Maa , Fotogrammetrian erikoistyö. Monoplotting. Anna Erving 58394J

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Maa-57.290, Fotogrammetrian erikoistyö. Monoplotting. Anna Erving 58394J"

Transkriptio

1 M-57.29, Fotogrmmetrin erikoistyö Monoplotting Ann Erving 58394J

2 Sisällysluettelo Sisällysluettelo Johdnto Perusperite j histori Trvittvt ineistot Vlokuv kohteest korkeusmlli Orientoinnit sisäinen orientointi Ulkoinen orientointi Lskennn mtemttinen mlli Automtisointi Trkkuus Sovelluslueet Monoplotting vs. stereoplotting Ohjelmi Brist DiMoTeP Om tutkimus DiMoTeP-ohjelmll Johtopäätelmät Viitteet

3 1. Johdnto Monoplotting on yksikuvmittusmenetelmä, jonk vull voidn yhdeltä kuvlt mitt kohteen 3D-koordinttej. Mittmist vrten trvitn inostn yksi kuv j mstomlli kohteest, sekä lisäksi tieto näiden sijinnist kohteeseen nähden. Mitään erikoisi digitointilitteit ti stereotrkstelun mhdollistvi kojeit ei trvit, vn nykyään jo joisskin fotogrmmetrisiss mittusohjelmiss on vihtoehton monoplotting-mittus. Snlle monoplotting ei löydy Suomen kielelle vstv käännöstä, joten käytän tässä työssä sn monoplotting. Tämä erikoistyö esittelee monoplotting-mittusmenetelmän loitten sen historist j jtken trkemmin miituksen kulkuun j siinä trvittviin ineistoihin. Huomiot on kiinnitetty myös erilisiin utomtisointimhdollisuuksiin, menetelmän trkkuuteen j sen sovelluslueisiin. Esimerkinomisesti työssä on esitelty kksi ohjelm, joiden vull kuvilt on mhdollist mitt kohdekoordinttej monoplotting-menetelmällä. Lopuksi olen testnnut mittmist fotogrmmetrin lbortorion omill ineistoill DiMoTep-ohjelm käyttäen. 2. Perusperite j histori Yhdeltä kuvlt voi kohteen mitt vin kksiulotteisesti, ellei kuvn lisäksi mitään muut informtiot ole stvill. Jos tuloksen hlu 3D-koordintit, kohteest trvitn mstomlli sekä vlokuv (stelliittikuv, ilmkuv, ortokuv, mkuv, pnorm..., jonk sisäinen j ulkoinen orientointi tunnetn. Juuri tällisen mittmisen mhdollist monoplotting (Kuv 1. Kuv voi oll pysty- ti viistokuv. Lskennss kuvkoordintit x, y muunnetn kohdekoordintteihin X, Y, Z. Ainostn kohteet, jotk on mllinnettu mstomlliin, voidn mitt. (Rönnholm P. et. l., 25 Kuv 1: Monoplotting-menetelmän perusperite. (Doneus M.,

4 Digitlisen monoplotting-menetelmän iden esitti ensimmäisenä B. Mkrovic vuonn Vikk jtus oli hyvä j sillä oli suuri käyttöpotentili, ei siitä juuri kuultu mitään tämän jälkeen. Vst 198-luvun loppupuolell menetelmää testttiin kunnoll käytännössä. Monoplottingmittmist käytettiin tuolloin hyväksi krtttiedon päivittmisessä. Menetelmää pidettiin stereokrtoituksen hlpn, helppon j jop epämmttimisen korvikkeen, jot käytettiin vin pienissä j erikoisiss sovelluksiss. Se ei siis niinkään ollut yleinen krtoitusmenetelmä. (Stefnovic P. et. l., 1989 Digitlisen monoplottingin lun ikoin digitlisi korkeusmllej oli hrvss j myöskin eriliset digitliset litteet menetelmän suorittmiseksi olivt hyvin klliit. Kuitenkin jo 198- luvun loppupuolell digitliset litteet muuttuivt edullisemmiksi. Korkeusmllej kuitenkin oli vielä hyvin vähän digitlisess muodoss. Toinen ongelm oli hyvien digitointilitteiden puute, vikk litteit sikin jo melko hlvll. (Stefnovic P. et. l., 1989 Nykyään nämä ongelmt eivät ole enää esteenä monoplotting-menetelmän käytölle. Myös stelliittikuvien hyvän trkkuuden johdost myös niitä on nykyään mhdollist käyttää yksikuvmittukseen (Willneff J. et l., Trvittvt ineistot Monoplotting-mittusmenetelmää vrten trvitn kohteest olev vlokuv sekä smlt lueelt olev mstomlli ti jotin muut korkeusinformtiot. Kohteen esittävä kuv voi oll oikestn mikä thns vlokuv riippumtt siitä, onko se otettu stelliitist, lentokoneest, ti mnpinnlt. Kuvn on vin oltv trpeeksi trkk j sen sisäinen j ulkoinen orientointi on tunnettv. Myös krttprojektioon oikistu ilmkuv eli ortokuv käy. Kuten jo edellä kerrottiin, kuv voi oll sekä pysty- että viistokuv. Kuvn sisäinen j ulkoinen orientointi on tunnettv, jott mittus kuvlt on mhdollist. Sisäistä orietointi vrten kuvnottokmer on klibroitv j ulkoist orientointi vrten kuvlt tulee näkyä joitkin koordinteiltn tunnettuj pisteitä. Orientointej käsitellään trkemmin luvuss Vlokuv kohteest Kuv voi oll nykyään melkein mikä vn, kunhn se on riittävän trkk j sen orientointiprmetrit voidn sd selville. Stelliittikuv otetn stelliitist, jok kulkee vruudess mt kiertävällä rdll. Trkkoj stelliittikuvi voidn käyttää monoplotting-mittuksess (High-Resolution Stellite Imgery, HRSI (Willneff J. et l., 25. Ilmkuv ts otetn lentokoneest. Ilmkuvkmer on erityisen trkk, sillä sen objektiivin geometri on lähes virheetön j järjestelmän erotuskyky on vähintään 3-4 viivpri millimetrillä (Hggrén H. et. l., 24. Ilmkuv onkin trkkuutens j informtiivisuutens tki eniten käytetty kuv-ineito monoplotting-mittuksess. Ortokuv on krttprojektioon oikistu ilmkuv, jok on kohtisuorss kohdekoordintiston z- kseli vstn. Oikisu suoritetn georeferoimll (Rönnholm P. et. l., 24. Georeferointi trkoitt kuvien sitomist mstokoordintistoon joko ortokuvin ti esimerkiksi stereomllein. 4

