FYSIIKAN MATEMATIIKKAA

Transkriptio

1 766P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alako Oulu yliopisto, Fysiika laitos, Syksy 6 Perustuu: Robert A. Adams, Calculus - A Complete Course P. Pietilä, palsta.pdf - moiste, 3 Sisältö DIFFERENTIAALILASKENTAA Raja-arvot. Derivaata määritelmä.3 Derivaata laskemie.3. Suoraa määritelmästä.3. Laskusäätöjä.4 Korkeamma kertaluvu derivaatat.5 Sovellutuksia.5. Suureide muodostamie.5. Piete muutoste approksimoiti.5.3 Ääriarvot.5.4 l'hospitali säätö.6 Useamma muuttuja fuktiot.6. Osittaisderivaatat.6. Kokoaisdifferetiaali.6.3 Implisiittie derivoiti INTEGRAALILASKENTAA Määrätty itegraali. Kertymäfuktio.3 Itegraalifuktio.4 Itegraalie laskemie.4. Itegraalifuktio määritelmästä.4. Itegroitimeetelmiä 3 VEKTORIT Vektori käsite 3. Vektorialgebra 3.3 Vektoreide tulot 3.3. Pistetulo 3.3. Ristitulo Kolmitulot 4 POTENSSISARJOJA Äärettömät sarjat 4. Potessisarjat 4.3 Taylori sarjat 5 KOMPLEKSILUVUT Lukualuee laajeus 5. Kompleksilukuje esitys 5.. Imagiääriyksikkö ja kompleksiluvut 5.. Kompleksitaso 5.3 Kompleksilukuje algebra 5.4 Kompleksifuktioista 5.4. Polyomifuktiot 5.4. Ekspoettifuktio Euleri kaava Kompleksilukuje potessit ja juuret Trigoometriset fuktiot 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Johdato ja käsitteitä 6. Esimmäise kertaluvu yhtälöt 6.. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys 6.. Separoituvat yhtälöt 6..3 Eksaktit yhtälöt 6..4 Lieaariset yhtälöt 6..5 Homogeeie. kl: yhtälö 6.3 Toise kertaluvu lieaariset yhtälöt 6.3. Muoto 6.3. Vakiokertoimiset homogeeiset yhtälöt Vakiokertoimiset täydelliset yhtälöt 7 VEKTORIT JA DIFFERENTIAALILASKENTA Yhde muuttuja vektorifuktiot 7.. Vektorifuktio derivaatta 7.. Avaruuskäyrät 7..3 Käyräviivaiset suorakulmaiset koordiaatistot 7. Skalaariketät 7.. Gradietti 7.3 Vektoriketät 7.3. Divergessi 7.3. Roottori 8 VEKTORI-INTEGROINTI Yhde muuttuja vektorit 8. Polkuitegraali 8.3 Pitaitegraalit 8.3. Skalaarifuktio pitaitegraali 8.3. Vektoreide pitaitegraalit Suuattuje pitoje merkkisäätöjä 8.4 Tilavuusitegraalit 8.5 Gaussi lause 8.6 Stokesi lause 8.7 Greei lauseet

2 DIFFERENTIAALILASKENTAA Esim.. RAJA-ARVOT Differetiaalilasketa (derivoiti) perustuu raja-arvoje lasketaa. Fuktio f( ) raja-arvo L pisteessä = o se arvo, jota fuktio lähestyy, ku. Sitä merkitää L= lim f( ). Jos raja-arvo o olemassa, se täytyy olla yksikäsitteie eli L = lim f( ) = lim f( ). + - Fuktio o jatkuva pisteessä, jos lim f( ) = f( ) eli fuktio arvo o sama kui raja-arvo ko. pisteessä. Esim. O huomattava, että jälkimmäisessä esimerkissä rajaarvo o kyllä olemassa ja yksikäsitteie lim f( ) = lim f( ) =, - + mutta itse fuktiota ei ole määritelty pisteessä =, jote se ei voi olla myöskää jatkuva kyseisessä pisteessä. Ole tarkkaa: Raja-arvo tarkoittaa fuktio arvoa hyvi lähellä tarkastelupistettä, ei fuktio arvoa ko. pisteessä. Esimerkiksi kuvassa alla lim g ( ) =, mutta g () =

3 Laskusäätöjä: Merkitää L= lim f( ) ja M= lim g ( ). a a Pätee: lim[ f ( ) ± g ( )] = L ± M a lim[ f ( ) g ( )] = LM a lim[ kf ( )] = kl, missä k o vakio a lim[ f ( )/ g ( )] = L / M, ku M ¹ a 3 Esimerkki: Erotusosamäärä. Määritä fuktio y = f( ) = pisteide (,) ja (,4) kautta kulkeva suora kulmakerroi. Ratkaisu: Kysytty kulmakerroi o Dy f() - f() 3 = = = 3 D - 4. DERIVAATAN MÄÄRITELMÄ Fuktio f ( ) derivaatalla f '( ) pisteessä tarkoitetaa raja-arvoa f( ) - f( ) f '( ) = lim, (.) - missä f( ) - f( ) - o fuktio erotusosamäärä pistee ympäristössä. Geometrisesti derivaatta o fuktio kuvaaja tageti kulmakerroi derivoitipisteessä. Derivaatta kertoo siis kuika voimakkaasti fuktio kasvaa tai väheee tarkastelupisteessä. Yleisemmi: Fuktio arvo muutos kohdasta kohtaa o f( ) - f( ) ja erotusosamäärä f( ) - f( ) - ilmoittaa fuktio arvo keskimääräise muutosopeude välillä D = -. Erotusosamäärästä päädytää derivaattaa, ku otetaa raja-arvo, jolloi suora "käätyy" kuvaaja tagetiksi tarkastelupisteessä.

4 Esimerkki: Derivaatta. Määritä fuktio y= f( ) = pisteesee (,) piirrety tageti kulmakerroi. Ratkaisu: Otetaa raja-arvo erotusosamäärästä: f( ) - f( ) f '( ) = lim - - = lim - ( - )( + ) = lim - = lim( + ) =. Tässä tarkastelupiste o =, jote derivaatta ja site myös tageti kulmakerroi o. Derivaatta o differetiaalilaskea peruskäsite. Derivoituvuus Määritelmässä (.) molempie lähestymissuutie ( < tai > ) täytyy johtaa samaa tuloksee. Jos raja-arvo (.) ei ole yksikäsitteie tai sitä ei ole olemassa, derivaattaa ei ole määritelty. 5 Jos raja-arvo o yksikäsitteiseä olemassa, saotaa, että fuktio o derivoituva. Fakta: Derivoituva fuktio o aia jatkuva. Todistus: Olkoo f derivoituva kohdassa. Koska arvoilla ¹ o f( ) = f( ) - f( ) + f( ) f( ) - f( ) = ( - ) + f ( ) - saadaa raja-arvoksi lim f( ) = f '( ) lim( - ) + f( ) = f( ), mistä väitös seuraa. Jatkuva fuktio ei kuitekaa ole aia derivoituva Esimerkki: Tutki oko jatkuva fuktio, ku f( ) = =í ì- < î +, ku ³ derivoituva kohdassa =. Ratkaisu: Erotusosamäärä raja-arvo (derivaatta) egatiiviselta puolelta o 6

5 f( ) - f() -- lim = lim = lim( - ) = ja positiiviselta puolelta: f( ) - f() + - lim = lim = lim( + ) = Lähestymie eri puolilta ei johda samaa tuloksee, jote fuktio ei ole derivoituva kyseisessä pisteessä. Merkitöjä Fuktio y = f ( ) derivaattaa f '( ) merkitää usei myös d df( ) f '( ) = y' = f( ) Dy Df( ) d = d = =. Ku halutaa korostaa, että derivaatta lasketaa imeomaa pisteessä (eikä yleisessä pisteessä ) merkitää joskus df( ) f '( ) =. d = Fysiikassa aja suhtee derivoitia merkitää moesti pisteellä d f () t = f &() t dt 7.3 DERIVAATAN LASKEMINEN.3. Suoraa määritelmästä Määritelmä (.) f( ) - f( ) f '( ) = lim - mukaa f ( ): derivaatta yleisessä pisteessä (siis = ) o f( ) - f( ) f '( ) = lim, - missä symboli o otettu käyttöö sekaaukse välttämiseksi. Ku vielä kirjoitetaa = +D, saadaa käytäö laskemista varte helpompi työkalu: f( +D) - f( ) f '( ) = lim. (.) D D Esimerkki: Laske fuktio f( ) = derivaatta. Ratkaisu: f( +D) - f( ) ( +D) - f '( ) = lim = lim D D D D 8

6 + ( D ) + ( D) - = lim = lim[ + ( D)] D D D =. Hyvä apueuvo: biomikehitelmä æö k -k æö! ( a+ b) = å ç ab k= k, missä ç è ø k =. è ø k!( -k)! Tässä! tarkoittaa kertomaa! = K ( - ) ja o määritelty, että! =. Lasketaa esimerkiksi ( a ) 3 + b. Nyt 3 =, jote 3 æ3ö 3 æ3ö æ3ö æ3ö 3 ( a+ b) = ç ab ab ab ab + ç + + ç ç 3 è ø è ø è ø è ø 3 3 = b + 3ab + 3a b+ a. 3 Esimerkki: Laske fuktio f( ) = derivaatta. Ratkaisu: f( +D) - f( ) ( +D) - f '( ) = lim = lim D D D D Lasketaa ( +D ) soveltamalla edellise esimerki biomikehitelmää. Tässä a= ja b=d, jote ( +D) = ( D ) + 3 ( D ) + 3 D + ja ( +D) - = ( D ) + 3 ( D ) + 3 D ja derivaatta saadaa raja-arvoa D, ts. f '( ) = 3 Yleisesti: D = -. Esimerkki: Laske fuktio f ( ) = si derivaatta. Ratkaisu: f( +D) - f( ) si( +D) -si f '( ) = lim = lim D D D D Yleisesti pätee (ks. vakio- ja kaavakokoelma) [ ] [ ] sia - si b = cos ( a + b) si ( a - b), jote si( +D) - si = cos ( +D) si D. [ ] [ ] Edellee sii sarjakehitelmästä äemme (vakio- ja kaavakokoelma), että [ ] si D D, ku D, jote derivaataksi saamme [ ] cos ( +D ) D lim = lim cos [ ( +D ) ] D D D = cos Siis Dsi = cos

7 Muutamie tavallisimpie fuktioide derivaattoja: Esim. / -/ D = D = =.3. Laskusäätöjä Darcta = + Esim. 3 d 3 d 3 dcos 3 cos cos 3 cos si d é ë ù= û d + d = - Osamäärä derivoiti: dé f( ) ù f'( g ) ( )- f( g ) '( ) dêg ( ) ú = ë û g ( ) Esim. d d( + ) ( ) d é ù + - d d ( + ) - d ê ú = = ë + û ( + ) ( + ) 3 = ( + ) Seuraavassa f ja g ovat derivoituvia fuktioita ja a ja b vakioita. Lieaarisuus: d [ af ( ) + bg ( )] = af '( ) + bg '( ) d Esim. 3 d 3 d dsi 5 4si cos d ëé - ùû= - = - d d Tulo derivoiti: d [ f ( g ) ( )] = f '( g ) ( ) + f ( g ) '( ) d Yhdistety fuktio derivoiti: (ketjusäätö) d [ f ( g ( ))] = f '( g ( )) g '( ) (.3) d Esim. d si( ) cos( ) cos( ) d é ë ù= û = Tässä siis f = si( g), missä g = o s. sisäfuktio. Esim. d = =. d Tässä f = g, missä g =

8 .4 KORKEAMMAN KERTALUVUN DERIVAATAT 3.5 SOVELLUTUKSIA 4 Jos fuktio f( ) derivaatta f '( ) o myöski derivoituva, voidaa laskea s. toie derivaatta f '( +D) - f '( ) Df '( ) = lim D D je. kolmas, eljäs, :s derivaatta. Fuktio :ttä derivaattaa merkitää mm. ( ) d f( ) f ( ) = D f( ) = d Alhaise kertaluvu derivaatoilla käytetää myös esimerkiksi f () ( ) = f ''( ) = DDf ( ) ja aja suhtee derivoiissa esimerkiksi d f() t = && f() t dt Esimerkki: Laske fuktio f( ) = l kolmas derivaatta. Ratkaisu: f '( ) = D(l ) =, f ''( ) D æ ö = ç =- è ø f '''( ) D æ ö = ç - = 3 è ø - käsitellää vai fysiika kaalta tärkeimpiä.5. Suureide muodostamie (esimerkkiä opeus) Nopeus kertoo aikayksikössä kuljetusta matkasta. Tarkastellaa esimerkkiä pitki -akselia eteevää kappaletta, joka paikka t () aja t fuktioa o esitetty alemmassa kuvassa. Kappalee keskiopeus aikavälillä D t määritellää suhteea D t ( +Dt) -t () =, Dt Dt ts. jaetaa kuljettu matka siihe käytetyllä ajalla. Selvästi kysymyksessä o erotusosamäärä, josta kappalee hetkellie opeus v () t aja hetkellä t saadaa ottamalla raja-arvo D t, ts laskemalla paika t () derivaatta t ( +Dt) -t () v ( t) = lim, D t Dt eli siis

9 dt () v () t = = t &(). dt Kiihtyvyys o opeude muutos aikayksikössä ja vastaavasti se saadaa opeude derivaattaa () () v& dv t d t at () = = () t = = && t () dt d Esimerkki: Kappale kiihtyy pitki -akselia ii, että se paikkakoordiaatti ajahetkellä t lähdöstä oudattaa yhtälöä = t. () t (5, m/s) a) Laske kappalee keskiopeus aikavälillä t t, ku t =,s ja t =,s. b) Laske kappalee hetkellie opeus ajahetkellä t =,s Ratkaisu: a) keskiopeus erotusosasmäärää D (,s) -(,s) m-5,m = = = 5 m/s Dt,s -,s,s b) hetkellie opeus derivoimalla v () t = & () t = ( m/s) t, josta hetkellä, s tulee v(,s) = m/s, s = m/s 5 Esimerkki: Hiema erilaie opeus. Iltapäivälämpötila T eustetaa oudattava eräällä paikkakualla yhtälöä 3 T = t - 3t + 8t+, ( t 5) 3 missä T o Celsiusasteia ja t tuteia. Kuika opeasti lämpötila muuttuu klo ja klo 3 iltapäivällä? Millä ajahetkellä lämpötila ei muutu? Ratkaisu: Lämpötila muutosopeus o derivaatta dt t 6t 8 dt = - +, joka klo iltapäivällä ( t = ) saa arvo 3, eli lämpötila kasvaa 3 C/h. Klo 3 iltapäivällä ( t = 3) derivaata arvo o, eli tällöi lämpötila aleee opeudella C/h. Lämpötila ei muutu, ku t - 6t+ 8=, josta ratkaisemme ajat 6± 6-48 t = = 3±. Lämpötila ei muutu klo ja klo 4 iltapäivällä. 6

