Jännitysten ja venymien vastaavuus kontinuumimekaniikassa
|
|
- Aili Auvinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Rakenteiden Mekaniikka (Journal of Structural Mechanics) Vol. 49 Nro s rmseura.tkk.fi/rmlehti/ c Kirjoittajat 015. Vapaasti saatavilla CC BY-SA 4.0 lisensioitu. Jännitysten ja venymien vastaavuus kontinuumimekaniikassa Martti Mikkola Tiivistelmä. Suhteellinen muodonmuutos kontinuumimekaniikassa voidaan määrittää usealla tavalla. Kuhunkin venymämittaan liittyy tietty jännityksen mitta. Artikkelin tarkoituksena on selventää venymien ja jännitysten vastaavuutta yleisesti ja yksinkertaisen esimerkin avulla. Avainsanat: suhteellinen muodonmuutos venymä venymänopeus jännitys jännitysten teho Vastaanotettu Hyväksytty Julkaistu verkossa Johdanto Suhteellinen muodonmuutos kontinuumimekaniikassa voidaan määrittää usealla tavalla [ Kutakin venymämittaa vastaa tietty jännitysmitta. Johdonmukainen menettely jännitysten ja venymien vastaavuuden määrittämiseksi on asettaa jännitysten tehot yhtä suuriksi eri mittoja käytettäessä. Sitä varten on tarpeellista selvittää aluksi venymien muutosnopeuksia. Systemaattinen menettely on käyttää Lien derivaattoja (Marius Sophus Lie norjalainen matemaatikko) [5 (Hill [ käyttää nimitystä konvektiivinen derivaatta) jotka kuvaavat tensoriluonteisten suureiden derivaattoja eri kantajärjestelmissä lausuttuina. Kontinuumin liike ja Lien derivaatta Tarkastellaan kappaleen B liikettä karteesisessa koordinaatistossa jonka kiinteät kantavektorit e 1 e e 3 toteuttavat ehdot e I e K δ IK. (1) Kappaleen liikkeen kuvaus on x x(x t) x i e k alkutilan X X K e K ja ajan t funktiona. Deformaatiogradientti F määrittää muodonmuutoksen ja rotaation alkutilan pisteessä X sijainneen ainepisteen P 0 ympäristössä (Kuva 1) Deformaatiogradientin polaarihajoitelma [5 8 F xk X L e k e L F k.le k e L. () F RU VR (3) 14
2 X x X -viiva g C t dx C 0 dx P t g 1 X 1 -viiva P 0 e O X 1 x 1 e 1 siten että Figure 1. Kappaleen liike alkutila ja lopputila. jakaa deformaation g K venymäosaan Fe K F.Ke i i gu L tai F T Ve L ja Grotaatioon Ḷ ie i ja g K R. g L Deformaatiogradientin g K g L δl K (5) käänteistensori on Selvyyden vuoksi alkutilan indekseinä käytetään isoja kirjaimia ja deformoituneen tilan indekseinä pieniä kirjaimia vaikka suureet referoidaan samaan koordinaatistoon ts. kantajärjestelmään {e K }. Konvektoituneille kantavektoreille käytetään myös isoja indeksikir- F 1 XK jaimia osoittamaan että ne kuuluvat konvektoituneisiin koordinaattiviivoihin. Toisen kertaluvun tensorin T T KL g K g L T ik e i e k materiaalinen aikaderivatta on Ṫ T KL g K g L + T KL ġ K g L + T KL g K ġ L Ṫc + LT + TL T (6) L on nopeusgradientti Kuva 1. Kappaleen liike alkutila ja lopputila. e x i K e i G G Ḳ i e K e i. (4) Deformoituneen tilan konvektoituneet kantavektorit ovat siten että L ḞF 1 vi x e k i e k v i x e k i e k L ik e i e k (7) Konvektiivinen (mukana kulkeva) aikaderivaatta g 1 g g 3 ja g 1 g g 3 (5) g K Fe K F.Ke i i g L F T e L G Ḷ ie i ja g K g L g K g L δl K. (6) Selvyyden vuoksi alkutilan indekseinä Ṫ c