5 Prosessiin kuuluvt ulkoisten orientointien määritys sekä ortokuvien tpuksess orto-oikisu. Tähän trvitn ilmkuv, korkeusmlli sekä orientointiprmetrit (Honkvr E., korkeusmlli Korkeustiedoksi käy esimerkiksi mstomlli, lueelt muuten vin tunnettuj mstonkorkeuksi, tieto siitä että kohde on vksuor tso j kikill z-pisteillä on sm rvo, ti että kohde koostuu erilisist tsoist. (Schwidefsky K. et. l., 1978 Mstomlli (DEM, Digitl Elevtion Model sisältää mston korkeustiedon x-, y-, j z- koordinttein. Mstomlli koostuu yleensä säännöllisestä hilst, jonk ruutujen solmukohdt sisältävät korkeustiedot (Kuv 2. Ruudut mukilevt näin mston korkeusmuotoj tsoin. Mlli voi oll myös kolmioverkko, jok sdn optimoitu tsiseksi esimerkiksi Delnykolmioinnin vull (Kuv 2b. Tällöin stunnisesti lueell sijitsevt pisteet sisältävät korkeustiedot, joiden välille muodostetn yhteyksiä siten että muodostuu kolmioit. Delnykolmioinnin vull kolmioist tulee mhdollisimmn tssivuisi. (Tykkälä T., 25 b Kuv 2: Mstomlli säännöllisenä hiln j b kolmioverkkon. (Inno-CAD Oy, Orientoinnit Kuten jo luvuss 3 kerrottiin, kuvlt on tunnettv sen sisäinen j ulkoinen orientointi, jott monoplotting-mittus kohteest on mhdollist. Sisäisessä orientoinniss rtkistn koordinttimuunnoksen prmetrit 2D-kuvhvinnoist 3D-kmerkoordintistoon. Ulkoisess orientoinniss ts selvitetään kmern sento kohdekoordintistoss (X, Y, Z, joss myös mstomlli on. Orientoinnin muuttuji ovt kmern kuvushetkinen sijinti (X, Y, Z sekä kiertoprmetrit kolmen kselin ympäri (omeg, fii, kpp. (Hggrén H., 22 5

6 4.1 sisäinen orientointi Sisäinen orientointi trkoitt projektiokeskuksen sijinnin määrittämistä kuvtsoon nähden. Muuttuji ovt kmervkio c j kuvn pääpisteen koordintit p x j p y. (Schwidefsky K. et. l., 1978 Sisäisen orientointi tehdään yleensä klibroimll kmer ennen käyttöä, j se koostuu usemmst eri viheest. Klibroitess otetn kuvi esimerkiksi testikentästä, jok sisältää koordinteiltn tunnettuj tähyksiä. Klibrointi onnistuu myös yhden kuvn vull, mutt on trkemp usemmll kuvll. Monen kuvn tpuksess tulokset sdn tsoittmll. Tähykset digitoidn kuvilt j koordinttirvoille tehdään seurvt muunnokset. Ensin tehdään koordintiston xy-siirto, joss määritetään pääpisteen pikk oikeksi. Tämän jälkeen kierretään kuv z-kselin ympäri (j siis myös pääpisteen ympäri (Kuv 3. Kierto voidn lske joko reunmerkeistä ti pääpisteen koordinttien x- j y-eroist. Sitten lsketn mittkvkerroin, jok sdn esimerkiksi reunmerkkien välisistä etäisyyksistä. Lopuksi vielä muutetn kmerkoordinttien z-koordintiksi kmervkio c miinusmerkkisenä. Sisäisessä orientoinniss voidn lisäksi tehdä muitkin korjuksi trpeen mukn. Esimerkkinä minittkoon kmern optiikn piirtovirheiden korjus. (Hggrén H., 22 Kuv 3: Sisäisessä orientoinnniss tphtuv kierto pääpisteen ympäri. (Hggrén H., Ulkoinen orientointi Ulkoisen orientoinnin vull määritetään kmerkoordintiston sijinti kohdekoordintistoon nähden (Kuv 4. Usein kohdekoordintisto on lueell käytetty koordintisto. Muuttuji ovt kmern projektiokeskuksen koordintit ( X, Y, Z kohdekordintistoss sekä kiertokulmt ( ω, ϕ, γ kmer- j kohdekoordintiston välillä. Usein ulkoinen orientointi tehdään jälkikäteen, sillä piknpäällä tehtävä orientointi kohdekoordintistoon esimerkiksi settmll kmer 6

