Geometrinen algebra: kun vektorien maailma ei riitä
|
|
- Aleksi Heikkilä
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Geometrinen lgebr: kun vektorien milm ei riitä Risto A. Pju 4. huhtikuut 2003 Tiivistelmä Geometrinen lgebr on viime vuosin ksvttnut suosiotn luonnontieteiden mtemttisen menetelmänä. Sen juuret ovt vektori- j kompleksilgebrss, joiden hyvät puolet on stu yhdistettyä, j smll järjestelmä on ljennettviss usempn ulottuvuuteen. Tärkeä os ljennust on se, että Ò-ulotteisess vruudess voi oll erilisi olioit, joiden ulottuvuus vihtelee nollst Ò:ään. Sklrien (0-ulotteinen) j vektorien (1-ulotteinen) seurj on suunnttu tsoelementti, bivektori. Nämä kksiulotteiset objektit soveltuvt hyvin esim. pyörimisliikkeen käsittelyyn riippumtt vruuden ulottuvisuudest; kselin käsite toimii vin kolmess ulottuvuudess. Fysiikn hvinnollistminen helpottuu oleellisesti näillä uusill työkluill, vrsinkin kun modernit teorit vtivt totuttu enemmän ulottuvuuksi. Lisäetun sdn lskennllist tehokkuutt esim. tensorilgebrn verrttun. Myös vektori- j kompleksilgebr on helpompi ymmärtää, kun ne nähdään määrättyinä erikoistpuksin geometrisen lgebrn kokonisuudest. Avinsnt: geometrinen lgebr, luonnontieteiden mtemttiset menetelmät Johdnto Luonnontieteitä j mtemtiikk ei in ole pidetty erillisinä loin. Vielä nykyäänkin ne kehittyvät vhvss vuoropuheluss toisin tukien. Kuitenkin usein toivotn, että luonnonilmiöiden hhmottminen j tieteen perusperitteet voitisiin käsittää mtemttisist yksityiskohdist riippumtt. Tämä vtimus liittyy osittin siihen tosisin, että sm ilmiötä voidn kuvt hyvinkin erilisill mtemttisill työkluill. Tilnnett voi hvinnollist suhteellisuusperitteell, jonk mukn fysiikn lkien tulee oll riippumttomi koordintiston vlinnst. Pidemmälle vietynä ihnne voi trkoitt, että fysiikn käsitteet on voitv esittää koordintistojttelun ulkopuolell. Esimerkiksi Newtonin liikelkien yhtälö Ñ ei vdi mitään tiettyä mtemttist esitystp vektoreille j. Fysiikn knnlt riittää käsitys vektorist suureen, joll on suunt j suuruus. Fyysikoille jää moness mielessä vpus vlit erilisten mtemttisten työklujen väliltä, esimerkiksi sen mukn miten ne trjovt lskennllist elegnssi ti käsitteiden hhmotust. Jälkimmäinen vikuttkin ehkä ristiriitiselt ylläminitun peritteen vloss, mutt on myönnettävä, että mtemttisell järjestelmällä on om 1
2 vikutuksens fysiikn käsittämiseen. Vikk mtemtiikk onkin ntnut fysiiklle pljon, se on vlitettvsti myös iheuttnut tiettyjä hnkluuksi. Geometrinen lgebr (GA) on käytössä uudehko mtemttinen formlismi, jok korj tiettyjä hnkluuksi yhdistämällä monen muun menetelmän hyviä puoli. Sen lskennllinen voim j yksinkertisuus näyttäytyvät mm. tietokoneit vtiviss numeerisiss sovelluksiss. Toisenlisest tehokkuudest nt viitteen se tosisi, että GA yleistää kksiulotteisen kompleksinlyysin korkempiin ulottuvuuksiin. GA:n merkittävintä nti luonnontieteille lienevät kuitenkin sen mhdollisuudet mutkikkiden ilmiöiden hhmottmisess. GA:st löytyy tehokkit työkluj sittenkin, kun vektorit j kompleksiluvut eivät enää riitä. Mtemttisten menetelmien epäkohti Jo lukioliset törmäävät erääseen vektorilgebrn keskeiseen ongelmn ristitulon muodoss. Opertio