10 .5. Piete muutoste approksimoiti Derivaata määritelmästä (.) f( +D) - f( ) f '( ) = lim D D voidaa ratkaista likimääräisesti Tässä siis uusi fuktio arvo f( +D ) lasketaa lisäämällä alkuperäisee arvoo f( ) muutos f( +D )» f( ) + f '( ) D. (.5) D f» f '( ) D. (.6) Muutos D f lasketaa käyttäe derivaata (tageti kulmakertoime) arvoa pisteessä viereise kuva mukaisesti. O selvää, että yhtälöstä (.6) laskettu muutos D f o sitä tarkempi mitä pieempi D o. Esimerkki: Arvioi kuika mota prosettia ympyrä pita-ala muuttuu, ku säde kasvaa %. Ratkaisu: Ympyrä pita-ala A lasketaa lausekkeesta A= p r, missä r o säde. Sätee muuttuessa ( D r) pita-ala muuttuu (.6): mukaa approksimatiivisesti määrä 7 da D A= D r = p rd r. dr Suhteellie muutos D A/ A saadaa jakamalla DA p rdr Dr = =. A p r r Nyt %: kasvu säteessä tarkoittaa D r/ r =+,, joka johtaa pita-ala suhteellisee muutoksee D A =, =,4. A Siis pita-ala kasvaa oi 4 %. Esimerkki: Arvioi si( ): arvo, ku». Ratkaisu: Kirjoitetaa approksimaatio (.5) site, että f = si(), = ja D =. Tulee si( + ) = si( )» si() + cos() =. Saadaa siis tulos si( )», joka o sitä tarkempi mitä pieempi o..5.3 Ääriarvot Käsitteitä: - paikallie eli lokaalie maksimi /miimi - absoluuttie eli globaali maksimi/miimi 8

11 9 Pisteet, joissa derivaatta häviää, ovat s. kriittisiä pisteitä. Derivaata häviämie o ääriarvo välttämätö ehto, mutta ei kuitekaa riittävä. Katso esim. piste 3 edellisellä sivulla. Derivoituva fuktio f( ) ääriarvokohdissa (maksimeissa ja miimeissä), jotka sijaitsevat fuktio määrittelyaluee sisällä, fuktio tagetti o -akseli suutaie eli derivaatta o olla f '( ) =. Ääriarvokohdat voivat sijaita myös fuktio määrittelyaluee reuapisteissä. Esimerkki: Olkoo fuktio f( ) määritelty site, että f ( ) Etsi ääriarvopisteet. =, ku -. Ratkaisu: Hahmotellaa kuvaaja. Derivaatta f '( ) = o olla pisteessä =. Maksimit (arvoltaa ) sijaitsevat reuapisteissä =± ja miimi (arvoltaa ) pisteessä = Kahdesti derivoituvalla fuktiolla ähdää: - siirryttäessä maksimikohda yli vasemmalta oikealle esimmäie derivaatta pieeee, ts. toie derivaatta o egatiivie, f ''( ) <. - siirryttäessä miimikohda yli vasemmalta oikealle esimmäie derivaatta kasvaa, ts. toie derivaatta o positiivie, f ''( ) >. - jos toie derivaatta kriittisessä pisteessä o olla, f ''( ) =, kyseessä ei ole maksimi eikä miimi.

12 4 3 Esimerkki: Aalysoi fuktio f ( ) = 3-4 kriittiset pisteet. Ratkaisu: Hahmotellaa kuvaajaa: Kriittiset pisteet saadaa asettamalla Tästä 3 f '( ) = - =. ( - ) =, josta = ja =. Toie derivaatta o f ''( ) 36 4 = -, jote f ''() = ja f ''() = >. Pisteessä = ei ole miimiä eikä maksimia. Pisteessä = fuktiolla o miimi..5.4 l'hospitali säätö - apueuvo muotoa / tai / olevie raja-arvoje laskemiseksi: Jos raja-arvossa f( ) lim a g ( ) joko f( ) ja g ( ), ku a, tai f( ) ± ja g ( ) ±, ku a, ii f( ) f '( ) lim = lim a g( ) a g'( ) si Esimerkki: lim Tässä sekä osoittaja että imittäjä lähestyvät olla, jote voidaa soveltaa l'hospitali säätöä si cos lim = lim = cos = si Esimerkki: lim Taas l'hospitali ehdot ovat voimassa ja si 4si cos si 4 lim = lim = lim ja edellee l'hospitali sääöllä si4 cos4 lim = lim 4 = 4 Esimerkki: lim l + Tässä ollaa lähestytää positiiviselta puolelta, jotta logaritmifuktio olisi määritelty. Raja-arvossa ja l -, jote l'hospitali säätö ei suoraa ole sovellettavissa. Jos kuiteki kirjoitetaa

13 lim l, + / ii l'hospitali ehdot ovat voimassa ja voidaa laskea lim l = lim lim( ) = - = USEAMMAN MUUTTUJAN FUNKTIOT.6. Osittaisderivaatat Esimerkiksi sähköketässä liikkuva varatu hiukkase potetiaalieergia w riippuu hiukkase paikasta kolmiulotteisessa avaruudessa w= wyz (,, ). Tämä o esimerkki useamma (kolme tässä tapauksessa) muuttuja fuktiosta. Muuttujat, y ja z. Ns. Osittaisderivaatta -muuttuja suhtee o w w ( +Dyz,, )-wyz (,, ) = lim D D ja vastaavasti määritellää osittaisderivaatat myös y: ja z: suhtee. Esimerkiksi z: suhtee: w wyz (,, +Dz) -wyz (,, ) = lim. z D z Dz 3 Mikäli osittaisderivaatat ovat edellee derivoituvia, voidaa laskea korkeamma kertaluvu osittaisderivaattoja, esim: wö = ç è ø tai w æ wö = ç y yè ø, je w æ Useimmissa fysiika probleemoissa osittaisderivaatat ovat hyvi käyttäytyviä ja "pehmeitä", jolloi sekaderivaatoissa derivoitijärjestyksellä ei ole merkitystä, esimerkiksi w w = y y 3 3 Esimerkki: Laske fuktio g(, y) = + 7 y- y kaikki osittaisderivaatat toisee kertalukuu saakka. Ratkaisu: Esimmäise kertaluvu derivaatat g = 3 + 4y ja g = 7-3y y ja toise kertaluvu g = (3 + 4 y) = 6+ 4y g = ( 3 + 4y) = 4 y y 4

14 g = ( 7-3y ) = 4 y g = (7-3 y ) =-6y y y Joskus osittaisderivaattoja merkitää alaidekseillä. Esimerkiksi g g g y =, g y =, y y.6. Kokoaisdifferetiaali Sivulla 9 opimme, että yhde muuttuja fuktio f( ) muutos D f, ku muuttuja muuttuu määrä D, voidaa approksimoida lausekkeella df D f» D. d Approksimaatio o sitä tarkempi mitä pieempi D o. Ifiitesimaalisella rajalla, ku D tulos o tarkka ja voidaa kirjoittaa differetiaali df df = d. d Tulos voidaa yleistää useamma muuttuja fuktioille seuraavasti. Tarkastellaa fuktiota f(,,..., ). 5 Muuttujie variaatioista D i aiheutuva fuktio muutos Df o approksimatiivisesti f f f D f» D + D D. (.7) Tämä saadaa tarkaksi ifiitesimaalisella rajalla D, jolloi kirjoitetaa i f f f df = d + d d. Tässä suure df o s. kokoaisdifferetiaali. Esimerkki: Muutokse arvioiti. Syliteri tilavuus V lasketaa yhtälöstä V= p Dh, 4 missä D o syliteri halkaisija ja h korkeus. Arvioi tilavuude prosetuaalie muutos, ku halkaisija pieeee % ja korkeus kasvaa,6 %. Ratkaisu: Aloitetaa kirjoittamalla tilavuude kokoaisdifferetiaali: V V dv = dd + dh = æ ç pdh ö dd + æ ç pd ö dh. D h è ø è4 ø Kehitetää oikealle puolelle tilavuus V takaisi: æ ç ö æ ç ö è4 ød è4 øh dv D h dd D = p + p h dh 6

15 ja jaetaa: dv dd dh = +. V D h Tästä suhteelliselle muutokselle approksimoidaa DV DD Dh» +. V D h Halkaisija pieeee % ja korkeus kasvaa,6 % eli D D D h =-, ja =+,6. D h Tilavuude suhteelliselle muutokselle lasketaa D V» ( -,) +,6 =-,34. V Tilavuus siis pieeee oi 3,4 %. Esimerkki: Mittaustulokse virhee (eli tarkkuude) arvioiti. Heiluri heilahdusaika eli periodi T o L T = p, g missä L o heiluri pituus ja g maa vetovoima kiihtyvyys. Erää heiluri pituudeksi mitattii L = (, 8 ±, ) m ja periodiksi T = (, ±,) s. Mikä o äide mittauste perus- 7 teella g : arvo? Määritä edellee saadu tulokse absoluuttie tarkkuus ja suhteellie tarkkuus. Ratkaisu:Lasketaa esi g: L,8 m g = 4p = 4p = 9, m/s. T (, s) Virhee arvioimiseksi kirjoitetaa esi kokoaisdifferetiaali g g 4 8 L p p dg = dl + dt = dl - dt, 3 L T T T joka approksimoidaa muotoo 4 8 L p p D g» DL- D T. 3 T T Mittausvirheide D L =±, m ja D T =±, s suutia (etumerkkejä) ei tiedetä, jote virhee arvioiissa kirjoitetaa aia varmuude vuoksi 4 8 L p p D g D L + D T. 3 T T Huomaa tässä, että kaikki lasketaa yhtee ja esimerkiksi miius-merkki jälkimmäise termi edessä o muuttuut plus-merkiksi. Numeroarvoje sijoittamie ataa absoluuttiselle virheelle 4 8,8m p p D g,m +,s 3 (,s) (,s) 8

16 = (,896 +,84) m/s =,738 m/s Suhteellista virhettä laskettaessa kirjoitetaa 4p 8p L æ4p LöDL æ4p LöDT D g» DL- D T = 3 ç -ç, T T è T ø L è T ø T josta Dg DL DT +. g L T Numeerie lasku ataa tulokse D g,959 +,948 =,837. g Mittaukse perusteella maa vetovoima kiihtyvyyde arvo o g = (9,7 ±,3) m/s tai suhteellise virhee avulla esitettyä g = 9,7 m/s ± 3%.6.3 Implisiittie derivoiti Tarkastellaa yhtälöä f(, y) = c, missä c o vakio. Esimerkiksi origokeskeie yksikköympyrä o f (, y) = + y =. Mite tästä lasketaa y: derivaatta : suhtee? 9. tapa: Ratkaistaa y, jos se ylipäätää o mahdollista ja derivoidaa.. tapa: implisiittisesti ratkaisematta yhtälöä: Yhtälö f(, y) = c kokoaisdifferetiaali o f f d + dy =, y josta suoraa ratkaisemalla saadaa f dy =-. f d y Esimerkiksi yksikköympyrä tapauksessa dy =- =- d y y Esimerkki: Muodosta implisiittisesti derivaatta dy / d yhtälöstä si( y) + y =. Ratkaisu: Kirjoitetaa f(, y) = si( y) + y- =, jolloi f = y cos( y) - ja f = cos( y) +, y jote dy y cos( y) - - y cos( y) =- = d cos( y) + + cos( y) 3

17 INTEGRAALILASKENTAA. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Tarkastellaa paloittai jatkuvaa ja rajoitettua (siis ei ääretötä) fuktiota f ( ) välillä [ ab, ] (ks. kuva) Jaetaa väli [ ab, ] :ää h-levyisee osaa b- a h = ja merkitää = a + kh, missä k =,,,..., k Jakoo liittyvä s. porrassumma o - S = hå f( ), k= missä jokaie termi esittää geometrisesti pita-alaa A k k = hf( ). Leveys h o positiivie, jote A k >, jos f ( k ) o positiivie A <, jos f ( ) o egatiivie k k k 3 Porrassumma approksimoi välillä [ ab, ] käyrä y = f ( ) ja -akseli välistä pita-alaa site, että akseli yläpuolie ala lasketaa positiivisea ja alapuolie egatiivisea. Approksimaatio o sitä tarkempi mitä tiheämpi jako o, ts. mitä suurempi o. Jao tihetyessä ( ) porrassumma lähestyy rajaarvoa, jota saotaa fuktio f ( ) määrätyksi itegraaliksi välillä [ ab:, ] b - ò f( ) d= lim hå f( k ). (.) a k= Geometrisesti määrätty itegraali o käyrä y = f ( ) ja -akseli välii jäävä pita-ala. Omiaisuuksia a) Tyhjä itegroimisväli a ò f ( ) d =, koska h = aia. a b) Itegroitirajoje vaihto b ò f ( ) d =-ò f ( ) d, a koska oikealta vasemmalle itegroitaessa jakoväli h o egatiivie: a b 3

18 loppupiste -alkupiste a-b h = = < c) Additiivisuus b c b ò f ( ) d = ò f ( ) d + ò f ( ) d, a a c jos piste c o väli [ ab, ] joki sisäpiste. 33. KERTYMÄFUNKTIO Fuktio f kertymäfuktio K ilmoittaa käyrä ja -akseli välise pita-ala kohdasta a kohtaa. K( ) = ò f () t dt a 34 d) Lieaarisuus b b b [ ] ò a f ( ) + b g( ) d = a ò f ( ) d + b ò g( ) d, a a a joka ähdää suoraa määräty itegraali määritelmästä. e) Itegroimismuuttuja vaihto b ò f () d = ò f () s ds. a Itegraali arvo (pita-ala) ei riipu muuttujasta, jote o sama millä symbolilla fuktio argumettia merkitää. b a Piei lisäys D argumetille ataa kertymäfuktiolle muutokse D K = K( +D) - K( ), joka vastaa likimai kuvassa varjostettua pita-alaa D A=D f ( ), ts. K( +D) - K( )»Df ( ) ja relaatio o sitä tarkempi mitä pieempi D o. Rajalla saadaa K( +D) -K( ) lim = f( ) D D eli d K'( ) = f( t) dt = f( ) d ò. a