7 tunnetulle pisteelle j suuntmll se toiselle tunnetulle pisteelle ei ole kovin trkk. (Hggrén H. et. l., 25 Kuv 4: Ulkoinen orientointi. (Hggrén H., 22 Ulkoinen orientointi voidn määrittää myös keskinäisen j bsoluuttisen orientoinnin vull. Tällöin kuvpisteet orientoidn ensin keskinäisesti siten, että kohteest muodostuu kolmiulotteinen mlli. Keskinäisessä orientoinniss toist kuv siirretään j kierretään siten, että sen sento j sijinti täsmäävät toisen kuvn knss. Tämän jälkeen mlli sidotn ulkoiseen koordintistoon vähintään kolmen pisteen vull, joiden sijnti tunnetn ulkoisess koordintistoss. (Hggrén H. et. l., Lskennn mtemttinen mlli Tksepäinleikkus vruudess muodost perustn monoplotting-mittusmenetelmälle. Tksepäinleikkus voidn jk khteen eri työviheeseen, joit ovt kuvn ti sädekimpun ulkoisen orientoinnin määrittäminen tukipisteiden vull sekä tuntemttomien mstopisteiden määrittäminen. Oletetn, että sisäinen orientointi on jo suoritettu esimerkiksi klibroimll kmer. (Schwidefsky K. et. l., 1978 Ensin siis suoritetn kuvn ulkoinen orientointi. Tällöin lsketn kuv- j mstokoordinttien välinen yhteys. Tunnettuj prmetrej lskennss ovt tukipisteiden msto- j kuvkoordintit eli X, Y, Z j x, y, z sekä sisäisellä orientoinnill sdut projektiokeskuksen kuvkoordintit x, y, z. Tuntemttomi prmetrejä ts ovt projektiokeskuksen koordintit kohdekoordintistoss X, Y, Z j kiertomtriisin ost xx. Suureet xx sisältävät kiertokulmt ω, ϕ j γ, joten tuntemttomi prmetrej on yhteensä kuusi. Näiden kuuden prmetrin rtkisemiseksi trvitn vähintään kolme kolmiulotteist tukipistettä. (Schwidefsky K. et. l.,

8 Kiertomtriisi sisältää kierrot x -, y - j z -kselin ympäri j kiertokulmi ovt ω, ϕ j γ. Yhdistämällä kikkien kselien ympäri tehtävät kierrot, sdn lopullinen kiertomtriisi R. (Schwidefsky K. et. l., R = , missä = cosϕ cosγ = cosϕ sin γ = sinϕ = cosω sin γ + sinω sinϕ cosγ = cosω cosγ sinω sinϕ sin γ = sinω cosϕ = sinω sin γ cosω sinϕ cosγ = sinω cosγ + cosω sinϕ sin γ = cosω cosϕ Kun lsketn kuv- j kohdekoordinttien välinen yhteys ottmll huomioon välillä olevt kierrot kolmen kselin ympäri, sdn yleiset kuvutumisyhtälöt: ( X X ( Z Z = ( x x ( x x ( y y ( y y ( z z ( z z ( Y Y ( Z Z = ( x x ( x x ( y y ( y y ( z z ( z z, missä z z = c xx kiertomtriisin lkiot X, Y, Z mstokoordintit x, y, z kuvkoordintit X, Y Z projektiokeskuksen mstokoordintit,, y, z x projektiokeskuksen kuvkoordintit Kuvutumisyhtälöiden käänteiset muodot ovt seurvliset (yhden kuvn ulkoinen orientointi: ( x x ( z z = ( X ( X X X ( Y Y ( Y Y ( Z Z ( Z Z ( y y ( z z = ( X ( X X X ( Y Y ( Y Y ( Z Z ( Z Z 8

9 Kosk kuvutumisyhtälöt ovt epälinerisi, ei tksepäinlekkust void yleensä rtkist suorll menetelmällä. Siksi yleisesti käytetäänkin itertiivist menetelmää. Kuudelle tuntemttomlle prmetrille nnetn lähtölikirvot j 1. steen srjkehitelmäyhtälöiden vull voidn joht seurvt virheyhtälöt. (Schwidefsky K. et. l., 1978 x x x x x x x v x d d d dx dy x X Y Z + = + ω + ϕ + γ ω ϕ γ ( dz y y y y y y y v y d d d dx dy y X Y Z + = + ω + ϕ + γ ω ϕ γ ( dz, missä v x j v y ovt iteroinnin tuloksen stvt korjukset. Tässä tpuksess ei huomioid linkn sisäisen orientoinnin korjuksi, vn otetn huomioon pelkät tukipisteet. (Schwidefsky K. et. l., 1978 Jos käytettävissä on usemmn kuin kolmen tukipisteen 3D-koordintit, edellä olevist yhtälöistä muodostetn normliyhtälöt j rtkistn kuusi tuntemtont dx, dy, dz, dω, dϕ j d γ. Näiden vull sdut korjukset lisätään likirvoihin j lsketn uusill prnnetuill likirvoill uudet rvot edellä esitetyille virheyhtälöille. Tätä jtketn lisäten korjukset in viimeisimpiin likirvoihin, kunnes konvergointi on riittävä. (Schwidefsky K. et. l., 1978 Likirvoj määritettäessä Z :lle johdetn rvo lentokorkeuden perusteell (jos on kyse ilmkuvist j X j Y voidn rvioid tunnettujen tukipisteiden koordinttien vull. Jos on kyse pystykuvst, määritetään ω :n j ϕ :n rvoiksi j γ :n rvoksi likimääräinen lentosuunt. (Schwidefsky K. et. l., 1978 Kolmiulotteisen tksepäinleikkuksen yhteydessä esiintyy termi vrllinen pint. Jos lskennss käytetään vin minimimäärää eli kolme tukipistettä, muodostuu näiden kolmen pisteen kutt kulkev j niiden tso vstn kohtisuor ympyrälieriö. Tätä ympyrälieriötä kutsutn vrlliseksi pinnksi, jos myös kuvn projektiokeskus sijitsee lieriön vipll. Jos näin käy, jää tksepäinleikkuksen rtkisu differentilisesti epämääräiseksi. Tällinen tpus voidn välttää käyttämällä usemp kuin kolme tukipistettä. Nämä ylimääräiset pisteet sv sijit ympyrälieriön vipll, eikä se vikut trkn rtkisun svuttmiseen. (Schwidefsky K. et. l., 1978 Vielä on jäljellä hluttujen pisteiden ( X p, Yp lskent. Kun kohteest on tiedoss korkeusmlli tms., voidn hlutut mstokoordintit lske kuvutumisyhtälöiden vull. Tässä lsketn orientoidun kuvsäteen j hlutun mstopisteen kutt kulkevn vksuorn tson leikkuspiste. (Schwidefsky K. et. l., 1978 Kohdekoordinttien tsisijinnin ( X p, Yp voi määrittää myös esim. pienimmän neliösummn menetelmällä. Kun kuvsäde leikk mstomllin, voidn tehdään useit iterointikierroksi, jott mittun kohteen trkk 3D-sijinti stisiin selville. Tämä toimenpide on esitetty kuvss 5. (Willneff J. et l., 25. 9