onnistuu inostn kolmess ulottuvuudess, j se stt joht fysiikn puolell hrhn esimerkiksi siten, että sähkömgnetismi nähdään jotenkin kolmeen ulottuvuuteen sidottun. Kun moderni fysiikk trvitsee enemmän kuin kolme ulottuvuutt, otetn yleensä käyttöön tensorilskent. Sen lisäksi, että formlismi toimii mielivltisell ulottuvuuksien määrällä, näyttää siltä että tensoreiden vull voidn käsitellä myös vektoreit korkempi objektej. Kosk vektori on oikestn yksiulotteinen elementti Ò-ulotteisess vruudess, on seurv mhdollinen skel 2-ulotteinen tsominen olio. Yleistyksestä mksetn kuitenkin se hint, että geometrinen käsitys vektoreist j muist objekteist hämärtyy, kosk tensorilskennss käsitellään objektien itsensä sijst vin niiden komponenttej. Kolmess ulottuvuudess lisää päänviv iheutt se, että ristitulost stv vektori käyttäytyy koordinttimuunnoksiss eri tvll kuin pikkvektorit. Nämä liittyvät esimerkiksi pyörimisliikkeeseen, j fysiikss niitä snotnkin ksilivektoreiksi erotuksen vrsinisist vektoreist (polrivektorit). Ongelmi syntyy, kosk näitä kht ei in selkeästi erotet. Jos pyörimismäärää jtelln vektorin, se määritellään kselin suuntisesti kvll Ä Ö Ô joss r on kppleen pikkvektori j p sen liikemäärä. Mutt miten määritellä pyörimismäärä, jos ulottuvuuksi on enemmän kuin kolme, eikä ristitulo ole käytössä? Khden ulottuvuuden pyörimisliike on helppo hvinnollist; r j p ovt yhdessä tsoss. Edellinen määritelmä ei kuitenkn toimi, kosk pyörimisen kseli ei mhdu khteen ulottuvuuteen. Ei kuitenkn ole mitään epäilystä, etteikö pyörimisliike siellä olisi smnluonteist kuin kolmesskin ulottuvuudess. Yhdessä ulottuvuudess pyörimisliikettä on hnkl kuvitell; toislt kolmess ulottuvuudess huomtn, että r j p ovt in smss tsoss (kun pyörimismäärä säilyy). Näyttää siltä, että pyörimisliikkeessä on jotin perustvnltuisesti kksiulotteist. Pyörimismäärä voidnkin määritellä suunntuksi tsoelementiksi, jonk suuruus on ÖÔ Ò säteen j liikemäärän välisen kulmn mukn. Määritelmä toimii smll tvll niin khdess kuin kolmess ulottuvuudess, joten miksei myös neljässä; se 2
3 kun ei vdi, että pyörimistsolle olisi yksiselitteinen normlivektori eli pyörimisen kseli. Hiemn jälkiviissti voidn muuten rvell, että jtus pyörimismäärästä tsosuureen sisältyy jo Keplerin plneettliikkeiden toiseen lkiin: plneetst Aurinkoon piirretty säde pyyhkäisee tietyssä ikyksikössä in smn pint-ln, mikä kuvst pyörimismäärän säilymistä. Eräs geometrisen lgebrn keskeisin oivllus onkin se, että pyörimisliikkeeseen j muihin fysiklisiin ilmiöihin liittyvä suunnttu tsoelementti säilytetään tsoelementtinä. Se ymmärretään omnlisen objektinn kuten sklri ti vektori. Sitä ei voi tyhjentävästi selittää esimerkiksi normlivektorin vull, kuten ristituloss yritetään tehdä. Historin kutt yksityiskohtiin Kompleksiluvut Kolmest ulottuvuudest usempn siirryttäessä joudutn vihtmn vektorilgebr joksikin muuksi. Vstv tphtuu kksiulotteiseen tsoon lskeuduttess, jo siitäkin syystä ettei pyörimistä voi käsitellä kselin kutt. Työklu lienee kuitenkin tensoreit tutumpi, nimittäin kompleksilgebr. Pyörimisliikettä on helppo hvinnollist esimerkiksi seurvll eksponenttiesityksellä: Þ Øµ Ó Ø Ò Ø Ø Jos Ø on kuluv