19 .3 INTEGRAALIFUNKTIO Fuktio F o fuktio f itegraalifuktio, jos F'( ) = f( ). Itegraalifuktio ei ole yksikäsitteie, sillä d [ F ( ) + C ] = F '( ) = f ( ), d missä C o mikä tahasa vakio. Yleisesti: Jos F o f : eräs itegraalifuktio, ii jokaie f : itegraalifuktio o muotoa F( ) + C, missä C o s. itegroimisvakio. Jokaie kertymäfuktio o alarajasta a (ks. määritelmä) riippumatta f : itegraalifuktio K( ) = ò f( t) dt = F( ) + C, a missä itegroimisvakio C määräytyy ehdosta K( a) = F( a) + C =, ts. C=- Fa ( ). 35 Koska määrätty itegraali välillä [ ab, ] voidaa ilmoittaa kertymäfuktioa tulee Sijoitusmerkitä: b ò a b ò f( ) d= K( b) = F( b) + C, a b ò f( d ) = Fb ( )-Fa ( ). a b f( d ) = F ( ) = Fb ( )-Fa ( ) Itegraalifuktio merkitä ò f ( ) d = F ( ) + C. a Huom! O tavallista, että itegroimisvakio jätetää merkitsemättä äkyvii, ts. ò f ( ) d= F( ) Esimerkki: Laske määrätty itegraali ò e d. 36

20 Ratkaisu: Tässä f ( ) = e ja se itegraalifuktio o (katso laskuharjoitus) F( ) = ( - ) e + C. Määräty itegraali arvoksi laskemme ò e d= é ë( - ) e + Cù û = é ë(- ) e + Cù û-é ë( - ) e + Cù û = e+ C-( - ) - C =.4 INTEGRAALIFUNKTION LASKEMINEN.4. Itegraalifuktio määritelmästä Esimerkki : Potessifuktio. D ( ) Koska + = +, + o ò d =, missä ¹-. + Tapaus =- o käsiteltävä eriksee. - Koska Dl = =, >, saadaa Yleistys: ò ò, d = d = l ò d= l, ¹. - >. 37 Esimerkki : Sii- ja kosiifuktiot. ìdsi = cos Koska í îdcos =-si ovat itegraalifuktiot vastaavasti ò ò Muutamia tärkeimpiä: ì ï si d=-cos í. ïî cos d= si.4. Itegroitimeetelmiä - itegroiti ei ole suoraviivaie mekaaie toimepide. Itegraalifuktio etsiässä o käytössä lukuisia meetelmiä. Tässä muutamia: Lieaarisuus ò ò ò [ a f( ) + bg ( )] d= a f( d ) + b gd ( ) 38

21 Esim. Polyomi itegraali o P = a + a+ a + + a ( )... = ò Pd ( ) a a... a. Derivoii ketjusääö d g ( f ( )) = g '( f ( )) f '( ) d mukaa o ò g '( f ( )) f '( ) d = g ( f ( )). Esim. òcos(3 ) d = (6 ) cos(3 ) d = si(3 ) 6ò 6 '( ) Esim. Itegraalissa ò f d = g '( f ( )) f '( ) d f( ) ò ketjusääö g-fuktiota vastaa l f( ), jote '( ) ò f d = l f ( ) f( ) Muuttujavaihto eli sijoitus Itegraalissa f ( ) d kirjoitetaa = ht (), jolloi ò d = h'() t, eli '() dt d = h t dt 39 ò ò. ja saadaa f ( ) d = f ( h()) t h'() t dt l Esim. ò d. t Sijoitetaa = e, jolloi l l e t t = = t ja d = e dt ja tulee l t t l ò d = e dt tdt t t ò = = = e ò Määrätyssä itegraalissa myös itegroimisrajat vaihtuvat. Esimerkiksi p /3 ò si(3 ) d. p /6 ìt = 3 Sijoitus í. îdt = 3d Rajat: ku = p /6, ii t = 3= 3 p /6 = p / ku = p /3, ii t = 3 p /3= p jote p /3 p p ò si(3 ) d = ò sit dt = sitdt 3 3 ò p /6 p / p / p æ p ö = (- cos t) = ç - cosp + cos = è ø 3p / 3 3 4

22 Osittaisitegroiti Tulo derivoiista d [ f ( g ) ( )] = f '( g ) ( ) + f ( g ) '( ) d saadaa ò f '( ) g( ) d= f ( ) g( ) - f ( ) g'( ) d Esim. ò l d Olkoo tässä f '( ) = ja g( ) = l, jolloi f( ) = ja g'( ) =. Tulee òl d = l - d ò = l - l (l ) òd= - = - 4 ò 4 3 VEKTORIT 3. VEKTORIN KÄSITE Vektori o suure, jolla suuruude lisäksi o myös suuta (esim. kiihtyvyys). Skalaari puolestaa o suure, jolla o vai suuruus (esim. tiheys). Vektori graafisesti: 4 Vektori paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat yhtä suuria, ts. A= B= C tai r r r A= B= C

23 Paietussa tekstissä vektori esitetää tavallisesti lihavoidulla symbolilla ja käsi kirjoitetussa yläviivalla tai yläuolella. Koordiaatistossa vektori voidaa spesifioida esim. atamalla vektori koordiaattiakseleilla olevie projektioide pituudet (merkki huomioide): A= ( A, Ay, Az) Projektiot ovat vektori s. kompoetteja. 43 Esim. Massapistee paikkaa avaruudessa voidaa kuvata paikkavektorilla r = ( yz,, ). Jos piste liikkuu, se koordiaatit, y ja z ovat aja fuktioita ja paikkavektori kärki liikkuu aja myötä: r= r() t = ( t (), yt (), zt ()) 44 Kaikki vektorit voidaa siirtää koordiaatisto origoo (paikalla ei ole merkitystä), jolloi vektoria kuvaa se kärje koordiaatit. Käätäe, mitä tahasa avaruude pistettä voidaa pitää origosta lähtevä vektori kärkeä. Puhutaa s. paikka- eli radiusvektorista. Radiusvektori kärki piirtää pistee rada avaruutee. Vektoreide yhtäsuuruus: Vektorit a = ( a, ay, az) ja b = ( b, by, bz) ovat yhtäsuuria, a= b, jos ja vai jos vastikompoetit ovat yhtäsuuria, ts. a = b, ay = by ja a z = b z. Vektori itseisarvo - o sama kui vektori pituus

24 Vektori A = ( A, Ay, Az) pituus A o Pythagoraa lausee mukaa A = A + A + A. y z Vektori symboli ilma vektorimerkitää tarkoittaa tavallisesti r vektori pituutta, ts. A= A = A VEKTORIALGEBRA Skalaarilla kertomie Jos A = ( A, A, A ) ja l reaalie vakio, ii y z la = ( la, la, la ). y z Skalaarilla kerrottaessa vektori säilyttää suutasa, jos l > ja käätyy vastakkaissuutaiseksi, jos l <. Pituus muuttuu kute la = l A 46 Esimerkki: Vektori a alkupiste o (-, - 3) ja kärki (4,). Määritä vektori kompoetit ja laske pituus. Ratkaisu: Projektio pituus -akselilla o 4 -(- ) = 6 ja y-akselilla -(- 3) = 5, jote a = (6,5) ja a = = 6 Yhtee ja väheyslasku Vektoreide A = ( A, Ay, Az) ja B= ( B, By, Bz) summa (s. resultattivektori) määritellää kute A+ B= ( A + B, A + B, A + B ) y y z z ja erotus A- B= A+ (- B) = ( A -B, A -B, A -B ) Graafisesti: y y z z

25 Esimerkki: O aettu vektorit a = (-,) ja b = (3,4) Piirrä samaa koordiaatistoo origosta alkae vektorit a, b, a+ b ja a-b. Ratkaisu: a = (-,) b = (3,4) a+ b=(,6) a- b= (-5, -) Graafisesti: Laskutoimituste omiaisuuksia Yhteelasku o kommutatiivie A+ B= B+ A ja assosiatiivie A+ ( B+ C) = ( A+ B) + C Skalaarilla kertomie o distributiivie l( A+ B) = la+ lb Yksikkövektorit Yksikkövektori pituus o yksi. Esimerkki. Määritä vektori A = (5,3, ) suutaie yksikkövektori. 47 Ratkaisu: Vektori A pituus o A= A = ( ) = = 36 = 6 jolloi vektori 5 ˆ æ ö a= A= (5,3, ) =ç,, A 6 è6 3 ø o A: suutaie ja se pituus o aˆ = A = A = A= A A A Huomaa merkitä â Koordiaattiakseleide suutaiset yksikkövektorit eli yksikkökoordiaattivektorit ovat s. katavektoreita. e = eˆ = i= ˆi = (,,) e = eˆ = j= ˆj= (,,) y y e = eˆ = k = kˆ = (,,) z z Vektori voidaa aia kirjoittaa kute A = ( A, A, A ) = ( A,,) + (, A,) + (,, A ) y z y z = A (,,) + A (,,) + A (,,) y z jote sille saadaa kompoettiesitys A= Aeˆ + Aeˆ + Aeˆ = Aˆi+ A ˆj+ Akˆ y y z z y z 48

26 Esimerkki. Määritä vektorille a= 3ˆi-4ˆj vastakkaissuutaie vektori b, joka pituus o VEKTOREIDEN TULOT 3.3. Pistetulo 5 Ratkaisu: Vektori a pituus o a= 3 + (- 4) = 5 = 5, jote b= (-) (3 ˆ i- 4 ˆ j) =- 6 ˆ i+ 8 ˆ j 5 Esimerkki: Määritä luku site, että vektorit r r r r r r a = i + j ja b = ( + ) i + 3j ovat yhdesuutaiset. r Ratkaisu: Nyt a ¹ r, jote a r ja b r r ovat yhdesuutaiset, jos löytyy luku t site, että b = ta. r Kirjoitetaa ( + ) i r + 3j r = ti r + tj r, josta + = t ja 3 = t. Jälkimmäisestä saadaa = tai t = 3. Ku t = 3 sijoitetaa edellisee, saadaa = 4. Siis vastaus = tai = 4 Vektoreide A = ( A, Ay, Az) ja B = ( B, By, Bz) pistetulo eli skalaaritulo määritellää AB = AB + AB + AB. y y z z Merkitä A tarkoittaa A = A A= A + Ay + Az = A, jote vektori pituus o A = A = A A. Pistetulo o - kommutatiivie A B= B A - distributiivie A ( B+ C) = AB + AC ja kerrottaessa skalaarilla toteuttaa relaatiot l( A B) = ( la) B= A ( lb) Cauchy-Schwartzi epäyhtälö Voidaa osoittaa, että AB AB. Yhtälö o voimassa yhtäsuuruutea, jos B= ta tai jos jompi kumpi tai molemmat ovat ollavektoreita.

27 Esimerkki: Osoita, että Cauchy-Schwartzi epäyhtälö o voimassa yhtäsuuruutea, jos B= ta, missä t o skalaarikerroi. Ratkaisu: A ( ta) = t A = t A = t A A = A ta Esimerkki: Olkoo a = (3, -5,) ja b = (-,3,4). Osoita, että Cauchy-Schwartzi epäyhtälö pätee. Ratkaisu = = - 8 = 8 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ab a b = 3 + (- 5) + = 34 = (- ) = 6 Nyt ab = 34 6» 9,7 eli > 8 Esimerkki: Kolmioepäyhtälö. Osoita, että kolmiossa kahde sivu summa o aia suurempi tai yhtäsuuri kui kolmas sivu. 5 Pistetulo geometrie merkitys Tarkastellaa vektoreide A, B ja A- B muodostamaa kolmiota. Sivu A- B pituude eliö o A- B = ( A- B) ( A- B) = A + B - A B Toisaalta, viereise kuva perusteella (Pythagoras) h = A -A cos q ja edellee Pythagoraa lausetta soveltae A- B = h + ( B-Acos q) = A - A cos q + B + A cos q -ABcosq = A + B - ABcosq. Vertaamalla aikaisempaa äemme, että AB = ABcosq = ABcosq 5 Ratkaisu: Vektorit A, B ja iide summa A+B muodostavat kolmio, joka sivuje pituudet ovat A, B ja A+ B. Nyt o A+ B = ( A+ B) ( A+ B) = A + A B+ B A + A B + B A + A B + B = ( A + B) C-S eli A+ B A + B mikä oli osoitettava. Projektio laskemie Vektori A s. skalaariprojektio p vektori B suutaa saadaa laskemalla A B p = A cosq = = A bˆ, B missä ˆb o vektori B suutaie yksikkövektori. Vastaava vektoriprojektio o sitte p= pb. ˆ

28 Esimerkki: Laske vektori B= i- j+ k vektoriprojektio vektorille A= 4i- 4j+ 7k. Ratkaisu: Pistetulosta A B= AB cosq ratkaistaa AB p = Bcosq = = ab ˆ. A Lasketaa esi A: suutaie yksikkövektori: A 4i- 4j+ 7k 4i- 4j+ 7k aˆ = = = = i- j+ k A 4 + (- 4) Skalaariprojektioksi p tulee sitte ˆ æ ö æ ö æ ö p= ab = ç () + ç - (- ) + ç () = è9ø è 9ø è9ø 9 ja edellee vektoriprojektioksi ˆ æ ö p= pa= ç i- j+ k = i- j+ k 9 è9 9 9 ø Esimerkki: Laske voima F= i-j-k tekemä työ, ku voima siirtää kappaletta vektori r= 3i+ j-5k kaasta kärkee. Ratkaisu: Määritelmä mukaa voima tekemä työ o siirrokse suutaie voima kerrottua siirrokse pituudella. 53 Kuva perusteella voima F tekemä työ o W = ( Fcos q) r, joka pistetulo avulla saa muodo W = Fr Tässä tapauksesssa W = ( i-j- k) (3i+ j-5 k) = ()(3) + (- )() + (-)(- 5) = = 9. SI-yksiköissä voima o ewtoeia (N) ja siirtymä metreiä (m). Näi työ yksiköksi tulee Nm eli J (joule). Vektoreide A ja B välie kulma lasketaa cosq = A B AB ja vektorit ovat kohtisuorassa toisiaa vastaa, jos A B = ja yhdesuutaisia, jos AB = AB Erikoisesti katavektorit i, j ja k ovat kohtisuorassa toisiaa vastaa (ortogoaalisia) ja iille pätee i j= ik = jk =. Koska edellee i i= j j= k k =, saotaa, että katavektorit ovat ortoormaalisia. 54