käytetään Ṫ LT isoja kirjaimia ja deformoituneen TLT (8) tilan indekseinä pieniä kirjaimia vaikka suureet referoidaan samaan koordinaatistoon ts. voidaan muodostaa myös Lien derivaattana seuraavalla tavalla: vedetään tensori T kantajärjestelmään takaisin alkutilaan {e K }. elikarteesisen tehdään takaisinveto koordinaatiston (pull-back) kovariantit ja kontravariantit kantavektorit ovat samat mistä syystä niissä käytetään vain alaindeksejä. Konvektoituneille kantavektoreille käytetään myösf 1 isoja TF T indeksikirjaimia T KL e K e L osoittamaan että ne kuuluvat konvektoituneisiin Sitten derivoidaan koordinaattiviivoihin. ajan suhteen T KL e K e L F 1 ṪF T + F 1 TF T + F 1 TF T F 1 (Ṫ LT TLT )F T (9) Lien tai konvektiivisen derivaatan havainnollistamiseksi tarkastellaan aluksi vektorin aikaderivaattaa pelkän rotaation tapauksessa ts. F R. Vektori A A K g K jossa konvektiivinen kantavektori on g K Re K derivoidaan ajan suhteen Sen jälkeen työnnetään derivoitu tensori takaisin deformoituun tilaan eli tehdään eteentyöntö (push-forward) Ȧ AF( K T g KL e K e L )F T T KL g K g L Ṫc Ṫ LT TLT (10) K + A K ġ K ȦK g K + A K Ωg K A K g K + ΩA. (7) Tensori Ω on rotaationopeus Ω ṘR T. Konvektiivinen derivaatta 3 Ȧ c A K g K Ȧ ΩA (8) on koordinaatiston mukana kiertyvän havaitsijan toteama vektorin A muutosnopeus. Jos se on nolla niin vektorin A muutosnopeus aiheutuu vain rotaatiosta Ȧ ΩA. Lien derivaattana konvektiivinen derivaatta määritetään kuvaamalla kiertynyt vektori takaisin kiinteään koordinatistoon (pull-back) A K e K R T A (9) 15
3 ja derivoimalla sitten ajan suhteen A K e K R T (Ȧ + RṘT A) R T (Ȧ ΩA) (10) ja siirtämällä lopuksi takaisin kiertyvään koordinaatistoon (push-forward) RȦK e K Ȧ c Ȧ ΩA. (11) Kaavan (11) mukaista aikaderivaattaa jäykän rotaation tapahtuessa nimitetään myös korotationaaliseksi (corotational) derivaataksi [5 7. Toisen kertaluvun tensorin T T KL g K g L T ik e i e k materiaalinen aikaderivatta on Ṫ T KL g K g L + T KL ġ K g L + T KL g K ġ L Ṫc + LT + TL T (1) jossa L on nopeusgradientti L ḞF 1 vi x k e i e k v i x k e i e k L ik e i e k. (13) Konvektiivinen (mukana kulkeva) aikaderivaatta Ṫ c Ṫ LT TLT (14) voidaan muodostaa Lien derivaattana seuraavalla tavalla: vedetään tensori T takaisin alkutilaan eli tehdään takaisinveto (pull-back) Sitten derivoidaan ajan suhteen T KL e K e L F 1 ṪF T + F 1 TF T T KL e K e L. F 1 TF T + F 1 TF T F 1 (Ṫ LT TLT )F T. (15) Sen jälkeen työnnetään derivoitu tensori takaisin deformoituun tilaan eli tehdään eteentyöntö (push-forward) F( T KL e K e L )F T T KL g K g L Ṫc Ṫ LT TLT. (16) Vastaavalla tavalla muodostetaan kontravariantissa kannassa lausutun tensorin T T KL g K g L Lien derivaatta. Aluksi tehdään takaisinveto Sen jälkeen derivoidaan ajan suhteen F T TF T KL e K e L. T KL e K e L F T ṪF + ḞT TF + F T TḞ FT (Ṫ + LT T + TL)F (17) ja suoritetaan eteentyöntö F T ( T KL e K e L )F 1 T KL g K g L Ṫc Ṫ + LT T + TL. (18) Esimerkiksi Kirchhoffin jännityksen Σ Σ KL g K g L Lien derivaatta on kaavan (16) mukaan F( Σ KL e K e L )F T Σ KL g K g L Σ c Σ LΣ ΣL T. (19) Almansin-Eulerin venymätensorin e e KL g K g L Lien derivaatta on kaavan (18) mukaan ė c F T ĖF 1 ė + L T e + el 1 (L + LT ) d (0) jossa E E KL e K e L on Greenin-Lagrangen venymätensori. 16
