u() = u(1) = Jos u C ([,1]) ratkaisu, niin missä x u(x)

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta

Differentiaali- ja integraalilaskenta Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 2 To 8.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 2 To 8.9.2011 p. 1/33 p. 1/33 Lukujen tallennus Kiintoluvut (integer) tarkka esitys aritmeettiset operaatiot

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 13 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 13 () Numeeriset menetelmät 8.5.2013 1 / 42 Luennon 13 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Moniaskelmenetelmien

Lisätiedot

Pienimmän neliösumman menetelmä

Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 9 Ti 4.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti 4.10.2011 p. 1/44 p. 1/44 Funktion approksimointi Etsitään p siten, että p f, mutta ei vaadita, että

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Calculus Lukion 7 MAA Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä

Lisätiedot

Matematiikka B1 - TUDI

Matematiikka B1 - TUDI Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin

Lisätiedot

BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 2016

BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 2016 BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 2016 1. (a) Anna likiarvo lineaarisen approksimaation avulla sille mitä on T (100.5), kun T (100) = 45 ja T (100) = 10. (b) Käyttäen lineaarista

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Exam III 10 Mar 2014 Solutions

Exam III 10 Mar 2014 Solutions TTY/ Department o Mechanical Engineering and Industrial Systems TE III / EDE_ / S EDE- Finite Ement Method Exam III Mar Solutions. Compute the dection at right end o the y,v / F structure using the potential

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöryhmä

Differentiaaliyhtälöryhmä Differentiaaliyhtälöryhmä Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä vaikkapa korkeamman kertaluvun yhtälöä vastaava normaaliryhmä voidaan ratkaista numeerisesti täsmälleen samanlaisilla kaavoilla

Lisätiedot

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo.

Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Kun yhtälöä ei voi ratkaista tarkasti (esim yhtälölle x-sinx = 1 ei ole tarkkaa ratkaisua), voidaan sille etsiä likiarvo. Iterointi on menetelmä, missä jollakin likiarvolla voidaan määrittää jokin toinen,

Lisätiedot

tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ

tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 29 ( 7 1 1 4 1 1. Olkoot, B = 1 5 2 5 3 Määrää 2A, B 2A, A T, ( 2A) T, (A T ) T. ), C = ( 1 ) 4 4 ja E = 7. 3 2. Olkoot A, B, C ja E kuten edellisessä tehtävässä.

Lisätiedot

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

mlnonlinequ, Epälineaariset yhtälöt

mlnonlinequ, Epälineaariset yhtälöt Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos -e mlnonlinequ, Epälineaariset yhtälöt 1. Historiallisesti mielenkiintoinen yhtälö on x 3 2x 5 = 0, jota Wallis-niminen matemaatikko käsitteli,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 14 To 20.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 14 To 20.10.2011 p. 1/39 p. 1/39 Nopeat Fourier-muunnokset Diskreetti Fourier-muunnos ˆf k = 1 N 1 N

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 11. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 11 () Numeeriset menetelmät / 37

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 11. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 11 () Numeeriset menetelmät / 37 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 11 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 11 () Numeeriset menetelmät 24.4.2013 1 / 37 Luennon 11 sisältö Numeerisesta integroinnista ja derivoinnista Adaptiiviset

Lisätiedot

Numeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017

Numeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017 Numeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017 Palautus viimeistään perjantaina 17.3. Tehtävä 1: Tarkastellaan funktion f(x) = x evaluoimista välillä x [2.0, 2.3]. Muodosta interpoloiva polynomi p 3 (x),

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi!

Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko. Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta. Perustele vastauksesi! MAA Loppukoe 70 Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan! Vastauksiin välivaiheet, jotka perustelevat vastauksesi! Lue ohjeet huolellisesti! Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko Valitse

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3 Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi

Lisätiedot

Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 5

Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 5 Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 5 K. Tuominen 29. marraskuuta 2017 Palauta ratkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina 3.12. kello 10:15 mennessä. Merkitse vastauspaperiin laskuharjoitusryhmäsi