10 Kuv 5: Koordinttirvojen interpolointi kuvn j mstomllin vull. (Willneff J. et l., 25, Figure 1. Kohteen Z-rvon lskemiseksi on kehitetty muitkin kuin interpolointiin perustuvi menetelmiä. Vihtoehtoisten menetelmien kehittämiseen on johtnut se, että yleisesti interpolointimenetelmä on työläs. Ongelmksi voi myös muodostu se, että kuvsäde leikk korkeusmllin usemmss kuin yhdessä pikss (Kuv 6. Tällöin lskent tuott useit rtkisuj, joilloin hluttu kohdepiste jää rtkisemtt. (Juregui M. et l., 1998 Kuv 6: Kuvsäde leikk korkeusmllin usemmss kuin yhdessä pikss. (Juregui M. et l., 1998, Figure Automtisointi Monoplotting-mittust voidn utomtisoid jossin määrin. Pääosin utomtisointi käytetään kohteiden irroittmisess digitliselt kuvlt. Opertio koostuu khdest osst. Ensimmäinen on kohteen tunnistus, jok käsittää kuvn tulkinnn, sen ymmärtämisen j siinä olevien kohteiden luokittelun. Toinen os on kohteen sijinnin määritys reunviivn vull. (Agouris P. et. l., 1994 Nykyään käytössä olevt reunnirroitusoperttorit voidn jk trkkuusominisuuksiens mukn seurvsti. 1. Hyvä trkkuus kohteiden luokitteluss 2. Hyvä trkkuus reunviivojen tunnistuksess 1

11 Ei ole olemss operttori, jok luokittelisi kohteet trksti j smll tunnistisi hyvin reunviivt. Nämä kksi menetelmää voidn kuitenkin yhdistää, jolloin sdn puoliutomttinen monoplotting (semi-utomtic monoplotting. (Agouris P. et. l., 1994 Yhdistäminen tphtuu seurvsti. Ensin tyyppiä 1 olev operttori tehdään mnulisesti. Yhdeltä kuvlt siis etsitään hlutut kohteet, luokitelln kohde tiettyyn luokkn j määritetään suurpiirteinen kohteen reunviivn sijinti. Kohteiden reunviivojen tunnistus trkemmin tehdään tyyppiä 2 olevll operttorill. Näin kuvll olevt kohteet tulevt trksti tunnistettu j niiden sijinti määritettyä. (Agouris P. et. l., 1994 Automtisoinnin tso riippuu siitä, miten trkkn kohteet on tunnistettv mnulisesti. Esimerkiksi miten mont pistettä täytyy tunnist utomttisen reunnirroituksen iknsmiseksi j kuink lähelle oike reun nämä pisteet on mnulisesti merkittävä. Reunviivojen sijinnin trkk utomttinen määritys korv eniten ikvievän prosessin nopell j objektiivisell tvll. (Agouris P. et. l., 1994 Automtisointi voidn myös käyttää tksepäinmuunnoksen lskennss, jolloin likirvot määritetään täysin utomttisesti. (Schwidefsky K. et. l., Trkkuus Trkkuus riippuu korkeusmllin, kuvn j sen sisältämän informtion trkkuudest (Flühler M., 24(progrm. Korkeusmllin trkkuus ts riippuu siitä, kuink tiheästi korkeustieto on kerätty, mikä on korkeustiedon esitystp j minkälist interpolointimenetelmää käytetään, kun lsketn kuvsäteen leikkust korkeusmllin knss (Juregui M. et l., Lisäksi trkkuuteen vikuttvt menetelmät, joiden vull lsketn kuvn ulkoinen j sisäinen orientointi. Tämä trkoitt sitä, että koordinttimuunnos kuvlt kohteeseen on tehtävä riittävällä trkkuudell. Willneff J. et l., 25 on käyttänyt stelliittikuvist tehtävässä monoplotting-mittuksess orientointiin ffiinist muunnost sekä rtionlipolynomikertoimi (rtionl polynomil coefficients, RPCs. (Willneff J. et l., 25 Willneff J. et l., 25 on tutkimuksissn osoittnut, että trkkuus yksittäisten pisteiden mittuksess oli pienempi kuin pikseli, kun kuvt oli orientoitu yhden pikselin trkkuudell j mstomllin trkkuus oli,4 metriä. Tutkimuksess käytettiin IKONOS j QuickBird stelliittikuvi sekä Brist-ohjelmn monoplotting-mittusmhdollisuutt. Trkkuutt tutkittiin vertmll monoplotting-mittuksen tuloksi Brist-ohjelmll tehtyihin stereo- j monikuvmittuksiin. (Willneff J. et l., Sovelluslueet Ennen monoplotting-menetelmää suositeltiin käytettäväksi silloin, kun mittuksell ei tvoiteltu suurt trkkuutt. Nykyään stvill on erittäin trkkoj kuvi j mstomllej, joten monoplotting-mittuksen trkkuus on melko hyvä. Jos stereokuvi ei ole stvill ti stereokrtoitus ei muuten ole mhdollist, on monoplotting hyvä vihtoehto. Nykyään on olemss ohjelmi, joiss on yksikuvmittukseen trvittvt toiminnot. Näillä ohjelmill monoplottingmittus käy helposti j nopesti. 11