4 Jännitysten ja venymien vastaavuudet Kutakin venymämittaa vastaa tietty jännitysmitta. Vastaavuuksien määrittämiseksi käytetään menettelyä jossa jännitysten tehot eri mittoja käytettäessä asetetaan yhtä suuriksi. Lähtökohdaksi valitaan symmetrisen Cauchyn jännityksen σ teho venymänopeuden d suhteen deformoituneessa tilassa [ Venymänopeus d on nopeusgradientin symmetrinen osa P dv σ : d dv σ ik d ik dv. (1) d 1 (L + LT ) w 1 (L LT ). () Antisymmetrinen osa w on nimeltään pyörteisyystensori (spin tensor vorticity tensor). Käyttämällä nopeusgradientin lauseketta (13) yhtälö (1) voidaan saattaa muotoon P dv σ : 1 (ḞF 1 + F T Ḟ T )dv 1 [tr(f T Ḟ T σ) + tr(σ T F T Ḟ T )dv 1 (σf T : Ḟ + σt F T : Ḟ)dV JσF T : ḞdV 0. (3) Nopeusgradienttia vastaava jännitys on ensimmäinen Piolan-Kirchhoffin jännitystensori (PK1) P JσF T P ik ik XK e i e K Jσ x e k i e K. (4) Jännitystensori PK1 on epäsymmetrinen mutta huomataan helposti että se toteuttaa momenttitasapainoehdon FP T PF T. (5) Se on lisäksi ns. kahden pisteen tensori jonka ensimmäinen indeksi (komponentin suunta) viittaa deformoituneeseen tilaan ja toinen (pinnan normaalin suunta) viittaa alkutilaan. PK1 vaikuttaa deformoituneen tilan pinta-alkioon kohdassa x vaikka se on laskettu alkutilan pintaa kohti kohdassa X niin että sen avulla määritetty jännitysvektori on sama kuin Cauchyn jännityksen avulla laskettu PNdA tda σnda. (6) da ja da ovat pinta-alkiot alku- ja deformoituneessa tilassa ja N ja n niiden yksikkönormaalit. Pinta-alkioiden välillä pätee Nansonin kaava JF T NdA nda. Yhtälön (0) avulla saadaan sijoittamalla yhtälöön (1) P dv σ : F T ĖF 1 dv J tr(f T Ė T F 1 σ)dv 0 JF 1 σf T : ĖdV 0 S : ĖdV 0. (7) Greenin-Lagrangen venymää E vastaava jännitys on toinen Piolan-Kirchhoffin jännitystensori S (PK) S JF 1 σf T F 1 P S KL e K e L. (8) Se on pseudojännitys siinä mielessä että se on laskettu alkutilan pintaa kohti ja että siitä määritetty jännitysvektori t 0 SN (9) 17
5 on pseudojännitysvektori joka on siirrettävä deformaatiogradientin avulla deformoituneeseen tilaan jotta siitä tulisi todellinen jännitysvektori t Ft 0 da tda σnda. (30) Biot n [1 jännityksen tehon määrittämiseksi todetaan aluksi polaarihajoitelmasta F RU VR saatava nopeuksien välinen yhteys Ḟ R U + ṘU R U + ṘRT F R U + ΩF Ḟ VR + VṘ VR + FR T Ṙ VR + FR T ΩR (31) jossa Ω ṘRT Ω T Ω on antisymmetrinen rotaationopeustensori. Yhtälöstä (3) seuraa aluksi P dv P : ḞdV 0 tr(ḟt P)dV 0 tr[(r U + ΩF) T PdV 0 tr( U T R T P + F T Ω T P)dV 0 (R T P : U + PF T : Ω)dV 0. Jaetaan tensorit R T P ja PF T symmetrisiin ja antisymmetrisiin osiin R T P 1 (RT P + P T R) + 1 (RT P P T R) B S + B A PF T 1 (PFT + FP T ) + 1 (PFT FP T ). (3) Yllä olevan yhtälön oikeanpuoleisin termi häviää PK1-jännityksen momenttitasapainon (5) takia. Lisäksi U:n symmetrian ja Ω:n antisymmetrian takia jännitystehon lauseke supistuu muotoon P dv B S : UdV 0 (33) joka