29 Esimerkki: Taso yhtälö. Määritä vektoria A= i+ 3j+ 6k vastaa kohtisuorassa oleva ja vektori B= i+ 5j+ 3k kärje kautta kulkeva taso yhtälö. Ratkaisu: Jos r-vektori osoittaa taso johoki pisteesee, ii B-r o tasossa, ts. kohtisuorassa A:ta vastaa. Saadaa ehto ( B- r) A =. Kirjoitetaa r= i+ yj+ zk ja lasketaa = (( - ) i+ (5 - y) j+ (3 - z) k) (i+ 3j+ 6 k) = ( - )() + (5 - y)(3) + (3 -z)(6) =--3y- 6z =--3y- 6z+ 35 Kysyty taso yhtälö o siis + 3y+ 6z= Ristitulo Vektoreide A = ( A, Ay, Az) ja B= ( B, By, Bz) ristitulo eli vektoritulo määritellää kute A B = ( AB -AB, AB -AB, AB -AB). y z z y z z y y 55 Vektoritulo muistamista helpottaa determiati avulla kirjoitettu muistisäätö i j k A B = A A A, y z B B B y z joka kaattaa kehittää ylärivi mukaa = A A A A A Az i B B - j B B + k B B y z y y z z y = i( AB -AB)-j( AB - AB) + k( AB -AB) y z z y z z y y Tulos o sama kui määritelmässä yllä. Determiati omiaisuuksista: - merkki vaihtuu vaihdettaessa kaksi vaakariviä (tai pystyriviä) keskeää - arvo o olla, jos se kaksi vaakariviä (tai pystyriviä) ovat samoja. Omiaisuuksia: Ristitulo ei ole kommutatiivie, sillä A B=- B A. Vektori ristitulo itsesä kassa o olla A A =. 56

30 Ristitulo o distributiivie A ( B+ C) = A B+ A C. Skalaarilla kertomie l( A B) = ( la) B= A ( lb ). Yksikkövektorit i j k i j= = i() - j() + k() = k ja samoi muut: i j= k j k = i k i= j Huomaa syklisyys. Koordiaatisto, jossa ym. relaatiot ovat voimassa o s. oikeakätie koordiaatisto. Oikea käde kolmisormisäätö: i o peukalo, j o etusormi ja k o keskisormi. Ristitulo geometrie merkitys Voidaa osoittaa, että ristitulo pituudelle pätee A B = ABsiq, missä q o vektoreide A ja B välie kulma. 57 Esimerkiksi äi: A B = ( AB -AB) + ( AB -AB) y z z y z z + ( AB -AB) y y =...(pitkähkö, mutta suoraviivaie lasku)... = ( A + A + A )( B + B + B )-( A B + A B + A B ) y z y z y y z z = - = - AB ( AB) AB AB cos q = A B (- cos q) = ( ABsi q) Vektoreide A B ja A pistetulo o A ( A B ) = A( AB y z -AB z y) + Ay( AB z -AB z) + Az( AB y - AB y ) = ja samoi B ( A B ) =. Siis: Vektori A B o kohtisuorassa molempia tekijöitää vastaa eli o kohtisuorassa tekijävektoreide virittämää tasoa vastaa. Edellee ristitulo voidaa kirjoittaa A B= ( ABsi q ), missä o vektoreide virittämää tasoa vastaa kohtisuorassa oleva yksikkövektori, site että kolmikko A, B ja muodostavat (tässä järjestyksessä) oikeakätise systeemi. 58

31 Kolmisormisäätö: A o peukalo, B o etusormi ja o keskisormi. Kuvassa vektoreide A ja B virittämä kolmio korkeus o Bsiq, jos kataa o vektori A. Tämä kolmio pita-ala o ABsiq, jote ristitulo o suuruudeltaa tekijävektoreide virittämä suuikkaa pita-ala. Esimerkki: O aettu vektorit A= i-3j-k ja B= i+ 4j-k. Laske A B, B A ja ( A+ B) ( A-B ). Ratkaisu: i j k A B= -3 - = i(6 + 4) -j(- 4 + ) + k(8 + 3) 4 - = i+ 3j+ k B A=- A B=-i-3j-k ( A+ B) ( A- B) = A ( A- B) + B ( A-B) = A A- A B+ B A- B B = - A B- A B- =- A B =-i-6j-k 59 Väätömometti: Voima F väätömometti M pistee P suhtee o suuruudeltaa F kertaa P: kohtisuora etäisyys voima vaikutussuorasta: M = Fr siq = r F Suutasopimus: Pisteesee P asetettu oikeakätie ruuvi eteee M-vektori suutaa, ku voima F kiertää sitä. O siis M= r F Esimerkki: Laske voima väätömometti pistee P suhtee, ku F = 48 N ja väli PQ o 75 cm seuraavissa tapauksissa a) ja b): Ratkaisu: Tässä r-vektori o PQ, jote se ja F- vektori välie kulma o a) kohdassa 6 ja b) kohdassa 35. Väätömometi suuruus o M = r F = rf siq 6

32 a) M = (.75m)(48N)si 6 = 3 Nm. Suuta paperii päi. b) M = (.75m)(48N)si35 = 5 Nm. Suuta paperii päi Kolmitulot Skalaarikolmitulo Muotoa A ( B C ) oleva kolme vektori tulo o skalaari (siitä imi). Se geometrie merkitys ähdää kuvasta: 6 V = hb C = A ( B C) Kompoettimuodossa skalaarikolmitulo o i j k A ( B C) = ( Ai+ A j+ Ak) B B B y z y z C C C y z = B B B B B B A - A + A y z z y y z Cy Cz C C C z Cy A A A y z eli siis A ( B C) = B B B y z C C C y z = A A A y z B B B y z C C C y z 6 Vektoreide muodostama suutaissärmiö tilavuus o pohjasuuikkaa pita-ala B C kertaa korkeus h. Korkeus h taas o vektori A projektio vektorille B C, eli A ( B C) h = A cosq = B C missä q o vektoreide A ja B C välie kulma. Särmiö tilavuus o siis Ku kaksi vaakariviä vaihdetaa keskeää, determiatti vaihtaa merkkisä: C C C C C C y z y z A ( B C) =- B B B = A A A = C ( A B) y z y z A A A B B B y z y z ja koska pistetulo o kommutatiivie, saadaa A ( B C) = ( A B) C, ts. skalaarikolmitulossa pistee ja risti paikka voidaa vaihtaa.

33 Vektorikolmitulo - o muotoa A ( B C ) tai ( A B) C. Jakamalla tulot kompoetteihi voidaa johtaa seuraavat laskukaavat A ( B C) = ( A CB ) -( A BC ) ( A B) C= ( ACB ) -( BCA ) r r r Esimerkki: O aettu vektorit a = i + j + k r, r r r r r r r b = i - j -k ja c = i + j + k r r. Laske a ( b r r c) esi suoraa ja sitte ylläaetulla kaavalla. Ratkaisu: r r r i j k r r r r r Suoraa: b c = - - = i( -) - j(3) + k(5) r r r i j k r r r r r r a ( b c) = = i(3) - j(6) + k( -) r r r r r r O siis a ( b c) = 3i -6j -k r r r r r r r r r Kaavalla: a r ( b c) = ( acb ) -( abc ) r r r = ( + + ) b -(-4 - ) c = 5b + 4c r r r r r r r r r = 5i - j - 5k + 8i + 4 j + 4k = 3i -6 j -k 63 4 POTENSSISARJOJA 4. ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S = a = a + a + a + + a + å k L k L k= saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa - å o s. osasumma. S = a = a + a + a + L+ a k - k= Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva eli kovergoiva, jos raja-arvo lim S o olemassa. Ns. geometrisessa sarjassa sarja seuraava termi saadaa aia kertomalla edellie termi vakiolla. Sarja å k= aq a aq aq k = o geometrie sarja, joka esimmäie termi o a ja peräkkäiste termie suhdeluku o q. Geometrise sarja osasumma, ku q ¹, o L 64

34 - k -q S = åaq = a -q k= Esimerkki: Tarkastele geometrise sarja å k= osasummaa ja sarja suppeevuutta. Ratkaisu: Kirjoitetaa osasumma k - å k L - ( a = ja q = ) k = S = = = = Ku <, ii, ku. Tällöi sarja suppeee: lim S =, ku <. - Toisaalta sarja selvästi hajaatuu, ku ³. Olemme siis saaeet tulokse k å =, ku <. - k= 65 Sarja suppeemie Milloi sarja suppeee, ts. äärettömä moe termi summa o äärellie? Se, että termit lähestyvät ollaa, ku kasvaa, ei takaa sarja suppeemista. Esimerkiksi s. harmoie sarja ei suppee. å = L+ + L 3 = Suhdetesti - eräs testi sarja suppeemiselle Olkoo å a sellaie positiiviste termie sarja, että raja-arvo a lim + = q a o olemassa. Silloi - jos q <, ii sarja suppeee - jos q >, ii sarja hajaatuu - jos q =, ii sarja voi supeta tai hajaatua Sarja suppee s. itseisesti, jos å a suppeee. Jos suhdetestillä voidaa todeta, että sarja suppeee itseisesti, ii sarja suppeee sellaiseaaki. 66

35 Esimerkki: Osoita, että sarja (-) 3 å = L = 8 4 suppeee. Ratkaisu: Sarja o s. vuorotteleva sarja, jote esi kaattaa suhdetestillä tarkastella itseistä suppeevuutta: (-) å = å = = Tässä sarjassa (ku ) a a + + ( + )/ + æ ö = = = ç + / è ø Suhdetesti mukaa sarja suppeee itseisesti ja ii olle suppeee sellaiseaaki. 4. POTENSSISARJAT Edellä todettii, että fuktio /( - ) voidaa esittää geometrisea sarja å silloi, ku <. Moet fuktiot voidaa esittää s. potessisarjaa å a. =. 67 Suhdetesti mukaa sarja å a suppeee itseisesti jos peräkkäiste termie suhteelle pätee a a lim = lim <, a a eli muuttuja toteuttaa ehdo < = R. a lim a + Potessisarja å a siis suppeee itseisesti, ku - R< < R ja hajaatuu, ku > R. Tässä R = a lim a + o s. suppeemissäde. Esimerkki: Määritä sarja å /! suppeemissäde. Ratkaisu: Tässä a+! = =, ku. a ( + )! + Nyt siis R =, ts. sarja suppeee kaikilla muuttuja arvoilla. 68

36 Esimerkki: Määritä sarja å = ( / ) suppeemissäde. Ratkaisu: Tässä a = =, ku a / / + + /( + ) + Suppeemissäde o R = /, ts. sarja suppeee, ku -,< <,. Potessisarjoja voidaa pitää argumettisa fuktioia. Esimerkiksi 3 f( ) = = å = , ku <. - = Potessisarjafuktioide omiaisuuksia: Suppeemissätee sisällä sarja å a esittämä fuktio - o jatkuva - voidaa itegroida itegroimalla sarja termeittäi - voidaa derivoida (mielivaltaise moesti) derivoimalla sarja termeittäi. 69 Esimerkki: Laske fuktio /( - ) arvo argumeti arvolla =, a) tarkasti ja b) potessisarjasta å ottamalla mukaa kolme esimmäistä termiä. Ratkaisu: a) = =,5 -,,8 b) å = = + + +», (,) L,4 Esimerkki: a) Derivoi edellise esimerki fuktio ja sitä vastaava potessisarja ja laske tulokse arvo argumeti arvolla =, a) tarkasti ja b) sarjasta ottamalla mukaa kolme esimmäistä termiä. Ratkaisu: a) Fuktio derivaatta o /( - ) ja sitä vastaava sarja o å - =. Huomaa, että sarja alkaa termillä =. b) = =,565 ( -,),64 c) å = = (,) + (,) + 3 (,) - = +,4 +, + L»,5 L 7

37 4.3 TAYLORIN SARJAT Olkoo f( ) =å = a potessisarjaa esitetty fuktio. Esimmäie derivaatta suppeemissätee sisällä o Toie derivaatta o d f '( ) = a = a å å = d = - d f ''( ) = a = a ( -) ja yleisesti k:s derivaatta o - - å å = d = d f a a k k ( k) -k ( ) = å = ( ) ( ) k å - L - + = d = k = å = k a! ( -k)! -k Vaihdetaa summausideksiksi m= - k, jolloi ( m+ k)! ( + k)! f a a ( k) m ( ) = å m+ k = å + k m= m! =! missä vielä mukavuussyistä m o imetty :ksi. 7 Toisaalta: Jos tuemme fuktio f ja kaikki se origossa lasketut derivaatat f ) (), voimme määrittää sitä vastaa- ( k va potessisarja (jos R > ). ( k Derivaatasta f ) ( ) jää origossa jäljelle vai esimmäie termi ( =, ku ¹ ja =, kokeile laskimella lim., esim. (.) = ) ( k f ) () = ak! josta potessisarja kerroi saadaa laskemalla ( k f ) () ak=. k! Jos fuktio kaikki derivaatat ovat olemassa, se voidaa esittää suppeemissätee sisällä s. Taylori sarjaa: ( ) f () f( ) =å! = Esimerkki: a) Määritä fuktio f( ) = cos Taylori sarja. b) Millä : arvoilla sarja suppeee? Ratkaisu: a) Lasketaa muutamia esimmäisiä derivaattoja: k 7

38 f () ( ) = cos, f () () =+ f () ( ) =- si, f () () = f () ( ) =- cos, f () () =- f (3) ( ) = si, f (3) () = f (4) ( ) = cos, f (4) () =+ je... Havaitaa, että parittomat derivaatat häviävät ja jäljelle jäävät vai parilliset. Sarjaksi tulee: f () f () f () f () cos = + + +!!! 3! (4) f () L= ! 4 b) Suppeemissätee selvittämiseksi tarvitaa sarja yleise termi. Yleie ollasta poikkeava derivaatta o selvästi () () () (3) 3 ( ) f ( ) = (- ) cos ja ( ) f () = (- ), joka avulla saadaa cos = å (-). = ( )! Suhdetesti kertoo, että suppeemissäde o ääretö. Ohje: kirjoita yleise termi itseisarvo muotoo ( ) ( )! ja laske suhdetestillä :lle suppeevuussäde. 73 Tarkastellaa mite Taylori sarja kirjoitetaa joki origosta poikkeava pistee a ympäristössä. Määritellää fuktio g site, että g( z) = f( z+ a) ja kehitetää se Taylori sarjaksi origo ympäristössä g( z) g () ( ) =å z. =! Tässä derivaatat ovat ( ) () ( ) ( ) ( ) g = f z+ a = f ( a ), z= jote ( ) f ( a) f( z a) g( z) z =! Ku tähä sijoitetaa z = - a, tulee + = =å. ( ) f ( a) f( ) = å ( -a)! = Esimerkki: kehitä fuktio f( ) = l Taylori sarjaksi pistee = ympäristössä. Ratkaisu: f () ( ) = l f ( ) = (-) - () f () () = () f () = (-)! 74