ik, luku kuv pyörimisliikettä kulmnopeudell. On huomttv, että kompkti esitys pyörimisliikkeelle on tässäkin mhdollist ilmn kselin käsitettä (kuv 1). cos ωt z(t) sin ωt ωt Kuv 1: Pyörimisliike kompleksitsoss. Korkempi kompleksinlyysi nt moni hämmästyttäviä lskennllisi tuloksi. Niiden perusteell voi rvill, että kyseessä on pljon enemmän kuin pelkkä khden ulottuvuuden vektorilgebr. Kompleksinlyysiä käytetäänkin tehokkn työklun fysiikss, jos ulottuvuuksien määrä rjoittuu khteen. 3
4 Esimerkkinä minittkoon konformikuvuksen käyttö virtustekniikss: kuvitelln, että neste virt ulkopuolisest lähteestä tsisesti kohti kiinteää kiil, jok jk virtuksen khti. Tehtävänä on lske virtusnopeus jokisess pisteessä (emme tässä mene virtusmekniikn yksityiskohtiin). Konformikuvuksen vull voimme oikist kiiln niin, että järjestelmään tulee yksi tsinen pint, jolloin fysiikk helpottuu oleellisesti. Kun nopeudet on lskettu, suoritetn käänteinen kuvus lkuperäiseen systeemiin. Vektorilgebrss vstv opertio on mhdoton, kosk siitä puuttuu käännettävä lskutoimitus. Pistetulost on mhdotont määrittää yksikäsitteinen jos tunnetn, j sm rjoitus koskee ristitulo. Geometrinen lgebr on oleellisesti rtkisu näihin rjoituksiin, j smll kompleksilgebrn yleistys usempn ulottuvuuteen. Johdtuksen GA:hn on syytä kiinnittää huomio khden kompleksiluvun seurvnliseen tuloon: Þ ½ Ö ½ ½ Þ ¾ Ö ¾ ¾ µ Þ ½ Þ ¾ Ö ½ ½ Ö ¾ ¾ Ö ½ Ö ¾ ½ ¾µ Ö ½ Ö ¾ Ó Æ Ò Æµ Ó Æ ½ ¾ Tässä tuloss on toisest luvust otettu kompleksikonjugtti, jott opertio luvun itsensä knss tuottisi sen itseisrvon neliön. Jtkon knnlt tuloksess on mont kiinnostv seikk, jos lukuj jtelln vektorein: Kosinitermi on smnsuuruinen kuin vektorien pistetulo (Æ on vektorien välinen kulm) Sinitermi on smnsuuruinen kuin ristitulo Kosini- j sinitermit ovt eri ltu: ensimmäinen on reliluku j toinen puhds imginriluku. Tämähän on kuin lskisi pistetulon j ristitulon yhteen, vikk vrsinkin fyysikon näkökulmst stt näyttää, ettei niin voi tehdä. Myöhemmin huomtn, ettei opertio ole yhtään oudompi kuin kohtisuorien yksikkövektorien j summ. Eriltuisten komponenttien summ onkin yksi keskeinen ominisuus geometrisess lgebrss. Hmiltonin kvterniot Brittiläinen fyysikkonkin tunnettu Willim Rown Hmilton yritti ensimmäisten joukoss yleistää kompleksilgebr usempn ulottuvuuteen. Hänen vuonn 1844 esittelemänsä kvterniolgebr perustui yksikkövektoreihin j joiden lskutoimitukset määritellään seurvsti: ¾ ¾ ¾ ½ 4
5 Jokinen yksikkövektori vst siis eräänlist imginriyksikköä, j lisäksi viimeinen yhtälö ½ kytkee yksiköt toisiins kolmiulotteisess vruudess. (Smll myös määrittyy vruuden kätisyys.) On huomttv, että tässä viheess ei nykyisin tuntemmme vektorilgebr ollut vielä kehitetty. Määritelmästä johtuu esimerkiksi. Algebrss ei siis päde vihdntlki, kommuttiivisuus. Tämä liittyy siihen, että kolmess j usemmss ulottuvuudess vruudell on kätisyys, oike ti vsen. Kksiulotteisess kompleksitsoss kätisyyttä ei ole. Kvternioiden yhteys vektorilgebrn j kompleksilukuihin selviää trkemmin khden vektoriluonteisen kvternion tulost: ½ ¾ ½ ¾ µ ½ ½ ¾ ¾ µ ¾ ¾ µ ½ ½ µ ½ ¾ ½ ¾ µ Tuloksen on jälleen pistetulo + ristitulo, tällä kert tutuss komponenttimuodoss. Pistetulon