12 Menetelmää on käytetty esimerkiksi metsätloudess, jäätikkötutkimuksiss sekä pint-l j tilvuuslskennss. Metsätloudess monoplotting on hyödyksi rjojen mittmisess j eri ikoin otettujen kuvien nlysoinniss j vertmisess. Jäätikkötutkimuksiss trkkilln jäätiköiden liikkeitä. Pint-l- j tilvuuslskennss määritetään lueen koko j sen sisältämää mmss erilisiin trkoituksiin. (Flühler M., 24(progrm Sovelluslueit on jo nyt useit, j tekniikn vielä kehittyessä vrmsti vielä pljon lisää on tuloss. Kuv 7: Monoplotting-menetelmän sovelluskohteit. (Flühler M., 24(progrm 9. Monoplotting vs. stereoplotting Monoplotting-menetelmän kilpilijoit ovt muun muss stereoplotting (stereomittus, ortokuvilt digitointi j digitointi muilt kuin ortokuvilt. (Stefnovic P. et. l., 1989 Stereomittuksess mittj näkee mston trksti kolmiulotteisen, j tuloksen on hyvä trkkuus. Stereomittuksess ei trvit linkn mstomlli, sillä stereonäkymä korv sen. Yksikuvmittuksess ts trvitn vin yksi kuv, kun stereomittuksess trvitn kksi kuv jotk peittävät toisin. Stereomittuksess mittjn tulee ost mitt korkeudet oikein, j tämä vtii jonkin verrn hrjoittelu jott kolmiulotteisen näkymän os tulkit oikein. (Stefnovic P. et. l.,

13 1. Ohjelmi 1.1 Brist Brist on Melbournen Yliopistoss kehitetty sovellus trkkojen stelliittikuvien käsittelyyn. Brist-ohjelmlle on tehty monoplotting-toteutus, joss orientointeihin voi vihtoehtoisesti käyttää joko rtionlipolynomikertoimi (rtionl polynomil coefficients, RPCs ti ffiinist muunnost. Mittus on mhdollist missä thns koordinttisysteemissä. Ohjelm lskee tsosijinnin pienimmän neliösummn menetelmällä, j lopullinen korkeusrvo määritetään interpoloimll korkeusmllist. Käyttäjä voi mitt yksittäisiä pisteitä, viivoj, korkeuseroj j rkennusten nurkkpisteitä. Ohjelmll on mhdollist tehdä erilisi koordinttimuunnoksi, jott kikki tieto olisi smss kordintistoss. (Willneff J. et l., 25 Rkennusten korkeuksien mittminen on mhdollist tietyin erikoistoimenpitein (Kuv 8. Rkennuksen mn pinnll olev nurkk mittn tvllisell monoplotting-menetelmällä. Tämän jälkeen mittn rkennuksen kton nurkkpiste, jok on suorn ensimmäiseksi mittun pisteen yläpuolell. Pienimmän neliösummn menetelmällä lsketn 3D-koordintit rkennuksen lkupisteelle (mnpinnll olev j kuvkoordintit kttopisteelle. Alkupisteen X j Y koordinttej sekä kttopisteen kuvkoordinttej käytetään Z-rvon lskemiseen. Z-rvo on rkennuksen kton korkeusrvo. (Willneff J. et l., 25 Kuv 8: Rkennuksen korkeuden mittus Brist-ohjelmll. (Willneff J. et l., 25, Figure 3. Rkennusten mittminen yhdeltä stelliittikuvlt on mhdollist seurvin ehdoin. Ainkin yksi pohjpiste on näkyvissä kuvll j se pystytään mittmn monoplotting-menetelmällä. Pohjpistettä vstv kttopiste on myös mhdollist mitt. Oletuksen on, että kttopisteet ovt kikki smss tsoss. Jokisell kttopisteellä on vstv pohjpiste, jok lsketn korkeusmllin leikkuksen. (Willneff J. et l., DiMoTeP DiMoTeP (Digitl Monoplotting Teching Progrm on opetuskäyttöön trkoitettu monoplottingmittusohjelm (Kuv 9. Ohjelm on vpsti stvn internetissä osoitteess -> Reserch -> Projects -> Students works. Ohjelmn on tehnyt Mtthis Flühler osn diplomityötään kesällä