39 () f ( ) = (-) () - (3) 3 f ( ) = (- ) ( ) -... ( ) f ( ) = (-) ( -)! - - jote pistee = ympäristössä ( -) l = l + ( -) - +L! -( -) = å( -) = () f () = (-)! (3) f () = (-)! f ( ) - 75 () = (-) ( -)! Fuktio approksimoiti Kirjoitetaa fuktio f Taylori sarja muotoo ( ) () f () f( ) = f() + f () + L + + R ( ),! missä R o s. jääöstermi. O ilmeistä, että jääöstermi o sitä pieempi mitä pieempi o argumetti ja mitä suurempi o. Näi voimme approksimoida fuktioita katkaistuilla Taylori sarjoilla: ( ) () f () f( )» f() + f () + L +,! Approksimaatio o sitä tarkempi mitä suurempi o. Yleisemmässä tapauksessa k ( ) f ( a) f( ) = å ( -a). =! Katkaistu sarja o sitä tarkempi mitä lähempää argumetti o kehityspistettä a. Esimerkki: Kirjoita äkyvii fuktio ( ) cos( ) L = ò t dt Taylori sarja esimmäisiä termejä ja laske likiarvo L (,5) kolme desimaali tarkkuudella. Ratkaisu: Yleisesti pätee (katso esim. taulukoista) 4 6 cos( ) = ! 4! 6! jote 4 8 t t t L( ) cos( t ) dt æ ö = ò = òç dt! 4! 6! è ø Ku =,5, saadaa = ! 9 4! 3 6! L (,5) =,5 -,35 +,9 -..., josta kolme desimaali tarkuudella L (,5)»,496884»,

40 5 KOMPLEKSILUVUT 5. LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N :,, 3,... Määritelty - yhteelasku a+ bî N, ku a, bî N - kertolasku a bî N, ku a, bî N Kysymys: Löytyykö aia sellaie Î N, että a+ = b, ku a, bî N Vastaus: ei aia (esim. a= 5, b= ) Laajeetaa lukualuetta lisäämällä ja egatiiviset luvut Kokoaisluvut Z :...,-,-,,,,... Määritelty - yhteelasku a+ bî Z, ku a, bîz - väheyslasku a-bî Z, ku a, bîz - kertolasku a bî Z, ku a, bîz Kysymys: Oko olemassa sellaie Î Z, että a = b, ku a, bîz Vastaus: ei aia (esim. a= 3, b= ) Laajeetaa lukualuetta lisäämällä murtoluvut 77 a Ratioaaliluvut Q : b ; ab, Î Zb, ¹ Määritelty - yhteelasku a+ bî Q, ku a, bîq - väheyslasku a-bî Q, ku a, bîq - kertolasku a bî Q, ku a, bîq - jakolasku a b Î Q, ku a, bî Q ja b ¹ Kysymys: Oko olemassa sellaie Î Q, että = a, ku aî Q ja a > Vastaus: ei aia (esim. a = ) Laajeetaa lukualuetta lisäämällä irratioaaliluvut Reaaliluvut R Määritelty - yhteelasku a+ bî R, ku a, bî R - väheyslasku a-bî R, ku a, bî R - kertolasku a bî R, ku a, bî R - jakolasku a b Î R, ku a, bî R ja b ¹ Reaalilukuje joukosta löytyy myös vastaus kysymyksee paljoko o, ku = a ja a ³. Kysymyksee, oko olemassa sellaie Î R, että = a, ku a <, vastaus o edelleeki kielteie. Laajeetaa lukualuetta kompleksilukuihi C lisäämällä imagiääriluvut 78

41 5. KOMPLEKSILUKUJEN ESITYS 5.. Imagiääriyksikkö ja kompleksiluvut 79 Kompleksiluvu z = a + ib itseisarvo (ormi, modulus, suuruus) o z z zz a b = mod = * = +. 8 Määritelmä: i =-. Jos a o reaaliluku, ii ia o imagiääriluku, joka toteuttaa relaatio ( ia) = i a =- a =- a. Kompleksiluku z voidaa esittää esim. reaaliluvu ja imagiääriluvu summaa z = a + ib, missä a ja b ovat reaalilukuja. Tässä a o kompleksiluvu reaaliosa ja b imagiääriosa: Re z = a Im z = b Kompleksiluku o puhtaasti reaalie, jos Imz = ja puhtaasti kompleksie, jos Rez =. Kompleksiluvu z = a + ib liittoluku eli kompleksikojugaatti z * o z* = a - ib, ts. kojugoiissa vaihdetaa imagiääriosa merkki. Merkitöjä: - imagiääriyksikkö i o j isiööreillä - fysiika z * o z matematiikassa Esimerkki: Laske z, ku z = 3- i. Ratkaisu: Kompleksikojugaatti o z* = 3+ i, jote z = zz* = (3- )(3 i + ) i = (3)(3) + (3)( i) -( i)(3) -( i)( i) = - = + = Tästä z = 3. Tai suoraa laskemalla: 9 4i z a b = + = 3 + (- ) = Kompleksitaso Kompleksiluku z = a + ib voidaa esittää myös reaalilukuparia ( ab., ) Esitykset ovat ekvivaletteja, ku kirjoitetaa z= a+ ib= ( ab, ). Kompleksilukua z= + iy= ( y, ) edustaa piste kaksiulotteisessa s. kompleksitasossa

42 jossa vaaka-akseli (-akseli) o s. reaaliakseli ja pystyakseli (y-akseli) s. imagiääriakseli. Kuvassa yllä pistee ( y, ) etäisyys origosta o r = + y = z. Kompleksitaso pisteide esityksessä voidaa käyttää myös apakoordiaatteja: Napakoordiaattiesityksessä ( r, f ): - r o kompleksiluvu itseisarvo z = mod - f o luvu z vaihekulma eli argumetti z 8 Napakoordiaattiesityksessä kompleksiluvu z = + iy koordiaatit ( r, f ) ovat siis r = z = + y f = arcta( y/ ) ja käätäe = rcosf y= rsif ja esitys saa muodo z = + iy= r(cosf+ isi f) Vaihekulmaa f = arcta( y/ ) laskettaessa o oltava tarkkaa. Tässä arcustagettia o pidettävä moikäsitteiseä fuktioa ja se arvoista o valittava se, jolla cosf ja keskeää sekä sif ja y keskeää ovat samamerkkisiä. Esimerkki: Kirjoita kompleksiluvu - 3i apakoordiaattiesitys. Ratkaisu: Tässä itseisarvo o r = - = + - = + = 3i ( 3) 4 4 ja vaihekulmalle tulee - 3 p f = arcta = arcta( - 3) = + p. 3 O siis valittava joko f = p /3 tai f = 5 p /3. 8

43 Nyt > ja y <, mutta cos p /3< ja si p /3>, jote p /3 ei käy. Toie mahdollisuus cos5 p /3> ja si5 p /3< toteuttaa ehdo ja oikea valita o siis f = 5 p /3. Esitykseksi saadaa æ 5p 5p ö - 3i= 4ç cos + isi è 3 3 ø. 5.3 KOMPLEKSILUKUJEN ALGEBRA Mikä tahasa kompleksiluku voidaa saattaa muotoo + iy. Kompleksilukuje yhtee-, väheys-, kerto- ja jakolaskussa ormaalit algebra sääöt ovat voimassa. Lisäksi i =-. Seuraavissa esimerkeissä z = 3- i ja z =- + i. a) Summa z + z = 3- i+ (- + i) = (3- ) + (- + ) i= -i b) Erotus z - z = 3- i-( - + i) = (3 + ) + (- - ) i= 4-3i c) Tulo z z = (3- i)( - + i) =- 3+ 3i+ i-i = (- 3+ ) + (3+ ) i=- + 5i 83 c) Osamäärä z 3- i (3- i) (--i) -3-3i+ i+ i = = = z - + i (- + i) (--i) -i -5-i 5 = =- - i Osamäärää laskettaessa kaattaa aia aloittaa kertomalla ja jakamalla imittäjä kompleksikojugaatilla. Tässä esimerkissä laskettii * z z z = =Lje. * z z z Yhtälöide ratkaisemie Kompleksiluku + iy muodostuu reaaliosasta ja imagiaariosasta y. Tässä ja y ovat reaalilukuja. Kaksi kompleksilukua ovat yhtä suuret, jos iide reaaliosat ovat yhtäsuuret ja imagiääriosat ovat yhtäsuuret. Tästä seuraa, että yhtälö, joka sisältää kompleksilukuja, sisältää kaksi reaalilukuista yhtälöä. Esimerkki: Ratkaise ja y yhtälöstä ( + iy) = i. Ratkaisu: Kehitetää vase puoli muotoo ( + iy) = + iy + ( iy) = ( - y ) + iy, jolloi saadaa yhtälöpari ì - y = í. î y = 84

44 Esimmäisestä yhtälöstä y = saadaa y= tai y=-. Ku ämä sijoitetaa toisee yhtälöö, tulee = tai - =. Koska o reaalie, ei voi olla egatiivie ja jäljelle jää tulos = ja y=. Lopulta saadaa kaksi ratkaisua = y= ja = y= KOMPLEKSIFUNKTIOISTA Tarkastellaa fuktiota f() z, joka kuvaa kompleksiluvu z kompleksiluvuksi w, ts. w= f() z. Tässä z = + iy ja w= u+ iv, missä yleisesti u= uy (, ) ja v = v ( y, ). Esimerkiksi f( z) = z. Tässä siis w= z = ( + iy) = - y + iy eli reaaliosa o u = - y ja imagiääriosa v = y Polyomifuktiot Polyomifuktioide ja polyomie osamäärie arvot ovat helposti laskettavissa. Esimerkki: Laske fuktio ku z = - i. Ratkaisu: f( - i) = (-i) -(- i) + Esimerkki: Laske fuktio arvo, ku z = i-. Ratkaisu: f( z) = z - z+ arvo, = - i+ i - + i+ =-. f z z z ( ) = ( + ) /( -3) ( i- ) + - 4i+ 4 -i-5 6i-4 f( i- ) = = = i- -3 i-5 -- i 5 6 8i- = Ekspoettifuktio Kompleksifuktiot yleesä o tarkoituksemukaista määritellä site, että e oudattavat samoja lakeja kui vastaavat reaalifuktiot. Fuktioide täytyy myös palautua täsmällee vastaaviksi reaalifuktioiksi, ku 86

45 muuttuja z = + iy kirjoitetaa muotoo z=, eli ku asetetaa y =. Voidaa osoittaa (kompleksiaalyysi), että jos reaalifuktio f( ) o esitettävissä Taylori sarjaa, vastaava kompleksie fuktio saadaa yksikertaisesti korvaamalla reaalimuuttuja kompleksimuuttujalla z (s. aalyyttise jatkamise tekiikka). Esimerkiksi reaalise fuktio e Taylori sarja o e = + + +L!! ja se voidaa jatkaa kompleksitasoo kirjoittamalla z z z e = + + +L,!! missä z = + iy. Fuktiot ovat samoja reaaliakselilla (siis -akselilla), koska siellä imagiääriosa y =. Jatkettu epoettifuktio e z oudattaa edellee esimerkiksi relaatiota e = ee z+ z z z Euleri kaava z Tarkastellaa epoettifuktiota w= e, joka Taylori sarja o e z = + z+ z + z + z + z +L! 3! 4! 5! 87 Sijoitetaa tähä z muodossa z = i, jolle ( i) = i =- 3 ( i) = i( i) 3 =-i 4 ( i) 3 4 = i( i) =- i 4 = 5 ( i) 4 = i( i) 5 = i M Sijoitus johtaa tuloksee i e = + i- - i + + i +...! 3! 4! 5! æ ö = i...! 4! ç ! 5! è ø Toisaalta sii- ja kosiifuktioide Taylori sarjat ovat 3 5 si = ! 5! 4 cos = ! 4! jote saamme tulokse i e = cos + isi joka o s. Euleri kaava. Euleri kaava mahdollistaa kompleksiluvuille erittäi käyttökelpoise apakoordiaattiesitykse. Yleisesti i z = r(cosf+ isi f) = re f missä siis r = z ja f = arcta(re z) /(Im z). 88

46 Esimerkki: Kirjoita kompleksiluvu - 3i apakoordiaattiesitys ekspoettimuodossa. Ratkaisu: Sivu 8 esimerki mukaa apakoordiaattiesitys o æ 5p 5p ö - 3i= 4ç cos + isi è 3 3 ø, joka Euleri kaavalla saadaa muotoo i5 /3-3i= 4e p Kompleksilukuje potessit ja juuret Kompleksiluvu apakoordiaattiesitykse ja Euleri kaava avulla voimme laskea if z = ( re ) = r (cosf+ isi f). if = r e = r (cos f+ isi f) Tämä o s. De Moivre kaava kompleksilukuje potessii korotukselle. Joskus se kirjoitetaa muodossa (cosf+ isi f) = cosf+ isif. Esimerkki: Laske z 8, ku z = + i. Ratkaisu: Kompleksiluvulla z = + i o r = ja f = p /4, jote z = ip /4 e = (cos p /4+ isi p /4) 89 Potessii korotus: z = [ (cos p / 4 + isi p / 4)] 8 / 8 4 = (cosp + isi p) = 6 ( + i) = 6 tai suoraa 8 / ip /4 8 4 ip z = ( e ) = e = 6 = 6 Kompleksiluvu :e juure z / laskemisessa o oltava erityise tarkkaa, koska apakoordiaattiesitykse re f apakulma f ei ole yksikäsitteie. Jos f i o luvu z apakulma, ii sitä ovat myös kulmat f+ kp, k =, ±, ±, K Esimerkiksi = = (cos p + si p) i( f+ k p) if ikp if e e e e k i k if if = e ( + i) = e. Kompleksiluku z o siis yleisessä muodossaa =, k =, ±, ± K i ik z re f+ p ja tämä luvu :s juuri / z o / / i / i k/ z = r e f + p / f (cos k f = r æ ç + p ö + isi æ ç + p k ö ) è ø è ø, k=,, K- Tässä o huomattava, että kokoaisluvu k arvot päättyvät arvoo -. Tämä siksi, että seuraavalla arvolla 9