merkki tosin on vihtunut, kosk yksikkövektorin neliö on negtiivinen. Tulon vektorios on muodollisesti täysin sm kuin vektorien ristituloss. Itse siss se on juuri nykyisen ristitulomme lkuperä. Hmiltonin ikliset huomsivt, että ristitulo-os soveltui hyvin esimerkiksi sähkömgnetismin käsittelyyn j rtkisi siten oleellisi ongelmi 1800-luvun fysiikss. Tulon eri ost joutuivt näin vlitettvsti erilleen, mikä nykyisestä näkökulmst oli tietenkin hyvin kpe-linen j virheellinen rtkisu. Eikä vähiten siksi, että mtemtiikk näin rjoitettiin kolmeen ulottuvuuteen. Grssmnnin ntikommuttiivinen lgebr Toinen tärkeä skel kohti geometrist lgebr otettiin myös vuonn Skslinen opettj Hermnn Günther Grssmnn pohti tiettävästi ensimmäisenä, kuink suunnttu tsoelementtiä voitisiin kuvt mtemttisen vektoriin verrttvn elementtinä. Hän määritteli khden vektorin ulkoisen tulon tsoelementiksi seurvin ominisuuksin (kuv 2): 1. Tulo on ntisymmetrinen: 2. Tsoelementit eli bivektorit muodostvt linerisen vruuden, eli niitä voi lske yhteen kuten vektoreitkin. 3. Tuloss pätee liitäntälki: µ. Geometrisess kuviluss on tärkeää, että tsoelementille ei ole määrätty tiettyä muoto, inostn suunt j suuruus. Suunt voidn jtell pyörimissuunnksi, kosk kusskin tsoss on kksi mhdollist bivektorin suunt. Khden vektorin muodostm tsoelementti on suuruudeltn sm kuin vektoreiden määräämän suunnikkn pint-l, mutt smnsuuruinen j -suuntinen elementti voidn sd myös joistkin muist vektoreist. Toisin snoen nnetust tsoelementistä ei voi päätellä, mistä vektoreist se on muodostettu. 5
6 b b b c c b b+c (b+c) Kuv 2: Vektorien ulkoiset tulot muodostvt suunnttuj tsoelementtejä. Ulkoiselle tulolle pätee osittelulki µ. Smll esimerkki näyttää, kuink khden tsoelementin summn muodostuu kolms. 6
7 Clifford keksii geometrisen lgebrn Brittiläinen filosofi, fyysikko j mtemtikko Willim Kingdon Clifford kuului niihin hrvoihin jotk olivt ymmärtäneet Grssmnnin omltuisi merkintöjä sekä ikns edellä olevi jtuksi luvun mtemtikot olivt vst loittmss vihtoehtoisten lgebrojen tutkimist j vutumss sille mhdollisuudelle, ettei tulon trvitse in oll kommuttiivinen. Geometrin knnlthn on oleellist, ettei vihdntlki voi oll yleisesti voimss, mikä liittyy pitkälti koordintiston kätisyyteen. Cliffordin vuonn 1878 esittelemä geometrinen lgebr perustui uudenliseen lskutoimitukseen, geometriseen tuloon. Kompleksilukuihin vedoten hän yhdisti pistetulon j ulkoisen tulon: Tämän jälkeen hän määritteli lgebrn uudestn ksiomttiselt pohjlt, joss pistetulo j ulkoinen tulo eivät enää ole keskeisessä semss. Geometrist tulo koskevt seurvt säännöt: 1. Liitäntälki: µ µ 2. Osittelulki: µ 3. Khden vektorin välisessä geometrisess tuloss symmetrinen os on sklri: µ ¾ (tuttu sklritulo) Tästä voidn uudelleen määritellä esim. ulkoinen tulo: µ ¾ Geometrisen tulon tehokkuus näkyy esimerkiksi siinä, että tulolle on olemss käänteinen opertio, jkolsku. Vektorilgebrst tiedämme, että pistetuloll j ulkoisell tuloll (vst ristitulo) yksinään ei ole käänteisopertiot. Mutt niiden yhdistelmällä onkin käänteinen opertio, ivn kuin kompleksilukujen jkolsku. Jos on nnettu geometrinen tulo sekä vektori, tiedetään vektorin sijitsevn