esittää Biot n jännitysten tehoa. Siis Biot n jännitys B S 1 (RT P + P T R) 1 (US + SU) (34) ja venytystensori U ovat toisiaan vastaava pari. Toisaalta yhtälöstä (31) saadaan jolloin yhtälöstä (33) seuraa U R T (Ḟ ΩF) RT ( V + VΩ ΩV)R (35) P i dv B S : UdV 0 tr[r T ( V+VΩ ΩV) T RB S dv 0 B S : ( V+VΩ ΩV)dV 0. (36) Biot n jännitys kierretyssä kannassa Re K on B S RB S R T. (37) Venytysnopeuksien U ja V yhtälön (35) esittämä yhteys on V:n rotaation mukainen Lien derivaatta R UR T V c V + VΩ ΩV. (38) Logaritminen venymä on huomattavasti monimutkaisempi tapaus. Kuitenkin tilanne on varsin yksinkertainen venymän pääsuuntien pysyessä muuttumattomina kuten seuraava tarkastelu osoittaa. Otaksutaan että venytystensorin U päävenymät ovat λ 1 λ ja 18
6 λ 3 ja vastaavat pääsuunnat yksikkövektorien N (1) N () ja N (3) mukaiset. Venytystensori voidaan esittää silloin muodossa [ U λ i N (i) N (i) (39) ja logaritminen venymä muodossa ln U (ln λ i )N (i) N (i). (40) Yhtälöitä (39) ja (40) nimitetään Lagrangen esitystavan mukaisiksi. Vastaavat Eulerin esitystavan mukaiset ovat V RUR T ln V R(ln U)R T λ i n (i) n (i) (41) (ln λ i )n (i) n (i). (4) Tensorien U ja V päävenymät ovat samat. Yksikkövektorit n (i) RN (i) i 1 3 ovat tensorin V pääsuunnat. Olkoon R (L) ortogonaalinen tensori (ominaisvektorien N (i) muodostama) niin että N (i) R (L) e i. {e i } on kiinteä ortonormeerattu kanta. Pääsuunnan aikaderivaatta on Ṅ (i) Ṙ (L) e i Ṙ (L) R (L)T N (i) Ω (L) N (i). Venytystensorin (39) ja logaritmisen venymän (40) aikaderivaatat ovat silloin U λ i N (i) N (i) + Ω (L) U UΩ (L) (43) (ln U) ( λ i λ 1 i )N (i) N (i) + Ω (L) ln U (ln U)Ω (L). (44) Vastaavasti pääsuunnan n (i) aikaderivaatta on ṅ (i) ṘN (i) + RṄ (i) ṘR T n (i) + RΩ (L) R T n (i) Ω (E) n (i). Kun rotaation R aikaderivaatta on Ṙ ΩR nähdään että Ω (E) Ω + RΩ (L) R T. (45) Tällöin Eulerin esitystavan mukaisten venytystensorin (41) ja logaritmisen venymän (4) aikaderivaatat ovat V λ i n (i) n (i) + Ω (E) V VΩ (E) (46) (ln V) ( λ i λ 1 i )n (i) n (i) + Ω (E) ln V (ln V)Ω (E). (47) Deformaatiogradientin lausekkeesta F VR saadaan Ḟ VR + VṘ F 1 R T V 1 19
7 X x X kx ˆN 1 ˆN ˆn ˆn 1 e g g O e 1 g 1 X 1 x 1 g 1 mistä seuraa ja edelleen Esimerkki: yksinkertainen leikkaus Kuva Figure. Yksinkertainen leikkaus leikkaus Tarkastellaan esimerkkinä yksinkertaista leikkausta karteesisessa koordinaatistossa L ḞF 1 VV 1 + VΩV 1 (48) x 1 X 1 + kx x X x 3 X 3 Kysymyksessä on deformaatio X 1 X -tasossa joten käsitellään asiaa kaksidimensioisena. Deformaatiogradientti sen käänteistensori nopeusgradientti rotaatiomatriisi ja kiertymänopeusmatriisi d ovat 1 (L + LT ) 1 ( VV 1 + V 1 V) + 1 (VΩV 1 V 1 ΩV) [ [ [ [ [ 1 k 1 k [F [F 1 0 k cos θ sin θ 0 1 [L [R [Ω θ sin θ cos θ 1 0 λ i λ 1 i n (i) n (i) + Ω (L) λ j λ i ij Konvektoituneet kantavektorit ovat i j g 1 e 1 g ke 1 + e g 1 e 1 ke g e Greenin-Lagrangen venymä ja venymänopeus ovat [E 1 ( [F T [F [I ) 1 [ [ 0 k 0 k k [Ė k/ Ω (E) Ω (L) λ j + λ i ij k/ k k i j Almansin-Eulerin venymä ja sen konvektiivinen venymänopeus ovat [e 1 ( [I [F T [F 1) 1 [ [ 0 k 0 k/ k k [ė c [d k/ 0 Oikeanpuoleinen venytystensori ja sen muutosnopeus ovat [ cos θ sin θ + k [ cos θ cos θ sin θ [U [R T [F sin θ cos θ k sin θ sin θ (1 + sin θ)/ cos θ 8 λ i λ j n (i) n (j) (49) w 1 (L LT ) 1 ( VV 1 V 1 V) + 1 (VΩV 1 + V 1 ΩV) λ i λ j n (i) n (j). (50) Kaavoista (43) ja (49) nähdään että jos pääsuunnat N (i) eivät muutu ts. Ω (L) 0 niin R(ln U) R T Kaavoista (44) (45) ja (47) seuraa myös λ i λ 1 i n (i) n (i) d. (51) R(ln U) R T (ln V) Ω ln V + (ln V)Ω d. (5) Siis kun pääsuunnat N (i) eivät muutu niin pääsuunnat n (i) muuttuvat vain jäykän kappaleen rotaation mukaisesti kuten kaavasta (45) nähdään. Tällöin voidaan päätellä että logaritmista venymää vastaa Cauchyn jännitys. Yleisempi tapaus on huomattavasti mutkikkaampi ks. [3 4. Esimerkki: Yksinkertainen leikkaus Tarkastellaan esimerkkinä yksinkertaista leikkausta karteesisessa koordinaatistossa x 1 X 1 + kx x X x 3 X 3 0
8 Kysymyksessä on deformaatio X 1 X -tasossa joten käsitellään asiaa kaksidimensioisena. Deformaatiogradientti sen käänteistensori nopeusgradientti rotaatiomatriisi ja kiertymänopeusmatriisi ovat [F [ 1 k 0 1 [ 1 k [F [ cos θ sin θ [R sin θ cos θ Konvektoituneet kantavektorit ovat [ 0 k [L 0 0 [ 0 1 [Ω 1 0 θ. g 1 e 1 g ke 1 + e g 1 e 1 ke g e. Greenin-Lagrangen venymä ja venymänopeus ovat [E 1 ( [F T [F [I ) 1 [ [ 0 k 0 k k [Ė k/ k/ k k. Almansin-Eulerin venymä ja sen konvektiivinen venymänopeus ovat [e 1 ( [I [F T [F 1) 1 [ [ 0 k 0 k/ k k [ė c [d k/ 0. Oikeanpuoleinen venytystensori ja sen muutosnopeus ovat [ [ cos θ sin θ + k cos θ cos θ sin θ [U [R T [F sin θ cos θ k sin θ sin θ (1 + sin θ)/ cos θ [ [ U sin θ cos θ θ. cos θ sin θ(1 + cos θ) Kiertymiskulman θ ja parametrin k välinen yhteys tan θ k/ seuraa matriisin [U symmetriaehdosta sin θ sin θ + k cos θ. Vastaavasti vasemmanpuoleinen venytysmatriisi ja sen muutosnopeus ovat [ [ cos θ k sin θ sin θ + k cos θ (1 + sin [V [F [R T θ)/ cos θ sin θ sin θ cos θ sin θ cos θ [ [ V sin θ(1 + cos θ) cos θ θ cos θ sin θ [ [ V c [ V [Ω[V + [V [Ω θ sin θ(1 cos θ) cos θ(1 cos θ) cos θ(1 cos θ) sin θ Tilavuus ei muutu deformaation tapahtuessa joten J detf 1 ja dv dv 0. Jännitysten teholausekkeet ovat. P σ : d tr ( [ 0 k/ k/ 0 T [ σ11 σ 1 σ 1 σ ) (σ 1 + σ 1)( k/) ( [ 0 P P : Ḟ tr k 0 0 T [ P11 P 1 P 1 P ) P 1 k 1
9 ( [ 0 P S : Ė tr k/ k/ k k T [ S11 S 1 S 1 S ) (S 1 + S 1 + ks )( k/) ( [ T [ sin θ cos θ BS11 B P B S : U tr S1 cos θ sin θ(1 + / cos θ) B S1 B S ( [B S (1 + / cos θ) B S11 sin θ (B S1 + B S1 ) cos θ) θ ) θ P B S : V c ( [ sin θ(1 cos tr θ) cos θ(1 cos T [ θ) ) BS11 BS1 θ cos θ(1 cos θ) sin θ B S1 BS ( (1 cos θ)[ B S11 sin θ + ( B S1 + B S1 ) cos θ + B S sin θ) θ. Nämä lausekkeet ovat keskenään yhtä suuria mikä nähdään kun otetaan huomioon jännitysten väliset yhteydet (3) (7) (34) ja (37) ja PK1-jännitysten momenttitasapainoehto (5) josta seuraa P 1 P 1 + kp. Kirjoitetaan vielä näkyviin jännitysten lausekkeet Cauchyn jännityksen funktioina [ [ P JσF T P11 P eli 1 σ11 kσ 1 σ 1 P 1 P σ 1 kσ σ [ [ S F 1 S11 S P eli 1 σ11 k(σ 1 + σ 1 ) + k σ σ 1 kσ S 1 S σ 1 kσ σ B S 1 ( R T P + P T R ) 1 (US + SU) jonka matriisin alkiot ovat [ BS11 B [B S S1 B S1 B S B S11 σ 11 cos θ + 3 (σ 1 + σ 1 ) sin θ + σ sin θ/ cos θ B S1 1 (3σ σ 11 ) sin θ + σ 1 cos θ σ 1 sin θ/ cos θ B S1 1 (3σ σ 11 ) sin θ + σ 1 cos θ σ 1 sin θ/ cos θ B S σ cos θ 1 (σ 1 + σ 1 ) sin θ. Vastaavasti kiertyneessä koordinaatistossa Biot n jännityksen B S 1 ( PR T + RP ) T RB S R T