47 (k = ), suhde k/ saavuttaa arvo yksi ja äi muodostuva juuri o sama kui esimmäisellä arvolla ( k = ) saatava juuri. Tästä eteepäi juurisarja toistuu eikä uusia juuria eää syy. Peräkkäiset k: arvot voidaa valita lähtie mielivaltaisesta arvosta, kuha iitä o kpl ja e ovat peräkkäisiä. i Siis: Kompleksiluvulla z = re f, ku r ¹, o täsmällee kpl erisuurta :ttä juurta. Esimerkki: Määritä luvu - 8 kolmaet juuret ja esitä e kompleksitasossa. Ratkaisu: Tässä tarkastelussa luku - 8 o kompleksiluku ja kirjoitetaa se muodossa z = + iy=- 8+ i. Napakoordiaattiesitystä varte lasketaa r = + y = 8 + = 8, f = arcta( y/ ) = arcta(/8) = p. (Tässä f = ei käy) 9 /3 /3 i( p /3+ k p /3) z = 8 e æp + kp ö æp + kp ö, = (cosç + isi ç ) è 3 ø è 3 ø missä yt k =,,. Juuriksi saadaa: k =, k =, k =, /3 z = p + i p = + i z /3 [cos( /3) si( /3)) 3 = [cos( p) + isi( p)) =- /3 z = p + i p = -i Kompleksitasolle juuret [cos(5 / 3) si(5 / 3)) 3 /3 + i 3 = e ip, - = e ip ja - i 3= sijoittuvat seuraavasti: i5 /3 e p 9 Tulee ( ) =- 8= 8 i + k, k =,,, z e p p ± ± K Tiedetää, että kolmasia juuria o täsmällee kolme kappaletta, jote kirjoitetaa

48 5.4.5 Trigoometriset fuktiot Euleri kaava mukaa i e = cos + isi -i e = cos -isi Näistä reaalimuuttujaisille sii- ja kosii-fuktioille saadaa erittäi käyttökelpoiset esitykset: i i cos ( e e - i -i = + ) ja si = ( e - e ). i Hyperboliset kosii- ja siifuktiot määritellää: cosh ( e e - = + ) ja sih = ( e -e - ) sih ja hyperbolie tagetti o tah =. cosh Vallitsee yhteys: cosh( if) = cosf sih( if) = isif tah( if) = itaf 93 jolloi esimerkiksi ta z= si z/ cos z ym. yhtälöt pätevät samoi kui reaalimuuttujaisille fuktioille. Esimerkki: Osoita, että si z+ cos z =. Ratkaisu: si iz -iz iz -iz æe -e ö e - + e z = ç = i è ø -4 iz -iz iz -iz æe + e ö e + + e cos z = ç = è ø 4 si z+ cos z = + = 4 4 Esimerkki: Laske cos() i : likiarvo. Ratkaisu: ii ii cos( i) = ( e + e - ) = ( e - + e ) = æ ç + e ö èe ø =, Huom! Etsi laskimestasi arvo e =, Sii- ja kosiifuktiot kompleksimuuttujalle z o tapaa määritella ylläesitety perusteella muodossa: iz -iz iz iz si z = ( e - e ) ja cos z = ( e + e - ) i

49 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ 6. JOHDANTO JA KÄSITTEITÄ Aloitetaa esimerkillä: Tarkastellaa korkeudella h= ht () putoavaa kappaletta, joka massa o m (ks. kuva). Newtoi II: lai (ma missä Yhtälö dh dt dh m dt = F) mukaa =- mg, o kiihtyvyys ja dh - mg gravitatiovoima. =-g dt o korkeutta h hallitseva s. differetiaaliyhtälö ts. siiä esiityy tutemattoma fuktio (siis h:) derivaattoja. Yhtälö ratkaisemie o h: etsimistä. Tässä esimerkissä se o helppoa: Itegroidaa molemmat puolet t: suhtee: dh Þ =- gt+ c dt ja edellee itegroimalla saadaa tulos 95 h=- gt + ct + c, missä c ja c ovat itegroimisvakioita. Termiologiaa: Alkuehdot: Määrittävät itegroimisvakioide arvot. Esimerkissä edellä tieto kappalee korkeudesta ja opeudesta ajahetkellä t = riittää Muuttujat: (h ja t) - riippumattomat (vapaat): t - riippuvat: h Differetiaaliyhtälö: (tavallie) - vai yksi riippumato muuttuja (t) Osittaisdifferetiaaliyhtälö: - useita riippumattomia muuttujia Esimerkiksi d d + a + k = dt dt o tavallie differetiaaliyhtälö, jossa riippuva muuttuja riippuu vai yhdestä riippumattomasta muuttujasta t. 96

50 Esimerkiksi u u + = -3y y o osittaisdifferetiaaliyhtälö, jossa riippuva muuttuja u riippuu riippumattomista muuttujista ja y. Kertaluku: - o korkei derivaattoje kertaluku Esimerkiksi differetiaaliyhtälö d d + a + k = dt dt kertaluku o ja ii o myös yhtälö dh =-g dt Lieaarie differetiaaliyhtälö - d y d y dy - L - a( ) + a ( ) + + a ( ) + a ( ) y = F( ) d d d - riippuva muuttuja ja se derivaatat esiityvät korkeitaa esimmäisessä potessissa - jos yhtälö ei ole lieaarie, se o s. epälieaarie differetiaaliyhtälö 97 Esimerkiksi d y y d + = o lieaarie, mutta d y si y d + = o epälieaarie. Jälkimmäise yhtälö epälieaarisuus paljastuu esimerkiksi kehittämällä sii sarjaksi 3 y si y = y ! Kertaluvu tavallie differetiaaliyhtälö voidaa aia kirjoittaa muodossa æ dy d yö Fç y,,, K, d d =. è ø Jos yhtälö dy d y F æ ç y,,, K, ö = d d è ø toteutuu, ku siihe kirjoitetaa y= f( ), missä Î välii I, ii f ( ) o yhtälö (eksplisiittie) ratkaisu välillä I. - Esimerkki: Osoita, että f( ) = ce + ce, missä c ja c ovat vakioita, o yhtälö y'' - y' - y= ratkaisu. 4 98

51 Ratkaisu: Derivaatat f'( ) ce ce f ''( ) ce 4ce sijoitettua ataa - =- + ja - = + ce + 4ce + ce -ce -ce - ce = eli yhtälö toteutuu. Siis f( ) = ce + ce o ratkaisu välillä (-., ) Esimerkki: osoita, että differetiaaliyhtälö y dy y ( + e ) + + ye = d ratkaisu määräytyy yhtälöstä y + y+ e = Ratkaisu: y Derivoidaa yhtälö f(, y) = + y+ e = implisiittisesti: f y f = + ye, = y + e y joide avulla f y dy + ye =- =-, f y d y + e josta y dy y ( + e ) =- ( + ye ). d 99 Ku tämä sijoitetaa alkuperäisee differetiaaliyhtälöö, havaitaa, että se toteutuu. y Saotaa, että yhtälö + y+ e = ataa ratkaisu implisiittisesti. Alkuarvoprobleema: - :e kertaluvu differetiaaliyhtälö ratkaisuu liittyy aia kpl mielivaltaisia vakioita (c) - vakiot määräytyvät, jos tuetaa ratkaisufuktio ja se - esimmäise derivaata arvot. Esimerkki: Määritä yhtälö y'' - y' - y= se ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdot y () = ja y '() =-3 Ratkaisu: f( ) ce ce f'( ) ce ce - = + (katso edeltä) - =- + Nyt f () = c+ c = ja äistä c = 7/3 f '() =- c+ c =-3 c =-/3 jote 7 - f( ) = e - e 3 3

52 6. ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖT 6.. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Esimmäise kertaluvu differetiaaliyhtälö voidaa kirjoittaa muodossa dy f( y, ) d = ja se yleie ratkaisu o fuktio y = f( ), joka sisältää yhde mielivaltaise vakio C. Tietyllä C: arvolla ratkaisu o siis y-taso käyrä. Esimerkiksi yhtälö dy y d =- 5 ratkaisu o y = Ce - /5 ja oheisessa kuvassa o piirretty ratkaisukäyriä eri C: arvoilla. Alkuarvoprobleemassa vakio C arvo määräytyy aetusta alkuarvosta. Esimerkiksi jos edellisessä esimerkissä vaaditaa, että ratkaisu pitää toteuttaa ehto y () =, ratkaisuksi valikoituu käyrä, joka kulkee pistee (, ) kautta. Ns. olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslausee perusteella (ei todisteta yt) sillä alueella missä ratkaisuja löytyy jokaise pistee kautta kulkee joki ratkaisukäyrä ja ratkaisut ovat yksikäsitteisiä. Yksikäsitteisyys tarkoittaa sitä, että jos ratkaisu löydetää, ii ei tarvitse etsiä muita ratkaisuja, koska iitä ei ole olemassa. Kuki pistee (, y ) kautta kulkee täsmällee yksi ratkaisu ja tästä johtue ratkaisuje kuvaajat eivät koskaa leikkaa toisiaa. Esimerkiksi yhtälö dy = ratkaisu o - y = C, d y eli joukko hyperbelejä, jossa vakiota C säätämällä mikä tahasa piste saadaa ratkaisuksi ja eri ratkaisukäyrät eivät leikkaa toisiaa. 6.. Separoituvat yhtälöt Yhtälö o separoituva (muuttujat erotettavissa), jos dy f( y, ) qpy ( ) ( ) d = =. Tällöi imittäi dy = q( ) d, py ( ) joka ratkeaa itegroimalla

53 ò dy = q( ) d p( y) ò Esimerkki: Ratkaise differetiaaliyhtälö dy - 5 = d y Ratkaisu: Erotetaa muuttujat y dy = ( -5) d ja itegroidaa y dy = ( -5) d ò ò, josta 3 y = - 5+ C 3 ja edellee /3 æ3 ö y= ç - 5+ K, missä K = 3C è ø Esimerkki: Ratkaise dy y d = alkuarvolla y( - ) =. Ratkaisu: Erotetaa muuttujat ja itegroidaa ò dy = d y- ò, + 3 josta 3 { } l y- = l C = l + 3 e C. Saadaa 3 C C y- = + e = C + 3, missä C = e. Niipä y- =± C( + 3) = C ( + 3), missä C =± C ja lopulta y= + C ( + 3) Alkuarvo y( - ) = + C( - + 3) = + C = Þ C =- Näi siis lopullie vastaus o y= - ( + 3) =- - =- ( + ) 6..3 Eksaktit yhtälöt Esimmäise kertaluvu differetiaaliyhtälö dy f( y, ) d = voidaa aia kirjoittaa muodossa M (, y) d + N(, y) dy =. 4

54 3 Esimerkiksi: = d - saadaa helposti muotoo tai myös dy - y (3 - y) d + (- ) dy = æ y-3 ö ç d + dy = -. è ø Eksaktisuus Muoto M (, y) d + N(, y) dy o eksakti, jos o olemassa fuktio Fy (, ) site, että Fy (, ) = My (, ) ja Fy (, ) = Ny (, ). y Tällöi myös differetiaaliyhtälö M (, y) d + N(, y) dy = saotaa oleva eksakti. Ratkaisemie Fuktio Fy (, ) kokoaisdifferetiaali o F F df = d + dy = M (, y) d + N(, y) dy =, y joka perusteella ratkaisu voidaa kirjoittaa muodossa F(, y) = C (vakio). Tämä määrää implisiittisesti muuttuja y riippuvuude :stä. 5 Testi eksaktisuudelle Eksaktille yhtälölle M (, y) d + N(, y) dy = pätee M æ F ö æ F ö N = ç = = y y ç y, è ø è ø jote eksaktisuude voi helposti tarkastaa testaamalla oko My (, ) Ny (, ) =. y Esimerkki: Osoita, että yhtälö ( y - 3 ) d + ( - ) dy = o eksakti ja etsi se ratkaisut. Ratkaisu: Tässä M = ( y- 3 ) ja N = ( - ) ja pätee M N = ja myös =. y Yhtälö o eksakti. Ratkaisu löydetää, ku etsitää fuktio Fy. (, ) Aloitetaa kirjoittamalla F = M = y- 3, josta itegroimalla : suhtee saadaa 3 F y g y = - + ( ). Tässä ( ) g y o itegroimisvakio, joka yt o mielivaltaie y: fuktio. Tästä tuloksesta voidaa laskea derivaatta y: suhtee: 6

55 F d = + g( y), y dy joka toisaalta o N = -. Saadaa siis tulos d g ( y ) =- eli g( y) =- y+ vakio. dy Lopulta siis 3 F(, y) = y- - y= C. Tämä o alkuperäise differetiaaliyhtälö implisiittie ratkaisu. Eksakti yhtälö voidaa ratkaista myös aloittamalla itegroiti derivaatasta F = N. y Esimerkki: Ratkaise ( + e y + e y) d + ( e + ) dy =. Ratkaisu: Tässä M= + ey+ ey N = e + M N ja koska = e + e =, yhtälö o eksakti. y Aluksi kirjoitetaa F = N, y josta itegroidaa 7 ò Fy (, ) = Ndy= ey + y+ h ( ) Derivoimalla tämä saadaa F = ey + ey + h '( ) = M, jote h'( ) =. Sitte itegroidaa h( ) = òh'( ) d= + vakio ja kirjoitetaa ratkaisu F(, y) = e y+ y+ = C Lieaariset yhtälöt Esimmäise kertaluvu lieaarie yhtälö o dy a( ) a( y ) b ( ) d + =, joka s. stadardimuoto o dy Py ( ) Q ( ) d + =. Yhtälö ratkaistaa määrittelemällä esi fuktio m ( ) : m ( ) = ò P( ) d eli dm( ) = P ( ). d 8

56 Jos yt y= y ( ) o yhtälö ratkaisu, ii voidaa kirjoittaa d m( ) m( ) dy( ) m( ) dm( ) ( e y ( )) = e + e y ( ) d d d m( ) ædy ( ) ö m( ) = e ç + Py ( ) ( ) = e Q ( ). è d ø Tästä itegroimalla m( ) m( ) e y( ) = ò e Q( ) d+ C, mikä lopulta johtaa ratkaisukaavaa m( ) y( ) = ( )( e Q( ) d+ C m ) e ò. ( ) Tässä e m o s. itegroiva tekijä, koska jos alkuperäie stadardimuotoie yhtälö kerrotaa sillä, ii vasemmasta puolesta tulee ( ) dy ( ) e m æ ç + Py ( ) ( ) ö è d ø, m( ) joka o e y ( ): derivaatta. Esimerkki: Etsi differetiaaliyhtälö dy y - = cos d yleie ratkaisu. Ratkaisu: Esi o tuistettava yhtälö tyyppi. Selvästi yhtälö o. kl: lieaarie, missä 9 a( ) =, a( ) =- ja b( ) = cos. Stadardimuoto saadaa, ku yhtälö kerrotaa :llä (joka o ¹ ): dy - y= cos. d Tästä poimitaa P ( ) =- ja Q( ) = cos. Seuraavaksi muodostetaa m( ) - m( ) = òp( ) d = ò - d =- l = l. Itegroivaksi tekijäksi saadaa m( ) e - = ja lopuksi itegroidaa tulos m( ) æ ö y= ( )( e Q( ) d C) cos d C m e ò + = ç + èò ø ( ) ò = cos d+ C = (si + C) = si + C. Tarkistus: y = si + C ja y' = si + cos + C sijoitettua alkuperäisee yhtälöö ataa si + cos + C -si - C = cos, joka o sama kui oikea puoli.