tsoss. :n rtkisemiseksi riittää siten kksi komponentti. :n sklri- j bivektorikomponenttien itseisrvoist sdn relilukujen jkolskull j, :n komponentit :suunnss j sitä kohtisuorn. Komponenttien etumerkit (+/-) selviävät bivektorin suunnst sekä sklritulon merkistä. Näinollen voidn yksikäsitteisesti määrätä eräänlisell jkolskull. Käytännössä lsku ei suoritettisi näin, eikä tätä voi jtell täsmällisenä todistuksen, mutt jkolskun olemssolo tulee näin selvemmäksi. Liitäntälist seur, että geometrist tulo ei ole rjoitettu vin khden vektorin väliseksi opertioksi. Esimerkiksi ulkoinen tulo vektorin j bivektorin välillä on trivektori, suunnttu tilvuuselementti, jos vektori ei ole smss tsoss bivektorin knss. Tällinen tilnne sdn vikkp kolmell vektorill: voidn ymmärtää vektorien muodostmn suuntissärmiönä. Suuruudeltn tämä on sm kuin 7
8 vektorilgebrn kolmitulo. Trivektorill on lisäksi suunt, jok kertoo, muodostvtko vektorit j oike- vi vsenkätisen kokoelmn. Kuten jo kvternioiden yhteydessä todettiin, ristitulo j pistetulo erillisinä opertioin voittivt muut menetelmät 1800-luvun rvovltisten tiedemiesten pinostuksess. Sen jn fysiikk ei tosin vtinut tehokkmpi menetelmiä. Geometrisen lgebrn unohdukseen vikutti vrmsti myös Cliffordin ennenikinen kuolem vuonn Kun 1900-luvun lun suhteellisuusteori j kvnttimekniikk lkoivt vti tehokkmp mtemtiikk korkemmiss ulottuvuuksiss, oli geometrinen lgebr käytännössä kdonnut. Fyysikot joutuivt turvutumn tensorilskentn, jok on lähinnä komponenttiesitys vill intuitiivist sisältöä. Hestenes pelst GA:n Geometrinen lgebr löydettiin uudelleen vst 1960-luvull, jolloin merikklinen tutkij Dvid Hestenes huomsi kvnttimekniikn mtriisiesityksessä piilevän geometrisen merkityksen. Mtemttisesti ktsottun Pulin spin-mtriisit muodostvt kolmen ulottuvuuden Cliffordin lgebrn, kosk ne noudttvt smoj lskusääntöjä. GA:n tuominen yleisempään tietoisuuteen on ollut vike osittin siksi, että sitä on pidetty liiksi kvnttimekniikkn kytkettynä järjestelmänä. Hestenes huomsi kuitenkin vrhin, että GA on tehoks j intuitiivinen työklu kikkiin mtemttisiin tieteisiin, j hänen työnsä onkin plkittu vuonn 2002 merikklisten fysiiknopettjien Ørsted-mitlill. Lskennllisi esimerkkejä Kompleksilukujen geometrinen tulkint Khden ulottuvuuden geometrisess lgebrss on seurvt peruselementit: sklri ½, yksikkövektorit ½ j ¾, sekä bivektori Á ½ ¾ ½ ¾. Yksikkövektoreille pätee luonnollisesti ¾ ½ ½ ¾µ. Kosk ½ ¾ on khdess ulottuvuudess korkeimmn steen objekti, on sillä erityinen sem j nimitys pseudosklri. Bivektorin sille pätee ½ ¾ ¾ ½. Erityisesti huomttkoon pseudosklrin neliö Á ¾ ½ ¾ ½ ¾ ½ ½ ¾ ¾ ½ Näin olemme geometrisist lähtökohdist sneet objektin, jonk neliö on negtiivinen, j yhteys kompleksilukuihin on selvempi. Yleinen vektori khdess ulottuvuudess voidn muunt kompleksiluvuksi seurvsti: Ú ½ ¾ µ ½ Ú ¾ ½ ½ ¾ Á Vektorin ½ vlint voidn selittää sillä, että se vst kompleksitson relikseli joll vihekulm on noll. Se siis määrittää kompleksitson sijinnin suhteess vektoritsoon. 8