10 matriisin alkiot ovat B S11 σ 11 cos θ + 1 (σ 1 + σ 1 ) sin θ B S1 1 (σ 11 + σ ) sin θ + σ 1 / cos θ B S1 1 (σ 11 + σ ) sin θ + σ 1 / cos θ B S σ (1 + sin θ)/ cos θ + 1 (σ 1 + σ 1 ) sin θ. Logaritmisen venymän määrittämiseksi ratkaistaan aluksi Cauchyn oikeanpuoleisen venymätensorin C F T F ominaisarvot ja -vektorit. Yhtälöstä seuraa ja edelleen det (C λ I) (λ ) ( + k )λ λ 1 λ k ± 1 + ( k ) 1 + ( k ) ± k 1 ± sin θ λ λ 1 1. cos θ Edellä sin θ (k/)/ 1 + (k/) cos θ 1/ 1 + (k/) seuraavat yhteydestä tan θ k/. Käyttämällä merkintöjä a (1 + sin θ)/ b (1 sin θ)/ ominaisvektorit saavat muodon N (1) ae 1 + be N () be 1 + ae n (1) be 1 + ae n () ae 1 + be. Matriisit [R (L) [Ω (L) [R (E) ja [Ω (E) ovat silloin [ [ R (L) a b b a [ [ R (E) b a a b [ Ω (L) [ Ω (E) [Ṙ(L) [Ṙ(E) [R [ (L) T θ [R (E) T θ [ Logaritmiset venymät voidaan esittää seuraavasti jolloin on otettu huomioon λ λ 1 1. ln U (ln λ i )N (i) N (i) (ln λ 1 )[sin θ(e 1 e 1 e e ) + cos θ(e 1 e + e e 1 ) ln V (ln λ i )n (i) n (i) (ln λ 1 )[ sin θ(e 1 e 1 e e ) + cos θ(e 1 e + e e 1 ). Tässä tapauksessa pääsuunnat muuttuvat aina deformaation tapahtuessa ts. kun θ k cos θ/ 0. Näin ollen logaritmista venymää ei vastaa Cauchyn jännitys vaan jokin monimutkaisempi jännityssuure. 3
11 Yhteenveto Artikkelissa on tarkasteltu tavanomaisten jännitys- ja venymämittojen vastaavuutta kontinuumimekaniikassa. Tarkastellut venymämitat ovat Greenin-Lagrangen Almansin-Eulerin Biot n ja Henckyn logaritminen venymä joiden venymänopeudet on myös määritetty. Venymiä vastaavat jännitysmitat on johdettu asettamalla jännitysten tehon lausekkeet yhtäsuuriksi. Logaritmisen venymän osalta on tarkasteltu vain tapausta jossa venymän pääsuunnat eivät muutu deformaation tapahtuessa. Tuloksia on havainnollistettu yksinkertaisen leikkauksen tapauksessa. Viitteet [1 M. Biot. Mechanics of Incremental Deformation. John Wiley & Sons New York [ R. Hill. Aspects of invariance in solid mechanics. Advances in Applied Mechanics 18: [3 A. Hoger. The material time derivative of logarithmic strain. International Journal of Solids and Structures (9): [4 A. Hoger. The stress conjugate to logarithmic strain. International Journal of Solids and Structures 3(1): [5 G.A. Holzapfel. Nonlinear Solid Mechanics - A Continuum Approach for Engineering. John Wiley & Sons 000. [6 D.B. Macvean. Elementararbeit in einem Kontinuum und die Zuordnung von Spannungs- und Verzerrungstensoren. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik 19: [7 L.E. Malvern. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice Hall Englewood Cliffs New Jersey [8 R. Ogden. Non-linear Elastic Deformations. Ellis Harwood Ltd Dover [9 C. Truesdell and W. Noll. The Non-linear Field Theories of Mechanics. Springer 3. edition 004. Martti Mikkola Aalto-yliopisto Insinööritieteiden korkeakoulu Rakennustekniikan laitos Rakentajanaukio 4 A PL Aalto martti.mikkola@aalto.fi 4