57 6..5 Homogeeie. kl: yhtälö Ku yhtälö M (, y) d + N (, y) dy = ei ole - separoituva - eksakti - lieaarie ii muuttuja vaihto saattaa auttaa. Esimerkkiä. kl: s. homogeeie yhtälö dy f(, y) G( ) d = = v, missä y v =. Testi homogeeisyydelle dy Yhtälö = f( y, ) o homogeeie, jos d f ( t, ty) = f (, y) kaikilla t ¹ Ratkaisemie y Sijoitetaa v =, josta y =v ja dy d v = v +. d d Alkuperäie yhtälö saa muodo dv v+ = G( v ), d joka separoituu ò dv = d G( v) -v ò Esimerkki: Ratkaise differetiaaliyhtälö ( - y) d + dy =. Ratkaisu: Oko yhtälö separoituva? dy y- Ei, koska = ¹ qpy ( ) ( ) d Oko yhtälö eksakti? Ei, koska M(, y) = - y ja N(, y) = ja M N =- ¹ = y Oko yhtälö. kl: lieaarie? Kyllä, koska se saadaa muotoo dy y d - =-, jossa a ( ) =, a ( ) =- ja b ( ) =-. Ratkaistaa: Kirjoitetaa esi stadardimuoto dy - y =-, josta P ( ) =- ja Q ( ) =-. d Sitte itegroiva tekijä: m( ) = P( ) d = - d = l Lopuksi itegroidaa ratkaisu: - ò ò ja e m( ) - =.

58 ( m( ) ( ) ) æ ö y= Q d C d C m( ) ò + = ç ò- + è ø Ku > æ ö æ ö ç - d+ C = ç - d+ C = - l + C è ø è ø Ku < æ ö æ ö ç - d+ C =- ç d+ C = -l -C è ø è ø Lopputulos voidaa kirjoittaa muodossa y = ( - l + C), missä C =± C. ( ) ò ò. ( ) ò ò. Toieki tapa o, jos kysytää: Oko yhtälö homogeeie? Kyllä o, koska se voidaa kirjoittaa muodossa dy y = -. d Ratkaistaa sijoittamalla v = y/ Þ y = v, jolloi dv v+ = v- Þ dv =- d ja itegroimalla d òdv = ò- dþ v =- l + C ja ku palautetaa v = y/ tulee ( l ) y = - + C 3 Esimerkki: Ratkaise differetiaaliyhtälö ( y + y + ) d - dy =. Ratkaisu: Selvästi yhtälö ei ole separoituva. Oko se eksakti? Kokeillaa: M = y+ y + ja N =- ja M N = + y ¹ =-, y ts. ei ole eksakti. Se ei myöskää ole. kl: lieaarie, mutta homogeeie se o, sillä dy y y y = + + æ ç ö = f æ ç ö d è ø è ø. Ratkaistaa sijoittamalla v = y/ Þ y = v, jolloi dv v+ = + v+ v Þ d ò dv = d + v ò josta edellee arctav = l + C ja y v = = ta(l + C) ja lopulta y = ta(l + C) 4

59 6.3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET VAKIOKERTOIMISET YHTÄLÖT 6.3. Muoto Toise kertaluvu lieaarise yhtälö yleie muoto o (ks. kappale 6.) d y dy a( ) + a ( ) + a( y ) = g ( ). d d Jos kertoimet a, a ja a ovat vakioita, yhtälö o s. vakiokertoimie d y dy a + a + ay = g ( ). d d Tähä liittyvä s. homogeeie yhtälö o d y dy a + a + ay=. d d Jos yhtälössä g¹ ( ), ii yhtälöä o ei-homogeeie tai täydellie Vakiokertoimiset homogeeiset yhtälöt Toise kertaluvu lieaarisella homogeeisella differetiaaliyhtälöllä o täsmällee kaksi lieaarisesti riippumatota ratkaisua. Jos siis y ja y ovat kaksi 5 lieaarisesti riippumatota ratkaisua, ii yhtälö jokaie ratkaisu o muotoa cy+ cy, missä c ja c ovat mielivaltaisia vakioita. Yhtälö ay '' + by ' + cy =, missä a, b ja c ovat vakioita, ratkaistaa yritteellä y r = e, missä r o vakio. O siis r y= e r y' = re y'' = re ja ku ämä sijoitetaa alkuperäisee yhtälöö, tulee r r r r ar e bre ce + + =, r missä aia e >. Ku e r jaetaa pois, saadaa s. karakteristie yhtälö ar br c + + =. Karakteristise yhtälö ratkaisut ovat r = a b b 4ac 6

60 r -b - b -4ac =. a r r Fuktiot e ja e ratkaisevat site aetu differetiaaliyhtälö. Riippue karakteristise yhtälö juurista, yhtälö yleiselle ratkaisulle saadaa kolme eri tapausta:. Reaaliset juuret r ¹ r. Kompleksiset juuret r y( ) = ce + ce r r = a + ib ja r = a -ib r r a a y( ) = Ae + Be = c e cos b + c e si b 3. Yksi reaalie juuri r = r = r y( ) = c e + c e r r Näissä c, c, A ja B ovat vakioita. Esimerkki: Ratkaise differetiaaliyhtälö y'' + 5 y' - 6y=. Ratkaisu: Yhtälö o vakiokertoimie homogeeie toise kertaluvu lieaarie differetiaaliyhtälö. Ka- 7 rakteristie yhtälö o r + 5r- 6= ja se ratkaisut ovat - 5 ± ± 7 ì = r r = = =í. î - 6 = r Kohta. pätee, jote 6 y( ) = ce + ce - Esimerkki: Ratkaise alkuarvotehtävä y'' + y' - y=, ku y () = ja y '() =- Ratkaisu: Karakteristie yhtälö o r + r- =, josta - ± ± ì- ï + = r r = = =í. ïî - - = r Yleie ratkaisu o (-+ ) (-- ) y( ) = ce + ce ja lasketaa alkuarvoa varte myös derivaatta y'( ) = (- + ) ce + (-- ) ce. Alkuarvoista saadaa y() = c + c = (-+ ) (-- ) y'() = (- + ) c + (-- ) c =- joide ratkaisuia saadaa 8

61 - c = =- ja c = Alkuarvot toteuttava ratkaisu o site (-+ ) (-- ) y( ) =- e + e 4 4 Esimerkki: Osoita, että ( ) ( ) ce a cos c e a si Ae a + ib Be a - b + b = + ib Ratkaisu: a c a ib - ib c ( a+ ib) ( a-ib) ce cosb= e ( e + e ) = ( e + e ) a c a ib - ib c ( a+ ib) ( a-ib) ce si b= e ( e - e ) = ( e -e ) i i ja äide summaksi tulee æc cö ( a+ ib) æc c ö ( a-ib) ( a+ b) ( a- b) ç + e + ç - e = Ae + Be è iø è iø ku valitaa æc cö A = ç + è i ø ja æc cö B = ç - è i ø. Esimerkki: Etsi differetiaaliyhtälö y'' + y' + 4y= yleie ratkaisu. Ratkaisu: Karakteristie yhtälö o r + r+ 4=, 9 i i josta - ± ± i 3 r = = =- ± i 3. Kohda. meettely pätee. Tässä a =- ja b = 3. Yleie ratkaisu o - y( ) = ce cos - 3+ c e si 3. Esimerkki: Ratkaise y'' + y= ja tarkista, että tulos toteuttaa alkuperäise yhtälö. Ratkaisu: Karakteristise yhtälö juuret: + = Þ =± - =±, ts. a = ja b =. r r i Ratkaisuksi tulee: y( ) = ccos + csi. Tarkistus: y'( ) =- c si + c cos ja y''( ) =-c cos - c si =-y Nähdää suoraa, että yhtälö toteutuu. r r Esimerkki: Osoita, että y( ) = ce + ce o toise kertaluvu vakiokertoimise lieaarise differetiaaliyhtälö ratkaisu, jos karakterisella yhtälöllä o vai yksi juuri. Ratkaisu: Laskuharjoitustehtävä.

62 Esimerkki: Ratkaise yhtälö y'' + 4 y' + 4y=. Ratkaisu: Karakteristie yhtälö o r + 4r+ 4=, joka ratkaisu o - 4 ± 6-6 r = =- = r. Ratkaisu o - - y( ) = c e + c e. Täydellise yhtälö yksittäisratkaisu etsimisessä voidaa käyttää esimerkiksi s. määräämättömie kertoimie meetelmää. Meetelmässä tehdää tutemattomia kertoimia vaille oleva valistuut arvaus ratkaisu muodosta ja sijoitetaa se takaisi täydellisee yhtälöö, jolloi tutemattomat kertoimet määräytyvät. Valistueita arvauksia erilaisilla epähomogeeisyystermeillä g ( ) o esitetty taulukossa: Vakiokertoimiset täydelliset yhtälöt Täydellise toise kertaluvu lieaarise yhtälö ay '' + by ' + cy = g( ) ratkaisu o muotoa y( ) = y ( ) + y ( ), p missä yh( ) = cy( ) + cy( ) o vastaava homogeeise yhtälö ay '' + by ' + cy = ratkaisu ja yp( ) o joki täydellise yhtälö ay '' + by ' + cy = g( ) mikä tahasa yksittäie ratkaisu, joka ei kuitekaa ole homogeeise yhtälö ratkaisu. h Ja vielä: Jos yriteratkaisussa yp( ) joki termi ratkaisee vastaava homogeeise yhtälö, valitaa uudeksi

63 yritteeksi y ( ). Jos tämäki ratkaisee homogeeise p yhtälö, ii vali taa yp( ), je... Esimerkki: Ratkaise yhtälö y'' - y= -. Ratkaisu: Esi homogeeie y'' - y=. Karakteristise yhtälö juuret ovat r - = Þ r =±, jote homogeeise osa ratkaisu o y( ) = ce + ce -. h Epähomogeeisuustermi o g( ) = -, joka o toise astee polyomi. Valitaa siis yksittäisratkaisu yritteeksi toise astee polyomi yp( ) = A + A + A, josta yp '( ) = A+ A yp ''( ) = A jotka sijoitettua takaisi täydellisee yhtälöö ataa A -A -A - A = -, josta poimimme A =, A = ja A- A = eli A =. yksittäisratkaisu o siis yp( ) = ja yleiseksi ratkaisuksi kirjoitamme summa 3 y( ) = yp( ) + yh( ) = + ce + ce - Esimerkki: Ratkaise yhtälö y'' - y' - y= si. Ratkaisu: Esi homogeeie y'' - y' - y=. Karakteristie yhtälö 5 ± + 4 ì + = r r -r- = Þ r = =í, 5 î - = r r r jote yh( ) = ce + ce. Epähomogeeisyystermi o g( ) = si = cos( ) + si( ), jote yritteeksi valitaa yp ( ) = Acos + Bsi, josta yp '( ) =- Asi + Bcos yp ''( ) =-Acos -Bsi ja takaisisijoitus ataa -Acos - Bsi + Asi -Bcos -Acos - Bsi = si josta ì-a- B= ìb=-/5 í Þí. îa- B= îa= /5 O siis yp( ) = cos - si ja 5 5 yleie ratkaisu o y( ) = yp( ) + yh( ) 4

64 Esimerkki: Ratkaise differetiaaliyhtälö 4 y'' - y' - y= e. 5 7 VEKTORIT JA DIFFERENTIAALILASKENTA 6 Ratkaisu: Homogeeie yhtälö esi. Karakteristise yhtälö juuret: ± + 48 ì 4 = r r -r- = Þ r = =í î - 3 = r 4 3 jote yh( ) = ce + ce - 4 Epähomogeeisuustermi o g( ) = e, joka johtaa 4 yrit-teesee Ae, joka kuiteki ratkaisee jo homogeeise yhtälö. Kokeilla se vuoksi yritettä 4 y ( ) = Ae, josta p y '( ) = Ae + 4Ae p y p ''( ) = 4Ae + 4Ae + 6Ae ja takaisisijoituksella Ae + 4Ae + 6Ae 4 4 -Ae -4Ae Ae = e josta 7A= Þ A= /7, jolloi 4 y p( ) = e 7 ja täydellise yhtälö yleie ratkaisu o y( ) = e + ce + ce YHDEN MUUTTUJAN VEKTORIFUNKTIOT Esim. Liikkuva kappalee radiusvektori r() t = t () î+ yt () ˆj+ zt () kˆ o aja fuktio, missä kompoetit, y ja z riippuvat yhdestä muuttujasta, ajasta t. 7.. Vektorifuktio derivaatta Vektorifuktio derivoidaa derivoimalla se kompoetit. Esimerkiksi paikkavektori r( t) = si tî+ costˆj+ kˆ opeus v() t = r& () t = costî-sitˆj vauhti v( t) = v( t) = cos t+ si t = kiihtyvyys a() t = v& () t = && r() t =-sitî-costˆj ja se arvo a t t t t () = a() = si + cos =

65 Derivaata omiaisuuksia Yleesä "järkevästi" modifioidut skalaarifuktioide sääöt soveltuvat myös vektoreille. Esimerkiksi, jos A ( u) ja B ( u) ovat yhde muuttuja (u) vektorifuktioita ja f( u) u: derivoituva skalaarifuktio, ii tuloille pätee: d ( ) d A d B A B = B+ A du du du d ( ) d A d B A B = B+ A du du du d df da ( fa) = A+ f du du du Edellee, jos A( u) = A ( u) î+ A ( u) ˆj+ A ( u) k, ˆ y z se differetiaali o da æda da ˆ y ˆ daz d du ˆ ö A= = du du ç i+ j+ k du du du. è ø Esimerkiksi paikkavektori r( t) = sitî + costˆj+ kˆ differetiaali o dr() t dr( t) = dt = (cost î-si t ˆj ) dt. dt Avaruuskäyrät Esim. Liikkuva kappalee radiusvektori o r() t = t () î+ yt () ˆj+ zt () k. ˆ Ku aika eteee, vektori kärki piirtää avaruutee käyrä. Tagetti Derivaatta dr / dt o käyrä tageti suutaie ja sitä vastaava yksikkövektori (tagettivektori) o d d T = r / r. dt dt Koska derivaatta dr / dt o yksikkötageti suutaie, ii myös differetiaali d dr = r dt dt o yksikkötageti suutaie ja voimme kirjoittaa dr= Tdr = T ds, missä ds= dr o differetiaali pituus (hyvi lyhyt matka pitki käyrää) ds d dy dz = ( ) + ( ) + ( ). Yksikkötagetti voidaa siis kirjoittaa myös d T = r. ds 8