9 Geometrisen lgebrn kutt sdn näin uusi näkökulm kompleksilukujen geometriseen merkityksen. Moni yritys sijoitt kompleksilukuj fysiikn kvoihin on epäonnistunut lähinnä siksi, että niiden geometrinen merkitys on ollut epäselvä. Jos esimerkiksi sijoitmme suhteellisuusteorin kvoihin vlonnopeutt suuremmn nopeuden, smme tekijän joss esiintyy negtiivisen luvun neliöjuuri. Tulos voidn jtell imginrisen tekijänä, mutt GA:n perusteell voimme rvt, että sellinen luku ei ole vektori eikä sklri. Näin voidn entistä vhvemmin perustell nopeuden ylärj suhteellisuusteoriss. Eräs GA:n tärkeä tvoite onkin korvt fysiikss j insinööritieteissä käytetyt kompleksiluvut premmin käsitettävillä suureill. Rdiklein vihtoehto olisi päästä kompleksiluvuist kokonn eroon j sitä kutt välttää turhi seknnuksi. Peiliheijstus Kolmiulotteisess todellisuudessmme peilit ovt kksiulotteisi tsoj. Toislt peilus ei näytä mhdottomlt khdesskn ulottuvuudess, joss peili on viivminen. Aivn kuin pyörimisliikkeestä puhuttess, on peilus voitv määritellä ulottuvuuksist riippumtt. Kksi- j kolmiulotteiselle peilille yhteinen tekijä on normlivektori, jok voidn ott yleisen peilusopertion perustksi (kuv 3). n Kuv 3: Peiliheijstus normlivektorill Ò. Ktkoviiv kuv vrsinist peiliä. Kun peili määritellään yksikkövektorill Ò Ò ¾ ½µ, voidn käsiteltävä vektori in jk khteen komponenttiin, joist toinen on smnsuuntinen j toinen kohtisuorss peilivektori vstn: Edellinen komponentti on :n projektio Ò:lle, jok sdn vektorilgebrst tutull kvll: ÒµÒ Geometrinen lgebr ts nt yksinkertisen kvn jäljelle jääneelle komponentille: 9
10 Ò ¾ ÒµÒ Ò ÒµÒ ÒµÒ Peiliheijstuksen tuloksen GA:ll ilmistun viht suunt, mutt säilyy smn. Tulos on ¼ Ò ÒµÒ Ò Ò µò Ò Ò Stu kv on merkillisen kompkti. Vikk kyseessä onkin eräs yksinkertisimmist sovelluksist, pitäisi jo tässä viheess käydä selväksi, miten tehokst GA:ll operoiminen voi oll. Kv on luonnollisesti riippumton ulottuvuuksien määrästä. Bivektorin peiluskv sdn, kun jtelln sen koostuvn khdest vektorist j sovelletn edellistä kv kumpnkin erikseen. Lopputuloksess miinusmerkit kumovt toisens j ¼ Ò Ò. Tässä nähdään, miksi pyörimisliikkeen käsittely vektorin tuott ongelmi; sen muunnoskv on erilinen kuin pikkvektoreill. Rottio Pyörimisliikkeen olemust olemme jo käsitelleet, mutt vrsinisen rottio-opertion yksityiskohdt ovt vielä selvittämättä. Tässä käytetään hyväksi sitä tosisi, että rottio voidn jtell yhdistelmänä khdest peiluksest, jolloin edellistä peiluskv voidn hyödyntää. Jos kksi peiliä setetn suorn kulmn, on esineen kuv pyörähtänyt ½ ¼ Æ lkuperäisestä peilien leikkusviivn ympäri. Yleistettynä mielivltisiin ulottuvuuksiin j kulmiin tämä trkoitt seurv: Kun peiltn ensin vektorill Ñ j sen jälkeen toisell vektorill Ò, on suoritettu rottio vektorien määräämässä tsoss suuntn, jok on Ñ:stä Ò:ään olev pienempi kulm, j suuruudeltn kksi kert vektorien välinen kulm. Tämä on helppo todist kun toimitn inostn ko. tsoss; operoitvn vektorin komponenteist inostn tsoss olevt muuttuvt. GA:n formlismiss vektorin rottio on siis yksinkertisesti ¼ Ò Ñ ÑµÒ ÒÑ ÑÒ Tämä kirjoitetn usein muotoon ¼ Ê Ê missä Ê ÒÑ on roottori eli rottion operttori; Ê ÑÒ on nimeltään Ê:n kääntö (reverse), joss Ê:n sisältämät vektorit on kirjoitettu käänteiseen järjestykseen. (GA:sshn yleisesti otten.) Bivektoreille peilus tuotti erimerkkisen kvn kuin vektoreille. Rottioss kuitenkin ¼ Ò Ñ ÑµÒ j kv onkin sm. Itse siss rottiokv on sm mille hyvänsä objektille. Tässä on merkittävä ero tensorilgebrn, joss rottio muodostuu sitä monimutkisemmksi, mitä korkemmn steen objektej operoidn. GA 10