Lisätiedot

[4A] DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 1. Alkuarvotehtävät

[4A] DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 1. Alkuarvotehtävät [4A] DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 1. Alkuarvotehtävät Numeerisen integroinnin yhteydessä ratkoimme jo tavallisia ensimmäisen kertaluvun alkuarvotehtäviä integroimalla eli t y (t) =f(t, y(t)) y(t) =y(t a )+ f(t,

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisut

Harjoitustehtävien ratkaisut Johdatus numeerisiin menetelmiin Harjoitustehtäviä. Esitä luvun 7 8 a) tarkka arvo desimaalilukuna b) kolmidesimaalinen likiarvo c) nolladesimaalinen likiarvo d) Likiarvo kahden merkitsevän numeron tarkkuudella

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

Luento 2: Liikkeen kuvausta

Luento 2: Liikkeen kuvausta Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

ja F =

ja F = MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2016 Tehtävissä 1 ja 2a käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3 A =,B = 7 1 2 2 3,C = 4 4 2 5 3,E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1.

Lisätiedot

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä? BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

FYSA2031 Potentiaalikuoppa

FYSA2031 Potentiaalikuoppa FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

mlvektori 1. Muista, että Jacobin matriisi koostuu vektori- tai skalaariarvoisen funktion F ensimmäisistä

mlvektori 1. Muista, että Jacobin matriisi koostuu vektori- tai skalaariarvoisen funktion F ensimmäisistä Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos mlvektori 1. Muista, että Jacobin matriisi koostuu vektori- tai skalaariarvoisen funktion F ensimmäisistä osittaisderivaatoista: y 1... J F =.

Lisätiedot

Hyvä uusi opiskelija!

Hyvä uusi opiskelija! Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaiseminen

Differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaiseminen Differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaiseminen Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Alkuarvotehtävä Tavallisen differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävä: Määrää reaaliarvoinen funktio y C 1 (I) siten,

Lisätiedot

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa

Lisätiedot

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

FYSA235, Kvanttimekaniikka I, osa B, tentti Tentin yhteispistemäärä on 48 pistettä. Kaavakokoelma ja CG-taulukko paperinipun lopussa.

FYSA235, Kvanttimekaniikka I, osa B, tentti Tentin yhteispistemäärä on 48 pistettä. Kaavakokoelma ja CG-taulukko paperinipun lopussa. FYSA5, Kvanttimekaniikka I, osa B, tentti..4 Tentin yhteispistemäärä on 48 pistettä. Kaavakokoelma ja CG-taulukko paperinipun lopussa.. Selitä lyhyesti (a) Larmorin prekessio [ pt] (b) Clebsch-Gordan kertoimet

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöryhmän numeerinen ratkaiseminen

Differentiaaliyhtälöryhmän numeerinen ratkaiseminen numryh.nb Differentiaaliyhtälöryhmän numeerinen ratkaiseminen Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä vaikkapa korkeamman kertaluvun yhtälöä vastaava normaaliryhmä voidaan ratkaista numeerisesti

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 2. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 2. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 2 () Numeeriset menetelmät / 39 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 2 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 2 () Numeeriset menetelmät 14.3.2013 1 / 39 Luennon 2 sisältö Luvusta 1: Numeerinen stabiilisuus Liite A: Liukulukuaritmetiikasta

Lisätiedot

5.1. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [0, ) jolla on ominaisuudet:

5.1. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [0, ) jolla on ominaisuudet: 5.. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [, ) jolla on ominaisuudet: x = x = x + y x + y, x, y V a x = a x, x V, a K (= R tai C) Esimerkki 5..

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 14. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 14. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 14 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 14 () Numeeriset menetelmät 15.5.2013 1 / 55 Luennon 14 sisältö Nopeat Fourier-muunnokset (FFT) Yleinen algoritmi 2-kantainen

Lisätiedot

MS-A0103 / Syksy 2015 Harjoitus 2 / viikko 38 / Ennakot

MS-A0103 / Syksy 2015 Harjoitus 2 / viikko 38 / Ennakot Harjoitus 2 / viikko 38 / Ennakot Sekä tiistain 15.9. että torstain 17.9. luentoja pohjustavat ennakkotehtävät löytyvät MyCoursesin Tehtävät-osiosta. Lisätietoja itse tehtävissä. Tiedostoa viimeksi muokattu:

Lisätiedot