Venymämitat kontinuumimekaniikassa Hillin-Sethin mukaan
Rakenteiden Mekaniikka Vol. 50 Nro 07 s. 6 http://rakenteidenmekaniikka.journal.fi/index https://doi.org/0.3998/rm.6399 c Kirjoittajat 07. Vapaasti saatavilla CC BY-SA 4.0 lisensioitu. Venymämitat kontinuumimekaniikassa
LisätiedotVenymämitat kontinuumimekaniikassa Fingerin ja Piolan mukaan
Rakenteiden Mekaniikka Vol. 50, Nro 4, 2017, s. 451 462 http://rakenteidenmekaniikka.journal.fi/index https://doi.org/10.23998/rm.66414 c Kirjoittajat 2017. Vapaasti saatavilla CC BY-SA 4.0 lisensioitu.
LisätiedotMuodonmuutoksen mitat kontinuumimekaniikassa
Tampere University of Technology Muodonmuutoksen mitat kontinuumimekaniikassa Citation Hartikainen, J., Kouhia, R., Mikkola, M., & Mäkinen, J. (016). Muodonmuutoksen mitat kontinuumimekaniikassa. Rakenteiden
LisätiedotMEI Kontinuumimekaniikka
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 6. harjoitus jännitysmitat Ratkaisut T 1: Ohuen suoran sauvan pituus referenssitilassa on 0 ja poikkipinta-ala on A 0. Sauvan akselin suuntaisen
LisätiedotMEI Kontinuumimekaniikka
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotJäykän kappaleen mekaniikkaa
Jäykän kappaleen mekaniikkaa 29. joulukuuta 2005 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Jäykän kappaleen mekaniikka 2 2.1 Pyörivä koordinaatisto...................... 2 2.2 Vakio Ω.............................. 3 2.3
LisätiedotTeknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut
Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet Mikkola/Ärölä 4. harjoituksen ratkaisut Teht. 1 Jacobin determinantin J det F materiaalisen aikaderivaatan laskemiseksi lasketaan
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotEi-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotSuurten siirtymien teorian opetuksesta
Rakenteiden Mekaniikka Vol. 50, Nro 1, 2017, s. 17-24 http://rakenteidenmekaniikka.journal.fi/index https:/doi.org/10.23998/rm.63420 Kirjoittajat 2017. Vapaasti saatavilla CC BY-SA 4.0 lisensoitu. Suurten
Lisätiedot2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyv
2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyvien vakioiden määrittämiseen. Jännitystila on siten
LisätiedotDifferentiaalimuodot
LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja
LisätiedotJohdatus materiaalimalleihin
Johdatus materiaalimalleihin 2 kotitehtäväsarja - kimmoisat materiaalimallit Tehtävä Erään epälineaarisen kimmoisen isotrooppisen aineen konstitutiivinen yhtälö on σ = f(i ε )I + Ge () jossa venymätensorin
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertaus edelliseltä luennolta sekä ristituloista. Mekaniikan koordinaatistot: pallokoordinaatisto. Vakiovektorin muutosnopeus (kantavektorin
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta: jäykkä kappale, kulma-asema, Eulerin kulmat, kulmanopeus. Suhteellinen liike: Vektorin muutosnopeudet eri koordinaatistoissa.