11 -mm m-peili n m = -n(-mm)n θ 2θ n-peili Kuv 4: Rottio muodostuu khdest peräkkäisestä heijstuksest. ei siis ole tensorilskennn geometrinen tulkint vn lskennllisestikin erilinen järjestelmä. Tyypillinen pyörimisliikkeen kuvus on pikkvektori Ü, jok kiertää jn funktion määrätyllä pyörimistsoll. Roottorikäsitteen vull se voidn kuvt tällä tvll: Ü Øµ Ê ØµÜ ¼ Ê Øµ missä Ü ¼ on pikkvektori tietyllä lkuhetkellä. Lskennlliselt knnlt on hyödyllistä, että Ü Øµ:n liike voidn käsitellä Ê Øµ:n jllisen muutoksen. Tästä seur usein, että rtkistvt yhtälöt ovt yksinkertisempi kuin lkuperäiset. Jos esimerkiksi Ü Øµ on neljännen steen polynomi, on Ê Øµ toist stett j siten helpompi rtkist. Kun mutkikkit lskelmi suoritetn tietokoneell, on mukn lähes in pyöristysvirheitä; tietokoneell ei voi kuvt rjttomn trkkoj relilukuj. Virheet voivt ksutu odotettu suuremmiksi, mistä äärimmäinen esimerkki on koottinen järjestelmä. (Kosteori keksittiin lunperin tietokoneill tehtyjen sääennusteiden yhteydessä.) Geometrinen lgebr voi utt tässäkin, kosk lskennllinen yksinkertisuus esim. polynomin lempi steluku merkitsee pienempää virheherkkyyttä. GA onkin jo käytössä esimerkiksi modernien tietokoneiden grfiikkprosessoreiss. Yhteenveto Modernin luonnontieteen kehitystä ovt osltn rjoittneet käytettävissä olevt mtemttiset menetelmät. Seurvt kksi ovt hyvin tiedostettuj, mutt tuskin inoit ongelmien lähteitä: Vektori- j kompleksilgebr muodostuvt vrsin helposti hhmotettvist elementeistä, mutt ne ovt liin yksinkertisi voidkseen kuvt moni keskeisiä 11
12 luonnonilmiöitä. Lisäksi ne ovt sidottuj khteen j kolmeen ulottuvuuteen. Tensorilgebrn käyttölue on huomttvsti ljempi, mutt se hämärtää fysiikn ilmiöt lukujoukkojen tkse, eikä siten trjo juuri mitään käsitteellistä pu. Tämä khtijko on osittin historillisten sttumusten tulost, jlt jolloin vektorilgebrll sttoi ktt miltei koko fysiikn. Historin jäänteistä on kuitenkin kivettu esiin geometrisen lgebrn ykseys, jok on huomttv korjus minittuihin ongelmiin. Esimerkiksi pyörimisliikkeelle sdn siten luontev kuvus mielivltisiss ulottuvuuksiss, kun kselin käsite korvtn suunntull tsoelementillä. GA on kuitenkin enemmän kuin tensorilgebrn uusi tulkint, mikä huomtn tiettyjen lskutoimitusten yksinkertistumisen. Vrsinkin lskennllisen fysiikn soveltjille tämä on merkittävä etu. Lähteet Artikkeli perustuu pääsiss kirjoittjn opintoihin Cmbridgen yliopiston fysiikn litoksell. Kyseisen GA-luentokurssin mterili sekä muut sinkuuluv tieto on stvill Internetistä osoitteest clifford/. Kirjoittj Risto A. Pju vlmistui Cmbridgen yliopistost tutkinnoll M.Sci. vuonn 2002 opiskeltun yleistä j teoreettist fysiikk. Lisäksi hänellä on IB-tutkinto v Kuopion Lyseon lukiost sekä työkokemust teollisuudess j CERN:issä. 12
θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
LisätiedotLINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotNäytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.
Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä
LisätiedotPythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause
Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin
LisätiedotParaabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.
5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson
LisätiedotSuorat, käyrät ja kaarevuus
Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.
Lisätiedot3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
Lisätiedot2.1 Vaillinaiset yhtälöt
.1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
Lisätiedot4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotPolynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
Lisätiedot( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotVastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.
S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn
Lisätiedot5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)
5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()
LisätiedotVEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1
VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
Lisätiedot7.lk matematiikka. Geometria 1
7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,
LisätiedotMonikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat
MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
LisätiedotT Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.
T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
Lisätiedot9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET
DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,
Lisätiedot8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella
H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että
LisätiedotTasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.
KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
LisätiedotSarjaratkaisun etsiminen Maplella
Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
LisätiedotMITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
LisätiedotMikrotalousteoria 2, 2008, osa III
Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
Lisätiedot3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus
Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
Lisätiedot1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
Lisätiedot3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A
3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion
LisätiedotTeoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta
Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on
LisätiedotR4 Harjoitustehtävien ratkaisut
. Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x
LisätiedotY56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset
Y6 Mikron jtkokurssi kl 008: HARJOITUSTEHTÄVÄT Mllivstukset Kuluttjn vlint (Muokttu Burketist 006, 07) Olkoon Mrkon udjettirjoite = 40 Mrkoll on hvin kättätvät referenssit j Mrkon rjusustituutiosuhde on
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotOlkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)
T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
LisätiedotMatematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää
Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
LisätiedotOlkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään
T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään
LisätiedotTehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja
582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko
LisätiedotKirjallinen teoriakoe
11 Kirjllinen teorikoe Päivämäärä: Osllistujn nimi: Kirjllinen teorikoe Arviointi koostuu khdest osst: "yleiset kysymykset "j lskutehtävät" Kokeen hyväksytty rj on 51% molemmist osioist erikseen. St 1
LisätiedotA-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.
MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin
LisätiedotSUORAKULMAINEN KOLMIO
Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili
LisätiedotHAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN
ilumuoto st ksvtu luun ou perusk Tuntikehyksen os-lue: HAVAINNOINTI JA TUTKIMINEN A2 Aivomyrsky j unelmien leikkipuisto Kesto: 1 kksoistunti, 45 min + 45 min Aihe: Syvennetään jtuksi ympäristöstä liittyvästä
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista
Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotGraafinen ohjeisto. Julkis- ja yksityisalojen toimihenkilöliitto Jyty
Grfinen ohjeisto Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Julkis- j yksityislojen toimihenkilöliitto Jyty Grfinen ohjeisto Sisällysluettelo: 1. Johdnto 2. Peruselementit Tunnus j versiot...2.1 Tunnuksen
LisätiedotViivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13
Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes
LisätiedotAUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA
AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13
MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Diskreetin mtemtiikn perusteet Lskuhrjoitus / vko Tuntitehtävät 4-4 lsketn lkuviikon hrjoituksiss j tuntitehtävät 45-4 loppuviikon hrjoituksiss.
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8
Mt-.148 Dynminen optimointi, mllivstukset, kierros 8 1. Idelisess tsvirtmoottoriss vääntömomentti on suorn verrnnollinen virtn. Moottori pyörittää ikiliikkuj (ei kitk- ti sähkömgneettisi vstusvoimi). Moottorin
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
LisätiedotSäännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja
Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä
LisätiedotAsennus- ja käyttöohje ROBA -liukunavoille Koot 0 12 (B.1.0.FIN)
Pyydämme lukemn käyttöohjeen huolellisesti läpi j noudttmn sitä! Ohjeiden liminlyönti voi joht kytkimen toiminthäiriöihin j siitä johtuviin vurioihin. Nämä käyttöohjeet (B.1.0.FIN) ovt os kytkintoimitust.
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P
Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4
LisätiedotMATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI
SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
Lisätiedotja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S
3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotTee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
LisätiedotKognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP
Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }
LisätiedotPinta-alan laskeminen
Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin
LisätiedotGillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN 978-0-19-958654-7. Oxford University Press.
Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN 978-0-9-958654-7. Oxford University Press. sekä
LisätiedotDigitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30
Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
LisätiedotAnalyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita
Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............
Lisätiedot