66 Kaarevuussäde ja pääormaali Yksikkötagetti osoittaa rada tageti suutaa ja yksikkötageti muutos, ku radalla edetää, kertoo rada kaareutumisesta. Derivoidaa siis edellee dt d r = ds ds ja merkitää äi sytyee vektori suutaista yksikkövektoria N:llä. Voidaa kirjoittaa dt d N =, missä k = T. k ds ds Derivaataksi tulee dt = kn, ds missä suuretta k saotaa käyrä kaarevuudeksi ja se kääteisarvoa r = k käyrä kaarevuussäteeksi. Vektori N suuta saadaa esimerkiksi laskemalla pistetulo TT = derivaatta: d ( ) d T d T d T T T = T+ T = T = kt N =, ds ds ds ds josta ähdää, että N o kohtisuorassa tagettivektoria T vastaa ja site myös kohtisuorassa itse käyrää vastaa. Vektori N o s. pääormaali. 9 Käytäössä avaruuskäyrä aalyysi eteee seuraava resepti mukaa:. Määritä käyrä yksikkötagetti d d T = r / r. dt dt. Laske ketjusääöllä dt dtds = dt ds dt derivaataksi d T d T / ds d T / d r = =. ds dt dt dt dt 3. Laske kaarevuus ja kaarevuussäde d k = T ja r = ds k ja lopuksi pääormaali dt N =. k ds Esimerkki: Kappale eteee aja t fuktioa pitki käyrää (, y, z) = (3cos t,3si t,4 t). Laske yksikkötagetti, kaarevuussäde ja pääormaali ajahetkellä t = p. Ratkaisu: Käyrä r( t) = 3costˆi+ 3sitˆj+ 4tkˆ eräs tagetti o 3

67 dr 3sitˆ 3costˆ 4ˆ dt =- i + j + k, joka pituus o dr 9si t 9cos t dt = + + = + = Yksikkötagetti o site T = d r d / r =- sitˆi+ costˆj+ k, ˆ dt dt Seuraavaksi lasketaa derivaatta dt 3 ˆ 3 cost sitˆ dt =- i 5 - j 5 josta edellee saadaa derivaatta dt dt dr 3 ˆ 3 = / =- costi- sitˆj ds dt dt 5 5 Kaarevuudeksi tulee dt 3 3 k = = cos t+ si t = ds 5 5 ja kaarevuussäteeksi 5 r = = k 3 Käyrä pääormaali o = dt N costˆ si tˆ k ds =- i - j. Ajahetkellä t = p o site 3ˆ 4 ˆ 5 T= j+ k, r = ja N=-ˆi Käyräviivaiset suorakulmaiset koordiaatistot Muuttujat u, v ja w kelpaavat koordiaateiksi, jos o olemassa yksikäsitteiset kuvaukset u= uyz (,, ) v = v( yz,, ) w= wyz (,, ) ja myös kääteiskuvaukset = ( u, v, w) y = y( u, v, w) z = z( u, v, w) ovat olemassa ja yksikäsitteisiä. Tällöi esim. paikkavektori r voidaa ilmaista u:, v : ja w: avulla r = r( u, v, w). Koordiaattikäyrä (-viiva, -akseli) o sellaie avaruude käyrä, jolla yksi koordiaateista muuttuu toiste säilyessä vakioa. 3

68 Koordiaattikäyrie yhtälöt: u : ru = r( u, v, w), missä v ja w vakioita v : rv = r( u, v, w), missä u ja w vakioita w : rw = r( u, v, w), missä u ja v vakioita Yksikkövektorit (katavektorit) e û, ê v, eˆw Pisteessä ( u, v, w) yksikkövektorit ovat koordiaattikäyrie tagettie suutaiset yksikkövektorit: r eˆ u = Tu / T u, missä Tu = ( u, v, w) u eˆ v = Tv / T, missä r v T v = ( u, v, w) v r eˆ w = Tw/ T w, missä Tw = ( u, v, w) w Suorakulmaie (ortogoaalie) koordiaatisto: e û, ê v ja e ˆw ovat kohtisuorassa toisiaa vastaa jokaisessa avaruude pisteessä. Huom! ( u, v, w) -koordiaatisto yksikkövektorit riippuvat paikasta (toisi kui karteesise koordiaatisto î, ĵ ja ˆk) 33 NAPAKOORDINAATISTO - kaksiulotteie - kaksi koordiaattia r ja f - määrittely-yhtälöt ì= rcosf í îy = rsif - koordiaattikäyrät: r ( cos ) ˆ ( si ) ˆ r = r f i+ r f j, missä f o vakio (origo kautta kulkevia suoria, s. r-käyriä) ja r ( rcos ) ˆ ( rsi ) ˆ f = f i+ f j, missä r o vakio (origokeskisiä ympyröitä, s. f -käyriä) - tagetit d r Tr = r = (cos f) î+ (si f) ˆj, T dr r = 34

69 d f Tf = r = (- rsi f) ˆi+ ( rcos f) ˆj, T r df f = - yksikkövektorit e ˆ ˆ ˆr = (cos f) i+ (si f) j e = (- si f) ˆi+ (cos f) ˆj ˆf - suorakulmaie, sillä eˆr eˆf =- cosfsif+ sifcosf = 35 - kiihtyvyys dv a= = && reˆr + r& eˆ& r + r& f& eˆf + r&& feˆf + rf& eˆ& f dt pätee e & ˆ ( si ) ˆ (cos ) ˆ r = f& é ë - f i + f j ù û= f& e ˆf e& ˆ ˆ ˆf = f& é ë( - cos f) i+ (- si f) jù û=-f & eˆr joide avulla saadaa a= ( r&& - rf& ) eˆr + ( r& f& + r&& f) eˆf 36 - kääteie riippuvuus r = + y f = arcta( y/ ) arkustageti atamista kulmista o valittava oikea - paikka- eli radiusvektori r= rˆr e, missä eˆ (cos ) ˆ (si ) ˆ r = f i+ f j SYLINTERIKOORDINAATISTO ì = rcosf ï Määrittely-yhtälöt: íy = rsif ï îz = z - opeus d r d ˆr ( rˆr) dr ˆ d e v= = e = er + r dt dt dt dt = r& e ˆ ( si ) ˆ ( cos ) ˆ r + ré - f& ë f i + f& f j ù û = r& e ˆ ( si ) ˆ (cos ) ˆ r + rf& é ë - f i + f j ù û, josta lopulta v= r& eˆr + rf& eˆf

70 Koordiaattikäyrät: r -käyrät: z-akselia vastaa kohtisuorat ja sitä leikkaavat suorat f -käyrät: z-akselikeskeiset ympyrät z - käyrät: z-akseli suutaiset suorat Yksikkövektorit: eˆ (cos ) ˆ (si ) ˆ r = f i+ f j eˆ ( si ) ˆ (cos ) ˆ f = - f i+ f j e ˆ ˆz = k kääteie riippuvuus r = + y f = arcta( y/ ) z = z paikkavektori r= reˆr + zeˆz opeus v= & reˆr + rf& eˆf + z& eˆz kiihtyvyys a= (&& r - rf& ) eˆr + ( & rf& + rf&& ) eˆf + && zeˆz 37 PALLOKOORDINAATISTO Määrittely-yhtälöt ì= rsiqcosf ï íy = rsiqsif ï î z = rcosq Koordiaattikäyrät: r -käyrät: origo kautta kulkevat suorat q -käyrät: ks. kuva f - käyrät: z-akselikeskeiset ympyrät Yksikkövektorit: eˆ (si cos ) ˆ (si si ) ˆ (cos ) ˆ r = q f i+ q f j+ q k eˆ (cos cos ) ˆ (cos si ) ˆ (si ) ˆ q = q f i+ q f j- q k eˆ ( si ) ˆ (cos ) ˆ f = - f i+ f j Paikkavektori: r= rˆr e 38

71 7. SKALAARIKENTÄT Jos avaruude (tai joki se osa-aluee) jokaisee pisteesee ( yz,, ) liittyy skalaariluku f = f( yz,, ), suure f o s. skalaarikettä (tai skalaarifuktio). 7.. Gradietti Ketäf differetiaali o f f f df = d + dy + dz, y z joka voidaa kirjoittaa pistetuloa æˆ f ˆ f d ˆ fö f = ( ˆd ˆdy ˆ ç i + j + k + + dz) y z i j k è ø ja edellee merkitä df =Ñ f dr, missä operaattori ˆ ˆ ˆ Ñ= i + j + k y z o s. abla ja Ñ f o skalaariketä f s. gradietti. 39 Ratkaisu. æˆ ˆ ˆ ö 3 Ñ f = ç i + j + k (3 y- yz) y z è ø ˆ ˆ ˆ 3 = i(6 y) + j(3-3 yz) + k( - yz) joka pisteessä ( =, y =-, z =- ) saa arvo Ñf =-ˆi-9 ˆj-6kˆ Laskusäätöjä Ñ ( fg) = ( Ñ f ) g + f ( Ñ g) = gñ f + fñg Ñ ( af + by) = añ f + b Ñ y, a ja b vakioita Geometrie tulkita Ifiitesimaalisessa siirtymässä r r+ dr ketä f muutos df o df =Ñ f dr =Ñf dr cosq, missä q o Ñ f : ja dr: välie kulma. Muutos df o suuri, ku cosq = eli q = eli ku siirtymä tapahtuu gradieti suutaa. Siis: Skalaarifuktio f gradietti Ñ f osoittaa fuktio opeimmi kasvavaa suutaa. 4 3 Esimerkki. Laske fuktio f ( yz,, ) = 3y- yz gradietti pisteessä (, -, - ).

72 Tasa-arvopiat ja -käyrät Yhtälö f (, y, z) = C (vakio) määrää kolmiulotteisessa avaruudessa se pia, jolla ketä f arvo pysyy vakioa. Tämä pita o s. tasaarvopita. 4 Esimerkki: Topografie kartta o -ulotteie skalaarikettä, jossa maasto korkeus f = f( y, ) o paika ( y, ) fuktio. 4 Yhtälö f (, y) = C (vakio) määrää y-tasossa se käyrä, tasa-arvokäyrä, jolla ketä f arvo pysyy vakioa. Jos yt f = C ja siirtymä dr tapahtuu tasa-arvopialla (-käyrällä), ii df =Ñ f dr = Siis: Gradietti Ñ f o kohtisuorassa tasa-arvopitaa (-käyrää) vastaa. Koska gradietti Ñ f osoittaa suurimma muutokse suutaa, pätee: Fuktio (kettä) kasvaa opeimmi suutaa, joka o kohtisuorassa tasa-arvopitaa (-käyrää) vastaa. Tasa-arvokäyrät f (, y) = C ovat käyriä, joita pitki edettäessä maasto korkeus o vakio. Gradiettivektori Ñ f( y, ) osoittaa paikasta ( y, ) katsottaessa maasto jyrkimmi ousevaa suutaa. Ñf( y, )-vektori o aia kohtisuorassa tasa-arvokäyrää vastaa tarkastelupisteessä ( y., )

73 Esimerkki: Etsi pia z -3y - 4 = 7 pistee (, -, ) kautta kulkeva tagettitaso. Pia tagettitaso määritys o matemaattie sovellutus, jossa kyseie pita ajatellaa 3-ulotteise skalaariketä tasa-arvopiaksi. Ratkaisu: Tarkistus esi: 4-3( -)- 4 = 7. Piste (, -, ) o tosiaaki aetulla pialla. Gradietti o kohtisuorassa tasa-arvopitaa vastaa, jote eräs pia ormaali o N=Ñ(z -3y -4 ) = (z -3y - 4) î+ (- 3 ) ˆj+ (4 z) k, ˆ joka pisteessä (, -, ) o N= 7î- 3ˆj+ 8k. ˆ Tagettitaso pisteestä r ˆ ˆ ˆ = (, -, ) = i- j+ k tagettitaso pisteesee r= î+ yˆj+ zk ˆ piirrety vektori r- r täytyy olla kohtisuorassa ormaalian vastaa, jote 43 = ( r- r ) N = é( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ (7ˆ 3ˆ 8 ˆ ë - i+ y+ j+ z- kù û i- j+ k) = 7( -) - 3( y+ ) + 8( z- ) = 7-3y+ 8z Tagettitaso o site 7-3y+ 8z = 6 Suuattu derivaatta Skalaariketä f muutos df siirroksessa dr o df =Ñ f dr. Siirrokse pituus o ds= dr, jote muutos pituusyksikköä kohti o df dr =Ñ f =Ñ f, ˆ ˆ = ds ds Saomme, että Ñ ˆ f =Ñ f, ˆ ˆ = o fuktio f suuattu derivaatta suutaa ˆ. Suuattu derivaatta o suuri gradieti suutaa. Esimerkki: Laske ketä f = yz + 4z suuattu derivaatta pisteessä (,-,- ) suutaa î-ˆj- k. ˆ Ratkaisu: Gradietti ˆ ˆ Ñ f = (yz + 4 z ) i+ ( z) j+ ( y + 8 z) k, ˆ 44

74 joka pisteessä (,-,- ) o Ñ f = 8î-ˆj-k, ˆ î-ˆj-kˆ Suuta o ˆ = = î- ˆj- k, ˆ jote lopulta 6 37 Ñ ˆ f =Ñ f ˆ = + + = VEKTORIKENTÄT Jos avaruude (tai joki se osa-aluee) jokaisee pisteesee ( yz,, ) liittyy vektori, saomme, että kyseessä o s. vektorikettä. Esimerkiksi sähkövaraukset muodostavat ympäristöösä sähköketä, joka o vektorikettä: 46 Nabla eri koordiaatistoissa Napakoordiaatisto: Ñ= eˆr + eˆf r r f Syliterikoordiaatisto: Ñ= eˆr + eˆf + eˆz r r f z Pallokoordiaatisto: Ñ= eˆr + eˆq + eˆf r r q rsiq f Ketässä jokaisee pisteesee voidaa piirtää vektori, joka pituus kertoo ketä suuruude ja suuta se suua Divergessi Olkoo F= îF ˆ ˆ + jfy + k Fz mikä tahasa (differetoituva) vektorikettä. Ketä divergessi o eli æˆ ˆ ˆ ö Ñ F= ˆ ˆ ç i + j + k + + y z i j k è ø ( F ˆ Fy Fz)

Näytä lisää