14 DiMoTeP jkutuu khteen osn. Teoreettinen os käsittelee monoplotting-mittuksen perusteet, j tätä voidn käyttää esimerkiksi luennoill j hrjoituksiss. Toinen os sisältää demon, jonk vull voi oikell ineistoll suoritt mittuksi monoplotting-menetelmällä. Ohjelm trvitsee ilm- ti ortokuvn orientointitietoineen sekä korkeusmllin, jonk jälkeen ohjelm lskee kohteen 3D-koordintit reliikisen. Mittustulokset voi tllent joko teksti- ti VRLM-tiedoston visulisointi vrten. Kuv 9: DiMoTeP-ohjelmn loitussivu (Flühler M., 24(progrm 11. Om tutkimus DiMoTeP-ohjelmll Testsin DiMoTep-ohjelm Fotogrmmetrin j Kukokrtoituksen lbortorion omill ineistoill. Testiineiston minull oli Hngon sristoss sijitsevst kpest slmest eli Huensuolest otettu ilmkuv sekä smlt lueelt olev korkeusmlli. Ilmkuvn sisäinen j ulkoinen orientointi olivt tunnettuj. Kuv sisälsi myös reunmerkit, joten ne oli helppo mitt kuvlt ohjelmn vull. Korkeusmlli oli säännöllinen ruudukko xyz-tiedoston. Yhden ruudun koko korkeusmllill oli 4*4 metriä. Ohjelm toimii seurvsti. Aluksi vlitn käytettävä ortokuv ti ilmkuv, jonk pitää oll jpgformtiss. Itse vlitsin testissäni ilmkuvn. Seurvksi vlitn korkeusmlli, jonk täytyy oll säännöllinen ruutuverkko xyz- ti rc-tiedoston. Ohjelmlle syötetään tiedot kmervkiost, pääpisteen pikst, reunmerkkien sijinnist sekä ulkoisen orientoinnin muunnosprmetreist 14

15 (Kuv1. Lisäksi kuvlt mittn reunmerkit (Kuv 11, j ohjelm lskee näistä mittuksist residulit kullekin reunmerkille (Kuv 12. Kuv 1: DiMoTeP-ohjelmn käyttöliittymä, kun vlitn ineisto mittust vrten. (Flühler M., 24(progrm 15

16 Kuv 11: Reunmerkkien mittminen DiMoTeP-ohjelmll. (Flühler M., 24(progrm Kuv 12: Ohjelmn lskemt residulit mittuille reunmerkeille. (Flühler M., 24(progrm Kun kikki trvittvt tiedot on syötetty j reunmerkit mitttu, voi itse kuvlt mittminen lk. Tällöin vtn ikkun, joss näkyy itse kuv, kuvkoordintit x j y, kohdekoordintit X, Y j Z, sekä muit trvittvi tietoj (Kuv

17 Kuv 13: DiMoTeP-ohjelmn mittusikkun. (Flühler M., 24(progrm Ohjelmll voi mitt pisteitä ti viiv, j mittustulokset voi tllent erilliseen tiedostoon jtkokäyttöä vrten (Tulukko 1. ID X Y Z Tulukko 1: Kuvss 13 mittun viivn pisteiden koordintit. Ohjelm testtessni törmsin muutmiin ongelmiin. Aluksi käytin ineiston Jordnist otettu mkuv j smn lueen korkeusmlli. Käyttämäni kuv ei sisältänyt reunmerkkejä. Ohjelm edellyttää mittmisen onnistumiseksi reunmerkkien mittmist, joten merkitsin itse kuvlle nämä kohdt suorn pääpisteen sijinnin vull. Näillä ineistoill mittminen ei onnistunut. 17

18 Kuv kyllä tuli näkyviin mittusikkunss, j kuvkoordintit olivt oikein. Kohdekoordinteiksi ohjelm ntoi in rvon -9999,. Liekö ongelmn ollut se, että käytin testissä ilmkuvn sijst mkuv. Jordnin ineiston jälkeen otin käyttööni Huensuolen mterilit, j tällöin ohjelm toimi melko moitteettomsti. Sekä pisteiden että viivn mittminen onnistui, j tulokset pystyi tllentmn tekstitiedostoon. Välillä ohjelm sttoi jumiutu, jos hiirtä liikutti liin nopesti kuvn päällä. Täytyy kuitenkin muist, että DiMoTep on Diplomityönä tehty demo-ohjelm, jot on testttu vin muutmill ineistoill. Käytettävien ineistojen täytyy oll trksti oikess formtiss, jott niitä voi käyttää. 12. Johtopäätelmät Monoplotting-mittus on melko uusi mittusmenetelmä. Kun B. Mkrovic vuonn 1973 ensimmäisenä esitteli menetelmän, ei sitä tuolloin vielä kovinkn moni ottnut käyttöön. Vikk ide on yksinkertinen, vtii menetelmä toimikseen digitlisess muodoss olevn mstomllin sekä oikenliset litteet, joill mittus voidn suoritt. Siihen ikn digitlisess muodoss olevi mstomllej oli hyvin vähän j mittuslitteet olivt klliit. Nykyään mterilit j litteet eivät enää ole ongelmn, j menetelmää onkin käytetty moniss eri sovelluksiss. Menetelmän helppouden nsiost lähes kuk thns voi mitt monoplottingmenetelmällä, sillä muut ei trvit kuin ineistot, tietokone j mittmiseen soveltuv ohjelm. Viitteet (Agouris P. et. l., 1994 Agouris P., Stllmnn D., Li H., 1994, Semi-Automtic Monoplotting on Digitl Photogrmmetric Sttion, Interntionl Archives of Photogrmmetry nd Remote Sensing, Vol. 3/2, ISPRS Commission II, Intercommission II/III, Cnd, pp (Doneus M., 1999 Doneus M., 1999, Aeril Archive, Anlysis of Obliques, Institute for prehistory nd protohistory of the University of Vienn, sivu päivitetty , sivu luettu (Flühler M., 24(progrm Flühler M., 24, Digitl Monoplotting Teching Progrm DiMoTep version 1.1, Diplom thesis Photogrmmetry, Swiss Federl Institute of Technology Zürich (Flühler M., 24(mnul Flühler M., 24, Mnul for the Digitl Monoplotting Teching Progrm DiMoTep, Diplom thesis Photogrmmetry, Swiss Federl Institute of Technology Zürich 18