LisätiedotJatkoa lineaarialgebrasta
Jatkoa lineaarialgebrasta 16. tammikuuta 2006 Sisältö 1 Singulaariarvohajotelma 1 2 Tensorit ja lineaarikuvausten komponentit 2 2.1 Karteesiset tensorit........................ 3 2.2 Determinantti, osa
LisätiedotEsimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).
Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti 13.12.2017 1. Jos r θ on paikkavektori, niin mitä ovat r θ, esitksiä r θ ja r θ? Kätä Karteesisen koordinaatiston T θ θ r < j < j zθ θ k k z ja / θ < j
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
Lisätiedot4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia
23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Demonstraatio 7, 6.7... Ratkaise dierentiaalihtälöpari = = Vastaus: DY-pari voidaan esittää muodossa ( = Matriisin ominaisarvot ovat i ja i ja näihin kuuluvat ominaisvektorit (
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
LisätiedotLineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot:
Lineaarikuvaukset 12. joulukuuta 2005 1 Yleistys multivektoreille Olkoon F lineaarikuvaus vektoriavaruudessa. Yleistetään F luonnollisella tavalla terille F (a 1 a n ) = F (a 1 ) F (a n ), (1) sekä terien
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 44/2017
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 44/2017 1 Piirrä vapaakappalekuviot kuvien partikkeleille/äykille kappaleille a muodosta vaikuttavien voimien resultantit massakeskipisteiden suhteen Käytä
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotLUKU 6. Weingartenin kuvaus
LUKU 6 Weingartenin kuvaus 6.1. Vektorikentän derivaatta Seuraavassa määritellään pinnalla määritellyn reaaliarvoisen funktion ja vektorikentän derivaatta. Nämä tulevat olemaan hyvinmääriteltyjä, kunhan
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotMateriaalien mekaniikka
Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =
Lisätiedot2 LIIKE, JÄNNITYS JA VENYMÄ
2 LIIKE, JÄNNITYS JA VENYMÄ 2.1 KAPPALEEN LIIKE... 4 2.2 LAGRANGEN JA EULERIN ESITYSTAVAT... 12 2.3 SIIRTYMÄ... 22 2.4 JÄNNITYS... 25 2.5 VENYMÄ JA VENYMÄNOPEUS... 38 Viikko 45/1 VIIKON 45 OSAAMISTAVOITTEET
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotAlternoivat multilineaarimuodot
LUKU 1 Alternoivat multilineaarimuodot Vektoriavaruudesta R n käytetään seuraavassa merkintää V. Sen k-kertainen karteesinen tulo on tällöin V V = V k. Määritelmä 1.1. Kuvaus T : V k R on multilineaarinen,
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotTaylorin sarja ja Taylorin polynomi
Taylorin sarja ja 1 Potenssisarja c k (x a) k = f (x) määrittelee x:n funktion. Seuraavaksi toteamme mikä yhteys potenssisarjalla on sen määrittelemän funktion derivaattoihin f (a),f (a),f (a),f (3) (a),...
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotDYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi
DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotOrtogonaaliset matriisit, määritelmä 1
, määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,
LisätiedotPaikannuksen matematiikka MAT
TA M P E R E U N I V E R S I T Y O F T E C H N O L O G Y M a t h e m a t i c s Paikannuksen matematiikka MAT-45800 4..008. p.1/4 Käytännön järjestelyt Kotisivu: http://math.tut.fi/courses/mat-45800/ Luennot:
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
Lisätiedotx + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotLyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY
Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTELYTUVAKESKUS STÅLSÄKEHETSCENTALEN ADATON AND NUCLEA SAFETY AUTHOTY Ei enää tarkastella neutronien kulkua, vaan työn alla on simppeli tuntemattoman differentiaaliyhtälöryhmä
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 5.12. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö 3. Lämpövoimakoneet
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla
LisätiedotHarjoitus 7: vastausvihjeet
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)
ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotLukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
Lisätiedot1. kotitehtäväsarja - Einsteinin summaussääntö ja jännitystila - malliratkaisut
. kotitehtäväsarja - Einsteinin summaussääntö ja jännitystila - malliratkaisut Tehtävä. Ovatko seuraavat indeksimuotoiset lausekkeet karteesisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa oikein, perustelu?
Lisätiedot