19 (Hggrén H., 22 Hggrén H., 22, Fotogrmmetrin yleiskurssi, Luento 4, Kuvhvinnot, Fotogrmmetrin j kukokrtoituksen lbortorio, sivu päivitetty , sivu luettu (Hggrén H. et. l., 25 Hggrén H., Koistinen K., 25, Fotogrmmetrin perusteet, Luento 7, Fotogrmmetrinen mittusprosessi, Fotogrmmetrin j kukokrtoituksen lbortorio, sivu päivitetty , sivu luettu (Hggrén H. et. l., 24 Hggrén H., Koistinen K., 24, Fotogrmmetrin perusteet, Luento 8, Ilmkuvus, Fotogrmmetrin j kukokrtoituksen lbortorio, sivu päivitetty , sivu luettu (Honkvr E., 23 Honkvr E., 23, Digitlisten kuvien ltu, Mnmittustieteiden Seurn julkisu n:o 4, Mnmittustieteiden päivät , Pikseleitä j pistepilviä kuvuksen uudet ulottuvuudet, Mnmittustieteiden Seur ry, Suomen Mnmittusinsinöörien Liitto ry, Espoo, pp. 48, sivu luettu (Inno-CAD Oy, 26 Inno-CAD Oy, 26, Mstomllikuvt (Kuv 2: sivu päivitetty , sivu luettu (Juregui M. et l., 1998 Juregui M., Vilchez J., Chcón L., 1998, A Procedure for mp updting using digitl monoplotting nd DTMs, IAPRS, Vol. 32, Prt 4, GIS-Between Visions nd Applictions, ISPRS Commission IV Symposium on GIS, Stuttgrt, Germny, pp. 27 (Rönnholm P. et. l., 24 Rönnholm P., Hggrén H., 24, Fotogrmmetrin yleiskurssi, Luento 9, Ortokuvus, Fotogrmmetrin j kukokrtoituksen lbortorio, sivu päivitetty , sivu luettu (Rönnholm P. et. l., 25 Rönnholm P., Hggrén H., 25, Fotogrmmetrin yleiskurssi, Luento 1, Yksikuvmittus, Fotogrmmetrin j kukokrtoituksen lbortorio, sivu päivitetty , sivu luettu (Schwidefsky K. et. l., 1978 Schwidefsky K., Ackermnn F., 1978, Fotogrmmetri, Otpino, Espoo, pp. 149 (Stefnovic P. et. l., 1989 Stefnovic P., Drummond J., Oybode T., 1989, Digitl monoplotting: Its potentil nd relistion, Technicl Ppers 1989 ASPRS/ACSM Annul Convention, Americn Congress on Surveying nd Mpping, ASPRS, Bethesd, MD, USA, pp

20 (Tykkälä T., 25 Tykkälä T., 25, Deluny-kolmiointi, Seminriesitelmä, T Geometriset lgoritmit, Tietotekniikn ossto, TKK, Espoo (Willneff J. et l., 25 Willneff J., Poon J., Frser C., 25, Single-imge high-resolution stellite dt for 3D informtion extrction, Coopertive Reserch Center for Sptil Informtion & Deprtment of Geomtics, University of Melbourne, ISPRS Hnnover Workshop 2

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

Fotogrammetrian kartoitusprosessit. Henrik Haggrén

Fotogrammetrian kartoitusprosessit. Henrik Haggrén Fotogrmmetrin krtoitusprosessit Henrik Hggrén Fotogrmmetrin krtoitusprosessit Tehtävä Kolmiulotteisen kohteen ti näkymän j siinä tphtuvien muutosten rekonstruointi Työviheet 1 Kohteen kuvminen 2 Kuvien

Lisätiedot

4 Pinta-alasovelluksia

4 Pinta-alasovelluksia Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 1

7.lk matematiikka. Geometria 1 7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

Luento 5 Fotogrammetrian perusteet

Luento 5 Fotogrammetrian perusteet GIS-E From mesurements to mps Luento 5 Fotogrmmetrin perusteet Henrik Hggrén Petri Rönnholm Oppimistvoitteet Nope fotogrmmetrin kooste Miten 3D mittuksi voi tehdä D kuvilt mmärtää erilisi koordintistoj,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst...

Lisätiedot

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050

OUML7421B3003. Jänniteohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT. i OUV5049 i OUV5050 OUML7421B3003 Jänniteohjttu venttiilimoottori TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden säätöä Momenttirjkytkimet Käsikäyttömhdollisuus Mikroprosessorin

Lisätiedot

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT

OUML6421B3004. 3-tilaohjattu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET TEKNISET TIEDOT OMINAISUUDET SOPIVAT VENTTIILIT TUOTETIEDOT OUML6421B3004 3-tilohjttu venttiilimoottori KÄYTTÖKOHTEET i Lämmityksen säätö i Ilmnvihtojärjestelmät TUOTETIEDOT OMINAISUUDET Helppo j nope sent Ei trvitse erillistä sennustelinettä Ei trvitse liikepituuden

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä.

Vuokrahuoneistojen välitystä tukeva tietojärjestelmä. Kertusesimerkki: Vuokrhuoneistojen välitystä tukev tietojärjestelmä. Esimerkin trkoituksen on on hvinnollist mllinnustekniikoiden käyttöä j suunnitteluprosessin etenemistä tietojärjestelmän kehityksessä.

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään. S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn

Lisätiedot

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN

HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN ilumuoto st ksvtu luun ou perusk Tuntikehyksen os-lue: HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN A2 Aivomyrsky j unelmien leikkipuisto Kesto: 1 kksoistunti, 45 min + 45 min Aihe: Syvennetään jtuksi ympäristöstä liittyvästä

Lisätiedot

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

Kirjallinen teoriakoe

Kirjallinen teoriakoe 11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN)

Asennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN) Pyydämme lukemn käyttöohjeen huolellisesti läpi j noudttmn sitä! Ohjeiden liminlyönti voi joht kytkimen toiminthäiriöihin j siitä johtuviin vurioihin. Nämä käyttöohjeet (B.1.0.FIN) ovt os kytkintoimitust.

Lisätiedot

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }

Lisätiedot

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

Sähkömagneettinen induktio

Sähkömagneettinen induktio ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

Runkovesijohtoputket

Runkovesijohtoputket Runkovesijohtoputket PUTKET JA PUTKEN OSAT SSAB:n vlmistmi pinnoitettuj putki j putken osi käytetään lähinnä runkovesijohtolinjoihin, joiden hlkisij on DN 400-1200. Ost vlmistetn teräksisistä pineputkist

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

ArcGIS for Server. Luo, jaa ja hallitse paikkatietoa

ArcGIS for Server. Luo, jaa ja hallitse paikkatietoa ArcGIS Server ArcGIS for Server Luo, j j hllitse pikktieto ArcGIS Serverin vull voidn luod plveluit keskitetysti, hllinnoid näitä plveluit j jk niitä orgnistion sisällä sekä verkoss. Plveluj voidn helposti

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset Y6 Mikron jtkokurssi kl 008: HARJOITUSTEHTÄVÄT Mllivstukset Kuluttjn vlint (Muokttu Burketist 006, 07) Olkoon Mrkon udjettirjoite = 40 Mrkoll on hvin kättätvät referenssit j Mrkon rjusustituutiosuhde on

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä

Lisätiedot

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten .4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.

TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys. TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk

Lisätiedot

Huoltotiedote. Letkun vaihto. Mallit. Ilmoitus moottorin omistajalle. Veneliikkeen moottorivarasto. Huolto-osavarasto. Tarkastus

Huoltotiedote. Letkun vaihto. Mallit. Ilmoitus moottorin omistajalle. Veneliikkeen moottorivarasto. Huolto-osavarasto. Tarkastus Huoltotiedote N:o 98-16c Letkun vihto Mllit 1999 Mercury/Mriner 6 25 HP (2-thtiset) Srjnumerot 0G818363 0G829089 9.9/15, 25, 30/40, 50 (4-thtiset) Srjnumerot 0G820822 0G822265 135 200 HP (Ks. j EFI) Srjnumerot

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Määrätty integraali

Integraalilaskenta. Määrätty integraali 9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),

Lisätiedot

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto

Lisätiedot

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat

Suorakaidekanavat. lindab suorakaidekanavat Suorkideknvt lind suorkideknvt lind suorkideknvt Sisällysluettelo Suorkideknvt Knv LKR... Liitosost Liitoslist LS... Liitoslist LS-... Kulmyhde LBR... Liitoslist LS... S-mutk LBXR... LBSR... Liitoslist

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta. MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Kattoeristeet - nyt entistä parempia kokonaisratkaisuja. Entistä suurempi Kuormituskestävyys ja Jatkuva Keymark- Laadunvalvontajärjestelmä

Kattoeristeet - nyt entistä parempia kokonaisratkaisuja. Entistä suurempi Kuormituskestävyys ja Jatkuva Keymark- Laadunvalvontajärjestelmä Kttoeristeet - nyt entistä prempi kokonisrtkisuj Entistä suurempi Kuormituskestävyys j Jtkuv Keymrk- Lunvlvontjärjestelmä Rockwool-ekolvll kttoeristeet seisovt omill jloilln Ekolvoj käytettäessä työ on

Lisätiedot

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0. Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin

Lisätiedot

Riemannin integraali

Riemannin integraali LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................

Lisätiedot

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta

Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)

Lisätiedot

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty

Graafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Sisällysluettelo: 1. Johdnto 2. Peruselementit Tunnus j versiot...2.1 Tunnuksen

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

NASTOLAN YRITYSPUISTO RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 500, 501, 504-511 KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET

NASTOLAN YRITYSPUISTO RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 500, 501, 504-511 KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRISPUISTO RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 00, 0, 0 - KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET NASTOLAN YRITSPUISTON ALUEEN KORTTELEITA 00, 0, 0 - KOSKEVAT RAKENNUSTAPAOHJEET YLEISTÄ

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä

Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori-

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

2. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visuaalinen havaitseminen

2. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visuaalinen havaitseminen 2. Digitlisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visulinen hvitseminen Tässä luvuss käsitellään digitlisten kuvien perussioist, in kuvien näkemisestä pikseleihin j trvittviin lskentmenetelmiin sti. Vikk kuvnprosessointi

Lisätiedot

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI 4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

KANDIDAATINTYÖ: TEOLLISUUSKIINTEISTÖN ILMANVAIHTOKONEEN LTO- LAITTEISTON HYÖTYSUHTEEN PARANTAMINEN

KANDIDAATINTYÖ: TEOLLISUUSKIINTEISTÖN ILMANVAIHTOKONEEN LTO- LAITTEISTON HYÖTYSUHTEEN PARANTAMINEN LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknillinen tiedekunt Energitekniikn koulutusohjelm KANDIDAATINTYÖ: TEOLLISUUSKIINTEISTÖN ILMANVAIHTOKONEEN LTO- LAITTEISTON HYÖTYSUHTEEN PARANTAMINEN Lppeenrnnss 1.2.2010

Lisätiedot